Влияние термоупругих характеристик компонентов на физико-механические свойства неоднородных материалов сложной структуры и состава тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Кириллов, Дмитрий Андреевич

• Кириллов, Дмитрий Андреевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Кириллов, Дмитрий Андреевич

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И АББРЕВИАТУР

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД (ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР)

1.1. Прогнозирование эффективных (эксплуатационных) физико-механических характеристик неоднородных материалов

1.2. Прогнозирование локальных (внутренних) физико-механических характеристик неоднородных материалов

1.3. Постановка задачи исследования

2. ВЛИЯНИЕ ТЕРМОУПРУГИХ СВОЙСТВ КОМПОНЕНТОВ НА ТЕМПЕРАТУРУ ПЛАВЛЕНИЯ НИТЕВИДНЫХ НАНОЧАСТИЦ Си, Ав, Аи В МАТРИЦЕ АНОДНОГО Al2O3

2.1. Введение параметра структуры нанокомпозитов на основе анодного А1203 с нитевидными порами, заполненными Си, А§, Аи

2.2. Концентрация напряжений и деформаций в нанокомпозитах

на основе анодного А1203 с нитевидными порами, заполненными Си, А& Аи

2.3. Влияние внутренних изменений, обусловленных различием ТКЛР элементов неоднородности, на средние по материалу напряжения в нанокомпозитах на основе анодного А1203

с нитевидными порами, заполненными Си, А§, Аи

2.4. Энергия упругого поля в нанокомпозитах на основе анодного А1203 с нитевидными порами, заполненными Си, А§, Аи

3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПРОЧНОСТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТОВ

3.1. Метод прогнозирования предельных прочностных характеристик матричных композитов

3.2. Прогнозирование пределов прочности при одноосном сжатии двухкомпонентных однонаправленно армированных композитов на полимерной основе

3.3. Прогнозирование предельных прочностных показателей при одноосном сжатии трехкомпонентных тканых композитов

на полимерной основе

3.4. Прогнозирование предельных прочностных показателей при одноосном сжатии тканых полимерных композитов

с функционализирующими дисперсными добавками

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕОДНОРОДНЫХ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

4.1. Эффективные упругие характеристики пространственно неоднородных материалов

4.2. Концентрация напряжений и деформаций в пространственно неоднородных материалах

4.3. Объемная плотность энергии деформации в пространственно неоднородных материалах

4.4. Предельные прочностные показатели при одноосном сжатии пространственно неоднородных материалов

ВЫВОДЫ

БЛАГОДАРНОСТИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И АББРЕВИАТУР

ОСП - обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей.

ТКЛР - термический коэффициент линейного расширения.

АОА - анодный оксид алюминия.

ПАОА - пористый анодный оксид алюминия.

ПТФЭ - политетрафторэтилен.

БЩС - бесщелочное стекло.

<, - компоненты тензоров напряжений о и деформаций с

соответственно.

СуМ, - компоненты тензоров упругости с и податливости

соответственно.

Сщп - матричная форма записи компонент Сщ тензора четвертого ранга с. г - радиус-вектор.

Щы (г), Щм (г) - компоненты операторов (тензоров) концентрации полей напряжений К< (г) и деформаций К8 (г) соответственно.

5у - символ Кронекера.

При работе с тензорами используются правила Эйнштейна: по повторяющимся индексам ведется суммирование (например, 8н =811 + 822 +В33); запятая в индексах обозначает дифференцирование по соответствующим координатам, стоящим после нее

( Т}

например, /1 / = .

щ ^ - по индексам, заключенным в круглые скобки, проводится симметризация; так и^ у) = у + и д.

1ук1 = к)j - компоненты единичного тензора четвертого ранга I. 5(г) - дельта-функция Дирака.

§ф1 - компоненты тензора g (сингулярная составляющая второй производной тензора Грина уравнений равновесия). К - модуль всестороннего сжатия (объемный модуль).

Е - модуль Юнга.

V - коэффициент Пуассона.

Значком «*» в верхнем индексе обозначаются эффективные характеристики.

Нижними индексами «в» и «м» в двухкомпонентных матричных композитах обозначаются величины, относящиеся к включениям и матрице соответственно.

Верхним индексом «с» обозначаются характеристики однородного тела сравнения.

- угловые скобки обозначают статистическое усреднение.

и' - центрированная случайная функция (величина), и' = и -(и).

и" - двумя штрихами в записи случайной величины обозначается разность и" = и - ис.

Е(г) - объемная плотность энергии деформации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние термоупругих характеристик компонентов на физико-механические свойства неоднородных материалов сложной структуры и состава»

ВВЕДЕНИЕ

В микро- и наноэлектронике, машиностроении, химической промышленности, а также иных отраслях народного хозяйства, где традиционные материалы неприменимы или малоэффективны, используются композиты, обладающие широким диапазоном варьирования свойств. При этом повсеместно используются искусственно синтезируемые неоднородные материалы, обладающие различными полезными в использовании характеристиками. Уменьшение размеров элементов неоднородности, развитие нанометровых технологий приводит к необходимости изучения взаимодействия компонентов композитных структур для обеспечения требуемых показателей надежности, долговечности работы и воспроизводимости характеристик изделий из них.

Несмотря на важность экспериментальных исследований, при подборе состава, структуры и концентрации компонентов неоднородных материалов в настоящее время все большее значение приобретают теоретические методы прогнозирования и моделирования их физико-механических, химических и других свойств.

Развитие технологий электронных устройств со структурами типа нитевидные нанокристаллы, встроенные в пористую матрицу, например, анодного оксида алюминия (АОА) (термоэлектрические системы охлаждения, сенсоры, датчики медико-биологического назначения и др.), приводит к необходимости исследования термодинамических свойств как самих нитевидных нанокристаллов, так и материалов на их основе. Известно, что термодинамические характеристики частиц, заключенных в поры матриц, например, температура их плавления, могут отличаться от аналогичных свойств частиц в свободном состоянии. Это обусловлено влиянием как межфазной границы «матрица - нанокристалл», так и механических напряжений, возникающих вследствие различия термических коэффициентов линейного расширения (ТКЛР) компонентов наноструктур. Поэтому задача прогнозирования влияния термоупругих свойств элементов неоднородности

на температуру плавления нитевидных наночастиц в пористой матрице является актуальной.

Известно, что в результате приложения внешнего механического воздействия определенного типа внутри композита возникает напряженно-деформированное состояние общего вида. При этом в неоднородном материале могут существовать такие компоненты, у которых значения напряжений будут отличаться от величины приложенной нагрузки. Если эти значения будут больше приложенного внешнего напряжения, то это может приводить к процессам перестройки структуры или разрушению всего неоднородного материала. Поэтому проблема анализа локальных физико-механических свойств композитов в зависимости от состава, структуры, геометрической формы и концентрации компонентов, а также вида и величины приложенной нагрузки, является актуальной. При этом важным направлением исследования указанной проблемы является прогнозирование предельных прочностных показателей композитных материалов.

Технологии изготовления композитов довольно часто приводят к появлению неравномерности распределения включений в пространстве создаваемых материалов. Эти проявления пространственной неоднородности разрабатываемых композитов могут быть обусловлены, прежде всего, объективными трудностями проектирования и создания технологического оборудования, не позволяющего избежать неравномерности распределения наполнителей в матрице. Однако возможны ситуации, когда специфические требования, предъявляемые к изготавливаемым изделиям, заставляют исследователей искать оригинальные технологические решения для достижения пространственной неоднородности распределения включений в композитных средах. Примерами применения пространственно неоднородных материалов в электронной технике могут служить структуры на пористом кремнии и углероде, у которых сформированные поры заполняются рабочим материалом, т.е. получается классический композит «матрица - включение». Как правило, в произвольной плоскости,

параллельной подложке, их структура хорошо подчиняется условию пространственной однородности, однако в вертикальном направлении (от подложки к поверхности) сформированные полости имеют определенную пространственную неоднородность. Неравномерное распределение включений в пространстве композита приводит к анизотропии его физико-механических свойств (упругих, оптических, сегнетоэлектрических и др.). Это необходимо учитывать при создании изделий, использующих подобные материалы. Поэтому разработка методов оценки неравномерности распределения включений и анализа влияния этого фактора на физико-механические свойства композитов является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является развитие теоретических и совершенствование расчетных методов прогнозирования физико-механических свойств матричных композитов сложной структуры и состава, позволяющих проводить анализ взаимодействия включений и матрицы в многокомпонентных структурах, а также исследовать влияние термоупругих и геометрических характеристик компонентов для определения локальных, предельных разрушающих и эффективных физико-механических свойств композитных материалов.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

- проведение моделирования, позволяющего оценить влияние термоупругих свойств компонентов на энергию деформации в композитах на основе АОА с нитевидными порами, заполненными Си, Ag и Аи; прогнозирование вклада данной энергетической характеристики в изменение температуры плавления волокон Си, Ag и Аи в матрице А1203;

- разработка метода прогнозирования значений предельных разрушающих напряжений (при сжатии) для матричных структур, опирающегося на понятие оператора (тензора) концентрации напряжений; численное исследование (на основе разработанного метода) влияния состава, геометрических характеристик и концентрации элементов неоднородности

на пределы прочности волокнистых и тканых композитов на полимерной основе;

- комплексное решение задачи моделирования и расчета локальных, предельных разрушающих и эффективных физико-механических свойств пространственно неоднородных композитных материалов

(двухкомпонентных матричных композитов с дисперсными включениями, плотность размещения которых неодинакова в различных направлениях).

