Мероморфная неинтегрируемость плоской задачи трех тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Цыгвинцев, Алексей Валентинович

• Цыгвинцев, Алексей Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цыгвинцев, Алексей Валентинович

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Роль задачи трех тел в небесной механике • • •

1.2 История проблемы.

1.2.1 Математическое описание. Работы до А. Пуанкаре

1.2.2 Исследования А. Пуанкаре • • •

1.3 Редукция уравнений движения плоской задачи трех тел • • •

1.4 Неинтегрируемость проблемы трех тел. Известные результаты • •

1.5 Решения Лагранжа • • •

1.6 Определение мероморфной интегрируемости по Лиувиллю приведенной плоской задачи трех тел • • ■

2 Приведенные уравнения в вариациях вблизи параболического решения Лагранжа

2.1 Вычисление приведенных уравнений в вариациях • • •

2.2 Приведенные уравнения в вариациях в форме Фукса. Механический смысл особых точек t\,ti,tz • • •

3 Группа монодромии приведенных уравнений в вариациях

3.1 Исторические замечания • • •

3.2 Группа монодромии уравнений (2.9) • • •

3.3 Вычисление генераторов Ть Т2, Т^.

3.3.1 Случай особой точки tQ ■ ■ •

3.3.2 Особые точки ti, Логарифмическое ветвление • • •

3.3.3 Бесконечно удаленная точка t — оо • • •

4 Мероморфная неинтегрируемость по Лиувиллю плоской задачи трех тел

4.1 Теорема С.Л. Зиглина об отсутствии мероморфных интегралов гамильтоновой системы • • •

4.2 Теорема о мероморфной неинтегрируемости плоской задачи трех тел в окрестности параболического решения Лагранжа • • •

4.3 Доказательство отсутствия двух независимых рациональных инвариантов группы монодромии

4.3.1 Операторы А, 5 • • •

4.3.2 Случай J{ = Ji(x2,x4),i= 1,2 • • •

4.3.3 Случай когда по крайней мере одна из функций Зъ J2 зависит от х\, х3 • • •

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мероморфная неинтегрируемость плоской задачи трех тел»

Данная диссертационная работа посвящена вопросу интегрируемости плоской задачи трех тел.

Возникающая при этом гамильтонова система d^^dHi dy^ fr=12 6) dt dyr ' dt дхт ' имеет 6 степеней свободы и была впервые предложена к изучению в своей изначальной форме Исааком Ньютоном в 1686 году.

С использованием известных первых интегралов, число степеней свободы этой задачи может быть понижено до трех, что было проделано в различное время в классических работах Якоби, Лагранжа и Пуанкаре. Получаемые при этом уравнения называются в дальнейшем приведенными уравнениями плоской задачи трех тел.

Зундман [21] предложил в 1913 г. сходящиеся ряды, представляющие решение проблемы трех тел, не имеющие однако практической ценности в виду их медленной сходимости. В 1922 г. Шази [3] привел первую классификацию финальных типов движений в этой задаче.

А. Пуанкаре, в своей работе [18] рассматривает функцию Гамильтона H(z,fi) которая наряду с переменными ,zn, zs — (xs,ys) зависит также аналитически от малого параметра /л > 0. Согласно его теореме, при некоторых ограничениях на H(z, 0) и дН/д/л |д=0, которые выполнены в большинстве случаев, гамильтонова система, соответствующая H(z,fj), не имеет других однозначных первых интегралов как функций от 2п +1 переменных z\,. , zn и /( за исключением являющихся рядами по Н и /х.

Основываясь на этом результате он доказал в 1889 г. неинтегрируемость ограниченной задачи трех тел [18]. Тем не менее эта теорема ничего не говорит о невозможности интегрируемости при фиксированных значениях параметра /л.

Как показал Брунс [2] в 1882 г., классические интегралы проблемы трех тел являются единственными интегралами этой задачи которые представляются алгебраическими функциями положений и скоростей.

Это утверждение было усилено в работе Пенлеве [17], где доказано отсутствие новых интегралов, алгебраических по скоростям, в то время как зависимость от положений предполагалась произвольной.

Как было отмечено в книге [7], все эти изящные результаты не имеют большого значения для динамики, так как не учитывают особенностей поведения фазовых траекторий. Действительно, локально, в окрестности неособой точки, всегда существует полный набор первых интегралов: их алгебраическая или трансцендентная природа зависит от выбранной системы независимых переменных. Следовательно, проблема существования первых интегралов имеет смысл только во всем фазовом пространстве или в окрестности некоторого инвариантного множества.

Приведем некоторые основные результаты, касаемые интегрируемости гамильтоновых систем.

