Математическое моделирование сложных колебаний некоторых распределенных нелинейных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Крылова, Екатерина Юрьевна

• Крылова, Екатерина Юрьевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Крылова, Екатерина Юрьевна

Оглавление

Введение (обзор работ, имеющих близкое отношение к теме диссертации) ^

Глава 1. Математическое моделирование сложных колебаний

27

нелинейных динамических систем в виде балок Эйлера - Бернулли § 1.1. Программный комплекс для качественного исследования

27

колебаний нелинейных динамических систем

§ 1.2. Математическая модель колебаний динамической системы в

29

виде балок Эйлера - Бернулли с учетом геометрической нелинейности

§ 1.3. Численная реализация математической модели колебаний балки Бернулли - Эйлера с учетом геометрической нелинейности

§ 1.4. Достоверность получаемых результатов

§ 1.5. Вейвлет-анализ как аппарат исследования численных

40

результатов

§ 1.6. Выбор вейвлет-преобразования для исследований сложных колебаний нелинейных динамических систем

§ 1.7. Сценарии перехода колебаний динамических систем от

61

гармонических к хаотическим

§ 1.7.1. Математическое моделирование сценариев перехода сложных колебаний нелинейных динамических систем в виде балок

Эйлера - Бернулли к хаосу

§ 1.8. Особенности колебаний нелинейных динамических систем в

69

виде балок Эйлера - Бернулли связанные с динамическим хаосом

§ 1.8.1. Переходные процессы в сложных колебаниях нелинейных динамических систем в виде балок Эйлера - Бернулли

§ 1.8.2. Пространственно временной хаос в сложных

колебаниях нелинейных динамических систем в виде балок Эйлера -Бернулли

§ 1.9. Прогнозирование характера колебаний нелинейных

77

динамических систем виде шарнирно-опертых балок Эйлера - Бернулли Выводы по главе

Глава 2. Математическое моделирование колебаний нелинейных динамических систем в виде шарнирно опертых прямоугольных в 83 плане оболочек под действием сдвиговой знакопеременной нагрузки § 2.1. Математическая модель колебаний геометрически нелинейных прямоугольных в плане оболочек. Основные гипотезы и 83 допущения

§ 2.2. Достоверность получаемых результатов g7

§ 2.3. Математические модели сценариев перехода колебаний нелинейных динамических систем в виде прямоугольной в плане 97 оболочки под действием сдвиговой нагрузки в хаос

§ 2.4. Влияние количества степеней свободы на достоверность получаемых результатов при исследовании сложных колебаний 116 нелинейных динамических систем

§ 2.5. Пространственно-временной хаос в колебаниях нелинейных динамических систем в виде шарнирно-опертых оболочек

§ 2.6. Нелинейная динамика шарнирно-опертых прямоугольных в плане оболочек под действием сдвиговой знакопеременной нагрузки в 129 зависимости от их геометрических параметров

Выводы по главе

Глава 3. Математическое моделирование колебаний нелинейных динамических систем в виде шарнирно-опертых прямоугольных в

135

плане оболочек под действием продольной знакопеременной нагрузки, действующей по периметру

§3.1. Достоверность получаемых результатов на основе метода

установления

§3.2. Математические модели сценариев перехода колебаний нелинейных динамических систем в виде оболочек под действием 141 продольной нагрузки по их периметру в хаос

§3.3. Нелинейная динамика шарнирно-опертых прямоугольных в плане оболочек под действием продольной знакопеременной нагрузки,

170

действующей по периметру, в зависимости от их геометрических параметров

Выводы по главе

Глава 4. Математическое моделирование колебаний геометрически нелинейных многослойных оболочек с учетом контактного 173 взаимодействия слоев

§4.1. Математическая модель колебаний геометрически нелинейной многослойной оболочки под действием внешней 175 продольной знакопеременной нагрузки

§4.2. Особенности сложных колебаний геометрически нелинейной многослойной пластины под действием внешней продольной 178 знакопеременной нагрузки

§4.3. Математическая модель сценария перехода колебаний геометрически нелинейной многослойной пластины под действием 180 внешней продольной знакопеременной нагрузки к хаотическим Выводи по главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование сложных колебаний некоторых распределенных нелинейных динамических систем»

Введение

(обзор работ, имеющих близкое отношение к теме диссертации)

Задача любого вида сводится к математической задаче.

Р. Декарт

Правильное представление о жизни динамической системы, о ее прочности и надежности не возможно без понимания возможности хаоса.

