Задача Монжа-Канторовича с линейными ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Заев, Данила Андреевич

• Заев, Данила Андреевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Заев, Данила Андреевич

Оглавление

Стр.

Введение

Раздел 1. Задача Канторовича с ограничениями общего вида

1.1 Формулировка задачи с дополнительными ограничениями

1.2 Двойственность Канторовича

1.2.1 Двойственность для задачи Канторовича с ограничениями

1.2.2 Двойственность в классической задаче Канторовича

1.3 Носитель оптимальной меры в задаче с ограничениями

1.4 Мартингальная задача

Раздел 2. Инвариантная задача Монжа—Канторовича

2.1 Инвариантная задача Канторовича

2.2 Случай компактной группы симметрий

2.3 Инвариантная задача Монжа

2.4 Инвариантное расстояние Канторовича

Раздел 3. Эргодические разложения и задача Канторовича

3.1 Симплексы мер и дезинтегрирование

3.2 Геометрические свойства дополнительных линейных ограничений

3.3 О некоторых вопросах измеримости

3.4 Эргодическое разложение задачи Канторовича

3.5 Эргодическое разложение инвариантных метрик Канторовича

Раздел 4. Инвариантная задача Монжа—Канторовича на

бесконечномерных пространствах

4.1 Типы симметрий на пространствах последовательностей

4.1.1 Перестановочные меры

4.1.2 Сферически-инвариантные меры

4.2 Транспортировка мер на гильбертовых пространствах

4.3 Транспортировка перестановочных мер

4.4 Характеризация равномерно логарифмически вогнутых мер

Заключение

96

Список литературы

98

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Монжа-Канторовича с линейными ограничениями»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Задача Монжи Канторовичи, или задача об оптимальной транспортировке мер, в последние два десятилетия пользуется большим вниманием специалистов из различных областей математики: теории вероятностей, анализа, геометрии, динамических систем. Помимо этого, задача представляет большой интерес для экономических и технических приложений. Развитие различных обобщений рассматриваемой задачи также обусловлено как теоретическим предпосылками, так и предпосылками, возникающими в различных приложениях: моделях статистической физики, финансовых рынков, динамики жидкостей.

Основа классической теории, связанной с этой задачей, была разработана Л.В. Канторовичем в 1940-е годы и сильно развита во второй половине ХХ-го^ начале XX 1-го века такими известными учёными, как В.Н. Судаков, С. Вилла-ни, Л. Амброзио, A.M. Вершик и многими другими. Современная формулировка (которую уместно называть "задачей Канторовича") была предложена Канторовичем [11]. Он предложил рассматривать задачу поиска меры на прямом произведении двух пространств с фиксированными проекциями меры (маргиналами) на каждое из них, которая была бы оптимальной относительно некоторого линейного критерия. Используя линейность задачи и свои результаты в этой области, Канторович нашел достаточные условия существования решения и сформулировал в их предположении фундаментальный принцип двойственности.

Важно отметить, что рассматриваемая Канторовичем задача тесно связана с классической задачей "о перемещении масс", предложенной Г. Монжем [50] в 1781 году ("задача Монжа"): имеется куча песка и яма одинаковых объемов. Как засыпать песком яму, потратив наименьшие усилия на транспортировку массы? В формулировке Канторовича фиксированные маргиналы — это распределение куч песка и ям на плоскости, а оптимальная мера — это обобщение понятия транспортировки, называемое транспортным планом. Известно, что naRn в достаточно общей ситуации решение задачи Канторовича является решением в смысле Монжа: оно сосредоточено на графике некоторого отображения.

На современном этапе развития теории задача Монжи Канторовичи обычно рассматривается в довольно общей постановке: пространства, на которых определены маргинальные меры, предполагаются польскими (полными, сепарабельными, метрическими), сами меры — борелевскими вероятностными, а функция стоимости, задающая критерий оптимальности — произвольной полунепрерывной снизу, или, в ещё более общем случае — борелевской (например, в обзоре В.И. Богачева и A.B. Колесникова [1]).

Задача Канторовича формулируется следующим образом. Найти минимум функционала

на множестве П(ц,и) вероятностных м ер на X х Ус фиксированными маргиналами:

Здесь с : X х У ^функция, называемая функцией стоимости. Элементы множества П(р,и) называют транспортными планами. Измеримые отображения Т : X ^ У со свойством = V называют транспортными отображениями или транспортировками. В такой терминологии задача Канторовича заключается в поиске оптимального транспортного плана, а задача Монжа — в поиске оптимального транспортного отображения.

В такой постановке задача оказывается связанной со многими приложениями, например, с геометрией метрических пространств (Л. Амброзио [16], С. Виллани [56]), гидродинамикой (Я. Бренье [29]), динамическими системами (Вершик [2]), статистический физикой (Р. Л. Добрушин [7]), теорией вероятностей (С.Т. Рачев и Л. Рюшендорф [53]), спектральными неравенствами (Д. Бакри, И. Жантиль, М. Леду [18]). Однако существуют случаи, когда вместо стандартной постановки задачи имеет смысл рассматривать её модификацию.