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Проведено моделирование влияния термоупругих свойств компонентов на энергию деформации в пористозаполненных нитевидными нанокристаллами Си, Ag и Аи композитах на основе АОА-матриц с целью прогнозирования вклада данной энергетической характеристики в изменение температуры плавления волокон Си, Ag и Аи в матрице А1203.

2) Разработан метод прогнозирования предельных прочностных характеристик матричных структур (при сжатии), основанный на использовании обобщенного сингулярного приближения теории случайных полей (ОСП) и оператора концентрации напряжений. С помощью данного метода решены задачи численного моделирования пределов прочности:

а) двухкомпонентных однонаправленно армированных композитов на полимерной основе (установлены зависимости значений прочности композитов от вариации безразмерного структурного параметра, связанного с концентрацией волокон);

б) тканых композитов на полимерной основе, у которых материал волокон, расположенных в одном из направлений, отличен от материала волокон в перпендикулярном направлении (при моделировании учитывались процентные содержания компонентов композитов по массе);

в) тканых полимерных композитов с дисперсными функционализирующими добавками (изучено влияние на пределы прочности композитов состава и концентрации элементов неоднородности по массе).

3) Проведены комплексные исследования и расчеты зависимостей локальных, предельных и эффективных физико-механических свойств пространственно неоднородных двухкомпонентных матричных композитов с дисперсными включениями, основываясь на приведении структуры материала (с помощью преобразования сжатия-растяжения) к виду, позволяющему прогнозировать указанные характеристики.

Достоверность полученных результатов основывается на корректности постановок решаемых в работе задач, их проверке с помощью предельного перехода и сравнении с известными результатами. Полученные в среде MATLAB расчетные данные сопоставлялись с имеющимися экспериментальными данными для композитов похожей структуры, состава и концентрации компонентов.

Практическая значимость результатов работы состоит в возможности применения предложенных методов, полученных теоретических результатов и разработанного программного обеспечения для прогнозирования физико-механических свойств широкого класса неоднородных материалов сложной структуры и состава компонентов.

Полученные результаты представляют интерес в таких областях науки и техники как микро- и наноэлектроника (термоэлектрические системы охлаждения, сенсоры, датчики медико-биологического назначения и др.), трибоматериаловедение (анти- и фрикционные покрытия) и др.

Личный вклад автора состоит в непосредственном участии в постановке задач и разработке теоретических моделей для их решения, проведении численных расчетов с использованием пакета прикладных программ МАТЬАВ, а также подготовке и анализе результатов моделирования. Ряд результатов, вошедших в диссертацию, получен в соавторстве с академиком РАН В.И. Колесниковым, профессором РАН В.Б. Яковлевым, В.В. Бардушкиным, С.А. Гавриловым, А.П. Сычевым, Ю.И. Шиляевой, М.В. Силибиным, А.И. Сорокиным, которым автор благодарен за сотрудничество.

Научные положения, выносимые на защиту:

- теоретическая модель (опирающаяся на ОСП и понятие оператора концентрации напряжений), позволяющая прогнозировать влияние термоупругих свойств компонентов на энергию деформации в композитах на основе АОА с нитевидными порами, заполненными Си, Ag и Аи, и оценивать вклад данной энергетической характеристики в изменение температуры плавления волокон указанных металлов в матрице А1203;

- метод прогнозирования предельных прочностных показателей (при сжатии) матричных композитов, основанный на использовании ОСП и тензора концентрации напряжений, позволяющий учитывать состав, структуру и процентное содержание включений;

- теоретическая модель анализа и расчета локальных, предельных прочностных и эффективных физико-механических свойств пространственно неоднородных двухкомпонентных матричных композитов с дисперсными включениями (основанная на приведении структуры материала с помощью преобразования сжатия-растяжения к виду, позволяющему прогнозировать указанные характеристики).

Соответствие паспорту научной специальности. Основой специальности 01.04.07 - физика конденсированного состояния - является теоретическое и экспериментальное исследование природы кристаллических и аморфных, неорганических и органических веществ в твердом и жидком состояниях и изменение их физических свойств при различных внешних воздействиях. Диссертация соответствует п. 5 паспорта специальности: разработка математических моделей построения фазовых диаграмм состояния и прогнозирование изменения физических свойств конденсированных веществ в зависимости от внешних условий их нахождения.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались в постерных и устных сессиях на всероссийских и международных конференциях: «Микроэлектроника и информатика»

(Москва, МИЭТ, 2014, 2015, 2016 и 2017); «Механические свойства современных конструкционных материалов» (Москва, ИМЕТ им.

A.А. Байкова РАН, 2014); «Поликомтриб-2015» (Гомель, ИММС им.

B.А. Белого НАН Беларуси); «Электроника-2015» (Москва, МИЭТ). Результаты диссертационной работы были использованы в исследованиях,

проводимых при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (государственное задание № 11.2551.2014/К), РФФИ (гранты 13-08-00672-а, 14-08-00654-а, 16-08-00262-а) и Российского научного фонда (проект № 14-29-00116).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 23 научных работах, в том числе в 16 статьях в отечественных и зарубежных научных журналах (из них 4 статьи, входящие в перечень рецензируемых научных изданий ВАК Минобрнауки РФ по специальности диссертации, 2 статьи, индексируемые Scopus/WoS), а также в 7 статьях и тезисах, входящих в сборники научных трудов международных и всероссийских конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, библиографии, содержит 110 страниц текста, включая 22 рисунка и 2 таблицы. Список литературы состоит из 189 наименований.

В пределах каждой главы принята двойная нумерация (через точки) формул, таблиц и рисунков: первая латинская цифра указывает на номер главы, вторая латинская цифра - на номер формулы (таблицы, рисунка) в главе. При ссылках на формулы, таблицы и рисунки всегда указывается эта двойная нумерация.

1. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД (ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР)

При создании новых поликристаллических и композитных материалов требуется качественный подбор состава, структуры и концентрации их компонентов. Целью разработок подобных поликристаллов и композитов должна являться оптимизация их физико-механических характеристик. При этом необходим учет воздействий на проектируемые неоднородные материалы различных эксплуатационных факторов. Для разработки неоднородных структур проводится большое количество экспериментальных исследований, требующих больших затрат временных, материальных и финансовых ресурсов. При этом нет уверенности в оптимальности получаемого решения. Поэтому, не умаляя важности экспериментальных методов исследований, необходимо отметить, что все большее значение приобретают теоретические методы анализа, прогнозирования и расчета физико-механических свойств подобных неоднородных материалов [1-6].

Разработка теоретических методов моделирования и расчета физико-механических характеристик поликристаллов и композитов обеспечивает возможность прогнозирования их свойств на основе знания характеристик исходных компонентов и структуры, ведение целенаправленного поиска новых материалов, обладающих необходимыми для потребителя свойствами, выработку рекомендаций для технологий их изготовления [1-6].

1.1. Прогнозирование эффективных (эксплуатационных) физико-механических характеристик неоднородных материалов

При непредельных внешних физико-механических воздействиях, например, при механических нагрузках, далеких от разрушающих, неоднородные материалы с большой степенью точности ведут себя как

гомогенные среды с эффективными свойствами (однородными в масштабе всего материала) [3-12]. В технических приложениях эффективные физико-механические свойства часто называют эксплуатационными.

