Вычислительный эксперимент в исследовании функционально-дифференциальных моделей: Теория и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Румянцев, Александр Николаевич

• Румянцев, Александр Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Румянцев, Александр Николаевич

Обозначения

Введение

1 Вычислительный эксперимент в исследовании функционально-дифференциальных моделей.

1.1 Вычислительный эксперимент в исследовании дифференциальных и интегральных моделей.

1.2 Некоторые сведения из теории функционально-дифференциальных уравнений.

1.3 Об одном классе операторов и функционалов.

1.4 Теоретические основы вычислительного эксперимента по исследованию разрешимости линейных краевых задач.

1.5 Теоретические основы вычислительного эксперимента в исследовании главной краевой задачи.

1.5.1 Обыкновенное дифференциальное уравнение.

1.5.2 Дифференциальное уравнение с сосредоточенным запаздыванием

1.5.3 Дифференциальное уравнение с произвольным отклонением аргумента.

2 Исследование линейных функционально-дифференциальных моделей эволюционного типа

2.1 Исследование обыкновенных дифференциальных моделей . . 104 2.1.1 Приближенное решение главной краевой задачи для системы ОДУ с гарантированной оценкой погрешности приближения в пространстве разрывных функций

2.1.2 Вычислительный эксперимент по исследованию фред-гольмовой краевой задачи для системы ОДУ.

2.1.3 Вычислительный эксперимент по исследованию краевой задачи для системы ОДУ с неравенствами

2.1.4 Приближенное решение главной краевой задачи для ОДУ п-го порядка с гарантированной оценкой погрешности приближения.

2.1.5 Вычислительный эксперимент по исследованию фред-гольмовой краевой задачи для ОДУ п-го порядка

2.1.6 Вычислительный эксперимент по исследованию краевой задачи для ОДУ п-го порядка с неравенствами

Исследование дифференциальных моделей с сосредоточенным запаздыванием.

2.2.1 Приближенное решение главной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием с гарантированной оценкой погрешности приближения в пространстве разрывных функций

2.2.2 Вычислительный эксперимент по исследованию фред-гольмовой краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием

2.2.3 Вычислительный эксперимент по исследованию краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием с неравенствами

2.2.4 Приближенное решение главной краевой задачи для дифференциального уравнения п- го порядка с сосредоточенным запаздыванием с гарантированной оценкой погрешности приближения.

2.2.5 Вычислительный эксперимент по исследованию фред-гольмовой краевой задачи для дифференциального уравнения п-го порядка с сосредоточенным запаздыванием

2.2.6 Вычислительный эксперимент по исследованию краевой задачи для дифференциального уравнения п-го порядка с сосредоточенным запаздыванием с неравенствами

3 Исследование линейных функционально-дифференциальных моделей общего вида

3.1 Исследование дифференциальных моделей с произвольным отклонением аргумента.

3.1.1 Вычислительный эксперимент по исследованию главной краевой задачи для систем дифференциальных уравнений с произвольным отклонением аргумента

3.1.2 Вычислительный эксперимент по исследованию фред-гольмовой краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с произвольным отклонением аргумента

3.1.3 Вычислительный эксперимент по исследованию краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с произвольным отклонением аргумента с неравенствами

3.1.4 Вычислительный эксперимент по исследованию главной краевой задачи для дифференциального уравнения п-го порядка с произвольным отклонением аргумента

3.1.5 Вычислительный эксперимент по исследованию фред-гольмовой краевой задачи для дифференциального уравнения п-го порядка с произвольным отклонением аргумента.

3.1.6 Вычислительный эксперимент по исследованию краевой задачи для дифференциального уравнения п-го порядка с произвольным отклонением аргумента с неравенствами.

4 Исследование нелинейных функционально-дифференциальных моделей

4.1 Векторные априорные неравенства. Определения.

4.2 Априорные неравенства, основанные на двусторонних оценках.

4.3 Векторные априорные неравенства и разрешимость краевых задач.

4.4 Вычислительный эксперимент по исследованию нелинейных функционально-дифференциальных моделей с помощью векторных априорных неравенств.

5 Функционально-дифференциальные модели экономической динамики

5.1 Постановки краевых задач.

5.2 Иллюстрирующие примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительный эксперимент в исследовании функционально-дифференциальных моделей: Теория и приложения»

Разнообразные явления окружающего мира являются источниками появления моделей, учитывающих не только настоящее состояние объекта, но и существенно использующих предысторию развития объекта моделирования, кроме того, возникают такие постановки задач, которые требуют построения и анализа моделей, учитывающих состояние объекта в будущие моменты времени. Самые разнообразные модели с отклоняющимся аргументом возникают при решении технических проблем (системы автоматического управления, например), в задачах механики, химии, биологии, медицины, математической экономики, иммунологии и других наук [3, 4, 5, 17, 20, 43].

