Влияние термоупругих и структурных характеристик компонентов на локальные, предельные и эффективные физико-механические свойства неоднородных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Сорокин Александр Игоревич

• Сорокин Александр Игоревич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Сорокин Александр Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД (ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР)

1.1. Обзор исследований, посвященных прогнозированию и расчету эффективных (эксплуатационных) физико-механических характеристик неоднородных материалов

1.2. Обзор исследований, посвященных прогнозированию и расчету локальных (внутренних) физико-механических характеристик неоднородных материалов

1.3. Постановка задачи исследования

2. ВЛИЯНИЕ ТЕРМОУПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОНЕНТОВ, ФОРМЫ И ОРИЕНТАЦИИ НЕИЗОМЕТРИЧНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

НА СРЕДНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В МАТРИЧНЫХ СТРУКТУРАХ

2.1. Построение модели прогнозирования влияния термоупругих характеристик компонентов, формы и ориентации неизометричных включений на средние напряжения в матричных структурах

2.2. Численное моделирование влияния термоупругих характеристик компонентов, формы и ориентации неизометричных включений

на средние напряжения в матричных структурах

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МАТРИЧНЫХ СТРУКТУР

3.2. Моделирование предельных прочностных показателей двухкомпонентных нетекстурированных композитов

3.3. Моделирование влияния формы, ориентации и концентрации неизометричных включений на предельные прочностные показатели двухкомпонентных матричных композитов

3.4. Моделирование предельных прочностных показателей многокомпонентных матричных композитов

4. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

ПОРИСТОЗАПОЛНЕННЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

4.1. Эффективные упругие характеристики пористозаполненных композитных материалов

4.2. Концентрация напряжений и деформаций в пористозаполненных композитных материалах

4.3. Объемная плотность энергии деформации в пористозаполненных композитных материалах

4.4. Предельные прочностные показатели (при одноосном сжатии) пористозаполненных композитных материалов

ВЫВОДЫ

БЛАГОДАРНОСТИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И АББРЕВИАТУР

ОСП - обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей. ТКЛР - термический коэффициент линейного расширения. ПТФЭ - политетрафторэтилен. БЩС - бесщелочное стекло.

е.,, 8У/ - компоненты тензоров напряжений о и деформаций

и и

соответственно.

сук1, - компоненты тензоров упругости с и податливости 8 соответственно. стп - матричная форма записи компонент Сук1 тензора четвертого ранга с. г - радиус-вектор.

КЦк1 (г), Щм (г) - компоненты операторов (тензоров) концентрации полей напряжений К ° (г) и деформаций Ке (г) соответственно.

5и - символ Кронекера.

и

При работе с тензорами используются правила Эйнштейна: по повторяющимся индексам ведется суммирование (например, £п = £и + е22 + £зз); запятая в индексах обозначает дифференцирование по соответствующим координатам, стоящим после нее

г

например, /у =Уг/ = —

Эх

ы^ у) - по индексам, заключенным в круглые скобки, проводится симметризация; так и^ ^) = j + и^ 1).

1уЫ = ^цк ) у - компоненты единичного тензора четвертого ранга I. 8(г) - дельта-функция Дирака.

gjjkl - компоненты тензора g (сингулярная составляющая второй производной тензора Грина уравнений равновесия). К - модуль всестороннего сжатия (объемный модуль). Е - модуль Юнга. V - коэффициент Пуассона.

Значком «*» в верхнем индексе обозначаются эффективные характеристики.

Нижними индексами «в» и «м» в двухкомпонентных матричных композитах обозначаются величины, относящиеся к включениям и матрице соответственно.

Верхним индексом «с» обозначаются характеристики однородного тела сравнения.

^а) - угловые скобки обозначают статистическое усреднение.

и' - центрированная случайная функция (величина), и' = и - (и).

и" - двумя штрихами в записи случайной величины обозначается разность

» с

и = и - и

Е (г) - объемная плотность энергии деформации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние термоупругих и структурных характеристик компонентов на локальные, предельные и эффективные физико-механические свойства неоднородных сред»

ВВЕДЕНИЕ

Неоднородные материалы сложной структуры и состава, имеющие естественное происхождение или создаваемые искусственно, являются объектом пристального внимания ученых и инженеров-материаловедов. Бурное развитие промышленности предъявляет современные, все более сложные требования к методам исследования характеристик (физических, химических и др.) уже существующих материалов, разработке новых технологий создания композитов со специальными, заранее заданными свойствами. Поскольку подобные методы и технологии достаточно дорогостоящи, возникает необходимость в моделировании влияния структуры, состава и концентрации компонентов на эксплуатационные (эффективные), локальные и предельные разрушающие характеристики как уже существующих, так и разрабатываемых новых неоднородных материалов.

Проблема прогнозирования влияния внешних эксплуатационных факторов (температурных, электрических, механических, химических и др.) на физико-механические свойства неоднородных материалов традиционно привлекает внимание исследователей. Однако значительный интерес имеет обратная задача, а именно, как влияют внутренние изменения, происходящие в отдельных элементах неоднородности композита на его средние по материалу характеристики (упругие, диэлектрические и др.). Причиной этих изменений может служить, в частности, различие термических коэффициентов линейного расширения (ТКЛР) компонентов композитного материала. Актуальность данной задачи в микро- и наноэлектронике обусловлена проблемами, возникающими при многоуровневой металлизации интегральных схем. При пропускании тока различия в значениях ТКЛР элементов неоднородности могут приводить к возникновению в интегральных схемах внутренних и поверхностных дефектов и выходу из строя изделий, использующих данные материалы. Кроме того, расчеты средних по материалу напряжений могут быть использованы для решения проблемы

прогнозирования температуры плавления металлических нитевидных нанокристаллов, заключенных в матрицу пористого анодного оксида алюминия.

Известно, что при внешнем механическом воздействии определенного типа в элементах неоднородности композитного материала возникает напряженно-деформированное состояние общего вида. При этом возможно существование таких элементов неоднородности, для которых внутри или на границе раздела компонентов значения напряжений (или деформаций) будут отличаться от приложенных, в частности, превышать их. Это может приводить к процессам перестройки структуры и/или разрушению всего неоднородного материала. Поэтому анализ локальных (внутренних) физико-механических характеристик неоднородных сред в зависимости от состава, структуры, геометрической формы и концентрации компонентов, а также вида и величины внешнего воздействия, является актуальной задачей. При этом важным направлением исследования указанной проблемы является прогнозирование предельных прочностных показателей неоднородных материалов.

Описанные методы прогнозирования локальных, предельных и эффективных физико-механических свойств неоднородных сред находят широкое применение не только в микро- и наноэлектронике, но и других областях науки и техники. В частности, в разведочной геофизике одной из актуальных является проблема моделирования и расчета физико-механических свойств флюидонасыщенных сред, т.е. многокомпонентных композитов, содержащих поры, заполненные флюидом (газом, газоконденсатом, нефтью, пластовой жидкостью). Неоднородные материалы похожей структуры изучаются в трибоматериаловедении. Это антифрикционные лаки, в состав которых входят наполненные жидким смазочным веществом микрокапсулы, «утопленные» в поверхности покрытия. Микрокапсулы выделяют смазку лишь при наличии нагрузок на поверхностях

трения, при этом образуется высокоэффективная смазывающая пленка с длительным сроком эксплуатации.

