Задача о разладке для процессов Леви в обобщенной байесовской постановке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Устинов, Филипп Александрович

• Устинов, Филипп Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Устинов, Филипп Александрович

Введение

ГЛАВА 1. Процесс t/jt и оптимальные моменты остановки

1.1. Постановка задачи.

1.2. Определение процесса ip и его свойства.

1.2.1. Переформулировка задачи при помощи^.

1.2.2. Процесс плотности ht.

1.2.3. Стохастическое дифференциальное уравнение для ^

1.2.4. Инфинитезимальный оператор процесса ф.

1.2.5. Регулярность и траектории процесса ф.

1.3. Вспомогательное семейство задач

1.4. Оптимальный момент та

1.5. Вывод.

ГЛАВА 2. Асимптотика среднего время обнаружения разладки

2.1. Связь с минимаксной задачей

2.2. Случай броуновского движения

2.3. Случай процессов Леви с скачками

2.4. Единственность решения Lu{x) — —х.

2.5. Приближенное решение &и(х) = —х.

2.6. Случай спектрально-отрицательных процессов.

2.7. Случай произвольно направленных скачков.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача о разладке для процессов Леви в обобщенной байесовской постановке»

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящей работе рассматривается задача о разладке в обобщенной байесовской постановке для процессов Леви. Задача о разладке состоит в скорейшем обнаружении изменения вероятностных характеристик процесса (в данном случае триплета характеристик). Впервые проблема скорейшего обнаружения изменения сноса випе-ровского процесса была поставлена в докладе А.Н. Колмогорова и А.Н. Ширяева на VI совещании по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 5-10 сентября 1960 г). Представленные в этом докладе новые подходы получили развитие в работах А.Н. Ширяева ([13-15]). Некоторые частные случаи пуассоновской задачи о разладке были рассмотрены в [37,30] и затем [31]. Пешкир и Ширяев в [49] представили полное решение этой задачи (в байесовской постановке). Заметим, что пуассоновская задача заметно отличается от винеровской по методам исследования.

Дальнейшая деятельность развивалась в нескольких направлениях. Одно из них - поиск классов процессов, допускающих решение при помощи тщательного анализа возникающих уравнений. В этом направлении Гапеев в [36] нашел специальный случай, когда пуассоновская задача с экспоненциальными скачками допускает аналитическое изучение.

В работах [31-32] рассматриваются задачи о разладке для составного пуассоновского процесса и для многомерного процесса, координаты которого - составной пуассоноиский или винеровский процессы, однако аналитическое изучение решения затруднено. В этих работах при помощи вероятностных соображений возникающие уравнения заменяются более простыми, которые, однако, не дают точное решение, а лишь приближение к нему. Основная идея состоит в рассмотрении оператора "сдвига па скачок", т.е. сначала решается задача оптимальной остановки до первого скачка, найденная функция

ТЛ(7\ и{х) = inf Е^ / Tpsds теЖт J О появляется в правой части следующей задачи - рассматриваемой до второго скачка и т.д. Этот метод применим только для процессов с конечным числом скачков на конечном временном интервале.

В работе [35] впервые вводится обобщенный байесовский подход для вииеровской задачи о разладке. Представлено решение этой задачи о разладке. В [3] также получена асимптотика функции риска для минимаксной задачи. Решение обобщенной байесовской задачи о разладки для пуассоновского процесса и сходимость к винеровскому случаю (при частотах скачков, стремящихся к бесконечности) рассмотрено в работах [2,25].

В последние десятилетия резко возросла потребность в решепии практических задач, требующих быстрого обнаружения разладки в той или иной форме. Важные применения задачи о разладке - сейсмология, скорейшее обнаружение сбоев промышленного оборудования (во время контроля качества), изменение рискованности различных финансовых инструментов, раннее обнаружение начала эпидемий, военные применения, радиолокация, охрана биологических ресурсов, обеспечение безопасности сложных технических систем (самолетов, судов, космических кораблей, ядерных электростанций, компьютерных сетей). В последнее время проявляется значительный интерес к задачам о разладке в связи с такими явлениями, как биотерроризм, компьютерные атаки.

Многие практические задачи можно описать как поток некоторых событий или данных (запросов, сбоев, цен и т.п.). Соответственно, естественно моделировать эти потоки с помощью случайных процессов или случайных цепей. Во многих из этих задач данные собираются разнородные или из нескольких источников, чтобы обнаружить сбой как можно раньше. К примеру, можно следить за непрерывно меняющимся уровнем масла, температурой, давлением, и периодически измерять число и тип частиц-примесей (см. [26]). Поэтому полезно рассматривать наряду с непрерывной составляющей разно-распределенные скачки. Во многих моделях естественным оказывается рассматривать процессы с независимыми приращениями.

