Восстановление управлений в параболических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Михайлова, Дарья Олеговна

• Михайлова, Дарья Олеговна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Михайлова, Дарья Олеговна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Восстановление распределенных управлений

статическим методом

1.1. Постановка задачи

1.2. Свойства управляемой системы и обратной задачи

1.3. Решение задачи восстановления

1.4. Построение минимизирующих последовательностей

1.5. Аппроксимация задачи

1.6. Численное моделирование задачи

Глава 2. Восстановление граничных управлений

статическим методом

2.1. Постановка задачи

2.2. Свойства управляемой системы и обратной задачи

2.3. Решение задачи восстановления

2.4. Построение минимизирующих последовательностей

2.5. Аппроксимация задачи

2.6. Численное моделирование задачи

Глава 3. Восстановление распределенных управлений

динамическим методом

3.1. Постановка задачи

3.2. Решение задачи восстановления

3.3. Аппроксимация задачи

3.4. Численное моделирование задачи

Глава 4. Восстановление граничных управлений

динамическим методом

4.1. Постановка задачи

4.2. Решение задачи восстановления

4.3. Аппроксимация задачи

4.4. Численное моделирование задачи

Заключение

Список обозначений

Литература

Список публикаций по теме диссертации

Приложение А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление управлений в параболических системах»

Введение

Одним из эффективных способов изучения математическими методами физических процессов, протекающих в окружающем мире, является моделирование этих процессов с помощью дифференциальных уравнений. Весьма широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка (например, процессы колебаний, диффузии, теплопроводности, стационарные процессы различной природы). Для полноты описания процесса задают краевые (начальные и граничные) условия задачи. Содержащиеся в дифференциальных уравнениях коэффициенты связаны с физическими характеристиками среды, в которой протекают процессы.

При классической постановке задач математической физики требуется, зная уравнение (в частности, входящие в него коэффициенты) и краевые условия, найти решение этого уравнения, удовлетворяющее в заданных пространствах краевым условиям задачи. При этом на входящие в уравнение функции накладываются определенные ограничения, должным образом выбирается пространство, в котором ищется решение, — так, что решение задачи:

а) существует в выбранном пространстве;

б) единственно в нем;

в) непрерывно зависит от исходных данных задачи (начальных, граничных условий, свободного члена, коэффициентов уравнения).

В этом случае задача называется корректно поставленной по Адамару [1]. Задача, которая не удовлетворяет хотя бы одному из условий а) - в), называется некорректно поставленной. Понятие корректности было введено Ж. Адамаром в 1923 г.

Часто на практике встречаются такие ситуации, когда прямое исследование некоторого объекта затруднено или невозможно. Например, при поиске полезных ископаемых требуется информация о внутреннем строении земли

или о параметрах нефтегазоносных пластов; в медицине при диагностике заболеваний может потребоваться информация о внутренних органах пациента и так далее. Вследствие такой неполноты информации об объекте исследования коэффициенты, присутствующие в математической модели, являются неизвестными функциями. Таким образом, зачастую задачи практики приводят к задачам определения коэффициентов, правых частей или краевых условий дифференциальных уравнений. При этом имеется некоторая дополнительная информация о решении уравнения (доступные измерению характеристики решения), позволяющая определить (восстановить, реконструировать, идентифицировать) неизвестные параметры.

В отличие от классических прямых задач, когда требуется найти решение уравнения с заданными коэффициентами и краевыми условиями, описанные задачи реконструкции получили название обратных задач математической физики. Можно сказать, что в прямых задачах требуется отыскать следствие, зная вызвавшие его причины, в то время как в обратных задачах надо найти неизвестные причины по известным следствиям. Термин «обратная задача» употреблялся уже в 1943 г. в докладе А.Н. Тихонова [2]. В этом докладе говорилось, в частности, о практической значимости обратных задач (приводился пример обратной задачи потенциала, возникающей при геологоразведке полезных ископаемых) и о том, что в этой задаче нарушается условие непрерывности решения от исходных данных. Зачастую, действительно, обратные задачи оказываются некорректными по Адамару, и для их решения требуется привлечение методов регуляризации [3-5]. Основы теории и практики исследования таких задач, которые без преувеличения можно назвать революционными, были заложены учеными-пионерами в области некорректных задач А.Н. Тихоновым, В.К. Ивановым, М.М. Лаврентьевым.

