Вопросы интегрируемости уравнений движения твердого тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Онищенко, Дмитрий Арсеньевич

• Онищенко, Дмитрий Арсеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Онищенко, Дмитрий Арсеньевич

Введение.

Глава I. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа.

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Периодические решения, асимптотические поверхности и неинтегрируемость в гамильтоно-вых системах.

§ 3. Периодические и асимптотические решения уравнений Кирхгофа.

§ 4. Вычисление определяющего интеграла.

§ 5. Теоремы о расщеплении сепаратрис и неинтегрируемости в задаче о движении твердого тела в жидкости.

§ 6. Замечания о неинтегрируемости уравнений вращения твердого тела в осесимметричном поле сил.

Глава П. Интегрируемость и неинтегрируемость гамильтоновых систем вблизи положения равновесия.

§ 7. Метод нормализации Биркгофа.

§ 8. Неинтегрируемость систем, зависящих от параметра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы интегрируемости уравнений движения твердого тела»

Задача интегрирования (в квадратурах при том или ином выборе допустимых функций) систем дифференциальных уравнений, описывающих обычно поведение какой-либо механической системы, всегда была в сфере интересов многих математиков и механиков. Знание всех переменных задачи как функций времени и начальных значений (то есть, знание общего решения) позволяет получить полную картину поведения системы и исследовать его особенности.

Возможность получения общего решения в явном виде тесно связана с наличием достаточного числа первых интегралов (имеются в виду глобальные первые интегралы - полный набор локальных существует, вообще говоря, всегда). Для автономных гамильтоновых систем с L степенями свободы Лиувиллем была доказана теорема о возможности интегрирования в квадратурах при наличии L первых интегралов в инволюции /~377 (такие системы называются вполне интегрируемыми).

Правда, отнюдь не всегда квадратуры, которые включают в себя вычисление интегралов (а они могут не выражаться через элементарные функции) и обращение функций, являются обозримыми и цредстав-ляют какую-нибудь практическую ценность (не считая их ценности с точки зрения методологической). Однако даже в этом случае о поведении исследуемой системы можно узнать довольно многое. Оказывается, в условиях теоремы Лиувилля можно также утверждать /~27, что фазовое пространство расслаивается на к-мерные многообразия, которые в случае, когда они компактны, являются торами и несут на себе условно-периодические траектории. Вследствие такой картины переменные задачи являются, вообще говоря, квазипериодическими функциями времени, а этот факт, в свою очередь, позволяет привлечь для качественного описания движения системы хорошо известные свойства квазипериодических функций и интегралов от них.

К сожалению, интегрируемых систем в некотором смысле мало. Скажем, типична следующая ситуация: система зависит от некоторого параметра и интегрируема лишь при изолированных значениях параметра. Поэтому ясно, как важно уметь отличить интегрируемую задачу от неинтегрируемой. Доказать интегрируемость можно лишь предъявив полный набор интегралов в инволюции. Доказывать же неинтегрируемость можно несколькими способами. Первые и, тем не менее, фундаментальные результаты здесь принадлежат А.Пуанкаре £33j. Им предложена теорема о неинтегрируемости гамильтоновых систем, близких (в смысле значений некоторого параметра) к интегрируемой. А.Пуанкаре также показал, что неинтегрируемость связана с характером поведения некоторых особых траекторий - периодических и асимптотических решений. Недавние результаты, касающиеся приложения указанных идей к задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки /~167, /~147, еще раз доказали их плодотворность.

В последнее время, в частности, получил развитие так называемый метод расщепления сепаратрис (асимптотических поверхностей), также восходящий к А.Пуанкаре. В работах /~17,44,14,157 доказаны теоремы о расщеплении (несовпадении) асимптотических поверхностей, их взаимном пересечении и связи такого рода явлений с неинтегрируемостью гамильтоновых систем.

Очень часто в различных задачах особый интерес вызывает поведение траекторий гамильтоновых систем в окрестности положения равновесия или периодической траектории. Это, например, связано с вопросами устойчивости. К первому случаю (он может быть автономным или неавтономным) часто приходят после понижения порядка системы, производимого с помощью первых интегралов. При наличии "циклического" первого интеграла пониженная система является автономной, если редукция выполняется с его помощью.

Наиболее важен и интересен в приложениях случай, когда все собственные числа линеаризованной автономной гамильтоновой системы чисто мнимы и различны. При этом условии существует каноническое преобразование (вообще говоря, формальное), которое приводит гамильтониан к нормальной форме Биркгофа /~б7. Сходи -мость нормализующего преобразования тесно связана с интегрируемостью, однако она установлена лишь при достаточно частных условиях /~497.