Естественной формой для описания таких моделей является функционально-дифференциальное уравнение

Мх)(г) = /(¿), г е [о, т], (0.1) с оператором N , действующим из пространства £"[0, Т] абсолютно непрерывных функций х: [0,Т] —> Яп в пространство Щ[0,Т] суммируемых функций г: [0,Т] —^ ЕР". Это уравнение является широким обобщением обыкновенного дифференциального уравнения (Их = ¿х/сИ — ж(£))) и содержит как частные случаи интегро-дифференциальные уравнения т

Их = в,х/вЛ, — ¡К(1,з,х(8))с1з), дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом {Их = ¿х/сИ — ж[/г(£)])) и их "гибриды".

Необходимость учета возможности импульсных воздействий на реальные системы приводит к следующему шагу в обобщении рассматриваемых моделей. Некоторые из таких обобщений также могут быть записаны в виде (0.1), если считать, что оператор N определен на банаховом пространстве = ¿15 .¿т, Т] кусочно абсолютно непрерывных функций с возможными разрывами первого рода в фиксированных точках ¿1, .¿т. При этом мгновенное изменение фазового состояния системы (0.1) в момент Ц интерпретируется как результат внешнего импульсного воздействия. Многие реальные задачи могут быть сформулированы как задачи о траекториях "импульсной" системы (0.1), удовлетворяющих системе дополнительных ограничений в виде равенств с вектор-функционалом д: ИЗ™ —> Ям (Л4 ф п, вообще говоря).

Систему (0.1), (0.2) ((0.1), (0.3)) называют краевой задачей, а (0.2) ((0.3)) - краевыми условиями. Основные результаты общей теории функционально-дифференциальных уравнений, включая фундаментальные теоремы об условиях существования и единственности решения краевой задачи, о представлении решений и их непрерывной зависимости от параметров системы, систематически изложены в монографии [1].

Очевидно, что общая краевая задача представляет собой очень сложный объект для исследования, и при исследовании конкретных классов краевых задач, возникающих в приложениях, теоретические критерии разрешимости оказываются неэффективными, а имеющиеся достаточные условия - слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях. Как и во многих других случаях, надежда на возможность эффективного исследования конкретных краевых задач связана с разработкой специальных методов исследования, основанных на фундаментальных положениях общей теории и использующих богатые возможности современных вычислительных систем. Назовем такие методы конструктивными . При этом необходимо отметить,-что основное назначение этих методов - достоверное установление факта разрешимости краевой задачи, и только после этого (в случае разрешимости) - построение приближенного решения с гарантированной оценкой погрешности. Детальная разработка таких методов исследования краевых задач для широкого класса функционально-дифференциальных уравнений, теоретическое обоснование вычислительного эксперимента, основанного на таких методах и есть основная цель настоящей диссертационной работы. д(х) = а, ае IIм,

0.2) или неравенств д(х) ^ а, ае Ям,

0.3) 10 — ра внутренней суперпозиции (Бих) (¿) = а также

Применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям и стандартным (главным образом, многоточечным) краевым условиям эта тематика активно развивается в течение последних 25 лет, первое систематическое изложение теоретических результатов и практического опыта "компьютерного" исследования краевых задач дано в монографии [106]. Представленные здесь результаты базируются на интервальных вычислениях в конечномерных и функциональных пространствах и специальных методах округления при выполнении вычислительных процедур реальным компьютером.

В диссертации рассматривается существенно более широкий класс краевых задач, "осложненных" такими свойствами как нелокальность оператора наличие разрывных траекторий и "неудобного" оператоо, вд^М' общий вид краевых условий. Кроме того, при построении конструктивных методов исследования используются не интервальные вычисления, для которых при практической реализации характерно быстрое "разбухание" результата, а арифметика рациональных чисел с использованием специальной техники округлений. Усложнение объекта исследования потребовало создания соответствующих конструктивных методов исследования, т.к. методы, разработанные для обыкновенных дифференциальных уравнений, имеют свою специфику и не всегда применимы для исследования моделей, описываемых с помощью функционально-дифференциальных уравнений.

Основная идея конструктивного исследования состоит в следующем: по исходному объекту строится вспомогательный объект с достоверно вычислимыми параметрами, допускающий эффективное компьютерное исследование разрешимости. Если такая вспомогательная задача разрешима, окончательный результат зависит от "близости" исходной и вспомогательной задач. В теоремах, лежащих в основе доказательного вычислительного эксперимента, формулируются эффективно проверяемые (с помощью компьютера) условия, гарантирующие разрешимость исходной задачи. В случае, если эти условия не выполняются, строится новая, более близкая к исходной, задача и повторяется проверка условий. Программная реализация конструктивного метода (разумеется, она не может быть универсальной и должна быть ориентирована на определенный, но достаточно широкий класс краевых задач) позволяет сводить исследование конкретной задачи к вычислительному эксперименту, который, как правило, приходится проводить неоднократно. Для линейных задач надежда на успех исследования основана на так называемых обратных теоремах, утверждающих, что для однозначно разрешимой задачи всегда найдется вспомогательная задача с достоверно вычислимыми параметрами, которая позволяет обнаруживать факт однозначной разрешимости исходной задачи в результате вычислительного эксперимента.