Прежде всего дадим ряд определений. Рассмотрим гамильтоново векторное поле Xji на симплектическом многообразии М размерности 2п. Согласно теореме Дарбу, в малой окрестности любой точки на М существуют такие локальные координаты (xi,. ,хп,у\,. ,уп)=, что сим-плектическая структура записывается в виде п

О, — ^^ dyi A dxi. i=l

Для двух произвольных функций /, д определим скобку Пуассона согласно правилу if } = У^ d£dg dfdg ду{ дх{ dxi дуг'

Согласно определению, гамильтонова система Хн называется вполне интегрируемой или интегрируемой по Лиувиллю , если существуют п функций /х = Н. /2,. для которых выполнены следующие требования:

A) /1,. •, /п являются функционально независимыми т.е. 1-формы dfi, i = 1,2,. ,п линейно независимы на некотором всюду плотном открытом подмножестве U 6 М.

B) /i,.,/n образуют инвоАютивный набор, т.е {fi,fj} = 0, i,j = 1,2, .,п.

Согласно условию (В) функции Д,., fn являются первыми интегралами гамильтоновой системы Хн

В качестве интегрируемой по Лиувиллю системы примера рассмотрим систему с функцией Гамильтона

Н = Hl(xl,yl) + --- +Нп{хп,уп). (0.1)

Здесь Щ = H(xi,yi) является функцией двух переменных Xi, yi. Легко видеть, что функции Н\,. ,Нп независимы и выполнено условие

Hi,Hj} — 0, Vi,j = l,.,n, согласно которому они образуют полный инволютивный набор интегралов системы (0.1).

Рассмотрим произвольную вполне интегрируемую гамильтонову систему Xff. Пусть fi,.,fn~ соответствующий набор первых интегралов в инволюции и Ма = {z Е М : fi(z) = a,i,i — 1 ,.,п], а = (ai,.,an) € К71- невырожденная поверхность уровня /i,.,/n (другими словами rank(d/i,., dfn) = п на Ма).

Справедлива следующая теорема Лиувилля-Арнольда a) Ма является инвариантным многообразием относительно потока га-мильтоновой системы Хн. Если Ма компактно и связно, тогда это многообразие диффеоморфно n-мерному тору Тп = En/Z". b) В окрестности тора Тп существует каноническая система координат (1,ф) — (Д,., in, ., фп), фг(mod 2ж), называемых переменными действие-угол, в которых уравнения Гамильтона для Хн принимают вид

Ii = 0, <j>i = Ui(I), г = 1,2,., п.

Вопрос о том, является данная гамильтонова система интегрируемой или нет, оказывается в большинстве случаев довольно сложным. Попытаемся дать краткий обзор препятствий различной природы к интегрируемости гамильтоновых систем. Основным источником для нас будет являться книга В.В. Козлова [7].

Препятствия топологического характера.

Как ни странно, подавляющее число результатов в этой области было получено сравнительно недавно. Причина возможно кроется в том, что для математиков XVIII-XIX столетий интегрируемость системы дифференциальных уравнений заключалась в существовании общего решения этой системы, выраженного при помощи квадратур. Глобальное поведение фазовых траекторий при этом не рассматривалось: преобладающую роль играл локальный подход.

Рассмотрим обратимую систему с двумя степенями свободы дН . дН . п. o = g = W (0'2) конфигурационным пространством которой является двумерная компактная ориентируемая поверхность М. Справедлива следующая

Теорема 1. (В.В. Козлов, [54]) Пусть род g поверхности М отличен от 0,1. Тогда гамильтонова система (0.2) не имеет дополнительного первого интеграла, аналитического наТ*М и независимого с энергией Н.

В качестве хорошо известных примеров, отвечающих случаям g — 0,1, укажем интегрируемые задачи о свободном движении материальной точки на сферической и тороидальной поверхности.

В многомерном случае, этот результат был обобщен И.А. Таймано-вым.

Теорема 2. ([55-56]) Допустим, что конфигурационное пространство Мп натуральной системы с п степенями свободы является связным аналитическим многообразием и что функция Гамильтона Н является аналитической функцией в фазовом пространстве. Если система имеет п независимых аналитических интегралов, то выполнены следующие условия к(мп)<сг, k = i,.,n, где bk(Mn)- k-мерное число Бети многообразия М.

Рассмотрим геодезический поток на поверхности М гомеоморфной двумерной сфере S2. Согласно знаменитой теореме Пуанкаре, на S2 всегда имеются три геодезические

С.В. Болотин доказал следующую теорему

Теорема 3. Предположим, что геодезические ji, 72, Тз не пересекаются и каждую из них можно продеформироватъ в точку, не пересекая при этом двух других геодезических. Тогда уравнения геодезических на S2 не имеют дополнительного аналитического интеграла.

Доказательство всех этих теорем использует методы алгебраической топологии и дифференциальной геометрии.

Препятствия к интегрируемости, связанные с расщеплением асимптотических поверхностей .

В 1888 г. А.Пуанкаре, занимаясь проблемой трех тел, впервые предложил связь между сложным поведением траекторий в этой задаче и существованием качественно нового явления: расщеплением асимптотических поверхностей. Рассмотрим гладкое векторное поле v без особых точек, заданное на трехмерном аналитическом многообразии М. Допустим, что оно обладает двумя гиперболическими периодическими траекториями ji и 72.Тогда существуют аналитические поверхности Л^(Л^), являющиеся соответственно устойчивым (неустойчивым) асимптотическим многообразием к траектории ух (72).

