Динамика двухслойных неспаянных пластинок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Овсянникова, Ольга Александровна

• Овсянникова, Ольга Александровна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Овсянникова, Ольга Александровна

ВВЕДЕНИЕ (Краткий исторический обзор исследований по теме диссертации и основное содержание работы).

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ

ДВУХСЛОЙНЫХ НЕСПАЯННЫХ ПЛАСТИН.

§ 1. Основные соотношения и допущения.

§ 2. Перемещения и деформации в пластинке.

§ 3. Математические модели динамики теории гибких физически нелинейных двухслойных пластинок.

3.1. Уравнения в перемещениях.

3.1.1. Дифференциальные уравнения физически нелинейной системы с учетом натяжения срединной поверхности.

3.1.2. Дифференциальные уравнения физически нелинейной системы без учета натяжения срединной поверхности и геометрической нелинейности.

3.1.3. Дифференциальные уравнения упругих двухслойных неспаянных пластинок.

3.1.4. Дифференциальные уравнения двухслойных неспаянных пластинок, в условиях обобщенной гипотезы

Власова, с учетом нелинейного трения.

3.2. Уравнения в смешанной форме с учетом физической и геометрической нелинейностей.

3.3. Математическая модель двухслойных пластинок, когда одна из пластинок описана уравнениями в перемещениях, а вторая - уравнениями в смешанной форме.

§ 4. Некоторые математические модели трения.

4.1. Линейное трение.

4.2. Нелинейное трение.

4.3. Гистерезисное трение.

4.4. Ударное демпфирование.

§ 5. Классификация механических систем в виде двухслойных неспаянных пластинок.

Выводы по главе.

Глава II. МЕТОДИКА РАСЧЕТА

ДВУХСЛОЙНЫХ УПРУГИХ ПЛАСТИН.

§ 1. Метод понижения порядка системы дифференциальных уравнений теории многослойных неспаянных пластинок. ф

§ 2. Методика сведения распределенных систем в виде двухслойных неспаянных пластин к сосредоточенным.

§ 3. Достоверность полученных результатов.

Выводы по главе.

Глава III. ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХСЛОЙНЫХ

НЕСПАЯННЫХ ПЛАСТИН.

§ 1. Основные характеристики для анализа хаотических колебаний линейных хаотических систем.

1.1. О хаосе.

1.2. Фазовые портреты.

1.3. Отображения Пуанкаре.

1.4. Временной ряд.

1.5. Бифуркации.

1.6. Сценарии перехода в хаос.

§ 2. Диссипативная динамика двухслойных неспаянных пластин.

§ 3. Консервативная динамика двухслойных неспаянных пластин.

§ 4. Диссипативно-консервативная динамика двухслойных неспаянных пластин.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика двухслойных неспаянных пластинок»

Несмотря на известные успехи в развитии нелинейной теории применительно к изучению статики, динамики и устойчивости пластин и оболочек, следует отметить некоторое отставание теории контактного взаимодействия, а значит, отсюда следует и актуальность данной проблемы.

В настоящее время, актуальность проблемы расчета контактных задач теории пластин на прямоугольном плане существенно возросла, в связи с интенсивном внедрением композитных материалов, в частности армированных и слоистых, позволяющих учитывать реальную работу сложных конструкций в условиях высоких температур, агрессивных средах, коррозионного износа.

Задачи о контактном взаимодействии между тонкими пластинами сложны, поскольку при их решении приходиться одновременно определять НДС и зоны контакта двух и более пластин, в общем случае различной формы.

Контакт круглых пластин, установленных с зазором при нагружении одной из них изучен Ю.П. Артюхиным [1], с использованием теории Кирхгофа. На границе зоны контакта обнаружены сосредоточенные сила и момент. Использование теории типа Тимошенко позволило получить конечное значение контактного давления на границе [2] (решение осесимметричной задачи).

Задача о контакте между двумя прямоугольными пластинами решена вариационно-разностным методом [3], методом вариационных итераций [4]. Данные решения выполнены в геометрически и физически линейной постановке.

Дискретный подход для пластин со слоями Тимошенко реализован в [5], с помощью предложенного авторами матричного метода, приводящего задачу к системе интегральных уравнений, относительно контактного давления, в неизвестных априорных зонах. Здесь учтена возможность появления разрывов областей сопряжения слоев.

Серию задач контакта пластинок и оболочек с учетом физической нелинейности рассмотрел Б.Я. Кантор [6] методом Ритца в высших приближениях для осесимметричного случая.

Практика строительства, как в нашей стране, так и за рубежом выдвигает требования разработки и применения облегченных конструкций, особенно при возведении сооружений в труднодоступных районах. Тонкостенные элементы конструкций в форме многослойных неспаянных пластинок в течение нескольких десятилетий являются объектом многочисленных и разнообразных исследований. Интерес к проблемам деформирования, прочности, колебаний, статической и динамической устойчивости многослойных неспаянных пластинок в первую очередь тем, что они представляют собой основные несущие элементы конструкций, применяемых в строительной механике, авиационной и ракетной технике, создании приборов новой техники, в медицине и др. отраслях народного хозяйства.

