Воздействие высокоскоростных подвижных нагрузок на балки, плиты и полупространство тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Нгуен Чонг Там

• Нгуен Чонг Там
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Чонг Там

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ВОЗДЕЙСТВИЕ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ

1.1. Вводные замечания

1.2. Особенности воздействия высокоскоростных нагрузок

1.3. Задачи, возникающие при оценке воздействий высокоскоростных нагрузок

1.4. Краткое описание содержания диссертации

ГЛАВА 2 ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА БАЛКИ НА

УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

2.1. Введение

2.2. Модели балок и дифференциальные уравнения

2.3. Расчёт балки на упругом основании при воздействии подвижной, постоянной по величине, сосредоточенной силы

2.3.1. Расположение корней знаменателя (биквадратного уравнения) на комплексной плоскости

2.3.2. Критическая скорость и критическое демпфирование

2.3.3. Прогибы и внутренние усилия балки

2.3.4. Прогиб, изгибающий момент и поперечная сила в сечении под точкой приложения силы

2.4. Гармоническая подвижная сила

2.4.1. Критические скорости

2.4.2. Определение функций прогибов и внутренних усилий

2.5. Оценка вибраций тоннелей при движении поездов

2.6. Выводы

ГЛАВА 3 ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА ПЛИТЫ,

РАСПОЛОЖЕННЫЕ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

3.1. Вводные замечания

3.2. Дифференциальное уравнение

3.3. Колебания плиты на упругом основании при воздействии сосредоточенной постоянной силы, движущейся с постоянной скоростью

3.4. Плита на упругом основании при воздействии сосредоточенной гармонической нагрузки, движущейся с постоянной скоростью

3.5. Выводы

ГЛАВА 4 КОЛЕБАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ

ВОЗДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНЫЪХ НАГРУЗОК

4.1. Общие положения

4.2. Дифференциальные уравнения теории упругости в обобщённых функциях и представление уравнений в области изображений Фурье

4.2.1. Дифференциальные уравнения теории упругости в обобщённых функциях

4.2.2. Представление уравнений в области изображений Фурье

4.3. Колебания упругого полупространства при движении постоянной сосредоточенной силы по поверхности полупространства

4.3.1. Представление нагрузки в обобщённых функциях

4.3.2. Определение изображений Фурье перемещений на поверхности упругого полупространства

4.3.3. Определение функций перемещений на поверхности упругого полупространства во временной области

4.3.4. Перемещения поверхности упругого полупространства в зависимости от отношения скорости движения нагрузки к скоростям распространения волн

4.4. Движение постоянной распределенной нагрузки на полубесконечном пространстве

4.5. Выводы

ГЛАВА 5 ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ

ЗАДАЧ НА ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ

5.1. Вводные замечания

5.2. Теорема взаимности Бетти-Релея для задач динамики

5.2.1. Теорема взаимности и функция Грина для упругого полупространства

5.2.2. Колебание упругого полупространства создаваемого подвижной нагрузкой

5.2.3. Колебание грунта при движении сосредоточенной постоянной и гармонической силы

5.3. Балка на упругом основании

5.4. Плита на упругом основании при воздействии подвижной нагрузки

5.5. Выводы

Заключение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

117

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Воздействие высокоскоростных подвижных нагрузок на балки, плиты и полупространство»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. При движении современных высокоскоростных экипажей, поездов, самолетов и автомобилей, увеличение уровней вибраций особенно значительно, когда скорости движения экипажей приближаются к критическим скоростям распространения волн в рельсах, плитах и грунте. Наиболее важными являются три типа таких критических скоростей: скорость поверхностной волны Рэлея в грунтах, скорость волн в плитах и минимальная фазовая скорость изгибных волн, распространяющихся в верхнем строении пути. Все эти критические скорости могут быть даже превышены современными высокоскоростными поездами и автомобилями, особенно в случае, когда трассы расположены на мягких грунтах. При взлёте и посадке авиалайнеров их скорости могут достигать больших значений и так же превышать критические.

Степень разработанности темы. Проблемами воздействия подвижных нагрузок на сооружения занимались многие ученые: Тимошенко С.П., Александров А. В., Болотин В. В., Барченков А. Г., Муравский Г. Б., Бондарь Н. Г., Иванченко И.И., Потапов В.Д, Курбацкий Е.Н., Симонов И. В., Гольштейн Р.В., и другие авторы. Из учёных других стран, работавших в этой области, следует отметить: Lamb H., Fryba L., Verruijt A., Lu Sun, Kim S.M., Roesset J.M., Auersch L., Yang Y.B., Yau J.D., Wu Y.S., и др. Особенно следует отметить серию работ Крылова В.В., занимавшегося научным сопровождением при проектировании высокоскоростных трасс в Европе.

Теорема взаимности Бетти-Рэлея для решения динамических задач использовалась многими авторами. В первую очередь отметим классиков: Лява А., Тимошенко С.П., Lamb H, Wite J. E. При решении прикладных динамических задач строительной механики и теории упругости теорему взаимности применяли: Зылев В.Б., Курбацкий Е.Н Титов Е.Ю., Сан Ли Тун, Аунг Мо Хей,. Cao Y.M., Xia H., Lombaert G. и др.

