Нелинейные вариационные аналитические и коаналитические задачи в областях произвольного вида тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Осипенко, Алексей Сергеевич

• Осипенко, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Осипенко, Алексей Сергеевич

Содержание.

Введение

Глава 1. Разложение полной шкалы пространств Соболева

в сумму аналитических и коаналитических подпространств

1. Функциональные пространства.

Аналитическое и коаналитическое подпространства

2. Основное ортогональное разложение.

Аналитический и коаналитический проекторы

3. Основное разложение в неограниченных областях

4. Интегральные представления аналитического проектора

5. Об общем виде линейных непрерывных функционалов

на аналитическом подпространстве

Глава 2. Аналитическая задача

6. Оператор конграничного дифференцирования

7. Модельный пример аналитической вариационной задачи

8. Аналитическая задача вариационного типа (общий случай)

9. Аналитическая задача вариационного типа

в неограниченных областях

10. О структуре аналитических функционалов

Глава 3. Коаналитическая задача

11. Модельная задача

12. Существование и единственность

наилучшего продолжения

13. Случай градиентной метрики

Глава 4. Основное разложение в рамках клиффордова анализа

14. Определения

15. Декомпозиционная теорема в пространствах У^™Ап{Сх)

16. Интегральное представление проектора на М.{1)р^г1{Вп)

Глава 5. "Аналитические" и "коаналитические" задачи

в рамках клиффордова анализа

17. Модель конграничного дифференцирования

18. Модельная "аналитическая" задача

19. "Аналитическая" задача. Общий случай

20. "Коаналитическая" задача

21. Случай чисто градиентной метрики

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные вариационные аналитические и коаналитические задачи в областях произвольного вида»

Введение.

Диссертация посвящена исследованию нестандартных краевых задач для уравнений с частными производными, которые (задачи) возникают как математические модели задач на аналитических и коаналитических подпространствах пространств Соболева W™{G).

Изучение нелинейных аналитических и коаналитических вариационных задач было начато в недавних работах Ю.А. Дубинского (см. список литературы), в которых был получен ряд соответствующих краевых задач неклассического типа: периодическая аналитическая задача с дополнительным потенциалом, аналитическая задача без граничных условий, включение Эйлера задачи минимизации коанали-тического уклонения и другие. Однако исследования Ю.А. Дубинского относились либо к случаю соболевских пространств W™(G), т.е. р = 2, либо к случаю р > 1, но для специальных областей G.

Одной из основных целей настоящей работы является формирование и исследование аналитических и коаналитический вариационных моделей в банаховом случае пространств W™(G), р > 1, для произвольной области G С С1. Кроме того, в диссертации получено и многомерное обобщение теории (область G С Мп), которое оказалось возможным осуществить, используя подходы клиффордова анализа, активно развивающегося в последние годы в работах прежде всего математиков США и Германии.

Необходимо отметить, что ключевым моментом при формировании самих математических моделей аналитических и коаналитических задач является разложение шкалы соболевских пространств W™(G), р > 1, т = 0, ±1,..., в сумму аналитических и коаналитических подпространств, которое имеет, на наш взгляд, и самостоятельный интерес, и которому в работе уделено значительное внимание.

Typeset by Д^-ТеХ

Исследования, представленные в диссертации, проводятся в рамках общей теории уравнений с частными производными на базе как вещественной, так и комплексной теории функций и функционального анализа, в многомерном случае — в рамках клиффордова анализа. При решении поставленных задач используются методы исследования дифференциальных уравнений, созданные в теории коэрцитивных и монотонных операторов. Широко использованы пространства Лебега и Соболева. Существенную роль в получении основных результатов сыграло использование теоремы о полном наборе £р-изоморфизмов в теории эллиптических задач.

В работе представлены следующие основные результаты:

1. Установлено разложение полной шкалы пространств Соболева Иг™{0) в прямую сумму аналитических и коаналитических подпространств при произвольном 1 < р < оо.

