Математическое моделирование пространственно-временного хаоса распределенных механических структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Яковлева, Татьяна Владимировна

• Яковлева, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Яковлева, Татьяна Владимировна

Введение (краткий исторический обзор исследований по теме 4 диссертации)

Глава I Математическое моделирование нелинейных колебаний гибких оболочек, прямоугольных в плане отрицательной 24 гауссовой кривизны

§1 Программный комплекс для моделирования пространственновременного хаоса распределенных механических структур

§2 Алгоритм анализа знаков показателей Ляпунова

§3 Математическая модель сложных колебаний гипаров

§4 Сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для гипаров

Выводы по главе

Глава II Математическое моделирование сложных колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли

§ 1 Основные гипотезы и допущения

§2 Методы решения

§3 Численный эксперимент

§4 Влияние коэффициента диссипации среды на характер колебаний

§5 Сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для гибких балок Эйлера-Бернулли при действии поперечной знакопеременной нагрузки

§6 Учет физической нелинейности

Выводы по главе

Глава III Математические модели контактных задач

§ 1 Многослойные распределенные системы

§2 Математическая модель сложных колебаний перекрестных и параллельных балок с малыми зазорами

§3 Математическая модель сложных колебаний многослойных пластин

§4 Математическая модель сложных колебаний пластины и балки с малым зазором между ними

§5 Математическая модель сложных колебаний пластины и нескольких балок с малыми зазорами между слоями

Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование пространственно-временного хаоса распределенных механических структур»

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен исторический обзор результатов, сформулирована цель работы,, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе описаны разработанные рабочие алгоритмы и созданный • V ' единыи программный комплекс для, решения целого класса задач для разных механических структур. Для достоверности результатов задачи решены различными методами. В программном комплексе реализована возможность учитывать разные типы нелинейностей (геометрическую, физическую, конструктивную), а также контактное взаимодействие структур с малыми зазорами. В случае многослойной структуры на каждом временном шаге строится итерационная процедура учета контактного давления. Создан программный комплекс анализа знаков показателей Ляпунова, основанный на алгоритме Бенеттина с использованием нейронных сетей. Для каждого класса задач построена своя математическая модель.

Также первая глава посвящена математическому моделированию сложных колебаний гибких оболочек, прямоугольных в плане с постоянной жесткостью и плотностью при действии знакопеременного внешнего давления.

Решен новый класс задач для оболочек отрицательной гауссовой кривизны, называемых гипарами (гиперболическими параболоидами). Выявлен новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для гиперболического параболоида.

Вторая глава посвящена математическому моделированию нелинейных колебаний однослойных балок с разными типами нелинейности.

Исследовано влияние величины коэффициента диссипации среды на характер колебаний для балки с учетом геометрической нелинейности. Найдено критическое значение данного коэффициента. Установлено, что учет физической нелинейности приводит к новому модифицированному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза перехода колебаний от гармонических к хаотическим.

В третьей главе разработана методология вейлет-анализа сложных колебаний многослойных систем в виде балок и пластинок с малыми зазорами между ними, которые при действии нагрузки на верхний слой вступают во взаимодействие между собой. Разработанный алгоритм и программный 4 * « , . , . , , , , . і ( комплекс, описанный в первой главе, позволяют'решать различные классы задач с возможностью контактного взаимодействия:

1) математическое моделирование контактного взаимодействия перекрестных и параллельных балок с малыми зазорами;

2) математическое моделирование контактного взаимодействия пластин с малым зазором;

3) математическое моделирование контактного взаимодействия пластины и балки с малым зазором;

4) математическое моделирование контактного взаимодействия пластины и двух параллельных балок с малым зазором.

Разработанный программный комплекс может быть применен для любого количества слоев в структуре. '

Список использованной литературы включает 147 наименований.

Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:

1. Разработан комплексный численно-аналитический метод моделирования для решения контактных задач, основанный на последовательном применении метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях и метода Рунге-Кутты, отличающийся от известных возможностью учета геометрической, физической, конструктивной нелинейности и любого количества слоев в системе.

2. На основе развитых методов разработаны рабочие алгоритмы и программные комплексы для расчета сложных колебаний конструктивно нелинейных балок и пластинок, а также различных сочетаний этих элементов. Установлена достаточная сходимость разработанных методов (метода конечных разностей и метода Бубнова-Галеркина) в зависимости от исследуемых параметров для многослойного пакета пластин.

3. Для консольных балок Бернулли-Эйлера с учетом геометрической и физической нелинейности выявлено критическое значение коэффициента диссипации среды с помощью > вейвлет-анализа., Показано, что ;тип нелинейности существенно влияет на сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим.

4. Впервые проведено изучение фазовой хаотической синхронизации для многослойных механических систем, состоящих из пластинки и одной или двух балок, при помощи вейвлет-анализа, а также исследование управления их колебаниями. Получены сценарии перехода колебаний указанных систем от гармонических к хаотическим в зависимости от параметров и типа внешнего воздействия, величины зазора, параметра диссипации среды.

