Вейвлет-анализ в исследовании сложных колебаний балок, пластинок и оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Солдатов, Владислав Викторович

• Солдатов, Владислав Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Солдатов, Владислав Викторович

Введение.

Глава 1. Общая теория вейвлет-анализа.

1.1 Общее понятие вейвлет-преобразования.

1.2. Непрерывное вейвлет-преобразование и примеры.

1.3. Практические аспекты использования непрерывного вейвлет -преобразования в анализе колебаний распределенных механических систем

Выводы по главе.

Глава 2. Нелинейные колебания многослойных спаянных балок.

2.1 Балки Эйлера - Бернулли.:.

2.1.1 Гипотезы.

2.1.2. Вывод основных уравнений.

2.1.3 Численное решение задач динамики для балок Эйлера-Бернулли.

2.1.4 Вейвлет-анализ колебаний балок Эйлера-Бернулли.

2.2 Балки С.П.Тимошенко.:.

2.2.1 Гипотезы.:.

2.2.2 Вывод основных уравнений.

2.2.3 Достоверность численных результатов для балок С.П.Тимошенко

2.2.4 Вейвлет-анализ колебаний балок С.П.Тимошенко.

2.3 Балки Шереметьева - Пелеха.

2.3.1 Гипотезы.

2.2.2 Достоверность численных результатов для балок Шереметьева-Пелеха.

2.3.3 Вейвлет-анализ колебаний балок Шереметьева-Пелеха.

Выводы по главе.

Глава 3. Нелинейные колебания многослойных неспаянных балок.

3.1. Многослойные неспаянные балки. Постановка задачи.

3.2. Связь контактного давления с поперечным обжатием тонкой балки.

3.3. Математическая модель неспаянных балок с учетом геометрической и физической нелинейности.

3.3. Метод решения уравнений движения неспаянных балок с учетом геометрической и физической нелинейности.

3.4. Вейвлет-анализ колебаний многослойных неспаянных балок.

Выводы по главе.

Глава 4. Нелинейные колебания осесимметричных пологих оболочек.

4.1 Математическая модель гибких осесимметричных оболочек.

4.2 Методы численного решения.

4.3 Вейвлет-анализ колебаний осесимметричных пологих оболочек.

Выводы по главе.

Глава 5. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек и бесконечно длинных пане л ей.:.

5.1 Нелинейные колебания цилиндрических оболочек.

5.1.1 Постановка задачи и метод решения.

5.1.2 Вейвлет-анализ и динамическая потеря устойчивости замкнутых цилиндрических оболочке.

5.2 Колебания бесконечно длинной пластинки.

5.2.1 Постановка задачи и метод численного решения.

5.2.2 Особенности хаотических колебаний бесконечно длинной пластинки.:.

Выводы по главе.i.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вейвлет-анализ в исследовании сложных колебаний балок, пластинок и оболочек»

краткий исторический обзор исследований по теме работы)

Распределенные механические системы (балки, пластинки, оболочки) являются основными составными частями множества инженерных конструкций, в отношении которых сегодня предъявляются повышенные требования не только по прочности и устойчивости в различных динамических режимах, но и по экономичности, что приводит к необходимости рассмотрения вопросов нелинейного деформирования в задачах динамики для вышеуказанных систем. Имеется значительное число работ, где с использованием- таких традиционных методов нелинейной динамики как визуализация траекторий в фазовом пространстве системы, корреляционный и спектральный анализ изучены особенности сложных колебаний балок, пластинок и оболочек, в частности сценарии перехода колебаний от гармонических к хаотическим для таких систем! Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума в динамике пластин изучен в [1], в [2] Хан, Ху и Янг проведен анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки, вращения и найдены-' критические условия возникновения хаотического движения.

В. А. Крысько и А. В: Кириченко [3] исследовали хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки, выявив явление динамической потери устойчивости и объяснив его с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.

В [4] исследованы нелинейные колебания балок при наличии ограничений на прогиб и установлено, что переход колебаний из гармонических в хаотические в таких системах происходит по известным в общей теории динамических систем схемам перехода к хаосу (сценарий Помо-Манневиля, сценарий Фейгенбаума), но последние не встречаются в чистом виде, а претерпевают некоторые изменения, в частности, сценарий

Фейгенбаума усложняется за счет наличия кратных частот.

