Вещественный метод интерполяции на парах банаховых решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Узбеков, Роман Фатихович

• Узбеков, Роман Фатихович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Узбеков, Роман Фатихович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Свойство К— монотонности и его применение

§ 1. Предварительные сведения

§2. /С— монотонные пары конечномерных пространств

§3. Односторонняя теорема Бойда

ГЛАВА 2. Интерполяционные свойства банаховых подпар

§ 1. /С— замкнутые подпары и относительные пополнения

§2. К— функционал на парах пересечений

§3. Интерполяция пересечений пространств

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вещественный метод интерполяции на парах банаховых решеток»

Возникновение теории интерполяции линейных операторов связано, прежде всего, с теоремами М. Рисса (1926г.) и Ж. Марцинкевича (1939г.). Однако, эти результаты относились к пространствам Лебега Ьр и близким к ним. Проблема интерполяции линейных операторов тесно связана с задачей построения "промежуточных"пространств в которых линейный оператор будет непрерывным на основании информации о его поведении в "крайних"парах пространств. Общие интерполяционные теоремы для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств были получены в работах Ж.-Л. Лионса, Э. Гальярдо, А.П. Кальдеро-на, Я. Петре, С.Г. Крсйна. В последующие годы эта теория интенсивно развивалась и нашла глубокие, важные применения в теории функциональных пространств, уравнениях с частными производными, теории рядов Фурье, теории приближений. Основные результаты теории ин-териоляции были систематичеки изложены в книгах С.Г. Крейна, Ю.И. Петунина, Е.М. Семенова [14], Й. Берга, Й. Лефстрема [12], X. Трибеля [39], К. Веннета, Р. Шарпли [22].

Среди разделов математики, испытывающих наиболее сильное влияние интерполяционных методов, с полным правом можно назвать теорию симметричных пространств (сокращенно СП). Эти пространства с предположением о полунепрерывности нормы, известные как "перестапобочно инвариантные пространства"(сокращенно ПИП) были введены Г. Лоренцем в 1953 году. Первые публикации, связанные с представлением СП без указанного предположения, принадлежат Е.М. Семенову [36].

В последнее время был достигнут значительный прогресс в изучении вещественного /С— метода интерполяции операторов, важного по общности и приложениям способа построения интерполяционных пространств. Определенные итоги этого были недавно подведены в вышедшей монографии Ю.А. Брудного, Н.Я. Кругляка [28].

Диссертационная работа продолжает ряд исследований но теории интерполяции линейных операторов, относящихся к вещественному методу. Первая часть работы посвящена описанию одного класса точных /С-монотонных пар конечномерных пространств и вопросам, связанным с теорией интерполяции операторов слабого типа. Во второй части диссертации изучаются частные аспекты проблемы характеризации /С- подпар, то есть подпар банаховой пары, на которых вещественный метод интерполяции порождает нормы, эквивалентные тем, что он дает на самой паре, а также вопросы, касающиеся интерполяции пересечений "весовых "пространств Лебега с ядром интегрального функционала.

Основное содержание диссертации изложено в первой главе (второй и ч третий параграфы) и во второй главе. Им предпослан §1 главы первой, в котором собраны основные обозначения и предварительные сведения, применяемые в работе.

Во втором параграфе первой главы изучаются вопросы интерполяции для одного класса конечномерных пространств Лоренца с точки зрения свойства К,—монотонности. Изучение этого свойства было стимулировано попытками обобщить теорему А.П. Кальдерона - B.C. Митягина [29, 30]. Поскольку любая пара конечномерных пространств К— монотонна, то представляет интерес лишь вопрос о точной /С— монотонности таких пар. В работе A.A. Седаева, Е.М. Семенова [31] был приведен пример нары пространств (X3(w), Iкоторая не является точной /С— монотонной. Здесь A3(u>)— трехмерное пространство Лоренца с нормой ||ж|| = x\wi + x2w2 + Z3IU3, w = (wi,w2,w3), Wi > w2 > w3 > 0, x^ перестановка модулей координат вектора iGR3b убывающем порядке. Идея этого примера была использована при нахождении необходимого условия точной /С— монотонности пар вида (Xй(w), Z^), п е N.