Одной из модификаций задачи является её инвариантный аналог. В этом случае мы рассматриваем некую группу преобразований пространств, действующую на них непрерывно (более общий вариант — измеримо). Фиксированные маргинальные меры предполагаются инвариантными относительно действия этой группы, а поиск оптимального решения производится только среди инвариантных транспортных планов. Для задачи в такой постановке известны лишь частичные результаты: например, подробно исследован случай, когда функция

(1)

(РгА-= ^ (Ргу)#Ж = V.

стоимости также инвариантна (А. Моамени [49]). Однако такие вопросы, как формулировка двойственной задачи Канторовича, связь между задачей Монжа и Канторовича ("когда решение задачи Канторовича будет решением задачей Монжа?"), свойство циклической монотонности, взаимосвязь между эргодичностью решения и его оптимальностью представляют большой интерес для исследования. Этот интерес подкрепляется также и прикладным значением такой задачи: известно, что она возникает при работе с бесконечномерными пространствами, в частности с пространством Винера (В.И. Богачев и A.B. Колесников [26; 27]), при изучении процессов диффузии (Д.Б. Букин [30]), в приложениях к статистической физике (А. Лопес, Е. Оливиера и др. [47; 48]) и эргодической теории (A.M. Вершик [3]).

Другая важная модификация задачи обусловлена приложениями в моделировании стоимости финансовых активов. Фиксированные маргинальные меры в этом случае можно интерпретировать как распределения стоимости актива в определённые моменты времени, а оптимальный транспортный план как совместное распределение стохастического процесса. В таком случае естественно рассматривать задачу минимизации в множестве мульти.маргинальных планов: мер с конечным (не обязательно равным двум) числом фиксированных проекций, и с функцией стоимости, определённой на соответствующем пространстве. Однако, само по себе такое обобщение не достаточно с точки зрения экономической интерпретации. Как правило, все разумные финансовые модели удовлетворяют свойству мартингальности: математическое ожидание стоимости актива в следующий момент времени равно его стоимости в текущий момент. Поэтому разумно накладывать данное условие на множество всех допустимых в данном контексте транспортных планов. Понятно, что свойства задачи оптимизации при подобном ограничении принципиально изменятся. Задача Канторовича для мартингальных мер изучалась в работах М. Бейглбёка и соавторов [19; 21—23].

Имея ввиду два описанных выше примера модификации стандартной задачи Монжа Канторовича, можно заметить, что и в одном, и в другом случае речь идёт о наложении дополнительных условий на множество возможных решений, причём математически эти условия можно описать как линейные бесконечномерные ограничения. Если говорить более точно, мы выделяем некоторое пространство функций и требуем, чтобы каждая из интересующих нас мер

принимала нулевое значение на этом пространстве. Свойства задачи с дополнительными ограничениями такого общего вида есть основной объект изучения в первом разделе диссертации.

Прогресс в исследовании задачи с ограничениями общего вида позволяет использовать разработанную теорию для частного случая инвариантной задачи. Вопросы, стоящие перед исследователями в этой области сформулированы выше. Ответы на ряд из них содержатся во втором разделе диссертации.

Основная задача в этой области: исследование взаимосвязи эргодичности и оптимальности в смысле Монжа Канторовичи. Эта задача уже рассматривалась специалистами в эргодической теории (A.M. Вершик [4]), однако в третьем разделе диссертации предложен альтернативный подход к этому вопросу и описание ряда новых результатов. В доказательстве этих результатов мы опираемся на работы Е. Б. Дынкина [36]. Основа нашего подхода состоит в рассмотрении множества инвариантных мер как бесконечномерного симплекса Дынкина (Дж. Керстан и др.|43|) объекта выпуклого анализа, устанавливающего взаимосвязь между геометрией пространства инвариантных мер и их эргодическими разложениями.

Если X = Y ^достаточно хорошие метрические пространства (например, польские), а в качестве функции стоимости рассматривается функция расстояния, то минимум в задаче Канторовича определяет значение функции расстояния на пространстве V (X) вероятностных распределений на X. Такие расстояния называют расстояниями Канторовича. Их свойства хорошо изучены, а число приложений чрезвычайно велико (с ними можно ознакомиться, например, в работе Л. Амброзио и соавт. [17] или в книге С. Виллами [56]). В частности, метрическая геометрия пространства мер определяет метрическую геометрию пространства, на котором они заданы. Однако на множестве инвариантных мер стандартное расстояние Канторовича не всегда естественно. Поэтому в диссертации вводится понятие инвариантного расстояния Канторовича, учитывающего инвариантности, возникающие в модели.

Аналоги расстояний Канторовича можно определять и на более широком классе пространств, например, на пространствах состояний С*-алгебр. Один из возможных подходов в этом направлении предложен автором в работе [58].

Цели и задачи диссертации. Цель работы состоит в исследовании свойств задачи Монжи Канторовичи с дополнительными ограничениями линейного типа.

Задачи диссертационного исследования следующие.