Теорема 4. Допустим, что Л+ и Af пересекаются трансеерсалъно. Тогда система х = v(x), х € М, не имеет аналитических на М интегралов и нетривиальных аналитических полей симметрии.

Доказательство этой теоремы содержится в работах В.В. Козлова [57] и Р.Кушмана [58]. Основной идеей является нахождение подмножества М в окрестности решений 7^2, на котором возможный аналитический интеграл должен принимать постоянное значение и которое является ключевым для класса аналитических функций.

Обобщение этих результатов на случай многомерных гамилътоновых систем близких к интегрируемым было найдено С.В. Болотиным [59]. Рассмотрим неавтономную гамильтонову систему с аналитическим гамильтонианом

Н = H0(z) + eH^z, t) + о(б), 2 = (х, у) е R2".

Допустим, что невозмущенная система соответствующая функции Гамильтона Hq имеет два гиперболических положения равновесия z±, соединяемых двояко-асимптотическим решением z0(t), t G R Справедлив следующий результат

Теорема 5. [59] Допустим, что

СС

1) /{ЯоДЯо,^}}^),*)^^,

-оо

2) Для малых значений е система имеет двоякоасимптотическое решение ze(t), близкое к z0(t).

Тогда для малых фиксированных значений е ^ 0 возмущенная га-мильтонова система не имеет полного инволютивного набора интегралов, независимых в окрестности кривой zt (t).

Метод расщепления сепаратрис был применен В.В. Козловым к задаче о вращении нессиметричного твердого тела вокруг неподвижной точки [60]. Рассматривая возмущенный случай Эйлера, возможно доказать наличие трансверсального расщепления сепаратрис и, следовательно, неинтегрируемость проблемы, во всех случаях, кроме случая Гесса-Аппельрота, в котором существует дополнительный частный интеграл. Неинтегрируемость в симметричном случае была получена в работе [61].

Препятствия к интегрируемости, связанные с ветвлением решений на комплексной плоскости времени.

В 1889 г. С.В. Ковалевская получила приз французской Академии Наук за замечательный результат, полученный в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки

Ар = (В — С)дг + м{у0у" - го У) Bq= [С- A)rp + - xol") Ст = (А - B)pq + p,g{x0i - у0т)

0.3)

7 = rj1 — q7" У = рУ — Г7 i" -<п- Pi' где 7 = (7,7', 7")- координаты вертикального вектора во вращающейся системе координат, М = (р, д, г)- вектор угловой скорости, (Л, В, С)-компоненты тензора инерции, R = {хо,уо, zq)~ вектор определяющий положение центра тяжести тела, р,- масса тела.

Применяя теорему об интегрирующем множителе, можно показать, что для интегрируемости уравнений (0.3) в квадратурах, необходимо знание четвертого дополнительного интеграла независимого с уже существующими .

До 1889 г. были известны следующие случаи интегрируемости уравнений (0.3): случай Эйлера R = (0,0, 0) и случай Лагранжа А — В, xQ = Уо = 0. В этих случаях общее решение задачи выражается при помощи тэта-функций и является мероморфным на комплексной плоскости времени. Это замечание играет ключевую роль в рассуждениях С.В. Ковалевской: естественно попытаться найти все случаи, в которых общее решение задачи определяется мероморфными функциями. В совершенстве владея аналитическими методами (напомним, что ее учителем был основатель современного анализа Карл Вейерштрасс) она решила эту задачу, установив, что общее мероморфное решение уравнений (0.3) существует только при выполнении условий Эйлера, Лагранжа и в открытом ей новом случае А = В = 2С, z0 — 0. Поясним суть ее метода. Рассмотрим разложение общего решения системы (0.3) в окрестности точки = 0

М = t~n{M0 + tMl + • • •) 7 = *~m(7o + «7i+ •••), n,m = 1,2,.

0.4)

Проблема заключается в нахождении условий, при которых коэффициенты Mi, тi содержат пять произвольных постоянных с1;., с5- условие, необходимое для того, чтобы ряд (0.4) определял локально общее решение. Эта задача может быть решена при помощи элементарных методов и позволила С.В. Ковалевской получить все три случая интегрируемости поставленной задачи. Оставался неясным вопрос о полноте найденных С.В. Ковалевской условий, разрешенный чуть позже A.M. Ляпуновым в работе [62].

На примере этой задачи можно поставить следующую проблему: существует ли связь между ветвлением решения на комплексной плоскости времени и существованием однозначных первых интегралов ? А именно, справедливо ли следующее утверждение: мероморфность общего решения аналитической системы дифференциальных уравнений гарантирует существование однозначных первых интегралов. Ответ в общем случае является отрицательным, хотя в большинстве интегрируемых случаев это свойство в действительности имеет место. Один из первых строгих результатов в этой области был получен В.В. Козловым для обратимых гамильтоновых систем на торе [63].

