Алгебры Новикова-Пуассона и супералгебры йордановых скобок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Захаров, Антон Станиславович

• Захаров, Антон Станиславович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Захаров, Антон Станиславович

Оглавление

1 Алгебры Новикова - Пуассона

§1 Основные свойства

§2 Кольцо частных алгебры Новикова - Пуассона

2 Алгебры Новикова - Пуассона малых размерностей

§1 Двухмерные алгебры Новикова - Пуассона

§2 Трехмерные алгебры Новикова - Пуассона

к»

3 Иордановы супералгебры и алгебры Новикова - Пуассона

§1 Дубль Кантора для алгебры Новикова - Пуассона

§2 Специальность дубля Кантора

§3 Теоремы о простоте

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебры Новикова-Пуассона и супералгебры йордановых скобок»

Введение

Актуальность темы исследования. Данная работа посвящена изучению алгебр Новикова - Пуассона и соответствующих им йордановых супералгебр. Алгебры Новикова изначально возникли в работах И. М. Гельфанда и И. Я. Дорфмана в

[1] как формализм, описывающий условие гамильтоновости операторов определенного вида, действующих на гладких конечномерных многообразиях со значениями в алгебрах Ли векторных полей. В работе А. А. Балинского и С. П. Новикова в

[2] алгебры Новикова были введены для изучения скобок Пуассона гидродинамического типа.

E.H. Зельманов в [3] показал, что всякая конечномерная алгебра Новикова над полем характеристики нуль является полем. В.Т. Филлиповым в [4] были построены примеры неассоциативных конечномерных простых алгебр Новикова над полем ненулевой характеристики и бесконечномерных простых алгебр Новикова над полем нулевой характеристики. Изучению простых алгебр Новикова с идем-потентом посвящены работы М. Дж. Осборна [5, 6, 7]. В частности, были описаны простые алгебры Новикова с идемпотентом над полем простой характеристики. Развив результаты М. Дж. Осборна, К. Key в [8] доказал следующую теорему

Теорема. Пусть А — простая алгебра Новикова над алгебраически замкнутым полем характеристики р > 2. Тогда в А существует базис, состоящий из

¡ji, где г = —1,0,... ,рп — 2, умножение на котором задано следующим образом

( г + j + 1 \ Уг О Уз = Уг+j + 6i-i6j-iaypn-2 +

V i J

для некоторых фиксированных скаляров а}Ь из поля. Обозначим полученные таким образом алгебры Nn.

К. Key в [9] ввел понятие алгебр Новикова - Пуассона. А именно, это — алгебра (Л, •, о) с двумя умножениями • и о, причем (Л, •) — ассоциативная коммутативная алгебра, (Л, о) — алгебра Новикова, то есть верны тождества

(х о у) о z = (х о z) о у,

(х О у ) о Z — X О [у о z) = (у О ж) О Z — У о (х О z),

а также

ху о z = х{у о z),

ZX О у — X О yz = zy О X — у О xz.

Пусть (Л, •) — ассоциативная коммутативная алгебра с дифференцированием D. Зададим на А новое умножение о, полагая

а о Ь = aD(b).

Тогда (А, о) — алгебра Новикова (см. [1, 9]).

Заметим (см. [9]), что эту конструкцию можно обобщить, задав умножение о следующим образом

а о Ь = aD(b) + 7ab,

°3десь и далее по тексту будем считать, что операция • перед о имеет приоритет. Как правило, символ • мы будем опускать.

где 7 £ А Алгебры Новикова, определенные вышеуказанным способом, будем называть алгебрами Новикова векторного типа. При этом (А, •, о) — алгебра Новикова - Пуассона, которую так же будем называть алгебрами Новикова - Пуассона векторного типа.

Понятие алгебры Новикова-Пуассона позволяет изучать алгебры Новикова (см. работы [9, 10]). Заметим, что на алгебре можно задать новое умножение

_ ( г + +

\ )

Получим ассоциативную коммутативную алгебру. Также можно определить функцию И следующим образом

И(хг) = хг_1 + 6ьохрп_2.

Тогда И — дифференцирование алгебры (ЛГп,о) и

Х{ о Ху = Х{ о 0{ху) + ахрп-2 о^о х^.

Таким образом, получим алгебру Новикова - Пуассона (Л,о, о).

Более того, если рассмотрим произвольную алгебру Новикова - Пуассона (А, •, о) такую, что алгебра Новикова (А, о) имеет вид Тогда (см. [9]) существует элемент <Е А такой, что

ОС ^ * ОС 2 —

£ О Х{ о Ху.

В [10] была предложена следующая конструкция простых алгебр Новикова. Рассмотрим г2{С,¥*)

это множество коциклов группы С, то есть отображений

/ : С2 —>• F* таких, что

с умножением, заданным

(/1/2X0102) = ¡1(9ъ92)12(9ъ92)-

Теперь возьмем подгруппу А аддитивной группы поля F*, расширение Fi поля F, симметрический элемент / € Z2(A,F^), J G {{0},N} и рассмотрим линейную оболочку векторов xaj, где а Е A,j Е J. Определим умножение следующим образом

Получим ассоциативную коммутативную алгебру Определим отображение D

D(xaj) oixa j jxa j—\.