Целью настоящей работы является применение упомянутых выше методов исследования воцроса об интегрируемости гамильтоновых систем к классической задаче о движении твердого тела в жидкости и близкой к ней задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в пустоте в осесимметричном потенциальном поле, в частности, в поле, силовая функция которого является квадратичной формой по направляющим косинусам.

В первой главе диссертации дается ответ на вопрос о существовании дополнительного (к трём классическим) первого интеграла уравнений Кирхгофа- уравнений, описывающих движение по инерции твердого тела, поверхность которого односвязна, в безграничном объёме идеальной жидкости. Правые части исследуемых уравнений и их известные первые интегралы (энергии, площадей и тривиальный) являются полиномами от переменных задачи, поэтому естественно поставить задачу о возможности существования дополнительного первого интеграла в классе аналитических функций.

Уравнения движения твердого тела в жидкости были выведены в работах /""42,46J. В работах /~"46,437 были найдены первые интегралы и указаны некоторые случаи интегрируемости. В монографии £ЪЪJ приведен обзор результатов, касающихся данной задачи (включая полную постановку задачи). В частности, дан полный перечень известных случаев интегрируемости.

Отметим работу /~317> в которой с помощью метода Пенлеве (см. /~9,47) доказано, что общее решение уравнений Кирхгофа может быть однозначным на всей плоскости комплексного времени лишь в известных случаях интегрируемости. Заметим, что к настоящему времени однозначность общего решения исследована не во всех интегрируемых случаях.

Уравнения Кирхгофа зависят в общем случае от 15 параметров. При условии различия всех трех главных моментов инерции системы тело-жидкость, в главе I доказана теорема, что кроме случаев Клеб-ша и Стеклова других интегрируемых случаев нет. Доказательство проводится методом расщепления сепаратрис.

В первом параграфе приведена постановка задачи. Показано, что в уравнения Кирхгофа можно ввести малый параметр и рассматривать их как возмущение уравнений интегрируемого случая Эйлера. В § I упоминается также аналогия уравнения Кирхгофа с уравнениями вращения твердого тела с неподвижной точкой в поле сил с потенциалом, являющимся квадратичной формой относительно направляющих косинусов. Эта аналогия была впервые отмечена В.А.Стекловым /~507. Во втором параграфе изложены необходимые для дальнейшего сведения из теории А.Пуанкаре периодических и асимптотических траекторий, сформулированы теоремы о расщеплении сепаратрис и неинтегрируемости в гамильтоновых системах. Третий параграф посвящен доказательству существования периодических и асимптотических к ним траекторий возмущенных уравнений Кирхгофа. В § 4 вычисляется оцределяющий интеграл. Это позволяет применить теоремы § 4, и в пятом параграфе формулируются и доказываются теоремы о расщеплении и пересечении сепаратрис задачи Кирхгофа и Основная теорема о неинтегрируемости в общем случае уравнений Кирхгофа. § б содержит аналогичные результаты в приложении к задаче о вращении твердого тела в осесимметричном поле сил.

Вторая глава диссертации посвящена изучению вопроса о возможности нормализации в окрестности положения равновесия гамильтониана, зависящего от параметра. В § 7 излагается вкратце метод нормализации Биркгофа /~6,127 в случае независимых частот. Затем в § 8 доказывается существование (формального) нормализующего цреобразования в случае, когда частоты зависимы, при наличии дополнительных первых интегралов и приводится теорема о неинтегрируемости. Доказательство основано на следующей идее /~197» Если частоты зависимы, то возможность нормализации оцределяется тем, обращаются ли в ноль некоторые коэффициенты (их называют резонансными) в разложении гамильтониана в окрестности положения равновесия. Из существования полного набора независимых первых интегралов вытекает (прямое вычисление), что все резонансные коэффициенты равны нулю. Доказанная теорема применяется в § 9 к задаче о движении динамически симметричного твердого тела, что дополняет результаты первой главы.

В третьей главе диссертации проводится качественное исследование движения твердого тела в рассмотренных задачах в интегрируемом случае Клебша. Вначале рассмотрена задача о вращении твердого тела около неподвижной точки. В § 10 содержатся формулировки и краткие доказательства утверждений о поведении углов Эйлера, распространяющих на общий случай теоремы В.В.Козлова полученные им при изучении интегрируемых случаев Ковалевской и Горячева-Чаплыгина /~20,217. В § II показывается, как в случае равенства нулю константы площадей можно уравнения движения задачи Клебша привести к уравнениям на инвариантных торах. Здесь же вычисляется число вращения получаемой динамической системы. § 12 содержит доказательства утверждений о характере изменения во времени углов Эйлера. Получено, что углы прецессии и собственного вращения в зависимости от констант интегралов обладают главным или средним движениями. При обращении в ноль константы площадей, эти характеристики движения вычисляются в явном виде. В завершающем § 13 дается геометрическая интерпретация вращения твердого тела около неподвижной точки в случае Клебша. Отметим, что исследование Е.И.Харламовой этого движения было выполнено при условии равенства нулю константы площадей /"397. Показывается также, что в задаче о движении твердого тела в жидкости имеет место аналогичная картина для вращения его вокруг начала подвижной системы координат. Затем изучается вопрос о движении в пространстве этой точки и, тем самым, даётся полное геометрическое описание движения твердого тела в жидкости в случае Клебша. Полученные результаты согласуются в "механической" интерпретацией движения твердого тела, предложенной С.А.Чаплыгиным /~40,417.