2. Получены интегральные представления аналитического проектора для различных областей, в том числе для полосы.

3. Получено описание линейных ограниченных функционалов над аналитическими пространствами Соболева.

4. Изучена нелинейная аналитическая задача вариационного типа в рамках пространств Соболева (<7).

5. Исследована задача о минимизации коаналитичекого уклонения при продолжении заданной граничной функции внутрь области.

6. Основные результаты перенесены на многомерный случай в рамках клиффордова анализа.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер.

Основные результаты диссертации докладывались на научно- исследовательских семинарах: семинаре МИР АН им. В. А. Стеклова

под руководством акад. РАН С.М. Никольского, члена-корр. РАН О.В. Бесова и члена-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева, семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Ю.А. Дубин-ского, семинаре по вычислительной математике и математическому моделированию под руководством проф. A.A. Амосова и проф. A.A. Злотника (кафедра математического моделирования МЭИ), а также на совместном заседании семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического общества (девятнадцатая сессия, Москва, МГУ).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14 -17], [27, 28].

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, излагаются цели диссертации, в сжатом виде приводятся основные результаты работы.

В главе 1 устанавливается основное разложение полной шкалы соболевских пространств в сумму аналитических и коанали-

тических подпространств.

В §1 вводятся основные функциональные пространства. Пусть С — ограниченная область с гладкой границей Г на плоскости Сг, 2 = х + {у. Через 1 < р < оо обозначим пространство

Соболева функций, определенных в области С. При отрицательных т, т.е. при т = -1, -2,... = (И^™^))*. В вводится

стандартная норма 11 • 11 т .

В пространствах IV™ (О) определим подпространство аналитических функций О™(С) и коаналитическое подпространство (О™}1 (С) — {¡(г) е и: ШМ*)) = О Ы*) е 0;Г(0)}, здесь (.,.) означает отношение двойственности в паре пространств УУ™(0),\¥~,гп(С).

Далее, введем пространства

Ш™0(в) а= сотр1 У0°°(С), теЖ,

являющиеся пополнениями пространства У0°° (С) = С°° (О) П Со (О) по н°Рме 1НЦР-

Ясно, что при т > 1 пространство УУ™0(С) можно отождествить с

о ^ _

пространством Ш™{С) П И7"^(С). Если же т < 0, то элементы f(z) Е Ш™0(С) принимают нулевые значения на границе Г в слабом смысле, т.е. в смысле интегральных тождеств, определяющих операторы дифференцирования дг и д^ (или, что то же, и щ)

{дяПг)М*)) =

где /(г) € У/™^), а пробные функции <р(г) суть произвольные функции из пространства 1У~,гп+1 (С).

В §2 доказан основной результат диссертации — теорема о разложении полной шкалы пространств Соболева в прямую сумму аналитических и коаналитических подпространств.

Теорема 2.1. Имеют место следующие утверждения.

\ { д ^ \

А) При любом т = 0, ±1,... оператор дг = - ( —--г— ) определяет

2 \ох оу ]

эллиптический изоморфизм

дя : <—► Б) Пространство Ц1™ (С) разлагается в прямую сумму

или, что то же в силу А),

Ш™(С) = <Э™(С) 0 дг}¥™+1(0). (1)

Говоря об эллиптическом изоморфизме, мы имеем в виду, что функция £ тогда и только тогда, когда существует

единственная функция г (г) Е И7^"1 (С) (коаналитичеекий потенциал), являющаяся решением уравнения

д2г(г) = ф).

При этом справедлива оценка М-1 |к(2)11т,Р ^ 11г(2)11т+1,р -М , где М > О — постоянная.

Разложение (1) играет основную роль при формировании ряда нестандартных математических моделей вариационного типа, описываемых в последующих параграфах, однако, оно имеет и более

широкий самостоятельный интерес. В частности это разложение дает возможность описать структуру произвольного линейного ограниченного функционала над соболевскими пространствами аналитических функций.