Актуальность разработки проблем деформирования и прочности многослойных неспаянных пластинок при динамических сжимающих воздействиях в последние годы резко возросла. Объясняется это в первую очередь непрерывно расширяющимся внедрением пластинок в несущие элементы конструкций, работающих в интенсивных динамических режимах. Необходимо иметь в виду, что запросы практики требуют обеспечения высокой надежности ответственных конструкций, отдельные элементы которых изготовлены из многослойных неспаянных пластинок и панелей. Проводимые же с этой целью натурные динамические испытания становятся все более сложными и дорогостоящими. Эффективно разрешить эту проблему можно лишь на базе комплексных теоретико-экспериментальных исследований, основная задача которых должна заключаться в выяснении физической сущности процессов, протекающих в конструкционных элементах в предполагаемых условиях эксплуатации.

Что касается теоретико-расчетной части общей задачи, то первая основная проблема при рассмотрении сложных конструкций заключается в создании эффективных математических моделей исследуемых систем, которые не только обеспечивают выполнение заданных требований к информативности и точности исследований, но и одновременно являются экономичными, способствуя, в частности, минимизации затрат машинного времени и памяти ЭВМ. Математические модели рассматриваемых явлений и расчетные методики в идеале должны быть точными, надежными и в тоже время универсальными. Однако удовлетворить всем этим требованиям в задачах динамики пластин и оболочек практически никогда не удается. Объясняется это непростым физическим содержанием динамических процессов в тонкостенных конструкциях.

При расчете многослойных неспаянных пластинок на динамические сжимающие нагрузки важно иметь в виду также следующее обстоятельство. Для реальных пластинок, обладающих (пусть даже очень малыми) начальными несовершенствами, во многих случаях оказывается невозможным рассмотрение в чистом виде классических задач деформирования, динамической устойчивости и прочности. Сравнительно медленное нарастание деформаций (безмоментных либо моментных осесимметричных в зоне краевого эффекта) на начальной стадии нагружения, последующий резкий переход конструкции к интенсивному неосесимметричному выпучиванию, образование и развитие в материале локальных зон неупругих деформаций или локальных повреждений представляют собой взаимовлияющие стороны единого процесса. Можно говорить лишь о том какая из них в тон или иной расчетной ситуации (при конкретном виде нагрузки, диапазоне скоростей нагружения, поле начальных несовершенств, соотношении геометрических параметров оболочки характеристика, жесткости и прочности материала) будет доминирующей.

В исследованиях по строительной механике и теории упругости проблема уменьшения числа степеней свободы рассматриваемых систем или понижения мерности задач является одной из важнейших, так как ее решение в каждом конкретном случае связано с возможностью получения аналитического решения или же значительного снижения вычислительных затрат.

Если по первому направлению (уменьшения числа степеней свободы) количество публикаций является необозримым, т.к. к ним относятся работы по различным вариационным методам, методам дискретизации (МКЭ, метод сеток, МГЭ и т.д.), то по второму направлению (понижение мерности задач) исследований выполнено сравнительно мало. Если исключить из их числа работы, посвященные системам с циклической симметрией, где расчленение разрешающей системы уравнений на сумму уравнений с меньшей на порядок мерностью не вызывает особых затруднений, то работ, непосредственно относящихся к проблеме понижения мерности задач строительной механики и теории упругости, окажется очень мало. К этим работам следует, прежде всего, отнести работы JT.A. Розина [7, 8] и Г.И. Пшеничного [9, 10], посвященные методам расчленения дифференциальных операторов уравнений математической физики. С самого начала идея этих методов оказалась связанной с вопросами построения стержневых схем для задач теории пластин и оболочек.

В связи с этим в начале 60-ых годов возникла идея анализа дифференциальных операторов уравнений математической физики путем их расчленения на сумму одномерных операторов и операторов связи, интерпретации их как обыкновенных дифференциальных уравнений для одномерных элементов по каждому из направлений системы уравнений связи между этими одномерными элементами [11, 8].

Этот подход дает возможность трактовать исходную систему как непрерывную (сплошную) стержневую, полностью ей эквивалентную и от нее перейти к дискретной стержневой системе, приближенно аппроксимирующей исходную континуальную, т.е. перейти от системы с бесконечным числом одномерных элементов по каждому из направлений к системе с конечным их числом.

Динамический хаос, хаотические колебания, стохастичность - понятия, появившиеся в научно-технической литературе относительно недавно, -быстро завоевали свое «место под солнцем». Оказалось, что подобные процессы свойственны многим нелинейным динамическим системам и их математическим моделям в различных областях естествознания, а также в теории управления, экономике и т.д.

Проблема детерминированности и случайности, предопределенности и непредсказуемости, зародившись много веков назад, продолжает оставаться одной из фундаментальных острых проблем естествознания. Идеи, заложенные в основу статической физики, связали случайность и непредсказуемость с невозможностью полного описания сложных систем, состоящих из многих элементов типа, например, газа или плазмы, и привели к вероятностному описанию многоэлементных систем.