Тогда D дифференцирование. Теперь возьмем £ G F и рассмотрим ещё одно умножение

хо^у = xD{y) +^ху.

Получим алгебру Новикова, которую обозначим (А(Д, /, J), о^).

Оператор линейный оператор Т векторного пространсва V называется локально конечным, если

dim £nGNFTn{v) < оо

для любого v G V. Элемент е алгебры А нызается левый локально конечным, если оператор левого умножения Le локально конечен над А. В [10] была доказана следующая

Теорема. Пусть (А, о) бесконечномерная простая алгебра Новикова над полем F; характеристики нуль, содержащая элемент левый локально конечный элемент е такой, что оператор правого умножения Re есть умножение на константу и Le сюрьективный, если Re = 0. Тогда существует подгруппа А аддитивной группы поля F*; расширение Fi поля F; симметрический элемент f G Z2{A,F|), J G {{0}, N} и ^ G F такие, что алгебра (A, о) изоморфна алгебре (А(Д J, J), ое).

Из сказанного выше следует, что среди алгебр Новикова-Пуассона важную роль играют алгебры Новикова-Пуассона векторного типа. Поэтому возникает

Вопрос 1. При каком условии алгебра Новикова-Пуассона вкладывается в алгебру Новикова-Пуассона векторного типа.

Ч. Бай и Д. Менг в работе [11] описали алгебры Новикова размерности 2 и 3 над полем комплексных чисел С. Естественно возникает следующий

Вопрос 2. Можно ли с помощью классификации Ч. Байя и Д. Менга описать алгебры Новикова - Пуассона размерности 2 и 3 над полем комплексных чисел С? Все ли они векторного типа?

Одним из основных объектов исследования в теории колец являются йордано-вы алгебры. Алгебра 3 называется йордановой, если в ней выполнены тождества

ху = ух) (х2у)х = х2(ух).

Пусть F — поле характеристики, не равной 2. Тогда Ж2-градупрованной алгеброй или супералгеброй мы будем называть алгебру А = Ао 0 А\, где компоненты Ао, умножаются по правилу

А{Ау с Ai+j(rno¿2).

Подпространство Ао — четная часть супералгебры А, А\ — нечетная. Определим для однородных элементов х Е Ао и А\ функцию четности, полагая

\х\ = % при х Е А{.

Рассмотрим С = (б1, б2,... \ ejej = — е^е^ алгебру Грассмана над F,тo есть ассоциативную алгебру, заданную образующими 1, ех, б2,... и определяющими соотношениями е^еу = —е^. Произведения 1, где г\ < ¿2 < ••• < Ч, образуют базис алгебры С. Пусть Со-,С\ это подпространства, порожденные, соответственно, произведениями четной и нечетной длины. Тогда С = Со + С\ — супералгебра.

Пусть А = Ао + А\ — произвольная супералгебра. Рассмотрим тензорное произведение С <8)р А. Тогда С{А) = Со <8)р Ао + С\ <8)р А\ является подалгеброй в алгебре С А и называется грассмановой оболочкой супералгебры А. Пусть О, — произвольное многообразие алгебр. Тогда говорим, что А — супералгебра многообразия Г2, если ее грассманова оболочка С{А) — алгебра многообразия О,. В частности, супералгебра А называется йордановой супералгеброй тогда и только тогда, когда ее грассманова оболочка С(А) — йорданова алгебра

Одним из способов получения йордановых супералгебр является конструкция И.Л. Кантора [12]. Пусть (А,-), — ассоциативная суперкоммутативная супералгебра и А = Ао + А\. Предположим, что на А задана билинейная суперкосо-симметрическая операция { , }, которую мы будем называть скобкой. Рассмотрим <]{А) = А + где А^ — изоморфная копия А. Введем на </(А) умножение • следующим образом:

а.Ъ = аЪ,а»Ъ( = (а% а(»Ъ= (-1 )|ь|(а% = (-1)|6|{а, &},

где а, Ь Е Ао и А\ и аЬ — произведение в А. Определим градуировку

3{А)о = А0 + А& 3{А)1 = А: + А0^

Полученная супералгебра называется дубль Кантора, который будем обозначать </(А, { , }). Скобка { , } называется йордановой, если </(А, { , }) является йордановой супералгеброй.

Если супералгебра (А, •) — унитальна, то в этом случае отображение И : А А, заданное следующим образом 0{х) = {1,ж}, является дифференцированием супералгебры А.

Пусть (А, •) — ассоциативная коммутативная супералгебра с четным дифференцированием <9, то есть д(А^ С А^. Определим скобку следующим образом

{а, Ь} = д{а)Ъ — ад(Ь).

Тогда -1(А} { , }) — йорданова супералгебра (см. [14, 15]), которая называется йор-дановой супералгеброй векторного типа и обозначается Т(А) д). В этом случае скобка { ,} называется йордановой скобкой векторного типа.