В цикле публикаций [5-11] в соответствии с известными сценариями перехода колебаний балочных конструкций в хаос проведена классификация колебаний балок, находящихся под действием поперечной знакопеременной и продольной ударной нагрузки. Выявлены и исследованы сценарии Фейгенбаума, Рюэля-Такенса-Ныохауза, модифицированные Рюэля-Такенса — Ньюхауза и Помо-Манневиля, характерные для колебаний исследуемых систем, и выявлены их области на картах динамических режимов. Для каждой рассматриваемой модели были отмечены явления динамической потери устойчивости при действии знакопеременной поперечной нагрузки, что подтверждается резким увеличением максимального прогиба при малом изменении амплитуды вынуждающих колебаний. Кроме того, рассмотрено влияние некоторых типов трения (кулоновское, нелинейное, линейное) и учет упругих оснований Винклера и В.З.Власова на гибкую и жесткую балку Эйлера-Бернулли.

А. В. Крысько, С. А. Мицкевич и Ю. В. Чеботаревский [12] исследовали сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок. '

В цикле работ [13-21] для цилиндрических панелей и замкнутых цилиндрических оболочек, пологих 'оболочек описаны новые сценарии перехода в хаос, обнаруженные в колебаниях исследуемых механических систем, первому из них было дано - название модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза, второму — модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Фейгенбаума, третьему - модифицированного сценария Помо-Манневиля. В работах [22-25] определены критические нагрузки, приводящие к возникновению хаотических колебаний при совместном действии температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки, а также исследована зависимость статической критической нагрузки от интенсивности температурного поля для ряда значений геометрических параметров кривизны кх, ку прямоугольных в плане панелей; определен характерный сценарий перехода колебаний в хаос при совместном влиянии силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля, выяснено, что он совпадает с модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, который был предложен В^А. Крысько, И.В. Папковой.

В работах [26-30] проведено исследование сложных колебаний круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек для любых граничных условий под действием знакопеременной нагрузки; проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы новые сценарии перехода в хаос. Изучена периодичность А.Н. Шарковского для, дифференциальных уравнений теории пологих круглых, секториальных и прямоугольных в плане оболочек; сценарии Фейгенбаума и Рюэля-Такенса-Ньюхауза для них. В-работах [3133] обнаружен новый сценарий перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, который был назван модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, и выявлены его области на картах {¿70,£Ур}. Данный* сценарий присутствует в колебаниях конических и сферических оболочек с краевыми условиями подвижная заделка. Выявлен новый сценарий перехода колебаний из гармонических в хаотические для конических оболочек с краевыми условиями подвижный шарнир, который был назван модифицированным сценарием Помо-Манневиля.

Во многих областях науки и техники применяются многослойные неспаянные конструкции, обладающие совершенно новыми свойствами колебаний по сравнению с традиционными, спаянными. Они применяются в авиационно-космической технике, судостроении, приборостроении и других областях. Такие конструкции эксплуатируются в сложных динамических режимах, в агрессивных внешних средах, что обуславливает повышенные требования к расчету последних.

Математические модели многослойных конструкций можно разделить на два класса: спаянные и неспаянные. Наиболее исследованы модели первого типа, где при деформировании конструкции не происходит отрыва слоев друг от друга и конструкция работает как единое целое. Обзор работ по многослойным спаянным и неспаянным конструкциям в виде балок и пластинок можно найти в [34-36]. В [37] рассмотрено одно из практических междисциплинарных приложений данной теории - модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы, и установлено, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.

В [36] разработан пакет программ HEMP, который позволяет решать контактные задачи при больших деформациях, эти пакеты совершенствуются и создаются их новые модификации: DYNA2D and DYNA3D с использованием явных методов и NIKE2D and NIKE3D с использованием неявных. Большое число задач контактного взаимодействия, стержней приведено в [38], где автор также приводит большой библиографический материал по контактному взаимодействию конструкций вплоть до 2007г.

Исторически, концепция* «вейвлетов» возникла при изучении частотно-временного анализа сигналов, распространения волн и дискретизации сигналов. Одним из стимулов к разработке теории вейвлет-преобразования послужил тот факт, что с помощью-анализа на основе преобразования Фурье не представлялось возможным получить локальную информацию о сигналах. Преобразование Фурье не может использоваться для анализа сигналов в «объединённом» частотно-временном пространстве.