Теорема 1.2.6 Если то для любых wi > W2 > . > wn > 0 и вектора хбЁ" tx*

1)

0 <t<8i\ А{ + (t - öi)xt+1, Si<t<5i+1; An, t > 5n.

Теорема 1.2.7 Если пара (Xn(w),lT^0) является точной /С—монотонной, то wn > 0.

В следующем параграфе первой главы рассматриваются вопросы, касающиеся теории интерполяции операторов слабого типа. В 1967 году Д. Бойд установил, что СП X интерполяционно относительно пары (LP,L(1), 1 < р < q < оо, если для индексов Бойда этого пространства выполняются следующие неравенства < < < где а(Х) = limlni"ffi-*, ß(X) = Шп нижний и верхний индексы Бойда (||0"s||;c—Л" это норма оператора растяжения as(x(t)) = t 6 [0; 1] в пространстве X). Нетрудно показать, что в случае q = оо для справедливости данного утверждения достаточно убедиться в выполнении одностороннего неравенства для индексов Бойда

X) < I.

В связи с этим, Е.М. Семенов поставил вопрос о том, что будет в случае если р — 1, а СП X является сепарабельным или обладает свойством Фату. Иначе говоря, следует ли из выполнения неравенства i < а(Х) интерполяционность пространства X относительно пары (L\,Lq),l < q < оо? В более общих условиях на пространство X положительный ответ на этот вопрос получили C.B. Асташкин и JI. Малигранда [24]. В диссертации было доказано аналогичное утверждение для более общей ситуации: для пары (A(ip),Lp), где А(</?)— пространство Лоренца.

Теорема 1.3.7 Пусть 1 < р < оо, X—симметричное пространство на [0,1], А(ф)—пространство Лоренца с фундаментальной функцией <f)(t), кроме того, 4>'(t) является полумультипликативной на [0,1] . Если X— интерполяционное пространство между А(ф) и L^, для которого выполняется условие > i, тогда X является интерполяционным относительно пары (А(ф),Ьр).

Как следствие из предыдущей теоремы доказано, что утверждение остается верным, если вместо пространства Лоренца Л(<£>) взять СП Lr,u, l<w<r<p<oo.

Теорема 1.3.8 Пусть l<r<p<g<oo, 1 < г¿ < г, 1<г/<оо, для симметричного пространства X выполнено условие а(Х) > Если X является интерполяционным пространством относительно пары (ЬГ!и,Ьд>у), то оно будет интерполяционным между Ьг>и и Ьр.

Важной задачей теории интерполяции линейных операторов является проблема интерполяции подпространств, которая состоит в выяснении ответа на вопрос: когда интерполяционное пространство, построенное вещественным методом по паре подпространств исходной банаховой пары будет замкнутым подпространством интерполяционного пространства вещественного метода, построенного по данной паре? Оказывается это не всегда верно, известны многочисленные примеры невыполнения этого условия, приведенные в работах X. Трибеля [42], Р. Валлстена [1], Й. Лефстрема [2], Ж. Бозами [4]. Если же пара подпространств (Уо, У\) является /С— замкнутой иодпарой банаховой пары (Хо,Х\), то задача интерполяции подпространств имеет положительное решение, то есть нормы || • И^оДО,., и || • И^.уов,, эквивалентны, где (Ло,^)^- пространство вещественного /С- метода интерполяции. В первом параграфе второй главы рассматриваются подпары пары (Хо,Х1) вида (Хо,!!), где Х\ С Хо, Х\ всюду плотно в Хо и У\— подпространство пространства Х\ коразмерности 1. Задача о /С— замкнутости подпар такого вида сводится к вопросу об относительных пополнениях и это отражено в критерии, полученном С.В. Асташкиным в работе [9]. Далее введено понятие (К)*— свойства: если банахово пространство X обладает (К)*— свойством, то для него можно найти большее банахово пространство У, зависящее от выбора непрерывного функционала / € X*, такое, что (У, Кег$)вл будет замкнутым подпространством пространства (У,Х)д^. В диссертации сформулирована и доказана теорема 2.1.6 о том, что этим свойством обладают "весовые"пространства Лебега Ь\(у).