1. Сформулировать и доказать принцип двойственности для задачи с линейными ограничениями. Исследовать важные частные случаи (инвариантные меры, мартингальные меры).

2. Исследовать аналоги свойства циклической монотонности (равносильного оптимальности в задаче без ограничений) для задачи с ограничениями.

3. Исследовать связь между решениями инвариантной задачи Канторовича и эргодическими разложениями мер.

4. Получить достаточные условия для существования решения задачи Монжа в бесконечномерном случае. Исследовать конкретные примеры для инвариантной задачи Монжа.

Научная новизна. Все представленные на защиту положения являются новыми научными результатами. В частности, впервые исследуется задача Канторовича с линейными ограничениями общего вида, описываются свойства её решения. Важным новым результатом работы является теорема об эргодиче-ском разложении инвариантной задачи Канторовича. С её помощью доказаны новые факты о задаче Монжа между перестановочными мерами наК^, а также получена новая характеризация перестановочных равномерно логарифмически вогнутых мер на

Положения, выносимые на защиту.

1. Для задачи Канторовича с дополнительными линейными ограничениями общего вида сформулирован и доказан результат о двойственности. Сформулировано и доказано необходимое геометрическое условие оптимальности транспортного плана. Построен контрпример, демонстрирующий недостаточность такого условия.

2. Для инвариантной задачи Канторовича с компактной группой симметрии описана специальная форма результата о двойственности. Определено понятие инвариантного расстояния Канторовича и доказана его корректность.

3. Исследована связь между эргоднческимн разложениями инвариантных транспортных планов и их оптимальностью. Доказано, что инвариантную задачу Канторовича можно свести к решению двух оптимизационных задач: инвариантной задачи Канторовича между эргодически-ми компонентами и классической задачи Канторовича между смесями этих компонент.

4. Доказаны результаты о существовании оптимального транспортного отображения в инвариантной задаче Монжа на некоторых бесконечномерных пространствах. Описан явный вид оптимальной инвариантной транспортировки в случае перестановочных мер. Доказано, что перестановочные равномерно логарифмически вогнутые меры на эрго-дипньь

Методология и методы диссертационного исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей, общей теории меры и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут представлять интерес для специалистов в области теории вероятностей, случайных процессов, динамических систем, а также в различных разделах теоретической физики. В частности, задача Монжа для перестановочных мер naRN может найти применение в моделях статистической физики, результат об эргодичности перестановочных равномерно логарифмически вогнутых мер может быть важен при изучении вопросов концентрации мер. Мартингальная задача Канторовича имеет приложения в сфере финансового моделирования, в связи с чем полученные автором результаты могут быть полезны при исследовании существующих моделей.

Степень достоверности результатов диссертации. Представленные на защиту результаты диссертации представляют собой математические утверждения и сопровождаются строгими доказательствами.

Личный вклад автора. Постановка задачи принадлежит научному руководителю A.B. Колесникову. Все представленные результаты получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертационного исследования. Основные результаты диссертации были представлены автором лично на следующих семинарах и конференциях:

— Семинар "Бесконечномерный анализ и стохастика" (МГУ, рук. Богачев В.И., Толмачев Н.А., Шапошников С.В.), 2013.

— Международная конференция "Stochastic processes and high dimensional probability distributions" (Санкт-Петербург), 2014.

— Vienna Seminar in Mathematical Finance and Probability (Вена, Австрия), 2014.

— Международная конференция "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование" (Москва), 2014.

Также результаты диссертации многократно докладывались и обсуждались в рамках научно-исследовательского семинара "Теория вероятностей. Экономические и аналитические приложения" (Москва, НИУ ВШЭ, рук. Колесников А.В., Конаков В.Д.) в 2013-2016 годах.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх разделов и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 102 страницы. Список литературы содержит 58 наименований.

и

Глава 1. Задача Канторовича с ограничениями общего вида

В этом разделе мы рассмотрим модификацию задачи Канторовича с дополнительными линейными ограничениями общего вида. Мы докажем утверждение о двойственности и опишем геометрическую характеризацию оптимальных решений задачи. Основные результаты этого раздела опубликованы в работе автора [9] и тезисах доклада автора [8].

Напомним, что задачей Канторовича мы называем задачу поиска оптимального решения следующей вариационной задачи:

— X и Y ^некоторые хорошие топологические пространства, например, польские. Под польским пространством мы имеем ввиду полное сепа-рабельное метризуемое пространство. Оно обладает тем свойством, что каждая вероятностная борелевская мера на нём будет радоновой.

_ ^ и у _ фиксированные вероятностные борелевские меры на X и Y соответственно.

— Prx и Pry — это операторы естественных проекций из прямого (топологического) произведения пространств X х У на первый и второй сомножитель соответственно.

— (Prx)#ж := ж о Pr"1 ^ прямой образ ("pushforward") меры при измеримом отображении Prx- Оператop (Pry)# определяется аналогично.