Целью диссертационной работы является развитие теоретических и совершенствование расчетных методов прогнозирования физико-механических свойств неоднородных сред, что включает анализ взаимодействий элементов неоднородности в многокомпонентных композитах, а также исследование влияния термоупругих и структурных характеристик компонентов для определения локальных, предельных разрушающих и эффективных физико-механических свойств неоднородных материалов.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1) построить теоретическую модель прогнозирования влияния термоупругих характеристик компонентов, формы, ориентации и концентрации неизометричных включений на средние по материалу напряжения в матричных структурах, основанную на обобщенном сингулярном приближении теории случайных полей (ОСП), смысл которого состоит в предположении однородности физических полей в пределах элемента неоднородности, и понятии оператора (тензора) концентрации напряжений; провести численные расчеты средних напряжений в двухкомпонентных полимерных композитах с ориентированными эллипсоидальными включениями;

2) разработать метод прогнозирования предельных значений прочностных показателей (при сжатии) для матричных композитных материалов, опирающийся на ОСП и понятие оператора концентрации напряжений; на основе разработанного метода численно исследовать влияние состава, структурных параметров и концентрации включений на пределы прочности двух- и трехкомпонентных полимерных композитов (дисперсно-наполненных и с включениями неизометричной формы);

3) усовершенствовать основанную на ОСП модель расчета локальных, предельных и эффективных физико-механических свойств многокомпонентных композитов, содержащих поры, заполненные жидкостью, и провести численное моделирование указанных свойств в трехкомпонентных пористозаполненных композитных материалах с дисперсными включениями.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Построена теоретическая модель, учитывающая влияние термоупругих характеристик компонентов, структуру и концентрацию неизометричных включений и позволяющая прогнозировать напряжения на границе макрообъема в двухкомпонентных матричных композитах, опирающаяся на ОСП и понятие тензора концентрации напряжений. На основе построенной модели проведены численные расчеты средних по материалу напряжений в двухкомпонентных полимерных композитах с ориентированными включениями эллипсоидальной формы.

2) Предложен оригинальный метод прогнозирования прочностных характеристик матричных композитов при сжатии, опирающийся на ОСП и понятие тензора концентрации напряжений. С помощью разработанного метода решены задачи численного моделирования предельных значений прочностных показателей:

а) двухкомпонентных дисперсно-наполненных полимерных композитов (рассмотрено влияние на их пределы прочности безразмерного структурного параметра, связанного с концентрацией включений);

б) двухкомпонентных матричных композитов с неизометричными включениями (исследовано влияние на их пределы прочности формы, пространственной ориентации и концентрации эллипсоидальных включений);

в) трехкомпонентных дисперсно-наполненных композитов на полимерной основе (изучено влияние на их пределы прочности состава и концентрации включений).

3) Усовершенствована основанная на ОСП модель прогнозирования локальных, предельных и эффективных физико-механических свойств многокомпонентных пористозаполненных композитов с дисперсными включениями. Опираясь на эту модель, проведены комплексные исследования и расчеты зависимостей указанных физико-механических характеристик пористозаполненных композитов от состава и концентрации дисперсных включений.

Достоверность полученных результатов работы основывается на корректности постановок решаемых задач. Решения задач проверялись путем сравнения (с помощью предельного перехода) с хорошо изученными известными результатами, сопоставлялись с имеющимися экспериментальными данными для композитов похожей структуры и состава компонентов. При моделировании в среде МЛТЬЛВ были использованы многократно проверенные численные методы и подходы.

Практическая значимость результатов работы заключается в возможности применения разработанных методов, полученных теоретических результатов и созданного программного обеспечения для прогнозирования физико-механических свойств широкого класса композитов как естественного происхождения, так и создаваемых искусственно.

Полученные результаты представляют интерес в таких областях науки и техники как микро- и наноэлектроника (многоуровневая металлизация интегральных схем), геофизика (разведка флюидосодержащих горных пород), трибоматериаловедение (анти- и фрикционные материалы и покрытия) и др.

Личный вклад автора состоит в непосредственном участии в разработке и совершенствовании методов прогнозирования локальных, предельных и эффективных физико-механических характеристик неоднородных материалов, проведении численного моделирования с использованием вычислительной среды МЛТЬЛВ и собственных расчетных модулей, в анализе результатов проведенного моделирования и подготовке их к публикациям. Ряд результатов, вошедших в диссертацию, получен в

сотрудничестве с академиком РАН В.И. Колесниковым, профессором РАН В.Б. Яковлевым, В.В. Бардушкиным, А.П. Сычевым, Д.А. Кирилловым, которым автор искренне благодарен за сотрудничество.

Научные положения, выносимые на защиту:

1) теоретическая модель анализа напряженного состояния на границе макрообъема двухкомпонентного композита в результате термодинамических воздействий, обусловленных различием ТКЛР элементов неоднородности, опирающаяся на ОСП и понятие оператора концентрации напряжений, позволяющая учитывать характер армирования и процентное содержание неизометричных включений;

2) метод прогнозирования предельных прочностных показателей (при сжатии) матричных композитных материалов, основанный на использовании ОСП и оператора концентрации напряжений, позволяющий учитывать состав, структуру и процентное содержание элементов неоднородности;

3) усовершенствованная модель анализа эксплуатационных, локальных и предельных прочностных характеристик пористозаполненных многокомпонентных композитов, основанная на ОСП и дающая возможность учитывать состав и концентрацию компонентов материала.

Соответствие паспорту научной специальности. Основой специальности 01.04.07 - физика конденсированного состояния - является теоретическое и экспериментальное исследование природы кристаллических и аморфных, неорганических и органических веществ в твердом и жидком состояниях и изменение их физических свойств при различных внешних воздействиях. Диссертация соответствует п. 5 паспорта специальности: разработка математических моделей построения фазовых диаграмм состояния и прогнозирование изменения физических свойств конденсированных веществ в зависимости от внешних условий их нахождения.

конференциях: «Микроэлектроника и информатика» (Москва, МИЭТ, 2014, 2015, 2016 и 2017); «Механические свойства современных конструкционных материалов» (Москва, ИМЕТ им. А.А. Байкова РАН, 2014); «Инновации в материаловедении» (Москва, ИМЕТ им. А.А. Байкова РАН, 2015); «Поликомтриб-2015» (Гомель, ИММС им. В.А. Белого НАН Беларуси); «Электроника-2015» (Москва, МИЭТ); «Мехтриботранс-2016» (Ростов-на-Дону, РГУПС).

Результаты диссертационной работы были использованы в исследованиях, проводимых при финансовой поддержке РФФИ (гранты 13-08-00672-а, 14-08-00654-а, 16-08-00262-а) и Российского научного фонда (проект № 14-29-00116).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 22 научных работах: в 13 статьях в отечественных (в том числе переводных) рецензируемых научных журналах, в 9 статьях и тезисах, входящих в сборники научных трудов международных и всероссийских конференций. При этом 4 статьи входят в перечень рецензируемых научных изданий ВАК Минобрнауки РФ по специальности диссертации, а 2 статьи индексируются Зсорш^оБ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, библиографии, содержит 110 страниц текста, включая 21 рисунок и 1 таблицу. Список литературы состоит из 178 наименований.

В пределах каждой главы принята двойная нумерация (через точки) формул, таблиц и рисунков: первая латинская цифра указывает на номер главы, вторая латинская цифра - на номер формулы (таблицы, рисунка) в главе. При ссылках на формулы, таблицы и рисунки всегда указывается эта двойная нумерация.

1. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД (ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР)

Теоретические и экспериментальные исследования физико-механических (упругих, электрических, магнитных и др.) свойств поликристаллических и композитных материалов в основном ведутся в трех направлениях. К этим направлениям относятся прогнозирование и анализ эффективных (эксплуатационных), локальных (внутренних) и предельных (разрушающих) характеристик неоднородных сред. Большое значение в изучении эксплуатационных и предельных свойств неоднородных материалов имеют экспериментальные исследования. Однако эти исследования сопряжены с большими временными, материальными и финансовыми затратами, не гарантирующими достижения оптимальных физико-механических характеристик неоднородных материалов. Поэтому в настоящее время все большее значение приобретают теоретические методы прогнозирования и расчета не только эффективных и предельных, но и локальных (внутренних) физико-механических свойств поликристаллических и композитных сред [1-6].

Проблема прогнозирования локальных физико-механических характеристик поликристаллических и композитных материалов сводится к анализу распределений физических полей в пределах элементов неоднородности в зависимости от вида и величины приложенных внешних физических полей. Эти характеристики определяются тензорными операторами концентрации, связывающими значения соответствующих полей внутри элемента неоднородности с их средними значениями во всем материале. Моделирование и расчет операторов концентрации физических полей, возникающих в отдельном элементе неоднородности в зависимости от состава, структуры, геометрической формы и концентрации компонентов неоднородных материалов позволяет прогнозировать, как указанные физические поля концентрируются и перераспределяются в неоднородной

среде. Это может быть полезным в решении проблем текстурообразования, оценки предельных разрушающих показателей неоднородных материалов, даст возможности разработчикам вести целенаправленный поиск новых, обладающих заданными свойствами поликристаллов и композитов [4-6].

