Вертикальный электронный транспорт в слоистых полупроводниковых структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.09, кандидат физико-математических наук Пупышева, Ольга Владимировна

• Пупышева, Ольга Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пупышева, Ольга Владимировна

Введение

Глава 1. Полупроводниковыектуры в электрическом поле

1. Одномерные неупорядоченные структуры в электрическом поле

2. Вертикальный транспорт в слоистых структурах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вертикальный электронный транспорт в слоистых полупроводниковых структурах»

Полупроводниковые сверхрешетки, то есть структуры, образованные чередующимися слоями двух различных полупроводниковых материалов толщиной порядка нескольких нанометров, привлекают внимание исследователей с 1970 г., когда Есаки и Цу [1] впервые высказали идею о возможности создания искусственных квазипериодических структур. В настоящее время имеется возможность выращивать слоистые структуры, строго контролируя ширину и состав каждого слоя. Это дает возможность управления зонной структурой, проводимостью и другими свойствами материала, что крайне привлекательно с точки зрения практического применения полупроводниковых слоистых материалов при создании объектов с заданными свойствами.

В 1982 г. Доу с соавторами [2] предложили использовать нерегулярные сверхрешетки с беспорядком, преднамеренно внесенным в параметры слоев. Оказалось, что такие структуры обладают рядом интересных оптических и электрических свойств при низких температурах. Например, интенсивность люминесценции в сверхрешетках на основе арсенида галлия-алюминия при внесении искусственного беспорядка в ширины квантовых ям существенно возрастает по сравнению с периодическими структурами [3, 4]. В сверхрешетках с контролируемым беспорядком наблюдается необычная температурная зависимость вертикальной электропроводности [5].

Идея конструирования периодических и неупорядоченных сверхрешеток послужила мощным стимулом в развитии не только техники получения слоистых полупроводниковых материалов, но и теоретических представлений о свойствах периодических и почти периодических структур. Однако сложность и разнообразие коллективных явлений в непериодических сверхрешетках затрудняют понимание физических процессов в них. Это демонстрирует актуальность дальнейшего развития теории электрических свойств неупорядоченных слоистых полупроводниковых структур и необходимость построения теоретических моделей влияния параметров структуры на ее электрические свойства, прежде всего, на проводимость.

Цель настоящей работы состоит в выяснении характера влияния различных параметров слоистых полупроводниковых структур на вертикальный электронный транспорт и разработке методов расчета вольт-амперных характеристик таких систем без предположения об их квазипериодическом строении. Это требует решения ряда вспомогательных проблем, например, таких, как моделирование проводящих свойств контактов при протекании тока через сверхрешетку и разработка устойчивых алгоритмов расчета при заданной модели проводимости.

Структура диссертации такова. В обзорных главах 1 и 2 рассмотрены электрические свойства полупроводниковых сверхрешеток и суммированы сведения о характерных временах рассеяния и туннелирования носителей заряда в слоистых полупроводниковых структурах. В третьей главе обсуждается изоэнергетическое туннелирование в коротких сверхрешетках и обсуждается влияние беспорядка на их электронные спектры прохождения и вольт-амперные характеристики. В четвертой главе описана модель и результаты численных экспериментов по анализу прыжкового механизма вертикального транспорта. Далее следуют выводы и список цитированной литературы.

Научная новизна данной работы заключается в развитии эффективных методов моделирования вертикального электронного транспорта в слоистых полупроводниковых структурах при туннельном и прыжковом характере проводимости. В работе впервые

1. систематически исследовано влияние основных типов беспорядка на электронные спектры прохождения в электрическом поле и вольт-амперные характеристики структуры;

2. для неупорядоченных структур показана возможность совпадения в поле энергий уровней, относящихся к одной минизоне;

3. изучено происхождение особенностей на туннельных вольт-амперных характеристиках;

4. развита модель прыжковой проводимости, учитывающая пространственное перераспределение носителей заряда, и предложены методы качественного анализа влияния строения слоистой структуры на вертикальный транспорт;

5. изучены механизмы появления Ы- и 2-образных участков вольт-амперных характеристик;

6. развитые методы расчета реализованы в виде программ, предназначенных для компьютерного моделирования проводимости слоистых полупроводниковых структур.

Результаты настоящей работы могут быть использованы при разработке новых материалов и принципов функционирования устройств на основе слоистых полупроводниковых структур.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Пупышева О.В. Спектры пропускания неупорядоченных сверхрешеток в электрическом поле.// Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-99". Секция "Физика". Сборник тезисов. Москва, 21 апреля 1999 г. С.С. 181-182.

2. Пупышева О.В., Дмитриев A.B. Туннельная прозрачность неупорядоченных сверхрешеток в электрическом поле.// Всероссийская молодежная научная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и нано-электронике. Тезисы докладов. С.-Петербург, 30 ноября - 3 декабря 1999 г. С. 79.

3. Дмитриев A.B., Пупышева О.В. Туннельная прозрачность сверхрешеток с контролируемым беспорядком в электрическом поле.// Вестник Московского Университета. Серия 3 "Физика. Астрономия". 2000. № 1. С.С. 39-43.

4. Пупышева О.В. Вертикальный электронный транспорт в сверхрешетках с искусственным беспорядком в электрическом поле.// VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2000". Секция "Физика". Сборник тезисов. Москва, 14 апреля 2000 г. С.С. 81-82.

5. Пупышева О.В., Дмитриев A.B. Расчет электронных спектров пропускания и вольт-амперных характеристик сверхрешеток с контролируемым беспорядком.// 32 Всероссийское совещание по физике низких температур. Секция NS "Наноструктуры и низкоразмерные системы". Тезисы докладов. Казань, 3-6 октября 2000 г. С.С. 90-91.

6. Dmitriev A.V., Pupysheva O.V., Thomas P. I-V curves of short intentionally disordered superlattices in vertical direction.// "Physics, Chemistry and Application of Nanostructures". Reviews and Short Notes to "Nanomeeting-2001". Minsk, Belarus, May 22-25, 2001. Ed. by Borisenko V.E., Gaponenko S.V., and Gurin V.S. World Scientific, Singapore. P.P. 122-125.

7. Dmitriev A.V., Pupysheva O.V., Thomas P. Effect of the disorder on the vertical electron transport in short semiconductor superlattices subject to an electrie field.// School and Workshop "Nanotubes and Nanostructures 2001". Book of Abstract. Frascati, Roma, Italy, October 18-27, 2001. P. 103.

8. Dmitriev A.V., Pupysheva O.V., Thomas P. Vertical electron transport in short intentionally disordered superlattices in finite electric field.// Physics of Low-Dimensional Structures. 2001. V. 9/10. P.P. 169-185.

9. Dmitriev A.V., Pupysheva O.V. Electron tunneling in short intentionally disordered superlattices in a finite electric field.// XXVI Workshop on Compound Semiconductor Devices and Integrated Circuits held in Europe. Abstracts. Chernogolov-ka, Russia, May 21-25, 2002. P.P. 55-56.

10. Pupysheva O.V., Dmitriev A.V. Disorder and its effect on the electron tunneling and hopping transport in semiconductor superlattices.// The 23rd International Conference on Low Temperature Physics. Program and Abstracts. Hiroshima, Japan, August 20-27, 2002. P. 103.

11. Дмитриев А.В., Пупышева О.В. Влияние беспорядка в полупроводниковых сверхрешетках на вертикальное туннелирование в электрическом поле.// Физика электронных материалов: материалы Международной конференции. Калуга, 1-4 октября 2002 г. С.С. 256-257.

12. Dmitriev A.V., Pupysheva O.V. Modelling vertical tunneling in semiconductor multiple quantum well structures: effect of the disorder in layer parameters.// "Physics, Chemistry and Application of Nanostructures". Reviews and Short Notes to "Nanomeeting-2003". Minsk, Belarus, May 20-23, 2003. Ed. by Borisenko V.E., Gaponenko S.V., and Gurin V.S. World Scientific, Singapore. P.P. 198-200.

13. Дмитриев А.В., Пупышева О.В. Влияние беспорядка на прыжковый транспорт и перераспределение носителей в полупроводниковых сверхрешетках.// XXXIII Совещание по физике низких температур. Секция N "Наноструктуры и низкоразмерные системы". Тезисы докладов. Екатеринбург, 17-20 июня 2003 г. С. 244.

14. Pupysheva O.V., Dmitriev A.V. Disorder and its effect on the electron tunneling and hopping transport in semiconductor superlattices.// Physica E. 2003. V. 18. No. 1-3. P.P. 290-291.

Заключение диссертации по теме «Физика низких температур», Пупышева, Ольга Владимировна

3. Заключение

Приведенный обзор не претендует на полноту, поскольку единообразное изложение материала, столь разнородного по используемым средствам анализа, вряд ли возможно в ограниченном объеме. Тем не менее, на основании имеющихся литературных данных можно сделать некоторые выводы.

В то время, как теория явлений переноса развивается весьма интенсивно, неэмпирический расчет вольт-амперных характеристик слоистых полупроводниковых структур остается открытой проблемой. Имеющиеся исследования сверхрешеток с большим числом слоев опираются в основном на теорию возмущений и возможны лишь для периодических и близких к ним структур. Явления, связанные с внесением сильного беспорядка, а также различных типов беспорядка, изучены слабо и только для небольших систем. Остается открытой проблема описания контактов в прыжковой модели транспорта. Систематическому решению некоторых из этих задач и посвящена настоящая работа.

Глава 2

Туннелирование и рассеяние носителей заряда

1. Выбор модели транспорта

В дальнейшем мы будем рассматривать два типичных случая — изоэнерге-тическое туннелирование сквозь всю структуру и прыжковые переходы между квантовыми ямами (см. раздел 2). Применимость того или иного подхода зависит от вероятностей процессов туннелирования носителей и их рассеяния на фононах, примесях и т.д. Выбор модели электронного транспорта обусловлен величинами характерных времен туннелирования и рассеяния носителей в рассматриваемой системе. Так, туннельное описание транспорта оправданно, если вероятность рассеяния оказывается пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью туннелирования носителей (для определенности здесь и далее будем говорить об электронах). Это утверждение эквивалентно тому, что время пребывания электрона внутри структуры много меньше времени рассеяния, т.е. частица туннелирует так быстро, что не успевает рассеяться:

ТЪпп <С Т5саи- (2.1)

В другом предельном случае, если выполняется условие

^ипп ^ ^БсаМ/ (2.2)

т.е. электрон не способен пройти сквозь всю структуру без рассеяния, следует выбрать прыжковую модель проводимости. В промежуточных случаях эти два процесса конкурируют друг с другом; например, довольно вероятна ситуация, когда электрон изоэнергетически туннелирует сквозь несколько слоев сверхрешетки, затем испытывает рассеяние и продолжает туннелировать, но уже с другой энергией.

В этой главе будут рассмотрены основные процессы рассеяния носителей в полупроводниковых сверхрешетках и расчитаны их характерные времена, а также время резонансного туннелирования электрона сквозь всю структуру в направлении оси роста, т.е. перпендикулярно ее слоям.

2. Механизмы рассеяния носителей заряда в полупроводниках

Основными механизмами рассеяния электронов в полупроводниках являются рассеяние на фононах и на заряженных примесях. Их характеристики в массивных полупроводниках, в частности, интересующие нас характерные времена свободного пробега, хорошо известны из литературы — см., например, учебник [90] и [107]. Мы не будем рассматривать другие процессы рассеяния, имеющие, как правило, существенно меньшие вероятности.

При рассмотрении рассеяния оказывается существенной размерность изучаемых структур и наличие размерного квантования. Так, в задаче об электроне в сверхрешетке с потенциальными ямами ширины й следует помнить, что энергия его движения в вертикальном направлении не изменяется непрерывно, как в массивных трехмерных объектах, а квантуется с энергией порядка

£ = (2.3)

Это надо учитывать при применении имеющихся в литературе формул для времен рассеяния.

2.1. Кулоновское взаимодействие. Рассмотрим сначала рассеяние на заряженной примеси. Согласно формуле Брукса-Херринга, его время равно:

1 = п21пае^1с тСои1 £2Е\/2тЕ '

Здесь — кулоновский логарифм:

Ьс = 1п(1 + х) - ——,

величина х = 8тЕг^/Н2 выражается через дебаевский радиус экранирования гр, который в невырожденном полупроводнике равен

Т — температура, измеряемая в энергетических единицах, е — диэлектрическая проницаемость, Ъ — заряд примесных атомов, далее всюду полагаемый равным единице, п^ — их концентрация, п — концентрация электронов, т — эффективная масса ив — модуль заряда электрона. Здесь и далее будем говорить только о примесных атомах, являющихся донорами электронов; тогда п^ = и.

Объединяя все записанные выражения и учитывая (2.3), получаем характерное время рассеяния на заряженных примесях в сверхрешетке с потенциальными ямами ширины й\

тс2Пъе2 т. ( леТ \ „

ТСои| = 1с * 1П ) (2"5)

Для массивных трехмерных полупроводников в качестве средней энергии носителей в выражении (2.4) можно использовать температуру, и, следовательно, в них Тс0ц[ ос Отличие низкоразмерных структур состоит в том, что при достаточно низких температурах, обеспечивающих заполнение только основного уровня размерного квантования, время кулоновского рассеяния в них слабо зависит от Т.

Заметим также, что характерное время электрон-электронного взаимодействия обычно имеет тот же порядок величины, что и для рассеяния на заряженной примеси с той же концентрацией.

2.2. Рассеяние на акустических фононах. Для описания взаимодействия с акустическими фононами используем метод потенциала деформации [107]. При не слишком больших энергиях носителей Е -с Т2/тз2 выражение для времени рассеяния на ОА-фононах имеет вид:

1 ТУЁ ш т0А (М3/г

В нем участвуют энергия фононов Нсо и номинальное время рассеяния, равное

1 Е?{2тПш)3/2 тоа 2пН4р82

где 2 — константа потенциала деформации, р — плотность материала, в — скорость звука. Отсюда получаем

1 т&Т^Ш (26)

ТОА ТСН^рБ2

В сверхрешетке, с учетом формулы (2.3), характерное время рассеяния на акустических фононах равно:

Н3рэ2с1

= -ШТ- <2-7>

Здесь, как и в предыдущем случае, вид температурной зависимости времени рассеяния различен для случаев объемных полупроводников с непрерывным

спектром и структур с размерным квантованием. В сверхрешетках т^д обратно пропорционально температуре.

2.3. Рассеяние на оптических фононах. Процессы поглощения и испускания поляризационных оптических фононов в полупроводниках характеризуются, соответственно, временами [107]:

\/ДЕ + уДЕЕ + На>о)

= — (N0 + 1) 1п тро тро

у/ЕЁ- у/ (ДЕ + Нсоо) у/ЕЁ + ^/(АЕ - Нсоо)

у/ЕЁ - л/(АЕ - Рю?о)

Здесь соо — частота продольных оптических фононов, ДЕ номинальное время рассеяния равно

(2.8) (2.9)

энергия перехода,

[у/ЪШсОс П2е

, где £о и £оо — статическая и высокочастотная диэлектриче-

ские проницаемости материала, соответственно.

Из выражения (2.8) видно, что при низких температурах поглощение фононов практически отсутствует, т.к. число заполнения

еЬсо0/Т \

слишком мало при Т <с йа^.

Однако возможно испускание фононов за счет переходов между энергетическими уровнями с разностью энергией АЕ ^ Ни>о (см. формулу (2.9)). Если уровни размерного квантования в изучаемой системе расположены ближе друг от друга, чем на энергию ЬО-фонона, то испускание делается возможным только при наложении электрического поля или при внесении в параметры слоев структуры (напр., в ширины квантовых ям) сильного беспорядка: тогда возможен переход между состояниями, локализованными или квазилокализованными в разных потенциальных ямах сверхрешетки, в частности, вблизи катода и анода.

Итак, возможность испускания ЬО-фононов определяется величиной ДЕ. Если она больше На?о, то в полупроводниках при низких температурах характер-

ное время этого процесса равно примерно

При АЕ < Нсоо рассеянием на оптических фононах можно пренебречь.

3. Время резонансного туннелирования

Определим время резонансного туннелирования сквозь сверхрешетку как наибольшее из времен жизни электрона в состоянии, квазилокализованном в одной из квантовых ям рассматриваемой структуры. Для его оценки найдем сначала время жизни электрона в квантовой яме, окруженной малопрозрачными барьерами.

Рассмотрим одномерную систему, состоящую из квантовой ямы с потенциалом и\ и шириной А, ограниченную слева (в точке х = 0) бесконечной стенкой, а справа — барьером произвольной формы, имеющим ширину Ь. Пусть справа от барьера потенциал равняется и2. Поместим в яму электрон и найдем среднее время, за которое он протуннелирует под барьером справа. Обратная ему величина равна плотности потока вероятности из данной ямы: \/т\шп — которую можно найти из квантовомеханических соображений.

3.1. Плотность потока вероятности. Будем исходить из известного выражения для потока вероятности [108]:

где гр — волновая функция электрона.

В описанной выше задаче отсутствует источник электронов справа от барьера, поэтому в этой области волновая функция и волновое число выражаются как Iр2(х) — Се1кгХ и к2 = у/2т(Е — иг)/й. Внутри ямы они равны, соответственно, грг(х) = Ае1кгХ + Ве1к1Х и к\ = у/2т(Е - щ)/Н. При этом коэффициенты Ли С связаны соотношением

по определению коэффициента прохождения.

Подставим волновую функцию гр2(х) в выражение для вероятностного потока (2.11):

и учтем, что нас интересуют в первую очередь значения нормировочного коэффициента А вблизи максимумов коэффициента прохождения под барьером I.

Если бы потенциальный барьер справа от ямы был бесконечно высоким, то энергия, волновая функция основного состояния и соответствующий волновой вектор задавались бы соотношениями

Начало координат здесь помещено в середину ямы. Если же этот барьер не бесконечен, но достаточно высок, то обе формулы можно рассматривать как приближенные, причем волновая функция может оказаться уже не действительной, а комплексной, так что вероятностный поток отличен от нуля. Следовательно, коэффициенты А и В примерно равны:

3.2. Коэффициент прохождения. В выражение (2.14) входит коэффициент прохождения через потенциальный барьер, отделяющий яму с потенциалом щ от пространства справа с потенциалом ui- Найдем величину t, полагая барьер прямоугольным, с шириной d и высотой U, а яму слева от него — бесконечно широкой. Это стандартная учебная задача (см., например, [108, 111]), и здесь мы приводим вывод формул в том виде, в каком они использованы в наших программах.

h = J. (2.13)

и уравнение (2.12) преобразуется к виду:

Будем отсчитывать координату от левого края барьера. Если волна падает на него слева, то волновая функция электрона с энергией £ равна:

1/>(х) = <

ег7с1* + х^О,

осекх + $екх, 0 < х < Ь, те1к2Х, х>Ь.

Из непрерывности хр(х) и ее производной в точках х = 0 и х = Ь выражаем коэффициенты ос и р через т:

а = ±-(к + Ис2)е№2-х)ь, „«¿(■с- 1к2)е^+к}Ь

и получаем уравнение относительно т:

2гТсх = ос(1к\ + к) + /3(г&1 — к) =

"(г/сх + к)(Л2 + к)£ГкЬ - (/^ - к)(г*2 - к)екЬ $\\кЬ(к\к2 - к2) + г'сЬкЬ^! + £г)к

Приравняв квадраты модулей левой и правой частей уравнения, найдем коэффициент прохождения:

£ = |Т| %/к, =

8кгк2к2

сЫкЬ{к2(кг + к2)2 + {кгк2 - к2)2) + (к2{кг + к2)2 - - к2)2)'

Подставляя в это выражение значения волновых чисел слева, справа и под барьером, равные к\ = у/'2т(Е — и\)/%, к2 = л/2т(Е — и2)/Н и к = у/2т(1Г — £)/й, соответственно, получаем окончательное выражение для коэффициента прохождения через прямоугольный барьер:

¿(Е) = 8у/(Е-и1)(Е-и2)(и - Е)/[сЬ2?с&(1/ - иг)(11 - и2)-

•(II + щ- 2Е)(Ц + и2- 2Е) +4у/(Е-и1)(Е-и2)(и - £)].

Отметим симметричность этого выражения относительно перестановки щ и и2, что является общим свойством коэффициента прохождения.

3.3. Время резонансного туннелирования. В описанной выше задаче предположим, что щ = щ = 0 и прозрачность барьера очень мала, т.е. Е < и и 2кЬ » 1. В результате получим из (2.15) упрощенное выражение:

^ 8Е(И-Е) „ 16Е ^

1 ] 1^1/2 и ■

Подставим в него энергию и волновое число электрона, примерно совпадающие со значениями (2.13). Тогда формула (2.14) преобразуется к виду

тл7/т^ Ы 16Е -2кЬ 4тг3Й3 2кЬ

« ?,Л1Те. (2.16)

у 7 2тй и т2(1Аи

Напомним, что это выражение было выведено для ситуации, когда туннелирова-ние из ямы происходит только через один квантовый барьер. Если же она окружена двумя конечными барьерами, то плотности вероятностных потоков вправо и влево суммируются. Поэтому для двух одинаковых барьеров получим время жизни электрона в основном состоянии в яме:

т2с?4и 2кЬ 8тг3Г

Чтобы применить эту формулу к сверхрешетке, рассмотрим центральную яму, туннелирование из которой, очевидно, займет наибольшее время, и подставим вместо ширины барьера Ъ полусумму ширин всех А/^ барьеров в изучаемой системе:

Т1ипп = (2.17)

При выборе адекватной модели транспорта в сверхрешетке рассчитанную по этой формуле величину т\ипп следует сравнивать со значениями т5саи, полученными для различных механизмов рассеяния, оценки для которых даются выражениями (2.5), (2.7) и (2.10).

Глава 3

Будем рассматривать слоистые полупроводниковые структуры в конечном электрическом поле. Нас интересует транспорт в направлении оси роста х (вертикальный транспорт). Размеры структуры в направлениях у иг, т.е. в плоскости слоев, много больше ее толщины, так что их можно считать бесконечными.

Изоэнергетическое туннелирование через всю сверхрешетку без рассеяния возможно лишь при достаточно высокой прозрачности структуры. Выберем такие параметры модельной сверхрешетки, которые обеспечивают выполнение условия (2.1).

1.1. Использованные приближения. Будем рассматривать структуры с монополярной проводимостью. Пусть, для определенности, это будет проводимость п-типа.

Используем метод эффективной массы, причем для простоты будем считать, что эффективные массы электронов в разных слоях структуры различаются несущественно, так что их можно полагать равными для квантовых барьеров и ям (это же справедливо и для сверхрешеток с беспорядком в потенциалах барьеров и/или ям, котрый достигается слабым изменением состава слоев).

Представим потенциал сверхрешетки в виде последовательности прямоугольных квантовых барьеров и ям. Будем считать, что беспорядок вносится только в значения ширины и потенциала слоев структуры, а границы между слоями полагаются идеально ровными.

В прозрачных структурах перераспределением электронов между слоями, а также эффектами экранирования, можно пренебречь. Тогда потенциал электрического поля линеен по координате:

Щх) = (3.1)

где Ь — толщина всей структуры, т.е. координата ее правого края — анода, если отсчет координат ведется от левого края, т.е. катода, сверхрешетки.

В не слишком сильных электрических полях можно описать потенциал поля ступенчатой функцией, а именно, пренебречь его изменением в пределах одного слоя и приравнять поле к его среднему значению в данном слое, т.е. к значению, отвечающему середине слоя. С увеличением напряжения V на всей структуре потенциальное смещение каждого ее слоя описывается формулой:

где п — порядковый номер слоя в сверхрешетке, F — напряженность электрического поля, умноженная на модуль заряда электрона, т.е. сила, действующая на единичный заряд, и ап — координата середины n-го слоя.

Понятно, что расчеты, основанные на модели, описываемой формулой (3.1), являются более точными. Однако в этом случае волновые функции электронов в слоях структуры выражаются через функции Эйри, в то время как при использовании приближения (3.2) для описания волновых функций достаточно простых экспонент. Применимость такого приближения неоднократно обсуждалась в литературе [25, 27, 30, 110]. Его допустимость была обоснована сравнением результатов, полученных при его использовании и при учете потенциала поля, линейного по координате, как в случае периодических кристаллов [110], так и для одномерных неупорядоченных структур [25, 27, 30]. Например, в работе [27] было показано, что зависимости f(E), рассчитанные по этим двум моделям, почти не отличаются друг от друга. В частности, значения энергии уровней в сверхрешетке, полученные в обоих случаях, практически совпадают.