Доказательство теоремы 2.1 основано на построении аналитического (Ра) и коаналитического (Р^) проекторов

Ра=1- 4дя А-1^

Ра = ^Ло1^-

1 ( д д \

Здесь дг — ~ ( о—Ь ^ ), а Д0 1 — разрешающий оператор одно-2 \ох оу )

родной задачи Дирихле для уравнения Пуассона. При доказательстве ограниченности этих проекторов используется известная теорема об Ьр-изоморфизмах в теории эллиптических задач.

В §3 теорема 2.1 формулируется для неограниченных областей на примере полуплоскости {г : 1т г > 0} и полосы {г : — 1 < 1тг < 1} (теорема 3.1). Далее, для полуплоскости и полосы установлено разложение типа (1) в терминах анизотропных пространств Соболева \¥™р(С) (га > 0) функций /(г) с конечной нормой ||/||^т =

х ,р

ЕГ=о & Р. При т < 0 по определению Ш™р(0) = (^(С))*.

р

Теорема 3.2. Функция д(г) £ (га > 1, 1 < р < оо)

удовлетворяет условию ортогональности

{д(г),<ра(г)) = 0

для любой аналитической функции <ра{г:) Е О™(С) тогда и только тогда, когда существует (единственное) решение задачи

дят{г) = ф), ф) е V-1W--(G),

■м

= 0

г

При этом справедлива оценка

где М > 0 — постоянная, зависящая от т, р.

Здесь V_1ИлaГ™(G') — пространство функций, которые вместе со своими обобщенными производными по переменным х и у принадлежат пространству Норма в пространстве вводится следующим образом

г

мл-™

гг х,р

+

дг дх

+

дг ду

ж-™

В силу вложения V-1W7aГ™ С С([—1,1]; ИЛр-т(М1)) определены следы функций из (6') на границе области (У.

В §4 получены интегральные представления аналитического проектора Ра для некоторых областей. В частности, для круга

Р-/М = \ //

ДО

1С|<1

(1 - гС)2

-=-с1£(1г1, С = С + Щ,

т.е. проектор Ра является классическим проектором Бергмана.

Укажем также интегральное представление аналитического проектора для полосы О = {г : — 1 < 1тг <1}

Ж)

<з

+ сЬ5(*-0

С = С + щ-

В §5 на основе разложения (1) получена теорема об общем виде линейного непрерывного функционала на пространствах Соболева аналитических функций.

Теорема 5.1. Пусть На (Е ((9™(С))* — линейный непрерывный функционал на О™(О), 1 < р < оо, га Е Z. Тогда существует единственная аналитическая функция ка{г) £ 0~,ш{0) такая, что

На(Л = </(*и«(*)>, /(*) € (2)

(здесь (•,•) означает отношение двойственности в паре пространств При этом имеет место оценка

Обратно, если функция ка{г) Е 0~,гп{0), то формула (2) определяет линейный непрерывный функционал на аналитическом подпространстве О™ (О).

Таким образом, теорема 5.1 устанавливает (сопряженно линейный) изоморфизм

(0?(0)Г = о;г(с),

который можно рассматривать как естественное обобщение теоремы Рисса (об общем виде линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве) на случай полной шкалы пространств

В главе 2 исследуется нелинейная аналитическая задача вариационного типа, которая имеет следующий вид

гп

^{РгУЫ*, /(*)> /'(*), • • • /(т) М) + М*) = М-*),

&=о (3)

Ф)|г = о,

здесь дифференциальный оператор <9р является сопряженным к так называемому оператору конграничного дифференцирования дг (см. ниже).

Особенностью этой задачи является то, что в ней неизвестными являются две функции: f(z) — аналитическая функция в области G, и r(z) — коаналитический потенциал.