— с(х,у) — некоторая функция на X х У, называемая "функцией стоимости". Обычно она предполагается полунепрерывной снизу и ограниченной снизу. Иногда также предполагается, что она мажорируется сверху суммой двух интегрируемых функций от одной переменной:

с(х,у) < f (х) + д(у), У(х,у) е X х Y, f е L1(X,^), д е L1(Y,u). Такие

c(x,y)dn ^ inf , ж е V(X х Y), (Pr^)#ж = (Pry)#ж = ц. (1.1)

Здесь

условия гарантируют, что функционал

будет полунепрерывным снизу на множестве всех вероятностных мер на X х У, удовлетворяющих свойствам (Prx)#я = д, (Pry= v, снабжённом топологией слабой сходимости мер ([56], лемма 4.3).

В этом разделе мы будем рассматривать более общую постановку задачи, когда вместо двух вероятностных пространств X и У с фиксированными мерами задано конечное множество пространств с мерами {(Хк) : к = 1,... ,п}. В этом случае задача Канторовича называется мультимаргинальной, и формулируется как задача поиска оптимального решения:

где П(д) = {п е V(Х\ х ••• х Хп) : (Рг^)#п = ,к = 1,... ,п}, а Ргл —естественная проекция на Хк.

Зафиксируем следующие обозначения: д = (р!,... дп) — набор вероятностных мер на Х\,..., Хп соответственно.

где V(Х! х • • • х Хп) — множество всех борелевских вероятностных мер на^ х • • • х Хп. Элементы множества П(р) называются транспортными планами, а само множество ^множеством транспортных планов.

Легко заметить, что множество транспортных планов выпукло, и что оно замкнуто в V(Х! х • • • х Хп) (следствие теоремы Прохорова (см. [1]). Так как V(Х! х • • • х Хп) является компактом в топологии слабой сходимости мер, П(д) также является компактом. Заметим также, что минимизируемый функционал в задаче Канторовича:

является линейным функционалом на множестве транспортных планов. Значит, задача Канторовичи это задача линейной оптимизации на выпуклом множестве.

Идея дополнительных линейных ограничений состоит в том, чтобы задать некоторое векторное подпространство в пространстве (знакопеременных) мер, которое в пересечении с множеством транспортных планов будет задавать некоторое выпуклое подмножество "допустимых транспортных планов". Тогда мы,

(1.2)

Щр.) := {-к е V(Xi х ■ ■ ■ х Хп) : (Prt)#ж = №},

(1.3)

очевидно, сможем сформулировать задачу Канторовича на суженном множестве планов аналогично классической. Формализуем эту идею.

Зафиксируем вероятностные меры на польских пространствах Х^-, и выберем подпространство W некоторого подходящего пространства функций на Х\ х • • • х Хп. Рассмотрим следующую задачу оптимизации:

т£ < / сАтк : (Рг^= ^, шй-к = 0 Уш е W >

У]х1х-хХп 3 )

для некоторой функции стоимости с : Х\ х • • • х Хп ^ К. В этом случае мы ограничиваем множество транспортных планов, добавляя следующее условие:

/ ш&к = 0 Уы е №

Л Ххх-хХп

Такие ограничения, очевидно, линейны.

В подразделе 1.1 мы приведём точную формулировку задачи и определим специальный класс функций С^, содержащий подпространство Ж, возникающее во всех наших примерах. Применяя стандартную технику теории вероятностных распределений, мы доказываем простой критерий существования решения. Более точно, доказывается, что при соответствующих предположениях о регулярности функции стоимости оптимальный транспортный план существует тогда и только тогда, когда множество допустимых планов не пусто.

Далее в разделе разрабатывается общий подход к исследованию данной задачи и приводятся результаты, которые могут рассматриваться как обобщения соответствующих утверждений о классической задаче Канторовича. Одним из таких утверждений является следующий результат о двойственности:

( п г, п \

с(1ъ = вир < У^ / Д(хк/к + Ш < с \ .

** J

1п£ /

^х1х-х1„ ие^ X,

Более точное утверждение и его доказательство представлены в подразделе 1.2.

Другой результат, касающийся рассматриваемой задачи, это геометрическое свойство носителя оптимального транспортного плана. Хорошо известно, что решение стандартной транспортной задачи должно лежать на с-монотонном множестве ([56], теорема 5.10). Мы сформулируем похожее свой-

ство, определение которого будет зависеть не только от функции стоимости с, но и от пространства и назовём его (с^)—монотонностью. Необходимость подобного свойства для носителей оптимальных планов доказывается в подразделе 1.3 как следствие утверждения о двойственности. Независимо подобный результат был сформулирован и доказан в [19], но доказательство, приведённое там, отличается от нашего: оно независимо от утверждения двойственности и использует некоторые тонкие результаты абстрактной теории меры.