Действительно, в первом порядке теории возмущений можно оценить изменение энергии состояния в изолированной потенциальной яме вследствие использования приближенного потенциала Un(V) = const, определенного по формуле (3.2). Оно равняется

SE = {гр\51%) = {y\F(x-an)\ip) = 0,

так как проводится усреднение нечетного оператора SU по волновой функции гр, которая должна быть либо симметрична, либо антисимметрична относительно центра ямы ап. Следовательно, уровни практически не смещаются по энергии; для того, чтобы это было справедливо и во втором порядке теории возмущений, следует наложить ограничение на величину напряжения.

й Ъ

1 2 п Л

ппллплр

Рис. 3.1. Потенциал сверхрешетки: а) в отсутствие поля; б) в электрическом поле (пунктир — линейный потенциал поля, сплошная линия — приближение ступенчатого потенциала).

Приближение ступенчатого потенциала поля оправданно, если разность потенциалов между катодом и анодом много меньше высоты барьеров, то есть

V >С шах11п/е.

Полный потенциал структуры в отсутствие и в присутствие электрического поля схематически показан на рис. 3.1.

При выводе формулы для плотности тока берется интеграл от функции распределения. При малой концентрации доноров (см. ниже) можно считать электронный газ невырожденным.

1.2. Отсутствие рассеяния. В настоящей главе рассматривается только туннельный транспорт и принимается во внимание только рассеяние носителей заряда на потенциале структуры. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство (2.1) (см. предыдущую главу). Остановимся подробнее на конкретных

условиях, позволяющих пренебречь рассеянием носителей на фононах и примесях.

Чтобы выяснить возможные способы замедления процессов рассеяния и ускорения туннелирования, следует исследовать их зависимость от параметров рассматриваемой системы, которые можно изменять. Это температура, концентрация примеси в материале структуры, а также количество слоев, их ширины и потенциалы. Только от используемого полупроводникового материала зависят такие важные параметры, как эффективная масса электрона, диэлектрическая проницаемость, плотность материала, скорость звука и частота продольно поляризованных оптических фононов.

Как видно из формулы (2.17), время туннелирования экспоненциально зависит от числа и средней ширины барьеров, а его зависимость от высоты барьера выражается формулой циш ос 1/е2к2\ где волновое число к т л/2тП/Н; кроме того, это характерное время пропорционально 4-ой степени ширины ям и не зависит от температуры и концентрации примесей.

Согласно (2.5), время рассеяния на заряженной примеси убывает с уши-рением квантовых ям; очевидно, оно обратно пропорционально концентрации доноров, а его зависимость от температуры слабая, обусловленная только куло-новским логарифмом

Значение т^д прямо пропорционально ширине ям и обратно пропорционально температуре (см. (2.7)); на взаимодействие с оптическими фононами Т практически не влияет, как следует из выражения (2.10), верного при достаточно низких температурах 1).

Таким образом, уменьшая концентрацию доноров и температуру системы, а также рассматривая проницаемые барьеры и не слишком широкие ямы, можно добиться выполнения неравенства (2.1), необходимого при туннельном описании транспорта в сверхрешетке, но только для таких типов рассеяния, как поглощение и испускание акустических фононов и кулоновское взаимодействие. Что же касается испускания РО-фононов, для реальных полупроводников его вероятность оказывается слишком высокой, а характерное время — много меньше тишп> так что требование (2.1) не может быть удовлетворено.

Как уже было отмечено, оптические фононы могут испускаться только тогда, когда в системе возможен переход между электронными уровнями с разницей энергий ДЕ > Ьо>о; и чем больше эта разница, тем быстрее происходит испуска-

ние. Таким образом, существует единственный способ избавиться от рассеяния на РО-фононах: уменьшить разность потенциалов между левым и правым краями сверхрешетки, т.е. ограничить напряжение, приложенное к ней, и тем самым сделать невозможными переходы со слишком большими ДЕ.

Оценим максимально допустимое значение напряжения Ут. Оно должно быть таким, чтобы максимальная разница в энергиях уровней ДЕ не превышала На>о. Если считать, что она примерно соответствует переходу между дном катода и дном анода, то максимальное напряжение равно приблизительно Ут ^ Ьсо§/е. Можно оценить Ут и более точно. Понятно (это также будет показано далее), что туннелирование электронов через рассматриваемую структуру в электрическом поле происходит в основном через ее размерно-квантованные уровни. При низких температурах возбужденные состояния заселены мало, и поэтому достаточно учесть только уровни из основной минизоны, энергию самого высокого из которых обозначим через Еир. Ее значение зависит от приложенного к структуре напряжения У. Так как ширина электронного распределения имеет порядок ЗГ, то максимальная разница в энергиях носителей между катодом и анодом структуры, которую следует учитывать, составляет примерно

ДЕ(У) и Еир(У)+еУ + ЗГ.

Следовательно, предельное значение напряжения является решением уравнения

Еир(Ут)+еУт+ЗТ^Нсо0. (3.4)

Чтобы исключить рассеяние на оптических фононах, в данной главе мы будем рассматривать только напряжения У, удовлетворяющие условию:

У^Ут/ где (3.5)

если значение Еир и температура много меньше энергии ЬО-фононов1. Это ограничение обычно является более сильным, чем обсуждавшееся ранее (3.3).

^ Далее будет показано, что при больших напряжениях наивысшим в основной минизоне является уровень из первой квантовой ямы с энергией Ец, а также найден закон, по которому энергии уровней изменяются в поле. Поэтому приблизительно можно переписать уравнение (3.4) в виде Е^ — еУтЯ]/Е + еУт « Ни?оЗТ. Отсюда получаем более точную оценку для максимального напряжения:

V™ « (Пш0-ЗТ-^)/[е{1-а1/1)}.

Таблица 1. Параметры нитрида галлия [109] и модельной периодической сверхрешетки на его основе с оценками для характерных времен рассеяния и тунне-лирования электронов в ней.

hcvо, мэВ 91.875 Nb а, А 3.18 d, К с, А 5.17 Ь, А

12с = 62.04 Зс = 15.51

т0А, сек 1-10"10 Tcoui, сек 5 • Ю-10 Ttunn) сек 2-Ю"11

т/то 0.2 и, мэВ 12.2 U, мэВ 6.1 щ, см3

0 100 1014 10

К 600 Г, к

2. Описание модельной структуры

Чтобы расширить интервал допустимых напряжений, приложенных к системе (см. (3.5)), выберем материал сверхрешетки с большой энергией РО-фононов — нитрид галлия [109]. Его параметры, необходимые для оценки времен рассеяния, приведены в таблице 1. Кроме них, нам понадобятся 2 и э, значения которых в литературе отсутствуют. Параметр потенциала деформации 3 для большинства полупроводников имеет порядок величины 5 эВ, и мы будем использовать это значение при оценках времен рассеяния. Скорость звука в материале в может быть оценена по температуре Дебая:

где N/V — число атомов на единицу объема кристаллической решетки, М — молярная масса вещества, и Na — число Авогадро. Для нитрида галлия скорость звука, рассчитанная по этой формуле, составляет примерно 6 х 105 см/с.

Параметрами, варьируя которые, можно изменять свойства структуры, являются ширины и состав ее слоев, а также температура и концентрация заряженных примесей.

Как видно из выражения (2.17), параметры квантовых барьеров влияют на время изоэнергетического туннелирования через всю структуру экспоненциально. Для увеличения прозрачности структуры необходимо сократить число барьеров и сделать их ширины и высоту как можно меньше.

Основным параметром, влияющим на энергию размерного квантования, является ширина ям. Она входит во все три выражения (2.5), (2.7) и (2.17). Отметим, что ямы не должны быть слишком узкими, т.к. в противном случае в изучаемой системе с относительно низкими барьерами образуется только одна минизона, и невозможно изучение переходов между основными и возбужденными состояниями в ямах.

Как видно из формул (2.5) и (2.7), рассеяние на акустических фононах можно замедлить понижением температуры, а кулоновское взаимодействие с примесями — в первую очередь, уменьшением их концентрации. Напомним, что здесь и далее мы считаем примеси донорами и полагаем, что они являются основным источником электронов, т.е. их концентрация п^ определяет концентрацию носителей п.

Для моделирования вертикального туннельного транспорта в сверхрешетках п-типа на основе ОаЫ/АЮаЫ рассмотрим структуру, состоящую из 5 квантовых ям и 6 барьеров. Ее параметры, а также рассчитанные характерные времена туннелирования и рассеяния приведены в табл. 1.

Таким образом, время туннелирования оказывается на порядок ниже времен рассеяния, т.е. требование (2.1) удовлетворяется для двух основных механизмов взаимодействия (с акустическими фононами и заряженными примесями), в то время как рассеяние на РО-фононах исключается ограничением напряжения (см. неравенство (3.5)).

3. Расчет спектров прохождения и вольт-амперных характеристик

В этом разделе описаны известные из литературы методы расчета (см. главу 1) и разработанные нами на их основе программы.

3.1. Метод матрицы переноса. Для расчета коэффициента прохождения через сверхрешетку использовался метод матрицы переноса [27, 65]. Пусть к сверхрешетке, имеющей потенциал и(х), приложено напряжение V. Запишем одномерное уравнение Шредингера для электрона в такой структуре:

+ Щх) Рх

гр(х) = Егр(х),

где, как и раньше, ¥ = еУ/1. Обозначим через хп координату границы и-го и (п - 1)-го слоев структуры, положив х\ = 0, Хдг+1 = Ц тогда хп = ап - с?и/2. С

учетом приближения ступенчатого потенциала поля (см. формулу (3.2)) получим уравнение Шредингера в и-ом слое:

гр(х) — Егр(х).

Решение этого уравнения имеет вид

ip(x) = <р+(х) + <Рп(х) = AneiknX + Bneik"x,

где х е [хи,хп+1], Ап и Вп — константы, а квазиволновое число кп = л/2т(Е + Fan - U®)/h является действительным при Е + Fan > Ujj и мнимым при Е + Fan < U®.

Запишем условия непрерывности волновой функции и ее производной на границе n-го и (и — 1)-го слоев в точке хп:

fn-l(xn) + <Pn-l(xn) = <Рп(Хп) + <РпЫ, <Pn-l(Xп) + = <Рп'Ы + (рп'{хп).

Вводя обозначение для отношения волновых чисел кп — kn/kn-i, получаем

(Рп-l(Xn) = +Кп)<Рп(Хп) + -(1-Кп)ср-(хп),

(рп-гЫ = + +

Введем вектор

<Рп(Хп+1)

<Рп (xn+l) 7

и для и = 2,.,N выразим через Ти с использованием выражения (3.7).

Поскольку

<р„(хп) = Ап ё

<Рп Ы

то получаем

An(x„+i-d„)

,-iknd„ (p+(Xn+1)r

4>n (*n+l)/

<Pt-l(Xn) \ <P«-l(*n) J

( (1+K„) (1 -Kn) 1(1 -K„) (1 + K„)

1 / (1+k„) (1 -kn) \

2 ^ (1 -кп) (1 + кп) )

(e-ik„dn Q 0 eiknd„

?n(xn) \ Vn(Xn) J

( <Pn(Xn+l)

V <Pn(xn+1)

Таким образом, для любого п = 2,., N имеем

таг с таг

тК-1 — ->»1«;

где матрица переноса через один слой сверхрешетки

§ = 1 / (1 + ¿у*-*»'» (1 - &У*»'»

п 2 I П Лп\е-{к„йп ц + Лп\е1кп<1п ' V • /

Рассмотрим волновые функции слева и справа от сверхрешетки. Потенциал слева от сверхрешетки равен нулю, т.е. при х < 0 волновая функция имеет вид

хр{х) = А0е1коХ + В0е'

где ко = л/2тЕ/Н. Справа от рассматриваемой структуры потенциал электрического поля равен (-ЕЕ), т.е. при х > Е

и волновое число равно /см+1 = у/2т(Е + ЕЕ)/Ь. Следуя подходу, использованному, например, в работе [65], будем считать, что исходная волна падает на структуру слева, так что справа имеется только прошедшая волна:

Аы+1 = 1/ = 0.

Тогда коэффициент отражения равен квадрату модуля отношения коэффициентов Ао и Во слева от сверхрешетки, а коэффициент прохождения равен

cn+1 1 /Л. FL\

ко \А0\2У\ Е/

1 + -F- " С3"11)

Очевидно, Ло = <Po"(xi) — первая компонента вектора То, определенного в соответствии с формулой (3.8). Согласно уравнению (3.9), этот вектор является результатом действия матриц переноса на вектор Y^, который можно найти из уравнения (3.7) с учетом x^j+i = Е:

Итак, коэффициент прохождения выражается по формуле (3.11) через вектор, равный

^ = ТО = 5,§2---$ЛДлг, (3.12)

где компоненты матриц и вектора Тд/ определены по формулам

(▼лг)/ = \

Эти выражения были использованы в программе для расчета коэффициента прохождения.

3.2. Туннельный ток через сверхрешетку. Для расчета плотности тока при изоэнергетическом туннелировании выразим ее через коэффициент прохождения сквозь рассматриваемую структуру [74]. Сначала найдем плотность потока электронов слева направо:

где — скорость носителей вдоль оси х, Ю1(Е,ЕХ) — вероятность туннели-рования слева направо сквозь сверхрешетку электрона с полной энергией Е и энергией движения вдоль оси х, равной Ех = р^/2т, р — его импульс и т — эффективная масса. Вероятность туннелирования го\ равна произведению вероятностей того, что слева от структуры (т.е. в катоде) состояние с полной энергией Е занято, и того, что справа (в аноде) состояние с той же энергией свободно, на коэффициент прохождения слева направо. Таким образом, она выражается через функции распределения электронов слева и справа от структуры:

и>1(Е,Ех)=/1(Е)(1-/2(Е))Ц(Ех). Выпишем аналогичные выражения для потока электронов справа налево:

™2(Е,ЕХ)=/2(Е)(1-/1(Е))12(ЕХ)

и учтем, что коэффициент прохождения через структуру не зависит от направления: ¿1 = ¿2 =

Полная плотность тока пропорциональна разности /х и /2, то есть

1 = I 3, (3.14)

где е — модуль заряда электрона, и

ш(Е,£х) = ги1{Е,Ех)-ю2(Е,Ех) = [/х(£) -/2(£)]£(ЕХ). Перейдем в интеграле (3.14) к цилиндрическим координатам:

/ / Ex^¡dPxdPi

J J{fm-f2(E)]t{Ex)dExdEl =

оо ( со j

J I J [fi(E) - f2(E)}dE\ t(Ex)dEx.

2пЧ3 „ „

На самом деле коэффициент прохождения является функцией не только энергии Ех, но и напряжения. Функции распределения справа и слева имеют один и тот же вид, а отличаются только на разность потенциалов между краями структуры. Поэтому получаем окончательное выражение:

I(V) = у F(EX, V)t(EX/ V)dEX/ (3.15)

F(EX,V) = J[f(E)-f(E + eV)}dE.

Подставляя в полученное только что выражение функцию распределения Больц-мана /(Е) = АеЕ/Т, имеем:

F(EX, V) = АТеЕх/т(I - eeV/T),

где А — нормировочный коэффициент, определяемый условием

//(Е)<Г = /^

Тогда искомая функция, входящая в уравнение (3.15), имеет вид

F(EX, V) = АпТ I I еЕ*/т(1 - eeV/T). (3.16)

Таким образом, для невырожденного электронного газа получаем окончательное выражение для плотности туннельного тока через структуру:

т = (1 11{Ех,У)е^тйЕх. (3.17)

3.3. Программы расчета спектров прохождения и вольт-амперных характеристик. Для проведения расчетов были разработаны компьютерные программы на языке программирования Фортран 77.

Последовательность параметров слоев, характеризующая рассматриваемую сверхрешетку с определенной реализацией беспорядка, задается с помощью вспомогательной подпрограммы-генератора случайных чисел на основании задаваемых пользователем значений математических ожиданий и максимальных отклонений ширин и потенциалов квантовых барьеров и ям. Распределение случайных величин на заданном отрезке является равномерным.

Программа расчета электронных спектров прохождения состоит из трех блоков. В блоке ввода данных из исходного файла считываются параметры структуры и интервал энергий, для которого следует найти значения 1(Е). В расчетном блоке находится коэффициент прохождения в зависимости от энергии электрона, причем используются формулы (3.12) и (3.13). В результате работы программой создаются два выходных файла, записью в которые управляет блок вывода. Один из них содержит всю информацию о системе и в дальнейшем может быть использован для повторного ввода данных, а в другой записываются результаты расчетов (энергия электрона и соответствующее ей значение коэффициента прохождения). Работа программы организована таким образом, что возможен последовательный расчет на основании данных, содержащихся в различных исходных файлах, с выводом в файлы с соответствующими именами.

В программе расчета туннельных вольт-амперных характеристик ввод и вывод данных устроены аналогичным образом. В качестве исходных данных должны быть заданы, кроме параметров сверхрешетки, еще и температура, концентрация носителей и интервал напряжений, для которого следует найти плотность тока. Расчет проводится на основании формулы (3.17), причем значение коэффициента прохождения, входящего в подынтегральное выражение, находится так же, как и в программе расчета электронных спектров прохождения.

Численное интегрирование. Выберем численный метод для нахождения интеграла

Основная сложность расчета состоит в том, что значение функции t(E) может изменяться на несколько порядков при слабом изменении энергии. Для интегрирования таких быстроменяющихся функций не подходят простые методы типа Симпсона, а требуется интегрирование с переменным шагом. Другими словами, значение интеграла Ф(оо) определяется решением уравнения с1Ф(Е)/с1Е = t(E)eE/т при начальном условии Ф(0) = 0. Согласно схеме, приведенной в [112], при решении задачи Коши для быстрого получения достаточно точного результата следует использовать метод Рунге-Кутта с контрольным членом в форме Мерсона. Как известно, он дает четвертый порядок точности при пяти вычислениях правой части. Этот метод и был использован в наших расчетах.

Интеграл Ф(Е) сходится, поскольку подынтегральное выражение представляет собой произведение ограниченной функции 0 ^ ¿(Е) ^ 1 на экспоненциально убывающую функцию энергии, и его значение может быть найдено с любой заданной точностью. Ограничим верхний предел интегрирования значением Его можно найти, задавая относительную точность е, из условия

С точностью, определяемой погрешностью метода интегрирования, в левой части этого неравенства стоит выражение, которое заведомо не больше интеграла от экспоненты, так как коэффициент прохождения Ь(Е) не может быть больше единицы. Поэтому для выполнения условия (3.18) достаточно, чтобы соблюдалось неравенство

|Ф(оо)-Ф(Ейп)|<€Ф(ЕПП).

то есть верхний предел интегрирования Ецп определяется условием

1(ЕПп)еЕ^/т ^ 1.

Наши расчеты проводились с точностью е = 10 3.

4. Периодическая сверхрешетка

Рассмотрим сначала наиболее простой объект — периодическую сверхрешетку с небольшим числом слоев; в дальнейшем используем ее для сравнения при изучении свойств неупорядоченных структур. Напомним, что все иллюстрации в данной главе приведены для примера сверхрешетки, описанной в табл. 1, если не оговорено противное.

4.1. Электронные спектры прохождения в отсутствие поля. Электронные спектры прохождения периодической сверхрешетки в отсутствие поля, рассчитанные с помощью разработанной нами программы, имеют ярко выраженные пики, хорошо заметные даже в логарифмических координатах (см. рис. 3.2). Каждый из пиков соответствует резонансному туннелированию через отдельное квазилокализованное состояние частицы в структуре. В отсутствие внешнего электрического поля (нижняя кривая) эти состояния аналогичны блохов-ским. Они образуют разрешенные минизоны структуры (вернее, их аналоги, поскольку истинные минизоны возникают только в бесконечной сверхрешетке). В максимумах значение коэффициента прохождения достигает единицы. Вдали от резонансов прозрачность структуры падает на несколько порядков величины, поэтому именно процессы резонансного туннелирования вносят основной вклад в туннельный ток. Величина последнего зависит, помимо значения и от заселенности соответствующих энергетических уровней в контактах. Поэтому существенное влияние на плотность тока оказывает и энергия квазилокализованных состояний структуры в электрическом поле.

Очевидно, число электронных уровней в минизоне совпадает с числом квантовых ям в сверхрешетке. Кроме того, увеличение числа периодов сверхрешетки при сохранении параметров слоев уменьшает прозрачность всей структуры, а значит, приводит к понижению значений £(£) в области между пиками.

Уменьшение прозрачности барьеров, естественно, понижает значения t(E) в области между пиками, в то время как в максимумах коэффициент прохождения по-прежнему достигает единицы. Кроме того, ширина и особенно высота барьеров могут влиять на энергию уровней, хотя, конечно, и не так сильно, как параметры квантовых ям. По сравнению с состояниями в бесконечной прямоугольной яме (см. формулу (2.3)), квазилокализованные уровни в сверхрешетке с такими же параметрами потенциальных ям лежат ниже по энергии. При увеличении

мощности барьеров до бесконечности энергия уровней монотонно возрастает и стремится к энергии уровней в изолированной яме.

Из сказанного выше следует, что электронные уровни в сверхрешетке расположены близко к уровням размерного квантования в изолированной потенциальной яме, т.е., согласно выражению (2.3), их энергии примерно обратно пропорциональны квадрату ширины ямы.

При изменении энергии дна изолированной ямы все расположенные в ней уровни смещаются линейно по энергии. То же самое верно для сверхрешетки с достаточно непрозрачными барьерами при малом перекрывании состояний, (ква-зи)локализованных в разных квантовых ямах.

4.2. Эволюция спектров прохождения в электрическом поле. Как видно из рис. 3.2(а), наложение поля приводит к падению пиковых значений коэффициента прохождения, которые в основном и определяют проводимость системы. Это связано с разрушением трансляционной симметрии сверхрешетки полем, в котором уровни размерного квантования в разных ямах расходятся, так что блохов-ский транспорт по минизонным состояниям становится невозможным. Величина соответствующей напряженности поля определяется отношением ширины мини-зоны к толщине структуры. Последующее увеличение поля приводит к росту f как в максимумах, так и между ними. Это связано с тем, что поле уменьшает высоту барьеров, через которые должны туннелировать электроны с данной энергией.

Электрическое поле локализует состояния электрона в квантовых ямах структуры. Энергия каждого уровня изменяется вместе с потенциалом дна отвечающей ему квантовой ямы, изменяющимся согласно уравнению (3.2). Поэтому в максимумы ¡(Е) смещаются в область меньших энергий, как показано на рис. 3.2(6).

Уровни, локализованные в разных квантовых ямах, двигаются вниз по шкале энергий с разными скоростями, зависящими от пространственного положения этих ям. Быстрее всех движутся уровни из последней, пятой ямы, а медленнее всех — из первой. В общем виде полевая зависимость энергии уровня подчиня-

Действительно, если положить, что Н = Но + Аи, где А — некий параметр, то производная энергии по этому параметру в первом порядке теории возмущений дЕ/дЛ = строго

положительна для положительно определенного 17.

О 20 40 60 80 100 Е, те У

10 20 30 40 !О 60 70

Рис. 3.2. а) Электронные спектры прохождения в электрическом поле и б) полевая зависимость энергий максимумов пропускания и вольт-амперная характеристика периодической сверхрешетки.

ется линейному закону:

Здесь и далее д, — координата центра г-ой ямы, Е(а — энергия а-го уровня размерного квантования в г-ой квантовой яме сверхрешетки, определявшаяся как положение соответствующего максимума t(E), а Е*-л — та же величина в отсутствие электрического поля. Договоримся приписывать основному состоянию индекс а — 1. Отклонение от линейности наблюдается только на начальном участке (см. рис. 3.2(6)), когда имеет место минизонный транспорт и все уровни минизоны движутся как единое целое. Тогда скорость их движения соответствует координате центра структуры, т.е. в данном случае Дз; этот начальный участок оказывается шире для возбужденных минизон.

В результате изменения энергии уровней с ростом поля в пределах каждой минизоны разница между ними увеличивается, что аналогично эффекту Штарка. Разрешенные минизоны расширяются, а в сильных полях и частично накладываются друг на друга, т.е. меняется взаимное расположение уровней, относящихся к разным минизонам. На самом деле при этом происходит

не настоящее пересечение уровней, а так называемое квазипересечение, т.е. их энергии сначала сближаются, а потом расходятся, в соответствии с правилом непересечения [108]. Наших данных не всегда достаточно, чтобы различить эти две ситуации, поскольку пики t(E) являются довольно размытыми, и положение максимума пропускания оценивается лишь приближенно. Однако второй вариант представляется более естественным вследствие взаимодействия между близкими состояниями изучаемой системы. Это также подтверждается поведением в поле некоторых уровней в неупорядоченных структурах (см. дальше). Во всяком случае, если два уровня из разных квантовых ям имеют одинаковые или близкие энергии, то туннелирование происходит через два пространственно разделенных квазилокализованных состояния в сверхрешетке вместо одного, что, естественно, должно облегчить электронный транспорт через всю сверхрешетку. Очевидно, что наиболее велика роль пересечений или квазипересечений с достаточно низкой энергией (порядка нескольких Г), т.к. заселенность высо-колежащих уровней пренебрежимо мала, и они практически не дают вклада в ток.