В §6 определяется оператор конграничного дифференцирования

<9Г =fa(x,y)^- + b(x,y)-^-,

где а(х,у),Ь(х,у) — комплекснозначные, гладкие в G функции, удовлетворяющие следующим соотношениям

а(х,у) + ih{x,y) = 1 bG,

а(х,у) eos а -j- Ъ{х, у) sin а? = 0 на Г,

где а — угол между внешней нормалью к границе и осью х.

Далее, через обозначим оператор, формально сопряженный к <9р

д -г, д

Оператор дг обладает следующими свойствами.

Утверждение 6.1. Оператор дг является расширением оператора аналитического дифференцирования. Другими словами, если /(г) — аналитическая функция, то дг/(г) =

Утверждение 6.2. Пусть и(г), д^и(г) Е ЬР(С), у(г),дгу(г) Е ЬР'(С), где р и р' — сопряженные по Гельдеру показатели. Тогда справедлива формула интегрирования по частям

^ и(г)дгу(г)с1хс1у = ^ ^ги(г)у(г)с1хс1у. в с?

В §7 исследована модельная задача о минимизации функционала типа нормы на подпространстве аналитических функций. Получено уравнение Эйлера соответствующей вариационной задачи.

В §8 доказана теорема о разрешимости задачи (3) в предположении, что функции Ak удовлетворяют следующим условиям:

1) Условие степенного роста:

для почти всех z G G и всех £о, ? • • • Лт £ С

m

IAk(z,£о,... ,£m)| < Mi ЮР-1 + ffk(z), к — 0,1,... ,т,

3= О

где gk(z) - некоторые действительные функции из LP'(G).

2) Условие коэрцитивности:

m

Re /,...,/<"■>),/<*>)

—^-^--► оо при \\f\\mtp <х> (/ 6

II«' llm,p

Теорема 8.1. Пусть функции Ak(z,£o,... ,£т) удовлетворяют условию Каратеодори и условиям 1) 2). Тогда для любой правой части h(z) G W~,rn(G) существует по крайней мере одна пара функций f(z) G О™ (G), r(z) G являющихся обобщенным решением

задачи (3).

Теорема доказана в рамках идей метода компактности. В качестве достаточного условия, гарантирующего единственность решения, можно предложить условие строгой монотонности оператора

m

£ (д*г)к A&(z, f(z), f(z),... , /<"> (z)).

к=О

В §9 доказана разрешимость задачи (3) для полуплоскости и

полосы в рамках анизотропных пространств Соболева W™p(G). В

д

задаче (3) в качестве оператора <9г взят оператор 7—.

Теорема 9.1. Пусть функции ... ,£т) удовлетворяют усло-

вию Каратеодори и условиям 1), 2). Тогда для любой к(г) Е существует по крайней мере одна пара функций /(г) Е О™{С) и г (г) Е (г (г) = 0), являющихся решением задачи (3) в

смысле обобщенных функций над пространством (т >1).

В §10 на основе результатов §8, §9 получено структурное представление произвольного линейного непрерывного функционала на пространствах Соболева аналитических функций.

Теорема 10.1. Произвольный линейный ограниченный функционал ка(х) Е (О™(С))* представим в виде

т к=0

где ,ка;ГП(г) — некоторые аналитические функции из про-

странства Бергмана Орг(С).

В главе 3 исследуется вариационная задача о минимизации коана-литического уклонения.

Определение. Мерой неаналитичности или, что то же самое, коаналитическим уклонением функции ¡(г) Е Шр(С) (1 < р < оо) назовем число

где /о(^) — аналитическая составляющая функции /(г) в смысле разложения IV} (в) = ОЦС) ф (01р)±(С).

С учетом этого определения естественно поставить задачу о поиске такого продолжения заданной граничной функции внутрь области, которое бы наименее уклонялось от аналитического подпространства в смысле минимума /¿р(/).