Вместе с тем предполагалось, что в силу детерминированности исходных уравнений поведение простых систем типа одной или нескольких частиц, типа одного или нескольких осцилляторов, одного или нескольких автогенераторов полностью предсказуемо на любом заданном интервале времени и в их поведении в силу этого отсутствуют черты, характерные для случайных процессов.

Первые мелкие трещины в этой четкой картине разделения детерминированного и случайного начала возникать в начале XX века. Так, появление квантовой механики положило конец воззрению о возможности определения начальных условий и траекторий физических систем с любой наперед заданной точностью и тем самым ограничило применимость детерминированного описания микроскопических простых систем. Кроме того, были построены примеры, показывающие возможность появления неопределенности в поведении простых детерминированных систем из-за ограниченной точности задания начальных условий. С другой стороны выяснилось, что в сложных системах с большим числом степеней свободы, например, гидродинамических, могут наблюдаться из-за кооперативных эффектов элементы детерминированности в поведении.

Широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что поведение сложных систем со многими степенями свободы при определенных условиях, а именно, нелинейной неравновесной области, где перестают работать законы классической равновесной термодинамики, может быть свойственна регулярность, хорошая организованность [12]. При этом возникают регулярные пространственные и временные структуры, названные И. Пригожиным [13 - 16] диссипативными.

Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос. Такой хаос принципиально отличается от хаоса, создаваемого в детерминированной системе под воздействием внешних флуктуаций - флуктуационного хаоса. Он возникает при соответствующих условиях даже в простых системах, например, автогенераторах, в результате сложного собственного поведения системы, порождаемого неустойчивостью фазовых траекторий. При этом динамика системы нерегулярна сама по себе, без воздействия каких либо внешних или внутренних флуктуаций.

Остановимся кратко на решающих результатах, приведших к концепции динамического хаоса.

Одним из первых, поставил вопрос о возможности возникновения хаоса в динамике был Чириков Б.В. [17]. Он показал для случая гамильтоновой системы, что колебания нелинейного осциллятора, находящегося под внешним многочастотным воздействием, и системы нелинейных осцилляторов, необязательно должны быть периодическими или квазипериодическими, а могут быть более сложными и обладать сплошным спектром.

Пример диссипативной системы со стохастическим поведением был исследован в работе Лоренца Э. [18], который обнаружил детерминированные движения, отличные от периодических и квазипериодических в модели, представляющей собой трехмодовую аппроксимацию задачи двумерной тепловой конвекции.

Разработка математических концепций возможности появления сложных непериодических движений в динамических системах восходит к исследованию А. Пуанкаре [19, 20], где было введено понятие гомоклинических траекторий. Важными этапами на пути к осознанию возможности появления сложных непериодических движений явилось создание качественной теории динамических систем на плоскости [19], разработка метода точечных отображений для анализа динамических систем [20], исследование характера движений многомерных систем в окрестности сложных положений равновесия [21].

Наконец, в 1971 году Рюэлем и Такенсоном вводится понятие «странный аттрактор» [22]. Следует отметить, что этот революционный шаг был подготовлен значительными достижениями не только качественной теории динамических систем [23 - 26], но и таких смежных областей математики, как эргодическая теория [27 - 30], символическая динамика [18, 26], теория бифуркаций [31,32] и теория катастроф [26, 33, 34].

Электроника и радиофизика являются одними из наиболее благодатных областей, как с точки зрения широты распространения явлений сложной динамики, так и с точки зрения возможностей их исследования.

Динамический хаос может быть реализован, как в маломерных системах с размерностью фазового пространства не менее трех, так и в более сложных системах, вплоть до распределенных. Если динамика систем с размерностью фазового пространства равной трем, на сегодняшний день в значительной и степени изучена, то закономерности поведения систем повышенной размерности по-прежнему во многом остаются загадочными.

Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах и оболочках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейность зависеть от усилий.

Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги А.С. Вольмира [35], Б.Я. Кантора [36], В.А. Крысько [37], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Этому вопросу в вышеперечисленных источниках уделяется большое внимание. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению.

Но чрезвычайно важным является вопрос о нелинейной динамике пластин и оболочек с учетом диссипации энергии под воздействием знакопеременных нагрузок и изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса. Данное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В.А. Крысько. В этом направлении исследованы прямоугольные в плане пластинки и оболочки при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок с учетом диссипации энергии [38, 39].

Нелинейная динамика пластин и оболочек интенсивно начала развиваться со второй половины прошлого века. Изучение колебаний оболочек было начато еще Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука». В последующее время труды в этой области опубликовали такие выдающиеся ученые как Н.А. Алумяэ [40], В.В. Болотин [41], Э.И. Григолюк [42] и другими авторами. В имеющейся литературе речь идет, как правило, о малых колебаниях упругих пластин и оболочек, когда соотношение между деформациями и перемещением с одной стороны и деформациями и усилиями с другой, могут быть приняты линейными.