Приведем еще один пример супералгебры йордановых скобок. Пусть (А, •) ассоциативная коммутативная алгебра с йордановой скобкой { ,} такой, что И = 0. В этом случае алгебра { ,}) называется йордановой алгеброй пуассонова типа.

Рассмотрим ассоциативную супералгебру А и определим на векторном пространстве А новое умножение

пералгебра 3 называется специальной, если она вложима (как супералгебра) в

зывается исключительной. Алгебра называется слабо специальной (или, что тоже самое, ¿-специальной), если она является гомоморфным образом специальной йордановой супералгебры.

Специальность йордановых супералгебр векторного типа независимо доказали И. П. Шестаков в [14] с одной стороны, Д. Кинг и К. МакКриммон с другой в [15], а именно, имеет место следующая

Теорема. Пусть д) — йорданова супералгебра векторного типа. Тогда ■1(А} д) — специальна. А именно, отображение

а®3Ь = -(аЬ + (-1)\аЩЬа).

1

Тогда получим йорданову супералгебру, которую обозначим А^К Йорданова су-

супералгебру А^8 для подходящей ассоциативной супералгебры А, иначе 3 на-

есть вложением 3(А, д) в супералгебру М^^гм^А) с четной частью

ф 0 0

и нечетной

0 ф ф О

,Ф,Ф е Епс1А

В работе [15] показано, что скобка пуассоновского типа не всегда специальна, а именно, доказана

Теорема. Пусть С = Со + С\ — алгебра Грассмана. Определим на С скобку

где д{ : С ь-» С — нечетные дифференцирования такие, что ¿^(еу) = Тогда ■1(С} { , }) — исключительная йорданова супералгебра пуассонова типа.

Однако, В.Г. Скосырским в [16] и И.П. Шестаковым [17] была показана слабая специальность супералгебр пуассонова типа

Теорема Пусть { , }) — йорданова супералгебра пуассонова типа. Тогда { , }) — слабо специальна. Она специальна тогда и только тогда, когда

К. Мартинес, Е. И. Зельмановым и И. П. Шестаковым в [18] этот результат был усилен. А именно, доказана

Теорема. Для произвольной йордановой скобки { ,} на ассоциативной коммутативной (супер)алгебре А йорданова супералгебра >1(А^{ ,}) — слабо специальна.

И. П. Шестаковым в работе [19] получены необходимые условия специальности. А именно, доказана

Теорема. Если супералгебра йордановых скобок { , }) специальна, то выполнено тождество

{{А,А},А} = 0

((а,Ъ)с) = —0(а){Ъ1 с) + (-1 )|а||ь|£>(6)(а, с),

где

(а, Ь) = {а)Ь}-0(а)Ь + а0(Ь).

Рассмотрим алгебру Новикова - Пуассона (А, о). Пусть алгебра (А, •) — уни-тальная. Тогда отображение д : А ь->• А, заданное следующим образом:

д(а) = 1 о а — а о 11

будет дифференцированием алгебры (А,-) (см. [9]). В этом случае операция о будет задаваться следующим правилом

а о Ь = ад(Ь) + (1 о 1 )аЪ.

В частности, все алгебры Новикова - Пуассона с унитальной ассоциативной коммутативной частью есть алгебры Новикова - Пуассона векторного типа. Зададим скобку на (А, •) следующим образом

{а, Ь} = а о Ь — Ъ о а.

Тогда

{а, Ь} = ад(Ь) — д{а)Ъ,

То есть полученная скобка является йордановой скобкой векторного типа. Как уже было отмечено, соответствующий дубль Кантора является супералгеброй векторного типа, а значит и специальной йордановой супералгеброй. В связи с этим возникает естественный

Вопрос 3. Пусть (Л, -,о) - произвольная алгебра Новикова-Пуассона над полем характеристики, отличной от 2. Зададим скобку следующим образом

{а, Ь} = а о Ь — Ъ о а.

Верно ли, что </(Д { , }) — специальная йорданова супералгебра?

Ассоциативные коммутативные алгебры с дифференцированием тесно связаны с супералгебрами различных многообразий. В [15] найдена связь между простыми йордановыми супералгебрами и ассоциативными коммутативными дифференциально простыми алгебрами. В [20] показано, что альтернативная супералгебра, построенная из дифференциально простой (дифференциально первичной) ассоциативной коммутативной алгебры, сама является простой (первичной) супералгеброй. В [21] установлена связь между простыми (7, 6)- супералгебрами и дифференциально простыми ассоциативно коммутативными алгебрами.В [22], используя дифференциально простые ассоциативно коммутативные алгебры, построены новые примеры простых йордановых супералгебр. В [23] установлено соответствие между алгебрами Новикова - Пуассона с ассоциативно коммутативной единицей и йордановыми супералгебрами. В работе [24] доказана

Теорема. Пусть (А,-, о) — нетривиальная алгебра Новикова - Пуассона с ассоциативнои коммутативной еоиницеи над полем характеристики, отличнои от 2. Зададим скобку следующим образом

{а, Ь} = а о Ь — Ъ о а.

Тогда алгебра (А, •, о) проста тогда и только тогда, когда проста йорданова супералгебра </(А, { ,}).