Сравнительно новым методом анализа нелинейных динамических явлений является вейвлет-преобразование. Концепция «вейвлетов» (eng. "wavelet"," fr. "ondelette" — маленькая волна, волночка) стала появляться в литературе только в начале 1980-х годов. Эта новая концепция может рассматриваться как синтез различных идей, возникших в рамках различных дисциплин, включая математику, физику и инженерные науки. В 1982 году Жан Морле, французский инженер-геофизик, предложил вейвлетпреобразование как новый математический метод анализа сейсмических сигналов, особенность которых заключалась в их нестационарности во времени. В качестве вейвлетов Морле рассматривал семейство функций, полученых путем масштабных преобразований и параллельных переносов специально выбранной функции - материнского вейвлета. Алекс Гроссман, французский физик-теоретик, получил точную формулу обратного вейвлет-преобразования. В 1984 году совместные усилия Морле и Гроссмана привели к детальному изучению непрерывного вейвлет-преобразования и его приложений. [39] В процессе их работы выяснилось, что теория вейвлетов, как и Фурье-анализ (разложения в ряд Фурье), представляет новый метод частотного анализа сигналов.

В 1985 году Ив Мейер, французский математик, установил связь между формулой Кальдерона в гармоническом анализе и новыми методами, предложенным Морле и Гроссманом. Используя операторы Кальдерона-Зигмунда и теорию Литтлвуда-Пэли, Мейер смог построить математичекие основания теории вейвлетов. Первым крупным достижением вейвлет-анализа стало построение Добеши, Гроссманом и Мейером [40] разложений по неортогональным вейвлетам. В 1985-1986 в работах Мейера и Лемарье были построены ортонормальные базисы из гладких вейвлет-функций. В то же время Стефан Малла установил, что квадратурные зеркальные фильтры играют важную роль в построении вейвлет-базиса Хаара. Мейер [41] и Малла [42] предложили общую процедуру построения ортонормального вейвлет-базиса. Их совместная работа привела к разработке процедуры кратномасштабного анализа [42-43]. Малла также предложил алгоритмы вейвлет-разложения и реконструкции с использованием кратномасштабного анализа. Работа Малла послужила источником дальнейшего развития теории вейвлетов. Через несколько месяцев после ее выхода Г. Баттл [44] и Лемарье [45] независимо друг от друга предложили процедуру построения экспоненциально убывающих ортогональных вейвлет-сплайнов.

Работа Мейера натолкнула Ингрид Добеши [46] на теорию создания вейвлет-базиса, сконструированного из ортонормальных вейвлетов с компактным носителем, обладающих, кроме того, определенной гладкостью. Её процитированная выше работа имела огромное влияние на изучение как собственно вейвлетов, так и их приложений. Эта работа позволила существенно объяснить связь между непрерывным и дискретным вейвлет-анализом (последний получил широкое распространение при анализе цифровых сигналов). Концепция фреймов была предложена Duffïn and Schaeffer [47] и позже более детально изучена Добеши [48], [49].

Несмотря на серьезные успехи, специалисты в области вейвлет-анализа осознавали, что построить вейвлеты, которые одновременно симметричны, ортогональны- и имеют компактный носитель, довольно затруднительно. В целях преодоления таких сложностей Cohen [50] и Daubechies [51] детально изучили биортогональные вейвлеты. Chui. и Wang [52-53], предложили сплайн-вейвлеты с компактным носителем и концепцию полуортогонального вейвлет-анализа. С другой стороны, Beylkin, Coifman and» Rokhlin [54] и Beylkin [55] с успехом применяли кратномасштабный анализ (с набором ортогональных масштабных функций) к изучению операторов в 1}{\К). Эта работа совпала с созданием* новых алгоритмов в численном- анализе. Существенный прогресс был достигнут в методах граничных элементов, конечных элементов, численном решении дифференциальных уравнений в частных производных с использованием вейвлет-анализа [56].

Завершая этот краткий исторический обзор, приведем некоторые области приложения вейвлет-анализа: обработка сигналов, машинное зрение, сейсмология, изучение турбулентности, компьютерная графика, обработка изображений, передача данных в цифровой форме, распознавание образов, теория приближений функций, квантовая оптика, биомедицинская инженерия, теория дискретизации, теория операторов, дифференциальные уравнения, численный анализ, статистика. Вейвлеты позволяют представлять такую сложную информацию как музыка, речь, изображения в виде разложений по элементарным элементам .формы («строительным блокам, кирпичикам») — вейвлетам.