Задача 11.1. Пусть /0(7) Е (Г) — функция, определенная

на границе Г области О. Среди всевозможных продолжений /(2;) Е

И? (С?),

/М|г=/о(7), найти то, которое минимизирует функционал /%>(/).

В §11 показано, что математической моделью поставленной задачи является краевая задача для дифференциального включения

-Др(/ - /в) + |/ - /аГ2(/ - /а) Е 0^(0), при дополнительных условиях

/М|г=/о(7),

-О,

г

где Ар(и) = (Ну 2\7-и) — р-лапласиан, Ра — проектор на

пространство следов аналитических составляющих функций класса

пцс).

В §12 в рамках идей теории монотонных операторов доказана теорема о существовании и единственности решения задачи о коана-литическом уклонении.

Теорема 12.1. Для любой функции /0(7) существует

единственное решение /(г) Е И^ (С) задачи /%>(/) —» т£ о минимизации коаналитического уклонения.

§13 посвящен исследованию задачи о минимизации коаналитического уклонения в смысле чисто градиентной метрики

В случае, когда область С = В\ — круг на комплексной плоскости, показано, что наилучшим (в смысле /¿2) является гармоническое продолжение. Тем самым, гармоническое продолжение (в круге) минимизирует не только интеграл Дирихле, но и интеграл коаналити-ческого уклонения

М2(/) = ||У(/-/а)||2МВ1).

В главе 4 основное ортогональное разложение переносится на многомерный случай в рамках клиффордова анализа. При этом в роли аналитического подпространства выступает пространство лево-регулярных функций (ядро оператора Дирака).

В §14 вводятся основные определения.

Пусть Ап — действительная, ассоциативная, но не коммутативная алгебра Клиффорда размерности 2П с образующими е0 = 1, е^,... ,ега, удовлетворяющими соотношениям

eiej + — —21 < ^ < п, 1 < 3 < п,

где — символ Кронекера. Базис в Ап составляют элементы е0,е!,... ,еп, ..., е^ ---е..., е1---еп, где I < Зг <• - < Зг < п, 1 < г < п. Произвольный элемент х Е единственным образом представляется в виде

Ж - ^ ^ ^(Х^-ОС ■>

а

где коэффициенты ха Е К; базисные элементы еа = еа1 • • -еаг (г < п); мультииндекс а = {«1,... ,аг}, 1 < «1 < ... < аг < п. Норма элемента х — ^2хаеа £ ^п определяется формулой \х\ = (X] lж«|2)1^2•

a: а

Пусть через F(G) обозначено некоторое пространство действительнозначных функций, определенных в области С С К.п. Мы будем

говорить, что f(x) = fa{x)ea G —У Ап принадлежит функциональному пространству FAn(G) тогда и только тогда, когда все функции fa(x) являются элементами пространства F(G). Если, кроме того, F(G) является нормируемым пространством, то в FAn{G) норма вводится следующим образом

\\f(X)\\2FAn(G) =SH/«(®)IIf(G)-

ос

Определение 14.1. Оператором Дирака назовем дифференциальный оператор первого порядка

n Q j=i 3

Определение 14.2. Функцию f(x) £ CAn (G) назовем регулярной слева (left regular) в области G, если /(ж) удовлетворяет в G дифференциальному уравнению

Df(x) = 0.

Подпространство левых регулярных функций в W™A (G) обозначим через Ai(i)™An(G). Таким образом

M(D™An(G) = KerD(G) П W£An(G) = {/(*) G W£An{G) : Df(x) = 0} .

Далее, подпространство функций из W™An{G), ортогональных к в смысле отношения двойственности в паре пространств W™aJG), W;rAn{G) обозначим через (М^АУ(0). Другими словами

(М(1%АУ(с) =

{/(*) е W™aJG) : (f(x)Mx)) = о е M(1>JX(G)} .