Там же сформулирован

Вопрос 4. Пусть (А, •, о) - произвольная алгебра Новикова-Пуассо- на над полем характеристики, отличной от 2. Зададим скобку следующим образом

{а, Ь} = а о Ь — Ъ о а.

Верно ли, что (А, о) проста тогда и только тогда, когда </(А, { ,}) — простая йорданова супералгебра?

Цель работы. Главная цель работы состоит в изучение алгебр Новикова -Пуассона, соответствующих йордановых супералгебр и связи между ними. В частности, дать ответы на поставленные ранее вопросы 1-4.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми, получены автором самостоятельно (п. 1, п. 2 и п. 4) или в неразделимом соавторстве с научным руководителем В. Н. Желябиным (п. 3).

Теоретическая и практическая значимость результатов. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны для специалистов в теории дифференциальных алгебр, алгебр Новикова - Пуассона и йордановых супералгебр, а также могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в областях алгебры.

Методология и методы исследования. В работе используются методы комбинаторной и структурной теории дифференциальных алгебр, алгебр Новикова - Пуассона и йордановых супералгебр.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

1. Найдены условия того, что алгебра Новикова - Пуассона вкладывается в алгебру Новикова - Пуссона векторного типа.

2. Описаны алгебры Новикова - Пуассона размерности 2, 3 над полем комплексных чисел, приведены алгебры Новикова - Пуассона не векторного типа.

3. Доказано, что коммутатор относительно умножения Новикова есть йордано-ва скобка на ассоциативной коммутативной части алгебры Новикова - Пуассона, а соответствующий дубль Кантора — специальная йорданова супералгебра.

4. Доказано, что простота алгебры Новикова при некоторых ограничениях на ассоциативную коммутативную часть эквивалентна простоте соответствую-

щего дубля Кантора.

Аппробация результатов. Результаты докладывались на следующих конференциях:

1. Международная конференция "Lie and Jordan algebras, their representations and applications-VI, dedicated to Efim Zelmanov's 60th birthday", Бенту Гон-салвес, Бразилия, 13-19 декабря, 2015 г.

2. Международная конференция "Алгебра и математическая логика: теория и приложения", Казань, Россия, 2-6 июня 2014 г.

3. 52-я Международная научная студенческая конференции "Студент и научно

- технический прогресс", Новосибирск, Россия, 11-18 апреля 2014 г.

4. Международная конференция "Мальцевские чтения", Новосибирск, Россия,

11-15 ноября мая 2013 г.

5. 51-я Международная научная студенческая конференции "Студент и научно

- технический прогресс", Новосибирск, Россия, 12-18 апреля 2013 г.

6. Международная конференция "Мальцевские чтения", Новосибирск, Россия,

12-16 ноября мая 2012 г.

7. Всероссийская молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2012", Казань, Россия, 1-6 ноября 2012 г.

8. Юбилейная 50-я Международная научная студенческая конференции "Студент и научно - технический прогресс", Новосибирск, Россия, 13-19 апреля 2012 г.

9. Всероссийская молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2012", Казань, Россия, 31 октября - 4 ноября 2011 г.

10. Международная конференция по теории колец посвященная 90-летию со дня рождения А.И. Ширшова, Новосибирск, Россия, 14-18 июля 2011 г.

11. 49-я Международная научная студенческая конференции "Студент и научно - технический прогресс", Новосибирск, Россия, 16-20 апреля 2011 г.

Также, результаты обсуждались на семинаре «Теория колец» им. А. И. Ширшова Института математики СО РАН, семинаре «Алгебра и логика» Новосибирского государственного университета.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [28] - [40]. В том числе, работы [28] - [31] входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Результаты работы [30] получены в нераздельном соавторстве с научным руководителем В. Н. Желябиным.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы, 3 таблиц. Она изложена на 77 страницах. Список литературы содержит 40 наименований.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Публикации автора по теме диссертации приведены отдельным списком. Главы диссертации разбиты на параграфы. Нумерация всех формул сквозная. Нумерация всех утверждений тройная: первая цифра указывает номер главы, вторая — номер параграфа, а третья — порядковый номер утверждения. Нумерация формул двойная: первая цифра указывает номер главы, вторая — номер утверждения внутри главы.

Глава 1 (Алгебры Новикова - Пуассона) посвящена изучению произвольных алгебр Новикова - Пуассона. В параграфе 1.1 вводится более общий класс алгебр, включающий в себя алгебры Новикова - Пуассона. Назовём алгебраическую

систему (А, •, о) с двумя билинейными операциями • и о обобщённой алгеброй Новикова - Пуассона, если (А, •) — ассоциативная коммутативная алгебра и верны тождества

ху о z = х{у о z), ZX О у — X О yz = zy О X — у О xz.

Доказывается

Лемма 1.1.1. Пусть (А,-, о) — обобщенная алгебра Новикова - Пуассона. Тогда в ней имеют место следующие тождества:

а((х о у) о z — (х о z) о у) = 0; ab((x о у) о z — х о [у о z) — {у о х) о z + у о (х о z)) = 0.