По мере уменьшения энергии уровня размерного квантования возрастает его заселенность, а вместе с ней и его вклад в туннельный транспорт. Но после того, как энергия какого-либо уровня в электрическом поле опускается до нуля и ниже, транспорт через этот уровень оказывается невозможным; точнее, уровень с нулевой или отрицательной энергией не вносит вклад в трвнспорт через всю рассматриваемую структуру. Действительно, за нуль отсчета энергии принят потенциал слева от сверхрешетки (в катоде), и значит носители слева не могут иметь неположительную энергию (напомним, что мы рассматриваем ситуацию, когда энергия носителей в процессе туннелирования сохраняется). Отметим, что описанное «исчезновение» энергетических уровней (а точнее, переход их в область отрицательных энергий) происходит постепенно из-за размытости максимумов пропускания, как показано на рис. З.З(а). Как будет обсуждаться далее, понижение плотности тока на соответствующем участке вольт-амперной характеристики также является плавным (см. рис. 3.3(6)).

Найдем аналитически, как зависит от напряжения энергия, при которой наблюдается максимум зависимости t(E), в районе «исчезновения» соответствующего этому максимуму энергетического уровня. Вблизи максимума можно приблизить энергетическую зависимость коэффициента прохождения функцией Ло-

43 44 45 46

Рис. 3.3. а) Начальные участки электронных спектров прохождения при V = 44.0 мВ, 44.1 мВ,., 45.0 мВ, б) участок вольт-амперной характеристики и в) зависимость энергии максимума пропускания £31 от напряжения в районе «исчезновения» основного энергетического уровня, квазилокализованного в центральной квантовой яме периодической сверхрешетки.

ренца, отвечающей резонансному полюсу Ео — *7> гДе Ео — энергия уровня, а 7 играет роль полуширины рассматриваемого максимума. С другой стороны, как видно из выражения (2.15), при Е —> 0 коэффициент прохождения стремится к нулю примерно как корень из энергии. Следовательно, если около нуля имеется энергетический уровень, то поведение £(Е) можно приближенно описать произведением этих двух функций:

[(Е Ео)2 + 72]'

где /3 — некая константа. Приравняв производную t(E) нулю, найдем значение энергии Етах, при котором наблюдается максимум прохождения:

(Ц{Е) {27ЬгЛЕтах + ^ 2^Етах(Етах - Е0)|

[(Етах — Ео)2 + 72]2 ==0-

Таким образом, получаем квадратное уравнение

(Етах - Ео)2 + 72 - 4Етах(Етах Е0) = 0, которое имеет единственное положительное решение:

Етах = I (е0 + ^4Е2 + 372) ■ (3.21)

Вспомним, что согласно (3.20), Ео ос (—V), т.е. формула (3.21) выражает зависимость положения максимума £(Е) от напряжения на сверхрешетке.

Найдем, при какой энергии уровня максимум коэффициента прохождения оказывается ближе всего к нулю. Для этого продифференцируем выражение (3.21):

с1Етах 1 | ^8Еогшп

откуда получаем значения Еотт и Етах'

Еотт - Етах(Еотт) = ^ (3.22)

Итак, зная минимальное значение энергии максимума пропускания (либо при каком напряжении, т.е. при каком значении Ео = Еотт> оно достигается), можно из (3.22) эмпирически найти значение 7. Линейная зависимость ео(у), полученная методом наименьших квадратов по имеющимся данным етах(у) при Ео у, показана на рис. З.З(в) пунктиром. Сплошная линия — аналитическая кривая етах(у), расчитанная по формуле (3.21). Видно, что она хорошо описывает результаты наших расчетов (жирные точки на рис. З.З(в)), вплоть до напряжения 44.7 мВ; наблюдающееся затем отклонение связано с приближением следующего пика £(Е). Таким образом, понятна природа «остаточного» максимума.

4.3. Вольт-амперная характеристика. Вольт-амперная характеристика, рассчитанная для изучаемой периодической сверхрешетки, представлена на рис. 3.2(6), на одном графике с полевыми зависимостями энергий уровней в сверхрешетке Егд(1/).

Напомним, что предположение об отсутствии рассеяния на оптических фо-нонах и, следовательно, о туннельном характере транспорта, оправдано только при выполнении условия (3.5). При этом максимальное допустимое напряжение на структуре, строго говоря, меньше энергии ЬО-фононов и определяется уравнением (3.4). Тем не менее, зависимость 1(У) была рассчитана в интервале напряжений до 90 мВ, что примерно соответствует энергии оптических фононов.

На начальном участке кривой 1(У) выполняется закон Ома. Максимальное значение напряжения, при котором еще имеет место минизонный транспорт, должно быть порядка ширины рассматриваемой минизоны:

(здесь г и / — номера квантовых ям, ос — номер минизоны). Однако на вольт-амперной характеристике, приведенной на рис. 3.2(6), наблюдается перегиб уже при У й 2 мВ, что в несколько раз меньше оценки (3.23); по-видимому, он отвечает максимальному взаимодействию между уровнями основной минизоны.

Остальные участки роста /(V) связаны с тем, что по мере понижения энергии какого-либо уровня в поле возрастает заселенность резонансных с ним уровней в катоде и туннелирование становится более интенсивным.

В сильных полях на фоне роста плотности тока наблюдается перегиб при напряжении примерно 21 мВ и три резких спада в интервалах 30-=-32 мВ, 43-^48 мВ и 70—78 мВ. Они соответствуют «исчезновению» уровней из основной минизоны (см. предыдущий раздел). Раньше всех уходит в область отрицательных энергий состояние, (квази)локализованное в самой правой яме, т.к. скорость изменения его энергии Е51 в электрическом поле самая высокая. Однако вклад в транспорт энергетических уровней из крайних квантовых ям довольно мал, и поэтому на вольт-амперной кривой при соответствующем значении v наблюдается только некоторое замедление роста I. Последующие спады связаны с тем, что сравниваются с нулем энергии Е41, Е31 и Е21 (при напряжениях около 31, 44 и 71 мВ, соответственно). Как видно из рис. 3.2(а), в каждой минизоне наибольшей оказывается площадь под центральными максимумами, отвечающими 3-ей (центральной) и 2-ой ямам структуры. Это связано с тем, что туннелирование с участием именно этих уровней, относящихся к центральным ямам структуры, наиболее существенно для вертикального транспорта, и их «исчезновение» приводит к наибольшему падению плотности тока (на 1-2 порядка). Отметим, что туннелирование оказывается достаточно интенсивным и при таких напряжениях, когда уровень уже имеет отрицательную энергию, но еще заметен «остаточный» максимум {(е), подробно рассмотренный в предыдущем разделе. Поэтому чем более размытым является максимум пропускания, т.е. чем больше его полуширина 7, тем более плавным оказывается спад тока при «исчезновении» соответствующего уровня. Пример участка вольт-амперной характеристики, на котором ток в основном определяется туннелированием через такой «остаточный» максимум пропускания, показан на рис. 3.3(6).

Таким образом, на рассчитанных кривых имеется несколько участков с отрицательной дифференциальной проводимостью, которые могут быть интересны для практического применения полупроводниковых сверхрешеток.

4.4. Структура с низкой прозрачностью барьеров. На рис. 3.4(а) представлены электронные спектры прохождения для структуры с более толстыми квантовыми барьерами (Ъ = 6с, остальные параметры — как в табл. 1). В отсутствие поля в максимумах £ = 1, но вдали от них значения коэффициента прохождения уменьшаются на несколько порядков. Из сравнения с рис. 3.2(а) видно, что минизоны становятся уже, причем внутри каждой минизоны энергетические уровни располагаются практически симметрично по энергии. Это легко понять, например, в рамках приближения сильной связи для системы N одинаковых уровней.

Пусть каждый из них взаимодействует только с состояниями из соседних квантовых ям, что справедливо при малой прозрачности барьеров. Тогда эффективный гамильтониан для такой системы эквивалентных взаимодействующих состояний можно представить в виде следующей матрицы размерности М:

а О а О

О а О а

О а а О

Матричные элементы, лежащие над и под ее главной диагональю, отвечают взаимодействию состояний из ближайших ям и имеют одинаковые значения; все остальные ее элементы равны нулю. Тогда существует такая матрица С, что выполняется равенство

С1ЬС = -ь.

Легко проверить, что это диагональная матрица с элементами вида С,-у = (— Если какой-то вектор г является собственным для оператора Ь, то С-1г будет собственным вектором для С1Ь, т.е. операторы Ь и С-1ИС имеют одинаковый спектр. Но если какая-то энергия Е принадлежит спектру И, то значение (—Е) принадлежит спектру (—И) = С1ИС, а следовательно, и спектру И. Отметим, что

Рис. 3.4. а) Электронные спектры прохождения в электрическом поле, б) полевая зависимость энергий максимумов пропускания и в) вольт-амперные характеристики при различных температурах для периодической сверхрешетки с низкой прозрачностью барьеров.

это рассуждение не использует предположения о равенстве ненулевых элементов гамильтониана.

Таким образом, симметрия минизоны является следствием малости взаимодействия между уровнями из отдаленных ям и нарушается при слишком высокой прозрачности барьеров. При рассмотрении примера сверхрешетки с нечетным числом ям (Ы = 5), оказывается, что центр минизоны примерно совпадает с энергией уровня, отвечающего центральной (третьей) яме.

Как показано на рис. 3.4(6), в электрическом поле уровни ведут себя так же, как и в рассмотренной выше более прозрачной структуре.

Для изучаемой сверхрешетки были рассчитаны вольт-амперные характеристики при различных температурах (рис. 3.4(в)). Такие расчеты, хотя и неоправ-даны с точки зрения соблюдения условия (2.1), но могут, тем не менее, способствовать лучшему пониманию вертикального транспорта.

Если для прозрачных структур наличие (квази)пересечений энергетических уровней в электрическом поле практически не сказывается на вольт-амперных кривых, то в обсуждаемой системе при Т = 20 ч- 50 К хорошо заметен максимум

тока при напряжении 79 мВ. Его проявление естественно, поскольку с уменьшением прозрачности структуры пики £(Е) становятся более ярко выраженными. С увеличением температуры амплитуда максимума 1(У) растет из-за роста заселенности соответствующих состояний. То же видно и для максима тока в малых полях. Он является аналогом слабого перегиба на кривой для прозрачной сверхрешетки и связан с интенсивным минизонным транспортом.

Для изучаемой сверхрешетки «исчезновения» уровней гораздо сильнее, чем для прозрачной, сказываются на плотности туннельного тока. Однако с ростом температуры они становятся все менее важными, т.к. заселенность более высо-колежащих состояний оказывается достаточной для транспорта и после ухода низколежащих уровней в область отрицательных энергий. Так, могут исчезнуть спады тока, соответствующие уровням из крайних ям сверхрешетки, а у остальных уменьшается амплитуда. В результате с повышением температуры на вольт-амперных кривых спады тока ослабляются, а максимумы, связанные с участием в туннелировании двух состояний с близкой энергией, наоборот, становятся ярко выраженными.

5. Неупорядоченные сверхрешетки

Обратимся теперь к вертикальному транспорту в неупорядоченных сверхрешетках. Существует четыре простейших типа беспорядка:

о флуктуации ширины квантовых ям й, о флуктуации глубины квантовых ям и, о флуктуации ширины квантовых барьеров Ь, о флуктуации высоты квантовых барьеров и.

Для каждой конкретной реализации беспорядка параметры слоев задаются последовательностью случайных чисел по закону

Х,-(Д) = Х/(0)+^-Д.

В наших расчетах значения задаются специальной программой-генератором случайных чисел с равномерным распределением на отрезке [—1,1]. Максимальное отклонение Д от среднего значения характеризует степень беспорядка.

В этом разделе будут обсуждаться свойства сверхрешеток со всеми перечисленными типами беспорядка. Здесь мы приводим результаты лишь некоторых расчетов, которых достаточно для понимания основных закономерностей влия-

ния беспорядка на туннельный транспорт и проследим за усилением его влияния с ростом Д. Значения варьируемых параметров слоев X,-, результаты расчетов с которыми обсуждаются ниже, приведены в табл. 2. Напомним, что в периодической структуре, которой отвечают средние значения величин Хг(0), ширина и потенциал барьеров равны Зс и 100 мэВ, а для ям эти параметры составляют 12с и 0 мэВ, соответственно, как показано в табл. 1.

Как и электрическое поле, беспорядок любого типа разрушает трансляционную симметрию. В результате этого значения t(E) понижаются даже в нулевом поле, а средняя высота пиков прохождения в логарифмическом масштабе мало изменяется в слабых полях. Еще более важно изменение энергий уровней в неупорядоченных структурах. Уже в отсутствие электрического поля разрешенные минизоны становятся значительно шире, чем в симметричной сверхрешетке, за счет появившейся разницы в исходных положениях уровней в ямах. Это означает, что расщепление уровней из-за перекрытия волновых функций в соседних ямах невелико по сравнению с влиянием беспорядка. Вообще, употребление термина «минизона» имеет смысл только в сверхрешетке с относительно слабым беспорядком; его нельзя использовать, если флуктуации энергии уровней вследствие беспорядка оказываются сравнимы с энергией размерного квантования.

Отметим, что с ростом электрического поля в неупорядоченных структурах может меняться взаимное расположение уровней, относящихся не только к разным разрешенным минизонам, но и к одной и той же минизоне. В этом проявляется особенность штарковского расщепления группы уровней, имевших изначально различные энергии за счет беспорядка. Энергии разных состояний понижаются в поле с различной скоростью, задаваемой выражением (3.20). Пересечение уровней возникает, если уровень, который за счет беспорядка располагался выше другого при v = 0, в поле движется вниз быстрее него, т.е. соответствует яме, расположенной дальше в направлении силы, действующей на электроны со стороны поля.

Для того, чтобы объяснить поведение неупорядоченных сверхрешеток в электрическом поле, необходимо установить соответствие между энергетическим уровнем (максимумом t(E)) и квантовой ямой, в которой он (квази)локализован, имея в виду конкретную реализацию беспорядка. Покажем это на нескольких примерах, рассмотрев особенности сверхрешеток с разными типами беспорядка.

Таблица 2. Последовательности случайных чисел и параметры слоев в рассматриваемых неупорядоченных сверхрешетках: с флуктуациями ширины (а) и глубины (б) квантовых ям, ширины (в) и высоты (г) квантовых барьеров.

Номер квантовой ямы i 1 2 3 4 5

а) Случайное число 0.23 0.66 -0.27 0.15 -0.92

Значения

А = 1 с 12с 13с 12с 12с 11с

Д = 2с 12с 13с 11 с 12с Юс

Д = Зс 13с 14с 11 с 12с 9 с

Д = 4с 13с 15с 11 с 13с 8с

А = 5с 13с 15с 11 с 13с 7с

Д = 6с 13с 16с 10с 13с 6 с

Д = 7с 14с 17с 10с 13с 6с

Д = 8с 14с 17с 10с 13с 5с

б) Случайное число 0.07 -0.56 -0.04 -0.28 0.85

Значения щ, мэВ

Д = 10 мэВ 1 -6 0 -3 9

Д = 20 мэВ 1 -И -1 -6 17

Д = 30 мэВ 2 -17 -1 -8 26

Номер квантового барьера г 1 2 3 4 5 6

в) Случайное число -0.35 0.70 -0.49 -0.87 0.76 0.42

Значения Ьг

Д = 1с Зс 4с Зс 2с 4с Зс

Д = 2 с 2с 4с 2с 1с 5с 4с

г) Случайное число 0.30 0.71 -0.18 -0.11 -0.89 0.98

Значения 17/, мэВ

А = 10 мэВ 103 107 98 99 91 110

А = 20 мэВ 106 114 96 98 82 120

Д = 30 мэВ 109 121 95 97 73 129

Рис. 3.5. а) Электронные спектры прохождения в электрическом поле и б) полевая зависимость энергий максимумов пропускания и вольт-амперная характеристика неупорядоченной сверхрешетки с флуктуациями ширины квантовых ям (А = 4с).

5.1. Сверхрешетки с флуктуациями ширины квантовых ям. Рассмотрим сначала наиболее часто реализуемый на практике пример — сверхрешетку с беспорядком в ширинах квантовых ям.

Как уже обсуждалось в разделе, посвященном периодической структуре, энергетические уровни в сверхрешетках с конечными барьерами лежат ниже, чем в бесконечно глубокой квантовой яме такой же ширины, где имеет место равенство (2.3). Понятно, что при достаточно больших степенях беспорядка флуктуации ширины ям должны сильно влиять на зависимости ¿-(Е) и /(У); если же значение Д мало, то сверхрешетка не будет сильно отличаться от периодической.

Пусть имеется беспорядок промежуточной степени: Д = 4с, А/А = 33%. Последовательность случайных чисел, задающая реализацию беспорядка, и ширины всех ям рассматриваемой структуры приведены в табл. 2 (см. пункт а). Эволюция спектров прохождения и вольт-амперная характеристика для нее показаны на рис. 3.5.

Максимумы коэффициента прохождения в этой сверхрешетке расположены при следующих значениях энергии: 13.4, 16.8, 20.5, 27.2, 36.8, 59.5, 76.4 и 83.3 мэВ. Как легко увидеть из рис. 3.5(a), первые пять состояний образуют основную минизону. Как и ожидалась, она немного шире, чем для периодической структуры. Чтобы отнести уровни по квантовым ямам, достаточно вспомнить, что самую большую ширину d = 15с имеет 2-я яма, 1-я и 4-я ямы имеют одинаковую ширину (13с), ширина центральной ямы составляет 11с, и, наконец, самой узкой является 5-я яма (8с). Воспользуемся формулой (2.3), если не количественно, то хотя бы качественно: чем шире яма, тем ниже лежит соответствующее состояние. Следовательно, уровень с энергией 36.8 мэВ локализован в 5-ой квантовой яме, следующее за ним состояние (27.2 мэВ) — в 3-ей яме сверхрешетки, а самый низколежащий уровень относится ко 2-ой яме. Отнесение двух оставшихся состояний проводится из следующих соображений: если бы 1-я и 4-я квантовые ямы были изолированы друг от друга, то эти уровни в отсутствие поля имели бы одинаковую энергию; в реальности они взаимодействуют, и следует отметить, что разница между ними (3.7 мэВ) имеет тот же порядок, что и расщепление уровней в периодической сверхрешетке. При наложении электрического поля первый из них (с исходной энергией 16.8 мэВ) движется вниз быстрее, чем второй (20.5 мэВ). Это свидетельствует о таком же их расположении, как и в периодической структуре: уровень, локализованный в яме с большей координатой я/, исходно располагается ниже по энергии, согласно правилу непересечения. Информация об энергиях основных состояний, (квази)локализованных во всех квантовых ямах данной структуры, а также сверхрешеток, которые будут рассмотрены ниже, в отсутствие электрического поля, суммирована в табл. 3.

Изменение взаимного расположения уровней из разных квантовых ям данной сверхрешетки по сравнению с периодической влечет за собой и изменение вида спектра прохождения. Если раньше максимумы t(E), расположенные ближе к центру минизоны, были интенсивнее крайних, то теперь наибольшей оказывается площать под первым, вторым и четвертым пиками коэффициента прохождения, имеющими энергии 13.4, 16.8 и 27.2 мэВ и соответствующими 2-ой, 4-ой и 3-ей, т.е. центральным ямам структуры, соответственно. Максимумы с энергиями 20.5 и 36.8 мэВ, отвечающие первой и последней квантовым ямам, являются более «размытыми» и играют меньшую роль в туннельном транспорте.

Таблица 3. Энергии основных квазилокализованных состояний, мэВ, в периодической и некоторых неупорядоченных сверхрешетках: с флуктуациями ширины (а) и глубины (б) квантовых ям, ширины (в) и высоты (г) квантовых барьеров.

Номер квантовой ямы г 1 2 3 4 5 Рис.

Периодическая* 30.2 25.7 21.1 17.5 15.3 3.2

а) Д = 4с 20.5 13.4 27.2 16.8 36.8 3.5

а) Д = 8с 18.5 11.7 29.3 17.3 85.3 3.6

б) Д = 10 мэВ 26.8 12.8 22.9 16.4 31.5 3.7

в) Д = 1с 21.4 18.9 30.7 14.6 24.3 3.8

в) Д = 2с 22.4 19.0 32.7 11.5 23.0 3.9

г) А = 10 мэВ 30.3 25.8 21.2 17.5 15.2 3.10

* отнесение уровней периодической сверхрешетки по ямам в отсутствие поля является условным и приведено для сравнения.

Изучим эволюцию электронных спектров прохождения для такой структуры с флуктуациями ширины квантовых ям в электрическом поле. Согласно выражению (3.20), в поле быстрее всех должна понижаться энергия уровня из последней ямы. Как уже было сказано, в нулевом поле этот уровень имеет наибольшую энергию в основной минизоне, т.е. его быстрое понижение неминуемо приведет к пересечению (или квазипересечению) с другими. Действительно, на начальном участке изменение его энергии хорошо описывается линейной зависимостью:

но при V рз 21 мВ его энергия (примерно 18 мэВ) сравнивается с энергией состояния из другой квантовой ямы. Происходит квазипересечение, после чего скорость изменения энергии рассматриваемого уровня в поле резко меняется и соответствует уже отношению а\/Ь, т.е. данное состояние оказывается локализованным уже в первой яме сверхрешетки.

Уровень с исходной энергией 27.2 мэВ в малых полях локализован, как уже было сказано, в центральной яме нашей структуры; затем (при V « 10-ч-12 мВ) он взаимодействует с более низколежащим (который в свою очередь относится к первой квантовой яме) и практически сразу испытывает вышеописанное квазипересечение с состоянием из последней ямы. Еще одно, последнее, квази-

пересечение с участием все того же уровня наблюдается в районе 30 мВ при энергии порядка 30 мэВ.

Состояние из первой ямы сверхрешетки (исходная энергия £ц = 20.5 мэВ), как уже обсуждалось, взаимодействует с соседним энергетическим уровнем дважды: при v га 10 -г 12 и 30 мВ; интересно, что в обоих случаях это — взаимодействие с одним и тем же уровнем.

Наконец, состояния, относящиеся ко второй и четвертой ямам (энергии в отсутствие поля 13.4 и 16.8 мэВ, соответственно), сближаются и взаимодействуют друг с другом один раз, при Уга7-=-8мВиЕга10ч-12 мэВ.

Уровни из возбужденной минизоны, в принципе, ведут себя подобно основным, с той только разницей, что они исходно расположены дальше друг от друга по энергии и все изменения производных их энергий по напряжению происходят более плавно.

Обратимся теперь к вольт-амперной характеристике изучаемой сверхрешетки. Ее основное качественное отличие от кривой, рассчитанной для периодической структуры, заключается в наличии перегиба при v га 8 -г 9 мВ, когда, как указывалось выше, наблюдается квазипересечение двух низколежащих уровней.

В остальном влияние беспорядка сводится к изменению положения спадов 1(У), связанных с «исчезновением» энергетических уровней. Первый из них (при 23 мВ), хотя и представляет собой настоящий спад, а не перегиб, как в случае периодической сверхрешетки, все же очень мал. Это понятно, т.к. он соответствует уходу в область отрицательных энергий уровня, локализованного в 4-ой квантовой яме, т.е. не вносящего большой вклад в транспорт через сверхрешетку. Спады тока при напряжениях 37 и 43 мВ расположены достаточно близко друг от друга; кроме того, в таких полях уровень, следующий за «исчезающими» (в нулевом поле он имел энергию 27.2 мэВ и относился к 3-ей яме структуры), имеет низкую энергию, что обеспечивает интенсивное туннелирование сквозь структуру. Поэтому эти два спада 1(У) невелики, особенно по сравнению с последним, имеющим место при v га 55 мВ. Величина последнего объясняется тем, что при У > 55 мВ последний уровень из основной минизоны, имеющий положительную энергию, лежит слишком высоко (при 13ч-8 мэВ), и заселенность его мала.

Завершим изучение данного типа беспорядка примером сверхрешетки, имеющей очень сильный беспорядок: А = 8с (т.е. а/й = 67%). Варьируемые значения

Рис. 3.6. а) Электронные спектры прохождения в электрическом поле и б) полевая зависимость энергий максимумов пропускания и вольт-амперная характеристика неупорядоченной сверхрешетки с флуктуациями ширины квантовых ям (А = 8 с).

ширин квантовых ям в этой системе задаются той же последовательностью случайных чисел (см. табл. 2, пункт а); рассчитанные для нее зависимости £(Е) в разных полях, а также Е(У) и 1(У), показаны на рис. 3.6.