Один из наиболее интересных примеров линейного ограничения задаётся условием мартингальности, которое естественным образом возникает в финансовых приложениях. Любая вероятностная модель зависимости цены от времени для некоторого финансового инструмента может быть рассмотрена как транспортный план с несколькими фиксированными маргиналами (.мульти.маргинальный план). Из финансовой математики известно, что нужно ограничить множество допустимых распределений условием "честной игры": в каждый конкретный момент времени ожидание цены в следующий момент равно её текущему значению. Такое ограничение называется "условием мартингальности", и оно дополнительно ограничивает множество допустимых транспортных планов, которые могут быть использованы для моделирования цены финансового инструмента (более точно, мартингальность подразумевается относительно меры, эквивалентной исходной). В качестве ссылки по этой тематике мы предлагаем работу [40], где описываются финансовые модели, основанные на оптимизации в множестве мартингальных транспортных планов. В [22], [23] развита математическая теория для транспортной задачи с мартингальным ограничением, и получен ряд новых результатов. В подразделе 1.4 мы покажем, что условие мартингальности является линейным, и выведем ряд известных результатов о мартингальной задаче из общей теории.

Другой пример интересных линейных ограничений — это условие инвариантности относительно непрерывного действия некоторой группы. Такие ограничения могут естественным образом возникать в эргодической теории (см., например, [47]) или в геометрии ([49], [38]). Им будет посвящен раздел 2 диссертации.

1.1 Формулировка задачи с дополнительными ограничениями

Пусть Х!,...,Хп — польские пространства с борелевскимн а-алгебрами на них, X := Х! х ••• х Хп, — фиксированные вероятностные меры на

Х!,...,Хп соответственно, д := (д!,...,дп) — набор таких мер. Мы будем обозначать через V(X) множество борелевских вероятностных мер наХ, а терез П(д) множество мер на X с заданными маргиналами. Оба пространства снабдим топологией слабой сходимости.

Определим следующее функциональные пространства:

Сь(щ) = {/ е ь!(Хг,^) п с(X,)} (1.4)

'-)го пространство непрерывных интегрируемых функций с топологией, индуцированной Ь!(Х,,д,)-нормой, и

Сь(р) = |к е С(X) : ^ < Мхг), где ¡г е , (1.5)

снабжённое следующей полунормой:

\\hWi := вир / 1к1<Лп. (1.6)

■кеПих

Нужно заметить, что очень похожее функциональное пространство определяется и рассматривается в работах [5], [6] А. М. Вершика, П. Б. Затицкого и Ф. В. Петрова. Там вместо непрерывности требуется лишь измеримость функций, и такие функции получают название "почти непрерывных". Многие результаты нашей работы могут быть сформулированы в терминах почти непрерывных функций, но мы будем придерживаться наших определений.

Предложение 1.1. Функционал к ^ \\к\\ь является полунормой.

Доказательство. Функционал, очевидно, принимает конечные значения на рассматриваемом пространстве:

вир / 1к1<Лп < / /¿ф.^ < то, этеп Ух 3

и удовлетворяет свойствам: > 0, Ук Е Съ(д) и ||£ • Щь = £ • ЦкЦ^, Ук Е

Сь(ц), £ Е [0, Необходимо проверить лишь субаддитивность: для любых

к, д Е Сь(ц)

вир / |к + д1 (1тт < вир / |к|(1тт + вир / = \|к\^ + \\д\\ь.

этЕП «/х ^еп «/х ^еП «/х

□

Замечание 1.2. Легко видеть, что любая функция / ш Сь(ц) интегрируем,а относительно транспортного планам Е П(р):

/ < вир I |/|^7 = \\/\\ < то.

,/Х 7ЕП «/X

Введём обозначение ^ := ф™=1 Сь(^г) С Съ(д). Зафиксируем произвольное подпространство Ж С С^(д) и функцию с Е Сь(ц). Предметом нашего интереса является следующая модификация задачи Монжи Канторовичи:

/ с(х1,...,хп)с1/к ^ т£ .

]х -кЕПш

Здесь инфимум вычисляется по множеству транспортных планов со свойством ж ^ = 0:

П^ = Е V (X) : Уш ЕW J -шёл! = 0, Рг#(^) = ^ ,

где Рг := (Рг1 ,..., Ргп) ^это набор естественных проекций из X = Х1 х ... х Хп на соответствующий сомножитель.

Предположим, что W Э и = о Рг^, где ^ Е Сь(р^) Тогда

0 = / (/г о Рг= ¡г(1цг.

Jx Jxi

Следовательно, мы получаем необходимое условие на меры д Е V(X) для существования хотя бы одного транспортного плана в П^(ц):

/ = 0 если (/ о Ргг) Е W.

Другими словами, 1]¥псь(^к) = 0 для каждого к = 1,...,п.

Теперь мы готовы дать формулировку центрального объекта исследования данного раздела диссертации.

Определение 1.3 (Задача Канторовича с дополнительными линейными ограничениями). Для заданных польских пространств X = Х1 х • • • х Хп, мер ^г е V (X,) функции, стоим ости с е Сь(р), и линейного подпространства W С Сь(ц), где Р := ф™=1 Сь(дг) С Сь(р), нужно найти транспортный план порг е П щ (р), такой, что

c(x)d%opt = inf I i c(x)dA .

nenw(ц) [Jx J

JX KbHw(W ux

Докажем важный факт о пространстве Cl(p)-Лемма 1.4. СЪ(Х) плотно в Cl(h).

