Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Россовский, Леонид Ефимович

• Россовский, Леонид Ефимович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Россовский, Леонид Ефимович

Оглавление

Введение

1 Модельная краевая задача

1 1 Класс функциональных операюров 30 1 2 Разрешимос1ь модельной краевой задачи Случаи уравнения

со ежа! нем арг> мешов 37 1 3 Разрешимое! ь модельной краевой задачи Случаи уравнения

со ежа 1 нем и рас1яжеипсм аргументов

1 4 Уравнение с переменными коэффицисшамп

1 5 Приложение к задаче об успокоении сисхсмы управления с

запаздыванием пропорциональным времени

2 Сильно эллип I ические уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции

2 1 Проблема коэрцитивное!и Случай уравнения с посюянпыми

коэффпцпеи 1амп

2 2 Проблема коэрци I пвноо и Сличай \ равнения с переменными коэффициентами 94 2 3 Разрешимое!ь и спемр первой краевой задачи для сильно

эллшп пчсского \ равнения

2 4 Гладкое]ь обобщенных решений

2 5 Приложение к лифференциально-разностым уравнениям

3 Общая краевая задача в прос 1 ране 1 вах Соболева для уравнения высокого порядка со сжатием аргументов неизвестной функции

3 1 Операторы сжатия в пространствах символов

3 2 Псевдодпффереициальные операторы со сжатием аргументов

3 3 Фредгольмова разрсипшосхь общей краевой задачи в шкале

пространеib Соболева

4 Разрешимость функционально-дифференциального уравнения в весовых просгрансi вах

4 1 Весовые npociранетва и преобразование Фурье 175 4 2 Оценка для операюра умножения на однородную функцию

Операторы свертки в весовых npocipaiiciBax

4 3 Операюры сверичи со сжашями ар1уменюв

4 4 Разрешимое!ь функционально-дифференциального уравне-

ния в шкале весовых прооранслз

5 Спектральная усюйчивосгь функционально-дифференциального оператора

5 1 Вариационные свойсхва с0бс1вспны\ значений неотрицатель-

ною самосопряженного операюра

5 2 Гладкос1ь обобщенных решений и обобщенных собсгвенных функции задачи Неймана <|,ля функционально-дифференциально! о уравнения 198 5 3 Поведение собственных значеппй задачи Неймана для функционально- лиффсрснниально1 о \ равнения при малых впм-ренннх ^формациях облас iн 202 5 4 Нскоюрые обобщения

Литература

215

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции»

Введение

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена линейным уравнениям с частными производными четного порядка, содержащим сжатия и растяжения аргументов неизвестной функции под знаком старших производных. В основном изучаются краевые задачи для таких уравнений в ограниченных областях пространства Исключение составляет глава 4. где уравнение рассматривается во всем пространстве.

В теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами пространственных переменных в старших производных в настоящее время существует несколько направлений. Одно из них восходит к известной работе Т. Карлемана [66]. В 1932 году им была рассмотрена задача о нахождении голоморфной в ограниченной области О функции Ф, удовлетворяющей на границе условию

Ф(г) а(г)Ф(д(г)) = ф(г) (гбШ);

связывающему значение функции в точке г 6 сЮ с ее значением в точке д(г) £ <ЭГ2. где д — диффеоморфизм <9П периода 2. При сведении такой задачи на границу возникает сингулярное интегральное уравнение со сдвигом. Его естественным обобщением является уравнение

Е '(•'•)) = ./ (•■'') е м) (0.1)

уес;

на гладком замкнутом многообразии М. в котором суммирование ведется по конечному числу элементов д некоторой группы С диффеоморфизмов многообразия М. а ад(х, И) — заданные дифференциальные или псевдодифференциальные операторы на М. При этом сама группа С может

быть как конечной, так и бесконечной. К изучению уравнений вида (0.1) сводятся нелокальные краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений в областях К", отвечающие диффеоморфизмам границы в краевых условиях [3,6].

Существенные результаты по теории Фредгольма уравнений (0.1) (как для конечных, так и для бесконечных групп диффеоморфизмов) получены в работах А. Б. Антоневича, А. Б. Антоневича и А. В. Лебедева [3-6.59]. Были предложены различные эквивалентные конструкции символа оператора (0.1) (эллиптичность в этой ситуации определялась как обратимость символа и влекла за собой фредгольмовость уравнения в подходящих пространствах Соболева); в случае конечной группы С при помощи вспомогательного эллиптического псевдодифференциального оператора на многообразии была установлена формула индекса. Следует отметить, что результаты. полученные в случае конечной группы диффеоморфизмов, близки к известным результатам для эллиптических дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие (случай бесконечной группы диффеоморфизмов) теория индекса операторов вида (0.1) получила в работах А. Ю. Савина [42], А. Ю. Савина и Б. Ю. Стернина |41] (см. также монографию ]80|).

Кроме упомянутых работ, эллиптические уравнения со сдвигами по пространственным переменным в этом направлении рассматривались также в [28,83] и ряде других работ.

В теории упругости |22,82,89|, теории многомерных диффузионных процессов |50,89|, а также в связи с нелокальными краевыми задачами типа А. В. Бицадзе, А. А. Самарского [8,45,48] возникает необходимость рассматривать эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в другой ситуации, когда присутствующие в старших производных преобразования аргументов могут отображать некоторые точки границы внутрь области. Так. например, упругие модели конструкций, содержащих многослойные оболочки и пластины с гофрированным заполнителем, могут быть сведены к сильно эллиптическим системам дифференциалы-ю-разностных уравнений вида.

-Д7?.пг/,(.г) - /(.г) (.г е О). (0.2)

и{х) = О {хе дП). (0.3)

Здесь

Я/и(х) — и(х.], Х2) + 1\и(х\ + 1.Х-2) -I- 72^(^1 - 1, Хо).

А — оператор Лапласа. О, = (0,2) х (0,1), 71,72 £ К, ./' € ^(П). Понятно, что для корректного определения действия оператора Я необходимо задавать краевые условия не только на границе, но и в некоторой окрестности дП. Поэтому вводится оператор Яп = ЯпЯ/п, где 1ц — оператор продолжения функций нулем в К2 \ П. Рп — оператор сужения функций на О.

о 1

Решения краевой задами (0.2). (0.3) следует искать в пространстве Н (П) (обобщенные решения). Это отвечает ее исходной вариационной формулировке (о связи краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с задачами на минимум функционалов с отклоняющимся аргументом см. также [14]).

Отметим, что при 7172 ф 1 задача (0.2), (0.3) эквивалентна нелокальной краевой задаче для уравнения Пуассона

-Аги(х) = /(х) (хеП),

•</;(./• ,.•()) = ю{х1: 1) = 0 (0 < .г-1 < 2),

'«ДО. .г2) = 71'«Д1, хо), 'ю(2.Х2) = 12'Ш{1./Х2) (0 < х-2 < 1).

Интенсивное изучение нелокальных задач такого сорта, вызванное их приложениями в физике (теория плазмы), началось с известной работы |8].

Впервые влияние сдвигов в старших производных, отображающих точки границы в область, на разрешимость эллиптических краевых задач и гладкость обобщенных решений исследовалось А. Л. Скубачевским [44-49,88). В указанных работах были разработаны основы общей теории краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений: получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гор-динга, исследованы вопросы однозначной и фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева и весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в области даже при бесконечно дифференцируемой правой части и сохраняется лишь в некоторых подобластях. Был обнаружен

эффскi появления степенных особенностей \ производных решений в некоторых точках как на i рашщс 1ак и Biiyipn области Наиболее полно эш резулыа1ы представлены в moiioiрафии |89]