1.1. Обзор исследований, посвященных прогнозированию и расчету эффективных (эксплуатационных) физико-механических характеристик

неоднородных материалов

Физико-механические характеристики (упругие, электрические, магнитные и др.) неоднородных сред рассматриваются, как правило, на трех различных уровнях детализации их структуры: макроскопическом, микроскопическом и субмикроскопическом. Это соответствует рассмотрению таких материалов: а) как гомогенных сред с эффективными свойствами (в технических приложениях называемых эксплуатационными), однородными в масштабе каждого материала; б) на уровне отдельных элементов неоднородности (например, включений и матрицы); в) на уровне объектов, размеры которых меньше размеров микроструктурных элементов (блоки мозаики, границы зерен неоднородностей, дислокации и другие дефекты структуры кристаллической решетки) [3-12].

Прежде, чем перейти к обзору исследований, посвященных прогнозированию и расчету эффективных физико-механических характеристик неоднородных материалов, необходимо отметить, что физические и материальные поля в теории эффективных сред считаются случайными функциями координат. При этом центральным моментом прогнозирования эффективных характеристик неоднородных сред является возможность выделения представительного объема, т.е. такой области бесконечно большого материала, свойства которой аналогичны свойствам материала в целом, а также свойствам любой подобной области,

расположенной пространственно в другом месте. Удовлетворение данного условия приводит к выполнению условия эргодичности, т.е. дает возможность проводить усреднение по объему материала, а не по ансамблю реализаций [316].

Эффективные физико-механические характеристики неоднородного

*

материала определяются тензором X , устанавливающим связь между соответствующими физическими полями (упругими, электрическими, магнитными и др.), которые определяются усредненными по представительному объему тензорами А и В:

(Л(г)> = Х*(Б(г)), (1.1)

где г - радиус-вектор случайной точки среды.

Так, в частности, для упругих свойств А и В - это соответственно тензоры напряжений и деформаций, а X* - тензор эффективных модулей упругости. Уравнение (1.1) является в этом случае законом Гука. Если

рассматриваются тепловые свойства, то тензора А и В - это соответственно

*

векторы плотности теплового потока и градиента температуры, а X -эффективный тензор теплопроводности. Уравнение (1.1) является в этом случае законом Фурье. При рассмотрении электрических характеристик А и В - это соответственно векторы плотности тока и градиента напряженности

электрического поля, а X* - это эффективный тензор электропроводности. Уравнение (1.1) является в этом случае законом Ома. При рассмотрении гидравлической проницаемости А и В - это соответственно векторы

плотности потока жидкости А и градиента давления В, а X* - эффективный тензор гидравлической проводимости. Уравнение (1.1) является в этом случае законом Дарси [3-16].

Прогнозирование эффективных (эксплуатационных) физико-механических свойств неоднородных сред наталкивается на ряд сложностей. Отметим три важнейшие из них. Во-первых, это проблема, связанная с корректным учетом взаимодействия отдельного зерна неоднородности с

окружающими его элементами. Указанная проблема включает в себя анализ ориентации кристаллографических осей зерен неоднородности, их формы и расположения в пространстве материала (армирование). Во-вторых, это проблема усреднения свойств неоднородных материалов. В-третьих, это проблема упрощения модели, чтобы формулы, используемые для прогнозирования эффективных физико-механических характеристик, можно было применять для расчетов свойств конкретных неоднородных сред [4-16].

Рассмотрим более подробно на вопросе, связанном с усреднением свойств неоднородных сред. Эту процедуру можно проводить двумя способами. Первый способ состоит в усреднении поля У(г) по объему и определяется с помощью формулы:

(¥(г)> = 1 | ¥(г)йг, (1.2)

V V

где элемент объема V представляет собой область, достаточно большую по сравнению с характерным размером элемента (зерна) неоднородности. Второй способ заключается в усреднении по ансамблю, т.е. по совокупности однотипных ситуаций. Отметим, что в случаях, когда указанные усредненные значения поля У(г) совпадают, выполняется условие эргодичности [4-16].

Укажем, что свойства поликристаллических сред зависят лишь от ориентации кристаллографических осей кристаллитов. Тогда процедура усреднения сводится к интегрированию по всевозможным значениям углов Эйлера фх, Ф и ф2 (0 <ф: <2п, 0 <Ф<п, 0 <ф2 < 2п), которые определяют

ориентацию зерен неоднородности (кристаллитов) относительно лабораторной системы координат. Для некоторой случайной величины У(ф1, Ф, ф2) процедура усреднения выглядит следующим образом:

1 п 2п 2п

(У(ф1; Ф, Ф2^ =—2 Л / /(ф1; ф, Ф2> У(ф1, Ф, ф2^Ш ФаФа ф^>2 ,(1.3)

8п 0 0 0

где / (ф15 Ф, ф2) - функция распределения ориентаций кристаллографических осей кристаллитов (так называемая, текстурная функция) [4-6,8,17].

При рассмотрении многокомпонентных композитных сред, если выполняется гипотеза эргодичности, можно применять процедуру усреднения по объему для каждого компонента композита. Тогда усреднение по всему объему многокомпонентного композитного материала сводится к суммированию средних значений по компонентам, которое для некоторой случайной величины У(г) выглядит следующим образом [4-16]:

(Т(г ) = I У5 (г)). (1.4)

Здесь и (г) - объемное (относительное) содержание компонента 5*-го типа и соответствующая данному компоненту случайная величина, где

IV, = 1.

Для прогнозирования эффективных (эксплуатационных) физико-механических свойств неоднородных сред имеется большое количество теоретических методов, по вопросу классификации которых написано большое количество монографий и статей. Отметим лишь некоторые из них, например, [7-12,15,16,18-33].

Далее уделим основное внимание обзору исследований, связанных с прогнозированием эффективных упругих свойств неоднородных сред. В основе определения этих свойств, как указывалось выше (см. (1.1)), лежит

уравнение для вычисления эффективного тензора модулей упругости с*,

связывающего средние значения тензоров напряжений (ъу (г)^ и деформаций

(гк1 (г)) в неоднородной среде, ¡, ], к, I = 1,2,3:

{<з1] (г)) = у {ек1 (г)). а.5)

Одним из первых и наиболее общих подходов к прогнозированию эффективных упругих свойств неоднородных материалов является подход, суть которого заключается в определении возможных пределов (границ) изменения указанных свойств. Первыми моделями, позволяющими оценить верхнюю и нижнюю границы эффективных модулей, являлись модели Фойгта

(Voight, W.) (предположение постоянства средних деформаций в неоднородной среде) [34] и Ройсса (Reuss A.) (предположение, что напряжение равномерно по объему неоднородной среды) [35]. Эти границы определяют так называемую вилку Хилла (Hill R.) [36-40]. Для некоторых материалов (например, для однофазных поликристаллов) вилка Хилла является довольно узкой. Однако для многофазных поликристаллов и композитов разброс в значениях эффективных констант может достигать нескольких порядков. Основываясь на принципе минимума дополнительной энергии (так называемый вариационный метод), Хашину (^shin Z.) и Штрикману (БМпкшап S.) [41-43] удалось сузить вилку Хилла. Было доказано, что вилка Хашина - Штрикмана задает границы изменения эффективных констант в неоднородном материале, которые в случае отсутствия какой-либо дополнительной информации о статистическом распределении фаз не могут быть улучшены. В последующем вариационный метод развивался в работах Качанова, Хашина, Берана (Бегап M.), Милтона (Milton G.W.), Торквато (Torquato S.) [26,27,44-50] и др.

Довольно широкое применение имеет метод определения эффективных констант, основанный на разложении эффективных тензоров модулей упругости и податливости в ряды по степеням объемной концентрации одного из компонентов композита. Этот метод называется вириальным разложением и объединяет в себе несколько подходов, рассмотренных в работах Кривоглаза и Черевко, Торквато, Германовича и Дыскина, Балпола ^а1ро1е L.J.), Биллиса (Willis J.R.) [50-55] и др. Области применимости данного метода ограничены малыми концентрациями одного из компонентов неоднородного материала. Кроме того, коэффициенты при старших членах ряда зависят от таких характеристик статистического распределения элементов неоднородности, как размер, взаимное расположение и ориентация. Это приводит не только к вычислительным трудностям, но и к разбросу значений коэффициентов рядов, получаемых разными авторами.