Цель работы - исследование напряженно-деформированного состояния балок, плит на упругом основании и полупространства при воздействии высокоскоростных подвижных нагрузок.

Задачи исследования:

- выполнить анализ существующих методов расчёта балок, плит и полпространства на высокоскоростные нагрузки;

- разработать аналитические методы расчета балок, плиты и полупространства на подвижные нагрузки;

- разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния балок и рельсов при воздействии высокоскоростных нагрузок;

- разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния автодорожных и аэродромных плит при воздействии высокоскоростных нагрузок;

- разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния полупространства при воздействии высокоскоростных нагрузок;

- разработать методики определения критических скоростей и критических коэффициентов демпфирования для верхнего строения пути и автодорожных и аэродромных плит;

- выполнить расчёты по оценке воздействий высокоскоростных нагрузок на реальные конструкции.

Научная новизна:

1) разработан аналитический метод определения напряжённо деформированного состояния балок, плит и полупространства при воздействии подвижных нагрузок;

2) разработан метод определения критических скоростей для разных моделей балок, плиты и полупространства;

3) разработаны методики определения критических коэффициентов демпфирования для разных моделей балок;

4) разработаны методики решения динамических задач с использованием интегрального преобразования Фурье и свойств целости обобщённых функций;

5) разработаны методики решения динамических задач с использованием свойства взаимности функции Грина.

6) разработана методика оценки вибрации тоннельной обделки при движении поездов.

Методология и методы исследования включают построение математических моделей рассматриваемых систем, их численный и аналитический анализ c использованием преобразования Фурье, обобщенных функций, теорию вычетов и дискретного быстрого преобразования Фурье (БПФ); сопоставление получаемых результатов; разработку предложений по использованию полученных результатов в инженерной практике.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные решения можно использовать для определения критических параметров при проектировании высокоскоростных транспортных дорог и разработки нормативных документов.

Разработанные методики можно использовать для оценки воздействий на конструкции и окружающую среду при движении высокоскоростного транспорта.

Достоверность и обоснованность. При разработке метода решения задач используются известные положения теории упругости и теории распространения волн, а также интегральные преобразования.

Выполнено сравнение результатов, полученных по разработанным методикам.

Аналитические решения и исследования задач выполнены с помощью программного комплекса MATLAB R2009b.

Достоверность исследований подтверждается хорошим совпадением результатов, полученных с использованием разных аналитических методов, а также с результатами, полученными другими авторами.

Основные положения, выносимые на защиту:

- методы решения задач воздействия высокоскоростных подвижных нагрузок на балки, плиты на упругом основании и полупространство с использованием интегрального преобразования Фурье, свойств целости

изображений Фурье обобщенных функций, теории вычетов и быстрого преобразования Фурье (БРФ);

- результаты по определению критических скоростей движения нагрузок по разным моделям балок, по плитам и полупространству, и формулы для определения критических вязких параметров демпфирования упругого основания;

- результаты по оценкам колебаний балок, плит и полупространства при воздействии подвижных нагрузок;

- приложение теоремы взаимности при решении динамических задач на подвижные нагрузки.

Апробация работы. Основные научные результаты докладывались:

- на научно-практической конференции «Неделя науки-2013. Наука МИИТа - транспорту» в МИИТе, г. Москва 25 апреля 2013 г.

- на научной конференции «Потенциал интеллектуально одаренной молодежи развитию науки и образования», в Астрахани, 20-24 мая 2013 г.

- на научной конференции «Перспективы развития строительного комплекса»,в Астрахани, 28-31 октября 2013 г.

- на научной конференции «Потенциал интеллектуально одаренной молодежи развитию науки и образования», в Астрахани, 21-25 мая 2014 г.

- на международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» в Московском государственном строительном университете (МГСУ), г. Москва, 16 декабря 2014 г.

Публикации: По материалам исследования опубликовано 5 статей, из которых 3 - в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов диссертационных работ на соискание степени кандидата технических наук.

1. Курбацкий, Е. Н. Влияние скорости движения подвижной нагрузки в тоннелях на уровни создаваемых вибраций [Текст] / Е. Н. Курбацкий, Нгуен Чонг Там// Потенциал интеллектуально одаренной молодежи-развитию науки и образования. Материалы III Международного научного форума молодых ученых, студентов и школьников. - Астрахань. - 2014. - Т. 2. - С. 25-28.

2. Курбацкий, Е.Н. Определение критических скоростей и критических сил при движении постоянной силы по балкам на упругом основании [Текст] / Е.Н. Курбацкий, Нгуен Чонг Там // Известия высших учебных заседаний. Строительство. - 2014. - №5. - С. 109-117.

3. Нгуен Чонг Там. Оценка вибраций тоннеля при движении поездов [Текст] / Нгуен Чонг Там // Известия высших учебных заседаний. Строительство. - 2014. - №7. - С. 5-10.