Это означает, что в обобщенной алгебре Новикова - Пуассона, которая не является алгеброй Новикова - Пуассона, все элементы делители нуля.

В параграфе 1.2 приводится конструкция кольца частных для обобщенных алгебр Новикова - Пуассона. Для этого выбирается S — произвольное мультипликативно замкнутое подмножество ассоциативной коммутативной алгебры (Л, •) и рассматривается кольцо частных (Frs{A), •) алгебры (А,-) относительно множества S. Для a,b,c <Е S определим \аЪс = а6ос+аас6°с6"ао6с-

Лемма 1.2.1. Пусть а, 6, с, d, е, / G S. Тогда \аъс = Kief-

Определим новое умножение oFr на Frs(A) следующим образом:

a b аЪ a ob аЪ от

— oFr — = А--1----—.

п т пт пт nmz

Это умножение задано корректно. Более того, справедлива

Лемма 1.2.4. Пусть (Л, •, о) — обобщённая алгебра Новикова - Пуассона, тогда отображение ф : а ь^ f будет гомоморфизмом обобщенных алгебр Новикова - Пуассона. В качестве ответа на вопрос 1 справедлива

Теорема 1.2.5. Пусть (Л,-, о) — обобщённая алгебра Новикова - Пуассона, и х не является делителем нуля в алгебре (А} •). Тогда (А, •, о) есть алгебра Новикова - Пуассона и вложима в алгебру Новикова - Пуассона векторного типа.

Глава 2 (Алгебры Новикова - Пуассона малых размерностей) посвящена изучению алгебр Новикова - Пуассона размерностей 2 и 3. В параграфе 2.1 изучаются двухмерные алгебры Новикова - Пуассона. Следующие две теоремы описывают структуру алгебр Новикова - Пуассона размерностей 2.

Теорема 2.1.6. Пусть (А, •, о) — двухмерная алгебра Новикова - Пуассона над полем комплексных чисел С с базисом причем (А, о) не является ассоциа-

тивной коммутативной алгеброй. Тогда характеристическая матрица алгебры (А} •) имеет вид

О ае 1 ае 1 ¡Зе\ + ае 2

а характеристическая матрица алгебры (А} о) имеет вид Тз, А^, Щ или А^ (см. таблицу 1).

Теорема 2.1.7. Пусть (Л,-, о) — двухмерная алгебра Новикова - Пуассона над полем комплексных чисел С. Предположим, что (А, о) не является ассоциативной коммутативной алгеброй. Тогда характеристическая матрица алгебры (А} •) имеет вид

О ае 1 ае 1 ¡Зе\ + ае 2

Для того, чтобы (Л,-, о) была алгеброй Новикова - Пуассона векторного типа, необходимо и достаточно а / О

В параграфе 2.2 изучаются двухмерные алгебры Новикова - Пуассона. Следующие две теоремы описывают структуру алгебр Новикова - Пуассона размерностей 3.

Теорема 2.2.1. Пусть (Л,-, о) — трехмерная алгебра Новикова - Пуассона

над полем комплексных чисел С с базисом е2} ез. Предположим, что (А, о) не является ассоциативной коммутативной алгеброй. Тогда в таблице 3 дано полное описание таких алгебр. А именно, в первом столбце тип алгебры Новикова, во втором — характеристическая матрица соответствующего ассоциативного коммутативного умножения.

Теорема 2.2.2. Пусть (Л,-, о) — трехмерная алгебра Новикова - Пуассона над полем комплексных чисел С. Предположим, что (А, о) имеет характеристическую матрицу типа

0 0 0

0 0 ei

0 -ei 0

Тогда характеристическая матрица алгебры (А} •) имеет вид

^00 о ^

0 ае 1 Ье\ у 0 bei cei j

Алгебра (А} •, о) является алгеброй векторного типа тогда и только тогда, когда Ь2 ф ас.

Теоремы 2.1.6, 2.1.7, 2.2.1, и 2.2.2 дают ответ на вопрос 2. В главе 3 (Йордановы супералгебры и алгебры Новикова - Пуассона) устанавливается связь между произвольными алгебрами Новикова - Пуассона и супералгебрами йордановых скобок. В параграфе 3.1 основным результатом является Теорема 3.1.1. Пусть (Л, •, о) — обобщенная алгебра Новикова - Пуассона и

{а, Ь} = а о Ь — b о а.

Тогда J(A, { ,}) — йорданова супералгебра, то есть { ,} — йорданова скобка на алгебре (А,-).

В параграфе 3.2 доказывается специальность йордановой супералгебры построенной по алгебре Новикова-Пуассона. По обобщенной алгебре Новикова - Пуассона (А,-, о) строится (—1,1)-супералгебра, то есть такая супералгебра, для её грассмановой оболочки выполнены тождества

(>, 2/, у) = 0; (х, у, г) + (у, 2, х) + (г, х} у) = 0.

Пусть (А, о) — обобщенная алгебра Новикова - Пуассона. Рассмотрим В (А) = А + где А£ — изоморфная копия векторного пространства А. Определим на В (А) новое умножение * следующим образом

а *Ь = аЬ, а = а^ *Ь = (аЬ)£, * = —2а о Ь — 4Ь о а.