Имеется еще несколько подходов к вычислению эффективных упругих констант, называемых методами моментов и условных моментов, разработанных и развитых в работах Берана, Сендецки, Фокина и Шермергора, Хорошуна [56-62] и др. Эти методы объединяет идея о том, что эффективные модули могут быть получены с помощью рассмотрения полного набора вероятностных моментов, описывающих распределение элементов неоднородности. К основным трудностям применения этих подходов относится отсутствие информации о полном наборе моментов всех порядков и типов. Кроме того, задача сводится к рассмотрению бесконечного ряда и нахождению его членов, что сопряжено с вычислением интегралов, вид которых становится все более громоздким с увеличением порядка моментов.

Можно отметить еще один метод, состоящий в рассмотрении периодических структур. При этом полагается, что включения расположены в узлах периодической решетки, что позволяет численно получать точные значения эффективных констант. Данный подход рассмотрен в работах Бахвалова, Олейник, Ивакумы (Ракита Т.), Немат-Нассера (КешаКЫаББег Б.), Сангини (Ба^ш А.Б.) и др. [22,63-71]. А его применение приводит к тому, что тензор эффективных модулей упругости наследует анизотропию используемой периодической решетки. Это служит основным возражением при применении данного подхода, поскольку в реальных материалах элементы неоднородности располагаются в пространстве, как правило, довольно хаотично.

Остановимся далее более подробно на методах прогнозирования эффективных характеристик матричных композитных материалов, в основе которых лежит подход Эшелби (ЕвИеШу 1.Б.) [72-74], связанный с решением задачи об одиночном включении.

Прежде всего, надо отметить метод невзаимодействующих неоднородностей, суть которого заключается в предположении, что каждое включение ведет себя как единственное в бесконечной среде матрицы, а любыми взаимодействиями между элементами неоднородности

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сорокин Александр Игоревич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трофимов, Н.Н. Основы создания полимерных композитов / Н.Н. Трофимов, М.З. Канович. - М.: Наука, 1999. - 539 с.

2. Рогинский, С.Л. Высокопрочные стеклопластики / С.Л. Рогинский, М.З. Канович, М.А. Колтунов. - М.: Химия, 1979. - 144 с.

3. Трофимов, Н.Н. Физика композиционных материалов / Н.Н. Трофимов, М.З. Канович, Э.М. Карташов, В.И. Натрусов, А.Т. Пономаренко, В.Г. Шевченко, В.И. Соколов, И.Д. Симонов-Емельянов. - М.: Мир, 2005. - Т. 1. - 456 с.; Т. 2. - 344 с.

4. Колесников, В.И. Микромеханика поликристаллов и композитов (напряженно-деформированное состояние и разрушение) / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, И.В. Колесников. - Ростов-на-Дону: изд-во РГУПС, 2012. - 288 с.

5. Яковлев, В.Б. Материальные и полевые характеристики текстурированных поликристаллов и композитов : дис. ... докт. физ.-мат. наук 01.04.10 / Виктор Борисович Яковлев. - М., 1998. - 310 с.

6. Бардушкин, В.В. Напряженно-деформированное состояние и разрушение текстурированных поликристаллов и композитов : дис. ... докт. физ.-мат. наук 01.04.07 / Владимир Валентинович Бардушкин. - М., 2007. - 292 с.

7. Milton, G.W. The theory of composites / G.W. Milton. - London: Cambridge University Press, 2004. - 749 p.

8. Шермергор, Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред / Т.Д. Шермергор. - М.: Наука, 1977. - 399 с.

9. Победря, Б.Е. Механика композитных материалов / Б.Е. Победря. - М.: изд-во МГУ, 1984. - 336 с.

10. Buryachenko, V.A. Micromechanics of heterogeneous materials / V.A. Buryachenko. - N.Y.: Springer, 2007. - 686 p.

11. Böhm, H.J. A short introduction to basic aspects of continuum micromechanics / H.J. Böhm. - Vienna: Institute of Lightweight Design and Structural Biomechanics (ILSB), Vienna University of Technology, 2013. -160 p.

12. Ванин, Г.А. Микромеханика композитных материалов / Г.А. Ванин. -Киев: Наукова думка, 1985. - 302 с.

13. Баюк, И.О. Теоретические основы определения эффективных физических свойств коллекторов углеводородов / И.О. Баюк // Ежегодник РАО. - 2011. - Вып. 12. - С. 107-120.

14. Баюк, И.О. Междисциплинарный подход к прогнозированию макроскопических и фильтрационно-емкостных свойств коллекторов углеводородов : дисс. ... докт. физ.-мат. наук 25.00.10 / Ирина Олеговна Баюк. - М., 2013. - 188 с.

15. Колесников, В.И. Об объединении методов оценки эффективных диэлектрических характеристик гетерогенных сред на основе обобщенного сингулярного приближения / В.И. Колесников, В.Б. Яковлев , В.В. Бардушкин, И.В. Лавров, А.П. Сычев, Е.Н. Яковлева // Доклады Академии наук. - 2013. - Т. 452. - № 1. - С. 27-31.

16. Лавров, И.В. О вычислении эффективной теплопроводности текстурированных трибокомпозитов / И.В. Лавров, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев, Д.А. Кириллов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. -2017. - № 2. - С. 48-56.

17. Виглин, А.С. Количественная мера текстуры поликристаллических материалов. Текстурная функция / А.С. Виглин // Физика твердого тела. - 1960. - Т. 2. - № 10. - С. 2463-2476.

18. Beran, M. Statistical continuum theories / M. Beran // N.Y., Interscience Publishers. - 1968. - V. 9. - 424 p.

19. Ломакин, В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. - М.: Наука, 1970. - 137 с.

20. Ильюшин, А.А. Основы математической теории термовязкоупругости / А.А. Ильюшин, Б.Е. Победря. - М.: Наука, 1970. - 280 с.

21. Mura, T. Micromechanics of defects in solids / T. Mura. - Martinus Nijhoff Publishers, 1982. - P. 63-70.

22. Nemat-Nasser, S. On effective moduli of an elastic body containing periodically distributed voids: comments and corrections / S. Nemat-Nasser, M. Taya // Quart. Appl. Math. - 1985. - V. 43. - № 2. - P. 187-188.

23. Хорошун, Л.П. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов / Л.П. Хорошун, Б.П. Маслов, П.В. Лещенко. -Киев: Наукова думка, 1989. - 207 с.

24. Кристенсен, Р. Введение в механику композитов / Р. Кристенсен. - М.: Мир, 1982. - 336 с.

25. Christensen, R.M. A critical evaluation of a class of micro-mechanics models / R.M. Christensen // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1990. -V. 38. - № 3. - P. 379-404.

26. Kachanov, M. Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts / M. Kachanov // Appl. Mech. Rev. - 1992. - V. 45. -P. 304-335.

27. Kachanov, M. Elastic solids with many cracks and related problems / M. Kachanov // Advances in applied mechanics. - N.Y.: Academic Press, 1993.

- V. 30. - P. 259-445.

28. Канаун, С.К. Метод эффективного поля в механике композитных материалов / С.К. Канаун, В.М. Левин. - Петрозаводск: изд-во Петрозаводского ун-та, 1993. - 600 с.

29. Устинов, К.Б. Об определении эффективных упругих характеристик двухфазных сред. Случай изолированных неоднородностей в форме эллипсоидов вращения / К.Б. Устинов // Успехи механики. - 2003. - № 2.

- С. 126-168.

30. Sevostianov, I. Effective elastic properties of matrix composites with transversely-isotropic phases / I. Sevostianov, N. Yilmaz, V. Kushch, V. Levin // Int. J. Sol. and Struct. - 2005. - V. 42. - P. 455-476.

31. Kim, M. Development of differential scheme micromechanics modeling framework for predictions of hot-mix asphalt (HMA) complex modulus and experimental validations : Diss. of PhD / M. Kim. - Illinois, 2009. - 251 p.

32. Klusemann, B. Homogenization methods for multi-phase elastic composites: Comparisons and benchmarks / B. Klusemann, B. Svendsen // Technische Mechanik. - 2010. - V. 30. - № 4. - P. 374-386.