Пусть Тп = {жх,.,хп | mod 2х} является конфигурационным пространством гамильтоновой системы с п степенями свободы

Допустим, что компоненты силового поля Fi представляются аналитическими на Тп функциями, которые могут быть продолжены мероморф-ным образом на все пространство С1.

Определение 6. Полиномиальный по скоростям ii интеграл уравнений (0.5) называется однозначным, если его коэффициенты

1) являются 27г-периодическими функциями времени t,

2) голоморфны в области СJP, где множество полюсов мероморфных функций Fi,. ,Fn.

Рассмотрим мероморфное векторное поле / : С ->■ С

Т1

0.5)

3=1 f = (Fl(az + b)r--,Fn{az + b)) определяемое ограничением функций Fi,., Fn на прямую az + b, а, Ь = const.

Связь между ветвлением решений и существованием однозначных интегралов дается следующей теоремой

Теорема 7. [63] Предположим, что для некоторых а, Ь € С функция f(z) имеет т > 0 полюсов с отличными отп нуля вычетами. Тогда a) Общее решение системы (0.5) ветвится на комплексной плоскости времени. b) Число к однозначных независимых полиномиальных интегралов уравнений (0.5) удовлетворяет следующему неравенству

Большую роль в поиске возможных случаев интегрируемости играет теория показателей Ковалевской, развитая японским математиком X. Иошидой в 1983 г. Она устанавливает важную связь между ветвлением решений на комплексной плоскости времени и существованием алгебраических первых интегралов.

Назовем функцию А(х), х Е С™ квазиоднородной степени d 6 К с показателями w = {w\, ■ ■ ■, wn) € lRn, если

Следуя работе А.Гориели [64], обозначим степень однородности deg(A(x), w) =

Допустим, что каждая из функций fi является квазиоднородной степени ч){ — 1 с показателями w = (u>i,., wn). При этом, рассматриваемая система уравнений инвариантна относительно замены т + k < п.

A(tmxu.,tWrixn) = tdA(xu.,xn), V« е С. d.

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

0.6) t et, Xi~J>eWiXi, г —I,.,п. Рассмотрим полиномиальную систему уравнений diWi = fi(a), аеГ,

0.7)

0.8) имеющую по крайней мере одно нетривиальное решение а ф 0. Тогда исходная система (0.6) имеет частное решение x(t) = a tw.

Определим следующую матрицу

К = Df(a) - diag(io).

Следуя X. Иошиде [65], матрица К называется матрицей Ковалевской а ее собственные числа р\ = — 1,. ,рп показателями Ковалевской

Важная роль ПК определяется следующим утверждением: они определяют локальное решение системы (0.6) вблизи точки t = t0 где ji - собственный вектор матрицы К, отвечающий собственному значению pi, Р - степенной ряд с коэффициентами, полиномиальными по In(t — t0). Ряды подобного вида были изучены впервые в работах A.M. Ляпунова.

Справедлива следующая теорема

Теорема 6. [65] Допустим, что система дифференциальных уравнений (0.6) имеет алгебраический первый квазиоднородный интеграл 1(х) степени d, вектор а является решением системы (0.8) и grad 1(a) ф 0. Тогда d является одним из показателей Ковалевской.

Существуют обобщение этого результата, не накладывающее ограничений на grad 1(a)

Теорема 7. [64] Предположим, что квазиоднородная система дифференциальных уравнений (0.6) допускает к независимых рациональных первых интегралов Ту,. со степенями однородности соответственно равными di,., Пусть р\ — — 1, уэ2,. ■ •, рп~ соответствующие показатели Ковалевской. Тогда существует целочисленная матрица размера k х (п — 1) такая, что

ПК). x = a(t- £0)u'P(ci7i(t - k)piст1n(t - t0)'"), га j=2

Следствие. Если ПК системы (0.6) Ъ-независимы (N-независимы), тогда не существует рационального (полиномиального) первого интеграла.

Аналогичные условия могут быть сформулированы для существования алгебраических полей симметрии [см. 66].

В качестве элементарного применения анализа основанного на вычислении ПК рассмотрим систему Альфана [67]

1 = - ^Хз - XiX<2,

Х2 = XiX3 - X2Xi — Х2Х3, Хз = x2Xi - Х3Х2 - Х3Хи

Решение системы (0.8) имеет вид а = (—1, —1, —1). Вычисление соответствующих ПК дает р\ = = Рз = —1- Таким образом, как следует из теоремы 6, эти уравнения не имеют полиномиального первого интеграла. В действительности, в работе [67], доказано отсутствие рационального первого интеграла.

Преимущество метода Х.Иошиды заключается в его простоте и возможности получить информацию о степенях возможных первых интегралов данной квазиоднородной системы дифференциальных уравнений. В случае, если предсказанная степень достаточно мала, возможно доказать наличие (или отсутствие) соответствующего первого интеграла методом неопределенных коэффициентов.