Литература по приложениям вейвлет-анализа весьма обширна; здесь мы отметим лишь работы [57-59]. Вейвлеты находят применение в следующих областях: обработка и синтез сигналов (например, речевых); анализ изображений различной природы (изображения радужной оболочки глаза, рентгенограммы почки, спутникового изображения облаков или поверхности планеты, снимки минералов и т.п.); изучение свойств турбулентных полей; решение уравнений [60]; свертка (упаковка) больших объемов информации. Первые эксперименты одного из авторов по применению вейвлетов к анализу колебаний распределенных систем можно найти в [61].

В качестве модельных для» исследования хаотических колебаний часто исследуются системы Дуффинга, Лоренца и Ван-дер-Поля, чему посвящены работы R. Ghanem and F. Romeo [62], P. Ribeiro [63], Xiaoping Yuan. [64]. В [65] исследуется широко известный осциллятор. Дуффинга с использованием вейвлетов Добеши, а в работе F.A. Moslehy [66] показано, как изменение параметров V уравнения Дуффинга может приводить к хаотическим режимам колебаний, а у К. Konishi [67] в качестве управляющего параметра выступает величина внешней силы. В pa6oTáx Ü. Lepik [68] вейвлеты Морле, Хаара, мексиканской шляпы применяются для исследования колебаний механических систем, однако исследуются системы с числом степеней свободы не более двух (в том числе осциллятор Дуффинга), что позволяет применять к исследованию последних аналитические преобразования.

Работ, посвященных вейвлет-анализу в механике твердого тела, имеется незначительное число. С помощью вейвлет-преобразования в [69] исследуется распространение волн в многослойных анизотропных пластинках, в [70] для исследования вибраций роторной системы используются вейвлеты Ньюлэнда. Используя вейвлет Морле, Wong and Chen [71] рассмотрели случай, когда частота гармонических колебаний системы изменяется во времени.

Вейвлет-функции применяются в качестве аппроксимирующих функций в различных вариантах метода конечных элементов. Из работ прикладного характера можно отметить [72], где рассматривается задача расчета свободных колебаний подвешенного троса с концами на разных уровнях по высоте с присоединенной сосредоточенной массой вблизи одного из концов. С помощью гибридной процедуры расчета на основе вейвлетных функций и метода Галеркина находятся частоты и формы свободных колебаний, а также динамические силы, натяжения. Распределенные системы рассматриваются в [73], где вейвлет-функции применяются совместно с методом конечных элементов Галеркина для численного решения^ двухточечных краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями порядка выше второго. Авторами исследуются статические задачи, а главное внимание уделено определению показателей напряженно-деформированного состояния*при поперечном изгибе упругих балок Эйлера-Бернулли и прямоугольных пластин с защемленными, шарнирно-опертыми и свободными краями.

Следует также отметить несколько работ теоретического характера. Так, в [74] для решения' задачи двумерной теории потенциала в, плоских областях общего1 вида используется метод Бубнова-Галеркина, где в качестве интерполяционных базисных функций применяются вейвлеты. В [75] представлен быстрый адаптивный симплектический алгоритм для решения начально-краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами, описывающего распространение волн в комплексных средах. Он основан на симплектической схеме и ортогональном вейвлетном преобразовании, позволяющим дискретизировать временные и пространственные переменные волнового уравнения. Задача решается в мультиразрешающем симплектическом геометрическом пространстве с применением консервативной гамильтоновой системы вместо традиционной лагранжевой. Отмечается, что метод требует мало вычислительных затрат и устойчив к ошибкам.

Если говорить о применении вейвлет-преобразования для частотного анализа некоторого сигнала, то в ряде случаев он используется лишь как средство уточнения для традционных форм модального анализа с использованием преобразования Фурье. Так, в [76] вейвлетное преобразование применяется как частотно-временное преобразование для определения собственных частот, коэффициентов демпфирования и форм колебаний систем. Точность этой новой методики подтверждается численным примером и измерениями для колебаний башни, возбуждаемых ветровой нагрузкой. Аналогично и в [77] выполнен вейвлетный анализ записей движений ряда сильных землетрясений с целью определения доминантных частот, характерных для различных грунтовых условий.