Первая глава работы посвящена некоторым общим вопросам проведения вычислительного эксперимента для исследования функционально-дифференциальных моделей.

Вычислительный эксперимент как инструмент для исследования дифференциальных и интегральных моделей активно развивается в течении последних 25 лет. Можно выделить следующие основные направления исследований в этой области:

- исследование задачи Коши (Initial Value Problem) для обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных;

- исследование краевых задач (Boundary Value Problem) для обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных;

- исследование интегральных уравнений;

- исследование операторных уравнений.

В разделе 1.1 дается краткий перечень результатов исследований по указанным направлениям. Далее разделе 1.2 приводятся необходимые сведения из теории функционально-дифференциального уравнения.

Основное предположение, определяющее границы общности рассмат риваемого в работе класса функционально-дифференциальных уравнений

Fy)(t) = /(*), / € Lp[0,T], ¿£[0,Т], (0.4) с оператором F: D5£[0,T](m) —> Т], состоит в требовании приводимости [1] этого уравнения к виду y(t) = (Ty)(t), ¿G[0,T], (0.5) с вполне непрерывным оператором Т\ DSp[0,T](m) —L^[0,Т]. Отметим, что в линейном случае, т.е. для уравнения

Cy)(t) = /(t), t G [0,Г], (0.6) где £: D5^[0, T](m) —» L^[0, T] - линейный ограниченный оператор, такая приводимость имеет место, если оператор С имеет фредгольмову главную часть [1, 79]. Далее в работе при исследовании линейных задач рассматриваются только операторы С с фредгольмовой главной частью. Приведем примеры систем с такими операторами:

1) Система обыкновенных дифференциальных уравнений

Cy)(t) ЕЕ y(t) + P(t)v(t) = /(*)> *е[0,п (0.7) где Р G LpXn[0,T], / G ZÇ[0,T].

2) Система дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием п nij cyy(t) = + Е E^W^KiWl - /<(*). (0-8) j=1 fc=i

G[0,T],

Cy) = col{(£^)\.,(A/)n}; здесь fi G Ьр[0,Т], h^: [0,T] ß1 - измеримая функция, /г|(£) < iij — 1, • •., щ к = 1,., riij.

3) Система дифференциальных уравнений с произвольным отклонением аргумента п пЧ

Су)г(г) = т + = /<(*), (о.9) е[о,т],

Су) = со1 {{Су)1,., (Су)п]; рф /г е Ь1[0,Т], [О,Т] Л1 - измеримая функция, г,] = 1,. ,п

В разделе 1.3 вводится особый класс функций и операторов: вычислимые функции и операторы. Введение такого класса функций и операторов объясняется необходимостью получения гарантированных, достовер ных результатов в ходе вычислительного эксперимента.

Пусть пространство £>5™ [0, Т](т) задано на разбиении где - рациональные числа, = 1,., т + 1. На этом же разбиении определены множества Вя = # = 1 ,.,т; Вт+1 = [¿т,Т], Д, оо,0), и характеристические функции Хя множеств д = 0,.,т + 1.

Определение 0.1. Будем говорить, что функция у Е 1>5р[0,Т](т) обладает свойством Б (вычислима), если ее компоненты, а также компоненты функций у и Уу принимают рациональные значения при рациональных значениях аргумента.

Пусть у 6 ББр [О, Т] (пг). Тогда свойством В обладает, например, функция вида к — 1,.,Пц

• 1 ' Ну •

О = ¿о < ¿1 < • • • < ¿т < ¿т+1 = Т,

0.10) пг = Е ХМР,,(Г): I € [0,Т],

0.11) 14 — где компоненты функций рч: [0,Т] —q = 1,. ,т, суть полиномы с рациональными коэффициентами.

Определение 0.2. Будем говорить, что функция Н: [0,Т] Я1, пред-ставимая в виде (0.11), вычислима на разбиении (0.10), если для любого 2 = 1,. ,т существует такое целое qj 0 ^ qj ^ j, что 6 Вчр при £ ев,-.

Вычислимой на разбиении (0.10) является, например, функция к: [0, Т] Л1, имеющая представление: ш+1 д=1 где - рациональная константа, д = 1,., т + 1.

Определение 0.3. Будем говорить, что линейный ограниченный оператор С: .О[0,Т](га) —> Ьр[0,Т] обладает свойством В (вычислим), если для всякого у £ справедливо Су £

Оператор С (0.7) вычислим, например, если столбцы матрицы Р и вектор / могут быть представлены в виде (0.11). Операторы С (0.8), (0.9) вычислимы, например, если р^, /¿, ф^ могут быть представлены в виде (0.11) и функции /г*- вычислимы на разбиении (0.10).