33. Хорошун, Л.П. Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) / Л.П. Хорошун, Л.В. Назаренко // Прикладная механика. - 2013. - Т. 49. - № 4. - С. 14-92.

34. Voight, W. Lehrbuch der Kristallphysik / W. Voight. - Berlin: Teubner, 1928.

- 962 s.

35. Reuss, A. Berechnung der Fliessgreze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung für Einkristalle / A. Reuss // Z. Math. und Mech. - 1928.

- V. 9. - № 1. - S. 49-58.

36. Hill, R. A self-consistent mechanics of composite materials / R. Hill // J. Mech. Phys. Solids. - 1965. - V. 13. - P. 213-222.

37. Hill, R. An invariant treatment of interfacial discontinuities in elastic composites / R. Hill // Cont. Mech. Relat. Probl. Analysis. - Moscow, 1972. -P. 283-295.

38. Hill, R. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles / R. Hill // Mech. Phys. Solids. - 1963. - V. 11. - P. 357-372.

39. Hill, R. Interfacial operators in the mechanics of composite media / R. Hill // Mech. Phys. Solids. - 1983. - V. 31. - № 4. - P. 347-357.

40. Hill, R. The elastic behavior of a crystalline aggregate / R. Hill // Proc. Phys. Soc. - Ser. A. - 1962. - V. 65. - P. 349-354.

41. Hashin, Z. A variational approach to the theories of the elastic behavior of polycrystals / Z. Hashin, S. Shtrikman // J. Mech. Phys. Solids. - 1962. - V. 10.

- № 4. - P. 343-352.

42. Hashin, Z. A variational approach to the theories of the elastic behavior of multiphase materials / Z. Hashin, S. Shtrikman // J. Mech. Phys. Solids. -1963. - V. 11. - № 2. - P. 127-140.

43. Hashin, Z. On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity / Z. Hashin, S. Shtrikman // J. Mech. Phys. Solids.

- 1962. - V. 10. - № 4. - P. 335-342.

44. Hashin, Z. Analysis of composite materials - a survey / Z. Hashin // J. Appl. Mech. - 1983. - V. 50. - № 3. - P. 481-505.

45. Hashin, Z. Analysis of properties of fiber composites with anisotropic constituents / Z. Hashin // Trans. ASME. - 1979. - V. E46. - № 3. - P. 543550.

46. Hashin, Z. The differential scheme and its application to cracked materials / Z. Hashin // J. Mech. Phys. Solids. - 1988. - V. 36. - P. 719-733.

47. Beran, M. Use of classical variational principles to determine bounds for the effective bulk modulus in heterogeneous media / M. Beran, J. Molyneux // Quart. Appl. Math. - 1966. - V. 24. - P. 107-118.

48. Milton, G.W. New bounds on effective elastic moduli of two-component materials / G.W. Milton, N. Phan-Thien // Proc. Roy. Soc. - London, 1982. -Ser. A. - V. 380. - P. 305-331.

49. Torquato, S. Random heterogeneous media: Microstructure and improved bounds on effective properties / S. Torquato // Appl. Mech. Rev. - 1991. -V. 44. - P. 37-76.

50. Torquato, S. Effective stiffness tensor of composite media-II. Applications to isotropic dispersions / S. Torquato // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V. 46. -P.1411-1440.

51. Кривоглаз, М.А. Об упругих модулях твердой смеси / М.А. Кривоглаз, А.С. Черевко // Физика металлов и металловедение. - 1959. - Т. 8. -Вып. 2. - С. 161-164.

52. Germanovich, L.N. Virial expansions in problems of effective characteristics, part 1. General concepts / L.N. Germanovich, A.V. Dyskin // J. Mech. Compos. Mater. - 1994. - V. 30. - № 2. - P. 222-237.

53. Germanovich, L.N. Virial expansions in problems of effective characteristics, part 2. Anti-plane deformation of fibre composite. Analysis of self-consistent methods / L.N. Germanovich, A.V. Dyskin // J. Mech. Comp. Mat. - 1994. -V. 30. - № 3. - P. 234-243.

54. Walpole, L.J. On the overall elastic moduli of composite materials / L.J. Walpole // J. Mech. Phys. Solids. - 1969. - V. 17. - P. 235-251.

55. Willis, J.R. The overall elastic moduli of a dilute suspension of spheres / J.R. Willis, J.R. Acton // Q. J. Mech. and Appl. Math. - 1976. - V. 29. - P. 163177.

56. Beran, M. Statistical continuum theories / M. Beran // N.Y., Interscience Publishers. - 1968. - V. 9. - 424 p.

57. Сендецки, Дж. Упругие свойства композитов / Дж. Сендецки // Механика композиционных материалов. - М.: Мир, 1978. - С. 61-101.

58. Фокин, А.Г. Вычисление бинарных корреляционных функций упругого поля механических смесей / А.Г. Фокин, Т.Д. Шермергор // Механика твердого тела. - 1968. - № 3. - С. 73-81.

59. Фокин, А.Г. Вычисление эффективных упругих модулей композиционных материалов с учетом многочастичных взаимодействий / А.Г. Фокин, Т.Д. Шермергор // Прикладная механика и техническая физика. - 1969. - Т. 51. - № 1. - С. 45-53.

60. Фокин, А.Г. Корреляционные функции упругого поля квазиизотропных твердых тел / А.Г. Фокин, Т.Д. Шермергор // Прикладная математика и механика. - 1968. - Т. 32. - № 4. - С. 660-671.

61. Фокин, А.Г. Корреляционные функции упругого поля квазиизотропных материалов при неизотропном деформировании / А.Г. Фокин, Т.Д. Шермергор // Прикладная математика и механика. - 1973. - Т. 37. -№ 2. - С. 339-345.

62. Хорошун, Л.П. Метод условных моментов в задачах механики композитных материалов / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. - 1987.

- Т. 23. - № 11. - С. 100-108.

63. Бахвалов, Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи композиционных материалов / Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

64. Бахвалов, Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой / Н.С. Бахвалов // ДАН СССР. - 1974. - Т. 218. - № 5. -С.1046-1048.

65. Иосифьян, Г.А. Асимптотическое разложение системы теории упругости с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами / Г.А. Иосифьян, О.А. Олейник, Г.П. Панасенко // ДАН СССР. - 1982. -Т. 266. - № 1. - С. 12-22.

66. Iwakuma, T. Composite with periodic microstructure / T. Iwakuma, S. Nemat-Nasser // Computers and Struct. - 1981. - V. 16. - № 4. - P. 13-19.

67. Nemat-Nasser, S. On composite with periodic microstructure / S. Nemat-Nasser, T. Iwakuma, M. Hejazi // Mech. Mater. - 1982. - V. 1. - № 3. - P. 239267.

68. Nemat-Nasser, S. On effective moduli of an elastic body containing periodically distributed voids / S. Nemat-Nasser, M. Taya // Quart. Appl. Math.

- 1981. - V. 39. - № 1. - P. 43-59.

69. Sangini, A.S. Elastic coefficients of composites containing spherical inclusions in a periodic array / A.S. Sangini, W. Lu // J. Mech. Phys. Solids. - 1987. -V. 35. - № 1. - P. 1-21.

70. Bensoussan, A. Asymptotic analysis for periodic structures / A. Bensoussan, J.L. Lions, G. Papanicolau. - Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1978. -700 p.

71. Nunan, K.C. Effective elasticity tensor of a periodic composite / K.C. Nunan, J.B. Keller // J. Mech. Phys. Solids. - 1984. - V. 32. - № 4. - P. 259-280.

72. Eshelby, J.D. Elastic inclusions and inhomogeneities / J.D. Eshelby // Progress in solid mechanics. - Amsterdam: North-Holland. - 1961. - V. 2. - P. 89-140.

73. Eshelby, J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems / J.D. Eshelby // Proc. R. Soc. London. - Ser. A. - 1957.

- V. 241. - P. 376-396.

74. Eshelby, J.D. The elastic field outside an ellipsoidal inclusion / J.D. Eshelby // Proc. Roy. Soc. - London, 1959. - Ser. A. - V. 252. - P. 561-569.

75. Willis, J.R. The overall elastic moduli of a dilute suspension of spheres / J.R. Willis, J.R. Acton // Q. J. Mech. and Appl. Math. - 1976. - V. 29. - P. 163177.