Поскольку в рассматриваемой структуре беспорядок имеет тот же характер, но еще более ярко выражен, чем в предыдущей, взаимное расположение основных уровней, локализованных в различных квантовых ямах, сохраняется. Однако в данном случае уже нельзя говорить о минизонах, т.к., например, основное состояние из пятой ямы сверхрешетки лежит гораздо выше, чем в других ямах (при 85.3 мВ; см. табл. 3), и возникает интуитивное желание отнести его к первой возбужденной минизоне. Напротив, энергия Ец — 51.9 мэВ возбужденного уровня, (квази)локализованного в самой широкой, второй яме, примерно равноудалена и от выше-, и от нижележащих.

Хотя ширины 4-ой и 1-ой ям данной сверхрешетки не совпадают, как в предыдущем примере, они все же очень близки (соответственно 13с и 14с), особенно на фоне сильного разброса в ширинах остальных ям. Энергии соответствующих основных состояний практически совпадают, так что на кривой {(Е) наблюдает-

ся только один пик при V = 17.3 мВ с «плечом» примерно при 18.5 мВ. Трудно сказать, в какой из ям локализованы соответствующие уровни; но судя по скоростям, с которыми они расходятся при наложении поля, и в соответствии с правилом непересечения, можно предположить, что уровень из первой ямы по-прежнему лежит выше, несмотря на то, что первая яма немного шире 4-ой.

Благодаря удалению основного уровня из 5-ой ямы в область возбужденных состояний, в группе основных уровней наблюдается только два квазипересечения при V рз 15 и 25 мВ (кроме только что рассмотренного взаимодействия уровней из 1-ой и 4-ой квантовых ям).

Что касается вольт-амперной характеристики рассматриваемой структуры, на ней наблюдаются один перегиб при 23 мВ и только два спада тока при V « 32 и 50 мВ. Они соответствуют «исчезновению» уровней из 4-ой, 2-ой и 3-ей ям, соответственно. Основной уровень из 5-ой ямы исходно лежит слишком высоко и при всех рассматриваемых напряжениях имеет положительную энергию. Интересно возникновение плато при 56-^62 мВ: оно связано с туннелированием через «остаточный» максимум ¿(Е) (описываемый формулами (3.21) и (3.22), см. предыдущие разделы). Подчеркнем еще раз, что при моделировании туннельного транспорта в отсутствие диссипации энергии такие «остаточные» пики прохождения могут заметно влиять на величину плотности тока, если площадь под отвечающими им исходными пиками t(E) достаточно велика (в частности, при достаточно больших значениях 7). В рассматриваемом случае максимум пропускания, оставшийся после «исчезновения» одного из самых интенсивных пиков t(E), соответствующего центральной квантовой яме, хорошо заметен, например, на кривой, отвечающей V = 60 мВ на рис. 3.6(а).

Интересно, что перегиб на вольт-амперной кривой в малых полях, в периодической структуре соответствующего минизонному транспорту, становится слабее с ростом беспорядка и исчезает при достаточно больших значениях Д.

5.2. Сверхрешетки с флуктуациями глубины квантовых ям. Рассмотрим сверхрешетку, в которой потенциал квантовых ям варьируется с максимальным отклонением 10 мэВ.3 Ее параметры приведены в табл. 2 (пункт б). Влияние

Рассматривая изменение потенциала слоев, обеспечивающееся изменением их состава, мы не будем учитывать изменение их ширины вследствие образования твердого раствора с другим значением параметра решетки. Более того, во всех расчетах мы условно считаем одинаковыми параметры решетки для квантовых ям и барьеров.

Рис. 3.7. а) Электронные спектры прохождения в электрическом поле и б) полевая зависимость энергий максимумов пропускания и вольт-амперная характеристика неупорядоченной сверхрешетки с флуктуациями глубины квантовых ям (Д = 10 мэВ).

этого типа беспорядка на энергии уровней очевидно: все состояния, локализованные в яме, смещаются вместе с ее дном вверх или вниз по энергии как единое целое, и это резко изменяет вид спектров прохождения и вольт-амперной кривой (см. рис. 3.7).

Так же как и в случае флуктуаций ширины ям, заметно нарушается симметрия максимумов ¿(Е) в пределах основной минизоны. Отнесение максимумов не представляет трудностей: самый низколежащий уровень, имеющий в отсутствие поля энергию 12.8 мэВ, (квази)локализован во 2-ой яме структуры, дно которой смещено вниз относительно нуля на 6 мэВ; следующий за ним (16.4 мэВ) — в 4-ой; состояние с энергией 22.9 мэВ относится к центральной яме, потенциал которой остался таким же, как в периодической системе; затем (26.8 мэВ) следует уровень из первой ямы (хотя ее дно поднято всего на 1 мэВ, разница энергий (Ец — Е31) увеличивается за счет взаимодействия этих уровней); и, наконец, состояние, локализованное в последней яме структуры, лежит при 31.5 мэВ (см. табл. 3). Это подтверждается и изменением спектров прохождения в поле. Как и раньше, уровни из основной минизоны претерпевают несколько взаимных

Рис. 3.8. а) Электронные спектры прохождения в электрическом поле и б) полевая зависимость энергий максимумов пропускания и вольт-амперная характеристика неупорядоченной сверхрешетки с флуктуациями ширины квантовых барьеров (Д = 1с).

квазипересечений, наиболее заметное из которых имеет место при V га 10 мВ и Е га 23 ч- 24 мэВ (оно отвечает взаимодействию уровней из двух крайних ям структуры). На вольт-амперной характеристике по-прежнему наблюдается 4 спада тока, один из которых, соответствующий «исчезновению» состояния из 5-ой квантовой ямы, представляет собой только перегиб кривой при напряжении примерно 35 мВ.

5.3. Сверхрешетки с флуктуациями ширины и высоты квантовых барьеров. Небольшое изменение параметров барьеров не должно существенно влиять на вид спектров прохождения и вольт-амперных кривых. Действительно, как видно из рис. 3.8 и 3.10, при малой степени беспорядка кривые, рассчитанные для неупорядоченных структур, практически не отличаются от характеристик периодической решетки. Такой беспорядок практически не изменяет энергии состояний в нулевом поле, хотя может заметно уменьшить амплитуду пиков прохождения. Однако внесение сильного беспорядка в потенциалы или ширины барьеров существенно сдвигает уровни в сверхрешетке по сравнению с их поло-

Рис. 3.9. а) Электронные спектры прохождения в электрическом поле и б) полевая зависимость энергий максимумов пропускания и вольт-амперная характеристика неупорядоченной сверхрешетки с флуктуациями ширины квантовых барьеров (Д = 2с).

жением в периодической структуре и приближает такие системы к структурам с флуктуациями ширины или глубины ям.

Параметры барьеров для изученных структур с беспорядком в ширинах и потенциалах квантовых барьеров приведены в табл. 2, а положение основных уровней в нулевом поле — в табл. 3 (пункты виг, соответственно).

Интересно сравнить сверхрешетки с флуктуациями ширины квантовых ям и барьеров при одинаковом отношении степени беспорядка к средней ширине слоя (ср. рис. 3.5 и 3.8 для отношения Д/й = 33%, а также рис. 3.6 и 3.9 для отношения Д/й = 67%). Хотя уже в первой из них, имеющей Д = 1с, заметна асимметрия спектра прохождения в области основной минизоны, исходное положение энергетических уровней и их поведение в электрическом поле больше напоминает периодическую структуру, чем сверхрешетку с беспорядком в ширинах ям. Хорошо заметно только одно квазипересечение уровней в малых полях (хотя на самом деле их больше), а вольт-амперная характеристика практически не отличается от характеристики упорядоченной сверхрешетки (см. рис. 3.2). Что касается структуры с сильным беспорядком в ширинах барьеров (67%), то

Рис. 3.10. а) Электронные спектры прохождения в электрическом поле и б) полевая зависимость энергий максимумов пропускания и вольт-амперная характеристика неупорядоченной сверхрешетки с флуктуациями высоты квантовых барьеров (А = 10 мэВ).

по движению состояний в электрическом поле она сравнима, скорее, со сверхрешеткой с флуктуациями ширины ям средней (33%), а не высокой (67%) степени.

На рис. 3.10 и 3.7 представлены рассчитанные зависимости t(E, V) и /(V) для сверхрешеток с флуктуациями потенциала барьеров и ям, соответственно, при одинаковой степени беспорядка Д = 10 мэВ (А/и = 10%). К ним относится все сказанное ранее: флуктуации высоты барьеров мало влияют на характеристики системы, и такая сверхрешетка наиболее близка по своим транспортным свойствам к периодической. Очевидно, с усилением беспорядка в ней должны появиться черты уже рассмотренных неупорядоченных структур, но необходимое для этого значение Д довольно велико.

Б.4. Влияние степени беспорядка на свойства сверхрешеток. При достаточно больших степенях беспорядка любого типа возможно принципиальное изменение свойств сверхрешеток, и, в частности, появление квазипересечений уровней из одной минизоны.

Е, теУ У, т У

Рис. 3.11. Влияние степени беспорядка на а) электронные спектры прохождения в отсутствие электрического поля и б) вольт-амперные характеристики неупорядоченных сверхрешеток с флуктуациями ширины квантовых ям.

Е, теУ У, тУ

Рис. 3.12. Влияние степени беспорядка на а) электронные спектры прохождения в отсутствие электрического поля и б) вольт-амперные характеристики неупорядоченных сверхрешеток с флуктуациями ширины квантовых барьеров.

При внесении беспорядка заданной степени в параметры слоев структуры изменения ее вольт-амперной характеристики по сравнению с периодической нарастают в ряду

высота барьеров — ширина барьеров — ширина ям — глубина ям.

В то же время изменение спектров прохождения в электрическом поле является постепенным, так что свойства систем с низкими степенями беспорядка мало

отличаются от характеристик периодической сверхрешетки. Это особенно хорошо видно на примере сверхрешеток с флуктуациями ширины ям (см. рис. 3.11); к сожалению, ширина барьеров в нашем примере слишком мала, так что даже самый слабый возможный беспорядок в ширинах барьеров означает изменение значений Ъ на треть (см. рис. 3.12).

Отметим, что наши модельные расчеты хорошо согласуются с реально наблюдаемыми изменениями вольт-амперных характеристик прозрачных структур, таких как двухбарьерные диоды, рассмотренные в статье [79]. Изменение энергий состояний в электрическом поле, найденное с помощью спектроскопии горячих электронов в работе [113] для структур с 4 и 5 квантовыми ямами, также прекрасно согласуется с нашими результатами.

Хотя эти результаты относятся к конкретным реализациям беспорядка, проведенные вычисления показывают, что наблюдаемые закономерности справедливы и для других реализаций.

На основании всего вышесказанного можно сделать вывод, что в системах с туннельным характером транспорта положение участков с отрицательной дифференциальной проводимостью можно варьировать, изменяя параметры структуры, влияющие на исходное положение уровней в отсутствие поля и на скорость их движения по энергии под действием электрического поля. Таким образом, мы получаем возможность контролировать свойства полупроводниковой сверхрешетки, внося в нее определенный беспорядок.

Глава 4

1. Модель

В данной главе рассматриваются сверхрешетки, в которых вероятность рассеяния электронов намного превышает вероятность туннелирования, так что выполняется неравенство (2.2) и имеет место прыжковый электронный транспорт.

Относительно малая вероятность туннелирования носителей заряда сквозь структуру обусловлена низкой прозрачностью барьеров. Как уже было отмечено, в малопрозрачной структуре даже небольшое электрическое поле или слабый беспорядок локализуют состояния в квантовых ямах, поэтому в качестве базисных волновых функций удобно использовать электронные состояния в ямах. Будем считать все электроны находящимися только на уровнях размерного квантования в ямах сверхрешетки и описывать вертикальный транспорт как переходы носителей заряда между уровнями из различных квантовых ям структуры. Хотя в работе [59] было показано, что при достаточно низких температурах могут быть существенны переходы между удаленными слоями структуры, здесь мы будем рассматривать только переходы между соседними квантовыми ямами в связи с низкой прозрачностью барьеров в изучаемых нами системах.

Как и прежде, будем рассматривать структуры с монополярной — для определенности, электронной — проводимостью. Пусть основным источником носителей являются донорные примеси, расположенные только в слоях, отвечающих квантовым ямам. В отсутствие внешнего электрического поля и без перераспределения электронов между ямами, т.е. в случае нейтральных ям, в каждой из которых концентрация электронов равна концентрации доноров (п,- = и?), будем описывать потенциал сверхрешетки последовательностью прямоугольных квантовых барьеров и ям, как схематически показано на рис. 4.1(а). В результате перераспределения электронов между ямами потенциалы всех слоев изменяются. Рассмотрим систему относительно тонких ям и широких барьеров, так чтобы можно было пренебречь изменением потенциала в пределах каждой квантовой

Рис. 4.1. Потенциал сверхрешетки а) в отсутствие и б) при наложении электрического поля.

ямы и заменить истинный потенциал его средним значением в яме. Это эквивалентно предположению, что дно ямы по-прежнему остается горизонтальным.

В нашей модели слои сверхрешетки, соответствующие потенциальным барьерам, всегда остаются электронейтральными. Кроме того, будем считать, что на границе слоев сверхрешетки отсутствуют поверхностные заряды. Изменение потенциала квантовых барьеров вызвано и внешним электрическим полем, и перераспределением заряда между ямами структуры. В результате барьеры перестают быть прямоугольными, и потенциал внутри отвечающего барьеру слоя линейно зависит от координаты х.

Перераспределение электронов происходит не только внутри сверхрешетки, но и между ней и подводящими контактами. Поэтому дополним изучаемую систему контактами, которые будем описывать как самую левую и самую правую квантовые ямы. За их ширину можно принять, например, ширину обогащенного и обедненного электронами слоев проводника, граничащих со сверхрешеткой. Ограничим эти слои, мысленно отделив катод и анод от проводника слева и справа от сверхрешетки, соответственно. Таким образом, наша задача сводится к рассмотрению системы «сверхрешетка+контакты».

Будем называть катод и анод первой и последней ямами структуры, соответственно. Для определенности будем отсчитывать энергию от дна зоны проводимости в катоде, т.е. считать, что первая яма в любом поле имеет нулевой потенциал щ = 0. Потенциалы электрического поля в проводниках слева и справа от сверхрешетки постоянны; электрическое поле приложено только к части структуры, расположенной между первой и последней ямами. Потенциал последней, Л/-ой ямы мдг определяет напряжение на сверхрешетке:

Мы будем рассматривать структуры, содержащие как минимум две внутренние квантовые ямы, т.е. полное число ям с учетом контактов N ^ 4. Потенциальные энергии электронов в ямах и барьерах обозначим, соответственно через и? и в отсутствие поля и перераспределения носителей заряда в системе и через щ и Ыг(х) после перераспределения носителей.

В данной главе сначала описаны соотношения, возникающие в рамках нашей модели между основными интересующими нас величинами, такими как потенциалы слоев сверхрешетки, концентрации электронов в квантовых ямах, энергии квазилокализованных состояний в ямах и индукция электрического поля. Затем мы опишем процесс электропереноса в терминах темпов перехода частиц из одной ямы в другую, считая переходы для разных пар ям некоррелированными. Микроскопическая модель прыжкового перехода будет описана в разделе 5. Таким образом, вольт-амперная характеристика выражается через микроскопические параметры, характеризующие переходы носителей между слоями сверхрешетки.

2.1. Энергетические уровни и потенциалы квантовых ям. В результате перераспределения электронов между слоями структуры как при наложении электрического поля, так и в его отсутствие, изменяются потенциалы этих слоев, т.е. происходит смещение дна квантовых ям по энергии. В связи с этим изменяются энергии электронных состояний. В предыдущей главе было показано, что в не очень сильных полях положение уровней в яме относительно ее дна практически не меняется, т.е. можно считать, что они движутся вместе с дном ямы как единое целое. Это тем более выполняется в отсутствие взаимодействия между уровнями, что обеспечивается низкой прозрачностью квантовых барьеров

Щ — идг

2. Электростатика сверхрешетки

рассматриваемой структуры. Тогда

где Е? — энергия л-го уровня в г-ой яме структуры в отсутствие перераспределения электронов, а Е(/Д: — та же величина после изменения потенциала ямы в результате перераспределения и под действием поля. Индекс а нумерует состояния в яме и может принимать значения 1, 2,. ; основному состоянию по-прежнему будем приписывать номер а = 1.

2.2. Электрическое поле в барьерах. Как обсуждалось в разделе 1, потенциал ¿-ого барьера иг- линейно зависит от координаты х, что обусловлено только полем, создаваемым электронами в соседних квантовых ямах. Можно считать, что высота левого (правого) края барьера относительно соседней с ним слева (справа) ямы сохраняется.

Рассмотрим 1-ый барьер, находящийся между ?-ой и (г + 1)-ой квантовыми ямами. Пусть его левый и правый края имеют координаты xJ и х*, соответственно. По аналогии с уравнением (4.2), потенциалы краев барьера равны:

Производная потенциала барьера по координате, постоянная для каждого из барьеров, определяется индукцией электрического поля О.1 Из определений индукции, напряженности и потенциала электрического поля получаем:

где <р(х) — электростатический потенциал, и(х) — потенциальная энергия электронов в барьере, £ — относительная диэлектрическая проницаемость материала слоев квантовых барьеров, а через е, как и прежде, обозначен модуль заряда электрона. Поэтому индукция электрического поля в /-ом барьере сверхрешетки равна

и, = (4.4)

*Мы рассматриваем только индукцию поля вдоль оси х. Ее проекции, параллельные плоскости слоев г/2, равны нулю по соображениям симметрии, если площадь поперечного сечения сверхрешетки достаточно велика, так что поверхностные явления можно не учитывать.

Как следует из равенства (4.3) и линейности потенциала в барьере,

(¡Щх) ^ - Ц(*Г) СЦ? - м?+1 + Ц.-+1) - (Ц? - + «,•)

йх Ь,' Ь;

Следовательно, согласно (4.4),

2.3. Потенциалы квантовых ям и концентрации электронов. Воспользуемся уравнением Пуассона сНу О = 47гр, где р — объемная плотность заряда. Если и л:, — точки внутри двух ближайших барьеров, окружающих г-ю квантовую яму, то, интегрируя уравнение Пуассона в пределах от хг1 до х,, легко выразить разность индукций в барьерах через плотность заряда в разделяющей их яме, т.к. барьеры электронейтральны:

где Б® и — двумерные концентрации доноров и электронов в ¿-ой яме, соответственно. Следовательно, перераспределение электронов между ямами можно описать с помощью (4.5) как

г - ufi - + (Mi+1 - щ - «9+1 + м9)

где введено обозначение Л = 4тсе2/е. Таким образом, зная концентрацию электронов и потенциалы предыдущих ям, можно найти потенциал (¿ + 1)-ой ямы, и наоборот:

Эти формулы получены при г = 2,., N — 1.

Аналогичные соотношения для контактов можно выписать, учитывая, что слева от первой ямы, т.е. катода, и справа от последней ямы, т.е. анода, электрическое поле отсутствует, а отсчет энергии ведется от дна зоны проводимости в катоде (иг = м® = 1/^ = 0):

4 тег Л Ь\

^ = = л-^---(411)

иг = и\-ХЬх(Б1-3\)1 (4.12)

= ("л/ + - йдг). (4.13)

Как и следовало ожидать, соотношения (4.7), (4.10) и (4.11) соответствуют тому, что изучаемая система «сверхрешетка+контакты» остается электронейтральной. Для удобства записи введем величины а и оо, равные, соответственно, суммам двумерных концентраций всех электронов и доноров в системе. Электронейтральность означает, что

^Е^Ё5?^- (4.14)

2.4. Некоторые полезные соотношения. Рассмотрим некоторые полезные следствия уравнений (4.5-4.8).

Суммируя соотношения (4.6) с учетом Оо = О]^ = 0, для всех 2 = 1,., N — 1 получаем:

;=1 /=1 /=/+1

то есть индукция электрического поля в г-ом барьере определяется суммарным

зарядом всех предшествующих ему либо всех следующих за ним квантовых ям.

Последнее равенство справедливо в силу электронейтральности системы.

Выразим разность потенциалов между двумя соседними ямами из равенства (4.5):

и,.+1 - И,. = (и?+1 и0) + ^д. (4.16)

Суммируя такие соотношения, получаем

Поскольку и® = и\ = 0, заменяя индекс (г +1) на г, получим:

Таким образом, потенциал каждой ямы выражается через ширины всех предшествующих ей барьеров и значения индукции поля в них.

В соответствии с (4.15), разность потенциалов между соседними квантовыми ямами можно выразить через концентрации электронов во всех предшествующих ямах:

Аналогичным образом из формулы (4.17) находим потенциал /-ой квантовой ямы через заряды остальных ям

щ = и? - Л £ Ьк £ = М? - Л 2 £ Ьк.

;=1 )=\ к=]

Из этого равенства для последней ямы (г = Ы), согласно (4.1), находим напряжение на сверхрешетке:

\ N-1 N-1 ;=1 к=)

так как и^ = 0. Между прочим, отсюда видно, что V сильнее зависит от ^ при малых г, чем при больших. Это значит, что напряжение на сверхрешетке более чувствительно к изменениям электронных концентраций в начальных квантовых ямах и, в частности, в катоде, чем в конечных ямах структуры и, в частности, в аноде.

2.5. Электростатика сверхрешетки в терминах векторов и матриц. Для облегчения записи формул (4.15)-(4.20) введем следующие векторы в М-мерном пространстве:

Напомним, что потенциалы контактов и\ поддиагональную матрицу С

Ъ\ + Ъг Ъг

= и% Кроме того, введем

Ь1 +. + Ьк-2 + + 2 о О

\ Ь3 +. + 6дг 1 Ь2 +. + ! • • ■ 1 О /

Эта матрица составлена только из ширин квантовых барьеров, т.е. является постоянной характеристикой изучаемой структуры. Тогда можно переписать формулы (4.19) и (4.20) в виде

где вектор 1 равен транспонированной последней строке матрицы С, т.е. его компоненты равны

Е Ьи I < К

Отметим, что ранг системы уравнений, заданной формулой (4.22), меньше размерности пространства: он равен рангу матрицы С, т.е. N — 1.

3. Кинетические уравнения для тока через сверхрешетку

3.1. Плотность электрического тока. Пусть через сверхрешетку течет фиксированный ток. Его величина не зависит от того, переход через какой именно квантовый барьер структуры, т.е. между какими именно двумя соседними ямами, мы рассматриваем. Выразим ток между ¿-ой и (г + 1)-ой квантовыми ямами через их параметры. Плотность потока электронов из ¿-ой ямы в следующую за ней пропорциональна электронной концентрации в исходной яме и темпу перехода электрона из ¿-ой в (¿ + 1)-ю яму, который мы обозначим как Р2. Аналогично, плотность потока в обратном направлении пропорциональна концентрации электронов в (г + 1)-ой яме и темпу перехода К, из (*+ 1)-ой в ¿-ю яму структуры. Введенные здесь величины Р; и Я, складываются из вероятностей прыжковых

переходов между всевозможными парами уровней в рассматриваемых ямах в направлениях слева направо и справа налево, соответственно. Индекс г соответствует первой из двух рассматриваемых соседних ям и может принимать значения от 1 до N — 1. Очевидно, Рг и К, зависят от энергий уровней в ямах, т.е. в конечном счете от потенциалов исходной и конечной квантовых ям. Их значения будут найдены далее, в разделе 5. Итак, для плотности тока I имеем:

I = Р^и^щ+М - К/(м1-,м1-+1)5/+1.

Это соотношение можно назвать кинетическим уравнением. Оно дает связь между двумерными концентрациями электронов в соседних ямах:

Соотношения (4.26) имеют место для всех пар ям, т.е. для г = 1,. 1.

3.2. Матричная форма кинетического уравнения. Формула (4.25) описывает N - 1 кинетическое уравнение. Дополнив эту систему условием электронейтральности (4.14), запишем ее как действие матрицы Т на ^/-мерный вектор 5, определенный в соответствии с (4.21):

Рц- 2 -Ям-2 о 1 1 1

Пусть вектор £г имеет все нулевые координаты, кроме ¿-ой, равной единице, а у вектора е, все координаты вплоть до (г — 1)-ой равны единице, а /-ая и все последующие — нулю. Можно также представить вектор ег- как сумму

что будет использовано в дальнейшем.

Тогда система, состоящая из ДГ — 1 кинетического уравнения и условия электронейтральности, может быть записана в виде:

Тв = 1еы + сто^. (4.28)

Изучим свойства этой задачи2.

3.3. Обратимость матрицы Т в кинетическом уравнении. Докажем обратимость матрицы Т от противного. Предположим, что (1е1;Т = 0. Это значит, что существует такой ненулевой вектор Ъ, который под действием матрицы Т обращается в нуль:

ВД - = 0 / = 1,., N - 1; (4.29)

В силу (4.29) и положительности темпов перехода Рг- и все компоненты вектора Ъ имеют одинаковый знак. Но тогда их сумма не может равняться нулю, что противоречит (4.30), что и требовалось доказать.