Запросы в первую очередь авиационной и космической техники определили настоятельную потребность в изучении динамических процессов в пластинчатых конструкциях. Среди вопросов динамики, подвергшихся интенсивному рассмотрению, важное место заняла проблема свободных и вынужденных колебаний, совершаемых пластинкой. Этим задачам посвящены монографии А.С. Вольмира [43], В.А. Крысько [37], В.А. Пальмова [44], Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [45], A.JT. Гольденвейзера, В.Б. Лидского и П.Е. Товстика [46], В.Л. Агамирова [47].

Методы математического моделирования динамических процессов, применяемые в теории пластин, разрабатывались и в работах, посвященных колебаниям других строительных конструкций, по большей части балочных. Из работ последних лет можно выделить следующие. Т.Д. Каримбаев и Ш. Мамаев [48] исследовали сопротивление ударным нагрузкам упруго-пластического тела в форме параллелепипеда с прямоугольным поперечным сечением. Разработанный ранее алгоритм решения динамических задач здесь обобщен на случай задач с движущимися граничными условиями. Проанализирован возможный характер разрушения балки при перемещениях области воздействия динамической нагрузки. Догаки, Пек и Ионезава [49] провели численное исследование показателей динамической неустойчивости и выпучивания тонких прямоугольных упругопластических пластин с начальными деформациями под действием комбинации статической и периодической сдвигающих сил при учете геометрической нелинейности перемещений и физической нелинейности применяемого материала.

Особый раздел теории колебаний пластинок представляет исследование их нелинейных колебаний. При этом наибольший интерес при рассмотрении зависимости прогиба от нагрузки вызывает неустановившийся, переходный процесс движения оболочки от ее регулярных колебаний к полной потере устойчивости. Такой процесс обычно заключает в себе скачкообразные переходы (бифуркации) от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению при достижении определенного критического значения нагрузки.

Хаотические движения строительных конструкций исторически рассматривались как непредсказуемые эффекты, вызванные случайными внешними факторами и не связанные со свойствами самой конструкции. Исследования по нелинейной динамике колебательных систем4 в других областях показали, что хаотические явления представляют собой один из характерных типов поведения нелинейных систем и что понимание механизма возникновения этих явлений дает возможность предвидеть дальнейшее развитие и предельное состояние движения.

Следует отметить ту важную роль, которую играют в этих исследованиях современная вычислительная техника и методы математического моделирования динамических процессов.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выясняли условия возникновения хаотических реакций в строительных конструкциях под влиянием тех или иных внешних воздействий. Целью этих работ было также установление типичных сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим.

Общей трактовке указанных вопросов посвящена, например, монография Т. Капитаника [50], ориентированная на инженеров - практиков.

Обзор результатов проведенных в 1980-е годы исследований свойств переходных процессов в колебаниях нелинейных систем опубликовал Т. Капитаник в [51]. Построены отображения Пуанкаре и типы фазовых траекторий с различными вариантами неустойчивости. Хаотические эффекты сопоставляются с различными характеристиками нелинейности системы. В его же работе [52] проведен анализ условий перехода к хаотическому поведению в автономной самовозбуждающейся системе под действием периодического и случайного внешнего возмущения. Определены фазовые траектории с одной и двумя петлями и условия перехода к хаотическим фазовым траекториям. Хан, Жанг и Янг [53] рассматривали хаотические вынужденные колебания динамической системы второго порядка с квадратичной и кубической нелинейностями. Определялись условия возникновения хаоса по отображениям Пуанкаре, фазовым портретам и временным рядам.

В.А. Баженов, Е.С. Дехтерюк и Ю.С. Петрина численно исследовали бифуркации установившихся режимов вынужденных колебаний пластин и оболочек под действием периодических во времени нагрузок. Отмечен переход от регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний к хаотическим.

Я. Аврейцевич, В.А. Крысько и А.В. Крысько [54] изучали общие механизмы перехода к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях. Анализируя сложные колебания гибких пластинок при воздействии переменных во времени сдвиговых нагрузок, В.А. Крысько, В.В. Бочкарев, Т.А. Бочкарева [55] установили, что при любых заданных значениях частоты и коэффициента демпфирования существует значение амплитуды нагрузки такое, что при больших значениях амплитуды колебания становятся хаотическими. В.А. Крысько, Т.В. Вахлаева и А.В. Крысько [56] детально описали механизмы возникновения хаоса в случае вынужденных колебаний пластин. Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума в динамике пластин проанализирован в работе Я. Аврейцевича и В.А. Крысько [57]. Хаотические эффекты в диссипативно-консервативных колебаниях двухслойных неспаянных пластин исследовали В.А. Крысько, А.В. Крысько и Т.В. Бабенкова [58]. Рассматривал модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы П.С. Ланда [59] и установил, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.

В работе [60] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесимметричных колебаниях упруго - пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хан, Ху и Янг [61] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрелло, Френди и Браун [62] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для' выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки. Сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок рассматривали А.В. Крысько, С.А. Мицкевич и Ю.В. Чеботаревский [63]. Хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки исследовали В.А. Крысько и А.В. Кириченко [64]. Сделана попытка объяснить явление динамической потери устойчивости с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выяснили условия возникновения хаоса в различных конструкциях. Значительная роль в таких исследованиях, целью которых является выявление сценариев перехода от регулярных колебаний к хаотическим, отводится методам математического моделирования и современным вычислительным методам. Но задачам исследования стохастических колебаний многослойных неспаянных систем в виде пластин, уделялось ограниченное внимание. Настоящая работа ставит перед собой цель частично заполнить этот пробел.