Системы дифференциальных уравнения с однородными квадратичными правыми частями (например уравнения Лоттки-Вольтера) являются частным случаем квазиоднородных систем. Для таких систем теория показателей Ковалевской может быть обобщена, если ограничиться рассмотрением только полиномиальных первых интегралов. Как показано автором в работе [71], существует эффективный рекуррентный алгоритм для нахождения таких интегралов произвольной степени однородности, При помощи этого метода, в работе [72], был найден новый интегрируемый случай в задаче об обобщенных цепочках Тоды , предсказанный впервые В.В. Козловым и Д.В. Трещевым в работе [73].

В работах [68-69] были вычисленны ПК для некоторых уравнений классической механики, в частности для уравнений Эйлера на алгебре so(4), что позволило найти целое семейство новых алгебраически интегрируемых случаев в предельной постановке этой задачи. Вычисление ПК для обобщенных цепочек Тоды в пространстве Минковского содержится в работе [70].

Рассмотрим комплексное симплектическое многообразие М, голоморфное гамильтоново векторное поле на нем Хц и интегральную кривую

Г С М, не являющуюся положением равновесия. Связь между ветвлением решений системы уравнений в вариациях вдоль решения Г как функций комплексного времени и несуществованием первых интегралов поля Хн восходит к работам С.В. Ковалевской и A.M. Ляпунова.

C.JT. Зиглин [27] находит в 1983-г. необходимые результаты для существования п мероморфных независимых первых интегралов аналитической гамильтоновой системы с п степенями свободы в достаточно малой комплексной окрестности кривой Г. Рассмотрим нормальные уравнения в вариациях [27], вычисленные вдоль решения Г . Рассматривая представление фундаментальной группы поверхности Г, порожденное обходами вокруг особых точек этих уравнений, получаем группу монодро-мии G. Оказывается, что существование п мероморфных независимых интегралов Хн влечет существование п независимых рациональных инвариантов группы G и в частности коммутирование двух любых нерезонансных элементов g, gi € G.

Сравнительно недавно [15], [20], аналогичные условия были сформулированы в терминах дифференциальной группы Галуа уравнений в вариациях: в случае интегрируемости связная компонента единицы этой группы должна быть абелевой.

В 1772 г. Лагранж [8] открыл частные решения плоской задачи трех тел в которых тела находятся все время в вершинах правильного треугольника и каждое из тел описывает конику.

Мекель [14] показал, что для малых значений кинетического момента существуют орбиты, гомоклинические к эллиптическим решениям Ла-гранжа и гетероклинические между ними. Было замечено также, что для больших значений кинетического момента и для некоторых значений масс круговые решения Лагранжа являются устойчивыми и a priori задача может допускать наличие нетривиальных законов сохранения.

Топан [23] указал в 1989 г. наличие таких трансцендентных многозначных первых интегралов в некоторых постановках ограниченной задачи трех тел.

В настоящей диссертации мы доказываем, что плоская приведенная задача трех тел с произвольными значениями масс т, > 0, i = 1,2,3 не имеет полного набора первых интегралов в инволюции, мероморфных в комплексном фазовом пространстве.

Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена истории проблемы и известным результатам в этой области. В п. 1.1 мы описываем роль задачи трех тел в небесной механике и ее приложения. В п. 1.2.1 мы излагаем математическое описание проблемы и различные ее постановки.

Сюжетом п. 1.2.2 является описание результатов, полученных А.Пуанкаре.

П. 1.3 содержит редукцию уравнений движения плоской задачи трех тел к гамильтоновой системе с 3-мя степенями свободы dqT ~dt с гамильтонианом

Р = Рз<?2 - P2<fe ~ Pi, Mi =m11 +m3L, M2 = m2l+m31. где ri=qi, r2 = y/qi + ql r3 = yj{qx - q2)2 + q%,

-взаимные расстояния между телами, к = const - постоянная углового момента.

Вн. 1.4 освещаются основные известные на сегодняшний день результаты, касающиеся существования дополнительных первых интегралов в задаче трех тел. Результатом п. 1.5 является нахождение рациональной параметризации параболического решения Лагранжа. Полученная параметризация является новой и не встречалась ранее в литературе. В п. 1.6 мы даем определение мероморфной интегрируемости плоской задачи трех тел.

Вторая глава посвящена вычислению уравнений в вариациях вдоль параболического решения Лагранжа. В п. 2.1, используя понижение порядка по Уиттекеру, мы явно выписываем приведенные уравнения в вариациях. В п. 2.2 мы приводим их к фуксовой форме. Отметим, что полученные уравнения в вариациях не встречались ранее в литературе.

В третьей главе мы изучаем группу монодромии полученных приведенных уравнений в вариациях. П. 3.1 содержит историю возникновения понятия монодромии в современном анализе. В пп. 3.3.1-3.3.3, следуя классическому подходу, мы определяем формальные разложения полученной в п. 2.2 фуксовой системы вблизи ее особых точек и находим вид генераторов группы монодромии.