4. Нгуен Чонг Там. Колебания поверхности упругого полупространства при воздействии подвижной нагрузки [Текст] / Нгуен Чонг Там // Строительство и реконструкция. - 2014. - №6 (56). - С. 58-66.

5. Нгуен Чонг Там. Приложение теоремы взаимности для оценки колебаний, создаваемых подвижными нагрузками [Текст] / Нгуен Чонг Там// Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. Сборник докладов международной научно-практической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика профессора, доктора технических наук Д.Н. Соболева. 16 декабря 2014 г. / под ред. проф. Н. П. Анохин, проф. М. И. Ганджунцев, В. А. Ильичев, В. Л. Мондрус, Ю. П. Назаров.-МГСУ. - Москва. - 2014. - С. 240-248.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 122 страниц машинописного текста, состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 55 рисунок, 2 таблицы и список литературы из 57. наименований, из них: 28 отечественных и 29 - зарубежных авторов.

Специальность, которой соответствует диссертация. Согласно сформулированной цели научной работы, ее научной новизне, установленной практической значимости, диссертация соответствует паспорту специальности 05.23.17 - Строительная механика, пункту 3 «Аналитические методы расчета сооружений и их элементов»; пункту 4 «Численные методы расчета сооружений и их элементов».

ГЛАВА 1 ВОЗДЕЙСТВИЕ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ

1.1. Вводные замечания

Колебания поверхности грунта, создаваемые различными подвижными нагрузками (железнодорожные поезда, поезда метро, автомобили), вызывают значительное беспокойство у жителей расположенных рядом с трассами зданий. При возрастании скоростей движения интенсивность генерируемых колебаний, как правило, увеличивается.

В последние годы проблема воздействия подвижных нагрузок на сооружения и окружающую среду требует все большего внимания в связи с возрастанием скоростей движения, особенно в области железнодорожного и автомобильного и авиационного транспорта [46,29,52,56,31].

Вопрос воздействия высокоскоростных подвижных нагрузок на балки на упругом основании был исследован многими авторами [28, 20, 10], работы которых посвящены определению прогибов и внутренних усилий балок на упругом основании с переменными параметрами при докритических скоростей приложенных нагрузок.

Теоретические исследования [24,11,35] показаны, что при движении нагрузки со критической скоростью по балке и плите на упругом основании без учета демпфирования прогиб стремится к бесконечности.

Проблема исследований колебания грунта при динамических воздействиях была предметом исследований Лэмба ещё в 1904. Работы Лэмба, главным образом, посвящены определению реакций упругого полупространства и упругих тел с бесконечными границами на стационарные или почти стационарные нагрузки [43].

Теоретически было предсказано [39,7,12], если скорость движения поездов превышает скорость распространения волн Рэлея CR в грунте, являющемся основанием пути, вибрации существенно возрастают. Возрастание вибраций при

движении поездов со сверх Рэлеевскими скоростями было подтверждено экспериментально на европейских высокоскоростных трассах, на участках с мягкими грунтами, на которых скорости движения поездов достигали и превышали скорости распространения волн Рэлея [40,41].

При движении современных высокоскоростных экипажей, поездов и автомобилей, увеличение уровней вибраций особенно значительно, когда скорости движения экипажей приближаются к критическим скоростям, распространения волн в рельсах, плитах и грунте. Наиболее важными являются три типа таких критических скоростей: скорость поверхностной волны Рэлея в грунтах, скорость волн в плитах и минимальная фазовая скорость изгибных волн, распространяющихся в верхнем строении пути. Все эти критические скорости могут быть даже превышены современными высокоскоростными поездами и автомобилями, особенно в случае, когда трассы расположены на мягких грунтах. Было теоретически предсказано [39], если скорость движения поездов превышает скорость распространения волн Рэлея CR в грунте, являющемся основанием пути, вибрации существенно возрастают. Это явление подобно звуковому удару, создаваемому самолетами, пересекающими звуковой барьер. Это явление: возрастание вибраций при движении поездов со сверх Рэлеевскими скоростями было подтверждено экспериментально [40,41] на участках с мягкими грунтами, на которых скорости движения поездов достигали и превышали скорости распространения волн Рэлея. Повышенное внимание железнодорожных компаний и экологов к проблеме защиты от вибраций, связанных с высокоскоростными поездами стимулировало большое число теоретических и экспериментальных исследований в этой области (см. например [53,32,50,51]).

1.2. Особенности воздействия высокоскоростных нагрузок

В работе С.П. Тимошенко «К вопросу о прочности рельс» [24] определяется величина критической скорости и отмечается, что величина этой скорости велика, и на практике вряд ли достижима. Выполненные в последние годы теоретические исследования, а так же натурные испытания показали, что при превышении

поездами скоростей распространения волн Рэлея в грунте, на котором укладывается путь, вибрации, создаваемые поездами, существенно возрастают.