В последних двух параграфах диссертационной работы рассматривается задача интерполяции пересечений, которая для данной тройки пространств (Хо, Х\, А^) (где (Хо, Хх)— банахова пара, N— это ядро линейного функционала ср, а = Х{ П АГ, г = 0,1), заключается в нахождении условий на параметры в £ [0;1], £ [1; оо], при которых верно равенство с эквивалентностью норм

Уо,У1)в,я = (х0,х1)в>дп^

В статье Н. Я. Кругляка, Л. Малигранды, Л.-Е. Перссона [10] была найдена связь между К—функционалами /С(£, х\ Ь^б) П АГ, Ь\П Ы) и /С(£,£; Ь^в), где в качестве N рассматривалось ядро интегрального функционала оо р(х) — ! Х^йв. О

На основе этого была решена задача интерполяции подпространств для тройки (Z,i(^),Z,i(i),iV).

В диссертации обобщаются результаты статьи [10]. В теореме 2.2.6 найдена эквивалентная формула, связывающая /C(i, х\ Li(s)nNg, Li(i)fl Ng) с /С— функционалом исходной пары, где оо

Ng = {x(s) б Li(s) +Li(i) : tp(x) = Jx(s)g(s)ds = 0}. о

Как приложение, в теореме 2.3.1 для g(s) = sa, — 1 < о; < 1 описана связь между интерполяционными пространствами вещественного /С- метода (Ng Г) L2(s), Ng П и {Li(s),Li(\))oti. В теореме 2.2.8 при определенных условиях на "весовые"функции ^o(s) и wi(s) найдена зависимость между /С— функционалами Петре, построенными по парам (Lp(w0) П N, Lp(wi) П N) и (Lp(w0),Lp(wi)), 1 < p < оо, где oo

N = {z(i) € Lp{w0) + Lp{w\) : Jx(t)dt = 0}. о

И наконец, в теореме 2.3.2 решена задача интерполяции пересечений для тройки пространств (Lp(wo), Lp(wi), N).

Теорема 2.3.2 Если р>1иО<0<1, то (NDLp{w0), NnLp(Wl))e,p = NDCP где Ср{и)) — это совокупность измеримых на (0, оо) функций ¡(в) с нормой

Результаты диссертации опубликованы в работах [9], [11], [17], [25], [26], [35]. Из них [9], [11], [17] написаны в соавторстве с С.В. Асташкипым.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Сергею Владимировичу Асташкину за постоянную помощь и полезные советы при подготовке диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Узбеков, Роман Фатихович, 2005 год

1. Wallsten R. Remarks on interpolation of subspaces/ Lect. Notes in Math. - 1988. - 1902. - P.410-419.

2. Löfström J. Interpolation of subspaces/ Technical report, Univ. of Göteborg 10. 1997. - R63

3. Ivanov S., Kalton N. Interpolation of subspaces and applications to exponential bases/ Алгебра и анализ. 2001. - 13, No. 2. - P.93-115.

4. Beauzamy J. Espaces d'interpolation réels: Topologie et géométrie/ Lecture Notes in Math. 1978. - V.666

5. Зигмунд A. Тригонометрические ряды, Т.1/ Москва: Мир. 1965

6. Кисляков C.B., Куанхуа Шу Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы/ Алгебра и анализ. 1996. - 8, No.4. - С.75-109

7. Pisier G. Interpolation between Нр spaces and non-commutative generalisations, I/ Pacific Journ. Math. 155. 1992

8. Astashkin S.V. About interpolation of subspaces of rearrangement invariant spaces generated by Rademacher system/ Journal of Math, and Math. Sci. 2001. - 25, No. 7. - P.451-465

9. Асташкин С.В., Узбеков РФ./Вестник Самарского государственного университета. 2002. - №4(26). С. 5-12

10. Krugljak N., Maligranda L., Persson L.-E. The failure of Hardy's inequality and interpolation of intersections/ Ark. Mat. 1999. - 37.- P. 323-344

11. Асташкин C.B., Узбеков Р.Ф. О /С-функционале на паре пересечений/ Актуальные проблемы математики и механики: сб. тез. меж-дународн. конф. Казань, 2003 - С. 300