В §15 доказывается основная декомпозиционная теорема в рамках клиффордова анализа

Теорема 15.1. Справедливы следующие утверждения. А) При любом m = 0, ±1,... оператор Дирака D определяет эллиптический изоморфизм

D : W^XJG) «-► (MwZtJ^G).

Другими словами, функция q(x) Е (Л4(1)^Ап)±'(G) тогда и только тогда, когда существует (единственная) функция r(x) Е (G),

являющаяся решением уравнения

Dr(x) = q(x).

Б) Пространство W™An (G) разлагается в прямую сумму

Wpyn(G) = M(i^AJG)e(M(i^AJ±(G), mez,l<p<00, (4) или, что то же в силу А),

W™An(G) = M(,)™(G) ф DW^JG). Доказательство теоремы 15.1 основано на построении проекторов

Рг = 1 + DA-'D : W™An(G) M(i)™An(G)

и

Pf = -DA-'D : W™An(G) {M(i)™AJL(G).

Следствием разложения (4) является теорема об общем виде линейного непрерывного функционала на пространствах лево-регулярных функций.

Теорема 15.2. Пусть Hi G — линейный непрерыв-

ный функционал на A4(i)™Ar(G), 1 < р < оо, то G Z. Тогда существует единственная регулярная слева функция hi(x) G такая,

что

Mf) = </(*), М*)>, /(*) е M(D™An(G). (5)

При этом имеет место оценка

№11 (M(1)™AJG))* < ll^ll-m,p' ^ l№H(.M(i)™An(G))* •

Обратно, если функция hi{x) G A^z)"/1^(Gr)? то формула (5) определяет линейный непрерывный функционал на -M-(i)™An(G). Таким образом, равенство (5) определяет (сопряженно линейный) изоморфизм Hi(f) ->■ Ы(х) между пространствами (M{i)™An(G)Y и M{i)~™An{G).

В §16 на основе дифференциально операторного представления проектора Р/

Pi = I + DA^D

получено его интегральное представление. В случае, когда область G = Вп — единичный шар в Мп, показано, что

fi(x) = Pif(x) = — [ Dy хЫ ~УП ■ f(y)dy, f(x) G M(i)PtAn(Bn),

Un J ~ L.l _ JL

Br

ы

где шп — 27гп/2Г 1(п/2) — площадь поверхности единичной (п — 1)-мерной сферы в Мп, п = 2,3,...

В главе 5 в рамках клиффордова анализа изучаются аналоги аналитической и коаналитической задач. Основные результаты переносятся на многомерный случай.

В §17 строится модель конграничного дифференцирования в многомерном случае.

Определение 17.1. Операторами конграничного дифференцирования (в области С?) назовем набор дифференциальных операторов первого порядка д?! (г = 1,2,... ,п) следующего вида

где И — оператор Дирака, а коэффициенты аДж) £ :

(2 —> АП(ШП) удовлетворяют на границе области условию

сц(х) = щ(х)и(х).

Здесь

г/(х) = Р\(х)е1 + Р2(х)е2 + ... + ип(х)еп

— единичная внешняя нормаль в точке х £ <9(7.

Операторы др{ обладают следующими свойствами.

Утверждение 17.1. На подпространстве левых регулярных функ-

д

ции оператор дг■ совпадает с дифференциальным оператором ——

ОХ{

(г = 1,2,.. .п).

Утверждение 17.2. Пусть /(х) £ д(х) £

Тогда имеет место формула интегрирования по частям

(дг Лх),д(х)) = (Нх),^д(х)),

здесь = -¿т - В(а{(х)-).

В §18 строится математическая модель задачи о минимизации функционала типа нормы на подпространстве лево-регулярных функций. Исследуется уравнение Эйлера этой вариационной задачи.

В §19 изучается аналог нелинейной аналитической задачи в рамках клиффордова анализа. Рассмотрим в области <7 С нелинейную вариационную задачу порядка 2т (т > 1)

£ (д?)*Аа(х, /(*),... , £>£/(*),...) + = к(х),

1«1<"» (6)

г(х) = 0.