Четвертая глава содержит главный результат настоящей диссертации, заключающийся в доказательстве мероморфной неинтегрируемости плоской задачи трех тел в комплексной окрестности параболического решения Лагранжа, определенного в п. 1.5. т dpr зн дрТ' dt dqT' dqi дН dp4 dt др4' dt г = 1,2,3), = 0,

0.9)

При этом формулируются и доказываются следующий результат:

Для произвольных значений масс т\ > 0, гп2 > 0, тз > 0 плоская задача трех тел (0.9) не имеет двух дополнительных первых интегралов, мероморфных как функции фазовых переменных и взаимных расстояний в комплексной окрестности параболического решения Лагранжа.

Доказательство использует метод С.Л. Зиглина изложенный в работе [27]. В п. 4.1 мы обращаемся к истории возникновения этого метода и приводим некоторые примеры его применения в задачах классической механики. В п. 4.2 формулируется теорема 4.5, содержащая основной результат и лемма 4.6, сводящая ее доказательство к изучению рациональных инвариантов группы монодромии приведенных уравнений в вариациях. В пп. 4.3.1-4.3.3 рассматриваются различные типы возможных инвариантов.

Результаты настоящей диссертации были опубликованы автором в работах [52], [53]. Впервые, полученные результаты были анонсированы в работах [50], [51].

Автор хочет выразить свою глубокую благодарность В.В. Козлову и Л. Гаврилову за постоянное внимание к работе и множество полезных замечаний и предложений, С.А. Довбышу и Д.В. Трещеву за критическое чтение текста диссертации и многочисленные полезные замечания по его улучшению. Я благодарен С.Л. Зиглину, Ж.-П. Рамису, X. Моралесу-Руису, К. Емельяновау, Ю. Федорову, М. Одан, К. Симо, Д. Буше, Ж.-А. Вейлю, П. Гарпу, Г. Ваннеру, Э. Хайеру, Ж. Вальдвогелю за их интерес к настоящей работе и полезные комментарии.

1. Постановка задачи

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цыгвинцев, Алексей Валентинович, 2001 год

1. В.И. Арнольд, В.В. Козлов, А.И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики , В кн. Совр. побл. мат. Фундаментальные направления. Т. 3.- М.:ВИНИТИ, 1985, 304 стр.

2. Н. Brims, Ueberdie Integrate des vierkorper Problems, Acta Math. 11, p. 25-96, (1887-1888).

3. J. Chazy, Sur I'allure du mouvement dans le probleme des trois corps quand le temps croit indefiniment, Ann. Sci. Ecole Norm., 39 , 29-130 (1922).

4. B.B. Голубев, Лекции no аналитической теории дифференциальных уравнений, Гостехиздат, Москва, 1950, 436 стр.

5. S.M. Graff, On the conservation of hyperbolic invariant tori for Hamiltonian systems, J. Differential Equations 15, 1-69, (1974).

6. C.B. Ковалевская, Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, Научные работы, изд. АН СССР, Москва, 1948

7. В.В. Козлов, Симметрии, топология и резонансы в гамилътоновой механике, Изд. Удмурт. Гос. Унив., Ижевск, (1996).

8. J.L. Lagrange, Oeuvres. Vol. 6, 272-292, Paris (1873).

9. J. Llibre, C. Simo, Oscillatory solutions in the planar restricted three-body problem,Math. Ann., 248: 153-184, 1980.

10. J. Llibre, C. Simo, Some homoclinic phenomena in the three-body problem, J. Differential Equations, 37, no. 3, 444-465, 1980.

11. R. Martinez, C. Pinyol, Parabolic orbits in the elliptic restricted three body problem, J. Differential Equations, 111, 299-339, (1994).

12. J.К. Moser, Stable and random motions in dynamical systems, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1973.

13. R. Moeckel, Chaotic dynamics near triple collision, Arch. Rational. Mech. Anal. 107, no. 1, 37-69 (1989).

14. J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis, Galosian Obstructions to integrability oj Hamiltonian Systems, Preprint (1998).

15. И. Ньютон, Математические начала натуральной философии , Перевод с латинского с примечаниями и пояснениями А.Н. Крылова, Изд-во АН СССР, 1936

16. P. Painleve, Memoire sur les integrales premieres du probleme des n corps, Acta Math. Bull. Astr. T 15 (1898).

17. А. Пуанкаре, Избранные труды, т. I, II М.: Наука, 1971I

18. Н. Yoshida, A criterion for the non-existence of an additional integral in hamiltonian systems with n degrees of freedom, Physic. Lett. A, 141, 108112, (1989)

19. M. Singer, A. Baider, R. Churchill, D. Rod, On the infinitesimal Geometry of Integrable Systems, in Mechanics Day, Shadwich et. al., eds, Fields Institute Communications, 7, AMS, 5-56 (1996).

20. K. F. Sundman, Memoire sur le probleme des trois corps, Acta Math. 36, 105-107 (1913).

21. C.L. Siegel, J.K. Moser, Lectures on Celestial Mechanics, Springer-Verlag (1971).

22. Gh. Topan, Sur une integrate premiere transcendante dans certaines configurations du probleme des trois corps, Bull. Math. Soc. Sci. Math. R. S. Roumanie (N.S.), no. 1, 83-91 (1989).