Этот феномен имеет такое же объяснение, как эффект пролёта самолёта со сверхзвуковой скоростью, а так же эффект «Вавилова - Черенкова» в физике [8].

Наиболее важными являются два типа таких критические скоростей: скорости поверхностных волн Рэлея и минимальные фазовые скорости изгибных волн, распространяющихся в конструкции пути, уложенного на балластном слое. Скорость распространения изгибных волн называют критической скоростью верхнего строения пути.

При движении поездов со скоростями, близкими к критическим, прогибы рельсов и вибрации могут существенно возрасти и даже привести к сходу подвижного состава с рельсов. Обе эти критические скорости могут быть превышены современными высокоскоростными поездами, особенно в тех случаях, когда путь уложен на мягких грунтах и эти критические скорости невысокие. Для оценки взаимодействия высокоскоростных поездов с конструкцией пути наиболее часто используются модели балок Эйлера-Бернулли на упругом основании.

В настоящей работе получены формулы для определения критических скоростей и критических продольных сил при движении постоянной подвижной нагрузки по балкам, описываемым моделями Рэлея и Тимошенко.

1.3. Задачи, возникающие при оценке воздействий высокоскоростных

нагрузок

Анализ литературных источников, в которых описывается воздействие высокоскоростных поездов на окружающую среду, показывает, что если скорость поездов превышает скорость волн Рэлея в поверхностных слоях грунта, происходит большое увеличение амплитуд колебаний вибраций, создаваемых, подвижной нагрузкой.

Экспериментальные исследования, выполненные на высокоскоростных магистралях в Европе (шведские поезда Х2000) подтвердили основные теоретические предсказания. Движение с критическими скоростями в настоящее

время не является недостижимой экзотикой. Скорость современных высокоскоростных поездов на железных дорогах, пересекающих мягкие грунты, может превысить скорость распространения волн Рэлея. Поэтому в технической литературе появился "сверхзвуковые транс-Рэлевские" поезда, под которыми понимаются поезда, движущиеся со скоростями, превышающими скорости поверхностных волн Рэлея. Строители и эксплуатационники высокоскоростных железных дорог должны быть осведомлены о возможных последствиях динамических вибрационных воздействий. Можно ожидать, что при общей тенденции увеличения скоростей движения поездов, это проблема будет возникать во многих районах, и особенно на тех участках, в которых железные дороги, будут строиться на мягких грунтах.

Проблемы, связанные с превышением критических скоростей, могут иметь место и при движении подземных поездов. В этом случае первая критическая скорость это скорость распространения упругих волн сдвига. Колебания грунта, при движении поездов, превышающих эту скорость, представляются в виде конуса Маха поперечных волн, излучаемых туннелем.

Волноводные свойства насыпей могут привести к концентрации энергии вибрации грунта, генерируемы транс-Рэлевскими поездами. Это может уменьшить колебания грунтов за пределами насыпи. Тем не менее, колебания самой насыпи могут существенно возрасти. Поскольку эти концентрируемые колебания распространяются со скоростью движения поездов, они могут увеличить квазистатические прогибы под движущимися экипажами.

1.4. Краткое описание содержания диссертации

Целью исследования разработка моделей и оценка воздействий высокоскоростных нагрузок на балки, моделирующие верхнее строение пути, плиты на упругом основании, моделирующие автомобильные дороги и аэродромные покрытия, и упругое полупространство.

В ведении и в первой главе представлено состояние вопроса и сформулирована цель исследования.

Во второй главе представлены аналитические решения прогибов и внутренних усилий в балках на упругом основании при движении сосредоточенных постоянных и периодических сил. В качестве моделей балок использовались балки Эйлера-Бернулли, Рэлея и Тимошенко. Определены выражения для критических скоростей и критического демпфирования. Представлены графики прогибов балок и графики внутренних усилий при различных скоростях движения постоянных и периодических нагрузок. Для получения решений использовалось преобразование Фурье, для вычисления интегралов теория вычетов. Результаты могут использоваться при оценке воздействий высокоскоростных поездов на верхнее строение пути

В третьей главе представлен метод использования интегрального преобразования, комплексный анализ и БПФ для определения прогиба бесконечной плиты на упругом сплошном основании Винклера при воздействии сосредоточенных подвижных сил с постоянной и переменной амплитудой. Теория в настоящей работе основана на предположении, что плита не имеет разрыв вдоль его длины, которая считается бесконечной. Хотя это не совсем реалистичное предположение для покрытий в аэропортах и автомобильных дорогах, где обязательно существуют швы, ортогональные направлению движения. Тем не менее, модель может быть усовершенствована и использована для оценки воздействия самолётов аэродромные плиты при посадке и взлёте.

В четвёртой главе представлены аналитические решения перемещений поверхности упругого полупространства при движении сосредоточенной силы. Для решения используется аппарат обобщённых функций и интегральное преобразование Фурье. Для определения изображений Фурье неизвестных функций на границе полупространства используется условия аналитичности изображений Фурье функций перемещений в нижней комплексной полуплоскости, для чего числитель изображения Фурье функций перемещений приравнивается нулю при значениях, равных нулям знаменателя, расположенных в нижней комплексной полуплоскости. Такой подход упрощает решение в том случае, если требуется определять только перемещения на границе области.