Дальнейшим исследованиям краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений посвящены работы (25-27,52,53 56,57] Характерной черюй рассмафпваемых в пасюящсй щссерихцпп задач тоже являеюя наличие преобразований отображающих i ранпцу внутрь области Вместо сдвигов на постоянные векторы уравнение содержит сжатия и растяжения api умен tob г н> q~lz i i—> c¡% (q > 1) в старших производных Примером можс! сл\жпiь задача вица (0 2) (0 3) в которой операюр R задан формулой

fía(j) = и (i) -I- 7i u(q'1x) 72 u(qx)

a fi - некоторая oí ранпчеппая o6iacib в IR" С\ щсствепные различия с теорией дпфференцпально-разпост ных уравнений проявляются в случае когда в область Q где рассматривается уравнение попадает начало координат являющееся ючкой ci ущения орбит {q~' 7 Л = 0,1, } т е Q С этим связаны принципиальные 1р\дносги в исследовании )равнений со сжатиями и растяжениями Так сведение к эллипшческим системам дифференциальных \ равнений использовавшееся в теории дифференцпаль-но-разностных уравнений имеет здесь весьма ограниченное приложение 1еперь значения коюрые решение принимает в окрссшости ö(то) произвольной точки 0 ^ го G связаны уравнением с его значениями в счетном семсйс1ве окресшостсй q~kö(i 0) стя! ивающихся к началу координат Кроме тот о известный метод локализации [1 70 89] применяющийся обычно в теории краевых задач для исследования i ладкостп решений до казательсгва априорных оценок замораживания коэффициентов и т д в рассматриваемой ешхацип не работает Основ) этого метода составляет разбиение единицы {^Д')} подчиненное подходящему покрытию Г2 открытыми множествами (например такими в которых коэффициенты мало меняются) при этом в теории функцпопально-дпфференциальных уравнений па разбиение единицы накладывается дополнительное алгебраическое

условие: умножение на функции <Ру(х) должно коммутировать или „почти" коммутировать с действием функциональных операторов того или иного класса. Но из результатов работы |43] вытекает несуществование разбиения единицы такого, что <ру{дх) = если область содержит начало координат.

С другой стороны, уравнения со сжатиями и растяжениями обладают рядом новых свойств. Так. ядро краевой задачи для эллиптического уравнения со сжатием аргументов может быть бесконечномерным и содержать лишь негладкие функции. Гладкость решения краевой задачи во многих случаях равносильна его единственности. Имеет место и следующий интересный эффект: свойства краевой задачи в основном определяются знамениями. которые коэффициенты при нелокальных членах (т.е. членах, содержащих преобразованные аргументы) принимают лишь в начале координат.

Исследование сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений (в диссертации им посвящена глава 2) имеет непосредственное отношение к известной проблеме Т. Като |75] о совпадении областей определения квадратных корней из тп-аккретивного оператора и сопряженного к нему. Для абстрактных операторов этот вопрос изучался в [78,79]. Дальнейшему исследованию проблемы Като в приложении к дифференциальным и функционально-дифференциальным операторам посвящены работы [58, 60, 61, 87|. Полученные в диссертации результаты позволяют выделить новый класс операторов, для которых гипотеза Като имеет положительное решение. Проблема Като тесно связана с описанием пространства начальных данных для соответствующих параболических уравнений [58,87].

Подчеркнем, что по обыкновенным уравнениям со сжатием (растяжением) аргумента имеется довольно обширная библиография. Первые работы появились в литературе в 1940-х годах, еще до систематического изучения уравнений с отклоняющимся аргументом, начало которому было положено А. Д. Мышкисом [21].

Хорошо известное классическое уравнение пантографа выглядит следу-

ющим образом

у'{1) = ауЦ) -I- Ьу(д1) (/ > 0) (0 4)

где а 6 е М (или С) 1 ^ д > 0 Э101 термин появился после статьи [81], в ко юрой рассматрива 1ась маюмашческая модель динамики контактного провода электроснабжения подвижного состава (пашографом называют токоприемник на крыше трамвая или поезда) Однако, уравнение вида (0 4) можно пай 1П еще в работе В А Амбарцумяна [2| 1944-го года, где описывалось по1 лощение света межзвездной материей Через некоторое время уравнение панто1рафа возникло п в др\ч их приложениях например, в биолопш при моделировании процесса роста клеюк [72] При оюм если в первом сл\ час (юхппка) значимыми с физической ючкп зрения были значения д < 1 ю во втором и 1ре1ьем случаях (астрофизика биология) уравнения выводились для д > 1

Первой рабоюй в ко юрой уравнение паню1 рафа подвер1 лось ссрьезно-м\ ма юмаI пческомх псслсцовапшо была ста 1ья 1 Каю к Дж В Макле-ода [76] посвященная в основной своей части асимптотическому анализу решений при / —> -|-оо Позже, в [73 74] и ряде других работ изучалось обобщенное уравненуе пантографа

</(0 = "</(0 + Ш) I- и/{ф) (¿>0) «/(0) = «/о (0 5)

Были найдены различные формы представления решения исследовались аспмпютпчсскос поведение п \словпя существования почт периодических решений Методы в зпачп тельной сюпенп опирались на использование рядов Дирихле Показано что разрешимость задачи (0 5) зависит от коэффициента с и класса гладкости решений Так при с ф 1 д~1 д~2, су-тцествует и единственно решение из С°°[0 -|-оо) но мог\п существовать (в зависимости от г) и др\ I ие СЯ-решення не принадлежащие С00[0 +оо) (похожий эффект завпспмосш колпчес1ва решений от выбора пространства решений \С1ановлен п для рассматриваемых в диссертации краевых задач см главу 1) На аспмптошк) же решений в основном влияют параметры а Ь £ С Например если п ^ 0 п Иса ^ 0 то асимптотическое поведение решения определяется характеристическим уравнением а Ьдх = О

CioiiJL oiMCiMib чго теория уравнения (0 5) в корне отличается от хорошо нзвес i ной leopmi [7] для дпфферспциально-разносшого уравнения

y'(t) = ay(t) I- by(t - т) -I- cy'(t -т) (t > 0) (0 6)

y{t) = yo(t) (-r<t^0)

В io время как для (0 6) характерно нарушение гладкое:и решений в точках т, 2т, решение (0 5) в случае единственности обязаюльно бесконечно 1ладкое Условие усюйчивосш л,ля уравнения (0 6) сосюящее в oicyi-ствии в правой полуплоскости корней характерно! пческ01 о квазиполинома г — а — е~~г(Ь + cz) существенно опшчастся oí cooi вехС1вующего условия для ) равнения (0 5) Уравнение (0 6) порождает оюбраженпе в пространстве функций на oí резке [—т 0] в ю время как (0 5) с ючки зрения динамических систем ведет себя значшельно сложней

В 1лавс 1 1,иссср1ацпп в качестве при юженпя рассмофспа задача об оптимальном чепокоепип системы управления для уравнения (0 5) Первые резулыа!ы по обобщенным решениям краевой задачи для уравнения со сжатием аргумеша в одномерном случае

ay(t/2))" = f(t) (0 < í < 1) 1/(0) = 1/(1) = О

были получены в |18j Новизна резуль гаiов

В дпссср!ацип впервые проводихся подробное исследование краевых задач для 3ji лип i пчеекпх ф> нкцпональпо-дифференциальных уравнений с рас-1яжеппямп и сжашями api умспюв неизвестной функции под знаком старших производных Рассма!риваю1ся вопросы однозначной и фредгольмо-вой разрешимости в различных функциональных пространствах падкости обобщенных решений спектральные свойства и др Значительное внимание хцслястся аспектам связанным с построением символа и определением опипп i ичиост п и сильной эллппшчности ф\ икцпоналыю-дпфферен-циального \ равнения

Построенная в диссертации теория линейных краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями и растяжениями аргументов существовала в аналогичной общности лишь для дифференциально-разностных уравнений. При этом вопрос о спектральной устойчивости для функционально-дифференциальных операторов прежде вообще не рассматривался. Ранее известные результаты для уравнений со сжатиями и растяжениями аргумента относятся к одномерному случаю и связаны с разрешимостью начальных задач, асимптотическим поведением решений па бесконечности и т.д. в основном для уравнений первого порядка.

Сформулируем основные результаты работы:

• для простейшего функционально-дифференциального уравнения второго порядка с растяжениями и сжатиями аргументов в старших производных найдены необходимые и достаточные условия однозначной и фредгольмовой разрешимости краевой задачи с условиями Дирихле, а также исследована гладкость обобщенных решений: показано, что такая задача может иметь бесконечномерные ядро или коядро, а гладкость обобщенного решения может нарушаться всюду в области:

• получен ряд необходимых условий и достаточных условий выполнения неравенства, типа Гордынга для функционально-дифференциального оператора 2'т-го порядка с растяжениями и сжатиями аргументов в старших производных; в случае постоянных коэффициентов найденные условия являются одновременно необходимыми и достаточными;

• доказана фредгольмова разрешимость общей краевой задачи в пространствах Соболева для эллиптического уравнения 2??г-го порядка со сжатиями аргументов в старших производных и переменными коэффициентами;

• для уравнения 2?//,-го порядка без младших членов и с постоянными коэффициентами получены достаточные условия однозначной разрешимости в К" в весовых пространствах В. А. Кондратьева; показано,

что если часть оператора, отвечающая слагаемым без преобразований аргументов, эллиптична, то подбором показателей дифференцируемо-сти и веса всегда можно добиться однозначной разрешимости в соответствующей паре весовых пространств;

• исследован вопрос спектральной устойчивости задачи Неймана для эллиптического уравнения с растяжениями и сжатиями аргументов в случае симметрического оператора: получены оценки изменения собственных значений при малых внутренних деформациях области.