76. Коваленко, Ю.Ф. Трещиновидные неоднородности и их влияние на эффективные механические характеристики / Ю.Ф. Коваленко, Р.Л. Салганик // Известия АН СССР. МТТ. - 1977. - № 5. - С. 76-86.

77. Bristow, J.R. Microcracks and the static and dynamic elastic constants of annealed and heavily cold-worked metals / J.R. Bristow // British J. Appl. Phys.

- 1960. - V. 11. - P. 81-85.

78. Budiansky, B. Elastic moduli of a cracked solid / B. Budiansky, R.J. O'Connell // Int. J. Sol. and Struct. - 1976. - V. 12. - P. 81-97.

79. O'Connell, R.J. Seismic velocities in dry and saturated cracked solids / R.J. O'Connell, B. Budiansky // J. Geophys. Res. - 1974. - V. 79. - P. 54125425.

80. Garbin, H.D. Elastic moduli of a medium with liquid filled cracks / H.D. Garbin, L. Knopoff // Quart. J. Appl. Math. - 1975. - V. 33. - P. 301-303.

81. Garbin, H.D. The compressional modulus of a material permeated by a random distribution of circular cracks / H.D. Garbin, L. Knopoff // Quart. J. Appl. Math. - 1973. - V. 30. - P. 453-464.

82. Garbin, H.D. The shear modulus of a material permeated by a random distribution of free circular cracks / H.D. Garbin, L. Knopoff // Quart. J. Appl. Math. - 1975. - V. 33. - P. 296-300.

83. Вавакин, А.С. Об эффективных характеристиках неоднородных сред с изолированными неоднородностями / А.С. Вавакин, Р.Л. Салганик // Механика твердого тела. - 1975. - № 5. - С. 127-133.

84. Вавакин, А.С. Эффективные упругие характеристики тел с изолированными трещинами, полостями и жесткими неоднородностями / А.С. Вавакин, Р.Л. Салганик // Механика твердого тела. - 1978. - № 2. -С. 95-107.

85. Chow, T.S. Elastic moduli of filled polymers: the effects of particle shape / T.S. Chow // J. Appl. Phys. - 1977. - V. 48. - P. 4072-4075.

86. Wakashima, K. Thermal expansion of heterogeneous solids containing align ellipsoidal inclusions / K. Wakashima, M. Otsuka, S. Umekawa // J. Comp. Mat. - 1974. - V. 8. - P. 391-404.

87. Левин, В.А. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых материалов со случайно распределенными порами при конечных деформациях и их наложении / В.А. Левин, В.В. Лохин, К.М. Зингерман // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2000. - Спецвыпуск. - С. 107-115.

88. Левин, В.А. Об одном способе оценки эффективных характеристик пористых тел при конечных деформациях / В.А. Левин, В.В. Лохин, К.М. Зингерман // Механика твердого тела. - 1997. - № 4. - С. 45-50.

89. Левин, В.А. Об оценке эффективных характеристик пористых материалов при больших деформациях / В.А. Левин, В.В. Лохин, К.М. Зингерман // Вестник МГУ. - Сер. 1, Математика, механика. - 1996. - № 6. - С. 48-50.

90. Mori, T. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions / T. Mori, K. Tanaka // Acta Met. - 1973. - V. 21. - № 5.

- P. 571-574.

91. Lax, M. Multiple Scattering of waves II. The effective field in dense systems / M. Lax // Phys. Rev. - 1951. - V. 85. - № 4. - P. 621-629.

92. Канаун, С.К. О микронапряжениях в композитных материалах в области сильно меняющихся внешних полей / С.К. Канаун, В.М. Левин // Механика композитных материалов. - 1984. - № 4. - С. 625-629.

93. Taya, M. On stiffness and strength of an aligned short-fiber reinforced composite containing fiber-end cracks under uniaxial applied stress / M. Taya, T. Mura // ASME J. Appl. Mech. - 1981. - V. 48. - P. 361-367.

94. Taya, M. On two kinds of ellipsoidal inhomogeneities in an infinite elastic body: An application to a hybrid composite / M. Taya, T.-W. Chow // Int. J. Sol. and Struct. - 1981. - V. 17. - P. 553-563.

95. Benveniste, J.A. A new approach to the application of the Mori-Tanaka's theory in composite materials / J.A. Benveniste // Mech. Mater. - 1987. - V. 6.

- P. 147-157.

96. Ferrari, M. Composite homogenization via the equivalent poly-inclusion approach / M. Ferrari // Compos. Eng. - 1994. - V. 4. - P. 37-45.

97. Hershey, A.V. The elasticity of an isotropic aggregate of anisotropic cubic crystals / A.V. Hershey // J. Appl. Mech. - 1954. - V. 21. - P. 236-241.

98. Kroner, E. Bounds for effective elastic moduli of disordered materials / E. Kroner // J. Mech. Phys. Solids. - 1977. - V. 25. - № 2. - P. 137-155.

99. Kroner, E. Effective moduli of random elastic media - unified calculation of bounds and self-consistent values / E. Kroner // Mech. Res. Communs. - 1977.

- V. 4. - № 6. - P. 389-393.

100. Kroner, E. Self-consistent scheme and graded disorder in polycrystal elasticity / E. Kroner // J. Phys. (F) Metal. Phys. - 1978. - V. 8. - № 11. -P.2261-2267.

101. Kroner, E. Self-consistent scheme in random media elasticity - exact or only approximate / E. Kroner // Mechanics today. - N.Y.: Pergamon Press, 1980. -P. 155-159.

102. Салганик, Р.Л. Механика тел с большим числом трещин / Р.Л. Салганик // Механика твердого тела. - 1973. - № 4. - С. 149-158.

103. Roscoe, R.A. Isotropic composites with elastic and viscoelastic phases: General bounds for the moduli and solutions for special geometries / R.A. Roscoe // Rheol. Acta. - 1973. - V. 12. - P. 404-411.

104. Bruner, W.M. Comment on "Seismic velocities in dry and saturated cracked solids" by R.J. O'Connell, B. Budiansky / W.M. Bruner // J. Geophys. Res. -1976. - V. 73. - P. 2573-2576.

105. McLaughlin, R. A study of the differential scheme for composite materials / R. McLaughlin // Int. J. Eng. Sci. - 1977. - V. 15. - P. 237-244.

106. Zimmerman, R.W. Behavior of the Poisson ratio of a two-phase composite materials in the high-concentration limit / R.W. Zimmerman // Appl. Mech. Rev. - 1994. - V. 47. - S38-S44.

107. Лифшиц, И.М. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упруго-анизотропной среды / И.М. Лифшиц, Л.Н. Розенцвейг // ЖЭТФ. - 1947. - Т. 17. - Вып. 9. -С. 783-791.

108. Колесников, В.И. О методе анализа распределений локальных электрических полей в композиционном материале / В.И. Колесников, В.Б. Яковлев, В.В. Бардушкин, И.В. Лавров, А.П. Сычев, Е.Н. Яковлева // Доклады Академии наук. - 2016. - Т. 467. - № 3. - С. 275-279.

109. Колесников, В.И. Метод оценки распределений локальных температурных полей в многокомпонентных композитах / В.И. Колесников, И.В. Лавров, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Наука Юга России. - 2017. - Т. 13. - № 2. - С. 13-20.

110. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. - Т. 8. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1992. - 664 с.

111. Shermergor, T.D. Electroelastic fields concentration on elliptic pore in textured media / T.D. Shermergor, V.B. Yakovlev // Texture and Microstructure. - 1996. - № 1. - P. 237-244.

112. Böttcher, C.J.F. Theory of electric polarization. - Vol. 2. Dielectrics in time-dependent fields / C.J.F. Böttcher, P. Bordewijk. - Amsterdam, Oxford, N.Y.: Elsevier, 1978. - 562 p.

113. Лавров, И.В. Произвольно ориентированный диэлектрический эллипсоид в анизотропной среде: метод неортогонального преобразования пространства / И.В. Лавров // Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения. - 2013. - Т. 13. - № 1. -С.44-47.

114. Апресян, Л. А. О факторах деполяризации анизотропных эллипсоидов в анизотропной среде / Л. А. Апресян, Д.В. Власов // Журнал технической физики. - 2014. - Т. 84. - Вып. 12. - С. 23-28.