В пятой главе представляется приложение «Теорема взаимности» для оценки воздействия подвижных нагрузок (сосредоточенных сил) на балки и плиты. Теорема взаимности Бетти-Рэлея позволяет преобразовать проблему оценки уровней колебаний в произвольной точке (приёмнике) плиты или балки, создаваемых подвижной нагрузкой, к задаче определения вибраций от неподвижной силы, в точке, которая перемещается относительно места приложения силы в противоположном направлении. Теорема взаимности позволяет поменять местами источник и приёмник вибраций, что существенно упрощает получение решения в замкнутой аналитической форме.

ГЛАВА 2 ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА БАЛКИ

НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

2.1. Введение

При движении поездов даже с идеально круглыми колёсами по идеально гладким и ровным рельсам обязательно возникают колебания. При возрастании скоростей движения интенсивность генерируемых колебаний, как правило, увеличивается. При движении современных высокоскоростных экипажей, поездов и автомобилей, увеличение уровней вибраций особенно значительно [42], когда скорости движения экипажей приближаются к критическим скоростям, распространения волн в рельсах и грунте. Как уже отмечалось в первой главе, наиболее важными являются два типа таких критических скоростей: скорость поверхностной волны Рэлея в грунтах и минимальная фазовая скорость изгибных волн, распространяющихся в верхнем строении пути. Все эти критические скорости могут быть даже превышены современными высокоскоростными поездами и автомобилями, особенно в случае, когда трассы расположены на мягких грунтах. Возрастание вибраций при движении поездов со сверх Рэлеевскими скоростями было подтверждено экспериментально на участках с мягкими грунтами, на которых скорости движения поездов достигали и превышали скорости распространения волн Рэлея.

Выполненные в последние годы теоретические исследования, а так же натурные испытания показали, что при превышении поездами скоростей распространения волн Рэлея в грунте, на котором укладывается путь, вибрации, создаваемые поездами, существенно возрастают [35,37, 38,42].

При движении поездов со скоростями, близкими к критическим, прогибы рельсов и вибрации могут существенно возрасти и даже привести к сходу подвижного состава с рельсов.

Для оценки взаимодействия высокоскоростных поездов с конструкцией пути наиболее часто используются модели балок Эйлера-Бернулли на упругом основании.

В настоящей работе получены аналитические решения для определения критических скоростей и критических продольных сил при движении постоянной подвижной нагрузки по балкам, описываемыми моделями Рэлея и Тимошенко.

Решения получены с использованием преобразования Фурье и теории вычетов [4, 34]. Полученные результаты представлены в аналитическом виде и удобны при решении конкретных задач.

2.2. Модели балок и дифференциальные уравнения

В качестве исходной модели рассмотрим дифференциальное уравнение балки Тимошенко [3] на сплошном упругом основании при воздействии постоянной силы, движущейся с постоянной скоростью. Модели балок Эйлера-Бернули и Рэлея будем рассматривать как частные случаи, полагая соответствующие параметры равными нулю.

шд и 2 Е1 —т - тг

дхх

1 +

Е

д4и

т2г2 д4и д2и ди , , ч

2^2 + Л4 + + ^ + ки = УМ. (2.1)

д? д?

йгдг yGA д?

где: т, Е, G - погонная масса и модули упругости при растяжении и сдвиге материала балки; 1, А, г- момент инерции, площадь, радиус инерции поперечного сечения балки; для двутавра у=А/Аст- коэффициент, учитывающий влияние формы сечения на деформацию сдвига элемента балки; Аст- площадь стенки, к-коэффициент постели упругого основания, с- вязкое демпфирование основания.

Рисунок 2.1. Расчетная модель балки на сплошном упругом основании с

учетом демпфирования Для бесконечной балки определим следующие граничные условия: при х - Vt х - Vt : и (х,г) = и'(х,г) = и"(х,г) = и"'(х,г) = 0. (2.2)

Для решения дифференциального уравнения (2.1) с граничными условиями на бесконечности (2.2) применим интегральное преобразование Фурье, используя следующие основные соотношения:

Ü(v,®) = | | u(x,t)exp(ivx)exp(ict)dxdt.

—то —то

1 то то

u (x, t ) = —21 | Ü (v,®) exp (—ivx) exp (—Ш) dvdc. (2.3)

—то—то

где: v , со- переменные в комплексной плоскости, и Ü(v,®)- изображение Фурье функции u (x, t).

