Векторные поля на супермногообразиях флагов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Вишнякова, Елизавета Геннадьевна

• Вишнякова, Елизавета Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вишнякова, Елизавета Геннадьевна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§1. Супермногообразия и супергруппы Ли

§2. Примеры супергрупп и супералгебр Ли

Глава 2. Однородные супермногообразия и однородные суперрасслоения

§3. Структура однородных супермногообразий

§4. Суперрасслоения и проектирование векторных полей

Глава 3. Супермногообразия флагов

§5. Определение супермногообразий флагов

§6. Применение теоремы Бореля-Вейля-Ботта для супермногообразий флагов

§7. Функции на супермногообразиях F£jjn и Ffc|j(qn(C))

Глава 4. Векторные поля на супермногообразиях флагов

§8. Векторные поля на супермногообразиях флагов, основной случай

§9. Супермногообразие флагов, связанное с супералгеброй Ли

MPfcx-iia^C)

9.1 Вычисление Кег V

9.2 Вычисление Im7>

§10. Некоторые исключительные случаи

10.1 (В, Ов) является исключительным суперграссманианом

10.2 (F, Ор) является исключительным суперграссманианом

§11. Основной результат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Векторные поля на супермногообразиях флагов»

Известно, что все голоморфные векторные поля на многообразии флагов заданного типа в Сп являются фундаментальными для естественного действия на нем группы GLn(C), так что алгебра Ли таких полей естественно изоморфна pg(n(C). Аналогичное утверждение, за немногочисленными исключениями, справедливо для многообразий флагов, изотропных относительно невырожденной симметрической или кососимметрической билинейной формы в С". Этот результат был получен А.Л. Онищиком в 1959 г. (см. [13]).

В 80-х годах прошлого века Ю.И. Манин [1] построил четыре серии комплексных супермногообразий флагов, связанных со следующими четырьмя сериями классических линейных супералгебр Ли д: i) g[m|n(C) — супералгебра Ли всех линейных преобразований векторного суперпространства Cm'n, ii) ospm|„(C) (при четном п) — подалгебра операторов из g[m|n(C), аннулирующих невырожденную четную симметрическую билинейную форму (3 в Cm'n, iii) 7rspn(C) (при т = п) — подалгебра операторов, аннулирующих невырожденную нечетную кососимметрическую билинейную форму /3 в Сп'п, iv) q„(C) (при т — п) — подалгебра операторов, перестановочных с нечетным инволютивным линейным преобразованием П в С"К

Настоящая работа посвящена вычислению супералгебр Ли голоморфных векторных полей на этих супермногообразиях. Оказывается, что при некоторых ограничениях на тип флагов все эти поля являются фундаментальными для естественного действия соответствующей супергруппы Ли.

Изучение супералгебр Ли голоморфных векторных полей на супермногообразиях флагов длины 1, т.е. на супермногообразиях Грассмана, было начато в 90-х годах прошлого века в работах А.Л. Онищика и A.А. Серова. Точнее, в работе [2] задача вычисления этой супералгебры Ли была решена для суперграссманиа-нов, связанных с супералгеброй Ли g[m|n(C). Далее, в [3, 4] была исследована супералгебра Ли голоморфных векторный полей на изотропных суперграссманиа-нах максимального типа, связанных с супералгебрами Ли ospm|2n(C) и 7rsp„(C). Супералгебра Ли голоморфных векторный полей на супермногообразиях Грассмана, связанных с супералгеброй Ли qn(C), была вычислена А.Л. Онищиком в [5]. Некоторые исключительные случаи были исследованы также В.А. Бунеги-ной [10], А.Л. Онищиком [11] и А.А. Серовым [9].

Основной целью работы является вычисление супералгебры Ли голоморфных векторных полей на супермногообразиях флагов, связанных с различными классическими линейными супералгебрами Ли, с использованием указанных выше результатов о голоморфных векторных полях на супермногообразиях Грассмана.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан общий метод вычисления супералгебры Ли голоморфных векторных полей на тотальном пространстве однородного суперрасслоения по известным супералгебрам Ли голоморфных векторных полей на его базе и слое.

2. На случай комплексных однородных супермногообразий перенесена классическая теорема о представлении однородного пространства группы Ли в виде факторпространства этой группы по стабилизатору точки.

3. Вычислены супералгебры Ли голоморфных векторных полей на комплексных супермногообразиях флагов длины г > 1 в следующих случаях: а) g = g[m|n(C) — при некоторых ограничениях на тип флагов, б) g = 05pm|n(C), 7rspn(C) — при условии, что максимальное полотнище флага есть вполне изотропное относительно j3 подпространство наибольшей возможной размерности (супермногообразия изотропных флагов максимального типа), в) g = qn(C) — без ограничений на тип флагов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава носит вводный характер. В ней излагаются основные понятия теории комплексных супермногообразий и супергрупп Ли. Даются определения действия супергруппы Ли на супермногообразии, инвариантного подсупермно-гообразия, транзитивного действия. В качестве примеров обсуждаются упомянутые выше классические линейные супералгебры Ли g и определяются соответствующие линейные супергруппы Ли.