В теории эффективных сред физические поля (например, поля напряжений и деформаций) и материальные поля (например, поле тензора упругости) неоднородных материалов считаются случайными функциями координат [3-15]. При этом вводится понятие представительного объема, который выбирается таким образом, чтобы его характерный размер был намного больше характерного размера зерна неоднородности, а макроскопические физические свойства этого объема совпадали с макроскопическими свойствами неоднородного материала на интересующем масштабе рассмотрения. Кроме того, считается, что имеет место условие статистической однородности, т.е. характеристики случайных полей представительного объема не зависят от его расположения в пространстве

неоднородного материала. Эффективные физико-механические свойства

*

материала определяются тензором X , выражающим связь между соответствующими физическими полями, определяемыми тензорами А и В, усредненными по представительному объему:

(А(г)) = Х*(В(г)), (1.1)

где г - радиус-вектор случайной точки среды.

Для упругих свойств тензоры А и В являются соответственно тензорами напряжений и деформаций, тензор X - эффективный тензор модулей упругости, а формула (1.1) представляет собой закон Гука. В случае рассмотрения тепловых свойств физические поля А и В представляют собой соответственно векторы плотности теплового потока и градиента температуры, тензор X - это эффективный тензор теплопроводности, а формула (1.1) представляет собой закон Фурье. В случае рассмотрения электрических свойств тензоры А и В представляют собой соответственно векторы плотности тока и градиента напряженности электрического поля,

тензор X* - эффективный тензор электропроводности, а формула (1.1) представляет собой закон Ома. При рассмотрении гидравлической проницаемости физические поля определяются векторами плотности потока жидкости А и градиента давления В, тензор X* представляет собой эффективный тензор гидравлической проводимости, а формула (1.1) представляет собой закон Дарси [3-15].

При прогнозировании эффективных физико-механических свойств неоднородных сред имеется ряд проблем. Первой из них является проблема корректного учета взаимодействия отдельного элемента неоднородности с его окружением, включающего в себя анализ ориентации кристаллографических осей включений, их формы и пространственного расположения (характер армирования). Второй важнейшей проблемой является проблема усреднения свойств неоднородных материалов. Третьей важнейшей проблемой выступает проблема такого упрощения построенной модели, чтобы окончательные выражения для прогнозирования эффективных физико-механических характеристик могли применяться для расчетов свойств конкретных неоднородных материалов [4-15].

Остановимся более подробно на проблеме усреднения свойств неоднородных материалов, которое можно проводить двумя способами. Первый способ заключается в усреднении поля ¥(г) по объему, определяемый с помощью формулы:

(¥(г)) = 1 | ¥(г)яТ, (1.2)

У V

где в качестве элемента объема V рассматривается область, достаточно большая по сравнению с характерным размером зерна неоднородности. Второй способ состоит в усреднении по ансамблю (по совокупности однотипных ситуаций). В тех случаях, когда эти средние совпадают, имеет место условие эргодичности [4-15].

При рассмотрении поликристаллических сред их свойства зависят лишь от ориентации кристаллографических осей кристаллитов. Тогда

усреднение сводится к интегрированию по всевозможным углам Эйлера ^, Ф и ф2 (0<ф1 <2% , 0<Ф<%, 0<ф2 <2%), определяющим ориентацию кристаллитов относительно лабораторной системы координат. Для некоторой величины У(ф1? Ф, Ф2) эта процедура выглядит следующим образом:

^ % 2% 2%

(У(фьФ,Ф2^ = —2 | | | /(Ф1,Ф,Ф2)У(ф1,Ф,Ф2)в1пФdФdфldф2 , (1.3)

8% 0 0 0

где / (ф1, Ф, Ф2) - текстурная функция (функция распределения ориентаций кристаллографических осей кристаллитов) [4-6,8,16].

Для многокомпонентных композитов в случае выполнения гипотезы эргодичности можно, как указывалось выше, использовать усреднение по объему (для каждого компонента композита). Тогда операция усреднения по всему объему многокомпонентного материала для некоторой случайной величины У(г) сводится к суммированию средних значений по компонентам [4-15]:

(У(г)> = &( У, (г)), (1.4)

где V5 и У, (г) - объемная концентрация компонента я-го типа и соответствующая этому компоненту случайная величина, = 1.

Существует достаточно большое количество методов и подходов к определению эффективных (эксплуатационных) физико-механических свойств неоднородных материалов. По вопросу классификации этих методов написано большое количество монографий и статей. Укажем лишь на некоторые из них, например, [7-12,14,15,17-32].

Остановимся далее более подробно на обзоре исследований по прогнозированию эффективных упругих характеристик неоднородных сред. В основе определения указанных свойств, как указывалось (см. (1.1)), лежит соотношение для вычисления тензора эффективных модулей упругости с*,

связывающего средние значения напряжений (оу(г)^ и деформаций (£к1 (г)) в неоднородном материале, у, к, I = 1,2,3:

(оДг)) = 4к/Ыг)>. (1.5)

Одним из первых и наиболее общих подходов к прогнозированию эффективных упругих свойств неоднородных материалов является подход, суть которого заключается в определении возможных пределов (границ) изменения указанных свойств. Первыми моделями, позволяющими оценить верхнюю и нижнюю границы эффективных модулей, являлись модели Фойгта (предположение постоянства средних деформаций в неоднородной среде) [33] и Ройсса (предположение, что напряжение равномерно по объему неоднородной среды) [34]. Эти границы определяют так называемую вилку Хилла [35-39]. Для некоторых материалов (например, для однофазных поликристаллов) вилка Хилла является довольно узкой. Однако для многофазных поликристаллов и композитов разброс в значениях эффективных констант может достигать нескольких порядков. Основываясь на принципе минимума дополнительной энергии (так называемый вариационный метод), Хашину и Штрикману [40-42] удалось сузить вилку Хилла. Было доказано, что вилка Хашина - Штрикмана задает границы изменения эффективных констант в неоднородном материале, которые в случае отсутствия какой-либо дополнительной информации о статистическом распределении фаз не могут быть улучшены. В последующем вариационный метод развивался в работах Качанова, Хашина, Берана, Милтона, Торквато [25,26,43-49] и др.

Довольно широкое применение имеет метод определения эффективных констант, основанный на разложении эффективных тензоров модулей упругости и податливости в ряды по степеням объемной концентрации одного из компонентов композита. Этот метод называется вириальным разложением и объединяет в себе несколько подходов, рассмотренных в работах Кривоглаза и Черевко, Торквато, Германовича и Дыскина, Валпола,

Виллиса [49-54] и др. Области применимости данного метода ограничены малыми концентрациями одного из компонентов неоднородного материала. Кроме того, коэффициенты при старших членах ряда зависят от таких характеристик статистического распределения элементов неоднородности, как размер, взаимное расположение и ориентация. Это приводит не только к вычислительным трудностям, но и к разбросу значений коэффициентов рядов, получаемых разными авторами.

Имеется еще несколько подходов к вычислению эффективных упругих констант, называемых методами моментов и условных моментов, разработанных и развитых в работах Берана, Сендецки, Фокина и Шермергора, Хорошуна [55-61] и др. Эти методы объединяет идея о том, что эффективные модули могут быть получены с помощью рассмотрения полного набора вероятностных моментов, описывающих распределение элементов неоднородности. К основным трудностям применения этих подходов относится отсутствие информации о полном наборе моментов всех порядков и типов. Кроме того, задача сводится к рассмотрению бесконечного ряда и нахождению его членов, что сопряжено с вычислением интегралов, вид которых становится все более громоздким с увеличением порядка моментов.

Можно отметить еще один метод, состоящий в рассмотрении периодических структур. При этом полагается, что включения расположены в узлах периодической решетки, что позволяет численно получать точные значения эффективных констант. Данный подход рассмотрен в работах Бахвалова, Олейник, Ивакумы, Немат-Нассера, Сангини [21,62-70] и др. А его применение приводит к тому, что тензор эффективных модулей упругости наследует анизотропию используемой периодической решетки. Это служит основным возражением при применении данного подхода, поскольку в реальных материалах элементы неоднородности располагаются в пространстве, как правило, довольно хаотично.

Остановимся далее более подробно на методах прогнозирования эффективных характеристик матричных композитных материалов, в основе которых лежит подход Эшелби [71-73], связанный с решением задачи об одиночном включении.

Прежде всего, надо отметить метод невзаимодействующих неоднородностей, суть которого заключается в предположении, что каждое включение ведет себя как единственное в бесконечной среде матрицы, а любыми взаимодействиями между элементами неоднородности пренебрегают. Конкретные формы включений рассматривались: Валполом [53], Виллисом и Актоном [74] (сферическая форма); Коваленко и Салгаником [75] (эллипсоидальная форма); Бристовом [76], Будянским и О'Конеллом [77,78], Гарбином и Кноповым [79-81], Вавакиным и Салгаником [82,83], Немат-Нассером и Тайей [21,67], Чоу [84], Вакашимой [85], Левиным и др. [86-88] (трещины, сферические и эллипсоидальные пустоты).