5. Проведено исследование колебаний оболочек отрицательной гауссовой кривизны. Обнаружен новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для таких оболочек под знакопеременным внешним поперечным ■ давлением. '',■,.■■•'■,.■. .:. ■■ ./ ,■,■,.

• >.■■, ■" I ' 1 . , 1 * ' | ' 1 ■■

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи, а также применением различных численных методов с взаимным контролем результатов (сравнение результатов, полученных принципиально разными методами: методом конечных разностей, методом конечных элементов, методом Бубнова-Галеркина и методом Рунге-Кутты), методов математического и компьютерного моделирования, а также с применением методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики.

Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач нелинейной динамики для контактного взаимодействия балочно-пластинчато-оболочечных структур. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания конструктивно нелинейных механических систем в зависимости от управляющих параметров и изучать их фазовую хаотическую синхронизацию, результаты диссертации использовались при выполнении:,

• \ \ • И ' ГЧ < И ,1 I * V , / * (, 1 , I - . | ► | I ч { ' , А '* 1 > ^ ' Ич * I

- гранта Президента РФ ^ для государственной {поддержки молодых российских ученых МК-3877.2009.8, 2009 год;

- гранта «Математическое моделирование в развитии цивилизаций» по госконтракту П-321 Министерства образования и науки РФ, 2009 год;

- ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, проект 2012-1.4-12-000-1004-006, 2012 год;

- конкурса научных проектов, выполняемых молодыми учеными (Мой первый грант), РФФИ, на 2012-2013 годы проект 12-01-31204, 2012 год; а также в учебном процессе при выполнении лабораторных работ со студентами специальности «Прикладная математика и информатика» на кафедре «Математика и моделирование» СГТУ имени Гагарина Ю.А.

Получены 4 свидетельства о государственной регистрации > программы для ЭВМ.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации представлялись на:

1) XVII, XVIII и XIX международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ, Москва, 2010 (грамота за лучший доклад), 2011, 2012);

2) XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, 2010);

3) X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011);

4) 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics at Graz University of Technology (Австрия, 2011);

5) 11th conference on «Dynamical Systems - Theory and Applications» (Lodz, Poland, 2011);

6) Международной , выставке молодежных работ в , области информационно-коммуникационных технологий, научно-исследовательских и инвестиционных проектов «Цифровой ветер -2012» (Саратов, 2012), (диплом II степени);

7) Международных научно-практических конференциях «Инженерные системы - 2010, 2011» (РУДН, Москва, 2010, 2011);

8) VII и VIII Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010,2011);

9) IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и современные информационные технологии» (ТПУ, Томск, 2011);

10) Молодежном научно-инновационном конкурсе «У.М.Н.И.К.» (Саратов, 2011);

11) XV Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, Украина, 2011);

12) VIII Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011).

Данная диссертационная работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете имени Гагарина Ю.А. на кафедре «Математика и моделирование».

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012). 1! „ ч Г ^ ' f. • "

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 печатных работах, в том числе 5 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Предложенный метод математического моделирования и построенные конкретные математические модели обеспечивают анализ гармонических и хаотических колебательных режимов для балочно-пластинчато-оболочечных структур с учетом их контактного взаимодействия.

2. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для исследования пространственно-временного хаоса распределенных механических систем в виде балочно-пластинчато-оболочечных структур с учетом геометрической, физической и конструктивной нелинейности.

3. Получены новые явления фазовой хаотической синхронизации колебаний в многослойных системах, состоящих из балок и пластинок. На базе вейвлет-анализа найдены диапазоны частот, на которых происходит фазовая синхронизация.

4. Найден новый сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим для гипара под знакопеременным распределенным внешним нагружением, согласно которому после серии зависимых частот и бифуркаций Хопфа система переходит в хаос с удвоением периода. Учет физической нелинейности существенно влияет на сценарий перехода колебаний балок от гармонических к хаотическим.

5. Программный комплекс анализа знаков показателей Ляпунова, основанный на алгоритме Бенеттина с использованием нейронных сетей.

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своему научному руководителю - Заслуженному деятелю науки и техники РФ, Почетному профессору Технического университета г. Лодзь, Соросовскому профессору, доктору технических наук, профессору Вадиму Анатольевичу Крысько за поставленные задачи, постоянное и пристальное внимание к работе и большую поддержку на протяжении всего времени исследования.

Используемые обозначения а - длина структуры; 2к - высота структуры; и^х,/1) - прогиб структуры; и(х,() - перемещение срединной поверхности вдоль оси ОХ;

Р{х,у,1) - функция усилия;

Х(х,() - поперечный сдвиг; е - коэффициенты затухания для прогиба м?; д = - поперечная нагрузка;

Е - модуль Юнга; g - ускорение свободного падения; р - плотность материала; у - объемный вес материала балки; со - частота вынуждающей силы; д0 - амплитуда вынуждающей силы; \ - зазор между слоями; кх,ку- кривизны оболочки; фаза сигнала