115. Sahimi, M. Heterogeneous Materials. - Vol. I. Linear Transport and Optical Properties / M. Sahimi. - N.Y.: Springer, 2003. - 770 p.

116. Белоконь, А.В. Математическое моделирование необратимых процессов поляризации / А.В. Белоконь, А.С. Скалиух. - М.: Физматлит, 2010. -328 с.

117. Кунин, И.А. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде / И.А. Кунин, Э.Г. Соснина // ДАН СССР. - 1971. - Т. 199. - № 3. - С. 571574.

118. Кунин, И. А. Концентрация напряжений на эллипсоидальной неоднородности в анизотропной среде / И.А. Кунин, Э.Г. Соснина // Прикладная математика и механика. - 1973. - Т. 37. -№ 2. - С. 306-315.

119. Laws, N. The determination of stress and strain concentrations at an ellipsoidal inclusion in an anisotropic materials / N. Laws // J. Elasticity. - 1977. - V. 7. -P. 91-97.

120. Буряченко, В.А. Концентрация напряжений на эллипсоидальных включениях и эффективные термоупругие свойства композитных

материалов / В. А. Буряченко, А.М. Липанов // Прикладная механика. -1986. - Т. 22. - № 11. - С. 105-111.

121. Маслов, Б.П. Концентрация напряжений в изотропной матрице, армированной анизотропными включениями / Б.П. Маслов // Прикладная механика. - 1987. - Т. 23. - № 10. - С. 73-79.

122. Маслов, Б.П. Напряжения и деформации на поверхности анизотропных включений в стохастических композитах / Б.П. Маслов // Прикладная механика. - 1990. - Т. 26. - № 6. - С. 13-19.

123. Маслов, Б.П. Напряженно-деформированное состояние в матрице стохастически армированных композитов / Б.П. Маслов // Механика композитных материалов. - 1989. - № 3. - С. 306-402.

124. Победря, Б.Е. Концентрация напряжений и деформаций в композитах / Б.Е. Победря, В.И. Горбачев // Механика композитных материалов. -1984. - № 2. - С. 207-214.

125. Горбачев, В.И. Операторы концентрации напряжений и деформаций в упругих телах / В.И. Горбачев // Расчеты на прочность. - 1989. - Вып. 30.-С.124-130.

126. Горбачев, В.И. О некоторых критериях разрушения / В.И. Горбачев, Б.Е. Победря // Известия Армянской ССР. - 1985. - Т. 38. - № 4. - С. 30-37.

127. Горбачев, В.И. Тензор концентрации напряжений для случая «-мерного упругого пространства со сферическим включением / В.И. Горбачев, А. Л. Михайлов // Вестник Моск. ун-та. - Сер. 1, Математика, механика. -1993. - № 2. - С. 78-83.

128. Шермергор, Т.Д. Концентрация напряжений на поверхности полости в текстурированной геофизической среде / Т.Д. Шермергор, В.Б. Яковлев // Известия РАН. Физика Земли. - 1998. - № 1. - С. 81-89.

129. Шермергор, Т.Д. Концентрация связанных электромеханических полей на поверхности кристаллита в текстурированном поликристаллическом кварце / Т.Д. Шермергор, В.Б. Яковлев // Известия РАН. Физика Земли. -1993. - № 6. - С. 89-94.

130. Yakovlev, V.B. Local stress-strain conditions of textured polycrystals under high pressure / V.B. Yakovlev // High Pressure Research. - 2000. - V. 17. -P. 375-383.

131. Nikitin, A.N. Influence of the orientation of an isolated quartz granule inside textured mountain rock on the distribution of local stress near its surface /

A.N. Nikitin , V.B.Yakovlev // J. Earthquake Pred. Res. - 1997. - V. 6. - № 2. - P. 235-243.

132. Бардушкин, В.В. Локальная концентрация напряжений и деформаций в поликристаллических материалах естественного происхождения /

B.В. Бардушкин, А.Н. Никитин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2004. - № 1. - С. 30-38.

133. Бардушкин, В.В. Характеристики локального напряженно-деформированного состояния в статистически однородных матричных композитах / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев // Деформация и разрушение материалов. - 2005. - № 9. - С. 38-42.

134. Бардушкин, В.В. Внутреннее напряженно-деформированное состояние в двухкомпонентном нетекстурированном композите / В.В. Бардушкин, И.И. Булах, В.Б. Яковлев // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. - 2006. - № 2. - С. 24-28.

135. Колесников, В.И. Влияние микроструктуры на локальные значения напряжений и деформаций в волокнистом композите / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Вестник машиностроения. -2005. - № 8. - С. 35-38.

136. Бардушкин, В.В. Концентрация напряжений и деформаций в пористозаполненном металлическими нитевидными нанокристаллами анодном оксиде алюминия / В.В. Бардушкин, Ю.И. Шиляева,

B.Б. Яковлев // Деформация и разрушение материалов. - 2013. - № 10. -

C. 24-29.

137. Бардушкин, В.В. Моделирование локальных упругих характеристик нанокомпозитов на основе анодного Al2O3 с нитевидными порами, заполненными Cu, Ag и Au / В.В. Бардушкин, Д.А. Кириллов, Ю.И. Шиляева // Информатика и кибернетика. - Донецк: ДонНТУ. - 2016. - № 1. - С. 38-43.

138. Колесников, В.И. Локальные физико-механические характеристики антифрикционных композитов для тяжелонагруженных узлов трения / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.В. Лапицкий, А.П. Сычев, А. А. Сычев, В.Б. Яковлев // Трение и смазка в машинах и механизмах. -2011. - № 10. - С. 3-7.

139. Бардушкин, В.В. Локальные упругие характеристики антифрикционных композитов на основе связующих с высоким содержанием эпоксидных групп / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.П. Сычев, А.В. Лапицкий, А.А. Сычев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2012. - № 2. - С. 11-18.

140. Бардушкин, В.В. Концентрация напряжений и деформаций в антифрикционных тканых композитах / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, И.В. Колесников, А.П. Сычев, А.А. Сычев, Б.М. Флек // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2013. - № 3. - С. 7-13.

141. Колесников, В.И. Операторы концентраций напряжений и деформаций в тканых композитах на полимерной основе с дисперсными антифрикционными добавками / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Материалы. Технологии. Инструменты. - Гомель, 2014. - Т. 19. - № 1. - С. 19-25.

142. Колесников, В.И. Влияние концентрации антифрикционных добавок на локальные упругие характеристики хаотически армированных полимерных композитов / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2016. - № 4. - С. 66-73.

143. Колесников, В.И. О прогнозировании распределений локальных упругих полей в неоднородных средах на основе обобщенного сингулярного приближения / В.И. Колесников, В.Б. Яковлев, В.В. Бардушкин,

A.П. Сычев // Вестник Южного научного центра РАН. - 2015. - Т. 11. -№ 3. - С. 11-17.

144. Колесников, В.И. Напряженное состояние композитных материалов в условиях воздействия термодинамических факторов / В.И. Колесников,

B.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Вестник Южного научного центра РАН. - 2005. - Т. 1. - № 4. - С. 9-13.

145. Колесников В.И. Влияние микроструктуры и термоупругих характеристик компонентов на средние напряжения в волокнистых композитных материалах / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин,

A.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Материалы. Технологии. Инструменты. -Гомель, 2009. - Т. 14. - № 2. - С. 12-15.

146. Шиляева, Ю.И. Влияние структуры и термоупругих свойств компонентов на средние напряжения в анодном оксиде алюминия с порами, заполненными металлическими нитевидными нанокристаллами / Ю.И. Шиляева, В.В. Бардушкин, М.В. Силибин, С.А. Гаврилов,

B.Б. Яковлев, О.В. Пятилова // Неорганические материалы. - 2013. - Т. 49. - № 7. - С. 723-728.

147. Shilyaeva, Yu.I. Melting temperature of metal polycrystalline nanowires electrochemically deposited into the pores of anodic aluminum oxide / Yu.I. Shilyaeva, V.V. Bardushkin, S.A. Gavrilov, M.V. Silibin, V.B. Yakovlev, N.I. Borgardt, R.L. Volkov, D.I. Smirnov, M.L. Zheludkevich // Physical Chemistry Chemical Physics. - 2014. - V. 16. - № 36. - P. 19394-19401.