Применив преобразование Фурье к обеим частям уравнения (2.1) по двум

переменным, получим:

/ т- Л 2

EIv4 - mr2

1 E

yG

2 2 m r 4 2 7

v со h--со - mm - icm + к

у

A U(v,®) = Q(v,®). (2.4)

Из уравнения (2.4) следует, что выражение прогиба в области изображения Фурье имеет вид:

U (v,®) =- E Q(V,a)1 2--(2-5)

Т^Т 4 2 1 E 22 m r 4 2 - J

Elv - mr 1H--v a H--a - ma - zc® + к

У yG) yga

Для определения функции прогиба, необходимо выполнить обратное преобразование Фурье функции (2.5), используя выражение:

„(Х,0 = _L_ ff_ Q(v.®)exp[-i(..^®)]_

V ' il^Y J J J J7 1 . . ™2V2

2 I I f r \ 2 2

' E ) 2 2 m r 4 2 • ,

1 h--v с h--m - mm - icm + к

(In) ^ EIv4 - mr2

yG) yGA

Определим прогибы балки при воздействии разных видов нагрузки.

2.3. Расчёт балки на упругом основании при воздействии подвижной, постоянной по величине, сосредоточенной силы

Подвижную сосредоточенную силу можно представить в виде:

q (х, t) = PS (х - Vt) . Изображение Фурье такой нагрузки имеет вид:

X X

Q(v,c) = | | PS(х - Vt) exp [i(vx + cot)^|dXdt =

—х —X

X

J P exp [i(vV + co) t ]dt = 2nPS( vV + co)

—X

Подставляя выражение (2.8) в уравнение (2.6), получим:

(2.7)

(2.8)

1 ои ои

u (x,t} = J J

(2ж) —X—X

_P_ г 2к '

2nPS (vV + co) exp [—i (vx + cot)]

f T^ \ 2 2

' E I 22 m r 4 2. ,

1 н--Iv co н--co — mm — icc + k

yG) yGA

-dvdrn

EIv4 — mr2

exp [—i (x — Vt) v ]

(2.9)

EI +

m2r2V4

— mr2V21 1 + E

dv

v4 — mV 2v2 + icvV + k

yGA ^ yG,

При вычислении интеграла по частоте использовано свойство дельта

X

функции: J f (rn)S(rn — co0)drn = f (c0), которое позволяет получить выражение

—X

интеграла в явном виде.

2.3.1. Расположение корней знаменателя (биквадратного уравнения) на

комплексной плоскости

Вычисление интеграла (2.9) будет выполняться в комплексной плоскости с использованием контурного интегрирования и теории вычетов. Для этой цели найдём корни знаменателя подынтегрального выражения, который представляет собой биквадратное уравнение:

EI +

m2 r 2V4 yGA

mr V2

1 +

E_

yG

v4 — mV 2v2 + icvV + k = 0.

(2.10)

Уравнение (2.10) имеет четыре комплексных корня, которые являются полюсами подынтегрального выражения (2.9). Представим корни знаменателя

подынтегрального выражения в следующем виде:

А = а1 + Ьг, А2 =-а1 + Ьг, А3 = а2 - Ьг, А3 =-а2 - Ьг.

(2.11)

где: аь а2, Ь- положительные действительные постоянные коэффициенты.

Схемы возможных расположений корней знаменателя и соответственно полюсов подынтегрального выражения представлены на Рисунок 2.2. Постоянные коэффициенты аь а2, и Ь, зависящие от параметров балки и свойств упругого основания, а так же от скорости движения силы, определяются из условий:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Чонг Там, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит. спец. вузов. / А. В. Александров, В. Д. Потапов. - М.: Высш. шк..- 1990. -400 с: ил.

2. Александров, А. В. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов / Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П.; Под редакцией Александрова А. В. - 3-е изд. испр. - М.: Высш. шк.-2003. - 560 с.

3. Александров, А. В. Строительная механика. В 2 кн. Кн. 2. Динамика и устойчивость упругих систем: Учеб. пособие для вузов/ А. В. Александров, В. Д. Потапов, В. Б. Зылев; Под ред. А. В. Александрова. - М.: Высш. шк.- 2008. - 384 с.

4. Араманович, И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. Изд-во « Наука».- 1968. - 416 с.

5. Аунг Мо Хейн. Оценка техногенных воздействий на окружающую среду при проходке тоннелей, сооружаемых щитовым способом: дисс. к.т.н.: 05.23.02 / Аунг Мо Хейн. -М.,2010.-110 с.

6. Владимиров, В.С. Обобщенные фукции в математической физике / В.С. Владимиров. Изд-во «Наука». -М.- 1979. -320 с.

7. Гольдштейн, Р. В. Волны Рэлея и резонансные явления в упругих телах / Р. В. Гольдштейн// Математика 1965.- 29. -№3. -С. 516-525.

8. Джексон, Дж. Классическая электродинамика /Дж. Джексон. Перевод с английского Г. В. Воскресенского и Л. С. Соловьева. Под редакцией Э. Л. Бурштейна. Изд. "Мир" Москва 1965. - 703 с.

9. Зылев, В. Б. Теоремы о взаимности в динамике конструкций / В. Б. Зылев // Строительная механика и расчет сооружений.- 2006.-№5.- С. 10-15.