Большой вклад в развитие теории некорректных задач внесли А.Л. Агеев, О.М. Алифанов, В.Я. Арсенин, A.B. Бакушинский, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, В.А. Винокуров, A.M. Денисов, С.И. Кабанихин, А.И. Ко-

роткий, A.C. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менихес, В.А. Морозов, А.И. Прилепко, В.Г. Романов, В.П. Танана, А.Г. Ягола, Е. Giusti, C.R. Vogel, О. Scherzer и многие другие. Систематическое изложение различных методов решения неустойчивых задач, а также учет априорной информации о решении (сведения о форме описываемого объекта, дополнительные свойства гладкости) имеются в [6].

Интенсивное изучение некорректных задач началось в 60-е годы двадцатого века. Замеченный академиком А.Н. Тихоновым в 1943 г. факт, что задание некоторой априорной информации о решении (часто это условие принадлежности некоторому заданному компактному множеству) делает решения многих задач устойчивыми и позволяет строить сколь угодно точные их аппроксимации, привело М.М. Лаврентьева [7] к созданию концепции корректных но Тихонову (условно-корректных) задач. Сам А.Н. Тихонов, в частности, рассмотрел задачу с обратным временем для параболического уравнения второго порядка и указал множество корректности для этой задачи. Отметим, что для условно-корректных задач возникает проблема построения устойчивых приближений к решению при неточных данных.

М.М. Лаврентьев также одним из первых обратил внимание на то, что при решении задач численного дифференцирования функций, заданных с погрешностями, надо связывать шаг конечно-разностной схемы с уровнем погрешности исходных данных.

В 1963 г. в работе [8] А.Н. Тихонов впервые сформулировал основополагающее определение регуляризующего алгоритма (регуляризатора, регуляри-зующего оператора) и предложил универсальный (применимый к существенно некорректным задачам, у которых класс решений не является компактом) способ построения регуляризующего алгоритма (метод регуляризации), основанный на введении сглаживающего функционала. Этот метод, названный впоследствии методом регуляризации Тихонова и получивший мировое признание, представляет собой эффективный вычислительный алгоритм. Он относится к

вариационным методам регуляризации. Метод Тихонова значительно расширил возможности применения математических моделей в практических задачах [9, с. 261].

Сглаживающий функцинал в методе регуляризации содержит некоторый положительный параметр регуляризации. Для сходимости регуляризованных приближений необходимо согласовать этот параметр с погрешностью входных данных. А.Н. Тихонов предложил некоторый способ согласования в [8], который был усовершенствован В.А. Морозовым в [10] и стал известен как «принцип невязки». В.Н. Страхов показал, что в широком классе линейных условно-корректных задач можно так задавать постоянную в правиле Тихонова, что при малых погрешностях это обеспечивает лучшую величину приближения, чем при задании параметра по принципу невязки [11]. В работах [66] (О.БсЬегаег, НЖЕп^, К.КишзсЬ), [67] (К.КишзсЬ, [68] (и.ТахйепЬаЬп)

изучены возможности априорного и апостериорного выборов параметра регуляризации в методе Тихонова для нелинейных задач, а также даны оценки скорости сходимости регуляризованных решений. С основными способами выбора параметра регуляризации можно ознакомиться, например, в [12, с. 153 - 156].

Зачастую задачи практики приводят к обратным задачам для уравнений в частных производных. Применение классической схемы метода Тихонова решения обратных задач для уравнений параболического типа имеется, например, в [12]. В этом учебном пособии метод регуляризации используется для идентификации правой части параболического уравнения. При этом вместо точного решения известно некоторое его приближение с заданной погрешностью измерений. Численное моделирование дает хорошие результаты для гладких искомых функций. Действительно, известно, что для линейных некорректных задач классическая тихоновская регуляризация дает высокое качество аппроксимации (восстановления) для гладких искомых функций, однако не позволяет качественно восстанавливать недифференцируемые функции, содержащие, например, изломы, близкие пики, разрывы. Но особенности такого

рода как раз могут иметь управляющие воздействия в динамических системах. Стабилизирующие функционалы, содержащие норму пространства Соболева Wg, обладают сильным регуляризирующим эффектом, что неизбежно приводит к «заглаживанию» искомой функции и потере ее тонкой структуры. В частности, стабилизирующие функционалы, содержащие норму пространства Z/2, также приводят к довольно грубой аппроксимации. Пример, демонстрирующий «заглаживание» особенности функции при использовании классической схемы метода регуляризации, имеется, в [13, с. 144 - 145]. Таким образом, возникает необходимость конструирования стабилизаторов, специально приспособленных к высокоточной аппроксимации негладких решений некорректных задач.