Таким образом, решение уравнения (4.28) существует всегда:

Б = ГТ-1ем + соТ-1^. (4.31)

Естественно, физически осмысленными являются лишь такие векторы 5, все компоненты которых положительны, однако это не гарантировано для произвольного решения, найденного по формуле (4.31), а является дополнительным ограничением.

В данной записи элементы последней строки матрицы Т, в отличие от всех остальных, являются безразмерными. Хотя это никоим образом не влияет на все выписанные здесь и далее выражения, более корректным было бы умножить их на некий коэффициент а, имеющий, как и темпы перехода Р, и Я,-, размерность тока, например, а = 1 А. Тогда уравнение (4.28) приняло бы вид

ТБ = 1ен + ясо^м-

Будем иметь это в виду, пользуясь, однако, прежней формой записи во избежание излишней сложности.

3.4. Обращение матрицы Т. Представим матрицу Т, входящую в кинетическое уравнение (4.28), в блочном виде. Для этого выделим в ней блок размером (ЛГ — 1) х (ЛГ — 1), а последние строку и столбец запишем отдельно:

Здесь через е и f обозначены, соответственно, единичный вектор в (ЛГ — 1)-мерном пространстве и такой (ЛГ — 1)-мерный вектор, у которого отлична от нуля только последняя компонента, равная единице:

Наконец, представив вектор Б как (ЛГ — 1)-мерный вектор э, дополненный координатой Бы в последней строке, перепишем формулу (4.28): / \ / \ / \

\ е+ 1 / / V )

Это эквивалентно системе уравнений:

(е,в) + 5к = сг0.

Для нахождения двумерных концентраций Б; из кинетического уравнения обратим матрицу Т, воспользовавшись формулой Фробениуса (см. [114], стр. 60) и учитывая, что двухдиагональная матрица £ с положительными диагональными

элементами Р,- обратима, получаем:

[£-1 +1-1(дДг1£)Н-1(е+)1-1] -£-1(-Лдг1

Т"1 =

[Н11 - К^Г"1 (£ <8> е)?-1]

Здесь введено обозначение

Н = 1 - (е, Г1 (-Клг-^)) = 1 + (е, Г1^.

В данном случае Н является скалярной величиной. Выражение (4.31) для вектора электронных концентраций в квантовых ямах рассматриваемой структуры принимает форму:

Итак, двумерные концентрации электронов в квантовых ямах структуры выражаются через плотность электрического тока I, сумму электронных концентраций со, постоянную из-за электронейтральности системы, и темпы переходов между ямами Р,- и К/, входящими в компоненты матрицы и определяющими величину Н.

3.5. Матричные элементы Найдем явные выражения для матричных элементов Блок £ матрицы Т является двухдиагональной матрицей ранга N — 1. Так как все вероятности Р, отличны от нуля, можно ввести обозначение = К{/Р{ для отношения темпов обратного и прямого переходов между соседними ямами. Тогда можно представить матрицу £ как произведение диагональной матрицы Р с элементами Р,- на диагонали и двухдиагональной матрицы А размером (Ы - 1) х (Ы - 1):

Очевидно, что = А"1?-1, причем задание Р"1 тривиально, а для матрицы, обратной А, известно явное выражение (см. [115], стр. 194), которое также можно получить из рекурсии, последовательно используя уже упоминавшуюся выше формулу Фробениуса [114]:

71. 7!. 7^2

72 • ■ • 71\/-з 72 • ■ • 7м-2

Тогда получаем:

>\-1р-1 - ч Ач1) "Р.

/-1 /-1 ' п=1 к=п

Здесь подразумевается, что сумма по п равна нулю для случая ; = 1, когда нижний предел суммирования оказывается больше верхнего. Чтобы подчеркнуть это, и был введен множитель (1 — <5/д). Зная значения матричных элементов найдем векторы Г"1! и £1е, а также скалярные произведения (еД-1^ и (е,£^1е):

N-1 1 / N-2 N-2 \

г1*)* = Е ^ - кг; + Е ^ П 7к ь

/=1 ¿N-1 \ п=1 к=п )

п-1 ^ /'-1

7=1+1 ; к[

(е,Г1()= 1+ЕГЫ'

¿,/=1 ^N-1 \ /=1 к={ )

Поэтому

N-1 N-1 ^ N-2 N-1 ^

(еД1е) = Е = Е р + Е Е пГЬ

¿,7=1 1=1 ! г=1 7=г+1 } Ь=г

N-2 N-2 \ А/-Ш-1

Н = 1 + 7л/-1 ( 1 + Е ГЫ =1 + Е ГТ 7А/

!=1 Ь=г / 1=1 /с=г

и окончательные выражения для концентраций электронов в квантовых ямах изучаемой структуры имеют вид:

у N-1 ^ /-1 N-1

и + Е рПУк + ^П-Ук, / = 1,., N - 2,

1 г /=/+1 1 /' к=г кЫ

< = --Ь Б^ум-х, (4.37)

/ N-1 Т N-2 N-1 Т /-1 \ / / 1ЛГ—1 \

К-Е^-Е Е ¿П* / 1+Е Птф

\ п=11п я=1 /=п+1 1 к=п // V и=1 Ып )

Таким образом, мы разрешили задачу (4.31) и перешли от рекурсивных формул (4.26) к явным выражениям для электронных концентраций Б,-. Хотя их использование затруднительно из-за громоздкости, а входящие в них величины 7; = Кг/Р,- зависят от потенциалов квантовых ям щ и тем самым обеспечивают наличие обратной связи, формулы (4.37) полезны в некоторых простейших случаях, когда при суммировании можно пренебречь какими-либо малыми слагаемыми, как обсуждается в разделе 8.

4. Свойства системы уравнений

Итак, мы получили выше систему уравнений, в терминах векторов и матриц описываемых формулами (4.22) — N — 1 уравнение, и (4.31) — ЛГ уравнений. К неизвестным относятся концентрации электронов в квантовых ямах, т.е. N компонент вектора 8, и потенциалы всех ям, кроме первой, дно которой всегда находится при нулевой энергии, т.е. ЛГ — 1 компонента вектора и. Таким образом, общее число неизвестных равно 2Ы — 1 и совпадает с числом уравнений. Перепишем еще раз имеющиеся уравнения, вместе с выражением для напряжения на сверхрешетке (4.23):

'"1=0,

[ В = П^еы + аоТ-Чм

Исследуем аналитически основные свойства этой системы и выведем их важнейшие следствия, касающиеся вида вольт-амперной характеристики. При этом постараемся не вдаваться в детали пока не изученной нами зависимости матрицы Т и обратной ей от потенциалов квантовых ям, чтобы сделать выводы как можно более общими и применимыми для структур с разными механизмами прыжкового перехода между ямами.

4.1. Свойства вектора Т-1^. В выражении (4.31) участвуют векторы вида Ъ = Т"1^- (вектор I1, был определен в разделе 3.2). Найдем знаки компонент вектора X. Из определения вектора ^ следует, что

„ ВД+1+1 ( 7

ъ-, — -^--ИЛИ =

«+1 = —»— > (4.39)

Согласно первым двум уравнениям (4.39), если последняя компонента вектора Ъ положительна или равна нулю ^ 0), то и все остальные его компоненты положительны. Но тогда их сумма больше нуля, что противоречит третьему из уравнений (4.39). Поэтому последняя компонента обязательно должна быть отрицательной. Аналогично, первая компонента не может быть отрицательной, так как тогда все Ъ^ < 0, и мы опять приходим к противоречию.

Но все компоненты с ; = г + 1,., N должны иметь один и тот же знак, т.е. все они отрицательны, как и Ъц. Аналогично, все компоненты с \ = 1,.,г положительны, как и Если бы они все одновременно равнялись нулю, мы опять вступили бы в противоречие с последним уравнением. Смена знака может происходить только при переходе от г-ой компоненты вектора к следующей за ней. При этом, как видно из второго соотношения (4.39) и следует из всего сказанного, 0 > > -1 и 1 > > 0.

Таким образом, все компоненты вектора Ъ, следующие после г-ой, отрицательны, а она сама и предшествующие ей — положительны.

Рассмотрим теперь скалярное произведение [1,2). Как следует из определения (4.24) вектора 1, для всех его компонент выполняется неравенство 1\ > ¿2 > • ■ ■ > ¿N-1 > = 0. Поскольку, как уже было доказано,., 2,- >0 и. < 0, а сумма всех компонент Ъ^ равна нулю, получаем:

(1, Z) = £ /yZy = £ //Zy + E Í;Z? > min lj £ Z; + шах l¡ £ Z;- =

7=1 ;=1 ;=i+l /=1 ¡>l j=i+1

/=1 j=i+l 7=1 7=1 7=1

Но оба сомножителя в этом произведении положительны. Следовательно, искомое скалярное произведение строго больше нуля:

Zj = (l/T-1f¡) > 0. (4.40)

4.2. Дифференциальное сопротивление сверхрешетки. Напряжение на сверхрешетке, согласно (4.23) и (4.31), равно

Дифференцируя обе части этого равенства по плотности тока, найдем дифференциальное сопротивление г (точнее, удельное дифференциальное сопротивление, умноженное на длину сверхрешетки):

dV А л i. Л/,, dJ, Асг0/1 tíf-1, N „ Jft,

r = W = 7(1Д «"> + T(1' dTeN) + "Г«1' 3I (4A2)

Если в каком-то интервале элементы матрицы Т-1 достаточно слабо зависят от потенциалов квантовых ям щ, т.е. и от плотности тока I, то ненулевым оказывается только первое слагаемое го:

ro = ^(l/f"1eN). (4.43)

Тогда напряжение линейно по току, и дифференциальное сопротивление г « tq. Такая ситуация соответствует выполнению закона Ома.

Согласно (4.27), входящий в выражение (4.43) вектор ем можно представить как сумму векторов í¡, поэтому из неравенства (4.40) следует, что величина го строго положительна, независимо от точного вида зависимостей матричных элементов P¡ и R{ от потенциалов ям.

Таким образом, все нелинейные эффекты, и в частности, наиболее интересные с точки зрения применения полупроводниковых сверхрешеток участки отрицательного дифференциального сопротивления на кривых У(1) могут иметь место лишь из-за существенной зависимости матричных элементов Т-1 от потенциалов ям сверхрешетки.

4.3. Максимальные значения плотности тока и напряжения. Формулы (4.31) обеспечивают существование вектора В с компонентами, определяемыми величинами Р,- и R,, которые, в свою очередь, зависят от потенциалов квантовых ям щ. Однако рассчитанные таким образом концентрации электронов могут оказаться отрицательными. Для того, чтобы все S,- были положительны, достаточно выполнения неравенства S^ > 0: тогда из соотношения (4.26) следует, что и концентрации во всех предшествующих квантовых ямах также строго положительны. Это же видно из явного выражения (4.37), показывающего также, что при фиксированных значениях Р,- и Rj в условиях нашей задачи, когда (Jo = const, значения I ограничены. Грубую оценку максимальной плотности тока можно получить также из соотношения (4.25) и неравенства 0 < Sx < <г0, верного для любого i:

I = PjSi — R,S,+1 P,S, sC <т0 min P(.

Из ограниченности концентраций и соотношения (4.23) следует, что максимальное напряжение на сверхрешетке отвечает значению Vmax = У|5м=0. Действительно, по аналогии с плоским конденсатором можно предположить, что максимально возможное напряжение на сверхрешетке должно соответствовать наибольшей разности зарядов катода и анода (которые играют роль обкладок конденсатора), т.е. ситуации, когда из последней ямы «уходят» все электроны, так что ее заряд больше невозможно увеличить. Отметим, что при иной постановке задачи, не ограничивающей ширину левого и правого контактов сверхрешетки и позволяющей увеличивать до бесконечности значение <70, ни напряжение на сверхрешетке, ни протекающий через нее ток не были бы ограничены.

Найдем плотность тока, достигаемую при V = Vmax- При нулевой концентрации S/v систему уравнений (4.32) можно переписать в виде:

| ts = I(Vmax)e,

\ (е, s) = (т0.

Выразим из первого равенства вектор концентраций s и, подставив его во второе соотношение, найдем ток, достигаемый в отсутствие электронов в последней яме:

s = I{Vm ах^-Ч

т.е. I(Vmax)

(еД^е)"

То же видно из (4.37). Напомним, что матричные элементы зависят от потенциалов ям, и поэтому данная формула годится только для оценки, когда приближенно известны предельные значения зависимостей Р/(7) и при —> 0.

В общем случае вольт-амперная характеристика сверхрешетки немонотонна, и, в частности, при V < Утах через нее может протекать ток, превышающий 1(Утах). Интересно изучить природу локальных максимумов и минимумов вольт-амперной кривой в нашей задаче и найти соответствующие им значения V и I.

4.4. Электрическое поле в квантовых барьерах. Как уже обсуждалось, причина нелинейности вольт-амперной характеристики заключается в том, что элементы матрицы Т (и, конечно, обратной ей) зависят от энергий дна квантовых ям сверхрешетки. На самом деле каждая из величин Рг- и К; зависит только от разности потенциалов между соответствующими ямами Дщ = щ — щ+\ и таких фиксированных характеристик сверхрешетки, как, например, ширины слоев или температура. Анализ экстремумов вольт-амперной кривой имеет смысл начать именно с этой зависимости.

Разность потенциалов между соседними ямами задает электрическое поле в разделяющем их квантовом барьере. Введем обозначение

то есть величина Рг- связана с индукцией О,- соотношением О,- = — Р,-)/е. Из уравнения Пуассона (4.18) и условия электронейтральности следует, что

5 = +А Е щ = - Л Е (4-45>

Пусть на каком-то участке вольт-амперной характеристики разности потенциалов между всеми парами соседних квантовых ям меняются слабо по сравнению с одной выделенной. Тогда из (4.45) видно, что рост суммарной электронной концентрации в первых г ямах и, соответственно, падение суммы с / = г +1,., N, приводят к росту Рг-. Одновременно растет и напряжение на всей структуре. Это отвечает ситуации, в которой изменение напряжения на сверхрешетке определяется только изменением разности потенциалов между г-ой и (г + 1)-ой ямами. Здесь можно провести аналогию с системой последовательных сопротивлений, в которой ток контролируется параметрами проводника с наименьшей проводимо-

стью. Кроме того, рост Р, влечет за собой рост 5, и падение 5г+1.'

в силу отмеченного выше поведения сумм концентраций электронов в квантовых ямах структуры.

Найдем пределы, в которых могут изменяться величины Рг. Так как все концентрации положительны, то выполняется неравенство:

\;=1 7=1 ) ;=1 /=1

Аналогичным образом находится оценка сверху. Таким образом, значения Р; меняются в пределах

рО-Лст-о^^ ^0 + Л<т0/ (4.46)

поэтому имеет смысл изучать зависимости Р;(Р;) и Яг(Рг) только в этих интервалах. Приведенные оценки физически очевидны, но полезны для эффективной организации расчетов.

4.5. Экстремумы вольт-амперной характеристики. Как видно из равенства (4.41), зависимость У(1) может быть гладкой лишь в областях, где все матричные элементы Т являются гладкими функциями Рг-, определенного согласно (4.44). При этом может оказаться, что /&\ = оо (или, что то же самое, А1/йV = 0). Появление таких локальных экстремумов можно описать аналитически. Рассмотрим область изменения параметров, где все Р,(Рг) и ^г(Рг) — гладкие функции без изломов. Обозначим Р/(Р2) = С учетом (4.45) най-

дем производную Рг по концентрации электронов в ;-ой квантовой яме:

Э57 \-ЛР/(Рг), ;>/.

Производная К, по записывается аналогично. Продифференцируем уравнения (4.25) по плотности тока I:

¿(вд адад =

¿1 ! ЭБу г' г+1 Эйу "

= рМ-лр!(т е dS<

В совокупности с условием электронейтральности получаем систему уравнений, которую можно записать в матричной форме:

dSi/dl dS2/dI

dSw-i/dl ^ dS^/dl у

где матрица G является разностью матрицы Т и наддиагональной матрицы с элементами вида A(P-Sj — R-S!+i), то есть она определена по формуле:

•Ri - A (P/S; - ä;s,-+1) i=j-l, (4.48)

•A (P/S,- - ЩВ{+1), i<j- 1, 0, i > j, i Ф N.

Представим ее в блочном виде

/ \ G = ё q

по аналогии с матрицей Т в разделе 3.4. В векторе д§ выделим (N — 1)-мерный вектор Эв и последнюю компоненту dSТогда уравнение (4.47) представляет собой систему в (N - 1)-мерном пространстве:

g3s + dSN q = е, (e,ds) +dSN = 0.

Заметим, что матрица § имеет нулевую поддиагональную часть, а ее диагональные элементы равны Рг- и строго положительны. Следовательно, ее определитель не равен нулю, и существует обратная к ней матрица Тогда из первого уравнения следует, что

Эв = |-1е - ЭБы!-^. Подставив этот вектор во второе уравнение, получаем:

(е,|1е) - Э5к(е,Г1ч) + = (е^'М 1 - (е,|"Ч)] = О-Это уравнение неразрешимо относительно неизвестной величины дБ^ тогда, и

только тогда, когда

(е,Г1Ч) = 1/ (4.49)

поскольку скалярное произведение (е,§1е) всегда отлично от нуля. Во всех остальных случаях решение существует, т.е. существуют производные по току концентраций Б,- во всех ямах, а следовательно, и производная напряжения по току, которую можно получить дифференцированием уравнения (4.23):

Итак, производная йУ/И не существует, если какая-то из функций Р,-(Рг) и имеет излом (в этом случае зависимость 1(У) тоже имеет излом) или выполняется равенство (4.49). В последнем случае значения йБ^/сИ неограниченно возрастают по модулю, то есть производная АУ/ЛI стремится к бесконечности, и й1/АУ —» 0. Тогда на вольт-амперной характеристике наблюдается плавный минимум или максимум. Причины такого поведения качественно объясняются в разделе 4.7.

Из формулы (4.50) очевидно также условие, при котором йУ/й1 = Х/е (1,Э8) = 0, то есть касательная к вольт-амперной кривой оказывается вертикальной.

4.6. Зависимости тока и напряжения от Рг. Продифференцируем уравнение (4.28) по одной из величин Рг-, считая все остальные Р;- и Я] постоянными:

Щ Щ = Щеы'

Заметим, что, в соответствие с формулой Фробениуса, здесь записано условие необратимости матрицы ё.

Как было показано ранее, матрица, обратная Т, существует всегда, т.е.

Э5 ЭI ВТ \

Щ = т {щем-щу-

Но в матрице ЭТ/ЭР; только диагональный член из /-ой строки равен единице, в то время как все остальные матричные элементы нулевые, т.е.

Тогда производная вектора Б по параметру Р; равна:

ц = - ^^ = - (4-51)

Из равенства (4.23) следует, что ЭУ/ЭРг- = Х/е (1,Э§/дРг). Подставив сюда выражение (4.51), получим:

ЭУ Л Э1 1. Л ^.„ л 1,.

Щ = 7Щ(1'Т

т.е. с учетом равенств (4.40) и (4.43) производная напряжения равна:

ЭУ Ы \SiZt

Если величины Р,- и Ку (для всех ; / г) и постоянны или мало меняются по сравнению с Рг-, то отсюда можно выразить производную тока по напряжению (ср. с теоремой о неявной функции), так как в этом случае производные по Р, можно рассматривать как полные:

ЛЯ.-г,- /¿У4

то есть

\SiZifdV ¿Р{ 1

Напомним, что значения гг- и го всегда положительны для г = — 1. В

частности, отсюда следует, что в точках экстремума, где й\/йУ = 0, производная

(IV/йР[ должна быть строго отрицательна:

— =--— < 0.

(¿Рг- е

С другой стороны, из выражения (4.52) следует, что в точках, где йЦйУ —► оо, выполнено условие йУ/йР{ = 0, и тогда

— = —— > 0, ¿Р,- его

Рис. 4.2. Пример зависимостей а) 1(Р,), б) У(Р,-) и в) Г(У).

то есть производная тока по параметру Р; должна быть строго положительна. Пример зависимостей !(Рг), У(Рг) и описываемых формулой (4.53), приведен на рис. 4.2.

Таким образом, даже учитывая зависимости тока и напряжения только от одного из параметров Рг, мы получаем вольт-амперную кривую, которая может оказаться неоднозначной как по току, так и по напряжению, т.е. содержать как ]М-образные, так и Б- или 2-образные участки. Аналогичная картина получается и при рассмотрении зависимостей от одного из Я,-, а при учете изменений более одного параметра она может только усложниться.

4.7. Общие закономерности изменения тока через структуру. Выведенные выше соотношения допускают простую физическую интерпретацию. Выпишем еще раз соотношение (4.25):

Р& - = I,

верное для всех г = — 1. Из первого уравнения следует, что плотность

тока может расти в результате как роста произведения Р^, так и убывания

Выберем такую пару квантовых ям I и (г + 1), что величина Рг- растет наиболее заметным образом среди других, т.е. все остальные Ру по сравнению с ней изменяются незначительно. Тогда вместе с Р,- увеличивается напряжение на сверхрешетке. Как обсуждалось в разделе 4.4, концентрация электронов в г-ой

яме растет, а в (г + 1)-ой — падает в силу электростатических связей. Если при этом Р; растет или изменяется слабо (т.е. Р/ > 0), а К; падает или изменяется слабо (т.е. Щ < 0), то, согласно кинетическому уравнению (4.25), ток должен расти. Тогда с ростом Рг- одновременно растут I и V, то есть речь идет о возрастающем участке вольт-амперной характеристики.

Если же увеличение Рг- приводит к заметному падению Рг- и росту Кг, то изменение темпов переходов может оказаться более существенным, чем рост и спад Это приведет к падению тока через сверхрешетку с ростом Рг-, что соответствует спадающему участку вольт-амперной характеристики с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Тут проявляется сложный баланс между электростатическими связями, выраженными формулой (4.22), и кинетическим уравнением (4.28).

5. Темпы перехода между соседними ямами

Как видно из предыдущего раздела, транспорт в сверхрешетке определяется свойствами вероятностных темпов перехода Рг- и Кг, входящих в кинетическое уравнение (4.25). Все сказанное ранее не зависело от того, как именно они зависят от разности потенциалов между соседними квантовыми ямами рассматриваемой структуры. Теперь построим простую модель зависимостей Рг(Рг) и Рг(Р;)> которую будем потом использовать при изучении конкретных особенностей вертикального прыжкового транспорта в полупроводниковых сверхрешетках.

Напомним, что энергия электрона в г-ой квантовой яме сверхрешетки дается формулой (1.6), и определяется волновым вектором кц движения в плоскости слоев и номером уровня размерного квантования сс. Значения Е{А определяются параметрами слоев сверхрешетки и смещаются как единое целое вместе с дном г-ой ямы, в соответствие с формулой (4.2).

Плотность потока электронов с я-го уровня г-ой ямы на /5-ый уровень следующей за ней ямы пропорциональна потоку вероятности прыжкового перехода количеству электронов в исходном состоянии и вероятности ТОГО, что конечное состояние свободно, причем для невырожденного электронного газа последняя может быть с хорошей точностью оценена как единица. Обозначим через долю электронов, находящихся на а-ом уровне в г-ой яме, от их общего числа в яме, т.е. коэффициент заселенности данного размерно-квантованного

уровня. Тогда искомая плотность тока равна

к а; ¿+1,0 =

где е, как и прежде, модуль заряда электрона. Аналогичным образом записывается плотность тока в обратном направлении:

¿г+1 /3;г,а = И^-ц^;/,«.

Сумма таких величин, связанная со всевозможными переходами между состояниями г-ой и (г-)-1)-ой ям, и дает полную плотность тока. Поэтому интегральные темпы прямого и обратного переходов между ямами равны

при I =., N — 1. Оценим вероятности переходов и найдем коэффици-

енты заселения §7/а, а также их аналоги для случая переходов между квантовой ямой и контактом с непрерывным спектром.

5.1. Вероятность прыжкового перехода между соседними ямами. Расчет тока при прыжковом характере проводимости требует оценок вероятности переходов между уровнями, локализованными в соседних квантовых ямах [8].

Протекание тока через структуру связано с переходами между электронными состояниями, локализованными в отдельных ямах, за счет рассеяния на примесях, фононах и т.д. В этом смысле наша задача аналогична транспортным процессам в других системах с локализованными в отсутствие рассеяния состояниями. В подобных задачах величина тока пропорциональна квадрату модуля матричного элемента оператора взаимодействия с рассеивателями, взятому между начальным и конечным состояниями. При малом перекрывании волновых функций в разных ямах вероятность перехода пропорциональна характерной малой экпоненте, аналогичной возникающей в вероятности туннелирования через потенциальный барьер. Это означает, что качественно рассматриваемую вероятность перехода можно представить как произведение вероятности туннелирования между соседними ямами на вероятность рассеяния в пределах одной ямы. Будем исходить из таких соображений при построении модельного выражения для интересующей нас вероятности перехода.