С возрастанием быстродействия компьютеров при исследовании нелинейных систем в последние десятилетия выяснилось, что высокая чувствительность к начальным условиям приводит к хаотическому поведению системы, что ни в коем случае не является каким-то исключением. Это типичное свойство многих динамических систем. Эффект хаотизации движений в детерминированных нелинейных системах еще совсем недавно казался совершенно невероятным в рамках теории колебаний. Теперь это научно обоснованное явление фундаментальной значимости.

Требования к обеспечению надежности и долговечности работы динамических систем любой природы каждый день возрастают. Им приходится работать во все более агрессивных условиях, подвергаться воздействию разнообразных сил и систем сил. Равно как все более усложняется и становится достаточно затратным натурное моделирование и динамические испытания откликов подобных систем на влияния различного рода факторов. Более перспективным является математическое моделирование хаотического поведения динамических систем. Такой подход имеет ряд преимуществ перед натурным экспериментом:

□ для вычислительного эксперимента не требуется сложного лабораторного оборудования;

□ идет существенное сокращение временных затрат на эксперимент;

□ имеется возможность свободного управления параметрами, произвольного их изменения;

□ простота прерывания и возобновления машинных экспериментов. При работе с математической моделью всегда возможно прерывание эксперимента на время, необходимое для анализа результатов и принятия решений.

За последние годы издано не мало тематических статей и монографий по математическому моделированию, к числу которых следует отнести прежде всего труды отечественных ученых С.П. Курдюмова [1,2], Г.Г. Малинецкого [3], Н. Н. Моисеева [4], A.A. Самарского [5,6], В.А. Ашихмина [7]. В этих работах подробно и доступно освещены такие вопросы, как предмет, методы и подходы математического моделирования, дано большое количество интереснейших примеров математических моделей.

JI. Больцман справедливо отметил: «Нет ничего практичнее хорошей теории».

К концепции динамического хаоса наука подошла широчайшим фронтом. Здесь можно выделить пять основных направлений. Первая линия развития связана с небесной механикой. Проблема трех тел в небесной механике была первой задачей, где великий французский математик Анри Пуанкаре столкнулся с возникновением сложной динамики и с хаосом. Среди гамильтоновых систем был выделен класс неинтегрируемых систем, которые в случае белее одной степеней свободы способны демонстрировать хаотическую динамику. Значительный прогресс в понимании природы' хаоса был сделан в 50 - 60 годы прошлого столетия. Он связан с KAM теорией (А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, Ю. Мозер), основная теорема которой утверждает, что при включении достаточно слабого взаимодействия между движениями нелинейных систем с иррациональным соотношением частот квазипериодический характер динамики в большинстве случаев сохраняется [8].

Статистическая физика образовала вторую линию фронта. В середине 20 века Ферми, Паста и У лам в численном эксперименте пытались рассмотреть

процесс установления термодинамического равновесия в цепочке связных осцилляторов, но вместо релаксации к равновесию был выявлен квазипериодический процесс. Затем Н.С. Крылов одним из первых развил идею о том, что неустойчивость фазовой траектории системы по отношению к малым возмущениям начальных условий очень важна. Русский математик A.M. Ляпунов ввел количественную характеристику неустойчивости траекторий, известную теперь как ляпуновский характеристический показатель [9]. В 1968 г. В.И. Оселедец [10] представил научной общественности важнейший результат. Мультипликативная эргодическая теорема, которая позволяет говорить о показателях Ляпунова, определенных для множества фазовых траекторий. Что легло в основу современного осмысления и использования в нелинейной динамике концепции показателей Ляпунова.

Возможно, первым документально зарегистрированным наблюдением хаоса был эксперимент Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка по исследованию динамики генератора под внешним периодическим воздействием. Контролируя режимы работы устройства по звуку в наушниках, исследователи отмечали явление синхронизации при определенных рациональных соотношениях частоты воздействия и собственной частоты и шумоподобные колебания при переходах между областями захвата. Работа Картрайта и Литтлвуда [11] оказала большое влияние на построение теории сложной динамики и хаоса. Здесь рассматривалось уравнение автогенератора под периодическим внешним воздействием, была обнаружена необычно сложная динамика, в частности, у системы было выявлено бесконечное число неустойчивых периодических орбит.