К настоящему времени исследователи предложили несколько классов стабилизирующих функционалов, которые неплохо зарекомендовали себя при восстановлении негладких функций. Этими вопросами занимались В.В. Васин, A.JI. Агеев, A.C. Леонов, G. Chavent, К. Kunish, C.R. Vogel и другие. В случае функций одной переменной часто используются стабилизаторы, содержащие классическую или обобщенную вариацию в совокупности с какой-нибудь строго выпуклой нормой, например, нормой пространства Lp, 1 < р < оо [14-21,69-71]. На этом пути удается получить сходимость в Ьр , поточечную сходимость, сходимость вариаций, а также равномерную сходимость на участках непрерывности искомых функций. В случае функций нескольких переменных часто используются стабилизаторы, содержащие обобщенную вариацию [72] и норму пространства Lp, 1 ^ р < оо [17-19,69,73-75]. Здесь удается получить сходимость в Lp, поточечную сходимость и сходимость вариаций регу-ляризованных приближений к искомой функции. Для получения равномерной аппроксимации непрерывного, но в общем случае недифференцируемого решения, привлекаются стабилизаторы в виде нормы пространства Липшица [19]. Использование в качестве стабилизатора нормы пространства Соболева W^ с дробными производными порядка 7 6 (0,1) может оказаться целесообраз-

ным для восстановления как непрерывных, так и разрывных искомых функций [14,19].

При решении некорректно поставленных задач большое значение имеет точность используемых методов. Характеристика точности метода, связанная с модулем непрерывности обратного оператора к оператору, задающему уравнение первого рода, и понятие оптимального (на некотором классе решений) метода приводятся в [4]. В книге имеется также доказательство оптимальности метода Тихонова на некотором классе при определенном выборе параметра регуляризации. Пионером в области оптимальной регуляризации стал В.Н. Страхов [22,23]. В частности, В.Н. Страхов первый исследовал оптимальность метода регуляризации Тихонова и показал, что метод Тихонова является оптимальным среди всех линейных методов. В школе В.П. Тананы был развит отличный от классической теории оценивания методов подход к оценке уклонения приближенного решения уравнения от точного. Этот подход основан на введении нового класса решений, учитывающего погрешность исходных данных [24]. Оценки погрешности приближенных решений, полученных методом проекционной регуляризации, некоторых обратных задач для параболических уравнений имеются в [25]. A.Neubauer и О.Scherzer в [76] обосновали сходимость дискретных аппроксимаций (полученных проекционным методом) регуляризо-ванных по Тихонову решений нелинейного операторного уравнения первого рода и установили условия, гарантирующие оптимальную по порядку скорость сходимости конечномерных приближений для случая зашумленных исходных данных.

Параболические задачи характеризуются своей эволюционностью. При решении эволюционных задач принято говорить о двух типах вычислительных алгоритмов. Первые из них можно назвать глобальными, или статическими. В таких алгоритмах для нахождения решения на заданный момент задействованы будущие моменты времени. Общая схема метода регуляризации Тихонова относится как раз к таким алгоритмам. Второй тип - это локаль-

ные (или дииамичсекие) алгоритмы решения эволюционных задач. Они основаны на определении решения по использованию входной информации только в предшествующие моменты времени. По сравнению с алгоритмами глобальной регуляризации, в общем случае, точность решения получается ниже, но возрастает оперативность.

Задачи реконструкции неизвестных характеристик управляемых динамических систем синхронно с развитием исследуемого процесса возникают во многих научных и прикладных разработках (например, в механике управляемого полета, экологии, медицине, при проектировании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации). Такие задачи, как правило, оказываются на стыке теории некорректных задач и теории управления. Типичная обратная задача управления состоит в нахождении функции, реализующей заданую траекторию системы (либо заданный сигнал о траектории). Введение же возмущенных сигналов о траекториях подразумевает смещение акцента в сторону некорректных задач. При этом в реальных задачах отличительным требованием на алгоритм зачастую является его динамичность, то есть осуществимость в режиме реального времени. Адекватный методологический подход к динамической регуляризации — принцип регуляризованного экстремального сдвига с моделью — был предложен Ю.С. Осповым и A.B. Кряжимским [26]. Этот подход можно охарактеризовать как применение метода регуляризации А.Н. Тихонова к правилу экстремального сдвига H.H. Красовского, а именно, критерий экстремального сдвига совмещается с дополнительным критерием минимизации нормы текущего значения управляющего параметра. Учет дополнительного критерия выражается в добавлении к основному критерию сдвига квадратичной сглаживающей функции, предваренной малым коэффициентом регуляризации [27]. С точки зрения теории некорректных задач такая регуляризация, проводимая в каждом узле коррекции, реализует локально метод, весьма близкий к методу Тихонова. С точки зрения теории управления предложенный метод дает способ стабилиза-