Обозначим энергии исходного и конечного уровней размерного квантования, через Е,- и Еу, соответственно. Рассмотрим сначала случай, когда эти значения

совпадают. Тогда переход состоит только в туннелировании из первой квантовой ямы во вторую при данной энергии. Время резонансного туннелирования и обратный ему поток вероятности Wt между соседними квантовыми ямами для электрона с энергией Е вдоль оси роста были вычислены в главе 2:

где /сх = у/2т(Е - u)/h, t(E) — коэффициент прохождения, вычисляемый по формуле (2.15), и и d — соответственно, энергия дна и ширина исходной ямы, и т — эффективная масса электрона.4 Здесь мы используем формулы для коэффициента прохождения через прямоугольный барьер, эквивалентный данному «скошенному» барьеру в квазиклассическом приближении [108]: его высота выбрана таким образом, чтобы при данной энергии значение t(E) для обоих барьеров совпадало.

Пусть теперь исходное состояние лежит по энергии выше конечного, то есть разность ДЕ = Ej-Ef положительна. Переход между уровнями с различающимися энергиями размерного квантования, связанными с движением электрона вдоль оси роста сверхрешетки, должен сопровождаться рассеянием, упругим или неупругим. При упругом рассеянии, например, на примесных ионах, уменьшение первого слагаемого, входящего в сумму 1.6, компенсируется ростом кинетической энергии электрона в плоскости слоев сверхрешетки:

то есть происходит только перераспределение энергии между степенями свободы электрона. При неупругом рассеянии на акустических или оптических фононах с частотой со, выполняется равенство

AE = Ü<*í/-1l>±,to'<

где знак перед энергией фононов зависит от того, рассматривается ли их поглощение или испускание. В любом случае вероятность такого перехода не может быть больше, чем в отсутствие рассеяния, то есть

Ei>Ef W(Ei,Ef)^W(Ei,Ei) = Wt(Ei).

^Напомним, что коэффициент прохождения не зависит от направления движения частицы, поэтому вероятностные потоки в прямом и обратном направлении при одной и той же энергии Е отличаются только значениями входящих в них ширины и потенциала исходной ямы.

Как обсуждалось в начале этого раздела, в нашем модельном описании можно ввести некий безразмерный коэффициент ю, зависящий от энергий начального и конечного состояния электрона и принимающий значения от нуля до единицы, аналогичный по смыслу вероятности рассеяния в пределах одной ямы:

Щ{Е{> Е^ = Щ(Е1)ш{ЕиЕ1).

Наконец, рассмотрим случай, когда исходное состояние имеет меньшую энергию, чем конечное, т.е. ДЕ < 0, имея в виду в качестве возможного механизма рассеяния упругое взаимодействие с заряженной примесью. Упругий переход могут испытывать не все электроны с энергией размерного квантования Е/, а только те, полная энергия которых больше или равна Еу:

•тг^ > |ДЕ|. 2т 1 1

Обозначим долю таких электронов в исходной подзоне размерного квантования через \Уе(Е{,Е{). С учетом этого множителя можно представить вероятность перехода на вышележащий уровень в соседней яме как

Здесь через Еу) обозначена собственно вероятность того, что электрон

с энергией Ег- вдоль оси х, способный перейти на уровень в соседней яме с энергией Еиспытает такой переход. Она равна

™0(Ег-<Е/) = -^(Е/МЕ/,Е/),

где Wf(E^) — туннельный поток вероятности из исходной ямы в конечную, но при энергии вдоль оси х, равной наибольшей из энергий начального и конечного состояния, а 0< ш(Е¿,Е^) ^ 1, как и раньше, некий безразмерный коэффициент. Таким образом, общее выражение для вероятности перехода имеет вид:

где 1^(Ег- >£;) = 1и ю{Е1 = Е;) = 1.

5.2. Коэффициенты Еу) и и>(Е,-, Еу). В простейшей модели можно

считать, что коэффициент ъи зависит не от двух переменных, а только от одной расстройки резонанса АЕ = Е/ — Еу. Он достигает единицы при АЕ = О, то есть при Ег- = Еу, и стремится к нулю при АЕ —> ±оо. В интересующем нас случае упругого рассеяния максимум ш(АЕ) в нуле должен быть единственным; а если бы, например, в системе преобладало рассеяние на оптических фононах, то эта функция имела бы также локальные максимумы в точках АЕ = ±йсо.

При моделировании прыжкового перехода можно использовать различные функции гу(АЕ), обладающие перечисленными свойствами, например

Первый из этих вариантов дает излом в точке АЕ = 0, а во втором случае функция г^(|АЕ|) гладкая. Отметим, что согласно нашим тестовым расчетам с

А+|АЕ|' А2

А2 + АЕ2'

использованием как этих, так и некоторых других функций, точный вид гу(|Д£|) не оказывает существенного влияния на результаты.

1, Е{ ^ Еу,

/ оо (4.58)

/ /(Ег-+ Ец)йЕ|| / //(Ег-+ Ец)^Ец, Е; < Еу.

£/-£.■ / о

Будем по-прежнему считать, что электронный газ в квантовых ямах сверхрешетки является невырожденным. Отметим, что это предположение оправдано для модельной структуры, параметры которой будут приведены ниже в табл. 1, т.к. трехмерная концентрация электронов в ней много меньше эффективной плотности состояний в зоне проводимости [90]:

К = 2 (^)ЗП 1016 см-3, п « Ыс.

Тогда при Ег' < Еу

ЩЕи Е/) = ^-= = (4.59)

/е-^+Е»)/^

Очевидно, значение этой функции не превышает единицы. Отметим, что она непрерывна, но имеет излом при Ег- = Еу.

Итак, полная вероятность перехода с а-го уровня /-ой ямы на )3-ый уровень /-ой ямы равна:

ЩА))Ф = ^г,;(тах(Ег>/ Е1ф))юК]{Е1А - Е^). (4.60)

Здесь номер ямы / = г +1 соответствует прямому переходу, а / = / — 1 — обратному переходу между данными уровнями.

Плотность тока, определенная по формуле (4.25) с учетом (4.54), согласно закону Ома должна иметь строго положительную производную по разности потенциалов между соседними ямами щ — щ+\ в нуле. В частности, это должно выполняться в случае периодической структуры, то есть производная вероятности по разности энергий ДЕ должна быть положительна при Ег-/Л = Е^р. В данной модели это достигается благодаря излому зависимости ¿(Ег^д/Е^р).

Наконец, найдем долю электронов на данном уровне размерного квантования от их общего числа в г-ой яме, нужную для расчета темпов перехода по формуле (4.54). Для невырожденного электронного газа во внутренних квантовых ямах сверхрешетки находим

81л = —1^0-7т' Це ¡а'

вследствие соотношения (4.2).

5.3. Переходы между квантовой ямой и контактом с невырожденным электронным газом. Как обсуждалось в разделе 1, первая и последняя ямы в рассматриваемой системе на самом деле являются левым и правым контактами сверхрешетки, и отличаются от внутренних ям (г = 2,. — 1) тем, что в них отсутствует размерное квантование импульса электрона вдоль оси х, и энергетический спектр является непрерывным.

Найдем число электронов в контакте, имеющих энергию движения вдоль оси роста структуры в фиксированном узком интервале [Е± - $Е/2,Е± + 6Е/2]. Их доля от общего числа электронов в данном контакте равна:

2с13к'й-(2тг)3

где и — потенциал рассматриваемого контакта. Рассмотрим сначала случай невырожденного электронного газа в контакте. Тогда элементарные выкладки показывают, что доля электронов в интересующем нас интервале энергий шириной ЗЕ от их общего числа в данном контакте равна

е-(Е±-и)/Т

*(Еа)=(4-62)

Отметим, что в это выражение входит только разность энергии Е± и потенциала контакта и. Поэтому при рассмотрении переходов из контакта с невырожденным электронным газом в соседнюю квантовую яму достаточно разделить весь спектр на достаточно большое число равных интервалов и однажды найти gc для каждого из них. В дальнейшем найденные значения можно подставить в формулу (4.54) и для левого, и для правого контакта сверхрешетки, полностью аналогично случаю переходов между двумя внутренними ямами.

Очевидно, в выражении (4.62) участвуют больцмановский множитель и одномерная плотность состояний в контакте. Что касается потока электронов в обратном направлении — из ямы с дискретным спектром в контакт — то при его вычислении надо учесть только плотность состояний в контакте, равную

Поэтому темпы прямого и обратного переходов между контактом с невырожденным электронным газом и соседней квантовой ямой равны

Рс = и Кс = (4.64)

Здесь Рс = Р\ или а Яс = ^ или соответственно. Индекс ц нумерует

интервалы энергий Е± в контакте, а ос ■— уровни в яме. Значение вероятности перехода УЯ, как и в случае двух внутренних ям, оценивается по формуле (4.60).

5.4. Переходы между квантовой ямой и контактом с вырожденным электронным газом. Если в качестве контакта используется сильнолегированный полупроводник с концентрацией электронов пс Ыс, то при рассмотрении темпов переходов между ним и соседней квантовой ямой необходимо использовать функцию распределения Ферми в контакте. Кроме того, для темпа перехода из ямы в контакт приходится учитывать вероятность того, что конечное состояние в контакте свободно, которая может быть отлична от единицы.

Найдем поток электронов из контакта в соседнюю с ним г-ю квантовую яму сверхрешетки, обозначив через Ес = Е±с + Ецс полную энергию электрона в контакте, а через Е^ = Егд + Ецш — полную энергию в яме:

Е ±с>и

Х (2л)3 (2тг)2

ЕХс^ и Ее ^ Е;',«

Используя определение величины №е(Е±с, Е;А) в общем виде (4.58), получим плотность потока:

InemTdcVbn^ PcSc" (2тгЙ)3

1 g(.HEq)/T

\/Ен - и'

Таким образом, при вычислении Рс следует подставить в (4.64) долю электронов в интервале энергий ¿>£ от их общего числа в контакте, равную

, 2nmTdcÔE\/bn

gc(Eq) = - —= ln

a в вероятность перехода W(Eq,EiA), найденную по формуле (4.60), — значение

1 4-g(H-Ei>)/T / ln 1 4-g(M-£<i)/T

F > F-/ Eq < Егд.

Аналогично, поток электронов в обратном направлении, т.е. из ямы в контакт, равен

RcNw=e£ // W(EW/ EC)/;(EW) [1 — /с(Ес)] <5(ЕС — Ew) a J J

2d3kcd3rc 2d2k\\ wrf2r, w

(2тг)3 (2тг):

откуда прямой расчет интегралов приводит к оценке edcSwV2m

у/Eq - и'

Поэтому при вычислении Кс вместо плотности состояний р(Е), определенной согласно (4.63), в выражение (4.64) следует подставить величину

Q(E,EI) =-g№-F)/Tln Г1 + е(и-е)/т

nhy/2(E-u) L

•100-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ли, meV

рис. 4.3. Зависимости темпов прямого и обратного переходов между двумя одинаковыми квантовыми ямами Р, (сплошная линия) и Я; (пунктирная линия) от разности потенциалов между ними Аи = и^-и^, рассчитанные с использованием варианта 1 зависимости (4.57). а) Аи изменяется в пределах от -100 до 100 мэВ, б) область максимумов Р,- при Аи* = 0 мэВ и Дм* = 58.2 мэВ.

5.5. Примеры зависимостей Рг(ыг- — м,+]) и R, (и, — мг+1). В предыдущем разделе были описаны все величины, необходимые для использования кинетического уравнения (4.25) и его следствий (4.26). Мы нашли значения giA и WiA;i+irß, входящие в определение (4.54) величин Р; и R,-. Коэффициенты заселенности энергетических уровней во внутренних ямах структуры и в контактах с невырожденным или вырожденным электронным газом находятся из соотношений (4.61), (4.62) и (4.65), соответственно. В выражение (4.60) для вероятности перехода с а-го уровня /-ой ямы на jS-ый уровень следующей за ней ямы входят функции Wt, w и УЧе, определенные по формулам (4.55), (4.57) и (4.58), соответственно. Теперь покажем на простых примерах, как в данной модели темпы переходов Р/ и R, зависят от разности потенциалов между соседними квантовыми ямами.

Темпы переходов между двумя одинаковыми квантовыми ямами. На рис. 4.3 показаны зависимости Рг(Дм) и Аи) для электронных переходов между двумя одинаковыми квантовыми ямами, полученные с использованием различных вариантов функции гу(ДЕ), описанных формулами (4.57). Рассматривались ямы ширины й = 12с, разделенные барьером ширины Ь = 40с и высоты и — 100 мэВ, как описано ниже в табл. 1. Тогда в каждой из ям находятся два уровня размерного квантования с энергиями Е^ = Е^ = 22.8 мэВ и

Е2,2 = £3,2 = 81 "0 МэВ"

Вероятности прямого и обратного переходов между квантовыми ямами достигают максимума, когда расположенные в них уровни совпадают по энергии:

= Е/+1/(з, т.е. разность потенциалов между ямами равна

АиГ = Да? + - Е«Л, (4.67)

как следует из формулы (4.2). При одинаковом исходном положении уровней это равенство выполнено при Ди* = 0, когда состояния в обеих ямах имеют одинаковую энергию, а также при Дм* = Е9+1^ — Е®а, где ^ ф ос. При указанных выше параметрах ям основное состояние в одной из них попадает в резонанс с возбужденным в соседней, если Дм* = ±58.2 мэВ.

Уменьшение прозрачности квантового барьера замедляет переходы между ямами, причем изменение ширины барьера практически не влияет на положение квазилокализованных уровней в соседних ямах, в то время как увеличение его высоты повышает энергию электронных состояний. Увеличение ширины квантовых ям прежде всего понижает энергию уровней и относительно слабо уменьшает туннельный поток вероятности, согласно выражению (4.55).

Внесение беспорядка в потенциалы ям (и9 ф и®+1) практически не изменяет темпы перехода при условии, что относительная энергия уровней в яме — и9 сохраняется. Если же соседние ямы различаются по ширине, т.е. с1{ Ф ¿/+1, то это влияет не только на положение уровней размерного квантования в них, но и на разницу в значениях туннельных потоков вероятности справа налево №11,1+1 и слева направо а следовательно, внесет асимметрию в графики функций

Р/(Дм) и К, (Дм).

Темпы переходов между контактом с невырожденным электронным газом и внутренней квантовой ямой структуры. Рассмотрим теперь кривые Р\(Аи) и Кх(Ди), изображенные на рис. 4.4. Они относятся к переходу меж-

•100-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 ли, meV

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Au, meV

Рис. 4.4. Зависимости темпов прямого и обратного переходов между контактом с невырожденным электронным газом и внутренней квантовой ямой Р^ (сплошная линия) и (пунктирная линия) от разности потенциалов между ними Ди, рассчитанные с использованием варианта 1 зависимости (4.57). а) Ди изменяется в пределах от -100 до 100 мэВ, б) область максимумов Рг при Аи* « 22.1 мэВ и Ды* и 80.3 мэВ.

ду одним из контактов сверхрешетки, для определенности левым, и соседней с ним внутренней квантовой ямой. Во второй яме, как и в предыдущем случае, имеется два размерно-квантованных уровня; энергетический спектр контакта, как обсуждалось ранее, является непрерывным. Очевидно, симметрия между темпами прямого и обратного переходов между ямами отсутствует.

Вероятность прямого перехода достигает максимума, когда один из уровней в яме практически совпадает по энергии с дном контакта: Eia ы и\, т.е., согласно (4.2), разность потенциалов между ними равна

Аи\ и Au? + Е\а. (4.68)

При ширине ямы d = 12с и параметрах барьера Ъ = 40с и U = 100 мэВ максимумы Pi достигаются при Aw* « 22.1 мэВ и А и* 80.3 мэВ. Тогда все электроны из левого контакта имеют энергию, достаточную для туннелирования на соответствующий уровень, а при меньших значениях А и происходит экспоненциальный спад вероятности прямого перехода, как обсуждалось выше.

Поведение Pi (Дм) вдали от резонансов определяется изменением заселенно-стей и коэффициента прохождения, входящего в Wt, а вблизи максимумов — в основном видом функции го(АЕ).

Зависимость Ri(Äu) имеет перегиб при совпадении энергии основного состояния в яме с потенциалом дна контакта и локальный максимум либо плечо на фоне экспоненциального спада при 80.3 мэВ. При малых положительных и при отрицательных значениях А и в контакте имеются уровни, на которые мо-

— -40 -50 -60

•100-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ли, глеУ ли, теУ

Рис. 4.5. Зависимости темпов прямого и обратного переходов между контактом с вырожденным электронным газом и внутренней квантовой ямой Р\ (сплошная линия) и (пунктирная линия) от разности потенциалов между ними Дм, рассчитанные с использованием варианта 1 зависимости (4.57). а) Аи изменяется в пределах от -100 до 100 мэВ, б) область максимумов Р} при Аи* « 18.7 мэВ и Аи* « 77.0 мэВ.

гут переходить все электроны из внутренней ямы. Темпы прямого и обратного переходов выравниваются при Аи рз 22.6 мэВ.

Темпы переходов между контактом с вырожденным электронным газом и внутренней квантовой ямой структуры. Использование распределения Ферми в контакте приводит к небольшим изменениям в темпах переходов Р\(Аи) и Кг(Аи) по сравнению с зависимостями, обсуждавшимися в предыдущем параграфе, как видно из рис. 4.5. Вероятности прямого перехода максимальны, когда энергия уровня в яме совпадает с химическим потенциалом контакта. Поэтому максимумы и, соответственнно, перегибы наблюдаются при меньших значениях Аи, чем в случае невырожденного электронного газа в контакте, а кроме того, они становятся более плавными. При параметрах структуры, описанных в табл. 1, темпы прямого и обратного переходов сравниваются при разности потенциалов Аи & 16 мэВ. Как и следовало ожидать, значения и зависят от объемной концентрации доноров в контакте, но не от выбранной ширины контакта.

Поскольку использование распределения Ферми требует перенормировки при изменении концентрации электронов в контакте, такие расчеты требуют больших затрат времени. Качественное подобие поведения темпов перехода для вырожденного и невырожденного электронного газа в контактах позволяет позволяет при наших модельных оценках пользоваться более простыми формулами для распределения Больцмана.

1. 1. 1 1.!

6. Расчет вольт-амперных характеристик

6.1. Методы решения системы уравнений. Как видно из приведенных ранее формул (4.38), наиболее естественный путь построения вольт-амперных характеристик заключается в расчете потенциалов всех квантовых ям структуры и концентраций электронов в них при фиксированной плотности тока и, в конечном счете, зависимости У(1). Ниже описаны два возможных пути реализации этого подхода.

Метод стрельбы. Зафиксируем значение I и выразим все неизвестные через концентрацию электронов в первой яме, т.е. левом контакте сверхрешетки. Затем найдем суммарную двумерную концентрацию электронов а, определенную согласно (4.14), как функцию 51. Ниже приведена последовательность шагов в

этой процедуре:

Шаг. Действие. Используемое

уравнение.

1. Найти и2 как функцию 51- (4-12)

2. Найти Р1,Я\ как функции щ,и2. (4.54); щ = 0

3. Найти как функцию 51 Р1,Я1г1. (4.26)

4. Повторить следующую процедуру для всех I = 2,., N — 1 :

4.1. Найти щ+1 как функцию (4.8)

4.2. Найти Рг-,Кг- как функции щ,щ+(4.54)

4.3. Найти 5г+1 как функцию б,-, Рг-, I. (4-26)

5. Найти с, зная все 5г- (г = 1,.,Ы). (4.14)

При определении значения а было использовано N — 1 уравнение связи (4.8) и N — 1 кинетическое уравнение (4.26). Неиспользованным осталось условие электронейтральности (4.14):

фъЦ-оо = 0. (4.69)

Решим его относительно концентрации электронов в первой яме 51 при известном параметре 7, а затем еще раз воспользуемся приведенной выше схемой и

найдем все Si и щ. В частности, полученное значение ик определяет напряжение V при данном токе I по формуле (4.1).

Заметим, что аналогичным образом можно выразить все неизвестные через концентрацию электронов в последней яме, т.е. правом контакте сверхрешетки. Для этого положим потенциал анода всегда равным нулю, а потенциал катода и определяемое им напряжение на сверхрешетке — меняющимися в зависимости от распределения носителей в системе; при желании в дальнейшем можно опять перейти к отсчету энергии от дна первой ямы. В этой процедуре сначала с использованием равенства (4.13) будут найдены потенциал и электронная концентрация, относящиеся к (IV — 1)-ой яме, а затем и значения щ и для всех остальных г = N-2,.,!. При этом вместо формулы (4.8) всюду следует использовать (4.9). Как и раньше, отклонение от электронейтральности приравнивается нулю:

(г^лгД)-(7о = 0, (4.70)

что определяет концентрацию а вместе с ней и все остальные параметры системы, включая напряжение V.

В обоих случаях задача (4.69)или (4.70) решается при заданном значении I по изменению знака целевой функции сг — ао. Такой подход удобен тем, что после предварительного сканирования области изменения концентрации электронов в первой или последней яме, т.е. интервала [0,£7о], с небольшим шагом можно выделить разные ветви решений изучаемой задачи. В наших расчетах далее использовался метод деления пополам [116].

В разделе 2.4 было показано, что значение V более чувствительно к изменениям концентрации Б], чем Бдг. Следовательно, при одинаковых погрешностях численного определения электронных концентраций в первой и последней ямах напряжение на сверхрешетке будет найдено с большей точностью, если рассматривать его как функцию величины Эм, а не Бх. Это же подтверждают и результаты наших расчетов.

Итерационный метод. Недостатком только что обсуждавшегося метода решения системы уравнений (4.38) является необходимость определения потенциалов и электронных концентраций для всех квантовых ям исследуемой структуры при каждом вычислении отклонения от электронейтральности а — с0 как функции Бх или Бы при фиксированной плотности тока I. Однако при решении

уравнения (4.14) постоянно приходится находить значение а, что требует значительного расчетного времени, если сверхрешетка содержит достаточно большое число слоев. В этом случае можно воспользоваться методом итераций.

Как и прежде, зафиксируем плотность тока, для которой ищется значение V. Затем будем действовать по следующему алгоритму:

Действие.

Выбрать начальное приближение для Б;. Повторить следующую процедуру для каждого приближения т = ОД,., пока не выполнится критерий сходимости.

Используемое уравнение. Напр. 5г(0) =

2.1. Для всех / = 2,., N найти и

2.2. Найти зная иуг

2.3. Для всех г = 2,., N — 1 найти Б)

(т) (т) (т) зная и>{,и> и>+{.

2.4. Найти зная

2.5. Найти ЦБ^1) Найти V

(4.25); щ = 0

(4.11) (4.71)

Норму разности векторов и в пункте 2.5 можно определить, напри-

мер, следующим образом:

у§(т+1) = ^

Критерием сходимости итераций (см. пункт 2) является выполнение неравенства

ц5(т+1) 5(>0|| <€/ (4.72)

где е — некая наперед заданная максимально допустимая погрешность наших расчетов.

Самой долгой операцией здесь является шаг 2.1, требующий численного решения кинетического уравнения относительно щ. Кроме того, иногда задано

ча оказывается неустойчивой, и сходимость итераций не достигается. Однако при удачно выбранном начальном приближении для концентраций электронов в ямах требуется относительно небольшое число итераций. Вообще говоря, при последовательном расчете У(1) для многих значений плотности тока в качестве нулевого приближения для на первом шаге данной процедуры имеет смысл брать электронные концентрации, уже вычисленные ранее при близком значении I. Тогда для структуры с большим числом квантовых ям расчет по данному алгоритму может оказаться быстрее, чем использование метода стрельб. Однако из-за нелинейности нашей задачи уравнение (4.25) может иметь несколько решений щ для каждой квантовой ямы. Но учитывать все их возможные комбинации при каждом следующем приближении оказывается затруднительным. Поэтому при использовании данной процедуры приходится каждый раз ограничиваться только одним, для определенности наименьшим, значением щ. Тогда можно найти только наименьшее напряжение на сверхрешетке из всех возможных при данном значении I. Рассчитанная таким образом вольт-амперная характеристика содержит неполный набор ветвей, причем только возрастающих. Это является существенным недостатком итерационного пути решения системы (4.38). Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать структуры с относительно малым числом периодов и использовать в наших расчетах только метод стрельб, предварительно убедившись, что результаты, полученные с помощью обоих методов, совпадают.

6.2. Программа расчета прыжковых вольт-амперных характеристик.