В конце 20 годов прошлого столетия A.A. Андронов установил, что адекватным математическим образом периодических колебаний являются предельные циклы, введенные Пуанкаре в его качественной теории дифференциальных уравнений. Одно из важных достижений Андронова с соавторами [12] - исследование момента возникновения автоколебаний при изменении параметров, ситуация, которая теперь носит название бифуркации Андронова - Хопфа.

Важным вопросом является то, какая последовательность событий привела систему к хаосу? Такую последовательность событий принять называть сценарием [8]. Четвертая линия, ведущая к современному пониманию хаоса, связана с проблемой турбулентности - с гидромеханикой. Здесь впервые перед наукой возник вопрос о природе турбулентности. Ознаменовалось это выходом в свет работы О. Рейнольдса 1883г., где было показано, что в зависимости от безразмерного параметра (известного теперь как число Рейнольдса) движение воды в трубке было ламинарным, или турбулентным [13].

Общепринято, что отправной точкой в изучении проблемы перехода системы к хаосу послужила в 1944 г. работа Л.Д. Ландау, в которой рассматривается вопрос о том, как при возрастании основного управляющего параметра гидродинамических систем (числа Рейнольдса) рождается турбулентность. Сценарий Ландау заключается в следующем: происходит потеря устойчивости течения по отношению к колебательному возмущению на какой-то частоте, после чего возникшее осциллирующее течение также теряет устойчивость по отношению к возмущению на другой частоте и так далее. Вследствие этого процесса возникают все новые и новые частоты, находящиеся в иррациональных отношениях, что приводит к сложному динамическому режиму -турбулентности [14]. Ландау рассматривал гидродинамическую турбулентность, но аргументация носила столь общий характер, что ее можно в равной степени отнести и к другим диссипативным динамическим системам. Чуть позднее (в 1948г.) аналогичные представления были развиты немецким математиком Эберхардом Хопфом. Ученый также обнаружил усложнение динамики системы в результате последовательного рождения несоизмеримых частот [15].

В 1963г. американский метеоролог Э. Лоренц опубликовал статью [16], где указал на свойство системы чутко реагировать на незначительные изменения начальных условий. В последствии это свойство хаотической динамики пропагандировалось им как «эффект бабочки».

В 1971 г. Дэвид Рюэль и Флорис Такенс в работе «О природе турбулентности» [17] подвергли критике сценарий Ландау и показали, что уже

после появления трех или четырех частот динамика может стать турбулентной. Может возникнуть странный аттрактор, характеризующий неустойчивость принадлежащих ему фазовых траекторий.

Научные дискуссии вокруг данного вывода привели к пониманию следующего: появление в спектре колебаний рассматриваемой системы третей частоты не должно сразу провоцировать рождение хаоса. Были обнародованы результаты экспериментов с реалистическими системами, где наблюдались квазипериодические режимы с числом частот большим трех (Тауако1, Ту/огкошБкл, 1984 г.; ОгеЫ^1 1985 г.; ВаезепБ 1991г.).

Также, после выхода в свет работы ученых Мэрилендского университета (1984г.) стало понятно, что сценарии перехода в хаос по средствам квазипериодических режимов довольно часто включают в себя образование странных нехаотических аттракторов, как переходный промежуточный режим. Надо отметить, что термин странный относится к геометрической структуре аттрактора, т. е. имеется в виду, что он представляет собой фрактальный объект. В то время как нехаотический указывает на отсутствие высокой чувствительности к изменениям начальных условий.

В научной среде до сих пор возникает спор о том, правомочно ли словосочетание «сценарий Рюэля - Такенса». Часть научного мира считает, что это не совсем корректно, т. к., по сути, ими не дано было явного описания последовательности бифуркаций приводящих систему от порядка к хаосу. Однако в специальной литературе оно довольно часто встречается при описании перехода к хаосу через разрушение квазипериодических движений. В данной работе термин «сценарий Рюэля-Такенса» также принят.

Надо отметить, что подвергнутое сомнению утверждение Ландау и Хопфа о том, что количество бифуркаций на пути к хаосу может быть бесконечным, оказалось справедливым и нашло подтверждение. Связано это с уходящими в глубь веков попытками математиков описать динамику биологических популяций. Так, дальнейшее понимание возможных типов перехода систем к

хаосу возникло благодаря еще одной линии развития - дискретным отображениям. К середине 70 годов 20 века было уже хорошо известно, что при увеличении параметра в логистическом отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения периода. Американский физик М. Фейгенбаум в 1978 г. представил универсальный механизм перехода в хаос через бесконечное число удвоений периодов исходного движения [18-21]. Более того, им был открыт ряд замечательных закономерностей, сопровождающих этот переход. Хотя Фейгенбаум и не являлся первооткрывателем удвоения периода, но именно он первым заметил присущие данному сценарию свойства универсальности и масштабного подобия. Он показал геометрически сходящуюся последовательность удвоений периодов и определил величину:

lim <5„ = lim Л"+,~Л" = 4.6692016....