Многочисленны применения в финансовой математике - к примеру, для расчета финансовых рисков контрактов на поставки электроэнергии используются модели с диффузиями со скачками (см. [28] и [65]). Тартаковский А.Г., Розовский Б.Л. и др. применили теоретические методы для обеспечения безопасности сетей; Basseville М., Benveniste А., Никифоров И.В. и другие использовали их для разработки эффективных алгоритмов обнаружения неисправностей в сложных технических устройствах и т.п. В последнее время все большую популярность приобретают модели с процессами Леви, являющиеся естественным обобщением моделей, основанных на вине-ровском и пуассоновском процессах.

Заметим, что в будущем потребность в решении задач быстрого обнаружения разладки будет только возрастать. Это связано с технологическим и экономическим развитием, а также с сопутствующим ростом ущерба экологии. С развитием инфраструктуры и возникновением все большего числа сложных технических объектов возрастают риски различных техногенных катастроф, соответственно возрастает необходимость точного учета и управление этими рисками. В связи с этим ожидается дальнейшее развитие математических моделей задач о разладке в направлении усложнения. Можно предвидеть введение неклассических постановок (других способов оценки риска) и расширение рассматриваемых классов процессов.

В настоящей работе получены обобщения части результатов работ [35], [25] - они распространены на процессы Леви. Найден оптимальный момент остановки. Задача о разладке изучается в обобщенной байесовской постановке.

В классической байесовской постановке считается известным распределение момента сбоя (разладки). В приложениях зачастую удобнее использовать постановку задачи, в которой момент разладки представляет собой детерминированный неизвестный параметр.

В данной работе также получены асимптотические оценки для функции риска. Они, в частности, оказываются полезными оценками в задаче о разладке в минимаксной постановке. Минимаксная постановка весьма естественна как с практической, так и с теоретической точки зрения, но ее точное решение пока неизвестно. В винеровском и пуассоновском удается найти асимптотически оптимальный мето-од обнаружения разладки. Полученные в работе оценки, а так же метод их получения можно применить для нахождения асиптотиче-ски оптимальных (разной степени точности) стратегий обнаружения в минимаксной задаче.

Итак, в настоящей работе проводится развитие современных теоретических моделей. Таким образом, ее тематика является актуальной как с точки зрения развития теории, так и с точки зрения практических применений.

Цель работы.

Целью данной работы является развитие теории задач о разладке в направлении расширения изучаемых классов процессов и способов оценки риска. В соответствии с этой целью, были поставлены следующие задами исследования:

1. Исследовать задачу о разладке для процессов Леви в случае, когда момент разладки является неизвестным детерминированным параметром, а среднее время запаздывания оценивается с помощью обобщенной байесовской функции риска.

2. Изучить асимптотическое поведение функции риска при стремлении к бесконечности среднего времени до ложной тревоги.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории вероятностей, в частности методы теории случайных процессов и теории задач об оптимальной остановке марковских процессов, а также некоторые методы функционального анализа.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Найден оптимальный момент в задаче о разладке для произвольных процессов Леви в обобщенной байесовской постановке.

2. Асимптотика фуикции риска при стремлении к бесконечности среднего времени до ложной тревоги в случае базисных процессов Леви связана со средним временем объявления тревоги.

3. В некоторых случаях асимптотика из предыдущего пункта найдена в виде явной формулы.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях задач об оптимальной остановке. Развиты подходы, которые полезны для дальнейших обобщений, таких как рассмотрение минимаксной постановки задали о разладке для процессов Леви, а также расширение на многомерный случай. Результаты работы также могут быть использованы при построении математических моделей реальных процессов с разладкой. Найденные асимптотические оценки также полезны (как для качественной оценки на практике, так и для новых теоретических построений).

Апробация диссертации.

1. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре отдела теории вероятностей МИАН им. Стеклова „Стохастический анализ: теория и приложения" под руководством член-корр. РАН А. Н. Ширяева, д.ф.-м.н. А. А. Гущина (2007-2008).

2. На семинаре кафедры теории вероятностей МГУ им. М.В. Ломоносова „Стохастический анализ и мартингальньте методы" под руководством член-корр. РАН А. Н. Ширяева (2007-2008).

3. На Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ им. М.В. Ломоносова (2008).

4. На русско-японском симпозиуме „Сложные статистические модели" в МИАН им. Стеклова (2007).

5. На Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых „Ломоносов" в 2009 году.

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора, 2 из которых - статьи в ведущих рецензируемых научных журналах. Список приведен в конце работы.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 12 параграфов, и списка литературы из 65 наименований. Общий объем диссертации составляет 76 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Устинов, Филипп Александрович, 2009 год

1. Бассевиль М., Банвенист А. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем. М.: Наука, 1989.