Целью работы является построение математических моделей теории многослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной, связанную с тем, что расчетная схема задачи, в процессе деформирования, меняется; конструктивной и физической нелинейностями; конструктивной, геометрической и физической нелинейностями; а также, нелинейной зависимости диссипативных членов в сочетании с конструктивной, геометрической и физической нелинейностями). Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Создание математических моделей теории многослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной, связанную с тем, что расчетная схема задачи, в процессе деформирования, меняется; конструктивной и физической нелинейностями; конструктивной, геометрической и физической нелинейностями; а также, нелинейной зависимости диссипативных членов в сочетании с конструктивной, геометрической и физической нелинейностями).

2. Построение итерационной процедуры для динамических задач, когда на каждом шаге по времени уточняется зона контактного сопряжения пластин и тем самым уточняется величина и характер контактного давления.

3. Разработка методики расчета двухслойных неспаянных пластинок при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок, позволяющей исследовать диссипативные, консервативные, диссипативно-консервативные системы.

4. Качественное исследование динамики многослойных неспаянных пластинок, на основе нелинейной динамики в зависимости от изменения следующими параметрами: краевыми условиями, величиной зазора между пластинками, амплитудой и частотой равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, величиной диссипативных членов.

Уравнения в частных производных сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей второго порядка, которая решалась методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности. Это связано с задачей установить истинность хаоса, в отличие от модели Лоренца, когда низшие приближения обнаруживают хаос, а увеличение аппроксимации приводит к его исчезновению.

Показано, что переход колебаний из гармонических в хаотические двухслойной конструкции неспаянных пластинок при действии продольной и поперечной знакопеременной нагрузок может иметь различные сценарии. Более того, наблюдаемые бифуркационные процессы могут быть сложным образом скомбинированы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 115 страниц наборного текста, 4 рисунка, 13 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Овсянникова, Ольга Александровна

Основные выводы по диссертации Построены математические модели теории многослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной; конструктивной и физической нелинейностей; конструктивной, геометрической и физической нелинейностей).

Разработана итерационная процедура для динамических задач, когда на каждом шаге по времени уточняется зона контактного сопряжения пластин и тем самым уточняются величина и характер контактного давления.

Разработан пакет программ для качественного исследования динамики многослойных неспаянных пластинок на основе нелинейной динамики с помощью метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Изучен новый класс задач нелинейной динамики многослойных неспаянных пластинок в зависимости от типа управляющих параметров (краевых условий, характера нагрузки, величины зазора и вида динамической системы).

Выявлено интересное явление: в случае, когда одна из пластин шарнирно оперта, а другая защемлена, частота пластины с шарнирным опиранием по контуру захватывает частоту пластины с другим типом граничных условий. Обе пластинки колеблются с частотой возбуждения, равной частоте возбуждения шарнирного опирания, т.е. наблюдается явление синхронизации.

Построена шкала динамических режимов в зависимости от управляющих параметров ^j\cop\ для двухслойной неспаянной пластинки, что позволяет изучить все многообразие поведения конструкции и выявить оптимальные параметры нагрузки для конкретных условий.

Проанализирована эволюция колебаний при переходе от гармонических в хаотические.

Проведено исследование изменения величины и характера контактного давления между пластинками в зависимости от изменения следующими параметрами: краевыми условиями, величиной зазора между пластинками, амплитудой и частотой равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, величиной диссипативных членов.

Выявлено, что при нелинейных диссипативных колебаниях двухслойных неспаянных пластинок с учетом конструктивной нелинейности присутствуют некоторые выводы теоремы Шарковского. Выявлено появление бифуркаций Андронова - Хопфа до трех. Для пластинок, защемленных по контуру, обнаружено утроение периода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Овсянникова, Ольга Александровна, 2006 год

1. Артюхин Ю. П. Некоторые контактные теории тонких пластин / Ю. П. Артюхин, С. Н. Карасев // Исследования по теории пластин и оболочек. 1973.-Вып. 10.-С. 159-166.

2. Карасев С. Н. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений / С. Н. Карасев, Ю. П. Артюхин // Исследование по теории пластин и оболочек. 1976. Вып. 12. - С. 6877.

3. Друнев В. К. Покон изследования на устойчивоста на кръгов прьстетверху еластична основа / В. К. Друнев // Теоретическая и прикладная механика. 1980,- 11, —№ 3. — С. 94-101.

4. Крысько А. В. Комбинированные математические модели контактных задач теории пластин и оболочек: дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.02.04 / А. В. Крысько Саратов: СГУ, 1995. - 266 с.

5. Пелех Б. JI. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентрическими / Б. JI. Пелех, В. А. Лазько ; Киев: Наукова думка, 1982.-292 с.