,,->сс Л11+2 - Л11+1

То есть получил «универсальное число», которое было названо его именем. Фейгенбаум первым указал на то, что существует обширный класс динамических систем различной природы, которые не просто демонстрируют одну и ту же последовательность бифуркаций, но и у порога хаоса подчиняются одним и тем же количественным характеристикам. В дальнейшем универсальное число Фейгенбаума было обнаружено в модели Лоренса, отображении Хенона, а так же в ряде других экспериментов. Для оболочек с бесконечным числом степеней свободы это число было обнаружено В.А. Крысько и коллегами [22]. В эксперименте конвекции Рэлея-Бенара ртути в магнитном поле были прослежены четыре последовательных бифуркации удвоения периода. Полученное при этом число Фейгенбаума расходится с точным всего на 5%.

В 1980 году появилось сообщение французских физиков И. Помо и П. Монневиля положивших начало изучению группы сценариев перехода к хаосу через перемежаемость [23]. К этому периоду о динамическим хаосе накопилось огромное количество экспериментальных данных. Для некоторых динамических систем был продемонстрирован очень резкий - скачкообразный переход к хаосу. По средствам единственной бифуркации. Подобный жесткий переход связан с

понятием перемежаемости. Под которой понимают вид сигнала, в котором произвольным образом чередуются обширные области регулярных колебаний с относительно короткими нерегулярными всплесками. Количество окон хаоса с ростом управляющего параметра увеличивается, полностью заполняя сигнал. К обнаружению упомянутого явления Помо и Манневиля привело исследование дифференциальных уравнений Лоренца. Это явление Помо и Манневиль объясняли так: при значениях управляющего параметра, не превышающих критическое в отображениях Пуанкаре, наблюдается устойчивая неподвижная точка. Которая становится неустойчивой после преодоления управляющим параметром его критического значения.

Благодаря высокой чувствительности хаотических режимов к малым возмущениям они допускают эффективное управление по средствам внешнего контролируемого влияния. Цель подобного влияния - способствовать выведению системы из области опасных режимов работы, что способствует более длительной и надежной работе всей конструкции.

Исследование сценариев перехода диссипативных динамических систем под влиянием внешних нагрузок, заданных гармоническим законом, в состояние хаоса интенсивно развивается в научной школе профессора В.А. Крысько. Так, в работе [22] исследован переход в состояние хаоса тонких пластин по сценарию Фейгенбаума.

Вопрос хаотического движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки освещен в работе В. А. Крысько и А. В. Кириченко [24]. Авторами выявлено явление динамической потери устойчивости оболочки и приведено его обоснование с позиции качественной теории дифференциальных уравнений.

В статье С.А. Мицкевич, В.А. Крысько [25] рассматриваются консервативные и диссипативные системы в виде гибких цилиндрических панелей под действием продольных нагрузок, заданных гармоническим законом. Приведены сценарии перехода колебаний таких систем к хаотическим.

В серии публикаций О. Н. Киреевой и В.А. Крысько [26 - 29] исследованы нелинейные колебания балок при наличии ограничений на прогиб. Изучены переходы колебаний рассматриваемых систем из гармонических в хаотические. Установлены сценарии Помо-Манневиля и сценарий Фейгенбаума, но отмечено, что они не встречаются в чистом виде. Так вследствие кратных частот усложняется сценарий Фейгенбаума.

Тема сложных колебаний круглой, секториальной и прямоугольной в плане сферической оболочки для любого рода краевых условий под влиянием знакопеременного давления представлена в работах И.В. Папковой [30 - 34]. Автором дана классификация сценариев перехода колебаний оболочки под влиянием гармонической нагрузки из гармонических к хаотическим по классическим сценариям. Обнаружена и изучена периодичность А.Н. Шарковского для рассматриваемых динамических систем. Обоснованы новые сценарии перехода колебаний в хаотические.

В цикле работ Т. Щекотуровой под руководством В.А. Крысько для колебаний конической и сферической оболочки с граничными условиями подвижной заделки на основе карт характера колебаний [35 - 37] был найден новый переход колебаний в хаос, названый модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Для конической оболочки (краевые условия -подвижный шарнир) ею был обнаружен сценарием Помо-Манневиля новой модификации.