2. Бурнаев Е.В. О задаче обнаружения разладки для пуассоновского процесса в обобщенной байесовской постановке // Теория вероятностей и ее применения. 2008. Т. 53, вып. 3. С. 534-556.

3. Дарховский Б.С. Непараметрический метод для апостериорного обнаружения момента разладки последовательности независимых случайных величин // Теория вероятностей и ее применения. 1976. Т. XXI, вып. 1. С. 180-184.

4. Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. Апостериорное обнаружение момента разладки случайной последовательности // Теория вероятностей и ее применения. 1980. Т. XXV, вып. 3. С. 476-489.

5. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963.

6. Колмогоров А.Н., Прохоров Ю.В., Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические методы обнаружения спонтанно возникающих эффектов // Тр. МИАН. 1988. Т. 182. С. 4-23.

7. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

8. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

9. Ф. А. Устинов, "Асимптотика среднего времени запаздывания в задаче о разладке для базисных процессов Леви в обобщенной байесовской постановке", УМН, 64:1(385) (2009), 161-162.

10. Ф.А. Устинов,"Задача скорейшего обнаружения смены режима для процессов Леви", Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2009 год, 2, 72-74.

11. Ф.А. Устинов, "Задача о разладке в обобщенной байесовской постановке", депонировано в ВИНИТИ 24.03.2009, N153-B2009, 53 страницы.

12. Ширяев А.Н. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов // Докл. АН СССР. 1961. Т. 138, вып. 4. С. 799-801.

13. Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима // Докл. АН СССР. 1961. Т. 138, вып. 5. С. 1039-1042.

14. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения // Теория вероятностей и ее применения. 1963. Т. VIII, вып. 1. С. 26-51.

15. Ширяев А.Н. Минимаксная оптимальность метода кумулятивных сумм (CUSUM) в случае непрерывного времени// Успехи математических наук. 1996. Т. 51, вып. 4. С. 173-174.

16. V.A. Ambartsumian, On the theory of brightness fluctuations in the Milky Way, (Russian) Doklady Akad. Nauk SSSR 44 (1944), 244 247; (English translation) Compt. Rend. (Doklady) Acad. Sci. URSS 44 (1944), 223 - 226.

17. Applebaum, D., Levy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press,(2004).

18. Applebaum, D., Levy Processes-From Probability to Finance and Quantum Groups, Notices of the AMS, Volume 51,Number 11,December(2004), 1336 -1347.

19. Barndorf-Niclsen, O.E.Mikosch, T. and Resnick, I. Editors., Levy Processes Theory and Applications. Birkhausers,(2001).

20. E. Bayraktar and S. Sezer. Quickest detection for a Poisson process with a phase type changetime distribution. Technical report, University of Michigan, 2006. URL http://arxiv.org/ abs/math /0611563.

21. J. Bertoin. Levy Processes. Cambridge Univ. Press, 1996.

22. J. Bertoin, R. A. Doney, and R. A. Mailer, Passage of Levy processes across power law boundaries at small times, Ann. Probab. Volume 36, Number 1 (2008), 160-197.

23. Leonid Bogachev, Gregory Derfel, Stanislav Molchanov, and John Ockendon, On Bounded Solutions of the Balanced Generalzed Pantograph Equation, arxiv. org.

24. E. V. Burnaev, Disorder problem for a Poisson process in the generalized Bayesian setting, UMN, 2007, 62:4(376), 151-152.

25. Byington, C. S. and Garga, A. K. (2001). Handbook of Multisensor Data Fusion. CRC Press, Chapter Data fusion for developing predictive diagnostics for electromechanical systems.

26. Cariboni, J., Credit Derivatives Pricing under Levy Models. PhD thesis, Katholieke Universiteit Leuven,(2007).

27. Cartea, I. and Figueroa. M. (2005). Pricing in electricity markets: A mean reverting jump diffusion model with seasonality. Applied Mathematical Finance 12, 4 (December), 313-335.

28. Cont, R. and Tankov, P.Financial modelling with Jump Processes. Chapman and Hall/CRC Pres,(2003).

29. Davis, M. H. A. (1976). A note on the Poisson disorder problem. Banach Center Publ. 1 65-72.

30. Dayanik, S. and Sezer, S. O. (2006). Compound Poisson disorder problem. Math. Oper. Res. 31, 4, 649-672.

31. Savas Dayanik, H. Vincent Poor and Semih O. Sezer, Multisource Bayesian Sequential Change Detection, arxiv.org preprint

32. G. Derfel and F. Vogl, On the asymptotics of solutions of a class of linear functional-differential equations, European J. Appl. Math. 7 (1996), 511 518.