Все полученные в работе результаты являются конструктивными, условия теорем выражаются непосредственно через коэффициенты уравнений и легко проверяются для конкретных примеров.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разделены на пункты, имеющие двойную нумерацию: первое число означает номер главы, второе — номер пункта внутри главы. Нумерация формул (теорем, лемм и т.д.) в главах также двойная: номер главы и номер формулы (теоремы, леммы и т.д.) внутри главы.

Глава 1 посвящена краевой задаче

— АИ.и(х) = /(л;) (хеП), (0.7)

и\т = 0 (0.8)

для функционально-дифференциального уравнения с оператором Я вида

Яи(х) = ^аки{д-кх), (0.9)

к

где су > 1, € С — заданные числа, а суммирование ведется по конечному множеству целых индексов, причем среди них могут быть как неотрицательные, так и отрицательные. Таким образом, уравнение (0.7) может содержать как сжатия, так и растяжения аргументов искомой функции.

Уравнение (0 7) является наиболее простым по структуре в классе рассматриваемых в диссертации уравнении оно содержит лишь один функциональный операюр под знаком старших производных и имеет непосредственный анало1 в одномерном случае

Через обозначается произвольная ограниченная область в К" удовлетворяющая условию О. С Счшаем / £ /^(П)

Обобщенным решением краевой задачи (0 7) (0 8) называется всякая функция и из пространства Соболева /-/'(П) \довлстворяющая (после продолжения нулем в М" \ 11) интегральному тождеству

I УЯи{7)Щ[Т)г11 = I /(/)^(7)г/г

п а

о

при любой функции <р £ Н (О.)

Полученные в 1лаве 1 результаты касаются вопросов существования и единственности обобщенного решения задачи (0 7) (0 8) гладкости обобщенных решений и их повсл,сппя при д —> 1 0 Кроме того рассмотрено обобщение па случай переменных коэффициентов в операторе Я а также приложение к теории \ правления (п — 1)

Пункт 1 1 содержит вспомотательпые результаты связанные с действием функциональных операторов вида (0 9) в пространствах Соболева Нъ(0,) п Я"(П) 5 = 0,1

В пункте 1 2 краевая задача (0 7) (0 8) рассматривается в предположении что в уравнении (0 7) прис\ 1ствую1 лишь сжатия аргументов (все коэффициенты сц 01всчающпс отрицательным значениям индекса к в сумме (0 9) равны пулю) Показано (теоремы 11 12) что в этом случае задача разрешима для любой правой части / £ ^г(^) при любых значениях коэффициенте а/, одновременно не равных нулю причем в зависимости от соотношения межлл коэффпцпен 1амп реализуется оп,па из следующих двух ситуаций

• для любой функции / £ Ь2{0) обобщенное решение и £ Н1(0.) единственно принадлежи 1 УУ2(0) и непрерывно по норме 112(р.) зависит от /

• при / = 0 соответствующая однородная задача имеет бесконечно много линейно независимых решений, не принадлежащих Щос(£1).

Таким образом, гладкость обобщенного решения краевой задачи для уравнения со сжатиями аргументов равносильна его единственности.

Упомянутое соотношение на коэффициенты уравнения формулируется в терминах корней „характеристического" полинома г (А) — а ¡Л1' на комплексной плоскости: первая ситуация имеет место, если г(А) ^ 0 при |А| < дгп/2-1; вторая ситуация имеет место, если внутрь круга |А| < дп/2-1 попадает хотя бы один корень г (А).

Важно отметить следующий эффект (теоремы 1.2, 1.3): одновременно с наличием бесконечного множества негладких обобщенных решений, краевая задача (0.7), (0.8) может иметь единственное решение из Т/2(0), непрерывно зависящее от правой части.

В пункте 1.3 рассматривается ситуация, когда уравнение (0.7) содержит растяжения аргументов (в сумме (0.9) могут быть слагаемые с неотрицательными индексами, но при этом обязательно присутствуют слагаемые с отрицательными индексами). В этом случае возможны три следующих варианта поведения краевой задачи (0.7), (0.8) (теорема 1.4):

• для любой функции / £ 1/9(П) задача имеет единственное обобщенное решение и £ Л1 (О), и это решение непрерывно по норме Н1(С1) зависит от /:

• задача разрешима для любой функции / £ ¿2(0). но при / = 0 однородная задача имеет бесконечно много линейно независимых решений:

• задача разрешима в том и только том случае, когда функция / ортогональна некоторому бесконечномерному подпространству в 1/2(0), при этом однородная задача имеет единственное тривиальное решение.

Выбор варианта по-прежнему определяется расположением корней выражения г(А) = ) о.^Х1' относительно окружности |А| = ца!-~х на комплексной плоскости.

В отличие 01 пункта 1 2, гладкость обобщенного решения краевой задачи для уравнения с растяжениями аргументов может нарушаться даже в случае однозначной разрешимости задачи Получены некоторые достаточные условия (теорема 1 5). при которых обобщенное решение принадлежит Н2((}) Эти условия включают условия на корпи / (А), а также условия /^(^-ортогональности. которым должна удовлетворять правая часть /

При выполнении условий на / (А), равносильных однозначной разрешимости краевой задачи (0 7), (0 8) для всех значении параметра д > 1. близких к 1 показана сходпмосхь в Я1 (О) при д —> 1-|-0 семейства обобщенных решений краевых задач (0 7) (0 8) к решению предельной задачи Дирихле для уравнения Пуассона — Д'</ = //? (1) которое формально получается из уравнения (0 7). если положить д = 1

В пункте 1 4 рассматривается краевая задача для более общего уравнения

п

-^Д/Ъ^^Яг) (хеП). (0 10)

4 = 1

в предположении что пч — г/7, £ К. а функциональный оператор /? имеет вид

1

/,=о

где 6а (г) — комплекспозначпые функции из С!(П) и I > 0 На уравнение (О 10) накладывается условие

и

Ьо(г) (.геП.О^е БГ),

* /=1

выражающее эллиптичность его .локальной" части в П

Оказывается (теорема 1 7) для фредгольмовой разрешимости краевой задачи (0 10), (0 8) достаточно дополнительно потребовать необращение в ноль выражения ? (г А) = Хл=о ^ (г)^к в кРУрс |А| ^ д7'/2 и лишь при г = 0

7(0А)^0 (|А|^г/'/2)

Таким образом значения коэффициентов Ь\(х)1 ,6/(.г) вне начала координат пс влияют па фредгольмову разрешимость Кроме того, показано.,

чю всякое обобщенное решение краевой задачи (0 10), (0 8) в случае выполнения перечисленных хсловип принадлежит Н2{Г1)

Рассматриваемая в пункте 1 5 задача об оптимальном успокоении системы управления для обобщенного уравнения пантографа приводит к задаче минимизации ф> нкцпонала чт

Ау)= I (¿/'(О + ^'^О + МО + су(<гН))2 <П —>тт о

(а Ь с £ М Т > 0)

на множестве (вещественных) функций ¿/(¿) удовлетворяющих заданному начальному условию ¿/(0) = г/о £ М а также условию г/(£) = 0 (£ ^ Т) В предположении |а| ^ с/-1/2 означающем коэрцитпвпость функционала устанавливаются существование Т1 единственность решения данной вариационной задачи Исследование вариационной задачи в значительной степени основано на се сведении к краевой задаче для функционально-дифференциального уравпештя с рас1яжеппем и ежа I нем ар1 умета — одномерною аналога уравнения, изученного в предыдущих пунктах главы При Ь = с = 0 получела явная формула для оптимальной траектории //(/) Результаты I лавы опубликованы в [29 32 33]

Глава 2 посвящена задаче Дирихле

Ая„(1)= ]Г Я°/?0/3Л( т) = /(0 (1бП) (0 11)

Н

О£и\оп = 0 (// = 0 ш-1) (0 12)

для сильно эллиптическою \равнения (0 11) в котором операторы определены форм\лой

/

Здесь по-прежнсм\ д > 1 О С К" — 01раниченная область индекс 7 в (0 13) пробегает конечное подмножество целых чисел аар3 6 Ссс(^) / (Е 1/2(П) — заданные комплекснозпачные фхнкцпи Перед действием операторов Яар функции продолжаются нулем в М" \ П

Уравнение (0.11) называется сильно эллиптическим в Q. если существуют постоянные с\ > 0. с2 ^ 0 такие, что неравенство

Re {ARu, u)l2(ü) > с i ||'а||я,,1(п) - с2\\и\\12{п) (0.14)

выполняется для всех функций и <Е С'о°(П).