Обсуждается методология калибровки полученных данных по характеристикам грунтового разреза. Представлены примеры сопоставления расчетных и натурных записей- движений на грунтах разного состава и консистенции. Специфические свойства «частотно-временного микроскопа» для анализа нестационарных и переходных процессов активно используютсяв [78], где теоретически и экспериментально анализируется процесс внедрения ударника в круговую защемленную по контуру плиту. Испытания проводились на установке типа падающего груза. Рассматривались два типа взаимодействия: отскок и разрушение (образование трещины). Сначала проанализирован силовой сигнал на основе четырех методов: непрерывное вейвлет-преобразование (с вейвлетами Гаусса и Морле), преобразование Габора, преобразование Вигнера-Вилля и классический анализ Фурье. Показано, как применение частотно-временных методов позволяет точно обнаруживать разрывы в сигнале, момент разрыва, если он есть, и частоты, которые возбуждаются при ударе. Во второй части проведен модальный анализ и анализ напряжений как аналитически, так и конечно-элементными расчетами. Расчеты подтверждают результаты, полученные в первой части, и находятся в соответствии с экспериментальными наблюдениями.

Вейвлет анализ для колебаний распределенных структур применен в

79]. Излагаются результаты обширного обзора развитых методов вейвлетного анализа частот и форм колебаний упругих оболочек и пластин. Благодаря размерным и сдвиговым преобразованием солитон-функций подчеркивается возможность вейвлетного изучения свойств сигналов совместно в частотной и временной областях.

Исследование хаотических колебаний балок можно найти в [80], где построена конечноэлементная математическая модель, основанная на применении вейвлетов для стохастического анализа упругих балочных конструкций, в которой случайные параметры, представляющие собой стохастические механические свойства материала и геометрические характеристики конструкции, трактуются, как стационарные гауссовы процессы со специфическими функциями усреднения и корреляции. Использовано расширение Карунена-Лява для аппроксимации стохастического процесса в виде линейной комбинации ортонормированных собственных функций с некоррелированными случайными коэффициентами. Собственные функции представлены при- этом- как усеченные линейные суммы ортогональных вейвлетов с компактным носителем. Приведены два числовых примера стохастического анализа' по изложенной методике характеристик консольной балки с сосредоточенной нагрузкой на конце и двухопорной балки под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Результаты численного расчета сопоставлены с полученными по методу Монте-Карло и полуаналитическим методом. Таким образом, рассмотренная в [80] задача отличается от тематики данной работы, где речь идет о детерминированном хаосе.

Приведенный выше обзор работ позволяет сделать заключение, что в работах Крысько В.А., Крысько A.B., Я. Аврейцевича, Кравцовой И.В, Савельевой Н.Е., Щекатуровой Т.В., Кузнецовой Э.С., Салтыковой О.А при изучении спектров мощности, построенных на основании преобразования Фурье, установлено, что для балок, пластинок и оболочек переход к хаотическим колебаниям может происходить по сценариям Фейгенбаума и модфицированному сценарию Рюэля - Такенса - Ньюхауза. Вопрос о существовании сценария перехода к хаосу через перемежаемость и его особых свойствах для распределенных механических систем требует дальнейшего изучения, так как для изучения последнего недостаточно располагать лишь частотным спектром, получаемым с помощью преобразования Фурье.

Таким образом, актуальной задачей является анализ нестационарных процессов в различных режимах колебаний распределенных механических систем, основанный на расчете их движений как систем со многими степенями свободы с использованием вейвлет-преобразования (а также и традиционных методов нелинейной динамики) с целью уточнения характера протекающих в таких системах нелинейных процессов и уточнения существующих сценариев перехода колебаний из хаотических в гармонические. Кроме того, требует уточнения вопрос о том, какие материнские вейвлеты наиболее приспособлены для исследования задач динамики балок, пластинок и оболочек.

Целью диссертационной работы являются построение математических моделей сложных колебаний распределенных систем (в виде одно- и многослойных балок (спаянных и неспаянных), пластинок, сферических пологих и цилиндрических оболочек); разработка программного обеспечения, позволяющего осуществлять вейвлет-анализ сценариев перехода в хаос для таких систем.

Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

1. Создание методологии анализа регулярных и хаотических вынужденных колебаний распределенных механических систем на основании непрерывного вейвлет-преобразования и выбор эффективных вычислительных схем её реализации;

2. Разработка программного обеспечения на основе предложенных моделей и вычислительных схем;

3. Применение разработанной методологии и программного обеспечения для исследования переходных процессов и сценариев перехода в хаос для балок, пластинок и оболочек в различных режимах динамического нагружения.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 164 страницы, 73 рисунка, 11 таблиц. Список использованной литературы включает 142 наименования. Ниже приведена краткая характеристика по главам.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Солдатов, Владислав Викторович

Заключение

Полученные результаты позволяют утверждать, что непрерывное вейвлет-преобразование является эффективным средством исследования нелинейных динамических явлений в распределенных механических системах - балках, пластинках и оболочках. Детальная отработка методологии вейвлет-анализа на примере простой распределенной системы — одномерной гибкой балки - позволила определить наиболее подходящий для подобных задач вейвлет Морле, с помощью которого для более сложных распределенных систем - пластинок, сферических и цилиндрических оболочек - были установлены ранее не наблюдавшиеся в механических системах модификации сценариев перехода в хаос. Кроме того, вейвлет-анализ обнаружил высокую эффективность в исследовании синхронизации в контактных задача механики.

Анализ множества результатов, полученных при работе над диссертацией, позволяет сформулировать следующие основные выводы:

1. Разработана методология вейвлет-анализа сложных колебаний нелинейных распределенных механических систем - балок (модели которых построены с использованием кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева-Пелеха), пластинок, оболочек.

2. Реализован комплекс программ для анализа и визуализации различных характеристик хаотических колебаний балок, пластинок и оболочек;

3. С помощью непрерывного вейвлет-преобразования выявлен сценарий Фейгенбаума перехода колебаний из гармонических в хаотические для гибких сферических оболочек и вычислена константа Фейгенбаума;

4. С помощью вейвлет-анализа для распределенных механических систем исследованы сценарий перехода в хаос через перемежаемость и уточнен сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза; показано, что определение типа колебаний по спектру ляпуновских показателей и частотно-временному вейвлет-спектру хорошо согласуются между собой;

5. С помощью непрерывного вейвлет-анализа установлено, что при действии на одну из неспаянных балок поперечной знакопеременной нагрузки возможна фазовая синхронизация их колебаний не только на частоте возбуждения, но и на независимой частоте; кроме того, после интервала синхронизации возможен переход второй балки из хаоса в состояние покоя;

6. Пространственно-временное распределение контактного давления в системе неспаянных балок может успешно использоваться для обнаружения хаоса;

7. С помощью вейвлет-анализа показано, что динамическая потеря устойчивости гибких цилиндрических оболочек при действии поперечных локальных знакопеременных нагрузок сопровождается переходом в хаос.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Солдатов, Владислав Викторович, 2009 год

1. Awrejcewicz J,. Krysko V.A. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics //Nonlinear Dynamics. - 2001. - № 24. - P. 373 - 398.

2. Qiang, H. A study of chaotic motion in elastic cylindrical shells / Han Qiang, Hu Haiyan, Yang Guitong // Eur. J. Mech. A. 1999. - 18. №2. - P. 351-360.

3. Крысько В.А., Кириченко A.B. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000. С. 144152.

4. Киреева, О. Н. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб: дисс. на соискание ученой степени канд. физ. мат. наук / О.Н.Киреева. -Саратов, 2002. 124 с.

5. Крысько В. А., Жигалов М. В., Салтыкова О. А. Нелинейная динамика балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко. // Известия вузов. Машиностроение. 2008. - № 6. - С. 7-27.

6. Крысько В. А., Жигалов М. В., Салтыкова О. А. Особенности сложных хаотических колебаний балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко в зависимости от краевых условий. // Известия вузов. Строительство. -2008.-№9.-С. 4-10.

7. Крысько А. В., Жигалов М. В., Салтыкова О. А. Управление сложными колебаниями нелинейных многослойных балок. // Известия вузов. Авиационная техника. 2008. - №3. - С. 10-13.

8. Крысько В. А., Жигалов М. В., Салтыкова О. А, Десятова A.C. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли — Эйлера. // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. - №6. -С.128-136.

9. Krysko V. A., Awrejcewicz J., Chebotarevskiy Yu. V,. Saltykova О. A. Vibration of Flexible Beam Subjected to a Longitudinal Impact. // 8th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications. December 1215. Lodz, Poland, 2005. P. 719-727.

10. Krysko V.A, Saveleva N.E. Ruelle Takens - Feigenbaum's Scenario and Counting of Feigenbaum's constant. // Dynamical of System - Theory and Applications: International Conference. Lodz. Poland, 2003. P. 198 - 210.

11. Крысько В.А, Савельева H.E. Стохастическая динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном внешнем давлении. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2003. № 1.С. 53-70.