23. E. Т. У штекер, Аналитическая динамика. M.-JL: Гостехиздат, 1987, 500 стр.

24. А. Уитнер, Аналитические основы небесной механики,- М.: Физмат-гиз, 1967, 524 стр.

25. H. Yoshida, A criterion for the nonexistence of an additional integral in Hamiltonian systems with a homogeneous potential, Phys. D. 29, no. 1-2, 128-142, (1987).

26. C.JI. Зиглин, Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамилътоновой механике /, Функ. Анализ и Прил, 16, N. 3, 30-41 (1982)

27. L. Euler, Theoria motuum lunoce nova rnethodo pertractata, Opera (2),22, 1-1411, 1772.

28. C.E. Delaunay, Theorie du mouvement de la lune II, Meinoire de l'Academie des Sciences 29, 1-931, 1867.

29. A. Lindstedt, Sur la forme des expressions des distances mutuelles dans le probleme des troi corps, C.R. 97, 1276-8, 1883, 1253-5

30. G.W. Hill, The collected Mathematical works of George William Hill, 4 volumes, Carnegie Institution of Washington, 1905

31. Sir George Darwin, Periodic orbits, Acta 21, 99-242, 1897

32. Poincare, Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique avec des notes par I'auteur, memoire couronne du prix de S.M. le Roi Oskar II, Printed in 1889 but not published, OEvres, Gauthier Villars, Paris

33. M Poincare, Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique, Acta 13, 1890, 1-270, (см. перевод в изд. 18])

34. С. F. Gauss Disguisitiones generates circa seriem infinitam, Dars prior., Comm. Soc. reg. Gott, 11, 111, 123-162

35. B. Rimeann Grundalgen fur eine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grosse, Inagural dissertation, Gottingen, 345,1851

36. C. Jordan, Traite des substitutions et des equations algebriques, 1870, Paris

37. A. Poincare, Sur les integrates irregulieres des equations lineaires, Acta Math. 8, 295-344, 1886, (см. перевод в изд. 18])

38. С. G. J. Jacobi, Sur I'elemination des noeuds dans le probleme des trois corps, Journal fzir die Reine und Angewandte Mathematik, 26, 115-131,1843

39. А.Д. Брюно, Ограниченная задача трех -тел, Наука, Москва, 1990

40. А.С. Clairaut, Du Systeme du Monde dans les principes de la Gravitation, Universelle, Memoires de l'Academie royale des Sciences de Paris, 549, 1749

41. K. Bohlin, Uber die Bedeutung des Princips der lebendigen Kraft fur die Frage von der Stabilitat dynavbsher Systeme, Acta 10, 109-130, 1887

42. L.I. Fuchs, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungenmitverdnderlichen Co efficient en, Jahrsber, Gewerbeschule, Berlin. I. 11-158, 1865

43. L.W. Thome, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen, J.f.M., 75, 265-291, 1872

44. A. Poincare, Sur les fonctions Fuchsiennes, С. B,., 92, 333-335, 1881

45. В.И. Арнольд, A.JI. Крылов, Равномерное распределение точек на сфере и некоторые эргодические свойства решений линейных дифференциальных уравнений в комплексной области . Докл. Акад. Наук СССР, 148, No. 1, 9-12, 1963

46. V.I. Arnold, В.A. Khesin, Topoligical Methods in Hydrodynamics, Springer, 72-73, 1999

47. С.Л. Зиглин, Неинтегрируемость ABC-потока в случае А — В, Функ. Анализ и Прил. 30, N. 2, 80-81, 1996

48. С.Л. Зиглин, Об отсутствии вещественных первых интегралов в некоторых задачах динамики , Функ. Анализ и Прил., 31, N. 1, 3-11,1997

49. А.В. Цыгвинцев, On the variational equations of three-body problem near Lagrangian solutions, Prepublication 150 du Laboratoire de Mathematiques E. Picard, Universite Toulouse III, 1999.

50. А.В. Цыгвинцев, The meromorphic non-integrability of the three-bodyproblem, Prepublication 177 du Laboratoire de Mathematiques E. Picard, Universite Toulouse III, 2000.

51. A.B. Цыгвинцев, La non-integrabilite meromorphe du probleme plan des trois corps, Comptes Rendus de l'Acadeinie des sciences, Paris, t. 331, Serie I, p. 1-4, 2000

52. A.B. Цыгвинцев, The meromorphic non-integrability of the three-body problem, Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik de Gruyter, to be published

53. B.B. Козлов, Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем, Докл. Акад. Наук СССР 249, 12991302 (1979)

54. И.А. Тайманов, Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на неодносвязных многообразиях, Изв. Акад. Наук. СССР Сер. Мат. 51, 429-435 (1987)

55. И.А. Тайманов, О топологических свойствах интегрируемых геодезических потоков, Мат. Заметки 44, 283-284 (1988)