ции вдоль движения некоторой вспомогательной модели некоторого функционала Ляпунова, который в последний момент времени превращается «почти что» в апостериорный функционал Тихонова.

Основная идея метода динамической регуляризации впоследствии была распространена на классы бесконечномерных динамических систем [28,29,3337]. Изложение метода динамической регуляризации и, в частности, его применение в классической форме к задаче восстановления правой части параболического уравнения имеются в [37].

В данной диссертационной работе результаты, полученные в исследованиях [15-19, 30-32,69, 70] для операторных уравнений первого рода и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, распространены на новый класс задач, а именно, на обратные задачи для параболических динамических систем.

В представленной работе рассматривается задача о восстановлении априори неизвестных управлений, функционирующих в управляемой динамической параболической системе. Модель системы представляет собой краевую задачу для параболического уравнения в частных производных. Управляющие воздействия в динамической системе могут быть заранее неизвестны и должны быть определены по результатам наблюдений за объектом, в частности, по результатам приближенных измерений текущих фазовых положений системы. Восстановленные управляющие воздействия далее могут быть использованы для оценки характеристик управляемого объекта, оперативного принятия решений или более адекватного моделирования. Хорошо известно, что рассматриваемая задача некорректна и ее решение требует привлечения методов регуляризации [3-5].

Подобного рода задачи восстановления для динамических систем изучались в разных постановках в теории управления, теории дифференциальных игр, теории оценивания и идентификации [37,39-45,77].

Задача решается в статическом и динамическом вариантах. Требованием к полученным приближениям является кусочно-равномерная сходимость к

точному решению, которая достигается за счет использования негладкого стабилизатора в функционале Тихонова при статической и динамической регуляризации. Доказываются теоремы сходимости для обоих методов для нового класса задач. Проводится конечномерная аппроксимация задачи. Строятся соответствующие вычислительные алгоритмы и проводится численное моделирование.

Негладкий стабилизатор включает вариацию неизвестного управления. Поэтому в работе решение ищется в классе функций ограниченной вариации. Заметим, что это не очень жесткое ограничение. Во многих прикладных задачах имеется априорная информация о решении, позволяющая сделать вывод о его включении в пространство функций ограниченной вариации. Если решение представляет собой функцию одной переменной, заданную на конечном отрезке, то утверждение такого рода справедливо [38, с. 158], например, в следующих случаях:

а) решение кусочно монотонно и, возможно, имеет конечное число точек разрыва первого рода, положение которых неизвестно;

б) решение имеет конечное число точек разрыва первого рода, положение которых неизвестно, и обладает всюду на отрезке, кроме точек разрыва, конечной производной суммируемой с р-й степенью на этом отрезке (р ^ 1);

в) решение дифференцируемо всюду в области определения, а производная суммируема с некоторой степенью р ^ 1;

г) решение дифференцируемо и имеет конечное число локальных экстремумов, положение которых неизвестно.

Как видим, класс функций ограниченной вариации достаточно широк, а учет принадлежности решения этому классу дает возможность получить приближение «лучшего качества» при решении задач с искомыми функциями, имеющими особенности.

Однако при работе в этом классе функций возникает проблема минимизации негладкого функционала Тихонова, содержащего в стабилизаторе ва-

риацию искомого управления. Поэтому надо искать подходы, позволяющие обойти эту сложность и обеспечивающие при этом кусочно-равномерную сходимость приближенных решений. Один из подходов состоит в сведении негладкого функционала к гладкому функционалу в пространстве более высокой размерности [20]. Другой подход заключается в замене негладкого функционала аппроксимирующим его с некоторой точностью гладким [38, с. 162]. Существует также подход, связанный с заменой пространства функций ограниченной вариации более гладким пространствой И^1- Этот подход был реализован, например, в [15] для уравнения Фредгольма-Стилтьеса первого рода. Тот факт, что пространство И^1 является гильбертовым, позволяет упростить реализацию субградиентного метода при минимизации целевого функционала. В диссертационной работе применен именно этот метод.