Однако наибольшее распространение получили методы получения эффективных физико-механических характеристик матричных композитов, основанные на применении различных аппроксимирующих схем. В работах [30,31] даны обстоятельные обзоры по их основным видам. Принципиально все эти аппроксимирующие схемы можно разделить на два типа. Первый тип включает в себя схемы, объединяемые под общим названием метода эффективного поля, а второй - под названием метода эффективной среды.

Идея метода эффективного поля, которая в наиболее простой форме известна как модель Мори - Танака [89], заключается в рассмотрении каждого отдельного включения как находящегося в поле напряжений, которое соответствует среднему полю напряжений в матрице и, вообще говоря, отлично от среднего поля напряжений во всем композите. Модель для матричных композитов с эллипсоидальными включениями была предложена в работе Мори и Танака [89]. Аппроксимирующие схемы, являющиеся модификациями метода Мори - Танака рассмотрены в работах

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кириллов, Дмитрий Андреевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трофимов, Н.Н. Основы создания полимерных композитов / Н.Н. Трофимов, М.З. Канович. - М.: Наука, 1999. - 539 с.

2. Рогинский, С.Л. Высокопрочные стеклопластики / С.Л. Рогинский, М.З. Канович, М.А. Колтунов. - М.: Химия, 1979. - 144 с.

3. Трофимов, Н.Н. Физика композиционных материалов / Н.Н. Трофимов, М.З. Канович, Э.М. Карташов, В.И. Натрусов, А.Т. Пономаренко, В.Г. Шевченко, В.И. Соколов, И.Д. Симонов-Емельянов. - М.: Мир, 2005. - Т. 1. - 456 с.; Т. 2. - 344 с.

4. Колесников, В.И. Микромеханика поликристаллов и композитов (напряженно-деформированное состояние и разрушение) / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, И.В. Колесников. - Ростов-на-Дону: изд-во РГУПС, 2012. - 288 с.

5. Яковлев, В.Б. Материальные и полевые характеристики текстурированных поликристаллов и композитов : дис. ... докт. физ.-мат. наук 01.04.10 / Виктор Борисович Яковлев. - М., 1998. - 310 с.

6. Бардушкин, В.В. Напряженно-деформированное состояние и разрушение текстурированных поликристаллов и композитов : дис. . докт. физ.-мат. наук 01.04.07 / Владимир Валентинович Бардушкин. -М., 2007. - 292 с.

7. Milton, G.W. The theory of composites / G.W. Milton. - London: Cambridge University Press, 2004. - 749 p.

8. Шермергор, Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред / Т.Д. Шермергор. - М.: Наука, 1977. - 399 с.

9. Победря, Б.Е. Механика композитных материалов / Б.Е. Победря. - М.: изд-во МГУ, 1984. - 336 с.

10. Buryachenko, V.A. Micromechanics of heterogeneous materials / V.A. Buryachenko. - N.Y.: Springer, 2007. - 686 p.

11. Böhm, H.J. A short introduction to basic aspects of continuum micromechanics / H.J. Böhm. - Vienna: Institute of Lightweight Design and Structural Biomechanics (ILSB), Vienna University of Technology, 2013. -160 p.

12. Ванин, Г.А. Микромеханика композитных материалов / Г.А. Ванин. -Киев: Наукова думка, 1985. - 302 с.

13. Баюк, И.О. Междисциплинарный подход к прогнозированию макроскопических и фильтрационно-емкостных свойств коллекторов углеводородов : дисс. ... докт. физ.-мат. наук 25.00.10 / Ирина Олеговна Баюк. - М., 2013. - 188 с.

14. Колесников, В.И. Об объединении методов оценки эффективных диэлектрических характеристик гетерогенных сред на основе обобщенного сингулярного приближения / В.И. Колесников, В.Б. Яковлев , В.В. Бардушкин, И.В. Лавров, А.П. Сычев, Е.Н. Яковлева // Доклады Академии наук. - 2013. - Т. 452. - № 1. - С. 27-31.

15. Лавров, И.В. О вычислении эффективной теплопроводности текстурированных трибокомпозитов / И.В. Лавров, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев, Д.А. Кириллов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. -2017. - № 2. - С. 48-56.

16. Виглин, А.С. Количественная мера текстуры поликристаллических материалов. Текстурная функция / А.С. Виглин // Физика твердого тела. - 1960. - Т. 2. - № 10. - С. 2463-2476.

17. Beran, M. Statistical continuum theories / M. Beran // N.Y., Interscience Publishers. - 1968. - V. 9. - 424 p.

18. Ломакин, В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. - М.: Наука, 1970. - 137 с.

19. Ильюшин, А.А. Основы математической теории термовязкоупругости / А.А. Ильюшин, Б.Е. Победря. - М.: Наука, 1970. - 280 с.

20. Mura, T. Micromechanics of defects in solids / T. Mura. - Martinus Nijhoff Publishers, 1982. - P. 63-70.

21. Nemat-Nasser, S. On effective moduli of an elastic body containing periodically distributed voids: comments and corrections / S. Nemat-Nasser, M. Taya // Quart. Appl. Math. - 1985. - V. 43. - № 2. - P. 187-188.

22. Хорошун, Л.П. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов / Л.П. Хорошун, Б.П. Маслов, П.В. Лещенко. -Киев: Наукова думка, 1989. - 207 с.

23. Кристенсен, Р. Введение в механику композитов / Р. Кристенсен. - М.: Мир, 1982. - 336 с.

24. Christensen, R.M. A critical evaluation of a class of micro-mechanics models / R.M. Christensen // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1990. - V. 38. - № 3. - P. 379-404.

25. Kachanov, M. Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts / M. Kachanov // Appl. Mech. Rev. - 1992. - V. 45. -P. 304-335.

26. Kachanov, M. Elastic solids with many cracks and related problems / M. Kachanov // Advances in applied mechanics. - N.Y.: Academic Press, 1993. - V. 30. - P. 259-445.

27. Канаун, С.К. Метод эффективного поля в механике композитных материалов / С.К. Канаун, В.М. Левин. - Петрозаводск: изд-во Петрозаводского ун-та, 1993. - 600 с.

28. Устинов, К.Б. Об определении эффективных упругих характеристик двухфазных сред. Случай изолированных неоднородностей в форме эллипсоидов вращения / К.Б. Устинов // Успехи механики. - 2003. -№ 2. - С. 126-168.

29. Sevostianov, I. Effective elastic properties of matrix composites with transversely-isotropic phases / I. Sevostianov, N. Yilmaz, V. Kushch, V. Levin // Int. J. Sol. and Struct. - 2005. - V. 42. - P. 455-476.

30. Kim, M. Development of differential scheme micromechanics modeling framework for predictions of hot-mix asphalt (HMA) complex modulus and experimental validations : Diss. of PhD / M. Kim. - Illinois, 2009. - 251 p.

31. Klusemann, B. Homogenization methods for multi-phase elastic composites: Comparisons and benchmarks / B. Klusemann, B. Svendsen // Technische Mechanik. - 2010. - V. 30. - № 4. - P. 374-386.

32. Хорошун, Л.П. Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) / Л.П. Хорошун, Л.В. Назаренко // Прикладная механика. - 2013. - Т. 49. - № 4. - С. 14-92.

33. Voight, W. Lehrbuch der Kristallphysik / W. Voight. - Berlin: Teubner, 1928. - 962 s.

34. Reuss, A. Berechnung der Fliessgreze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung für Einkristalle / A. Reuss // Z. Math. und Mech. -1928. - V. 9. - № 1. - S. 49-58.

35. Hill, R. A self-consistent mechanics of composite materials / R. Hill // J. Mech. Phys. Solids. - 1965. - V. 13. - P. 213-222.

36. Hill, R. An invariant treatment of interfacial discontinuities in elastic composites / R. Hill // Cont. Mech. Relat. Probl. Analysis. - Moscow, 1972. - P. 283-295.

37. Hill, R. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles / R. Hill // Mech. Phys. Solids. - 1963. - V. 11. - P. 357-372.

38. Hill, R. Interfacial operators in the mechanics of composite media / R. Hill // Mech. Phys. Solids. - 1983. - V. 31. - № 4. - P. 347-357.

39. Hill, R. The elastic behavior of a crystalline aggregate / R. Hill // Proc. Phys. Soc. - Ser. A. - 1962. - V. 65. - P. 349-354.

40. Hashin, Z. A variational approach to the theories of the elastic behavior of polycrystals / Z. Hashin, S. Shtrikman // J. Mech. Phys. Solids. - 1962. -V. 10. - № 4. - P. 343-352.