Доказательство. Во-первых, покажем, что || • \\cl < || • \\съ-, и, следовательно, естественное вложение Сь(Х) ^ Cl(p) : f ^ f непрерывно. Для любых h Е СЪ(Х)

\h\L = sup / Ihldn < sup |h(^)| • sup / dn = sup |h(^)| = llhi\lCb. nenJx xeX nenJx xeX

Чтобы сделать следующий шаг в доказательстве, зафиксируем произвольную функцию h Е Cl. Пусть Щ < f Е F = CL(^i\ к Е N hk = min{k,h} и h^ = max{min{&,h}, — к} Е СЪ(Х). Заметим, что lhk| < f. Наша цель: показать, что \\h — hk\\ l ^ 0 при к ^ ж. Очевидно, что

\\h — hk\\l < \\h — hk\\l + \\hk — hk\\l.

Тот факт, что ±h — к < f — к = {fi — n) вместе c положительностью

оператора (•)+ := max{-,0} влечёт, что

\\h — hk\\l = sup [ ((h — k)+)dn < ^^ [ If] — — J ^ 0, при к ^ ж, ^ЕИJ \ nj +

и, значит,

hk - hkk||ь = sup / ((-hk - k)+)dn < ^ J ^f.г - dßl ^ 0, при к ^ ж.

nenJ л J \ ny +

t=t +

Сходимость здесь обусловлена теоремой Лебега о мажорируемой сходимости: для любых к Е N (— + < |/¡I Е ) и (— + ^ 0 поточечно. □

Известное следствие теоремы Прохорова (см. [1]) состоит в том, что множество П(ц) компактно в топологии слабой сходимости. Очевидно, что П^ = {ж : ulw = 0} замкнуто в такой топологии. Следователь но, множество П^ (ц) компактно. Чтобы получить утверждение о существовании, нам нужно доказать непрерывность следующего функционала: и ^ Jx hdn. К счастью, этот факт напрямую следует из только что доказанной леммы.

Следствие 1.5. Функционал ж ^ fx hdn, действующи и из П(ц) в R непрерывен для любой функции, h Е Сь(ц)-

Доказательство. Необходимо проверить, что для любой последовательности транспортных планов ), такой что lim& J pduk = f pdu для любого р Е Съ верно, что lim& J hduk = f hdu. Так как Съ плотно в существует последовательность рп ^ h в || • топологии, рп Е Съ для любо го п Е N. Заметим, что рп ^ h в || • Ць означает, что последовательность сходится к пределу равномерно в множестве всех транспортных планов. Этот факт вместе с фактом о существовании пределов lim& / PNduk и limn J pnduK для любых достаточно больших N и К позволяет нам изменить порядок повторного перехода к пределу в следующем рассуждении:

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Заев, Данила Андреевич

Заключение

В диссертационной работе исследована задача Монжи Канторовичи с дополнительными ограничениями линейного вида, частными случаями которой являются инвариантная и мартингальная задачи.

Для задачи Канторовича с дополнительными линейными ограничениями общего вида сформулирован и доказан результат о двойственности (теорема 1.8). Для специального случая инвариантной задачи с компактной группой сим-метрий этот результат уточнён в теореме 2.11. С использованием доказанного результата о двойственности сформулировано и доказано необходимое геометрическое условие оптимальности транспортного плана (определение 1.18 и теорема 1.19) в рассматриваемой задаче. Построен контрпример, демонстрирующий недостаточность такого условия (пример 1.20). Большая общность доказанных результатов, в частности, рассмотрение ограничений в мультимаргинальной задаче Канторовича позволяет применить полученные результаты к случаю мар-тингальной задачи Канторовича, имеющей высокое прикладное значение (см. подраздел 1.4).

В работе глубоко исследована связь между эргодическими разложениями инвариантных транспортных планов и их оптимальностью. В сформулированной нами теореме о разложении (теорема 3.42) утверждается, в частности, что инвариантную задачу Канторовича можно свести к решению двух оптимизационных задач: инвариантной задачи Канторовича между эргодическими компонентами и классической задачи Канторовича между смесями этих компонент. Для обоснования этого результата нами использована теория симплексов Дынкина. Одним из вспомогательных результатов, который может представлять независимый интерес, является утверждение об измеримости оптимального инвариантного транспортного относительно его маргиналов (теорема 3.37). Изучив выпуклую структуру симплекса инвариантных мер, мы определяем нём модифицированную метрику Канторовича (определение 2.15) и доказываем её корректность (утверждение 2.17).