Из сказанного выше следует, что тема работы актуальна.

Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, заключение, списки обозначений, литературы (англоязычные источники образуют отдельный ряд), публикаций автора и приложение. В работе принята:

1) двойная нумерация параграфов, первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер параграфа в данной главе. Например, параграф 1.5 — пятый параграф первой главы;

2) тройная нумерация формул, лемм и теорем: первые две цифры указывают на номер параграфа, в котором содержится объект, третья — на номер объекта в данном параграфе. Например, формула 1.5.2 — вторая из пронумерованных формул в параграфе 1.5 первой главы;

3) рисунки и таблицы нумеруются двойной нумерацией: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер объекта. Например, рисунок 2.4 — четвертый рисунок, относящийся ко второй главе.

Задачи восстановления неизвестных управлений в параболических системах, расмотренные в диссертационной работе, представлены в виде отдельных глав. Опишем кратко содержание диссертации по главам, чтобы осветить цели

и задачи исследования, а также степень их проработанности.

Первая глава посвящена задаче восстановления неизвестного распределенного управления в динамической системе параболического типа статическим методом. Рассматривается управляемая система, состояние которой в момент времени t из заданного отрезка времени Т = [¿о, (— оо < ¿о < $ < +оо) характеризуется функцией y\t] = y(t, •), определенной в некоторой области О, евклидова пространства W1, п ^ 1. Эволюция состояний y[t] = y(t,x), х G Г2, во времени описывается параболической краевой задачей [55]

yt = Ly + f(x)-u{t), (t,x) G Q = Г х fi, (0.0.1)

y(t0,x)=y0(x), х<ЕП, (0.0.2)

y(t,x) = 0, t£T, хеГ = Ш, (0.0.3)

где уо = уо(х), х G fi, — начальное состояние системы; f=f(x)=(fi(x),...,fm(x)), х G fi, — заданная векторная функция; и — u(t) = ...,um(t)) — вектор

управляющего воздействия на систему в момент времени i G T; L — заданный дифференциальный оператор, отражающий динамические свойства системы [55],

^ О О ^ О

^ = Е ^ ( ММ)^ ) + £ ^ (<.(*, + (0'°'4)

i,j=1 J г=1

п Я п

+ ^ bi(t, x)~q~ + a(i, аО У ; Oij = aji, (a2 + б2 + а2) ^ С, (0.0.5)

¿=1 4 г=1

п п п

IV » «< IV

v X & ^ X & & ^ X ' м = const ^ ^= const > (°-0-6)

i=l ij=l г=1

где С = const > 0. Пусть Р — выпуклое компактное множество из Rm. Всюду в работе будем считать, что допустимые значения управляющего воздействия подчинены априори известным геометрическим ограничениям u(t) G Р С Мт, t G Т, характеризующим возможности управления или отражающим известные оценки его допустимого изменения.

Управляющие воздействия и в динамической системе заранее неизвестны. Задача восстановления состоит в том, чтобы по результатам у§ = узЩ, 4 6 Т, приближенных измерений наблюдаемого движения системы у = уЩ, £ £ Т, определить ту реализацию и = £ £ Т, управляющего воздействия на систему, которая соответствует результатам наблюдений. При этом результат щ = £ Е Т, восстановления искомого управляющего воздействия и = £ е Т, должен быть тем точнее, чем меньше ошибки измерений. Задача решается в статическом варианте, то есть для рассчета можно использовать совокупность данных на всем временном отрезке. Алгоритм не учитывает возможного изменения этих данных в процессе расчета.

В параграфах 1.1 и 1.2 дается строгая математическая постановка задачи, исследуются свойства введенной в рассмотрение динамической системы, которые будут использоваться при обосновании выбранного способа решения задачи.

В параграфе 1.3 предлагается апостериорный метод регуляризации Тихонова с негладким стабилизатором в виде суммы классической вариации и нормы пространства Ь2. Приводится доказательство основного утверждения о том, что построенный метод позволяет получить поточечную сходимость, сходимость в ¿2, сходимость вариаций и кусочно-равномерную сходимость.