10. Иванченко, И. И. Динамика транспортных сооружений. Высокоскоростные подвижные, сейсмические и ударные нагрузки / И. И. Иванченко. - М. : Наука, 2011. - 575 с.

11. Каплунов, Ю.Д. Действие равнопеременно движущейся силы на балку Тимошенко, лежащую на упругом основании. Переходы через критические скорости / Ю.Д. Каплунов, Г.Б Муравский // Прикладная математика и механика.-1987.- Т. 51.- В. 3.- С. 475-482.

12. Каплунов, Ю. Д. Нестационарная динамика упругой полуплоскости при действии подвижной нагрузки / Ю. Д. Каплунов Ю. Д.//-М.- 1986.-54 с. Препр. Интеграл-т проблем механики АН СССР; №277.

13. Курбацкий, Е.Н. Реализация дискретного преобразования Фурье при решении краевых задач теории упругости / Е.Н. Курбацкий // Деп. в ВИНИТИ.-№ 3267-В87.

14. Курбацкий, Е.Н. Определение критических скоростей и критических сил при движении постоянной силы по балкам на упругом основании / Е.Н. Курбацкий, Нгуен Ч.Т. // Известия вузов. Строительство.-2014.- № 5. С. 109-117.

15. Курбацкий, Е. Метод решения задач строительной механики и теории упругости, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций: дис. д.т.н.: 05.23.17 /Е. Курбацкий.-Москва., 1995.- 205 с.

16. Курбацкий, Е.Н. Использование теоремы взвимности для оценки уровней вибраций поверхности упругого полупространства от точечного источника, расположенного внутри полупространства / Е.Н. Курбацкий // Вестник МИИТа, 2004. -вып.11.

17. Лазарян В. А. Обобщенные функции в задачах механики / В. А. Лазарян, С.И. Конашенко. Из-во « Наукова думка». 1974. -189 с.

18. Новацкий, В. Теория упругости / В.Новацкий. Издательство «Мир».-Москва.- 1975.- 871 с.

19. Нуссбаумер, Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток/ Г. Нуссбаумер. Пер. с анг. Ю. Ф. Касимова и И.П. Пчелинцева. Под ред. В.М. Амербаева и Т.Э. Кренкеля. -М. 1985. -248 с.

20. Потапов, В. Д. К вопросу о расчете балок на нелокально упругом основании / В. Д. Потапов// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2014. - №4. С. 63-68.

21. Сан Лин Тун. Исследование напряженно-деформированного состояния подземных сооржений при динамических воздействиях: дисс. к.т.н.: 05.23.02 / Сан Лин Тун. -М.2011.-154 с.

22. Сорокин, Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем / Е.С Сорокин. Академия строительства и архитектуры СССР. ЦНИИС строительных конструкций. - М.: Госстройиздат.- 1960. - 131 с.

23. СП 23-105-2004: Оценка вибрации при проектировании, строительстве и эксплуатации объектов метрополитена [Текст] / Тоннельная ассоциация России. -М.: 2004.

24. Тимошенко, С. П. Прочность и колебания элементов конструкций / С. П. Тимошенко. Главная редакция физико-математической литературы. Изд-ва «Наука».- 1975. - 704 с.

25. Тимошенко С.П., Гудьер Дж., "Теория упругости" Пер. с англ./ Под ред. Г.С. Шапиро. - 2-е изд.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 560 с.

26. Титов, Е. Ю. Разработка методов оценки и способов снижения вибраций сооружений вблизи метрополитенов и желедорожных трасс: дисс. к.т.н.: 05.23.11 / Е. Ю. Титов.-М., 2006.-134 с.

27. Фихтенгольц, Г.М. Основы матемтического анализа: Учеб. пособие/ Г.М. Фихтенгольц. Изд. 6-е, стереотипное. -М: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1968.-440 с.

28. Шаповалов, С. Н. Действие подвижной нагрузки на балку, лежающую на упругом основании с переменными параметрами: дис. канд. тех. наук: 05.23.17/ Сергей Николаевич Шаповалов. - М., 2004. -133с.

29. Auersch, L. The effect of critical moving loads on the vibrations of soft soils and isolated railway tracks / L. Auersch //. Journal of Sound and Vibrations.-2008.-310:587-607.

30. Cao, Y.M. Solution of moving-load-induced soil vibrations based on the Betti-Rayleigh Dynamic Reciprocal Theorem / Y.M. Cao, H. Xia, G. Lombaert //. Soil Dynamics and Earthquake Engineering 30.-2010. -P. 470-480.

31. Celebi, E. Investigation of ground vibrations induced by moving loads / E. Celebi, G. Schmid // Engineering Structures.- 2005.-27:1981-98.

32. Degrande, G. Free field vibrations during the passage of HST / G. Degrande, L. SCHILLEMANS// Proc. ISMA 23, Noise and Vibration Engineering. Ed. P.Sas, Leuven, Belgium. Vol. 3.-1998.- P. 1563-1570.