41. Hashin, Z. A variational approach to the theories of the elastic behavior of multiphase materials / Z. Hashin, S. Shtrikman // J. Mech. Phys. Solids. -1963. - V. 11. - № 2. - P. 127-140.

42. Hashin, Z. On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity / Z. Hashin, S. Shtrikman // J. Mech. Phys. Solids. - 1962. - V. 10. - № 4. - P. 335-342.

43. Hashin, Z. Analysis of composite materials - a survey / Z. Hashin // J. Appl. Mech. - 1983. - V. 50. - № 3. - P. 481-505.

44. Hashin, Z. Analysis of properties of fiber composites with anisotropic constituents / Z. Hashin // Trans. ASME. - 1979. - V. E46. - № 3. - P. 543550.

45. Hashin, Z. The differential scheme and its application to cracked materials / Z. Hashin // J. Mech. Phys. Solids. - 1988. - V. 36. - P. 719-733.

46. Beran, M. Use of classical variational principles to determine bounds for the effective bulk modulus in heterogeneous media / M. Beran, J. Molyneux // Quart. Appl. Math. - 1966. - V. 24. - P. 107-118.

47. Milton, G.W. New bounds on effective elastic moduli of two-component materials / G.W. Milton, N. Phan-Thien // Proc. Roy. Soc. - London, 1982. -Ser. A. - V. 380. - P. 305-331.

48. Torquato, S. Random heterogeneous media: Microstructure and improved bounds on effective properties / S. Torquato // Appl. Mech. Rev. - 1991. -V. 44. - P. 37-76.

49. Torquato, S. Effective stiffness tensor of composite media-II. Applications to isotropic dispersions / S. Torquato // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V. 46. -P. 1411-1440.

50. Кривоглаз, М.А. Об упругих модулях твердой смеси / М.А. Кривоглаз, А.С. Черевко // Физика металлов и металловедение. - 1959. - Т. 8. -Вып. 2. - С. 161-164.

51. Germanovich, L.N. Virial expansions in problems of effective characteristics, part 1. General concepts / L.N. Germanovich, A.V. Dyskin // J. Mech. Compos. Mater. - 1994. - V. 30. - № 2. - P. 222-237.

52. Germanovich, L.N. Virial expansions in problems of effective characteristics, part 2. Anti-plane deformation of fibre composite. Analysis of self-consistent methods / L.N. Germanovich, A.V. Dyskin // J. Mech. Comp. Mat. - 1994. - V. 30. - № 3. - P. 234-243.

53. Walpole, L.J. On the overall elastic moduli of composite materials / L.J. Walpole // J. Mech. Phys. Solids. - 1969. - V. 17. - P. 235-251.

54. Willis, J.R. The overall elastic moduli of a dilute suspension of spheres / J.R. Willis, J.R. Acton // Q. J. Mech. and Appl. Math. - 1976. - V. 29. -P. 163-177.

55. Beran, M. Statistical continuum theories / M. Beran // N.Y., Interscience Publishers. - 1968. - V. 9. - 424 p.

56. Сендецки, Дж. Упругие свойства композитов / Дж. Сендецки // Механика композиционных материалов. - М.: Мир, 1978. - С. 61-101.

57. Фокин, А.Г. Вычисление бинарных корреляционных функций упругого поля механических смесей / А.Г. Фокин, Т.Д. Шермергор // Механика твердого тела. - 1968. - № 3. - С. 73-81.

58. Фокин, А.Г. Вычисление эффективных упругих модулей композиционных материалов с учетом многочастичных взаимодействий / А.Г. Фокин, Т.Д. Шермергор // Прикладная механика и техническая физика. - 1969. - Т. 51. - № 1. - С. 45-53.

59. Фокин, А.Г. Корреляционные функции упругого поля квазиизотропных твердых тел / А.Г. Фокин, Т.Д. Шермергор // Прикладная математика и механика. - 1968. - Т. 32. - № 4. - С. 660-671.

60. Фокин, А.Г. Корреляционные функции упругого поля квазиизотропных материалов при неизотропном деформировании / А.Г. Фокин, Т.Д. Шермергор // Прикладная математика и механика. - 1973. - Т. 37. -№ 2. - С. 339-345.

61. Хорошун, Л.П. Метод условных моментов в задачах механики композитных материалов / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. -1987. - Т. 23. - № 11. - С. 100-108.

62. Бахвалов, Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи композиционных материалов / Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

63. Бахвалов, Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой / Н.С. Бахвалов // ДАН СССР. - 1974. - Т. 218. - № 5. -С. 1046-1048.

64. Иосифьян, Г.А. Асимптотическое разложение системы теории упругости с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами / Г.А. Иосифьян, О.А. Олейник, Г.П. Панасенко // ДАН СССР. - 1982. - Т. 266. - № 1. - С. 12-22.

65. Iwakuma, T. Composite with periodic microstructure / T. Iwakuma, S. Nemat-Nasser // Computers and Struct. - 1981. - V. 16. - № 4. - P. 13-19.

66. Nemat-Nasser, S. On composite with periodic microstructure / S. Nemat-Nasser, T. Iwakuma, M. Hejazi // Mech. Mater. - 1982. - V. 1. - № 3. -P. 239-267.

67. Nemat-Nasser, S. On effective moduli of an elastic body containing periodically distributed voids / S. Nemat-Nasser, M. Taya // Quart. Appl. Math. - 1981. - V. 39. - № 1. - P. 43-59.

68. Sangini, A.S. Elastic coefficients of composites containing spherical inclusions in a periodic array / A.S. Sangini, W. Lu // J. Mech. Phys. Solids. -1987. - V. 35. - № 1. - P. 1-21.

69. Bensoussan, A. Asymptotic analysis for periodic structures / A. Bensoussan, J.L. Lions, G. Papanicolau. - Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1978. -700 p.

70. Nunan, K.C. Effective elasticity tensor of a periodic composite / K.C. Nunan, J.B. Keller // J. Mech. Phys. Solids. - 1984. - V. 32. - № 4. - P. 259-280.

71. Eshelby, J.D. Elastic inclusions and inhomogeneities / J.D. Eshelby // Progress in solid mechanics. - Amsterdam: North-Holland. - 1961. - V. 2. -P. 89-140.

72. Eshelby, J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems / J.D. Eshelby // Proc. R. Soc. London. -Ser. A. - 1957. - V. 241. - P. 376-396.

73. Eshelby, J.D. The elastic field outside an ellipsoidal inclusion / J.D. Eshelby // Proc. Roy. Soc. - London, 1959. - Ser. A. - V. 252. - P. 561-569.

74. Willis, J.R. The overall elastic moduli of a dilute suspension of spheres / J.R. Willis, J.R. Acton // Q. J. Mech. and Appl. Math. - 1976. - V. 29. -P. 163-177.

75. Коваленко, Ю.Ф. Трещиновидные неоднородности и их влияние на эффективные механические характеристики / Ю.Ф. Коваленко, Р.Л. Салганик // Известия АН СССР. МТТ. - 1977. - № 5. - С. 76-86.

76. Bristow, J.R. Microcracks and the static and dynamic elastic constants of annealed and heavily cold-worked metals / J.R. Bristow // British J. Appl. Phys. - 1960. - V. 11. - P. 81-85.

77. Budiansky, B. Elastic moduli of a cracked solid / B. Budiansky, R.J. O'Connell // Int. J. Sol. and Struct. - 1976. - V. 12. - P. 81-97.

78. O'Connell, R.J. Seismic velocities in dry and saturated cracked solids / R.J. O'Connell, B. Budiansky // J. Geophys. Res. - 1974. - V. 79. - P. 54125425.

79. Garbin, H.D. Elastic moduli of a medium with liquid filled cracks / H.D. Garbin, L. Knopoff // Quart. J. Appl. Math. - 1975. - V. 33. - P. 301-303.

80. Garbin, H.D. The compressional modulus of a material permeated by a random distribution of circular cracks / H.D. Garbin, L. Knopoff // Quart. J. Appl. Math. - 1973. - V. 30. - P. 453-464.

81. Garbin, H.D. The shear modulus of a material permeated by a random distribution of free circular cracks / H.D. Garbin, L. Knopoff // Quart. J. Appl. Math. - 1975. - V. 33. - P. 296-300.

82. Вавакин, А.С. Об эффективных характеристиках неоднородных сред с изолированными неоднородностями / А.С. Вавакин, Р.Л. Салганик // Механика твердого тела. - 1975. - № 5. - С. 127-133.

83. Вавакин, А.С. Эффективные упругие характеристики тел с изолированными трещинами, полостями и жесткими неоднородностями / А.С. Вавакин, Р.Л. Салганик // Механика твердого тела. - 1978. - № 2. - С. 95-107.