Модифицированный вариант метода Тихонова относится к вариационным методам регуляризации и включает задачу минимизации негладкого функционала. Для построения минимизирующих последовательностей целевого функционала можно [15] аппроксимировать допустимые управления функциями из пространства Соболева И^ (Т)"\ Это позволяет воспользоваться техникой гильбертова пространства и упростить вычисления градиентов и субградиентов целевого функционала, требующихся в методе проекции субградиента. Необходимые вычисления, а также вид метода проекции субградиента, приводятся в параграфе 1.4. Доказывается утверждение о том, что при подходящем выборе параметров метода он решает задачу минимизации.

Поскольку восстановление управлений связано с минимизацией функционалов в бесконечномерных пространствах, то для численной реализации алгоритма требуется конечномерная аппроксимация задачи восстановления. Далее в параграфе 1.5 для частного случая эллиптического оператора, а именно:

П ^ ^ гу

г,3=1 1 3

выполнена конечномерная аппроксимация задачи восстановления, основанная на методе разделения переменных. Исходные экстремальные задачи, содержащие функции со значениями из пространства 1/2 (Г^), аппроксимируются вспомогательными задачами, содержащими функции со значениями из ЛГ-мерного евклидова пространства. Доказывается теорема об аппроксимации (при определенных условиях согласования параметров метода полученный алгоритм также решает задачу восстановления и дает, кроме традиционного для данного класса задач среднеквадратичного приближения, поточечную сходимость, сходимость вариаций и кусочно-равномерную сходимость).

В заключение первой главы в параграфе 1.6 приводятся результаты вычислительных экспериментов для модельной краевой задачи параболического типа первого рода. Рассматривались случаи восстановления гладкой, кусочно-гладких и разрывных функций. Тонкая структура искомого управления в значительной степени была восстановлена, что продемонстрировало работоспособность предложеного алгоритма.

Во второй главе разрабатывается метод статической реконструкции граничных управлений в динамической системе параболического типа [55]

Уй = Ау + /(ь1х), (г,х)еЯ = Тх п, (0.0.7)

у(г0,х) = у0(х), хеС1, (0.0.8)

ду

а1'дЛ¿ + а2-У = 9{х)-и{г), ьет, хеГ = дП, а1+а2>0, (0.0.9)

где о\ и о"2 — неотрицательные постоянные; уо = уо(х), х £ 17, — начальное состояние системы; / и д — заданные функции; ду/дЫ — внешняя конормаль-

ная производная, соответствующая оператору А] и = = (щ^), ...,ито(£)) — вектор управляющего воздействия на систему в момент времени Ь Е Т] А — заданный линейный самосопряженный дифференциальный оператор второго порядка, отражающий динамические свойства системы [55],

cos (7, Xj) — j-й направляющий косинус внешней нормали 7 к границе Г в точке х G Г. Требуется по совокупности результатов приближенных измерений наблюдаемого движения, полученных в течение времени Г, восстановить зависящую от времени компоненту и действующего на границе заранее неизвестного управления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Михайлова, Дарья Олеговна, 2013 год

Литература

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. 351 с.

2. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 4. С. 195-198.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

4. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

5. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

6. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ Наука, 1993. 262 с.

7. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. 92 с.

8. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501 - 504.

9. Писаревский Б.М., Харин В.Т. Про математику, математиков и не только. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 302 с.

10. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленны задач и выборе параметра регуляризации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. № 1. С. 170 - 175.

11. Страхов В.Н. О выборе константы в правиле А.Н. Тихонова задания параметра регуляризации при решении линейных условно-корректных задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т. 21. № 5. С. 1315 - 1318.

12. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Издательство ЛКИ, 2009. 480 с.

13. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

14. Агеев А. JI. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. № 4. С. 819 - 836.

15. Васин В.В., Сережникова Т.И. Об одном алгоритме решения уравнения Фредгольма - Стилтьеса // Известия вузов. Математика. 2001. № 4. С. 3 - 10.

16. Васин В.В., Сережникова Т.И. Двух этапный метод аппроксимации негладких решений и восстановление зашумленного изображения // Автоматика и телемеханика. 2004. № 2. С. 126 - 135.

17. Васин В.В. Регуляризация и дискретная аппроксимация некорректных задач в пространстве функций ограниченной вариации // Доклады РАН. 2001. Т. 376. № 1. С. 11 - 14.

18. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 586 - 589.

19. Васин В.В. Аппроксимация негладких решений линейных некорректных задач // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12. № 1. С. 64 - 77.

20. Леонов A.C. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22. № 3. С. 516 - 531.

21. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 212 с.

22. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве. // Дифференц. уравн. 1970. Т. 6. № 8. С. 1490 - 1495.