В пунктах 2.1. 2.2 решается проблема коэрцитивное™, состоящая в нахождении алгебраических условий, обеспечивающих сильную эллиптичность уравнения (0.11). В пункте 2.1 это делается в случае постоянных коэффициентов ап.д, в операторах Rap, а в пункте 2.2 — для переменных коэффициентов.

Символом уравнения (0.11) с постоянными коэффициентами назовем выражение

ая(А,0= Е (А е CU GR").

\а\Щ =т j

Показано (теорема 2.1), что условие

Rea/?(A,e)>0 (|А| = г/"'/2, |£| - 1) (0.15)

является достаточным для сильной эллиптичности уравнения (0.11) с постоянными коэффициентами в случае произвольной ограниченной области П. Если же дополнительно потребовать 0 £ Í2, то условие (0.15) будет и необходимым (теорема 2.2).

Для доказательства используются комбинация преобразований Фурье и Гельфанда, а также техника, развитая для дифференциально-разностных уравнений (сведение к сильно эллиптическим системам дифференциальных уравнений).

Методы и результаты пункта 2.1 на случай переменных коэффициентов непосредственно не переносятся. Необходимым условием сильной эллиптичности уравнения (0.11) с переменными коэффициентами, полученным в пункте 2.2 (теорема 2.3) в предположении П С qfl, является положительная определенность функционального оператора

Е С+ЧЯоп + Кв) ЫП) —> l2(Q)

\ат=ш

с параметром £ при 0^(6 1". В частности,

а(х, 0 = £ Яе апф;)С+'В > 0 (.г 6 П, £ е 5" ') .

Для получения достаточных условий сильной эллиптичности в пункте 2.2 накладывается ограничение на количество слагаемых в операторах Яар в старшей части уравнения (0.11):

ЯаР'и{х) = ааВо(х)у(х) -I- ааР1(х)у(д~]х) + аа0-Х(х)у(дх) (|а<| = Щ = т).

Кроме того, усиливается предположение относительно области О: считаем, что О, С для всех к, > 1. В рассматриваемой ситуации символом уравнения (0.11) назовем выражение

~ ТЖШР^У'

где

Ь(х, 0 - £ ЫЛ*) + •('/ ''•))

\а\М='пг

Из необходимого условия сильной эллиптичности, полученного в теореме 2.3, вытекает, что с/г\р(х.. £)|2 < 1 при :<; 6 П и д"|р(0, £)|2 < !/ 1 (|£| = '}•

Выполнение любого из следующих двух различных условий (теоремы 2.5, 2.6) является достаточным для сильной эллиптичности уравнения (0.11) (с учетом наложенных выше на Яар и П ограничений):

• < 1/2 при .г О. П и у"|р(х;0|2 < 1/4 при ,: <Е Ч (|£| - 1);

• существует гладкая в П х {|£| = 1} функция со значениями в интервале (0,1) такая, что с/п \р(х, £)|2 < 5(д~1х. £) (1 — 5(х.^)) при

:/: 6 П, = 1.

Для получения этих достаточных условий строится специальное разложение функционально-дифференциального оператора с применением теории псевдодифференциальных операторов.

Стоит отметить, что все приведенные в пункте 2.2 необходимые условия и достаточные условия сильной эллиптичности уравнения (0.11) превращаются в критерий (0.15) (или, что то же самое, условие </'|р(0,£)|2 < 1/4),

как только коэффициенты становятся постоянными В ю же время приведены примеры сильно эллиптических \равнении (0 11) с переменными коэффициентами у которых величина д"\р(х £)|2 сколь у!одно близка к 1 в точках I расположенных сколь угодно близко к началу координат

Пункт 2 3 посвящен разрешимости и спекфальпым свойствам краевой залачи (0 11) (0 12) в сл\чае ко г ла \ равнение (0 11) сильно эллиптическое в П

Под обобщенным решением задачи (0 11) (0 12) понимается всякая функ-

о

цпя и £ Н'п(0.) удовлетворяющая интегральному тождеству

X] (ВарО^О ППи)ЫП] = (1 и)Ь2(П] И IЖ"'

при любой функции V £ Вводится неограниченный оператор

Ля Т>{АЯ) С Ь2{П) -> Ь2{П)

область определения Т>(Ая) которою состоит из всевозможных обобщенных решении задачи (0 11) (0 12) когда / пробегает все пространство .£/2(£2) Если и — обобщенное решение отвечающее правой части ] го по-ла1аем Аяч — /

Стандартными методами функциональною анализа выводятся фред-гольмовость оператора Ая дискретность и секториальная структура его спектра (теорема 2 7) Доказывается (следствие 2 3) чю оператор Ац отвечающий сильно эллпп I пчсском) уравнению (0 11) является т-сектори-альным ассоциированным с полуторалпнейной формой

ая[и,и}= £ (ЯпвОвг, Оаи)ьло) (ииеН'"(П))

|а|

В заключение пункта 2 3 исследуется вопрос о поведении обобщенных решений залачи (0 11) (0 12) при д —> I 0 При некоторых дополнительных условиях обеспечивающих однозначную разрешимость задачи для всех значений параметра д > 1 близких к 1 доказана сходимость в Н"1{р.) семейства обобщенных решений к решению задачи Дирихле для предельного сильно эллиптического дифференциальною уравнения (лемма 2 11 юорема 2 10)

В пункте 2.4 исследуется гладкость обобщенных решений задачи (0.11). (0.12). Результаты здесь удается получить для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения второго порядка вида

77,

- £ 0o(Ru.4).l:: -, /(;,;) (.Г С. 0): (0.16)

i, J = 1

П С gO, а.у = ctji Е М, //г(.г) = ^bkv(q~kx), bk (- С.

к

Доказана (теорема 2.12) гладкость обобщенных решений и Е Я1 (О) в подобластях

= (у> = 1,2,...).

w|n £ H2(Qv). Показано (теорема 2.11), что гладкость обобщенного решения сохраняется во всей области Q лишь тогда, когда сильно эллиптическое уравнение (0.16) не содержит растяжений аргументов. Обнаружен эффект появления особенностей в начале координат у вторых производных решения: приведен пример сильно эллиптического уравнения (0.16) с растяжением аргументов, для которого обобщенное решение и принадлежит H2(Q \ В£) для любой c-окрестности ВЕ начала координат, но не принадлежит П2(П).

Методы, развитые в пункта,х 2.1-2.3 главы, применяются в пункте 2.5 дл я и с ел е д о в ан и я д и ф ф ере н ц и ал ь н о- р аз н ост н о го у р а в н е н и я

Е DaRapD®iL = f(x) (хеП); (0.17)

J

Rufi'u(x) = Е aa!ijv(x\ -I- js, x2,.... xn) (e > 0, aafij E C),

i=-J

в цилиндрической области i) = (0,1) x G {G — ограниченная область в IR"-1). Понятия сильной эллиптичности и обобщенного решения задачи Дирихле (0.17), (0.12) формулируются аналогично уравнению (0.16).