6. Кантор Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных оболочек /Б. Я. Кантор ; Киев: Наукова думка, 1971. 134 с.

7. Розин Л. А. О расчете конструкций методом расчленения /Л. А. Розин //Прикладная матем. и механика, 1961.-т. XXV.-№ 5.-С. 921 -926.

8. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов /Л. А. Розин ; Л. Изд-во ЛГУ, 1976.-232 с.

9. Пшеничнов Г. И. Метод декомпозиции решения уравнений и краевых задач / Г. И. Пшеничнов ; ДАН СССР. М., 1985. т. 282. - № 4. - С. 792 -294.

10. Пшеничнов Г. И. Решение некоторых задач строительной механики механики методом декомпозиции / Г. И. Пшеничнов // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. № 4. - С. 12-17.

11. И.Игнатьев В. А. Расчет регулярных статически неопределенных стержневых систем / В. А. Игнатьев // Изд-во Саратовского ун-та, 1979. -295 с.

12. Ханен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Г. Ханен ; М.: Мир, 1985.-256 с.

13. Гленодорф П. Термодинамическая теория структурности, устойчивости и флуктуации / П. Гленодорф, И. Пригожин ; М.: Мир, 1973. 280 с.

14. Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, А. Пригожин ; М.: Мир, 1979. 344 с.

15. Пригожин И. От существующего к возникающему / И. Пригожин ; М.: Наука, 1985.-238 с.

16. Пригожин И. Порядок из хаоса / И. Пригожин ; М.: Прогресс, 1986. -230 с.

17. Чириков Б. В. Резонансные процессы в магнитных ловушках / Б. В. Чириков ; Атомная энергия, 1959. Т. 7. - № 6. - С. 630 - 638.

18. Лоренц Э. Детерминированные периодические течения. (Странные аттракторы); под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шпильникова / Э. Лоренц; М.: Мир, 1981.-С. 88-116.

19. Пуанкаре А. О науке / А. Пуанкаре ; М.: Наука, 1983. 560 с.

20. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре ; М.: Гостехиздат, 1948. 320 с.

21. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин ; М.: Наука, 1981.-598 с.

22. Рюэль Д. О природе турбулентности (странные аттракторы) / Д. Рюэль, Ф. Такенс ; М.: Мир, 1981.-С. 117-151.

23. Алексеев В. М. Квазислучайные колебания и качественные вопросы небесной механики / В. М. Алексеев // Труды IX Мат. школы, Киев. Ин-т математики АН УССР, 1972. С. 212 - 341.

24. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы / Дж. Д. Биркгоф ; М.: Гостехиздат, 1941. 165 с.

25. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский ; М.: Наука, 1974. -503 с.

26. Боуэн Р. Методы символической динамики / Р. Боуэн ; М.: Мир, 1979. -175 с.

27. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация / П. Биллингслей ; М.: Мир, 1969.-117 с.

28. Бунимович JI. А. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца / Л. А. Бунимович, Я. Г. Сипай ; Нелинейные волны, М.: Наука, 1979. С. 212 -226.

29. Корнфельд И. П. Эргодическая теория / И. П. Корнфельд, Я. Г. Сипай, С. В. Фомин; М.: Наука, 1980. 208 с.

30. Крылов Н. С. Работы по обоснованию статической физики / Н. С. Крылов ; М. Изв. АН СССР, 1950. 232 с.

31. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд ; М.: Наука, 1978. 272 с.

32. Йосс Ж. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Йосс, Д. Джозеф ; М.: Мир, 1983. 300 с.

33. Арнольд В. И. Теория катастроф / В. И. Арнольд ; М.: Изд-во МГУ, 1983.- 128 с.

34. Карасев С. Н. О некоторых контактных задач теории тонких пластин и оболочек / С. Н. Карасев // Изв. АН СССР. ШТ., 1978. № 5. - С. 170 -178.

35. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир ; М.: Наука, 1967.-984 с.

36. Кантор Б. Я. К нелинейной теории тонких оболочек / Б. Я. Кантор // Динамика и прочность машин. Харьков: изд-во ХГУ, 1967. т. 5. - 136 с.

37. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. / В. А. Крысько ; Саратов: СГТУ, 1976. 216 с.

38. Салий Е. В. Математическое моделирование динамики пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей: дис. . канд. физ.-мат. наук/Е. В. Салий. Саратов, 2001. 117 с.

39. Киреева О. Н. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб: дис. . канд. физ.-мат. наук / О. Н. Киреева. Саратов, 2002.121 с.

40. Алумяэ Н. А. Одна вариационная формула для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии / Н. А. Алумяэ // Прикладная математика и механика. 1950. Т. 14. - № 2. -312 с.

41. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В.Болотин ; М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

42. Григолюк Э. И. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1969. 348 с.

43. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек /А. С. Вольмир; М.: Наука, 1972. 432 с.

44. Пальмов В. А. Колебания упруго пластических тел /В. А. Пальмов ; М.: Наука,-1976.- 186 с.

45. Григолюк Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов ; М.: Наука, 1978. 360 с.