23. Страхов В.Н. Об алгоритмах приближенного решения линейных условно-корректных задач. // Докл. АН СССР. 1972. Т. 207. № 5. С. 1057 - 1059.

24. Танана В.П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач. // Сиб. журн. индустр. матем. 2002. Т. 5. № 4. С. 150 - 163.

25. Танана В.П., Колесникова Н.Ю. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи для параболического уравнения. // Известия вузов. Математика. 2009. № 9. С. 46 - 52.

26. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. №2. С. 51 - 60.

27. Кряжимский A.B. О работах Ю.С. Осипова по математической теории уравления. // УМН. 2006. Т. 61. Вып. 4. С. 5 - 24.

28. Короткий А.И., Цепелев И.А. Динамическое решение обратной задачи определения параметров в системе Гурса-Дарбу // Труды Института математики и механики УрО РАН. 1995. Т. 3. С. 88 - 103.

29. Розенберг B.JI. О восстановлении функции источника в параболическом уравнении // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1994. № 6. С. 126 - 130.

30. Короткий М. А. Восстановление управлений и параметров методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Известия вузов. Математика. 2009. № 2. С. 76 - 82.

31. Короткий М.А. Восстановление управлений статическим и динамическим методами регуляризации с негладкими стабилизаторами // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 1. С. 39 - 53.

32. Короткий М.А. Метод регуляризации Тихонова с негдадкими стабилизаторами: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.07. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2009. 132 с.

33. Ким A.B., Короткий А.И., Осипов Ю.С. Обратные задачи динамики параболических систем // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. № 5. С. 754 - 759.

34. Короткий А.И. Прямые и обратные задачи управляемых систем с распределенными параметрами: дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1993. 331 с.

35. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. 304 с.

36. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2011. 292 с.

37. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. 237 с.

38. Леонов A.C. Решение некорректно поставленых обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. 336 с.

39. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.

40. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

41. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

42. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

43. Черноусько Ф.Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

44. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 623 с.

45. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988. 332 с.

46. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // Докл. АН СССР. 1975. Т. 223. № 6. С. 1314-1317.

47. Кряжимский A.B. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Докл. АН СССР. 1978. Т. 239. № 4. С. 779 - 782.

48. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона - Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

49. Третьяков В.Е. К теории стохастических дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. № 5. С. 1049 - 1053.

50. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 4. С. 29 - 36.

51. Ушаков В.Н. К свойству стабильности в игровой задаче о сближении с фиксированным моментом окончания // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 7. С. 1034 - 1046.

52. Субботин А.И., Субботина H.H. Функция оптимального результата в задаче управления. Докл. АН СССР. 1982. Т. 266. № 2. С. 294 - 299.

53. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

54. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.

55. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука,

1973. 408 с.

56. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

57. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука,

1974. 480 с.

58. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1973. 352 с.

59. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

60. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 496 с.

61. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002. 824 с.

62. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

63. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.

64. Демьянов В.Ф., Васильев В.П. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 384 с.

65. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

66. Scherzer О., Engl H.W., Kunisch К. Optimal a posteriori parameter choise for Tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed problems // SIAM J. Numer. Anal. 1993. V. 30. № 6. P. 1796 - 1838.

67. Kunisch K., Ring W. Regularization of nonlinear ill-posed problem with closed operators // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1993. V. 14. № 3-4. P. 389 - 404.

68. Tautenhahn U. Error estimates for regularized solutions of nonlinear ill-posed problems // Inverse Problems. 1994. V. 10. № 2. P. 485 - 500.

69. Vasin V.V. Regularization and iterativ approximation for linear ill-posed problems in the space of function of bounded variation // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Supplement 1. - 2002. P. 225 - 239. Translated from Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. Vol. 8. № 1. 2002.

70. Vasin V.V., Korotkii M.A. Tikhonov regularization with nondifferentiable stabilizing functional // Journal of Inverse and 111-Posed Problems. 2007. Vol. 15, № 8. P. 853 - 865.

71. Leonov A.S. Regularization of ill-posed problems in Sobolev space W\ // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2005. Vol. 13. № 6. P. 595 - 619.

72. Giusti E. Minimal surfaces and functions of bounded variations. Basel: Birkhauser, 1984. 239 p.

73. Acar R., Vogel C.R. Analysis of bounded variation penalty method for ill-posed problems // Inverse Problems. 1994. Vol. 10. P. 1217- 1229.