Предложение 3.2.1. Пусть (А, •, о) — обобщенная алгебра Новикова - Пуассона. Тогда (В(А), *) — (-1,1)-супералгебра.

и с помощью неё доказывается Теорема 3.2.3. Пусть (А, о) — обобщенная алгебра Новикова - Пуассона и

{а, Ь} = а о Ь — Ъ о а.

Тогда { , }) — специальная йорданова супералгебра.

Теоремы 3.1.1 и 3.2.3 дают положительный ответ на вопрос 3.

В параграфе 3.3 изучается взаимная простота алгебр Новикова и соответствующего дубля Кантора. Сначала рассматривается простая йорданова суперал-геба. На её четной части определяются дифференцирования

Оху{а) = {а,х,у).

С их помощью доказывается

Теорема 3.3.2. Пусть (А,-, о) — обобщенная алгебра Новикова - Пуассона. Если { ,}) — соответствующий ей дубль Кантора является простой супералгеброй, тогда (А, •) содержит единицу, алгебра Новикова (А, о) — проста,

и умножение о задается формулой

а о Ь = ад(Ь) + (1 о 1)аЬ,

где д(а) = 1 о а — а о 1.

В обратную сторону действуем похожим образом. Рассматриваем дифференцирования ассоциативной коммутативной части

дХу(а) = ха о у — х о ау

и с их помощью доказываем

Теорема 3.3.5. Пусть (Л,-, о) — алгебра Новикова - Пуассона и {,}) — соответствующий ей дубль Кантора. Если алгебра Новикова (А, о) проста и А • А = А, то либо (Л, о) — поле, либо {, }) — проста. Причем, скобка { , } задается формулой

{а, Ь} = ад(Ь) — д(а)Ъ.

Теоремы 3.3.2 и 3.3.5 дают ответ на вопрос 4. В заключении приводятся основные результаты диссертации. Список литературы завершает изложение работы.

Благодарности. Автор выражает благодарность В.Н. Желябину за внимание к работе и полезные обсуждения. Также автор благодарит коллектив ИМ СО РАН (особенно выделяя лабораторию теории колец) и сотрудников кафедры алгебры и математической логики НГУ за полезные обсуждения и комментарии.

Глава 1

Алгебры Новикова - Пуассона

§1 Основные свойства

Пусть F — поле. Напомним, что алгебраическая система (Л,-, о) с двумя билинейными операциями • и о называется обобщённой алгеброй Новикова - Пуассона, если (А, •) — ассоциативная коммутативная алгебра и верны тождества

ху о г = х(у о г), (1.1)

гх о у — х о уг = гу о х — у о хг. (1.2)

При этом, алгебру (А, •) мы будем называть ассоциативной коммутативной частью, (А, о) — частью Новикова. Более того, (А, о) — алгебра Новикова, если в ней верны тождества:

(х о у) о г = (х о г) о у, (1.3)

(х о у) о г — х о [у о г) = (у о х) о г — у о (х о г). (1.4)

Как уже было сказано, если {А, •, о) — обобщённая алгебра Новикова - Пуассона и (А, о) — алгебра Новикова, то (А, •, о) — алгебра Новикова - Пуассона.

Пример 1. Пусть (А, •) — ассоциативная алгебра с дифференцированием д. Тогда определим о следующим образом:

а о Ь = ад(Ь) + ааЬ,

где а Е А Тогда (Л, •, о) будет алгеброй Новикова - Пуассона, которую мы будем называть алгеброй Новикова - Пуассона векторного типа. В этом случае алгебру Новикова (А, о) будем называть алгеброй Новикова векторного типа.

Пример 2. Пусть (А1, и {А2) °) — алгебры Новикова - Пуассона. Определим на А = А2 две операции • и о, положив

(а! (8) а2) ■ (&1 (X) Ъ2) = <21 • Ъ\ ® а2 • Ь2,

(а! (8) а2) о (р1 ® Ъ2) = а\ о &1 (8) а2 • Ъ2 + а\ • &1 (X) <22 ° Ь2.

Тогда (Л, •, о) — алгебра Новикова - Пуассона (см. [10]).

Если (А, •) — алгебра с единицей 1, то отображение 9:^4/1, заданное следующим образом:

д (а) = 1 о а — ао1, будет дифференцированием алгебры (А, •) (см. [9, 24]). Действительно,

д(аЬ) = 1 о (а&) — (а&) о 1 п0 Ц'2) а о Ь — а6о1 + 6оа — аЪ о\ п0

а( 1 о Ь — & о1) + (1оа — а о 1)6 = а<9(&) + д{а)Ъ. Тогда операция о будет задаваться следующим правилом

а о Ь = ад(Ь) + (1 о 1 )аЪ.

В частности, все алгебры Новикова - Пуассона с унитальной ассоциативной коммутативной частью есть алгебры Новикова - Пуассона векторного типа.