84. Chow, T.S. Elastic moduli of filled polymers: the effects of particle shape / T.S. Chow // J. Appl. Phys. - 1977. - V. 48. - P. 4072-4075.

85. Wakashima, K. Thermal expansion of heterogeneous solids containing align ellipsoidal inclusions / K. Wakashima, M. Otsuka, S. Umekawa // J. Comp. Mat. - 1974. - V. 8. - P. 391-404.

86. Левин, В.А. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых материалов со случайно распределенными порами при конечных деформациях и их наложении / В.А. Левин, В.В. Лохин, К.М. Зингерман // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2000. - Спецвыпуск. - С. 107-115.

87. Левин, В.А. Об одном способе оценки эффективных характеристик пористых тел при конечных деформациях / В.А. Левин, В.В. Лохин, К.М. Зингерман // Механика твердого тела. - 1997. - № 4. - С. 45-50.

88. Левин, В.А. Об оценке эффективных характеристик пористых материалов при больших деформациях / В.А. Левин, В.В. Лохин, К.М. Зингерман // Вестник МГУ. - Сер. 1, Математика, механика. -1996. - № 6. - С. 48-50.

89. Mori, T. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions / T. Mori, K. Tanaka // Acta Met. - 1973. - V. 21. -№ 5. - P. 571-574.

90. Lax, M. Multiple Scattering of waves II. The effective field in dense systems / M. Lax // Phys. Rev. - 1951. - V. 85. - № 4. - P. 621-629.

91. Канаун, С.К. О микронапряжениях в композитных материалах в области сильно меняющихся внешних полей / С.К. Канаун,

B.М. Левин // Механика композитных материалов. - 1984. - № 4. -

C. 625-629.

92. Taya, M. On stiffness and strength of an aligned short-fiber reinforced composite containing fiber-end cracks under uniaxial applied stress / M. Taya, T. Mura // ASME J. Appl. Mech. - 1981. - V. 48. - P. 361-367.

93. Taya, M. On two kinds of ellipsoidal inhomogeneities in an infinite elastic body: An application to a hybrid composite / M. Taya, T.-W. Chow // Int. J. Sol. and Struct. - 1981. - V. 17. - P. 553-563.

94. Benveniste, J.A. A new approach to the application of the Mori-Tanaka's theory in composite materials / J.A. Benveniste // Mech. Mater. - 1987. -V. 6. - P. 147-157.

95. Ferrari, M. Composite homogenization via the equivalent poly-inclusion approach / M. Ferrari // Compos. Eng. - 1994. - V. 4. - P. 37-45.

96. Hershey, A.V. The elasticity of an isotropic aggregate of anisotropic cubic crystals / A.V. Hershey // J. Appl. Mech. - 1954. - V. 21. - P. 236-241.

97. Kroner, E. Bounds for effective elastic moduli of disordered materials / E. Kroner // J. Mech. Phys. Solids. - 1977. - V. 25. - № 2. - P. 137-155.

98. Kroner, E. Effective moduli of random elastic media - unified calculation of bounds and self-consistent values / E. Kroner // Mech. Res. Communs. -1977. - V. 4. - № 6. - P. 389-393.

99. Kroner, E. Self-consistent scheme and graded disorder in polycrystal elasticity / E. Kroner // J. Phys. (F) Metal. Phys. - 1978. - V. 8. - № 11. -P. 2261-2267.

100. Kroner, E. Self-consistent scheme in random media elasticity - exact or only approximate / E. Kroner // Mechanics today. - N.Y.: Pergamon Press, 1980. -P. 155-159.

101. Салганик, Р.Л. Механика тел с большим числом трещин / Р.Л. Салганик // Механика твердого тела. - 1973. - № 4. - С. 149-158.

102. Roscoe, R.A. Isotropic composites with elastic and viscoelastic phases: General bounds for the moduli and solutions for special geometries / R.A. Roscoe // Rheol. Acta. - 1973. - V. 12. - P. 404-411.

103. Bruner, W.M. Comment on "Seismic velocities in dry and saturated cracked solids" by R.J. O'Connell, B. Budiansky / W.M. Bruner // J. Geophys. Res. -1976. - V. 73. - P. 2573-2576.

104. McLaughlin, R. A study of the differential scheme for composite materials / R. McLaughlin // Int. J. Eng. Sci. - 1977. - V. 15. - P. 237-244.

105. Zimmerman, R.W. Behavior of the Poisson ratio of a two-phase composite materials in the high-concentration limit / R.W. Zimmerman // Appl. Mech. Rev. - 1994. - V. 47. - S38-S44.

106. Лифшиц, И.М. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упруго-анизотропной среды / И.М. Лифшиц, Л.Н. Розенцвейг // ЖЭТФ. - 1947. - Т. 17. -Вып. 9. - С. 783-791.

107. Колесников, В.И. О методе анализа распределений локальных электрических полей в композиционном материале / В.И. Колесников, В.Б. Яковлев, В.В. Бардушкин, И.В. Лавров, А.П. Сычев, Е.Н. Яковлева // Доклады Академии наук. - 2016. - Т. 467. - № 3. - С. 275-279.

108. Колесников, В.И. Метод оценки распределений локальных температурных полей в многокомпонентных композитах / В.И. Колесников, И.В. Лавров, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Наука Юга России. - 2017. - Т. 13. - № 2. - С. 13-20.

109. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. - Т. 8. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1992. - 664 с.

110. Shermergor, T.D. Electroelastic fields concentration on elliptic pore in textured media / T.D. Shermergor, V.B. Yakovlev // Texture and Microstructure. - 1996. - № 1. - P. 237-244.

111. Böttcher, C.J.F. Theory of electric polarization. - Vol. 2. Dielectrics in time-dependent fields / C.J.F. Böttcher, P. Bordewijk. - Amsterdam, Oxford, N.Y.: Elsevier, 1978. - 562 p.

112. Лавров, И.В. Произвольно ориентированный диэлектрический эллипсоид в анизотропной среде: метод неортогонального преобразования пространства / И.В. Лавров // Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения. - 2013. - Т. 13. - № 1. -С. 44-47.

113. Апресян, Л.А. О факторах деполяризации анизотропных эллипсоидов в анизотропной среде / Л.А. Апресян, Д.В. Власов // Журнал технической физики. - 2014. - Т. 84. - Вып. 12. - С. 23-28.

114. Sahimi, M. Heterogeneous Materials. - Vol. I. Linear Transport and Optical Properties / M. Sahimi. - N.Y.: Springer, 2003. - 770 p.

115. Белоконь, А.В. Математическое моделирование необратимых процессов поляризации / А.В. Белоконь, А.С. Скалиух. - М.: Физматлит, 2010. - 328 с.

116. Кунин, И.А. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде / И.А. Кунин, Э.Г. Соснина // ДАН СССР. - 1971. - Т. 199. - № 3. -С. 571-574.

117. Кунин, И.А. Концентрация напряжений на эллипсоидальной неоднородности в анизотропной среде / И.А. Кунин, Э.Г. Соснина // Прикладная математика и механика. - 1973. - Т. 37. -№ 2. - С. 306-315.

118. Laws, N. The determination of stress and strain concentrations at an ellipsoidal inclusion in an anisotropic materials / N. Laws // J. Elasticity. -1977. - V. 7. - P. 91-97.

119. Буряченко, В.А. Концентрация напряжений на эллипсоидальных включениях и эффективные термоупругие свойства композитных материалов / В.А. Буряченко, А.М. Липанов // Прикладная механика. -1986. - Т. 22. - № 11. - С. 105-111.

120. Маслов, Б.П. Концентрация напряжений в изотропной матрице, армированной анизотропными включениями / Б.П. Маслов // Прикладная механика. - 1987. - Т. 23. - № 10. - С. 73-79.

121. Маслов, Б.П. Напряжения и деформации на поверхности анизотропных включений в стохастических композитах / Б.П. Маслов // Прикладная механика. - 1990. - Т. 26. - № 6. - С. 13-19.

122. Маслов, Б.П. Напряженно-деформированное состояние в матрице стохастически армированных композитов / Б.П. Маслов // Механика композитных материалов. - 1989. - № 3. - С. 306-402.

123. Победря, Б.Е. Концентрация напряжений и деформаций в композитах / Б.Е. Победря, В.И. Горбачев // Механика композитных материалов. -1984. - № 2. - С. 207-214.

124. Горбачев, В.И. Операторы концентрации напряжений и деформаций в упругих телах / В.И. Горбачев // Расчеты на прочность. - 1989. -Вып. 30.- С. 124-130.