74. Chavent G., Kunish K. Regularization of linear least squares problems by total bounded variation control // Optimization and Calculus of variation. 1997. Vol. 2. P. 359 - 376.

75. Vogel C.R. Computation methods for inverse problems. Philadelphia: SIAM, 2002. 183 p.

76. Neubauer A., Scherzer O. Finit - dimensional approximation of Tikhonov-regularized solutions of nonlinear ill-posed problem // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1990. V. 11. № 1-2. P. 85 - 99.

77. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. L.: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

78. Subbotina N.N. Asymptotic properties of minimax solutions of Isaacs -Bellman equations in differential games with fast and slow motions //J. Appl. Math. Mech. 1996. Vol. 60. № 6. P. 883 - 890.

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

79. Соболева Д. О. Реконструкция управлений в параболических системах // Вестник Бурятского государственного университета. Математика и информатика. 2010. Вып. 9. С. 59 - 67.

80. Короткий А.И., Михайлова Д.О. Восстановление управлений в параболических системах методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 4. С. 211 - 227.

81. Короткий А.И., Михайлова Д.О. Восстановление граничных управлений в параболических системах // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 1. С. 178 - 197.

82. Короткий А.И., Михайлова Д. О. Восстановление распределенных управлений в параболических системах динамическим методом // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. № 1. С. 160 - 169.

83. Михайлова Д. О. Аппроксимация и численное моделирование задачи динамической реконструкции управлений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18, вып. 5. С. 2611 - 2612.

Другие публикации

84. Соболева Д. О., Короткий А.И. Восстановление управлений в параболических системах методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Материалы конференции «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», посвященной 50-летию кафедры вычислительной математики и математико-механического факультета Уральского государственного университета им. А.М.Горького (Екатеринбург, 21 - 22 апреля 2010 г.). Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2010. С. 85 - 90.

85. Соболева Д. О., Короткий А.И. Реконструкция управлений в параболической системе методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Тезисы доклада на Всероссийской школе-конференции молодых исследователей и V Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 13 - 18 сентября 2010 г.). Екатеринбург: УрО РАН, 2010. С. 75 - 76.

86. Михайлова Д. О. Численное моделирование задачи реконструкции управления в параболической системе // Тезисы доклада на XIV Всероссийской конференции «Математической программирование и приложения» (Екатеринбург, 28 февраля - 4 марта 2011 г.). Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования № 12. Научное издание. Екатеринбург: УрО РАН, 2011. С. 266 - 267.

87. Михайлова Д.О. Реконструкция граничных управлений в параболических системах // Материалы IV Международной конференции «Математика, ее приложения и математическое образование» (МПМО'11) (Россия, Бурятия, Улан-Удэ, 27 июня - 1 июля 2011). Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ (ВосточноСибирский государственный технологический университет), 2011. Часть 2. С. 123 - 127.

88. Михайлова Д. О. Численное моделирование задачи реконструкции граничных управлений в параболических системах // Тезисы докладов Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной памяти В.К. Иванова (Россия, Екатеринбург, 31 октября -5 ноября 2011 г.). Екатеринбург: Издательство Уральского федерального университета, 2011. С. 154 - 155.

89. Михайлова Д. О. Восстановление управлений в параболических системах динамическим методом // Тезисы докладов Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной

80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Россия, Новосибирск, Академгородок, 5-12 августа 2012 г.). Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2012. С. 218 - 219.

90. Михайлова Д. О. Восстановление статическим методом распределенных и граничных управлений с результатами численного моделирования // Тезисы докладов IV Международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректные задач» (Россия, Новосибирск, Академгородок, 5-15 августа 2012 г.). Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2012. С. 85.

91. Михайлова Д. О. Динамическая реконструкция граничных управлений в параболических системах // Тезисы докладов Всероссийской школы-конференции молодых исследователей и VI Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова (Россия, Абрау-Дюрсо, 10 - 15 сентября 2012 г.). Екатеринбург: УрО РАН, 2012. С. 53 - 54.

92. Михайлова Д. О. Численное моделирование задачи реконструкции управления в параболических системах динамическим методом // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях» (Иркутск (Россия), 23 - 26 июня 2013 г.). Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2013. С. 35.

93. Михайлова Д.О. Реконструкция граничных управлений в параболических системах динамическим методом // Тезисы докладов II Российско-Монгольской конференции молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению (Иркутск (Россия) - Ханх (Монголия), 25 июня - 1 июля 2013 г.). Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2013. С. 44.