Э.С. Кузнецовой под руководством профессора В.А. Крысько [38 - 41] был изучен вопрос совместного влияния температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки на колебания цилиндрических оболочек. Определены критические нагрузки, приводящие к возникновению хаотических колебаний рассматриваемых систем. Было проведено исследование зависимости статических критических нагрузок от интенсивностей полей температур для некоторых наборов геометрических параметров прямоугольных над планом оболочек. Выявлено, что для рассматриваемых систем типичный сценарий перехода в хаос

совпадает с модифицированным сценарием Рюэля - Такенса - Ньюхауза, предложенным И.В. Папковой и В.А. Крысько.

Изучению нелинейных колебаний оболочек посвящена работа [42] Han Qiang, Hu Haiyan, Yang Guitong, где проведен анализ упругих цилиндрических оболочек вращения с целью выявления критических условий, влекущих возникновение хаотических движений.

В работе П.С. Ланда [43] приведено практическое приложение теоретических знаний. Здесь исследуется модель голосовых связок человека, представляющая собой две пластины, прикрепленные пружинками к стенам трубы. Авторы показывают, что действие воздушного потока приводит к возбуждению хаотических колебаний.

Вопросам хаотической динамики уделено внимание в работе M. Amabili, А. Sarkar и M. P. Paidoussis [44], где авторы рассматривают нелинейную реакцию опертой круговой цилиндрической оболочки, заполненной водой, при гармонических колебаниях с частотами, близкими к фундаментальным собственным частотам. В работе использован метод Галеркина на 16 точках, строятся бифуркационные диаграммы, отображения Пуанкаре, временные характеристики, экспоненты Ляпунова и размерности Ляпунова. Исследованы такие явления, как удвоение периода бифуркаций, субгармоническая реакция, квазипериодическая реакция, хаотическое поведение вплоть до 16 положительных экспонент Ляпунова (гиперхаос). Показано, что метод правильного ортогонального разложения менее "надежен", чем метод Галеркина.

Y. Wang [45] исследует хаотические колебания тонких круговых биметаллических геометрически нелинейных пластин под действием температурной нагрузки, изменяющейся во времени по периодическому закону.

В работе В. И. Ерофеева, В. В. Кажаева [46] выявлена хаотизация динамического поведения упругого слоя, находящегося во фрикционном контакте с жестким полупространством. Построена бифуркационная диаграмма процесса удвоения периода автоколебаний от интенсивности фрикционного механизма.

Liu Shu-yong, Zhu Shi-jian и Yu Xiang [47] исследуют хаотические колебания нелинейных систем виброизоляции при квазипериодическом возбуждении.

Описанию маршрутов перехода к хаосу некоторых динамичеких систем с множеством степеней свободы посвящен цикл работ [48 - 54].

Вопрос возникновения хаоса в нелинейных колебаниях динамических систем лежит в области научных интересов школы профессора B.C. Анищенко [55 -57].

Динамический хаос и пути перехода к нему освещаются в статьях профессора С.П. Кузнецова [58 - 60].

Многолетние кропотливые исследования динамических систем, разных по своей природе, привели к пониманию того, что появление хаоса в них возможно на всех масштабах, как во времени, так и в пространстве. Качественное математическое описание таких явлений стало одной из сложнейших проблем современной науки. Хотя имеется достаточное количество публикаций, а так же ряд монографий, в вопросах хаоса нет даже строгой терминологии, много аспектов, требующих серьезного внимания. Таким образом, вопрос исследования эффектов связанных с хаосом в динамических распределенных системах, является важным и актуальным. Также серьезного внимания требует задача изучения сценариев перехода колебаний подобных систем из гармонических в хаотические и локальные временные особенности данных переходов. Возникает необходимость разработки более совершенных (приближенных к реальности) расчетных моделей, дающих возможность рассматривать континуальные динамические системы, выявлять и изучать важнейшие эффекты, связанные с влиянием геометрической, конструктивной нелинейности, типа загружения и краевых условий на сценарии перехода рассматриваемых систем в хаос.