Доказанная теорема о разложении позволила, в частности, глубже изучить свойства инвариантной задачи Монжа. В работе получено явное описание решения перестановочной задачи Монжа (см. подраздел 4.1.1 и определение

4.4), а также доказан результат (теорема 4.8) о существовании оптимального транспортного отображения для перестановочной задачи при некоторых предположениях о регулярности маргинальных мер (см. замечание 4.7). В качестве одного из приложений разработанной теории полученные результаты позволили по-новому охарактеризовать равномерно логарифмически вогнутые меры на (теорема 4.10).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Заев, Данила Андреевич, 2016 год

Список литературы

1. Богачев В. И., Колесников А. В. Задача Монжи Канторовичи: достижения, связи и перспективы // УМН. — 2012. — Т. 67, № 5. — С. 3—110.

2. В ершик А. М. Метрика Канторовича: начальная история и малоизвестные применения // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2004. — Т. 312. — С. 69 85.

3. Вершим А. М. Задача о центральных мерах на пространствах путей градуированных графов // Функц. анализ и его прил. — 2014. — Т. 48, № 4. — С. 26 46.

4. В ершик А. М. Оснащенные градуированные графы, проективные пределы симплексов и их границы // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2015. — № 5. — С. 83^104. - (432-я сер.)

5. В ершик А. Л/.. Затицкий П. Б., Пет,ров Ф. В. Виртуальная непрерывность измеримых функций многих переменных и теоремы вложения // Функц. анализ и его прил. — 2013. — Т. 47, № 3. — С. 1 11.

6. В ершик А. М.. Затицкий П. Б., Пет,ров Ф. В. Интегрирование виртуально непрерывных функций по бистохастическим мерам и формула следа ядерных операторов // Алгебра и анализ. — 2015. — Т. 27, № 3. — С. 66 74.

7. Добрушин Р. Л. Задание системы случайных величин при помощи условных распределений // ТВП. — 1970. — Т. 15, № 3. — С. 469 497.

8. Заев Д. А. Тезисы доклада: "Задача Монжи Канторовичи с дополнительными ограничениями" // Тезисы международной конференции "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы", Москва. — 2014. — С. 44.

9. Заев Д. А. О задаче Монжи Кииторовичи с дополнительными линейными ограничениями // Математические заметки. — 2015. — Т. 98. — С. 664 683.

10. Заев Д. А. Об эргодических разложениях, связанных с задачей Канторовича // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2015. — Т. Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVI, № 437. — С. 100— 130.

11. Канторович Л. В. О перемещении масс // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2004. - Т. 312, № XI. - С. 11—14.

12. Левин В. Л. О теоремах двойственности в задаче Монжи Канторовичи // УМН. - 1977. - Т. 32, 3(195). - С. 171-172.

13. Левин В. Л., Милютин А. А. Задача о перемещении масс с разрывной функцией стоимости и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач // УМН. - 1979. - Т. 34, 3(207). - С. 3 68.

14. Adams D. R., Hedberg L. I. Function spaces and potential theory. Vol. 314. — Berlin : Springer-Verlag, 1996. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften).

15. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive operators. Vol. 119. — New York : Academic Press, 1985. — (Pure and Applied. Mathematics).

16. Ambrosio L., Gigli N. A user's guide to optimal transport // Modelling and Optimisation of Flows on Networks. Lecture Notes in Math. — 2013. — Vol. 2062, no. 5. — Pp. 1-155.

17. Ambrosio L., Gigli N., Savare G. Gradient flows in metric spaces and in the Wasserstein spaces of probability measures. — Birkhauser, 2008.

18. Bakry D., Gentil /., Ledoux M. Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Vol. 348. — Springer International Publishing, 2014. — (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften).

19. Beiglbock M.. Griessler C. An optimality principle with applications in optimal transport. — 2014. — arXiv: 1404.7054 [math.PR],

20. Beiglbock M.. Pratelli A. Duality for rectified cost functions // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. — 2012. — Vol. 45, no. 1. — Pp. 27-41.

21. Beiglboeck M.. Goldstern M.. Maresch G. Optimal and better transport plans //J. Funct. Anal. — 2009. — Vol. 256, no. 6. — Pp. 1907-1927.

22. Beiglhoeck M.. Henry-Labordere P., Penkner F. Model-independent bounds for option prices - a mass transport approach // Finance and Stochastics. — 2013. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 477-5017.

23. Beiglhoeck M.. Juillet N. On a problem of optimal transport under marginal martingale constraints // Annals of Probability. — 2016. — Vol. 44, no. 1. — Pp. 42-106.

24. Beiglhoeck M.. Leonard C., Schachermayer W. A general duality theorem for the Monge-Kantorovich transport problem // Stud. Math. — 2012. — Vol. 209, no. 2. — Pp. 151-167.

25. Bogachev V. I. Measure Theory, Vol I. and II. — Heidelberg : Springer-Verlag, 2007.

26. Bogachev V. /., Kolesnikov A. V. On the Monge-Ampere equation in infinite dimensions // Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab. Related Topics. — 2005. — Vol. 8, no. 4. — Pp. 547-572.

27. Bogachev V. /., Kolesnikov A. V. Sobolev regularity for the Monge-Ampere equation in the Wiener space // Kyoto J. Math. — 2013. — Vol. 53, no. 4. — Pp. 713-738.