г

Здесь а = (а1}а2,... ,ап), ¡3 = (/?ь/32, • • • ,/?п) — мультииндек-сы, (|ск|, \(3\ < т); Аа(ж,£0, • • • • • •) — функции, определенные при х Е С, ^¡з Е Ап и принимающие значения в алгебре Ап. Далее, через <9р обозначен дифференциальный оператор <9р = д*г1 • • • д?п'•> соответственно (<9р )* — сопряженный оператор ($р)* = (5р )а" • •. (с^)"2^^)"1. Через обозначен дифференци-

2 01*1 1

альный оператор —„-ъ-з—, а И — оператор Дирака.

дх ^1 дх^2 ... дхп

Допустим, что выполнены следующие условия.

1) Условие степенного роста:

для почти всех х Е С? и всех Е Ап имеет место оценка

< Мг ^ 1^/зГ-1 +9<*(х), \а\ < ш, Р

где М\ >0 — постоянная, а да{х) : С —> К. — некоторые функции из ЬР'(С).

2) Условие коэрцитивности:

Е <Мх, /(*),...,/(*),...), яжа/И)

|а|<т

№

—>■ ОО

при ||/М1ЦР оо (/(*) Е М«)™АпШ

Теорема 19.1. Пусть функции Аа(х, £0, • • • , (р,...) удовлетворяют условию Каратеодори и условиям 1), 2). Тогда для любой правой части Ь(х) € (С?) существует по крайней мере одна пара функ-

ций /(ж) £ Л4(1)™Ап(С) и г (ж) Е И^^Х (С), являющихся обобщенным решением задачи (6).

В §19 изучается аналог задачи о продолжении с минимальным коаналитическим уклонением.

1 /г/

Задача 20.1. Пусть /0(7) Е ^Х(Г) — функция, определенная на границе Г области С. Среди всевозможных продолжений /(ж) Е КлАО),

/м|г= /0(7)1

найти то, которое минимизирует функционал /%>(/) = ||/ — /г||^1 (0\, где /г(ж) — лево-регулярная составляющая функции /(ж) в смысле разложения (4) применительно к пространству (С).

Показано, что математической моделью задачи 20.1 является краевая задача о дифференциальном включении

1Р-2 ( г мГ А Л,

-д„(/ - Л) +1/ - !\Г (/ - Л) 6 Мо;/Л„(с):

Uo,

IP-2 Я

/00 г= /о(7).

В рамках идей теории монотонных операторов доказана

Теорема 20.1. Для любой функции /0(7) £ И^ ^ДГ) существует единственное решение /(ж) Е задачи о продолжении с

минимальным нерегулярным уклонением /¿р(/) —> inf.

В §21 рассмотрена задача 20.1 с чисто градиентной метрикой fi2(f) = ||V(/ — //)||2 —> inf. Показано, что если область <7 — круг

в М2 то наилучшем продолжением (относительно функционала (/)) является гармоническое продолжение.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Юлию Андреевичу Дубинскому за постановку задачи, постоянное внимание к работе и обсуждение результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Осипенко, Алексей Сергеевич, 1999 год

Список литературы.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг JI. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях // Изд-во иностранной литературы. 1962.

2. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Об общем методе построения алгебр обобщенных функций // ДАН. 1991. Т.318. N5. С.267-270.

3. Бари Н.К. Тригонометрические ряды // М.: Наука. 1961.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения // М.: Наука. 1975.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики // М.: Наука. 1988.

6. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения // М.: Мир. 1978.

7. Демидов A.C. Обобщенные функции в математической физике. Основные понятия // М.: Изд-во МГУ. 1992.

8. Дубинский Ю.А. Обобщенные функции и их применения. Выпуск II. Нелинейные эллиптические задачи // М.: МЭИ. 1976.