Предложение 1.1.1. Пусть (А, •, о) — обобщенная алгебра Новикова - Пуассона. Тогда в ней имеют место следующие тождества:

а((х о у) о г — (х о г) о у) = 0; (1.5)

аЪ((х о у) о г — х о [у о г) — (у о х) о г + у о (х о г)) = 0. (1.6)

Доказательство. Покажем (1.5).

а((х о у) о г — (х о г) о у) 0 у) о г — а(ж о г) о у

(аж о у) о г — а(х о г) о у П0£Л') (а 0 о г) - (ж о 2;) (а о у) = 0. Покажем (1.6). Заметим, что

а((ж о у) о г — (у о х) о г) П0£Л') (ж 0 г)а о у — [у о г)а о ж;

/ ч ПО (1.2) , ч , ч , ч

(х о г)а о у = (х о г) о ау — у о а(х о г) + уа о [х о г); (у о г)а о ж п0£'2') [у о х) о ах — х о а(у о х) + ха о (у о г).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Захаров, Антон Станиславович, 2016 год

Литература

[1] Gel'fand, I. M. Hamiltonian operators and algebraic structures related to them / I. M. Gel'fand, I. Ya. Dorfman // Funktsional. Anal, i Prilozhen. - 1979. - T. 13 № 4. - C. 13-30.

[2] Balinskii, A. A. Poisson brackets of hydrodynamic type, Frobenius algebras and Lie algebras / A. A. Balinskii, S. P. Novikov // Dokl. Akad. Nauk SSSR. - 1985. -T. 283 № 5. - C. 1036-1039.

[3] Zelmanov, E. I. A class of local translation-invariant Lie algebras / E. I. Zelmanov // Dokl. Akad. Nauk SSSR. - 1987 - T. 292 № 6. - C. 1294-1297.

[4] Filippov, V. T. A class of simple nonassociative algebras / V. T. Filippov // Mat. Zametki. - 1989. - T. 45 № 1. - C. 101-105.

[5] Osborn, J. M. Modules for Novikov algebras / J. M. Osborn // Contemp. Math. — 1991. - №. 184. - C. 327-338.

[6] Osborn, J. M. Novikov algebras / J. M. Osborn // Nova J. Algebra Geom. — 1992. - Т. 1 № 1. - C. 1-13.

[7] Osborn, J. M. Simple Novikov algebra with an idempotent / J. M. Osborn // Commun. Algebra. - 1992. - T. 20 № 9. - C. 2729-2753.

[8] Xu, X. On Simple Novikov Algebras and Their Irreducible Modules / X. Xu //J. Algebra. - 1996. - № 185. - C. 905-934

[9] Xu, X. Novikov-Poisson algebra / X. Xu // J. Algebra. - 1997. - T. 190 № 2. -C. 253-279.

[10] Xu, X. Classification of simple Novikov Algebra and their irreducible modules of characterestic 0 / X. Xu // J. Algebra. - 2001. - T. 246 № 2. - 673-707.

[11] Bai, C. The classification of Novikov algebras in low dimensions / D. Meng //J. Phys. A: Math. Gen. - 2001. - №34. - C. 1581-1594.

[12] Кантор, И. JI. Йордановы и лиевы супералгебры, определяемые алгеброй Пуассона / И. Л. Кантор // Томск: Алгебра и анализ. — 1989. — С. 55-80.

[13] King, D. The Kantor doubling process revisited / D. King, K. McCrimmon // Commun. Algebra. - 1995. - T. 23 № 1. - C. 357-372.

[14] Шестаков, И. П. Супералгебры и контрпримеры / И. П. Шестаков // Сиб. матем. ж. — 1991. — Т. 32 № 6 С. 187-196. — translation in Siberian Math. J., — 1991. - Т. 32 № 6. - С. 1052-1060.

[15] King, D. The Kantor construction of Jordan superalgebras / D. King, K. McCrimmon // Commun. Algebra, - 1992. - T. 20 № 1. - C. 109-126.

[16] Скосырский, В. Г. Первичные йордановы супералгебры и конструкция Кантора / В. Г. Скосырский // Алгебра и логика. - 1994. - Т. 30 № 3. - С. 301-306.

[17] Шестаков, И. П. Квантование алгебр Пуассона и слабая специальность связанных с ними йордановых супералгебром, / И. П. Шестаков // ДАН. — 1994. - Т. 334 № 1. - С. 29-31.

[18] Martinez, С. Jordan Superalgebras Defined by Brackets / C. Martinez, I. P. Shestakov, E. I. Zelmanov //J. London Math. Soc. - 2001. - T. 64 № 2. -C. 357-368.

[19] Shestakov, I. P. On speciality of Jordan brackets / I. P. Shestakov // Algebra and Discrete Mathematics. - 2009. - № 3. - C. 94-101.

[20] Шестаков, И. П. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики / И. П. Шестаков // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36 № 6. — С. 675-716.

[21] Shestakov, I. P. General superalgebras of vector type and (7, £)-superalgebras / I. P. Shestakov // Resen. Inst. Mat. Estat. Univ. Sao Paulo. - 2001. — T. 5 № 1. - C. 85-90.

[22] Желябин, В. H. Простые специальные йордановы супералгебры с ассоциативной чётной частью / В. Н. Желябин, И. П. Шестаков // Сиб. матем. ж. — 2004,- Т. 45 № 5. - С. 1046-1072.