Для расчетов вольт-амперных характеристик по приведенным выше схемам была разработана компьютерная программа на языке программирования Фортран 77. Она также позволяет рассчитывать некоторые вспомогательные зависимости, важные для понимания происходящих в изучаемой структуре процессов, такие как значения полных вероятностей прямого и обратного переходов между двумя выбранными квантовыми ямами структуры при различных значениях разности потенциалов между этими ямами и величину отклонения от электронейтральности при различных концентрациях электронов в первой либо последней яме и фиксированном токе через сверхрешетку.

Программа состоит из трех блоков. В блоке ввода данных происходит считывание информации из двух исходных файлов. Первый из них содержит параметры сверхрешетки и интервал плотностей тока, для которых следует найти

значения У(1), а также данные о том, какой из вариантов формулы (4.57) следует выбрать для описания вероятности упругого рассеяния электрона в яме, каким образом моделировать контакты сверхрешетки и какой из способов расчета следует использовать. Из второго исходного файла считываются энергии состояний во всех квантовых ямах, которые находятся предварительно как максимумы электронных спектров пропускания, рассчитанных для данной сверхрешетки с помощью программы, описанной в предыдущей главе. В расчетном блоке с помощью метода стрельбы или итерационной процедуры по выбору пользователя находится напряжение на сверхрешетке в зависимости от плотности тока I или рассчитывается одна из указанных выше вспомогательных зависимостей. Отдельный блок предназначен для определения по концентрации электронов значения химического потенциала при использовании распределения Ферми левом и правом контактах. В результате работы программой создаются два выходных файла, запись в которые управляется блоком вывода. Первый из выходных файлов содержит всю информацию о системе и имеет ту же структуру, что и первый исходный файл. Это позволяет использовать его в дальнейшем для повторного ввода данных. Во второй выходной файл записываются результаты проведенных расчетов. Работа данной программы, как и программ, описанных в предыдущей главе, организована таким образом, что возможен последовательный расчет на основании данных, содержащихся в различных парах исходных файлов, с выводом в файлы с соответствующими именами.

7. Прыжковые вольт-амперные характеристики

7.1. Модельная структура. Рассчитаем зависимости 1{У) для нескольких модельных структур, для котрых выполняется неравенство (2.2). Наша модель применима в случае относительно широких слоев сверхрешетки, соответствующих квантовым барьерам, и узких квантовых ям, так что потенциал электрического поля в последних можно считать не меняющимся по координате. Чтобы облегчить сравнение описанных ниже результатов с полученными ранее при применении модели туннельного транспорта (см. табл. 1 в предыдущей главе), будем по-прежнему рассматривать гетероструктуры на основе нитрида галлия, с такой же шириной квантовых ям и высотой барьеров, но существенно увеличим толщину барьеров. Параметры изученных структур приведены в табл. 1.

Таблица 1. Параметры модельной периодической сверхрешетки на основе йаЫ, используемой для расчетов прыжкового вертикального транспорта.

Количество квантовых барьеров Ыь 3-6

Ширина ямы А/с, мол.сл. 12

Ширина ямы й, А 62.0

Ширина барьера Ь/с, мол.сл. 20-40

Ширина барьера Ъ, А 103.4-206.8

Потенциал ямы и0, мэВ 0

Концентрация доноров в контактах, см"3 Ю18

Температура Г, К 10

Условие (2.2) выполняется даже для самой короткой из них, состоящей из двух квантовых ям и трех барьеров.

7.2. Симметричная двойная квантовая яма с одинаковыми барьерами.

Для лучшего понимания процессов, происходящих в сверхрешетке при протекании через нее электрического тока, рассмотрим сначала простейшую структуру — симметричную двойную квантовую яму. Слева и справа от нее находятся контакты с непрерывным энергетическим спектром, электронный газ в которых может быть описан распределением Больцмана; полное число ям равно N = 4. В системе с параметрами, приведенными в табл. 1, в каждой из внутренних ям имеется по два уровня размерного квантования с энергиями = = 22.8 мэВ и Е22 = Е32 = 81.0 мэВ. Вольт-амперная характеристика такой структуры показа-

100 200 300 400 500 V, тУ

1,0 1,5 2,0 V, тУ

Рис. 4.6. а) Вольт-амперная характеристика симметричной двойной квантовой ямы с одинаковыми барьерами ширины Ъ = 40с, б) начальный участок ВАХ.

О 100 200 300 400 500 600 V, тУ

Рис. 4.7. Зависимости а) темпов переходов Р,- и К, и б) их произведений на концентрации электронов в соответствующих квантовых ямах структуры Р,5,- и от напряжения на симметричной двойной квантовой ямы с одинаковыми

барьерами.

на на рис. 4.6(а). На ее начальном участке выполняется закон Ома, как видно на рис. 4.6(6). Кривая имеет два локальных максимума при V 70 мВ и 240 мВ на фоне общего роста тока.

Максимумы 1(У) наблюдается при такой разности потенциалов между двумя соседними ямами, которая облегчает электронные переходы между ними. В рассматриваемом случае они соответствуют таким разностям потенциалов между левым контактом и первой внутренней ямой, при которых энергия уровня в яме

О 100 200 300 400 500 600

Рис. 4.8. Зависимости двумерных концентраций электронов от напряжения на симметричной двойной квантовой ямы с одинаковыми барьерами.

Рис. 4.9. Область первого Z-образного максимума вольт-амперной характеристики симметричной двойной квантовой ямы с одинаковыми барьерами.

практически совпадает с дном контакта. Как обсуждалось в разделе 5, темпы переходов достигают максимума при значениях Ащ, примерно равных 22.1 мэВ и 80.3 мэВ (см. формулу (4.68)).

Зависимости темпов переходов между всеми парами ям от напряжения на структуре показаны на рис. 4.7. Что касается темпов переходов между второй внутренней ямой и правым контактом, то при интересующих нас положительных значениях Амз они меняются монотонно и, следовательно, не могут приводить к появлению экстремумов на вольт-амперной характеристике. Максимум тока, связанный с совпадением энергий основного и возбужденного уровней из внутренних ям, когда разность потенциалов между ними Аи2 описывается выражением (4.67) {Аи\ = 58.2 мэВ), в данной системе не наблюдается. Причины этого будут обсуждаться позднее, в разделе 8. Грубо говоря, это связано с высоким сопротивлением первого барьера структуры: как видно из сопоставления кривых Р^Ащ) и Ri(AUi), приведенных на рис. 4.3 и 4.4, при одинаковых параметрах слоев структуры темпы прямых переходов между внутренними ямами на несколько порядков выше, чем между контактом и ямой. Интересно, что этот максимум темпов переходов между внутренними ямами при напряжении 174 мВ, компенсируется минимумом на кривой S2(V).

Перераспределение электронов между контактами и квантовыми ямами структуры в зависимости от напряжения показано на рис. 4.8. Количество электронов в контактах намного больше, чем во внутренних ямах, поскольку концентрация доноров в контактах превышает их концентрацию в ямах на 4 порядка (см. табл. 1). Значения Si (У) и Sn(V) изменяются практически линейно, причем первое растет, а последнее — падает с ростом напряжения на структуре. Изменения S2 и S3 хорошо видны в логарифмическом масштабе; они имеют особенности одновременно с темпами переходов, изображенными на рис. 4.7.

При увеличении масштаба становится заметно, что первый из двух максимумов тока имеет не обычную И-образную, а 2-образную форму (см. рис. 4.9). Это означает, что изучаемая зависимость неоднозначна не только по току, но и по напряжению на структуре: одному и тому же значению v могут соответствовать три различных плотности тока I. Происхождение этой особенности объясняется в разделе 8.

7.3. Двойные квантовые ямы, окруженные контактами с вырожденным электронным газом. Рассмотрим теперь симметричную двойную квантовую яму с такими же параметрами, как у изученной в предыдущем разделе, но с электронным газом в контактах, описываемым распределением Ферми. Ее вольт-амперная характеристика изображена на рис. 4.10. Как можно предположить на основании сопоставления графиков на рис. 4.4 и 4.5, вольт-амперные кривые для этих двух структур отличаются мало. Так, кривая на рис. 4.10 имеет более плавные максимумы при v « 60 и 232 мВ, отвечающие совпадению уровня размерного квантования в первой внутренней яме и уровня Ферми в контакте.

Рис. 4.10. а) Вольт-амперная характеристика симметричной двойной квантовой ямы, окруженной контактами с вырожденным электронным газом, б) начальный участок ВАХ.

Рис. 4.11. а) Вольт-амперная характеристика несимметричной двойной квантовой ямы, окруженной контактами с вырожденным электронным газом, б) область первого максимума ВАХ.

На омическом участке, как и во всем рассматриваемом интервале напряжений, большей проводимостью обладает структура с вырожденным электронным газом в контактах.

Как и в случае больцмановского распределения в контактах, в данной структуре не проявляется максимум тока при совпадении энергий электронных состояний, локализованных во внутренних квантовых ямах. Однако, благодаря меньшему сопротивлению крайних квантовых барьеров, можно заметить взаимодействие между уровнями во внутренних ямах, если изменить их исходное положение. Так, на вольт-амперной кривой, приведенной на рис. 4.11, заметен перегиб перед первым максимумом, соответствующий усилению переходов между внутренними ямами в структуре с измененным составом третьей ямы: = 15 мэВ, в то время как потенциал и® по-прежнему равен нулю. Отметим, что внесением такого рода асимметрии в параметры двойной ямы, описанной в разделе 7.2, не удается добиться появления ни дополнительного максимума, ни хотя бы перегиба на кривой 1(У).

7.4. Двойные квантовые ямы с узкими крайними барьерами. В данном разделе рассмотрим двойные квантовые ямы с узкими крайними потенциальными барьерами ширины Ьг — Ьз = 20с и широким центральным барьером Ъ2 — 40с.

Таблица 2. Напряжение, при котором наблюдается максимум тока, связанный с интенсивными переходами между внутренними квантовыми ямами структуры, в зависимости от энергии дна зоны проводимости в слое, соответствующем второй внутренней яме.

м§, мэВ 0 5 10 15

У, мВ 107.1 114.7 122.6 130.4

Ш "6 -8 -10

0 100 200 300 400

Рис. 4.12. Вольт-амперные характеристики симметричной и несимметричных двойных квантовых ям с узкими крайними барьерами ширины Ь = 20с.

Электронный газ в контактах будем считать невырожденным, как и в структуре, обсуждавшейся в разделе 7.2. Понизив по сравнению с ней сопротивление крайних барьеров, мы можем наблюдать не только особенности, связанные с переходами между левым контактом и первой внутренней ямой, но и максимум тока, связанный с совпадением основного и возбужденного состояний из внутренних квантовых ям структуры (см. рис. 4.12).

Изменяя состав третьей ямы, как в разделе 7.3, можно смещать положение этого максимума тока, то есть управлять напряжением на структуре, при котором он наблюдается, как видно из табл. 2.

7.5. Слоистые структуры с узкими крайними барьерами. Рассмотрим теперь периодические структуры с большим числом квантовых ям и такими же параметрами, как у симметричной двойной ямы, рассмотренной в разделе 7.4. Их вольт-амперные характеристики приведены на рис. 4.13.

Увеличение числа периодов приводит к росту сопротивления структуры. На всех рассчитанных кривых наблюдаются два 2-образных максимума, соответствующих усилению переходов между левым контактом и первой внутренней ямой. С увеличением числа ям в структуре эта 2-образность становится все более ярко выраженной, а достигаемая в максимуме плотность тока практически не зависит от числа слоев. Кроме того, если на вольт-амперной характеристике двойной квантовой ямы наблюдался только один Ы-образный максимум, отвечающий резонансу уровней во внутренних ямах, то в более длинных системах их число возрастает и равняется числу пар соседних внутренних ям, причем они могут иметь как 1М-, так и 2-образную форму. Все эти особенности можно объяснить с помощью следующего простого рассуждения.

Рис. 4.13. Вольт-амперная характеристика слоистых структур с узкими крайними барьерами ширины Ь = 20с, содержащей 2, 3 и 5 внутренних квантовых ям.

8. Приближенный анализ задачи

Ниже описаны простые соображения, объясняющие происхождение и форму максимумов на вольт-амперной кривой с помощью приближенного анализа системы уравнений (4.38) и вида входящих в нее темпов переходов. Это позволяет дать простое физическое объяснение, приведенное в конце этой главы (см. раздел 8.6).

8.1. Приближение I & РкБк. Темпы перехода между внутренними квантовыми ямами структуры Рк и Як сравниваются при такой разности потенциалов Ащ, когда наиболее заселенные основные состояния в них совпадают по энергии. В частности, для симметричной структуры и структуры с беспорядком в потенциалах ям Рк = Як при Ащ = что достигается в отсутствие тока. При ненулевых значениях I вероятности прямого перехода между внутренними квантовыми ямами структуры много больше вероятностей обратного перехода, так как последние экспоненциально убывают с ростом Ащ, согласно выражению (4.59). Это подтверждается результатами расчета, представленными на рис. 4.3. Как видно из рис. 4.4, то же заведомо выполнено и для пары последняя внутренняя яма — правый контакт при положительных Следовательно, при отличной

от нуля плотности тока для рассматриваемых структур выполняется неравенство

т.е. ук 1 для всех пар соседних квантовых ям, кроме первой. Тогда в выведенных ранее формулах (4.37) для концентраций электронов в квантовых ямах можно пренебречь всеми членами, содержащими множитель ук (к > 1):

Этот же результат легко получить и из более простых соображений, с учетом (4.73) и того, что для внутренних ям Бк Бк+\, то есть РкБк > В.кБк+1 (см. рис. 4.7). Тогда для нахождения электронных концентраций во внутренних ямах структуры (к = 2,., N — 1) можно воспользоваться приближением

I = РкБк - ЯкБк+1 и РкБк/

а в левом и правом контактах — кинетическим уравнением (4.26) и условием электронейтральности (4.14), соответственно.

Что касается темпов переходов между левым контактом и первой внутренней ямой Р\ и то они сравниваются только при такой разности потенциалов Ащ, когда первый уровень размерного квантования в квантовой яме приближается по энергии к потенциалу контакта. В случае симметричной двойной квантовой ямы, описанной в разделе 7.2, это происходит при значении Ащ та 22.6 мэВ, которое достигается при напряжении на всей структуре V » 71.0 мВ. Но поскольку концентрация доноров в контактах много больше, чем во внутренних ямах сверхрешетки (см. табл. 1), то можно ожидать, что при достаточно больших токах то же верно и для электронных концентраций, т.е. Бх » Бг. С ростом напряжения величина 7х экспоненциально убывает, так что при I > 0 выполняется неравенство 5х > £271. Поэтому формулы (4.74) можно упростить еще сильнее:

Бы <70 - Е р.-

Другими словами, можно считать, что приближение (4.75) применимо и при к = 1.

8.2. Величина Рк+1 как функция Рк. Изучим, как изменяются величины Рк, определенные в разделе 4.4. Согласно уравнению Пуассона,

Ек = РкX + - + Л^ -

Зафиксируем значение Рх и найдем Р2 как функцию Рх. При этом можно использовать либо приближение (4.74), либо (4.76). В первом случае получим:

I « Рг^гШРг), то есть, вследствие (4.77),

О 20 40 60 80 100

Рис. 4.14. Графическое решение уравнения (4.79) для к = 1 в области максимума Pi(Aui). Графики функций и ^2(Дмг) построены в логарифмических координатах (Ащ = bkh)-

При работе в рамках более грубого приближения (4.76) в правой части этого равенства следует исключить R\(Fi). Тогда оно совпадает с уравнением, задающим зависимость Pk+i{Fk) в общем случае для к = 2. N — 2:

Pk(h) (h h-i Ч + ifi + ASJ)

Pk+l(h+l) - -p-д-CO ro Л со--(4-79)

h+i -h- h+i Abk+i

Будем решать это уравнение относительно Fk+\ графически, находя точки сечения функции Pfc+i(ffc+i) гиперболой из правой части (4.79), как показано на рис. 4.14. Следует отметить, что найденные значения Fk+i с очень хорошей точностью совпадают с решениями полной задачи (4.38), рассчитанными с помощью нашей программы.

Особенность гиперболы

Hk+1(Fk+1) = - AIf (4.80)

hc+l — ■'"pole

находится в точке

Ppole = Fk + РЦ+I Рк

Очевидно, с ростом значения Рк она смещается вправо. Если при этом плотность тока, стоящая в числителе дроби (4.80), увеличивается, то при возрастающей или не слишком быстро убывающей функции Рк+1(Рк+1) точка ее пересечения с гиперболой Нк+1(Рк+1) также смещается вправо, то есть зависимость Рк+1(Рк) на рассматриваемом участке монотонно возрастает. Если же ток убывает, т.е. в данной области полная производная А1/йРк отрицательна, то в зависимости от ее абсолютной величины значение может как расти, так и падать. Это видно из выражения для производной которое легко получить дифференци-

рованием по Рк равенства I = Рк+г

Щ+15ш + Рк+1-

Здесь = ¿Рк+1(Рк+1)/с1Рк+1, как и в разделе 4.5. Знаменатель этой дроби меняет знак при переходе через точку, в которой

Н+1 = (4.82)

Это означает, что функция Рк+1{Рк+\) и секущая ее гипербола имеют общую касательную в точке пересечения, поскольку в ней производная Нк+1 по Рк+1 при фиксированных значениях I и Рро 1е равна

'Э Нш(Рк+1)\ = XI = Л1 = Рк+1

дрк+1 / /,Рро1е (^+1 Рро1е)2 (^к+1)2 АБк+1

Естественно, при выполнении равенства (4.82) —► оо. Однако возмож-

ность его выполнения зависит от конкретного вида кривой Р^+1(Р/с+1) и от величины I, т.е. от концентрации электронов в (к + 1)-ой яме. В частности, для симметричной двойной квантовой ямы, описанной в разделе 7.2, темп перехода Рг понижается после прохождения через максимум при Аи2 = 58.2 мэВ не очень резко. Поэтому касание кривых Р2(Р2) и Н2(Р2) в точке пересечения возможно только при относительно большой плотности тока, когда дНк+1/дРк+1 — —Р2+1/(Л/) достаточно мала по модулю. Это будет важно в дальнейшем.

8.3. Экстремумы вольт-амперной характеристики. Появление экстремумов на вольт-амперных кривых было изучено в разделе 4.5, где плотность тока и напряжение на структуре рассматривались как функции величины Рк, наиболее сильно изменяющейся по сравнению с другими темпами переходов. Для большей наглядности изучим поведение I и У в зависимости от разности потенциалов между первыми двумя ямами, то есть от Р^.

Поскольку напряжение на сверхрешетке равно

У = - £ Аик = - £ ЪкРк, (4.83)

е к=1 в к=1

то его производная выражается через значения dFk/dFl:

¿V 1 / й¥к\

По аналогии с равенством (4.81) из предыдущего параграфа получим рекуррентную формулу для производной 1 как функции Рх

¿рк+1 = Хт + Рк+1Ш (л осч

№к+18к+1+Ъ+1'

справедливую при к = 1,.,ЛГ — 2. Как видно из сопоставления выражений (4.84), (4.85) и (4.81), производная напряжения по ^ стремится к бесконечности одновременно с производными какой-то из величин по Р^ и по Р^, т.е. при выполнении условия (4.82). Тогда производная тока по напряжению

й1 ^ / АУ (А МЛ

м = ж/ ж (4-86)

равна нулю, т.е. на вольт-амперной кривой наблюдается максимум или минимум. Другой механизм возникновения экстремума вольт-амперной характеристики связан с равенством нулю производной &ЦйР\. Изучим подробнее оба этих случая.

8.4. Максимум Р^Рг). Сначала рассмотрим ситуацию, когда уровень размерного квантования из первой внутренней квантовой ямы близок по энергии к потенциалу левого контакта:

г* рО | 2>"

так что значение Р\ близко к максимуму.

В грубом приближении (4.76) можно считать, что

I ъ РгБг = Рг(1\)

Тогда плотность тока достигает максимума, если

— -Р^! +-Д- - О,

то есть при условии, аналогичном (4.82):

Оно выполняется вблизи максимума Рь при значениях Рь немного превосходящих критическую величину Р{, если функция Р1(Р1) спадает достаточно круто.

Напряжение V находится как сумма (4.83), слагаемые которой могут достигать максимума при определенных значениях Для простоты ограничим-

Рис. 4.15. Пример зависимостей а) /(Р1), б) и в) ^+1(^1) в области макси-

мума Ра(Р1).

ся рассмотрением наиболее вероятной ситуации, когда при Рх Рг* для всех к = 2,., N — 1 выполняется неравенство

Тогда все экстремумы и убывающие участки функций Р*(Р1) лежат в интервале, где производная строго отрицательна. Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулой (4.85), справедливой в обоих приближениях (4.74), (4.76). Из нее видно, что при > 0 и ¿Р^/^Рх > 0 значение й?р£+]/е/р1 строго положительно, а й£\1<Нг\ = 1 всегда больше нуля. По индукции получаем, что на неубывающих участках зависимости ЦРх) разности потенциалов между всеми ямами структуры могут только возрастать с ростом Рх, что и требовалось доказать.

Интересно также отметить, что если ¿¿Р^/йРх < 0, то разности потенциалов между всеми последующими парами ям в изучаемой структуре убывают с ростом Рх. Действительно, как только что было показано, при этом выполняется

Рис. 4.16. Пример зависимостей а) /(Рг), б) и в) 1(У) в области максимума ^1(^1).

неравенство <Щ(№\ < 0. Тогда из (4.85) следует, что <Пгк+\1А1г\ заведомо отрицательна. Таким образом, участки возрастания и убывания плотности тока и всех величин Р^ в зависимости от Р1 расположены друг относительно друга, как схематически показано на рис. 4.15.

Согласно (4.84), для достижения экстремума напряжения V в зависимости от Р} необходимо, чтобы хотя бы одна из производных ¿¿РдУ^Рх принимала отрицательные значения, что возможно только при отрицательных значениях йЦ&Р1, как обсуждалось выше. Однако функция У(Рх) может оказаться и монотонно возрастающей во всем рассматриваемом интервале значений Р1. Эти два случая по-разному проявляются на вольт-амперной кривой: при монотонном росте напряжения с Р1 на ней наблюдается обычный 14-образный максимум, а если оно имеет локальные экстремумы, то вольт-амперная кривая приобретает 2-образную форму, как видно из рис. 4.16.

Как обсуждалось выше, появление экстремума зависимости Р^РО при некотором к влечет за собой и экстремумы РДРх) для всех г > к (см. рис. 4.15). Поэтому, чем больше квантовых ям расположено справа от к-ой, тем более вероятно немонотонное поведение У(Рх), и, следовательно, более ярко выражена 2-образная форма соответствующих участков вольт-амперной характеристики.

8.5. Максимум Рк(Рк). Пусть теперь разность потенциалов между какими-то двумя внутренними ямами структуры такова, что темпы переходов между ними близки к локальному максимуму, то есть значение Р^ (к > 1) близко к

критическому. Пусть при этом значение р! достаточно далеко от того, при котором Р} достигает максимума. В этой ситуации возможны два варианта сечения функции Р]с{Рк) гиперболой Н^(Р^): сечение в одной или в трех точках.

Первый случай реализуется, если плотность тока невелика. Тогда гипербола Нк(Рк) всегда сечет кривую Р^к) только в одной точке, и касания кривых не происходит, а значит, производные^/^ и &У / йР\ конечны. Поэтому на вольт-амперной характеристике не возникает никаких особенностей, как, например, в двойной квантовой яме с широкими барьерами, описанной в разделе 7.2.

Если же в области максимума интересующие нас кривые пересекаются в трех точках, то существуют и такие значения Р^, при которых они имеют общую касательную в точке пересечения, т.е. выполняется равенство (4.82).5 Как было показано выше, при этом производные Рк, а также разностей потенциалов между всеми последующими парами ям, вплоть до Рд/ь по Р1 бесконечны. Это же справедливо и для напряжения, т.е. тогда йУ/йР\ —> оо и на вольт-амперной характеристике в силу (4.86) наблюдаются экстремумы. В рассматриваемой области функция 1(Р\) монотонно возрастает (см. рис. 4.17(а)), а У(Р0 может, в зависимости от поведения остальных величин рг(р1), либо строго убывать во всем интервале между двумя точками с бесконечной производной, либо иметь экстремумы, как показано на рис. 4.17(6). Поэтому соответствующий максимум на вольт-амперной кривой имеет либо ]\Г-, либо (см. рис. 4.17(в)) 2-образную форму. Тот же результат можно получить, рассматривая зависимости и

У(Р^), имея в виду, что в описанных выше точках касания выполняется равенство йР\/йРк = 0, т.е. значение й!/йРк также равно нулю.

Это возможно при достаточно резком максимуме темпа перехода Р^(Р^), а также при относительно высокой плотности тока через структуру (см. раздел 8.2). Например, в случае двойной квантовой ямы уменьшение ширины барьеров повышает плотность тока при том же напряжении, что приводит к более пологому ходу секущей гиперболы. Это и позволяет проявиться максимуму 1(У), связанному с электронными переходами между внутренними ямами структуры, как, например, в структурах с узкими крайними барьерами, рассмотренной в разделе 7.4.