9. Дубинский Ю.А. Об аналитической нелинейной периодической задаче // Дифференциальные уравнения. 1993. Т.29. N3 С.371-381.

10. Дубинский Ю.А. О некоторых ортогональных разложениях и нелинейной аналитической задаче // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N2 С.262-275.

11. Дубинский Ю.А. Об аналитических "краевых" задачах на плоскости // Успехи математических наук. 1997. Т.52. вып.З. С.53-104.

12. Дубинский Ю.А. Об одной задаче наилучшего продолжения периодической функции // Доклады РАН. 1998. Т.360. N1. С.10-12.

13. Дубинский Ю.А. О продолжении функций с наименьшим коаналитическим уклонением // Математические заметки. 1998. Т.64. N1. С.45-57.

14. Дубинский Ю.А., Осипенко A.C. Об аналитической нелинейной задаче в полосе // Вестник МЭИ. 1995. N6. С.29-40.

15. Дубинский Ю.А., Осипенко A.C. Lp-теория некоторых аналитических и коаналитических задач вариационного типа / / Вестник МЭИ. 1997. N6. С.18-30.

16. Дубинский Ю.А., Осипенко A.C. Об "ортогональном" разложении соболевских пространств в сумму аналитических и коаналитических подпространств // Доклады РАН. 1998. Т.359. N6. С.735-738.

17. Дубинский Ю.А., Осипенко A.C. Об общем виде функционалов над пространствами аналитических функций. // Вестник МЭИ. 1998. N6. С.36-46.

18. Евграфов М.А. Аналитические функции // М.: Наука. 1991.

19. Егоров Ю.В. К теории обобщенных функций // Успехи математических наук. 1990. Т.45. вып.5. С.3-40.

20. Захарюта В.П., Юдович В.И. Общий вид линейного функционала в Н'р. //Успехи мат. наук. 1964. Т.19 N2. С.139-142.

21. Иосида К. Функциональный анализ // М.: Мир. 1967.

22. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: Наука. 1976.

23. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного // М.: Наука. 1973.

24. Ливчак Я.Б. К теории обобщенных функций // Труды Рижского алгебраического семинара. 1969. С.98-164.

25. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач // М.: Мир. 1972.

26. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения // М.: Наука. 1977.

27. Осипенко A.C. Нелинейная аналитическая задача вариационного типа в пространствах W™ в полосе. // Вестник МЭИ. 1997. N6. С.78-88.

28. Осипенко A.C. Нелинейная аналитическая задача вариационного типа в полосе. Lp-теория. // Успехи математических наук. 1998. Т.53. вып.4. С.193.

29. Ройтберг Я.А. Эллиптические граничные задачи в обобщенных функциях. Препринт I - IV // Чернигов: Педагогический институт. 1990.

30. Рудин У. Функциональный анализ // М.: Мир. 1975.

31. Соловьев Ю.П., Троицкий Е.В. С*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии // М.: Изд-во "Факториал". 1996.

32. X. Трибель. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. //М.: Мир. 1980.

33. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ // М.: Наука. 1976.

34. Шведенко C.B. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре. // Математический анализ. Т.23 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М.: 1985. С.3-124.

35. Эдварде Э. Функциональный анализ // М.: Мир. 1969.

36. Axler H. Bergman spaces and their applications // Surveys of Some Recent Results in Operator Theory. V.l. (J.Conway and B.Morell, editors). Pitman Res. Notes in Mathem. 1988. P. 1-50.

37. Brackx F., Delanghe R., Sommen F. Clifford analysis //

Research Notes in Mathematics. V.76. London. 1982.

38. Colombeau J.F. Elementary introduction to new generalized functions. Amsterdam. North-Holland. 1985.

39. Ryan J. Intrinsic Dirac Operators in Cn // Advanced in Mathematics. V.118. N1. 1996.