Сильно эллиптические дифференциально-разностные уравнения (причем гораздо более общего вида, нежели (0.17)) к настоящему времени достаточно хорошо изучены |89|. Новым же здесь является то, что уравнение

(0 17) рассматриваемом для всех (в юы числс сколь угодно малых) значений параметра сдвига г Находятся условия на коэффициенты аад,, обеспечивающие енльнмо эллиптичность \равнения (0 17) для всех е > 0 (теорема 2 13) Эти условия (одновременно необходимые и достаточные) формулируются в виде положительности действительной части скалярного символа диффсрснцпально-разностпого оператора, который отличается от обычного и имеет вид

«я('/ 0 = Е Е ехР (чч)е+в ('/ем се к»),

M \в\=п,

тде ъ — мнимая единица Переменная £ G R" опзечающая дифференцированию и переменная // <Ь M отвечающая сдвигу изменяются независимо (обычным же символом будет r//?(e£i £))

Исслс'дуется поведение обобщенных решений задачи (0 17) (0 12) при е —> 0 При дополнительном\с lobiiii обеспечивающем однозначную разрешимость краевой задачи для всех достаточно малых значений параметрам, доказана сходимость в H"'(Q) семейства обобщенных решений к решению задачи Дирихле для предельного сильно эллиптического дифференциального уравнения (слсчсизпс 2 4)

Результаты ыавы опубликованы в [30-32 34 3G 38 39 84[

В i лаве 3 рассматривается общая краевая задача /

^ Е Е a,n(i)Da(u(q-h)) = f(i) (, G П) (0 18)

7=0 \а\^2т

Tj(i D)u(x) = д3{г) (j = 1 m х е дП) (0 19)

Считаем что Q С К" — ограниченная область с гладкой границей удовлетворяющая условию fi С qQ коэффициенты \ равнения — ыадкие в Q функции Tj(i D) — дифференциальные операторы порядка nij с гладкими на сЮ коэффициеп 1ами

Задаче (0 18) (0 19) опзечает ограниченный оператор в соболевских пространствах

L=[ATl Тт] Нъ+2т{П)->

НА(Г2; ОП) = х Д Н"+ъ"-т'~1/2(0П), з ^ 0, б' + 2т - тахт;- ^ 1.

.7 = 1

Символом оператора А будем называть выражение

I.

а,(х.Л) ^ (.7- е £ е К"', л е С).

7=0 \а\=Ъп

Целью главы 3 является доказательство фредгольмовости оператора Ь Это делается в предположении эллиптичности соответствующей „локальной" задачи Ь0 = :/10. 'I)..... Тш\. /10 = ао«(х)Е>а (в ней собраны члены, не содержащие преобразований аргументов). Опираясь на существование регуляризатора Ро : НА'(П;сЮ) —> //6+2'"'(П) „локальной" задачи и при условии

г/,(0. А) ф 0 (|А| ^ г/"/2-2'", 0 ф £ е 1Г) (0.20)

на символ оператора А, мы строим регуляризатор Р исходной задачи в форме Р = РоВ, где

В =

В о 0 Е

: ГР(0; дП) -} Н'ь(0; дП),

Ву(х) = г(х) + ^ Вк{х, й) ((фу)(сГкх)) , (0.21)

А,=0

Вк(х, О) — некоторые псевдодифференциальные операторы нулевого порядка, ф 6 Со°(П) — подходящая срезающая функция, Е — единичная т х т-матрица-

Основной результат (теорема 3.6) содержится в пункте 3.3. В пунктах 3.1 и 3.2 получены вспомогательные результаты, связанные с построением операторов В^(х.О) и обоснованием сходимости ряда (0.21) по норме операторов, действующих в НА(Г1).

Достаточное условие (0.20) свидетельствует о том, что на фредгольмо-вость оператора Ь (в предположении эллиптичности его „локальной" части Ьо) влияют значения коэффициентов а)П.(х) (.7 = 1,...,/) при членах с преобразованными аргументами лишь в начале координат.

Результаты главы опубликованы в (33|.

В главе 4 устанавливается разрешимость уравнения I

]Г акпВп {и(сГкх)) = /(.г) (х е ЯГ) (0.22)

А-0 |а|=2'т

(с однородной старшей частью и постоянными коэффициентами) в шкале весовых пространств В. А. Кондратьева Нр(Шп) {в.р £ М). Пространство Нр(Шп) при целом неотрицательном 5 вводится как пополнение множества Со°(М"\{0}) финитных бесконечно дифференцируемых в М'"\{0} функций но норме

1Мк(««)= (е /|*.

/

При помощи преобразования Меллина данную норму можно распространить на случай произвольного вещественного з. Предполагается, что

Р - л ф н/2 -I- р. р~ я- 2т ф — п / 2 - р (р = 0,1,...).

Эти ограничения связаны с используемой в данной главе техникой работы с весовыми пространствами (требование изоморфности преобразования Фурье Г : -> И Р : Щ+2ш(Ш") -> ^+2ш(М")). При этом уравнению (0.22) отвечает ограниченный оператор А : Я^+2"'(М") —> Н^(Шп).

Основной результат главы (теорема 4.1) приведен в пункте 4.4. Показано, что условие /

Е Е * 0 (° е е К", |А| < (0.23)

к=0 \а\=2т

гарантирует' существование и единственность решения и £ Н^+Ъп(К") уравнения (0.22) при любой правой части / €

Метод получения основного результата близок к рассуждениям предыдущей главы: условие (0.23). означающее в том числе эллиптичность „локальной" части А0{П) = ~)2\а\=2т аооператора Л (достаточно положить

Л = 0) и, соответственно, существование ограниченного обратного оператора Aq 1 : Нр(Ш") —> Я|+2"'(М"). дает возможность построить ограниченный обратный оператор Л"1 : Н%(Шп) -> //£+2w(Mn) в форме Л"1 = А01Ъ, где $v(x) = Y^kLo ^k(D) ('i j(cfkx)), a yiJib(D) есть операторы свертки с некоторыми однородными функциями. Предварительным построениям посвящены пункты 4.1-4.3.

Преимущество использования весовых пространств состоит в том, что в условие (0.23) включены параметры s и ¡3. Уменьшая /3 и (или) увеличивая б-, мы ослабляем условие на символ оператора: уменьшается круг, где символ не должен обращаться в ноль. За счет выбора [3 и ,s этот круг может быть сделан сколь угодно малым. В то же время, не обращаясь в ноль при Л = 0, символ будет отличным от нуля и в некотором круге, так что эллиптичность „локальной" части уравнения (0.22) гарантирует однозначную разрешимость уравнения при всех функциях / € Нр(Ш11).

Результаты главы опубликованы в [9.35,85].

В главе 5 рассматривается задача Неймана

-div(y?,uV7/,(.r)) = f(x) (х е О), (0.24)

R,nVu(x) ■ и(х) = 0 (г/;еШ): (0.25)

где О С К" — ограниченна,я область, //(.?;) — единичный вектор внешней нормали к <90 в точке х Е <90. Оператор Я определен формулой

Rv{x) = av(x) + bv(q~lx) + q"bv(qx):

а его коэффициенты удовлетворяют условию а > 2q"/~\b\. означающему положительную определенность Я в Ь2(Ш"). Употреблением индекса О у Я. мы подчеркиваем, что производные иХ/ продолжены нулем в ]R"'\0 перед применением оператора Я.

Относительно области делаются следующие предположения:

О С <г/0, (0.26)

И '(О) колтакпто влоэюено в Lo{ О). (0-27)

Свойство (0 27) связано с регулярностью дО, и выполнено например для всякой ограниченной области удовлетворяющей хорошо известному условию конуса

При заданной функции / £ /^(О) интегральное тождество

ада[» о] = У ЯпУи = (/ ь)ьт (У £ Н\П)) (0 28)

п

определяет обобщенное решение и £ Я1 (О) задачи (0 24) (0 25)

В рассматриваемой ситуации задача (0 24) (0 25) порождает неотрицательный самосопряженный оператор с компактной резольвентой в пространстве /^(О) Она имеет дискретный спектр Собственные значения Х,„ 0 = Л] < Л2 ^ —> +оо п (обобщенные) собственные функции (рп1 £ Н1(П) (<^1 = |П|-1/2) образующие ортонормпровапный базис 1/2(0) удовлетворяют гождес тву

у] = Ап1(<рт у) {и £ Я:(0))

В пункте 5 2 при лоно пштельном более сильном \словии на коэффициенты

а> д"/2{д + д ^б) (0 29)

доказывается чю всякое обобщенное решение задачи (0 24) (0 25) принадлежит Н[О((0.) Соответственно все собственные функции задачи (0 24), (0 25) также принадлежат и удовлетворяют неравенству

Ц'ЛнЦя2^-1^) ^ С(\,п + 1) с постоянной С > 0 зависящей лишь от области Условие (0 29) всюду лдлее в 1лавс 5 счптаетоя выполненным

Основные рсз\льта1ы 1 лавы 5 содержатся в пункте 5 3 Здесь изучается вопрос о поведении собс!вспных значений Аш при малых внутренних воз-ммдепиях области Наряд\ с задачей (0 24) (0 25) в области П при неизменных парамсфах оператора Я рассматрпваетоя анало1 пчная задача в возмущенной области с О. \довлегворяющсй условиям аналогичным (0 26) и (0 27) Форма а/?пф/ у\ 11 обобщенные решения возмущенной задачи ввО'1,я 1 ся анало1 пчно (0 28) с заменой И па О' Собовенные значения возмущенной задачи обозначаются А'() В качестве характеристики близости О, и О' используется мера \

На исходную область Г2 накладывается дополнительное условие Н1^) непрерывно влоэюено в Ьр(0.) для некоторого р > 2 (0.30)

(оно также выполняется, если область удовлетворяет условию конуса).