33. Dimitrovova, Z. Critical velocity of uniformly moving load / Dimitrovova Z., Rodrigues A. F. S..// Advances in engineering software 50. - 2012.- P. 44-56.

34. Duffy, D. G. Transform methods for solving partical differential equations / D. G. Duffy. Chapman & Hall/CRC.-2004.-713 p.

35. Fryba, F. Vibration of solids and structures under moving loads / F. Fryba. Thomas Telford. ISBN 0-7277-2741-9. 3-d edition 1999. - 521p.

36. Kenney, J.T. Steady-state vibrations of beam on elastic foundation for moving load / J.T. Kenney // J. Appl. Mech. ASME.- 1954. P. 359-364.

37. Kim, S.M. Stability and dynamic response of Rayleigh beam-columns on an elastic foundation under moving loads of constant amplitude and harmonic variation / S.M. Kim// Engineering structures.-2005. 12p.

38. Kim, S.M. Vibration and dynamic buckling of shear beam-columns on elastic foundation under moving harmonic loads / S.M. Kim, Y.C. Cho// Iternational journal of solid and structures 43.-2006.- 393-412.

39. Krylov, V.V. On the theory of railway-induced ground vibrations / V.V. Krylov// Journ. de Physique IV.- 1994. -4.-C5-769-772.

40. Krylov, V.V. Vibrational impact of high-speed trains. I. Effect of track dynamics / V.V. Krylov// Journ. Acoust. Soc. Am.- 100 (5).- 3121-3134; erratum 1996.- 101(6), 3810.

41. Krylov, V.V. Spectra of low-frequency ground vibrations generated by highspeed trains on layered ground / V.V. Krylov// Journ. Low Frequency Noise and Vibr.- 1997.- 16(4).- P. 257-270.

42. Krylov, V.V. Generation of ground vibration boom by high-speed trains / V.V. Krylov // Noise and Vibration from High-speed Trains. Thomas Telford, London. - 2001. P. 251-283.

43. Lamb, H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid / H. Lamb // Philosophical Transactions of the Royal Society.- 1904.-A203. P. 1-42.

44. Lee, J.H. Dynamic analysis of a layered half-space subjected to moving line loads /J.H. Lee, J.K. Kim, J.L. Tassoulas// Soil dynamics and earthquake engineering 47.-2013.-P. 16-31.

45. Liao, W.I. A method for the response of an elastichalf-spac e to moving sub-Rayleigh point loads /W.I. Liao, T.S. Teng, C. S. Yeh// Journal of sound and vibration 284.-2005.- P. 173-188.

46. Lombaert, G. Development and experimental validation of a numerical model for the free field vibrations induced by road traffic: PhD thesis // G. Lombaert.- K.U. Leuven, Belgium. 2001.

47. Lu Sun. Analytical dynamic displacement response of rigid pavement to moving concentrated and line loads / Lu Sun // International Journal of Solid and Structure 43.-2006.- P. 4370-4383.

48. Marija, T.N.D. Dynamic analysis of soil-structure system using spectral element method: thesis PHD / T.N.D. Marija. Belgrade, 2012. -140 pp.

49. Michaël, J.M.M. The effect of the interface conditions on the dynamic response of a beam on a half-space to a moving load / J.M.M. Michaël, Steenbergen, V. M. Andrei// European journal of mechanics a/ solid 26.-2007.-P. 33-54.

50. Petyt, M. Modelling of ground-borne vibrations from railways / M. Petyt, C.J.C. JONES// Proc. 4th European Conference on Structural Dynamics (EURODYN' 99). Prague, Czech Republic. -1999. 79-87.

51. Sheng, X. Ground vibration generated by a load moving along a railway track / X., Sheng, C.J.C., Jones, M., Petyt // Journal of Sound and Vibration.-1999.-228(1).- P. 129-156.

52. Steenbergen, MMJ. The effect of the interface conditions on the dynamic response of a beam on a half-space to a moving load [Текст] / MMJ. Steenbergen, AV. Metrikine // European Journal of Mechanics A/Solids 2007;26:33-54.

53. Takemiya, H. Lineside ground vibrations induced by high-speed train passage Proc. Of the Workshop on Effect of High-Speed Vibration on Structures and Equipment / H. Takemiya// Tainan, Taaiwan.-1998.- P. 43-49.

54. Verruijt, A. An introduction to soil dynamics [Текст] / A. Verruijt// Springer science.- ISBN 978-90-481-3441-0.,2010. -449 p.

55. White, J.E. Seismic waves: radiation, transmission, and attenuation / J.E. White. McGrow-Hill, 1965.-302 pp.

56. Xu, B. Dynamic response of an infinite beam overlying a layered poroelastic half-space to moving loads / B. Xu, JF. Lu, JH. Wang // Journal of Sound and Vibrations., 2007.-306: 91-110.

57. Yuanqiang, C. Response of railway track system on poroelastic half-space soil medium subjected to a moving train load / Yuanqiang Cai, Honglei Sun, Changjie Xu// Iternational journal of solids and structures 45.-2008.-P. 5015-5034.