12. Берг И., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение./ Москва: Мир. 1980. - С.261

13. Holmstedt Т. Interpolation of quasi-normed spaces/ Math. Scand. -1970. 26. - P. 177-199

14. Крейн С.Г., Петунин Ю.Н., Семенов E.M. Интерполяция линейных операторов/ Москва: Наука. 1978. - С.400

15. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной/ Лань. -Санкт-Петербург. 1999. - С.560

16. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ/ Москва: Наука. 1977. - С.741

17. Асташкин С.В., Узбеков Р.Ф. Об интерполяции пересечений/ Воронежская зимняя математическая школа 2001. - Воронеж, 2001. - С. 299

18. Sharpley R. Spaces Аа(Х) and interpolation/ J. Functional Analysis 11.- 1972. P.479-513

19. Boyd D.W. Spaces between a pair of reflexive Lebesgue spaces/ Proc. Amer. Math. Soc. 18. 1967

20. Boyd D.W. Indices of function spaces and their relationship to interpolation/ Canad. J. Math. 21. 1969. - P. 1245-1254

21. Lindenstrauss J. and Tzafriri L. Classical Banach Spaces, II/ Function Spaces, Springer-Verlag. Berlin-New York. - 1979

22. Bennet C. and Sharpley R. Interpolation of Operators/ Academic Press.- Boston. 1988

23. Maligranda L. A generalization of the Shimogaki theorem/ Studia Math. 71. 1981. - P.69-83

24. Асташкин C.B., Малигранда JI. Об интерполяции в Ьр-пространствах/ Мат. заметки 2003. - Т.74, №5

25. Узбеков РФ. Интерполяция между пространством Лоренца и Lp, 1 < р < оо/ Воронежская зимняя математическая школа -2005. Воронеж, 2005. - С. 236

26. Асташкин С.В., Узбеков Р.Ф. Интерполяция между Ьгл и Lp, 1 < г < р < оо, 1 < < оо/ Воронежская зимняя математическая школа 2004. - Воронеж, 2004. - С. 9-10

27. Cwikel М. Monotonicity properties of interpolation spaces. II/ Arc. Mat.- 1981. V.19, №1. - P. 123-136

28. Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Функторы вещественной интерполяции/ Докл. АН СССР. 1981. - Т.256, №1. - С. 14-17

29. Calderón А.Р. Spaces between Ll and L°° and the theorem of Marcinkiewicz/ Studia Math. 1966. - V. 26, №3. - P.273-299

30. Митягин B.C. Интерполяционная теорема для модулярных пространств/ Мат. сб. 1965. - Т.66, №4. - С. 473-482

31. Седаев A.A., Семенов Е.М. О возможности описания интерполяционных пространств в терминах /С-метода Питре/ Оптимизация: Тр. ин-та математики АН СССР. Сиб. отделение. 1971. - Вып. 4. - С.98-114

32. Седаев A.A. Описание интерполяционных пространств парыи некоторые родственные вопросы/ Докл. АН СССР. -1973. Т. 209, №4. - С.798-800

33. Peetre J. Banach couples:Technical report/ Lund. 1971

34. Sparr G. Interpolation of weighted Lv-spaces/ Studia Math. -1978. -V.62. p. 229-271

35. Узбеков Р.Ф. /С-монотонные пары конечномерных пространств/ Вестник Самарского государственного университета. 2001. -№2(20). - С. 47-54

36. Семенов Е.М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций/ Докл. АН СССР. 1964. - Т. 156, № 6

37. Symmetric structures in Banach spaces/ Johnson W.B., Maurey В., Schechtman G., Tzafriri L.// Memoirs Amer. Math. Soc. 1979

38. Красносельский M.A., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича/ Москва: Физматиз. 1958

39. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы/ Москва: Мир. 1980. - С. 664

40. Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces/ Notes de Math. -1968. V. 39. - P. 1-86

41. Харди Г.П., Литтльвуд Д.Е., Полна Г. Неравенства/ Москва: Изд. иностран. литературы. 1948

42. Triebel Н. Allgemeine Legendresche Differentialoperatoren/ Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 24. 1970. - P. 1-35