125. Горбачев, В.И. О некоторых критериях разрушения / В.И. Горбачев, Б.Е. Победря // Известия Армянской ССР. - 1985. - Т. 38. - № 4. - С. 30-37.

126. Горбачев, В.И. Тензор концентрации напряжений для случая «-мерного упругого пространства со сферическим включением / В.И. Горбачев,

A.Л. Михайлов // Вестник Моск. ун-та. - Сер. 1, Математика, механика.

- 1993. - № 2. - С. 78-83.

127. Шермергор, Т.Д. Концентрация напряжений на поверхности полости в текстурированной геофизической среде / Т.Д. Шермергор,

B.Б. Яковлев // Известия РАН. Физика Земли. - 1998. - № 1. - С. 81-89.

128. Шермергор, Т.Д. Концентрация связанных электромеханических полей на поверхности кристаллита в текстурированном поликристаллическом кварце / Т.Д. Шермергор, В.Б. Яковлев // Известия РАН. Физика Земли.

- 1993. - № 6. - С. 89-94.

129. Yakovlev, V.B. Local stress-strain conditions of textured polycrystals under high pressure / V.B. Yakovlev // High Pressure Research. - 2000. - V. 17. -P. 375-383.

130. Nikitin, A.N. Influence of the orientation of an isolated quartz granule inside textured mountain rock on the distribution of local stress near its surface /

A.N. Nikitin , V.B.Yakovlev // J. Earthquake Pred. Res. - 1997. - V. 6. -№ 2. - P. 235-243.

131. Бардушкин, В.В. Локальная концентрация напряжений и деформаций в поликристаллических материалах естественного происхождения /

B.В. Бардушкин, А.Н. Никитин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2004. - № 1. - С. 30-38.

132. Бардушкин, В.В. Характеристики локального напряженно-деформированного состояния в статистически однородных матричных композитах / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев // Деформация и разрушение материалов. - 2005. - № 9. - С. 38-42.

133. Бардушкин, В.В. Внутреннее напряженно-деформированное состояние в двухкомпонентном нетекстурированном композите / В.В. Бардушкин, И.И. Булах, В.Б. Яковлев // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. - 2006. - № 2. - С. 24-28.

134. Колесников, В.И. Влияние микроструктуры на локальные значения напряжений и деформаций в волокнистом композите / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Вестник машиностроения. - 2005. - № 8. - С. 35-38.

135. Бардушкин, В.В. Концентрация напряжений и деформаций в пористозаполненном металлическими нитевидными нанокристаллами анодном оксиде алюминия / В.В. Бардушкин, Ю.И. Шиляева,

B.Б. Яковлев // Деформация и разрушение материалов. - 2013. - № 10. -

C. 24-29.

136. Бардушкин, В.В. Моделирование локальных упругих характеристик нанокомпозитов на основе анодного А1203 с нитевидными порами, заполненными Си, Ag и Аи / В.В. Бардушкин, Д.А. Кириллов, Ю.И. Шиляева // Информатика и кибернетика. - Донецк: ДонНТУ. -2016. - № 1. - С. 38-43.

137. Колесников, В.И. Локальные физико-механические характеристики антифрикционных композитов для тяжелонагруженных узлов трения / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.В. Лапицкий, А.П. Сычев, А.А. Сычев, В.Б. Яковлев // Трение и смазка в машинах и механизмах. -

2011. - № 10. - С. 3-7.

138. Бардушкин, В.В. Локальные упругие характеристики антифрикционных композитов на основе связующих с высоким содержанием эпоксидных групп / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.П. Сычев, А.В. Лапицкий, А.А. Сычев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. -

2012. - № 2. - С. 11-18.

139. Бардушкин, В.В. Концентрация напряжений и деформаций в антифрикционных тканых композитах / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, И.В. Колесников, А.П. Сычев, А.А. Сычев, Б.М. Флек // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2013. - № 3. - С. 7-13.

140. Колесников, В.И. Операторы концентраций напряжений и деформаций в тканых композитах на полимерной основе с дисперсными антифрикционными добавками / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Материалы. Технологии. Инструменты. - Гомель, 2014. - Т. 19. - № 1. - С. 19-25.

141. Колесников, В.И. Влияние концентрации антифрикционных добавок на локальные упругие характеристики хаотически армированных полимерных композитов / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2016. - № 4. - С. 66-73.

142. Колесников, В.И. О прогнозировании распределений локальных упругих полей в неоднородных средах на основе обобщенного сингулярного приближения / В.И. Колесников, В.Б. Яковлев, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев // Вестник Южного научного центра РАН. - 2015. - Т. 11. - № 3. - С. 11-17.

143. Колесников, В.И. Напряженное состояние композитных материалов в условиях воздействия термодинамических факторов / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Вестник Южного научного центра РАН. - 2005. - Т. 1. - № 4. - С. 9-13.

144. Колесников В.И. Влияние микроструктуры и термоупругих характеристик компонентов на средние напряжения в волокнистых композитных материалах / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин,

A.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Материалы. Технологии. Инструменты. -Гомель, 2009. - Т. 14. - № 2. - С. 12-15.

145. Колесников, В.И. Влияние термоупругих характеристик компонентов, формы и ориентации неизометричных включений на средние напряжения в матричных структурах / В.И. Колесников,

B.В. Бардушкин, А.И. Сорокин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Физическая мезомеханика. - 2016. - Т. 19. - № 5. - С. 43-47.

146. Шиляева, Ю.И. Влияние структуры и термоупругих свойств компонентов на средние напряжения в анодном оксиде алюминия с порами, заполненными металлическими нитевидными нанокристаллами / Ю.И. Шиляева, В.В. Бардушкин, М.В. Силибин, С.А. Гаврилов, В.Б. Яковлев, О.В. Пятилова // Неорганические материалы. - 2013. -Т. 49. - № 7. - С. 723-728.

147. Shilyaeva, Yu.I. Melting temperature of metal polycrystalline nanowires electrochemically deposited into the pores of anodic aluminum oxide / Yu.I. Shilyaeva, V.V. Bardushkin, S.A. Gavrilov, M.V. Silibin, V.B. Yakovlev, N.I. Borgardt, R.L. Volkov, D.I. Smirnov,

M.L. Zheludkevich // Physical Chemistry Chemical Physics. - 2014. - V. 16. - № 36. - P. 19394-19401.

148. Бардушкин, В.В. Влияние термоупругих свойств компонентов на температуру плавления нитевидных наночастиц Cu, Ag и Au в матрице анодного Al2O3 / В.В. Бардушкин, Д.А. Кириллов, Ю.И. Шиляева, С.А. Гаврилов, В.Б. Яковлев, М.В. Силибин // Журнал физической химии. - 2017. - Т. 91. - № 6. - С. 1030-1036.

149. Колесников, В.И. О методе моделирования текстурообразования в поликристаллах при различных внешних напряжениях /

B.И. Колесников, В.В. Бардушкин, И.И. Булах, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2006. - № 2. - С. 33-36.

150. Колесников, В.И. Энергетический подход при моделировании формирования текстуры в поликристаллах под влиянием внешних напряжений / В.И. Колесников, И.И. Чекасина, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Вестник Южного научного центра РАН. -2008. - Т. 4. - № 3. - С. 3-8.

151. Колесников, В.И. Моделирование текстурообразования в оливиносодержащих породах при высоких давлениях / В.И. Колесников, И.И. Чекасина, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2008. - № 3. - С. 36-41.

152. Бардушкин, В.В. Объемная плотность энергии деформации в волокнистых композитах на основе связующих с высоким содержанием эпоксидных групп / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.В. Лапицкий, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Вестник машиностроения. - 2012. - № 10. -

C. 28-32.

153. Бардушкин, В.В. Объемная плотность энергии деформации в антифрикционных композитах / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.П. Сычев // Мир транспорта. - 2011. - Т. 38. - № 5. - С. 12-17.

154. Бардушкин, В.В. Объемная плотность энергии деформации в нетекстурированных композитах на основе связующих с высоким содержанием эпоксидных групп / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, И.В. Колесников, А.П. Сычев, А.В. Лапицкий, А.А. Сычев // Материалы. Технологии. Инструменты. - Гомель, 2012. - Т. 17. - № 4. - С. 11-16.

155. Бардушкин, В.В. Моделирование объемной плотности энергии деформации в тканых композитах на полимерной основе с дисперсными антифрикционными добавками / В.В. Бардушкин, А.П. Сычев // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2013. - № 10. - С. 9-14.

156. Колесников, В.И. Объемная плотность энергии деформации в хаотически армированных полимерных композитах с антифрикционными дисперсными добавками / В.И. Колесников,

B.В. Бардушкин, А.П. Сычев, В.Б. Яковлев // Физическая мезомеханика. - 2015. - Т. 18. - № 4. - С. 105-110.