33. Eberlein, E., Jump-Type Levy Processes, Working Paper, Department of Mathematical Stochastics, University of Freiborg, Germany, (2007).

34. Feinberg, E.A. and Shiryaev, A.N. (2006). Quickest detection of drift change for Brownian motion in generalized Bayesian and minimax settings, Statistics and Decisions 24, Issue 4, 445-470.

35. Pavel V. Gapeev, The disorder problem for compound Poisson processes with exponential jumps, Ann. Appl. Probab. 15 (2005), no. 1A, 487-499. MR MR2115049

36. Galchuk, L. I. and Rozovskii, B. L. (1971). The disorder problem for a Poisson process. Theory Probab. Appl. 16 712-716.

37. D.P. Gaver, Jr., An absorption probability problem. J. Math. Anal. Appl. 9 (1964), 384 393.

38. I. Iscoe and D. McDonald. Asymptotics of exit times for Markov jump processes. I. Ann. Probab., 22(l):372-397, 1994.

39. J. Jacod and A.N. Shiryaev (1987): Limit theorems for stochastic processes. Springer- Verlag, Berlin.

40. T. Kato and J.B. McLeod, The functional-differential equation y(x) ay(x) + by(x), Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), 891 -937.

41. Kyprianou, A. E. (2006) Introductory lectures on fluctuations of Levy processes with applications. Springer.

42. K. Mahler, On a special functional equation, J. London Math. Soc. 15 (1940), 115 123.

43. B. J. Matkowsky, Z. Schuss, and C. Knessl, Asymptotic solution of the Kramers Moyal equation and first - passage times for Markov jump processes.

44. P.W. Millar, Exit properties of stochastic processes with stationary independent increments, Trcrns. Amer. Math. Soc., t. 178, 1973, p. 459-479.

45. J.R. Ockendon and A.B. Tayler, The dynamics of a current collection system for an electric locomotive, Proc. Royal Soc. London A 322 (1971), 447 468.

46. Papapantoleon, A. An Introduction to Levy Processes with Applications in Finance, Lecture Notes (2006).

47. Peskir, G. and Shiryaev, A. N. (2002). Solving the Poisson disorder problem. In Advances in Finance and Stochastics. Essays inHonour of Dieter Sondermann (K. Sandmann and P. Schunbucher, eds.) 295-312. Springer, Berlin.

48. Peskir. G. and Shiryaev, A. (2006). Optimal Stopping and Free Boundary Prob lems. Birkhauser.

49. M Pollak, AG Tartakovsky, On Asymptotic Exponentiality of the Distribution of First Exit Times for a Class of Markov Processes -all 3 versions, Arxiv preprint math.PR/0609780, 2006 arxiv.org

50. Prottcr, P., Stochastic Integration and Differential Equations.3rd Edition, Spriger,(2004).

51. Raible, S., Levy Processes in Finance: Theory, Numerics and Emprical Facts. PhD thesis, University of Freiburg,(2000).

52. Rogers, L.C.G. A new identity for real Levy processes. Annales de l'institut Henri Poincare (B) Probabilites et Statistiques, 20 no. 1 (1984), p. 21-34

53. B.A. Rogozin, On the distribution of functionals related to boundary problems for processes with independent increments, Th. Prob. Appl., t. 11, 1966, p. 580- 591.

54. Niyazi Sahin, Mehmet Sezer, Salih Yalcinbas, Approximate solution of multi pantograph equation with variable coefficients, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 214, Issue 2 (April 2008), Pages 406-416 .

55. Shiryaev, A. N. (1961). The detection of spontaneous effects. Soviet Math. Dokl. 2, 740-743.

56. Shiryaev, A. N. (1961). The problem of the most rapid detection of a disturbance in a stationary process. Soviet Math. Dokl. 2, 795-799.

57. Shiryaev,A. N. (1963). On optimum methods in quickest detection problems. Theory Probab. Appl. 8, 22-46.

58. Shiryaev, A. N. (1965). Some exact formulas in a disorder problem. Theory Probab. Appl. 10, 348-354.

59. B.K. Shivamoggi, Perturbation Methods for Differential Equations.

60. Tankov, P. and Voltchkova, E., Jump-diffusion models: a practitioner's guide, Working Paper, 2007.

61. V. Vigon, Abrupt Levy processes, Stochastic Processes and their Applications, 2003.

62. V. Vigon, Votre Levy Rampe-t-il? J. London Math. Soc.(2), 2002

63. Weron, R., Bierbrauer, M., and Truck, S. (2004). Modeling, electricity prices: jump diffusion and regime switching. Physica A Statistical Mechanics and its Applications 336, 39-48.