Доказано (теорема 5.2) существование постоянных 5т > 0 и Сш > 0, зависящих лишь от О, и параметров оператора Я, таких, что неравенство

выполнено для соответствующих собственных значений А.ш, и Х'п1. как только |П \ < 6т.

В основе рассуждений лежит известная вариационная формула для собственных значений неотрицательного самосопряженного оператора с компактной резольвентой. Её использование строится на оценке выражения ая.П'['а''а1/11'"'11/2(П') на конечномерном линейном подпространстве в Н1(0.). натянутом на первые т собственных функций (р.; формы а ял в О. В случае О' С П это возможно сделать, просто взяв сужения на ГУ функций из Я1 (О). Полученный результат существенно использует внутреннюю гладкость собственных функций.

Для получения противоположного неравенства приходится накладывать дополнительные ограничения как на исходную область, так и на класс возмущений. В случае, когда исходная область — звездная относительно шара, содержащего начала координат, доказано (следствие 5.2) существование постоянных 0 < £'ш < 1 и С'П1 > 0 таких, что для любой области ГУ, звездной относительно шара, содержащего начало координат, диаметра не меньше О > 0, и удовлетворяющей условию (1 — С ГУ С ГУ 0 < г ^ £ш, выи о л н я ется н ер аве н ст во

> \ _ С Г1-2/р

При этом величины С'т > 0, 0 < еш < 1 не зависят от ГУ. а определяются лишь (сколь угодно малым, но фиксированным) параметром Б > 0, исходной областью и параметрами оператора Я. Заметим, что условие (0.30) (как для ГУ так и для ГУ) гарантируется условием звездности.

В пункте 5.4 вопрос спектральной устойчивости при малых внутренних возмущениях области рассматривается для более общего функционально-дифференциального оператора. Задаче Неймана отвечает непрерывная на Н1^) полуторалинейная форма

аЯп[у,у) = I (Я""7^ К^' е ^(П)), (0-31)

Ь

Я1,у(х) =

к

(суммы конечны). Форма а^^[а, у] предполагается эрмитовой: Я3, — Я* или, что то же самое,

31{и) = г,3(и) (|си| = дп/2), где гч = .

к

Выполнение же условия

п

Е 7 ч(со)г1г'Ъ >0 (о Ф 7, £ С". \и>\ = д7,/2)

г ; = 1

гарантирует коэрцитивность формы а/?п (следствие 5.3).

ау^иК'а] ^7|||УП|||12(п) (ией'й)- (0-32)

(Из результатов пункта 2.1 главы 2 видно, что выполнение оценки (0.32) на более узком классе и £ Сд°(Г^) эквивалентно более слабому условию

и

Е > 0 (о -/" £ е 1Г: И = с/'/2) , ' /=1

т.е. вещественная часть эрмитовой матрицы должна быть положительно определена.)

В этом случае при тех же предположениях относительно области вновь можно говорить о собственных значениях А,„ задачи Неймана и использовать для них вариационный принцип Однако, внутреннюю гладкость обобщенных собственных функций в этой более общей по сравнению с предыдущими пунктами главы ситуации доказать не удается. Получен ослабленный вариант теоремы о пулунепрерывности собственных значений, не использующий внутреннюю гладкость собственных функций (теорема 5.4): для

любого е > 0 и для каждою натуральною т сущес1вус1 5 > 0 такое, чю неравенство

Кп ^ ^т + £

выполняется для еоохвею!вующпх собственных значений в Г2 п любой подобласти П' с П такой чю |Г2 \ < д

В ю же время 01мешм чю всс утверждения пунктов 52 и 53 непосредственно переносятся на случай ко!да операторы Яч пропорциональны одному и юм\ же оператору Я Яи = о^Я I с форма адо[//, ¡;] имеет вид

апп\а у] = У

И 4=1

I дс

Яу(1) = ^оки(сГкг) (аА С-С) к

матраца (о,у)^=1 полоэюыпельно определенная эрмитова

и

А о

,М = ]ГаАа/ = + ^ -| чк"аки>~к)?0 (су"/2 ^ И ^ Ч1+"'2)

к А = 1

Последнее условие более сильное нежели фсбованис коэрцптивности формы ау?(2 накладывается 1,ля тою чюбы 1араи1ировать вн\ фсшпою гладкость собственных ф\пкций

Результаты главы опубликованы в [37]

Апробация резульлаюв

Результаты диссертационной работы излаьалпсь в Математическом инсти-1\те им В А. Сюклова РАН на семинаре под руководством С М Никольскою Л Л К\ 1рявцева О В Весова С И Похожаева в Санкг-Пеюрбх р1 ском 01 юлении Маюмат пческо1 о ипстшу 1а на семинаре под руководством Н Н Уральцсвой па семинарах механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова под руководсI вом В А. Кондратьева под руководи вом А А Шкаликова пол, руководст вом В А Садовнпче-го в Московском эпер! С1 пческом инсппх 1С па семинаре пол, руководством

Ю А Дубпнскою в Инспиуге проблем механики им А Ю Ишлинско-го РАН на семинаре под руководством С Ю Доброхотова в Российском уппверситею дружбы пародов на семинаре под руководсхвом А Л Ску-бачевского в Тсхнионе (Хайфа Израиль) на семинаре под руководством Ш Райха в уппверептею 1 Хайдельберга (Германия) на семинаре под ру-к0В0цс!В0мВ Ел ера в Свободном упиверешею I Берлина на семинаре под руководсхвом Б Фп одера па Международных конференциях по дифференциальным и функцпоналыю-дифферепцпальным уравнениям (Москва 1994, 1999 2005 2011) на Пятой Крымской осенней математической школе-спмпозиуме (Севасюполь Украина 1994) на В юром Всемирном конгрессе нелинейных аналпIпков (Афины Греция 1996) на совмеоных заседаниях семинара им И Г Петровскою и Московскою магемашческого общества (Москва 1998) па Межд\ парол,поп конференции посвященной 90-летию со дня рождения Л С Пошряшна (Москва 1998) на международном симпозиуме по дифференциальным уравнениям в Маюмашческом пиетизм е Обервольфаха (Германия 1999) на мс/кдународпом симпозиуме „Открытые проблемы комплексного анализа и динамических систем' в ОРТ Колледже им Браудс (Кармпсль Израиль 2008) па Российской Школе-копференцпп Маюмашка пнформахпка их приложения и роль в образовании (Москва 2009) па Междч народной конференции Дифференциальные \ равнения и смежные вопросы посвящспной И Г Петровскому (Москва 2011)

Публикации

Основные результаты дпссср1ацип опубликованы в статьях |9 18,29-39 84-86| и следующих 1сзисах конференций

1 Россовскиь Л Е Первая краевая задача для одного эллиптического функционально-дифференциального уравнения Совместные заседания семинара им И Г Пехровскою и Московского \iaiCMaiпческого общееI ваУспехи ма Iематпчеекпх наук — 1998 — 53 выи 4(322) — С 167

2 Rossovskn L. E Boundary value problems foi elliptic functional differential equations with conti actions// Tagungsbencht 11/1999, Gewöhnliche Dif-feientialgleichungen. Hairaonic, Subhaimonic, Homoclinic, and Heterocli-nic Solutions, Mathematisches Forschungsinstitute Oberwolfach, Geimany - 1999 - P 13-14