56. В.В. Козлов, О группах симметрии динамических систем, Прикл. Мат. Мех.52, 531-541, (1988)

57. R. Cushman, Examples of nonintegrable analytic Hamiltonian vector fields with no small divisors, Trans. Amer. Math. Soc. 238, 45-55, (1978)

58. C.B. Болотин, Условия неинтегрируемости no Лиувиллю гамияъ-тоновых систем, Вестник. Моск. Унив.Сер. I Мат. Мех. 3, 58-64, (1986)

59. В.В. Козлов, Расщепление сепаратрис в возмущенной проблеме Эйлера-Пуансо, Вестник. Моск. Унив. Сер. I Мат. Мех. 1, 110-115, (1976)

60. В.В. Козлов, Д.В. Трещев Неинтегрируемость общей задачи о вращении динамически симметричного твердого тела с неподвижной точкой I, II, Вестник. Моск. Унив. Сер. I Мат. Мех. 6, 73-81, (1985)

61. A.M. Ляпунов. Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, Избр. раб A.M. Ляпунова, Гостехиздат. Москва. 1954

62. В.В. Козлов, Ветвление решений и полиномиальные интегралы обратимых систем на торе, Мат. Заметки 44, 100-104, (1988)

63. A. Goriely, A brief history of Kovalevskaya exponents and modern developments. Regular and Chaotic Dynamics: Special Kovalevskaya Edition.

64. H. Yoshida, Necessary condition for existence of algebraic first integrals, Celestial Mechanics. 1983.V. 31. P. 363-399.

65. B.B. Козлов, Тензорные инварианты квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и асимптотический метод Ковалевской-Ляпунова, Мат. Заметки 51 , N. 2, (1992)

66. A. J. Maciejewski, J.-M. Strelcyn, On algebraic поп- integrability of the Halphen system, Phys. Lett. A 201 (1995)

67. A.B. Борисов, A.B. Цыгвинцев, Показатели Ковалевской и интегрируемые системы классической механики,1,11. Ж. Регулярная и Хаотическая Динамика, N. 1, с,15-18, (1996)

68. А.В. Борисов, А.В. Цыгвинцев, Метод Ковалевской в динамике твердого тела, Прикл. Мат. Мех. 61, N. 1, с, 30-36, (1997)

69. К.В. Емельянов, А.В. Цыгвинцев, Показатели Ковалевской систем с экспоненциальным взаимодействием , Мат. Сб. Т, 191, N. 10, с, 39-50, (2001)

70. F. Tsygvintsev, On the existence of polynomial first integrals of quadratic homogeneous systems of ordinary differential equations, Journal of Physics A: Mathematical and General 33, (2001), в печати

71. К.В. Емельянов, К вопросу о классификации интегрируемых по Бирк-гофу систем с потенциалом экспоненциального вида, Мат. Заметки, Т. 67, выпуск 5ь (2000)

72. В.В. Козлов, Д,В, Трещев, Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды, Мат, Заметки 46, N. 5, 17-28, (1989)

73. M.J. Bertrand, Мётогre sur I'integrations des equations differentielles de la mecanique, Journal de Mathematiques, Tome XVII.,393-437, (1852)

74. В.М. Алексеев, О возможности захвата в проблеме трех тел с отрицательным значением постоянной энергии , Успехи Мат. Наук 24, 1969, 1, (145), 185-186

75. Н. Yoshida, A criterion for the non-existence of an additional integral in hamiltonian systems with a homogeneous potential, Physica D 29, (1987), 128-142

76. Morales-Ruiz J., Differential Galois theory and non-integrability of Hamiltonian systems, Birkhauser Verlag, Basel. 1999.

77. С.Л. Зиглин, Интегралы в инволюции линейных групп симплекти-ческих преобразований и натуральных механических систем с однородным потенциалом, Функц. Анализ и Приложения. Том. 34, 3, 2000, 179187

78. В.М. Алексеев, Квазислучайные динамические системы, II., Матем. Сб., 77, N.4, 545-601, (1968)

79. В.М. Алексеев, Квазислучайные динамические системы, III, Мат. Сб., 78, N.1, 3-50, (1969)

80. В. В. Козлов, Об интегральных инвариантах уравнений Гамильтона , Мат. Заметки, Т. 58, вып. 3. стр. 380-393, 1995

81. С. Каток, Фуксовы группы, Chikago Lectures in Mathematics, 1992

82. С.А. Довбыш, Трансверсальное пересечение сепаратрис и несуществование дополнительного интеграла в многомерных системах, Деп. в ВИНИТИ АН СССР 11.04.91 N 15656-В 91. 22 с.

83. С.А. Довбыш, Трансверсальное пересечение сепаратрис, структура множества квазислучайных движений и несуществование аналитического интеграла в многомерных системах, Успехи матем. наук. 1996, Е. 51, Вып. 4. С. 153-154.

84. С.А. Довбыш, Пересечение сепаратрис и неинтегрируемостъ многомерных систем, Успехи матем. наук. 2000. Т. 55, Вып. 3. с. 179-180.