12. Крысько В. А, Савельева Н.Е. Сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном неравномерномзнакопеременном внешнем давлении. // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 7. С. 3 14.

13. Крысько В.А, Савельева Н.Е. Управление временным хаосом в цилиндрических оболочках. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2004. № 4. С. 10 19.

14. Awrejcewicz О, Krysko V.A., Saveleva N.E. Parametric vibrations of flexible cylindrical shells. // III International symposium Trends in Continuum Physics (TRECOP'04): International Conference. Posnan. Poland, 2004. P.234-242.

15. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Saveleva N.E. Chaos Exhibited by Closed Flexible Cylindrical Shells. // Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (ENOC'05): International Conference. Eindhoven. Netherlands, 2005. P. 1212-1217.

16. Крысько В.А., Савельева H.E., Шагивалеев К.Ф. Статика и динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неравномерном поперечном нагружении. //Известия вузов. Машиностроение. 2005. № 1. С. 3 14.

17. Крысько В.А., Папкова И.В., Савельева Н.Е. Хаотические колебания гибких прямоугольных в плане оболочек. Часть 1. Метод Бубнова-Галеркина в высших приближениях. // Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 8. С. 2 — 8.

18. Крысько В.А., Крысько А.В., Савельева Н.Е. Хаотические колебания замкнутых цилиндрических оболочек и панелей. Часть I. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2005. № 3. С.10-36.

19. Крысько В.А., Кузнецова Э.С., Савельева Н.Е. Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок при действии поперечной знакопеременной нагрузки в температурном поле // Известия вузов. Машиностроение, 2006. №1. С. 3-9.

20. Крысько А.В., Аврейцевич Я., Кузнецова Э.С. О влиянии температурного поля на сложные колебания замкнутыхцилиндрических баллонов. // Вестник Саратовского государственного технического университета, 2008. № 1(31). Вып. 2. С. 71-85.

21. Krysko А.V., Awrejcewicz J., Kuznetsova E.S, Saveleva N.E. Nonlinear dynamics of plates in a temperature field. //Proceedings of the 9th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications. Lodz, Poland, 2007. P. 233-240.

22. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Kuznetsova E.S. Chaotic vibrations of shells in a temperature field. // Proceedings of the International Conference on Engineering Dynamics. Carvoeiro, Algarve, Portugal, 2007. P.21-28.

23. Krys'ko V.A., Kravtsova I.V. (Papkova I.V.) Stochastic vibrations of flexible flat axisymmetric shells exposed inhomogeneous loading. // Dynamical of System — Theory and Applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P. 189-197.

24. Крысько B.A., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 1. С. 11-20.

25. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Хаотические колебания сферических оболочек под действием неоднородного нагружения // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 1(2). С. 24-36.

26. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Динамика и статика гибких секториальных пологих оболочек // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 2(3). С. 27-36.

27. Krysko V.A., Tschekaturova T.V. Complicated vibrations spherical and conical variable thickness shells. // Dynamics of system theory and applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P.585-603.

28. Крысько В.А. Щекатурова T.B. Хаотические колебания конических оболочек // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. №4. С. 140150.

29. Крысько В.А. Щекатурова Т.В. Стохастические колебания конических оболочек переменной толщины. // Известия вузов. Машиностроение. 2004. №5, С.3-13.

30. Кантор Б. Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения.-Киев:Наук. думка, 1990.-136 с.

31. Крысько А.В. Математические модели многослойных структур: Учеб. Пособие. Сар. гос. тех. ун-т. Саратов, 2008. - 180 с. - ISBN: 978-57433-1937-4.

32. Wilkins M.L. Calculation of elasto-plasic flow. In B. Alder, S. Fernbach and M. Rotenberg, editors, Methods of Computational Physics, volume 3. Academic Press, Boston, New York (1964).

33. Ланда, П.С. Хаотические колебания в модели голосовых связок // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1998. Т. 6. №4. -С. 57-67.

34. Wriggers P. Computational contact mechanics, 2nd edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006.

35. Grossman A., Morlet S. Decomposition of Hardy functions into square separable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal, 1984, vol. 15, № 4, p. 723.

36. Daubechies, I., Grossmann, A. and Meyer, Y., (1986). Painless nonorthogonal expansions, J. Math. Phys., 27, 1271-1283.

37. Meyer, Y., (1986). Ondelettes, fonctions splines et analyses graduees, Lecture Notes, University of Torino, Italy.42