3. Bo'iocluhna L. V . Rossovskvi L. E. Functional differential equations with compressions of the aiguments// Abstiacts of International Conference and Workshop „Function Spaces. Appioximation Theory, Nonlineai Analysis" dedicated to the centennial of S M Nikolskii. Moscow, the Steklov Mathematical Institute - 2005 - P 268

4. Boroduhna L. V, Rossovskvi L E. Solvability of functional difteiential equations with conti actions// Abstiacts of the Fouith International Con-feience on Difteiential and Functional Difteiential Equations, Moscow — 2005 - P 26-27

5 Rossovskvi L E. About some unsolved pioblems m the theory of elliptic functional difteiential equations// Abstiacts of International Woikshop „Open Pioblems m Complex Analysis and Dynamical Systems," ORT Biaude College, Kaimiel. Isiael - 2008 - P 11-12

6 Россовский J1 E. О спектральной устойчивости задачи Неймана для функционально-дифференциального уравнения// Сборник тезисов докладов Российской Школы-конференции „Математика, информатика, их приложения и роль в образовании", Москва — 2009 — С 90

7 Rossovskvi L. Е . Tasevich, A L On the Gär cling inequality foi a class of functional difteiential equations// Abstiacts of International Conference „Differential Equations and Related Topics" dedicated to I. G. Petrovskii, .Moscow — 2011 - P 100-101

8 Rossovskvi L. E Punctional-Diffciential Equations with Rescalmg the Gärdmg-Type inequality// Abstracts of the Sixth International Conference on Difteiential and Functional Difteiential Equations, Moscow. — 2011 — P 58-59

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Россовский, Леонид Ефимович, 2012 год

Литература

[1] Агранович М С, Вигиик М И / / Успехи мат паук — 1964 — 19, № 3-С 53-161

[2| Амбарцумяи В А К теории флуктуации яркости в млечном пути// Докл акад наук СССР - 1944 - 44 - С 244-247

[3| Антоневич 4 Б Об индексе и нормальной разрешимости общей эллиптической краевой задачи с конечной группой сдвигов на границе// Дифференц уравнения — 1972 — 8 — С 309-317

[4] Антоневич, 4 Б Эллиптические пссвдодиффсренциальные операторы с конечной группой сдвигов//Изв АН СССР Сер матем — 1973 — 37, 3-С 663-675

[5| Антоневич А Б . Лебедев ABO нетеровости функционально-дифференциального оператора с частными производными содержащего линейное преобразование аргумента// Дифференц уравнения — 1982 - 18 -С 987-996

[6] Антоневич А Б Краевые задачи с сильной нелокальностыо для эллиптических уравнений// Изв АН СССР Сер матем — 1989 — 53, № 1 - С 3-24

[7] Беллман Р Кук К Дифференциально-разностные уравнения М Мир 1967

[8] Бицадзе А В Самарский А 4 О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл акад наук СССР — 1969 - 185 № 4-С 739-740

[9] Бородулина Л В, Россовский Л Е Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатием аргументов в весовых npocipaiicjва\// 1 ру уы семинара им И Г Петровского - 2007 - 26 - С 37-55

[10] Бишик M И О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Mai сб - 1951 - 29, ¡V 3 — С 615-676

[11] Более uv Л Р Разреши мое i ь краевых задач /уля общих эллиптических систем// Mai сб - 1965 - 68 — С 373-416

[12] Данфорд H, Шварц Дж Т Линейные операторы Том 2 M Мир 1966

|13] Каменску?7 Г А Вариационные и краевые задачи с отклоняющимся арглмешом// Дифференту \ равнения — 1970 — 6 V 8 — С 1349— 1358

[14] Каменский Р 4 Мишкис А Д Скубачевски и АЛО минимуме квадратичного функционала и о линейных краевых задачах эллиптического типа с отклоняющимися api ументамп// Дифферснц уравнения - 1980 — 16 N° 8 — С 1469-1473

[15| hamo Т 1еорпя возмущении линейных операторов M Мпр 1972

[16] Кондратьев В А Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими пли мловымп точками// Тр Моек мат о-ва - 1967 - 16 -С 209-292

[17] Красовский H H Теория управления движением M На\ка 1968

[18] Кук К Россовскии Л Е Сьубачевскна А Л Краевая задача для функционально-<уифферепцпалыю1 о уравнения с линейно преобразованным аргументом// Дифференту уравнения — 1995 — 31 № 3 — С 1366-1370

[19] курант Р Гильберт Д Методы математической физики Том 1 Москва-Ленинград ГТТИ 1953

[20] Лионе Ж -Л, Мадэ/сенес Э Неоднородные граничные задачи и их приложения М Мир 1971

[21] Мыихкис А Д Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом Москва-Лепипград Гостехиздат, 1951

[22] Онаиов Г Г Скубачевскии А Л Дифференциальные уравнения с отклоняющимися ар1умеигами в слацпопарных задачах механики деформируемого 1ела// Приют мех — 1979 — 15 5 — С 39-47

[23] Пламеневский Б А Алгебры пссвдодиффсренциальпых опера!оров М Наука 1986

[24] Подъяпольскиа В В Скубачевскии АЛО полноте и базисное™ сисхемы корневых функций сильно элпиитических функционально-дифференциальных операторов//^^спехн ма1 см паук — 1996 — 51 — С 219-220

[25] Подъяпольскиа В В Скубачевскии 4 Л Спекгральная асимптотика сильно эллин I пчсских л,пффсрснциально-разнос1пых операторов// Дифферепц уравнения — 1999 — 35 — С 793-800

[26] Попов В А Скубачевскии А Л Априорные оценки для эллиптических дифферснцпалыю-разнос! пых операторов с вырождением// СМФН - 2010 - 36 - С 125-142

[27] Попов В А Скубачевскии А Л Гладкосль обобщенных решений эл-лшппчеекпх дифферснцпалыто-разносшых уравнений с вырождением// СМФН - 2011 - 39 -С 130-140

[28] Рабинович В С О разрешимое! и дифференцпально-разноелных уравнений в М" и полупрос1рапс1ве// Док л акад наук СССР — 1978 — 243 - С 1134-1137

[29] Россовский Л Е Задача об хспокоснип сисхемы с запаздыванием линейно зависящим 01 времени Проблемы современной математики и

приложения к задачам физики и механики М Изд-во МФТИ 1995 С 172-182

[30] Россовский Л Е Коэрцптпвиость функционально-дифференциальных vpaBHciiiifí// Мат заме! - 1996 - 59 V 1 — С 103-113

[31] Россовский Л Е Коэрцитивное!ь одного класса функционально-дифференциальных уравнений// Функц апал и его прил — 1996 — 30 ¥ 1 -С 81-83

[32] Россовский Л Е Скуба невски и А Л Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических ф)нкционально-дпфференциальных уравнений Итотпнаукип техники Современная математика и ее приложения 66 М ВИНИТИ 1999 С 114-192

[33] Россовский Л Е Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжением и сжатием аргументов// rIp ¡VIock маг о-ва - 2001 - 62 - С 199-228

[34] Россовский Л Е Сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы в полvoi ранпченном цилиндре// Фунд и прикл матем - 2001 -7 Ml - С 289-293

[35] Россовский Л Е Эллиптические ф>пкцпонально-дифференциальные уравнения со ежа i иями api) мен job//Докл акад на\ к — 2006 — 411

2 - С 161-163

[36] Россовский Л Е Спектральные свойства некоторых ф) пкционально-дпфференцпальных операюров и неравенство типа Гордпнга// Докл акад на\ к - 2010 - 434 \п 4 - С 450-453

[37] Россовский J1 Е О спектральной устойчивости функционально-дифференциальных ) равнений// Мат замет — 2011 — 90 Мб — С 885-901

[38] Россовский Л Е Об одном классе сскюриальпых функционально-дифференциальных опера торов// Дифференц уравнения —2012 — 48, ¥2 - С 227-237

[39] Россовский J1 E К вопросу о козрцишвпости функционально-дифференциальных уравнений//СМФН — 2012 — 45 — С 122-131

[40J Рудип У Функциональный анализ M Мир 1975

[41] Савин А Ю Стерн au В Ю Об индексе эллиптических операторов для группы растяжений// Матем сб —2011 — 202 N'0 10 — С 99-130