46. Гольденвейзер A. JI. Свободные колебания тонких упругих оболочек / A. JI. Гольденвейзер, В. Б. Лидский, П. Е. Товстик; М., 1979. 384 с.

47. Агамиров В. Л. Динамические задачи нелинейной теории оболочек / В. Л. Агамиров; М.: Наука, 1990. 256 с.

48. Каримбаев Т. Д. Изгиб балки при поперечном ударе по движущейся площадке / Т. Д. Каримбаев, Ш. Мамаев // ЦИАМ. Препр. 2000. № 33. -С. 1-29.

49. Dogaki Masahiro. Dynamic buckling of rectangular plates under periodic shear force / Dogaki Masahiro, Pek Songbo, Yonezawa Hiroshi // Kansai daigaku kogyo gijutsu kenkyujo kenkyu hokoku. 2000. 15. - P. 169-178.

50. Kapitaniak T. Chaos for engineers: theory, applications, and control / T. Kapitaniak; Berlin Heidelberg - New York: Springer. 1998. - 142 p.

51. Kapitaniak T. Strange non-chaotic transients / T. Kapitaniak // J. Sound and Vibr. 1992.-158,-№1.-P. 189-194.

52. Kapitaniak T. Chaos in a noisy mechanical system with stress relaxation / T. Kapitaniak // J. Sound and Vibr. 1988. 123, - №3. - P. 391-396.

53. Han Qiang. The study on the chaotic motion of a nonlinear dynamic system Han Qiang, Zhang Shanyuan, Yang Guitong // Appl. Math. And Mech. Engl. Ed. 1999.-20,-№8.-P.830-836.

54. Аврейцевич Я. Переход к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях / Я. Аврейцевич, В. А. Крысько, А. В. Крысько // Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск, 1999. С. 3 - 8.

55. Awrejcewicz J. Feigenbaum scenario exhibited by thin plate dynamics / J. Awrejcewicz, V. A. Krysko // Nonlinear Dynamics. 2001. 24. - P .373 - 398.

56. Крысько B.A. Контактные задачи теории многослойных неспаянных пластин на прямоугольном плане : монография / В. А. Крысько, А. В.

57. Крысько, Т. В. Бабенкова; деп. В ВИНИТИ от 15.04.1998; № 1125 В98. 93 с.

58. Landa P.S. Chaotic oscillations in a model of vocal source / P.S. Landa // Изв. вузов. Прикл. нелинейн. динам. 1998. 6, - №4. - С. 57 - 67.

59. Lepik U. Axisymmetric vibrations of elastic-plastic cylindrical shells by Galerkin's method / U. Lepik // Int. J. Impact. Engng. 1996. 18. - №3. - P. 489-504.

60. Han Qiang. A study of chaotic motion in elastic cylindrical shells / Han Qiang, Hu Haiyan, Yang Guitong // Eur. J. Mech. A. 1999. 18, - №2. - P. 351 - 360.

61. Maestrello Lucio. Non-linear vibration and radiation from a panel with transition to chaos / Maestrello Lucio, Frendi Abdelkader, Brown Donald E. // AIAA Journal. 1992. 30, - №11. - P. 2632 - 2638.

62. Крысько В. А. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек / А. В. Крысько, А. В. Кириченко // В кн.: Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000. -С. 144-152.

63. Овсянникова О. А. Сложные колебания двухслойных неспаянных пластин при действии продольных знакопеременных нагрузок / А. В. Крысько, В. А. Крысько, О. А. Овсянникова, Т. В. Бабенкова// Изв. вузов. Строительство. 2002. № 6. - С. 23 - 30.

64. Овсянникова О. А. Математическая модель многослойных неспаянных задач теории пластин / А. В. Крысько, О. А. Овсянникова // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Межвуз. научн. сб. Вып. 2. Саратов, 2004. С. 195 - 204.

65. Овсянникова О. А. Хаотические колебания двухслойной упругой защемленной по контуру прямоугольной неспаянной пластинки / А. В. Крысько, О. А. Овсянникова // Вестник СГТУ. 2006. № 2 (12). - Вып. 1 -С. 16-19.

66. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности / В. И. Самуль ; уч. пособие для инж. строит, специальностей вузов ; М.: Высш. школа, 1970.-288 с.

67. Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности / И. А. Биргер // ПММ, 1951. Т. 15. - Вып. 6.

68. Качанов JI. М. О вариационных методах решения задач теории пластичности / Л. М. Качанов // ПММ, 1959. Т. 23. - Вып. 3.

69. Ohashi Y. The elastoplastic bending of a clamped thin circular plate / Y. Ohashi, S. Murakami; Proc. Eleventh Int. Cong. App. Mech., Munich, 1964.

70. Лукаш П. А. Расчет пологих оболочек и плит с учетом физической и геометрической нелинейностей / П. А. Лукаш // В кн.: Тр. ЦНИИСК. Изд-во Акад. строит, и арх. СССР, 1961. 7.

71. Муштари X. М. Поперечный изгиб квадратной пластинки при нелинейной зависимости между деформациями и напряжениями / X. М. Муштари, Р. Г. Суркин // Изв. Казанского филиала АН СССР, сер. физика, математ. и механ., 1966.-Т. 14.-С. 23-28.