Рис. 4.17. Пример зависимостей а) 1(Р1), б) в) У(р1) и г) 1(У) в области

максимума Р^(Р^).

Таким образом, природа возникающих 1М- или 2-образных максимумов вольт-амперной характеристики в этом случае такая же, как и описанная в предыдущем параграфе.

8.6. Заключение. Происхождение 1\Г- или 7-образных участков вольт-амперной кривой можно упрощенно описать следующим образом. Пусть разность потенциалов Ащ между какими-то двумя квантовыми ямами структуры, либо между левым контактом и первой внутренней ямой, проходит через критическое значение, при котором достигаются максимальные темпы переходов. При ее дальнейшем увеличении дифференциальная проводимость соответствующего барьера становится отрицательной, в то время как для всех остальных барьеров она положительна. Это приводит к падению тока, а следовательно, и напряжения на всей остальной части структуры. В сумме с растущей разностью потенциалов между выделенными ямами, это может приводить либо к монотонному росту напряжения на всей структуре, либо к появлению участков падения У(Ащ). В первом случае наблюдается обычный

Ы-образный максимум тока, а во втором этот участок кривой имеет 2-образную форму, так как уменьшение напряжения возможно только в тех областях, где 1(Ащ) строго убывает. При этом описанная 2-образность тем более ярко выражена, чем большее число ям расположено справа от к-ой. При малых токах максимумы, связанные с резонансом в достаточно далеких от катода ямах, могут не проявляться.

Все сказанное в этой главе относится к стационарному транспорту в слоистых структурах. Разумеется, в реальных экспериментах очень важны процессы установления равновесия, т.е. изменение всех интересующих нас величин во времени. Характер приближения к равновесию и сама возможность его достижения определяются аттракторами изучаемой системы. Подчеркнем, что именно в тех областях, где стационарная зависимость /(У) имеет особенности, происходят изменения структуры аттракторов, и может наблюдаться неустойчивость вольт-амперной характеристики. Возникновение областей неустойчивости и хаотических режимов в полупроводниках обсуждается, например, в [117]. Здесь мы отметим лишь, что увеличение числа слоев в структуре должно приводить, как только что обсуждалось, к расширению таких областей.

Изучение динамических особенностей слоистых структур не входило в цели настоящей работы. Кроме того, мы не рассматривали многие другие инте-

ресные вопросы: интерференцию пиков, изменение вольт-амперных характеристик при перестановке мест неэквивалентных квантовых ям и др. Для расчетов использовались модельные оценки темпов переходов. Однако подчеркнем, что предложенная модель опирается, по существу, только на резонансный характер зависимостей темпов переходов между квантовыми ямами, так что полученные результаты представляются достаточно общими и могут быть использованы и при более точном описании прыжковых переходов в слоистых полупроводниковых структурах, а также других квазиодномерных системах. Для практического применения важна сама возможность целенаправленно изменять положение максимумов вольт-амперной характеристики структуры, контролируемым образом варьируя параметры ее слоев.

Основные результаты и выводы

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Построены модели для теоретического описания вертикального электронного транспорта в слоистых полупроводниковых структурах при различных режимах переноса.

2. Рассчитаны туннельные спектры прохождения электронов и вольт-амперные характеристики тонкослойных структур. Исследовано влияние различных типов беспорядка на электронные спектры прохождения в электрическом поле. Построена иерархия типов беспорядка по степени их влияния на туннелирование.

3. Выяснены причины возникновения особенностей вольт-амперных характеристик таких структур. Резкие спады тока обусловлены понижением энергии уровня в одной из квантовых ям ниже дна зоны проводимости в катоде. Совпадение в электрическом поле энергий электронных состояний в разных квантовых ямах может приводить к появлению максимумов тока.

4. Рассчитаны вольт-амперные характеристики полупроводниковых структур с относительно толстыми слоями, в которых электронные переходы происходят в основном между соседними ямами. Проведен теоретический анализ особых точек вольт-амперной характеристики с учетом перераспределения носителей заряда в структуре, позволяющий объяснить происхождение необычных 2-образных участков кривой.

[1] Esaki L., Tsu R. Superlattices and negative differential conductivity in semiconductors.// IBM J. Res. Dev. 1970. V. 14. P.P. 61-65.

[2] Dow J.D., Ren S.Y., Hess K. Random superstructures.// Phys. Rev. B. 1982. V. 25. No. 10. P.P. 6218-6224.

[3] Chomette A., Deveaud В., Regreny A., Bastard G. Observation of carrier localization in intentionally disordered GaAs/GaAlAs superlattices.// Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. No. 12. P.P. 1464-1467.

[4] Yamamoto Т., Kasu M., Noda S., Sasaki A. Photoluminescent properties and optical absorption of AlAs/GaAs disordered superlattices.// J. Appl. Phys. 1990. V. 68. No. 10. P.P. 5318-5323.

[5] Richter G., Stolz W., Thomas P., Koch S.W., Maschke K., Zvyagin I.P. Effects of Coulomb interaction in intentionally disordered semiconductor super-lattices.// Superlatt. Microstruct. 1997. V. 22. No. 4. P.P. 475-480.

[6] Шик А.Я. Сверхрешетки — периодические полупроводниковые структуры.// ФТП. 1974. Т. 8. Вып. 10. С.С. 1841-1864.

[7] Esaki L. A perspective in superlattice development.// In: Recent topics in semiconductor physics. Ed. by Kamimura H., Toyozawa Y. Singapore: World Scientific. 1983. P.P. 1-71.

[8] Wacker A. Semiconductor superlattices: a model system for nonlinear transport.// Phys. Rep. 2002. V. 357. P.P. 1-111.

[9] Ормонт M.A. Энергетический спектр и вертикальная прыжковая проводимость сверхрешеток с контролируемым беспорядком.// Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. 2000. Москва: МГУ. 121 с.

[10] Vinter В., Weil Т. Theoretical aspects of electron transport in modulated structures.// Superlatt. Microstruct. 1987. V. 3. No. 5. P.P. 481-484.

[11] Azbel M.Ya. Resonance tunneling and localization spectroscopy.// Solid State Commun. 1983. V. 45. No. 7. P.P. 527-530.

Ашкрофт H., Мермин H. Физика твердого тела.// Т. 1 Москва: Мир. 1979. 400 с.

Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.// Т. 4: Анализ операторов. Москва: Мир. 1982. 428 с.

Цикон X., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии.// Москва: Мир. 1990. 408 с.

Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике.// Москва: Наука. 1971. 544 с. Mott N.F., Twose W.D. The theory of impurity conduction.// Adv. Phys. 1961. V. 10. No. 38. P.P. 107-163.

Bellisard J., Formoso A., Lima R., Testard D. Quasiperiodic interactions with a metal-insulator transition.// Phys. Rev. B. 1982. V. 26. No. 6. P.P. 30243030.

Fuchs A., Mahler G. Model study on disordered one-dimensional microstructures.// Solid State Commun. 1985. V. 55. No. 11. P.P. 1035-1037. Kappus M., Wegner F. Anomaly in the band centre of the one-dimensional Anderson model.// Z. Phys. В - Cond. Matter. 1981. V. 45. P.P. 15-21. Soukoulis C.M., Economou E.N. Off-diagonal disorder in one-dimensional systems.// Phys. Rev. B. 1981. V. 24. No. 10. P.P. 5698-5702. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.// Т. 2. Москва: Наука. 1974. 296 с.

Казаринов Р.Ф., Сурис Р.А. К теории электрических и электромагнитных свойств полупроводников со сверхрешеткой.// ФТП. 1972. Т. <В. N 1. С.С. 148-162.

Shchamkhalova В.S., Suris R.A. Transport in superlattices in the Stark ladder regime.// Superlatt. Microstruct. 1995. V. 17. No. 2. P.P. 151-153. Пригодин В.H. Одномерная неупорядоченная система в электрическом поле.// ЖЭТФ. 1980. Т. 79. Вып. 6(12). С.С. 2338-2355. Soukoulis С.M., José J.V., Economou E.N., Sheng P. Localization in one-dimensional disordered systems in the presence of an electric field.// Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. No. 10. P.P. 764-767.

Bentosela F., Carmona R., Duclos P., Simon В., Souillard В., Weder R. Schrôdinger operators with an electric field and random or deterministic potentials.// Commun. Math. Phys. 1983. V. 88. P.P. 387-397. Cota E., José J.V., Azbel M.Ya. Derealization transition in random electrified chains with arbitrary potentials.// Phys. Rev. B. 1985. V. 32. No. 10. P.P. 6157-6165.

Delyon F., Simon В., Souillard B. From power-localized to extended states in a class of one-dimensional disordered systems.// Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. No. 24. P.P. 2187-2189.

José J.V., Monsivais G., Flores J. Study of Stark-ladder resonances in random chains in a constant electric field.// Phys. Rev. B. 1985. V. 31. No. 10. P.P. 6906-6908.

Bentosela F., Grecchi V., Zironi F. Approximate ladder of resonances in a semi-infinite crystal.// J. Phys. C: Solid State Phys. 1982. V. 15. No. 10. P.P. 7119-7131.

Bentosela F., Grecchi V., Zironi F. Stark-Wannier states in disordered systems.// Phys. Rev. B. 1985. V. 31. No. 10. P.P. 6909-6912. Bentosela F., Grecchi V., Zironi F. Oscillations of Wannier resonances.// Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. No. 1. P.P. 84-86.

Wigner E.P., von Neumann J. Uber merkvunde diskrete eigenwerte.// Zs. Phys. 1929. V. 30. No. 5,6. S.S. 465-467.

Brezini A., Sebbani M., Behilil F. Power-law localization in one-dimensional random potentials.// phys. stat. sol. (b) 1986. V. 138. P.P. K137-K142. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике.// Москва: Мир. 1991. 568 с.

Landauer R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices.// Philos. Mag. 1970. V. 21. P.P. 863-867.

Anderson P.W., Thouless D.J., Abrahams E., Fisher D.S. New method for a scaling theory of localization.// Phys. Rev. B. 1980. V. 22. No. 8. P.P. 35193526.

Andereck B.S., Abrahams E. Numerical studies of inverse localisation length in one dimension.// J. Phys. C: Solid State Phys. 1980. V. 13. P.P. L383-L389. Abrikosov A.A. The paradox with the static conductivity of a one-dimensional metal.// Solid State Commun. 1981. V. 37. P.P. 997-1000.

[40] Economou E.N., Soukoulis C.M. Static conductance and scaling theory of localization in one dimension.// Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. No. 9. P.P. 618621.

Soukoulis C.M., Economou E.N. Numerical calculation of the dc conductance by the Kubo-Greenwood formula, in one dimensional disordered systems.// Solid State Commun. 1981. V. 37. P.P. 409-411.

Fisher D.S., Lee P.A. Relation between conductivity and transmission matrix.// Phys. Rev. B. 1981. V. 23. No. 12. P.P. 6851-6854. Langreth D.C., Abrahams E. Derivation of the Landauer conductance formula.// Phys. Rev. B. 1981. V. 24. No. 6. P.P. 2978-2984. Thouless D.J. Why Landauer's formula for resistance is right.// Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. No. 13. P. 972.

Economou E.N., Soukoulis C.M. Economou and Soukoulis respond.// Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. No. 13. P. 973.

Landauer R. Can a length of perfect conductor have a resistance?// Phys. Lett. 1981. V. 85A. No. 2. P.P. 91-93.

Azbel M.Ya. Quantum ¿-dimensional Landauer formula.// J. Phys. C: Solid State Phys. 1981. V. 14. P.P. L225-L230.

Biittiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalized many-channel conductance formula with application to small rings.// Phys. Rev. B. 1985. V. 31. No. 10. P.P. 6207-6215.

Biittiker M. Small normal-metal loop coupled to an electron reservoir.// Phys. Rev. B. 1985. V. 32. No. 3. P.P. 1846-1849.

Biittiker M. Role of quantum coherence in series resistors.// Phys. Rev. B. 1986. V. 33. No. 5. P.P. 3020-3026.

Biittiker M. Symmetry of electrical conduction.// IBM J. Res. Dev. 1988. V. 32. No. 3. P.P. 317-334.

Lenstra D., Smokers R.T.M. theory of nonlinear quantum tunneling resistance in one-dimensional disordered systems.// Phys. Rev. B. 1988. V. 38. No. 10. P.P. 6452-6460.

Landauer R. Conductance determined by transmission: probes and quantised constriction resistance.// J. Phys.: Condens. Matter. 1989. V. 1. P.P. 80998110.

[54] Burmeister G., Maschke K., Schreiber M. Parametrization of scatterers in the Landauer-Büttiker transport theory.// Phys. Rev. В. 1993. V. 47. No. 12. P.P. 7095-7103.

[55] Maschke K., Schreiber M. Electron transport along a spatially disordered chain in the presence of dissipation.// Phys. Rev. B. 1994. V. 49. No. 4. P.P. 22952305.

[56] Berthod C., Gagel F., Maschke К. de transport in perturbed multichannel quantum wires.// Phys. Rev. B. 1994. V. 50. No. 24. P.P. 18299-18311.

[57] Hey R., Maschke K., Schreiber M. dc transport in dissipative disordered one-dimensional systems.// Phys. Rev. B. 1995. V. 52. No. 11. P.P. 8184-8190.

[58] Vaupel H., Thomas P., Kühn О., May V., Maschke K., Heberle A.P., Rühle W.W., Köhler К. Dissipative tunneling in asymmetric double-quantum-well system: A coherence phenomenon.// Phys. Rev. B. 1996. V. 53. No. 24. P.P. 16531-16542.

[59] Звягин И.П. Вертикальная прыжковая проводимость через виртуальные состояния в сверхрешетках с контролируемым беспорядком.// Письма в ЖЭТФ. 1999. Т. 69. Вып. 12. С.С. 879-884.

[60] Lei X.L., Höring N.J.M., Cui H.L. Theory of negative differential conductivity in a superlattice miniband.// Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. No. 25. P.P. 32773280.

[61] Брыксин В.В., Фирсов Ю.А. Общая теория явлений переноса для полупроводников в сильном электрическом поле.// ЖЭТФ. 1971. Т. 61. Вып. 6(12). С.С. 2373-2390.

[62] Ктиторов С.А., Симин Г.С., Синдаловский В.Я. Влияние брэгговских отражений на высокочастотную проводимость электронной плазмы твердого тела.// ФТТ. 1971. Т. 13. В. 8. С.С. 2230-2233.

[63] Dmitriev A.V. Hot electrons in semiconductors with long-lived resonance impurity states.// Solid State Commun. 1990. V. 74. No. 4. P.P. 237-241.

[64] Movaghar В., Leo J., MacKinnon A. Electron transport in multiple-quantum-well structures.// Semicond. Sei. Technol. 1988. V. 3. P.P. 397-410.

[65] Лифшиц И.М., Кирпиченков В.Я. О туннельной прозрачности неупорядоченных систем.// ЖЭТФ. 1979. Т. 77. Вып. 3(9). С.С. 989-1016.

[66] Price P.J. Calculation of electron propagation in heterostructures.// Superlatt. Microstruct. 1986. V. 2. P.P. 213-218.

[67] Ghatak А.К., Thyagarajan К., Shenoy M.R. A novel numerical technique for solving the one-dimensional Schrodinger equation using matrix approach — Application to quantum-well structures.// IEEE J. Quant. Electronics. 1988. V. 24. P.P. 1524-1531.

[68] Johnsson В., Eng S.T. Solving the Schrodinger equation in arbitrary quantumwell potential profiles using the transfer matrix method.// IEEE J. Quant. Electronics. 1990. V. 26. P.P. 2025-2035.

[69] Stone A.D., Lee P.A. Effect of inelastic processes on resonant tunneling in one dimension.// Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. No. 11. P.P. 1196-1199.

[70] Weil Т., Vinter B. Equivalence between resonant tunneling and sequential tunneling in double-barrier diodes.// Appl. Phys. Lett. 1987. V. 50. No. 18. P.P. 1281-1283.

[71] Brennan K.F., Summers C.J. Theory of resonant tunneling in variably spaced multiquantum well structure: An Airy function approach.// J. Appl. Phys. 1987. V. 61. No. 2. P.P. 614-623.

[72] Tsu R., Esaki L. Tunneling in a finite superlattice.// Appl. Phys. Lett. 1973. V. 22. No. 11. P.P. 562-564.

[73] Chang L.L., Esaki L., Tsu R. Resonant tunneling in semiconductor double barriers.// Appl. Phys. Lett. 1974. V. 24. No. 12. P.P. 593-595.

[74] Туннельные явления в твердых телах.// Под ред. Бурштейна Э., Лундкви-ста С. Москва: Мир. 1973. 422 с.

[75] Bishop P.J., Daniels М.Е., Ridley В.К. Electron transport in a short Alo.265Gao.735As/GaAs superlattice.// Semicond. Sci. Technol. 1998. V. 13. P.P. 482-487.

[76] Bryant G.W. Resonant tunneling through coupled, double-quantum-box nanos-tructures.// Phys. Rev. B. 1991. V. 44. No. 7. P.P. 3064-3069.

[77] Kim G., Roh D.-W., Paek S.W. Enhancement of resonant tunneling current at room temperature.// J. Appl. Phys. 1997. V. 81. No. 10. P.P. 7070-7072.

[78] Wang Y., Huang Q., Zhou J. One-dimensional to one-dimensional electron resonant tunneling in a double asymmetric quantum-wire structure.// Appl. Phys. Lett. 1999. V. 74. No. 10. P.P. 1412-1414.

[79] Jo J., Alt K., Wang K.L. Observation of new type resonances in triple barrier resonant tunneling diodes.// J. Appl. Phys. 1997. V. 82. No. 6. P.P. 2980-2983.

[80] Kristensen A., Lindelof P.E., Sorensen C.B., Wacker A. Resonant tunneling in superlattices with a basis.// Semicond. Sci. Technol. 1998. V. 13. P.P. 910-914.

[81] Lyanda-Geller Yu.B., Leburton J.-P. Resonant tunneling through arrays of nanostructures.// Semicond. Sci. Technol. 1998. V. 13. P.P. 35-42.

[82] Lapushkin I., Zakharova A., Gergel V. Modelling of the current-voltage characteristics of InAs/AlGaSb/GaSb double barrier diodes with interband resonant tunneling.// Semicond. Sci. Technol. 1999. V. 14. P.P. 731-735.

[83] Ping E.X., Jiang H.X. Resonant tunneling of double-barrier quantum wells affected by interface roughness.// Phys. Rev. B. 1989. V. 40. No. 17. P.P. 1179211798.

[84] Krishnamurthy S., Chen А.-В., Sher A. I-V characteristics of resonant tunneling devices: difference equation method,// J. Appl. Phys. 1998. V. 84. No. 9. P.P. 5037-5045.

[85] Zhao P., Cui H.L., Woolard D., Jensen K.L., Buot F.A. Simulation of resonant tunneling structures: Origin of the I-V hysteresis and plateau-like structure.// J. Appl. Phys. 2000. V. 87. No. 3. P.P. 1337-1349.

[86] Бенеславский С.Д., Елистратов А.А., Шибков С.В. Электропроводность одномерного полупроводника с периодическим потенциалом.// ФТП. 2003. Т. 37. В. 3. С.С. 346-352.

[87] Miller A., Abrahams Е. Impurity conduction at low concentrations.// Phys. Rev. 1960. V. 120. No. 2. P.P. 745-756.

[88] Шкловский Б.И., Эфрос A.JI. Электронные свойства легированных полупроводников.// Москва: Наука. 1979. 416 с.

[89] Звягин И.П. Кинетические явления в неупорядоченных полупроводниках.// Москва: МГУ. 1984. 190 с.

[90] Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников.// Москва: Наука. 1977. 672 с.

[91] Zvyagin I.P., Ormont М.А., Borisov К.Е. Hopping transport equation for electrons in superlattices with vertical disorder.// Proc. 8th Intl. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology". St. Petersburg. June 14-18, 2000. P.P. 516-519.

[92] Tsu R., Dohler G. Hopping conduction in a "superlattice".// Phys. Rev. B. 1975. V. 12. No. 2. P.P. 680-686.

[93] Крючков C.B., Михеев H.П. О проводимости двумерных электронных систем с одномерной сверхструктурой.// ФТП. 1982. Т. 16. В. 11. С.С. 20432044.

[94] Rott S., Binder P., Linder N., Dohler G.H. A combined model for miniband and hopping transport in superlattices.// Physica E. 1998. V. 2. P.P. 511-514.

[95] Rott S., Binder P., Linder N., Dôhler G.H. Combined description for semi-classical and quantum transport in superlattices.// Phys. Rev. B. 1999. V. 59. No. 11. P.P. 7334-7337.

[96] Rott S., Linder N., Dôhler G.H. Self-consistent hopping transport in superlattices: non-equilibrium distribution functions and electron heating.// Physica B. 1999. V. 272. P.P. 213-215.

[97] Wacker A., Jauho A.-P., Rott S., Markus A., Binder P., Dohler G.H. Inelastic quantum transport in superlattices: success and failure of the Boltzmann equation.// Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. No. 4. P.P. 836-839.

[98] Rott S., Linder N,, Dohler G.H. Field dependence of the hopping drift velocity in semiconductor superlattices.// Phys. Rev. B. 2002. V. 65. No. 19. P.P. 195301/1-12.

[99] Bulashenko O.M., Bonilla L.L. Chaos in resonant-tunneling superlattices.// Phys. Rev. B. 1995. V. 52. No. 11. P.P. 7849-7852.

[100] Wacker A., Moscoso M., Kindelan M., Bonilla L.L. Current-voltage characteristic and stability in resonant-tunneling n-doped semiconductor superlattices.// Phys. Rev. B. 1997. V. 55. No. 4. P.P. 2466-2475.

[101] Kastrup J., Hey R., Ploog K.H., Grahn H.T., Bonilla L.L., Kindelan M„ Moscoso M., Wacker A., Galan J. Electrically tunable GHz oscillations in doped GaAs-AlAs superlattices.// Phys. Rev. B. 1997. V. 55. No. 4. P.P. 24762488.

[102] Sanchez D., Moscoso M., Bonilla L.L., Platero G., Aguado R. Current self-oscillations, spikes, and crossover between charge monopole and dipole waves in semiconductor superlattices.// Phys. Rev. B. 1999. V. 60. No. 7. P.P. 14891492.

[103] Sanchez D., Moscoso M., Bonilla L.L., Platero G., Aguado R. Dynamics of electric field domain walls in semiconductor superlattices.// Physica E. 2000. V. 7. P.P. 299-301.

[104] Bonilla L.L., Platero G., Sanchez D. Microscopic derivation of the drift velocity and diffusion coefficients in discrete drift-diffusion models of weakly coupled superlattices.// Phys. Rev. B. 2002. V. 62. No. 4. P.P. 2786-2795.

[105] Aguado R., Platero G., Moscoso M., Bonilla L.L. Microscopic model for sequential tunneling in semiconductor multiple quantum wells.// Phys. Rev. B. 1997. V. 55. No. 24. P.P. R16053-R16056.

[106] Gerhardts R.R. Effect of elastic scattering on miniband transport in semiconductor superlattices.// Phys. Rev. B. 1993. V. 48. No. 12. P.P. 9178-9181.

[107] Гантмахер В.Ф., Левинсон И.Б. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках.// Москва: Наука. 1984. 352 с.

[108] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория.// Серия "Теоретическая физика". Т. III. Москва: Наука. 1974. 752 с.

[109] Физические величины. Справочник.// Под ред. Григорьева И.С. и Мейли-хова Е.З. Москва: Энергоатомиздат. 1991. 1232 с.

[110] Nagai S., Kondo J. Electrons in infinite one-dimensional crystals in a uniform electric field.// J. Phys. Soc. Jap. 1980. V. 49. No. 4. P.P. 1255-1259.

[111] Флюгге 3. Задачи по квантовой механике.// Т. 1. Москва: Мир. 1974. 342 с.

[112] Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране.// Москва: МГУ. 1990. 336 с.

[113] Kast М., Pacher С., Strasser G., Gornik Е. Ballistic electron spectroscopy of Wannier-Stark states in short period superlattices.// Abstr. 15th Intl. Conf. Electronic Properties of Two-Dimensional Systems (EP2DS-15). Nara, Japan. July 14-18, 2003. P.P. 893-894.

[114] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.// Москва: Наука. 1967. 576 с.

[115] Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.// Москва: Наука. 1984. 320 с.

[116] Press W.H., Flannery В.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T. Numerical Recipes.// Cambridge: Cambridge University Press. 1986. 800 p.

[117] Бонч-Бруевич В.Л., Звягин И.П., Миронов А.Г. Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках.// Москва: Наука. 1972. 416 с.