[23] Тихов, А. С. Алгебры Новикова - Пуассона и йордановы супералгебры / А.С. Тихов // в сб. "Проблемы теоретической и прикладной математики", Ин-т матем. мех. УрО РАН. - 2006. - С. 76-79.

[24] Желябин, В. Н. Алгебры Новикова - Пуассона и ассоциативные коммутативные дифференциальные алгебры / В. Н. Желябин, А. С. Тихов // Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47 № 2. - С. 186-202.

[25] Кайгородов, И. Б. Об обобщенном дубле Кантора / И.Б. Кайгородов // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. - 2010. - Т. 4 № 78. - С. 42-50.

[26] Шестаков, И. П. Простые супералгебры типа (—1,1) / И.П. Шестаков // Алгебра и логика. - 1998. - Т. 37 № 6. - С. 721-739.

[27] Posner, E. С. Differentiably simple rings / E. C. Posner // Proc. Amer. Math. Soc. - 1960. - № 11. C. 337-343.

Работы автора по теме диссертации

[28] Захаров, А. С. Вложение алгебр Новикова - Пуассона в алгебры Новикова -Пуассона векторного типа / A.C. Захаров // Алгебра и логика. — 2013. — Т. 52 № 3. - С. 352-369

[29] Zakharov, A. S. Novikov-Poisson algebras and siiperalgebras of Jordan brackets / A. S. Zakharov // Commun. Algebra. 2014. - T. 42 № 5. - C. 2285-2298.

[30] Желябпн, В. H. Специальность йордановых супералгебр, связанных с алгебрами Новикова - Пуассона / В. Н. Желябпн, А. С. Захаров // Мат. заметки. 2015. - Т. 97 № 3. - С. 359-367.

[31] Захаров, А. С. Алгебры Новикова-Пуассона малых размерностей / A.C. Захаров // Сиб. электрон, матем. изв. — 2015. — №12. — С. 381-393

[32] Zakharov, A. S. Novikov-Poisson algebras and superalgebras of Jordan brackets / A. S. Zakharov // В Lie and Jordan algebras, their representations and applications-VI, dedicated to Efim Zelmanov's 60th birthday: междунар. конф., Венту Гон-салвес, Бразилия. — 2015. — С. 69.

[33] Захаров, А. С. Специальность йордановых супералгебр, связанных с алгебрами Новикова - Пуассона / A.C. Захаров // Алгебра и математическая логика: теория и приложения: тр. междунар. конф. Казань, Россия. — 2014,— С. 176. — Режим доступа: http://kpfu.ru/portal/docs/F344663063/_Main.pd

[34] Захаров, А. С. Специальность йордановых супералгебр, связанных с алгебрами Новикова - Пуассона / A.C. Захаров // Студент и научно-технический

прогресс: тр. междунар. конф., Новосибирск, Россия. — 2014. — С. 7. — Режим доступа: http://issc.nsu.ru/iipload/issc 14/01% 20Math.pdf

[35] Захаров, А. С. Об одном классе специальных йордановых супералгебр / A.C. Захаров // Студент и научно-технический прогресс: тр. междунар. конф., Новосибирск, Россия. — 2013. — С. 5. — Режим доступа: http://issc.nsu.ru/upload/isscl3/01%20Math.pdf

[36] Захаров, А. С. Вложение алгебр Новикова - Пуассона в алгебры Новикова - Пуассона векторного типа / A.C. Захаров // Мальцевские чтения: тр. междунар. конф., Новосибирск, Россия. — 2012. — С. 108. — Режим доступа: http: / / math.nsc.ru / conference/malmeet / 12/malmeet _2012.pdf

[37] Захаров, А. С. Вложение алгебр Новикова - Пуассона в алгебры Новикова - Пуассона векторного типа / A.C. Захаров // Лобачевские чтения: тр. всерос. конф., Казань, Россия. — 2012. — С. 70-72. — Режим доступа: http: //kpfu.ru/docs/F2133883869/_Main.pdf

[38] Захаров, А. С. Йордановы супералгебры, связанные с алгебрами Новикова - Пуассона, и их специальность / A.C. Захаров / / Студент и научно-технический прогресс: тр. междунар. конф., Новосибирск, Россия, 13-19 апреля 2012. — С. 9. — Режим доступа: http://issc.nsu.ru/upload/pdf%20materials/Proceedings/01%20Mathematics.pdf

[39] Zakharov, A. S. Novikov algebras and superalgebras of Jordan brackets / A. S. Zakharov // Конференция по теории колец посвященная 90-летию со дня рождения А.И. Ширшова: междунар. конф., Новосибирск, Россия. — 2011. — С. 52 - 54.

[40] Захаров, А. С. Алгебры Новикова - Пуассона и йордановы супералгебры / A.C. Захаров // Студент и научно-технический прогресс: тр. меж-дунар. конф., Новосибирск, Россия. — 2011. — С. 12. — Режим доступа: http://issc.nsu.ru/upload/pdf%20materials/Mathematics_materials.pdf