157. Шиляева, Ю.И. Объемная плотность энергии деформации в пористозаполненном металлическими нитевидными нанокристаллами анодном оксиде алюминия / Ю.И. Шиляева, В.В. Бардушкин,

C.А. Гаврилов, М.В. Силибин, В.Б. Яковлев, О.В. Пятилова // Журнал физической химии. - 2013. - Т. 87. - № 11. - С. 1889-1893.

158. Шиляева, Ю.И. О прогнозировании температуры плавления металлических нитевидных нанокристаллов, электрохимически осажденных в поры анодного оксида алюминия / Ю.И. Шиляева, В.В. Бардушкин, С.А. Гаврилов, М.В. Силибин, В.Б. Яковлев, Н.И. Боргардт, Р.Л. Волков, Д.И. Смирнов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. -2014. - № 3. - С. 84-94.

159. Колесников, В.И. О методе прогнозирования предельных прочностных характеристик матричных композитов, основанном на использовании оператора концентрации напряжений / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов,

А.И. Сорокин // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2014. - № 1. - С. 45-51.

160. Бардушкин, В.В. Прогнозирование предельных значений прочностных показателей нетекстурированных матричных композитов с применением оператора концентрации напряжений / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, А.А. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Вестник машиностроения. - 2014. - № 10. - С. 42-46.

161. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных прочностных характеристик дисперсно-наполненных антифрикционных композитов на эпоксидной основе / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2014. - № 10. - С. 8-13.

162. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных прочностных характеристик волокнистых матричных композитов с использованием оператора концентрации напряжений / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Вестник Южного научного центра РАН. - 2014. - Т. 10. - № 4. - С. 16-22.

163. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных значений прочностных показателей антифрикционных тканых композитов / В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, А.В. Белый, А.В. Лапицкий, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2015. - № 2. - С. 15-20.

164. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных значений прочностных показателей тканых композитов на полимерной основе с дисперсными антифрикционными добавками / В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов, А.И. Сорокин // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2016. - № 1. - С. 18-24.

165. Бардушкин, В.В. Влияние концентрации, формы и ориентации включений на предельные значения прочностных показателей матричных композитов при сжатии / В.В. Бардушкин, И.В. Колесников,

A.П. Сычев, А.И. Сорокин // Материалы. Технологии. Инструменты. -Гомель, 2015. - Т. 20. - № 2. - С. 13-18.

166. Бардушкин, В.В. Моделирование предельных значений прочностных показателей матричных композитов с неизометричными включениями /

B.В. Бардушкин, А.И. Сорокин, А.П. Сычев // Вестник РГУПС. - 2015. -№ 2. - С. 8-13.

167. Бардушкин, В.В. Прогнозирование предельных значений прочностных показателей хаотически армированных полимерных композитов с антифрикционными дисперсными добавками / В.В. Бардушкин, В.Б. Яковлев, А.П. Сычев, А.В. Лапицкий // Вестник машиностроения. -2017. - № 3. - С. 25-28.

168. Росляков, И.В. Термические свойства мембран анодного оксида алюминия / И.В. Росляков, К.С. Напольский, П.В. Евдокимов, Ф.С. Напольский, А.В. Дунаев, А.А. Елисеев, А.В. Лукашин, Ю.Д. Третьяков // Наносистемы: физика, химия, математика. - 2013. -Т. 4. - № 1. - С. 120-129.

169. Zong, R.-L. Synthesis and Optical Properties of Silver Nanowire Arrays Embedded in Anodic Alumina Membrane / R.-L. Zong, J. Zhou, Q. Li, B. Du, B. Li, M. Fu, X.-W. Qi, L.-T. Li // J. Phys. Chem. B. - 2004. - V. 108. -P. 16713-16716.

170. Yang, X.-C. OPAA template-directed synthesis and optical properties of metal nanocrystals / X.-C. Yang, J.-W. Hou, Y. Liu, M.-M. Cui, W. Lu // Nanoscale Research Letters. - 2013.- V. 8. - № 1. - P. 328-335.

171. Lu, K. Homogeneous nucleation catastrophe as a kinetic stability limit for superheated crystal / K. Lu, Y. Li // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V. 80. -P. 4474-4477.

172. Guisbiers, G. Theoretical investigation of size and shape effects on the melting temperature of ZnO nanostructures / G. Guisbiers, S. Pereira // Nanotechnology. - 2007. - V. 18. - 435710. - 6 p.

173. Allen, G.L. The melting temperature of microcrystals embedded in a matrix /

G.L. Allen, W.W. Gile, W.A. Jesser // Acta Metallurgica. - 1980. - V. 28. -№ 12. - P. 1695-1701.

174. Белоусов, С.С. Исследование и моделирование температуры плавления малоразмерных систем / С.С. Белоусов, С.А. Гаврилов, Д.Г. Громов, Е.Н. Редичев, И.С. Чулков // Известия вузов. Электроника. - 2007. - № 1.

- С. 15-21.

175. Kinloch, A.J. Adhesion and Adhesives: Science and Technology / A.J. Kinloch. - London: Chapman and Hall, 1987. - 441 p.

176. Григорьев, И.С. Физические величины: Справочник / под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова // - М.: Энергоатомиздат, 1991. -1232 с.

177. Корольков, A.M. Литейные свойства металлов и сплавов / A.M. Корольков. - М.: АН СССР, 1960. - 196 с.

178. Xia, Z. Mechanical properties of highly ordered nanoporous anodic alumina membranes / Z. Xia, L. Riester, B.W. Sheldon, A. Curtin, J. Liang, A. Yin, J.M. Xu // Reviews on advanced materials science. - 2004. - V. 6. - № 2. -P. 131-139.

179. Gu, P. Investigation of elastic modulus of nanoporous alumina membrane /

H. Miao, Z.T. Liu, X.P. Wu, J.H. Zhao // J. Mat. Sci. - 2004. - V. 39. - № 10.

- P. 3369-3373.

180. Fernandez-Romero, L. Assessment of the thermal stability of anodic alumina membranes at high temperatures / L. Fernandez-Romero, J.M. Montero-Moreno, E. Pellicer, F. Peiro, A. Cornet, J.R. Morante, M. Sarret, C. Muller // Mater. Chem. Phys. - 2008. - V. 111. - P. 542-547.

181. Гутников, С.И. Стеклянные волокна / С.И. Гутников, Б.И. Лазоряк, А.Н. Селезнев. - М.: изд-во МГУ, 2010. - 53 с.

182. Лапицкий, В.А. Физико-механические свойства эпоксидных полимеров и стеклопластиков / В.А. Лапицкий, А.А. Крицук. - Киев: Наукова думка, 1986. - 92 с.

183. Машков, Ю.К. Композиционные материалы на основе политетрафторэтилена / Ю.К. Машков, З.Н. Овчар, В.И. Суриков, Л.Ф. Калистратова. - М.: Машиностроение, 2005. - 240 с.

184. Березин, А.В. Особенности диагностики повреждений и оценки прочности композитов / А.В. Березин, А.И. Козинкина // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1999. - Т. 5. - № 1. -С. 99-120.

185. Лапицкий, А.В. Эпоксидные полимерные матрицы для высокопрочных и теплостойких композитов / А.В. Лапицкий // Клеи. Герметики. Технологии. - 2010. - № 2. - С. 12-15.

186. Колесников, В.И. Влияние распределения наполнителя в полимерном связующем на эффективные упругие свойства антифрикционных композитов / В.И. Колесников, Бардушкин В.В., Сычев А.П., Кириллов Д.А., Даньков В.В. // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2014. - № 12. - С. 38-43.

187. Бардушкин, В.В. Влияние распределения наполнителя в полимерном связующем на локальные упругие характеристики антифрикционных композитов / В.В. Бардушкин, Д.А. Кириллов, А.П. Сычев, В.А. Кохановский, А.А. Сычев // Вестник РГУПС. - 2015. - № 3. - С. 8-13.

188. Колесников, В.И. Моделирование объемной плотности энергии деформации в пространственно неоднородных материалах / В.И. Колесников, В.В. Бардушкин, А.П. Сычев, Д.А. Кириллов // Наука Юга России. - 2016. - Т. 12. - № 1. - С. 4-10.

189. Бардушкин, В.В. Прогнозирование предельных значений прочностных показателей пространственно неоднородных материалов / В.В. Бардушкин, Д.А. Кириллов, А.П. Сычев // Полимерные материалы и технологии. - Гомель, 2016. - Т. 2. - № 3. - С. 67-72.