72. Срубщик JI. С. Асимптотический метод определения критических нагрузок потери устойчивости строго выпуклых пологих оболочек вращения / JI. С. Срубщик // ПММ, 1972. Т. 36. - Вып. 4. - С. 705 - 715.

73. Ramberg W. Discriptions of Stress-Strain Curves by Three Parameters NAGA / W. Ramberg, W. R. Osgood // TN 902. Now NASA, 1943.

74. Александров В. M. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В. М. Александров, С. М. Мхиторян ; М. : Наука, 1983. -488 с.

75. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний: учеб. пособие / Я. Г. Пановко; 3-е изд. перераб. - М.: Наука, 1991. - 256 с.

76. Крысько В. А. Определение неустойчивых решений при расчете пластин и оболочек / В. А. Крысько, С. А. Комаров // Труды XVII международной конференции по теории оболочек и пластин. Казань: казанский гос. ун-т, 1996.-Т. 2.-С. 19-24.

77. Крысько В. А. Выпучивание гибких пластин под действием продольных и поперечных нагрузок / В. А. Крысько, С. А. Комаров, Н. В. Егурнов // Прикладная механика, 1996. Т. 32. - № 9. - С. 80 - 87.

78. Анищенко В. С. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы ; под ред. В. С. Анищенко / В. С.Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов ; Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. 368 с.

79. Ляпунов А. М. Собрание сочинений / А. М, Ляпунов ; М. : Изд-во АН СССР, 1954-1956.-Т. 1,2.

80. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин ; М.: Наука, 1966.-491 с.

81. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости /Б. П. Демидович ; М.: Наука, 1967. 280 с.

82. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноградов, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий ; М.: Наука, 1966.-218 с.

83. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границы области устойчивости / Н. Н. Баутин; М.: Наука, 1984. 191 с.

84. Смейл С. Дифференциальные динамические системы / С. Смейл // УМН, 1970.-Т. 25,-№ 1.-С. 113 185.

85. Мандельштам Л. И. Лекции по колебаниям / Л. И. Мандельштам ; М.: Изд-во АН СССР, 1995. 365 с.

86. Бутенин Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев ; М.: Наука, 1976. 382 с.

87. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю. И. Неймарк; М.: Наука, 1972. 356 с.

88. Гаушус Э. В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований / Э. В. Гаушус; М.: Наука, 1976. -167 с.

89. Качественная теория динамических систем второго порядка / А. А. Андронов, Е. М. Леонтович, И. И. Гордон, А. К. Майер; М.: Наука, 1967. -330 с.

90. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В. И. Арнольд; М.: Наука, 1975. 372 с.

91. Марсден Д. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Д. Марсден, М. Мак-Кракен; М.: Мир, 1980. 368 с.

92. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах /В. С. Анищенко ; М.: Наука, 1990. 312 с.

93. Белых В. Н. Качественные методы теории нелинейных колебаний сосредоточенных систем : учеб. Пособие / В. Н. Белых ; Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1980. 230 с.

94. Постнов Д. Э. Бифуркации регулярных аттракторов : учеб. пособие / Д. Э. Постнов; Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1996. 196 с.

95. Теория бифуркаций ; сер. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / В. И. Арнольд,

96. В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, JI. П Шильников ; М.: ВИНИТИ, 1986.- 128 с.

97. Базыкин А. Д. Бифуркационные диаграммы динамических систем на плоскости / А. Д. Базыкин, Ю. А. Кузнецов, А. И. Хибник; Пущино, НЦБИ АН СССР, 1985. 115 с.

98. Grebogi С. Chaotic attractors in crisis / С. Grebogi, E. Ott, J. A. Yorke // Phys. Rev. Lett., 1982. V. 48. - № 2. - P. 1507 - 1510.

99. Афраймович В. С. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / В. С. Афраймович ; М.: Наука, 1987. С. 189 - 213.

100. Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности / Л. Д. Ландау ; ДАН СССР, 1944. Т. 44. - № 8. - С. 339 - 342.

101. Hopf Е. A. Mathematical example desplaing the features of turbulence / E. A. Hopf// Comm. Pure Appl. Math., 1948. V.l. - P. 303 - 322.

102. Simoyi К. H. One dimensional dynamics in a multicomponent chemical reaction / К. H. Simoyi, A. Wolf, H. L. Swinney // Phys. Rev. Lett., 1982.-V. 49.-P. 245.

103. О бифуркациях в трехмерной двупараметрической системе со странным аттрактором / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Летчфорд, М. А. Сафонова // Изв. Вузов ; сер. Радиофизика, 1983. Т. 26. №2.-С. 169-176.

104. Pomeau Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomeau, P. Manneville // Comm. Math. Phys., 1980. -V. 74.-№2.-P. 189-197.

105. Manneville P. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems / P. Manneville, Y. Pomeau // Physica D, 1980. № 1. - P. 219.1. СПРАВКА

106. Зав. кафедрой «Высшая математика>