148. Шиляева, Ю.И. О прогнозировании температуры плавления металлических нитевидных нанокристаллов, электрохимически осажденных в поры анодного оксида алюминия / Ю.И. Шиляева, В.В. Бардушкин, С.А. Гаврилов, М.В. Силибин, В.Б. Яковлев, Н.И. Боргардт, Р.Л. Волков, Д.И. Смирнов // Экологический вестник

научных центров Черноморского экономического сотрудничества. -2014. - № 3. - С. 84-94.

149. Бардушкин, В.В. Влияние термоупругих свойств компонентов на температуру плавления нитевидных наночастиц Cu, Ag и Au в матрице анодного Al2O3 / В.В. Бардушкин, Д.А. Кириллов, Ю.И. Шиляева, С.А. Гаврилов, В.Б. Яковлев, М.В. Силибин // Журнал физической химии. - 2017. - Т. 91. - № 6. - С. 1030-1036.

150. Колесников, В.И. О методе моделирования текстурообразования в поликристаллах при различных внешних напряжениях / В.И. Колесников,

B.В. Бардушкин, И.И. Булах, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2006. - № 2. - С. 33-36.

151. Колесников, В.И. Энергетический подход при моделировании формирования текстуры в поликристаллах под влиянием внешних напряжений / В.И. Колесников, И.И. Чекасина, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Вестник Южного научного центра РАН. -2008. - Т. 4. - № 3. - С. 3-8.

152. Колесников, В.И. Моделирование текстурообразования в оливиносодержащих породах при высоких давлениях / В.И. Колесников, И.И. Чекасина, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2008. - № 3. - С. 36-41.

153. Бардушкин, В.В. Объемная плотность энергии деформации в волокнистых композитах на основе связующих с высоким содержанием эпоксидных групп / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.В. Лапицкий, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Вестник машиностроения. - 2012. - № 10. -

C. 28-32.

154. Бардушкин, В.В. Объемная плотность энергии деформации в антифрикционных композитах / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.П. Сычев // Мир транспорта. - 2011. - Т. 38. - № 5. - С. 12-17.

155. Бардушкин, В.В. Объемная плотность энергии деформации в нетекстурированных композитах на основе связующих с высоким содержанием эпоксидных групп / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, И.В. Колесников, А.П. Сычев, А.В. Лапицкий, А.А. Сычев // Материалы. Технологии. Инструменты. - Гомель, 2012. - Т. 17. - № 4. - С. 11-16.

156. Бардушкин, В.В. Моделирование объемной плотности энергии деформации в тканых композитах на полимерной основе с дисперсными антифрикционными добавками / В.В. Бардушкин, А.П. Сычев // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2013. - № 10. - С. 9-14.

157. Колесников, В.И. Объемная плотность энергии деформации в хаотически армированных полимерных композитах с антифрикционными дисперсными добавками / В.И. Колесников,

B.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Физическая мезомеханика. - 2015. - Т. 18. - № 4. - С. 105-110.

158. Шиляева, Ю.И. Объемная плотность энергии деформации в пористозаполненном металлическими нитевидными нанокристаллами анодном оксиде алюминия / Ю.И. Шиляева, В.В. Бардушкин,

C.А. Гаврилов, М.В. Силибин, В.Б. Яковлев, О.В. Пятилова // Журнал физической химии. - 2013. - Т. 87. - № 11. - С. 1889-1893.

159. Колесников, В.И. О методе прогнозирования предельных прочностных характеристик матричных композитов, основанном на использовании оператора концентрации напряжений / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, Д. А. Кириллов, А.И. Сорокин // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2014. - № 1. - С. 45-51.

160. Бардушкин, В.В. Прогнозирование предельных значений прочностных показателей нетекстурированных матричных композитов с применением оператора концентрации напряжений / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, А.А. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Вестник машиностроения. - 2014. - № 10. - С. 42-46.

161. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных прочностных характеристик дисперсно-наполненных антифрикционных композитов на эпоксидной основе / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2014. - № 10. - С. 8-13.

162. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных прочностных характеристик волокнистых матричных композитов с использованием оператора концентрации напряжений / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Вестник Южного научного центра РАН. - 2014. - Т. 10. - № 4. - С. 16-22.

163. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных значений прочностных показателей антифрикционных тканых композитов /В.В. Бардушкин,

A.П. Сычев, А.В. Белый, А.В. Лапицкий, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2015. - № 2. - С. 15-20.

164. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных значений прочностных показателей тканых композитов на полимерной основе с дисперсными антифрикционными добавками / В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2016. - № 1. - С. 1824.

165. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных значений прочностных показателей матричных композитов с неизометричными включениями /

B.В. Бардушкин, А.И. Сорокин, А.П. Сычев // Вестник РГУПС. - 2015. -№ 2. - С. 8-13.

166. Бардушкин, В.В. Влияние концентрации, формы и ориентации включений на предельные значения прочностных показателей матричных композитов при сжатии / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.П. Сычев, А.И. Сорокин // Материалы. Технологии. Инструменты. - Гомель, 2015. -Т. 20. - № 2. - С. 13-18.

167. Бардушкин, В.В. Прогнозирование предельных значений прочностных показателей хаотически армированных полимерных композитов с антифрикционными дисперсными добавками / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, А.В. Лапицкий // Вестник машиностроения. -2017. - № 3. - С. 25-28.

168. Колесников, В.И. Упругие свойства матричных композитов с неизометричными включениями / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Известия вузов Северо-Кавказского региона. Технические науки. - 2004. - № 1. - С. 67-70.

169. Григорьев, И.С. Физические величины: Справочник / под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова // - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

170. Лапицкий, В. А. Физико-механические свойства эпоксидных полимеров и стеклопластиков / В. А. Лапицкий, А.А. Крицук. - Киев: Наукова думка, 1986. - 92 с.

171. Колесников, В.И. Влияние термоупругих характеристик компонентов, формы и ориентации неизометричных включений на средние напряжения в матричных структурах / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.И. Сорокин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Физическая мезомеханика. -2016. - Т. 19. - № 5. - С. 43-47.

172. Гутников, С.И. Стеклянные волокна / С.И. Гутников, Б.И. Лазоряк, А.Н. Селезнев. - М.: изд-во МГУ, 2010. - 53 с.

173. Машков, Ю.К. Композиционные материалы на основе политетрафторэтилена / Ю.К. Машков, З.Н. Овчар, В.И. Суриков, Л.Ф. Калистратова. - М.: Машиностроение, 2005. - 240 с.

174. Лапицкий, А.В. Эпоксидные полимерные матрицы для высокопрочных и теплостойких композитов / А.В. Лапицкий // Клеи. Герметики. Технологии. - 2010. - № 2. - С. 12-15.

175. Бардушкин, В.В. Моделирование эксплуатационных упругих свойств полимерных композитов с наполненными смазкой сферическими микрокапсулами и дисперсными включениями бесщелочного стекла /

В.В. Бардушкин, А.И. Сорокин, А.П. Сычев // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2015. - № 10. - С. 43-47.

176. Бардушкин, В.В. Концентрация напряжений и деформаций в полимерных композитах с наполненными смазкой сферическими микрокапсулами и дисперсными включениями бесщелочного стекла / В.В. Бардушкин, А.И. Сорокин, А.П. Сычев // Вестник РГУПС. - 2016. -№ 1. - С. 8-13.

177. Бардушкин, В.В. Объемная плотность энергии деформации в полимерных композитах с наполненными смазкой сферическими микрокапсулами и дисперсными включениями бесщелочного стекла / В.В. Бардушкин, А.И. Сорокин, А.П. Сычев // Международная научная конф. «Механика и трибология транспортных систем - 2016», 8-10 ноября 2016 г. // - Ростов-на-Дону: РГУПС. - Т. 2. - С. 113-118.

178. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных значений прочностных показателей полимерных композитов с наполненными смазкой сферическими микрокапсулами и дисперсными включениями бесщелочного стекла / В.В. Бардушкин, А.И. Сорокин, А.П. Сычев // Вестник РГУПС. - 2016. - № 3. - С. 8-13.