28. Borell C. Convex measures on locally convex spaces // Arkiv Matematik. — 1974. — Vol. 12, no. 1. — Pp. 239-252.

29. Brenier Y. Connections between Optimal Transport, Combinatorial Optimization and Hydrodynamics. — 2014. — arXiv: 1410.0333 [math.AP],

30. Bukin D. B. On the Monge and Kantorovich problems for distributions of diffusion processes // Mathematical Notes. — 2014. — Vol. 96, no. 5-6. — Pp. 864-870.

31. Caffarelli L. A. Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG and related inequalities // Comm. Math. Phys. — 2000. — Vol. 214, no. 3. — Pp. 547-563.

32. Chodosh O. Optimal Transport and Ricci Curvature: Wasserstein Space Over the Interval. - 2011. - arXiv: 1105.2883 [math.MG],

33. Cortez M. /., Rivera-Letelier J. Choquet simplices as spaces of invariant probability measures on post-critical sets // Ann. de l'lnst. H. Poincare. — 2010. — Vol. 27, no. 1. — Pp. 95-115. — (Non Linear Analysis).

34. Cuesta J.-A., Matran C. Notes on the Wasserstein metric in Hilbert spaces // Ann. Probab. — 1989. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 1264-1276.

35. Downarowicz T. The Choquet simplex of invariant measures for minimal flows // Israel J. Math. — 1991. — Vol. 74, no. 2-3. — Pp. 241-256.

36. Dynkin E. B. Sufficient Statistics and Extreme Points // Ann. Probab. — 1978. _ Vol. 6j na 5_ _ Pp 705-730.

37. Gaudard M.. Hadwin D. Sigma-Algebras on Spaces of Probability Measures // Scand. J. Statistics. — 1989. — Vol. 16, no. 2. — Pp. 169-175.

38. Ghoussouh N., Moameni A. Symmetric Monge-Kantorovich problems and polar decompositions of vector fields // Geom. Func. Anal. — 2014. — Vol. 24, no_ 4_ _ Pp 1129-1166.

39. Himmelberg C. Measurable relations // Fundamenta Math. — 1975. — Vol. 87, no. 1. — Pp. 53-72.

40. Hobson D. The Skorokhod embedding problem and model-independent bounds for option prices // Lectures on Mathematical Finance. — 2011. — Vol. 2003. — Pp. 267-318.

41. Kallenberg О. Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. — 2005.

42. Kellerer H. G. Duality theorems for marginal problem // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. — 1984. — Vol. 67, no. 4. — Pp. 399-432.

43. Kerstan i., Wakolbinger A. Ergodic decomposition of probability laws // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. — 1981. — Vol. 56, no. 3. — Pp. 339-414.

44. Kolesnikov A. F. On Sobolev regularity of mass transport and transportation inequalities // Theory Probab. Appl. - 2012. - T. 57, № 2. - C. 243 264.

45. Kolesnikov A. V., Zaev D. A. Exchangeable optimal transportation and log-concavity // Theory of Stochastic Processes. — 2015. — T. 20, № 2. — C. 54^ 62.

46. Kolesnikov A. V., Zaev D. A. Optimal transportation of processes with infinite Kantorovich distance. Independence and symmetry // Kyoto Journal of Mathematics (принята в печать). — 2016. — arXiv: 1105.2883 [math.PR],

47. Lopes A. 0., Mengue J. K. Duality Theorems in Ergodic Transport // Journ. of Stat. Physics. — 2012. — Vol. 149, no. 5. — Pp. 921-942.

48. Lopes A. 0., Oliveira E. R., Thieullen P. The Dual Potential, the involution kernel and Transport in Ergodic Optimization. — 2013. — arXiv: 1111.0281 [math.DS].

49. Moameni A. Invariance properties of the Monge-Kantorovich mass transport problem. - 2013. - arXiv: 1311.7051 [math.AP],

50. Monge G. Mémoire sur la théorie des déblais et de remblais // Mémoires de Mathématique et de Physique. — 1781.

51. Parthasarathy K. R. Probability Measures on Metric Spaces. — AMS Chelsea Publishing, 1967.

52. Phelps R. Lectures on Choquet's Theorem. — Berlin : Springer-Verlag, 2001.

53. Rachev S. T., Ruschendorf L. Mass Transportation Problems, Vol.1: Theory, Vol. II: Applications. — Springer-Verlag, 1998. — (Probability and its applications).

54. Rieder U. Measurable selection theorems for optimization problems // Manuscripta Math. — 1978. — Vol. 24, no. 1. — Pp. 115-131.

55. Villa,ni C. Topics in Optimal Transportation. — Amer. Math. Soc. Providence, Rhode Island, 2003.

56. Villa,ni C. Optimal transport, Old and New. — Berlin : Springer-Verlag, 2009. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften).

57. Walters P. An Introduction to Ergodic Theory. — Springer, 2000. — (Graduate Texts in Mathematics).

58. Zaev D. A. LP-Wasserstein distances on state and quasi-state spaces of C*-algebras. - 2015. - arXiv: 1505.06061 [math.OA],