В заключении приведены формулировки основных теорем и результатов, полученных в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /~22, 29,301 и докладывались на совместном заседании семинара по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики им. И.Г.Петровского и Московского математического общества, посвященном памяти И.Г.Петровского, в январе 1982 г.

Нумерация параграфов сквозная. Система ссылок следующая: ссылки вида (2.5), (7) обозначают соответственно формулу (5) в § 2, формулу (7) текущего параграфа. Ссылка вида п.2 обозначает пункт 2 (указываемого или текущего) параграфа.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Онищенко, Дмитрий Арсеньевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные полученные в диссертации результаты.

Уравнения Кирхгофа, описывающие движение твердого тела по инерции в идеальной жидкости, неинтегрируемы в общем случае, если главные моменты инерции системы тело-жидкость различны (§5).

Уравнения вращения твердого тела около неподвижной точки в поле сил, потенциал которого является квадратичной формой относительно направляющих косинусов, интегрируемы лишь в случае Клебша (§ б).

Функция Гамильтона зависящей от параметра канонической системы приводится в окрестности положения равновесия к нормальному виду Бирк>гофа при всех значениях параметра, если существует полный набор первых интегралов, низшие формы в разложении которых независимы при всех значениях параметра (§8).

Уравнения движения динамически симметричного твердого тела в поле сил с квадратичным потенциалом, записанные в гамильтоновом виде, не допускают приведения к нормальной форме (§9).

Углы прецессии и собственного вращения, задающие ориентацию твердого тела, когда оно вращается в поле сил с квадратичным потенциалом в случае Клебша, обладают, в зависимости от констант первых интегралов, средним или главным движением (§ 12).

Вращательное движение твердого тела в жидкости в случае Клебша тождественно вращению некоторого твердого тела (с "приведенными" параметрами) вокруг неподвижной точки в пустоте в поле сил с квадратичным потенциалом. Поступательное движение представляет собой постоянный "дрейф" (в смысле главного значения) по направлению вектора импульсивных сил (§ 13).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Онищенко, Дмитрий Арсеньевич, 1984 год

1. Аппель П. Теоретическая механика, т.П. - М.: Физматгиз, 1.60, 488 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1979, 432 с.

3. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. ДАН, 1964, т. 156, № I, с. 9-12.

4. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела,- М.: Наука, 1977. 328 с.

5. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965, 416 с.

6. Биркгоф Дж. Динамические системы. М. - Л.: Гостехиздат, 1941, 320 с.

7. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М.: ИЛ, 1963, 224 с.

8. Бор Г. Почти периодические функции. М.-Л.: Гостехиздат, 1934, с.128.

9. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953, 288 с.

10. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. Киев.: Наукова думка, 1978, 296 с.

11. Градштейн И.С., Вжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов произведений. М.: Физматгиз, 1962, 1100 с.

12. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959, 300 с.

13. Зигель К.Л. Об интегралах гамильтоновых систем. Математика, 1961, т.5, № 2, с. I03-II7.

14. Зиглин С.JI. Р&сщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела. Труды ММО, 1980, т.41, с. 287-303.

15. Зиглин С.Л. Самопересечение комплексных сепаратрис и несуществование интегралов в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы, ПММ, 1981, т. 45, вып. 3, с. 564-566.

16. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, I960, 232 с.

17. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиль-тоновой механике. УМН, 1983, т.38, вып. I, с. 3-67.

18. Козлов В.В. Несуществование дополнительного аналитического интеграла в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Вестн. МГУ, сер. математ.--мех., 1975, № I, с. I05-II0.

19. Козлов В.В. Несуществование аналитических интегралов вблизи положений равновесия гамильтоновых систем. Вестн. МГУ, сер. матем.-мех., 1976, № I, с. II0-II5.

20. Козлов В.В. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Ковалевской. ПММ, 1975, т. 39, вып. I, с. 24-29.

21. Козлов В.В. 0 качественном анализе движения твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина. ПММ, 1977, т.41, вып.2, с. 225-233.

22. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. ДАН, 1982, т.266, № 6, с. 1298-1300.

23. Лагранж Ж. Аналитическая механика, т. I. М.-Л.: Гое-техиздат, 1950, 594 с.

24. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -- М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 472 с.

25. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодическихпо времени возмущениях. Труды ММО, 1963, т.12, с. 3-52.

26. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965, 184 с.

27. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973, с. 167.

28. Новиков С.П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ), I. Функц. анализ, 1981, т.15, вып.З, с. 54-66.

29. Онищенко Д.А. Приведение к нормальной форме уравнений канонической системы, зависящей от параметра. Вестн. МГУ, сер. матем.-мех., 1982, № 3, с. 78-81.

30. Онищенко Д.А. Поведение углов Эйлера в задаче Клебша. МГУ им. Ломоносова. М., 1983, 17 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ АН СССР 31 окт. 1983 г., $ 5893-83 Деп.).

31. Погосов Г.С. Применение метода Пенлеве к уравнениям Кирхгофа. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. МГУ им. Ломоносова. М., 1941, У, 36 с.

32. Погосян Г.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил. ПММ, 1979, т.43, № 3, с. 419-428.

33. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды, т.1. М.: Наука, 1971, 772 е.; Т.П. - М.: Наука, 1972, 1000 с.

34. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976, с. .576.

35. Стеклов В.А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков, 1893, 234 с.

36. Беляков В.М. и др. Таблицы эллиптических интегралов, т.П.-М.: Изд-во АН СССР, 1963, ХП, 784 с.

37. Уиттекер Е.Г. Аналитическая динамика. М.-Л.: ОНТИ, 1937, 500 с.

38. Харламов М.П. Интегральные многообразия приведенной системы в задаче о движении по инерции твердого тела с неподвижной точкой. Механика твердого тела, К., 1976, вып.8.

39. Харламова Е.И. О движении твердого тела вокруг неподвижной точки в центральном ньютоновском поле сил.Изв. Сиб.отд. АН СССР, 1959, $ 6, с. 7-17.

40. Чаплыгин С.А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости. Статья I. М., 1894. Собр. соч., т.1, М.-Л., 1948, с. .136-193.

41. Чаплыгин С.А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости. Статья П. М., 1897. Собр.соч., т.1. М.-Л., 1948,с. 194-31I.•

42. CteflicL A. VSti Jie Be^t^tc^ eLtie-з Ettipzoides In, elnei iiop-f ёа ten -Hell.-J. iLe/te octiJ cuti^ei^'. M&tk.)8c/. SI , //. I , S. S03-</5 2.

43. CeeSic/i A, VSti Jie eine$ Хоърег* Iyl elnei Ftiiaifl leitMolIL. Ahh.,1. U4J ? &cl. 3, J. IM-Hl.44. Cctik man R. ВуссмрРез of

44. Xd№e (LKOi^^ilc Ra miti on,ia/t -ireciot -fie6<Ji <лritk ко jma^C diirliot*. Гг&т.1. Amet. M&ik. j К 136, p.

45. Dev-aney R. L> Тъаиигеыаб howocdt-YiU otiiti in. an initqxoL&Pe t^liem.

46. Uet. I MaiL, 13U,/. SOO, /1/3, 6Ц .

47. Ki^cLLo-f-f G. R% J/Sei die Веигедьскд. elfic5 RotalioniLdipeti Lueinet leit.-J, teine and ancjeixr. M ai k.; WW,

48. Ко hit г F Viet die Bewegtcitg tl\tei -fetieit Koipeti Ik tlnet £eii.-J. геиit vLKd a natter. Math.,d. JOS, И. J&.Si-M; H.l9$. i3-Hi.

49. KoU M. U ptoMemt de 6a Zoiaiioin J'clh cotpt olulIouli d}uk poiki -fiXCr !t>u,£e. A>c. MaiL Ftcth.cej p. мо-му.

50. R ii 14 matt //. V4et dad /ь GLHCL£qii-$ckei tt&MiitokLicke г Dlf-fetetb-Ь Lai ^leickocn^tn in. dei A/i.ke eluet1. Crlelc. кcje bfi с L iitb1. Mo. £ к.jU JSlf, Л l&s-zoo.

51. Si e Ив о <r у. A. RemcLt^e зосг a hiрхо^еме de Свев-лск €e mouvt we ntc/Vk CVtpi Sotidt dcLh.6 u.it Cic^LLide ihdeei зиг ie ргобСемс c/e M. de Atutt.

52. Compiex. tcthdin, J30SL; ./. , p. S26

53. We get //. /U-t^e/l c/«.с/ег Tk^ia.-fu-tbHioiteti zweiiet VeicLndetC icket 6th. d die TkeotLe <Jei &е<де$ ttug tlh.ti ■feiieib Кдгрегб Lk einet F£ usiigAciir AfcU. 4/UW, BeLib, i.us-ioe.