[42] Савин А Ю Об индексе нелокальных эллшпических операторов отвечающих пспзометрпчсскомл изоморфизму// Мат замет —2011 — 90, 5 - С 712-72G

[43] Скрябин M А Разбиение единицы и проблема сильной эллиптичности для функционально-дифференциальных операторов// Современная математика Фундаментальные направления — 2009 — 34 — С 139-151

[44] Скубачевскии А Л О нскоюрых нелокальных эллшпических краевых задачах// Дифферент; уравнения — 1982 — 18 К" 9 — С 1590-1599

[45] Скубачевскии -4 JÎ О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач// Матем сб - 1982 - 117 ¡V- 4 - С 548-558

[46] Скубачевскии 4 J1 Нелокальные эллпп тпчеекпе краевые задачи с вырождением//Диффереиц уравнения — 1983 — 19 N° 3 — С 457-470

|47] Скубачевскии 4 Л 1Л|ачкость обобщенных решений первой краевой задачи для эллиптическою дпфферепцпалыю-разностною уравнения// Mai заме г - 1983 - 34 M 1 - С 105-112

[48] Скубачевскии 4 J1 Нелокальные краевые задачи со сдвигом// Мат замет - 1985 - 38 N"4 - С 587-598

[49] Скубачевскии 4 Л Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Матем сб - 1986 - 129 А10 2 - С 279-302

[50] Скубачевскии 4 Л О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// Док л акад наук СССР — 1989 — 307 А1'0 2 — С 287-292

[51| Скубачевский А Л Задача об успокоении системы управления с последействием// Докл акад па) к — 1994 — 335 N° 2 — С 157-160

[52] Скубачевский A Л, Цветков ЕЛ Вторая краевая задача для эллиптических дифференцпально-разносгных уравнений// Дифференц уравнения - 1989 - 25, № 10 — С 1766-1776

[53] Скубачевский А Л Цветков ЕЛ Общие краевые задачи для эллиптических дпфферепцпально-разпост ных уравнений// Тр Санкт-Потербуpi мат о-ва - 1998 - 5 - С 223-288

[54] Тейлор M Псевдодпфферспциальныс операторы M Мир 1985

[55| Хермаидер Л Анализ линейных лиффсрспцпальиых операторов с частными производными J ом 3 Пссвцо'щффереицпальные операторы M Мир 1987

[56] Цветков EJ1 Разрешимость и спектр третьей краевой задачи для эллиптическою лифферсициальпо-разностною уравнения// Мат за-мс I - 1992 - 51, № 1 - С 107-114

[57] Цветков ЕЛО гладкости обобщенных решений третьей краевой задачи для эллиптическою л,иффсренциалыю-разносгного уравнения// VkP мат ж - 1993 - 45, 8 - С 1140-1150

[58] ШамшI Р В О пространствах начальных пдппых для дифференциальных \ равнений в i пльбертовом npoci рапствс// Мат сб — 2003 — 194 А0 9 — С 1411-1426

|59] Anfoneuich 4 Lebeclev 4 Functional-Difteiential Equations I C*-thcon HaTlow Longman 1994

[60] Auschei P Hojmaim S Mcintosh A Tchamitch/an P The Kato squaTC Toot pToblem îot lughei oiclei elliptic opciatoib ancl systems on W1// J E\ olution Equations - 2001 - I M 4 - P 361-385

[61] Axeisson A., Keith, S., Mcintosh, A. The Kato square root problem for mixed boundary value problems// j. London Math. Soc. — 2006. — 74. — P. 113-130.

[62] Babuska !.. Vyborny B,. Continuous dependence of the eigenvalues on the domain// Czechoslovak Math. j. - 1965. - 15. - P. 169-178.

[63] Burenkov V. I. Sobolev spaces on domains. Stuttgart: Teubner, 1998.

[64] Burenkov V. I.. Barnes E. B. Spectral stability of the Neumann Laplacian// ,1. Differential Equations. - 2002. - 186. - P. 485-508.

|65] Burenkov V. I., Lamberti P. B. Spectral stability of general non-negative self-adjoint operators with applications to Neumann-type operators// J. Differential Equations. - 2007. - 233. - P. 345-379.

[66] Carleman T. Sur la théorie des equations intégrales et ses applications// Verhandlungen des Internat. Math. Kongr. Zurich. — 1932. — 1. — P. 138— 151.

|67] Barnes E. B. Eigenvalue stability bounds via weighted Sobolev spaces// Math. Z. - 1993. - 214. - P. 357-371.

[68] Bavies E. B. Spectral Theory and Differential Operators. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

[69] B erf el G.. I series A. The pantograph equation in the complex plane// J. Math. Anal. Appl. - 1997. - 213. - P. 117-132.

[70] G anting L. Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations//' Math. Scancl. — 1953. — I. — P. 55-72.

[71] Hale J. K. Eigenvalues and perturbed domains, Ten Mathematical Essays on Approximation in Analysis and Topology, Amsterdam: Elsevier B.V., 2005, P. 95-123.

[72] Hall A. J. Wake G. G. A functional differential equation arising in the modelling of cell growth// .J. Austral. Math. Soc. Ser. B — 1989. — 30. — P. 424-435.

[73j Iserles A. On the generalized pantograph functional-differential equation// European J. Appl. Math. - 1993. - 4. - P. 1-38.

[74] Iserles A.. Liu Y. On neutral functional-differential equations with proportional delays// J. Math. Anal. Appl. - 1997. - 207, № 1. — P. 7395.

[75] Kcito T. Fractional powers of clissipative operators// J. Math. Soc. Japan. - 1961. - 13, № 3. - P. 246-274.

[76] Kcito T., McLeod J. B. Functional-differential equation y — ay(Xt) + by(t)// Bull. Amer. Math. Soc. - 1971. - 77, JY-° 6. - P. 891-937.

[77] Lamberti P. D.. Lanza de Cristoforis M. A global Lipschitz continuity result for a domain dependent Dirichlet eigenvalue problem for the Laplace operator// Z. Anal. Anwendungen. - 2005. — 24. - P. 277-304.

[78] Lions J. L. Espaces d'interpolation et domaines de puissances fractionnaires d'operateurs// J. Math. Soc. Japan. — 1962. — 14, № 2. — P. 233-241.

[79] Mcintosh ,4. On the comparability of/l1/2 and A*112// Proc. Amer. Math. Soc. - 1972. - 32. № 2. - P. 430-434.

[80] Nazaïkvnskii V. E., Savin A. Yu., Stemm B. Yu. Elliptic Theory and Noncommutative Geometry. Nonlocal Elliptic Operators, Operator Theory: Advances and Applications, 183. Basel: Birkhàuser Verlag, 2008.

[81] Ockendon J. R., Tayler A. B. The dynamics of a current collection system for an electric locomotive// Proc. Royal Soc. London A. — 1971. — 322. — P. 447-468.

[82] Onanov G. G., Tsvetkov E. L. On the minimum of the energy functional with respect to functions with deviating argument in a stationary problem of elasticity theory// Russian J. Math. Phys. - 1996. - 3. - P. 491-500.

[83] Przeworska-Rolewicz D. Equations with Transformed Argument: An Algebraic Approach. Warszawa: PWN, 1973.

[84] Rossovska L E Skubacheusku A L Boundaiy value problems for functional differential equations with lmeaily tiansfoimed argument// Spectral and Evolution Pioblems Pioceedmgs of the Fourth Cnmean Autumn Mathematical School-Symposium — 1995 — 4 — P 77-82

[85] Rossovska L E On the boundary value pioblem for the elliptic functional-diffeiential equation with contactions// Functional Differential Equations - 2001 - 8 № 3-4 - P 395-406

[86] Rossovska L E On boundary value pioblems foi a class of functional-chffeiential equations// \onhneai Analysis Theoiy Methods, and Applications - 2002 - 49, N"6 - P 799-816

[87] Skubachevskn A L Shamm R V The mixed boundaiy value pioblem for paiabohc diflcicntial-diffeience equation// Functional Differential Equations - 2001 - S № 3-4 - P 407-424

[88] Skubacheusku A L The first boundary \alue problem for strongly elliptic diflcientral-drfleience equations// J ol Diflerential Equations — 1986 — 63 - P 332-361

|89] Skubacheusku A L Elliptic Functional-Diffcicntial Equations and Applications Opeiatoi Thcor} Advances and Applications, 91 Basel Bnkhausci Veilag 1997