Целью работы является изучение новых эффектов, связанных с динамическим хаосом, и путей перехода к нему в распределенных нелинейных системах различной геометрии (балках, одно- и многослойных пластинах и

оболочках различной кривизны), а также развитие алгоритмов и численных методов анализа хаотических режимов работы рассматриваемых континуальных динамических систем. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

• Разработка программного комплекса, позволяющего изучать балочно-оболочечные структуры различной геометрии, в том числе многослойные, учитывать разнообразные модели динамического нагружения и краевых условий, а также геометрическую и конструктивную нелинейности, получать и проводить анализ основных характеристик нелинейной динамики;

• Построение новой математической модели колебаний геометрически нелинейных многослойных пластин и оболочек с учетом контактного взаимодействия слоев под действием внешней продольной нагрузки заданной по гармоническому закону с учетом неоднородных граничных условий;

• Построение математических моделей пространственно временного хаоса для распределенных динамических систем с бесконечным числом степеней свободы;

• Проведение математического моделирования путей перехода в хаос колебаний континуальных динамических систем в виде балок, одно- и многослойных пластин и оболочек, в зависимости от их геометрии и условий динамического нагружения; выявление ключевых свойств рассматриваемых динамических систем, сопровождающих переход их колебаний в хаос.

Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и библиографический список. Работа содержит 202 страниц, 33 рисунка, 68 таблиц. Список использованной литературы включает 149 наименования.

В рамках данной работы рассматривались математические модели колебаний различных классов динамических систем в виде пластин, оболочек и балок. Исследованию новых эффектов, связанных с динамическим хаосом, и путей перехода к нему в каждой из рассматриваемых динамических систем .

Во введении даны обоснование актуальности темы, цели и задачи исследования, краткое содержание диссертации и краткий исторический обзор работ, имеющих наиболее близкое отношение к ее теме.

В первой главе описан разработанный программный комплекс, позволяющий исследовать пути перехода колебаний распределенных многослойных динамических систем к хаосу с учетом геометрической, конструктивной нелинейностей, различных видов и комбинаций нагружений, разнообразных вариантов граничных и начальных условий различными численными методами (методом конечных разностей, конечных элементов, Рунге - Кутта различных порядков). Большое внимание уделено аппарату вейвлет-преобразований для исследования, полученных в результате численных экспериментов, данных. Показано, что для анализа динамики рассматриваемых систем можно с равным успехом применять вейвлеты Морле и вейвлеты на основе производных функции Гаусса старше 16 порядка, как комплексные, так и действительные. В главе рассмотрена математическая модель колебаний балок, построенная на основе кинематической гипотезы Эйлера - Бернулли. Для проверки достоверности получаемых результатов были рассмотрены два различных алгоритма расчета динамики балки Эйлера - Бернулли: МКР с аппроксимацией о(к2) по пространственной координате и МКЭ. Для них получена качественная сходимость результатов по картам характера колебаний. Проводилось исследование влияния ширины полосы воздействия и места приложения поперечной знакопеременной нагрузки на характер колебаний балки. В рамках этого были построены карты характера колебаний для набора управляющих параметров {<?, ар\ и показано, что на переходы балочных систем к хаосу существенно влияет способ приложения нагрузки. В ходе численных экспериментов были обнаружены новые эффекты, связанные с хаотической динамикой рассматриваемых динамических систем. Впервые в нелинейной динамике балок обнаружены обширные переходные области, где характер колебаний системы многократно серьезно меняется. Так же показано, что при смещении зоны действия локальной нагрузки от края балки к ее центру

наблюдаются идентичные модели переходных поведений системы. Впервые в нелинейной динамике балок Эйлера - Бернулли было показано, что один переходный процесс может содержать последовательность изменений состояний системы от гармонических до хаотических. Более того, в случае, когда нагрузка прилагалась к четырем отрезкам не симметрично относительно центра балки, были обнаружены нестационарные сигналы, последовательность бифуркаций в которых полностью совпадает со сценарием перехода колебаний данной системы в хаос с ростом управляющего параметра (амплитуды внешней нормальной локальной знакопеременной нагрузки). Было обнаружено, что данному классу распределенных динамических систем свойственно такое явление, как пространственно-временной хаос, проведено исследование этого явления.

Объектом исследования второй главы являются прямоугольные в плане гибкие изотропные пластины и оболочки различной геометрии, под действием внешних сдвиговых знакопеременных нагрузок, математическая модель колебаний которых включает в себя уравнения Кармана, однородные граничные условия шарнирного опирания на гибкие несжимаемые ребра, нулевые начальные условия. Введенный в уравнения член 25-^- характеризует действие на структуру

дхфх-,

сдвиговых усилий, распределенных в ее срединной плоскости.

Численная реализация полученной дифференциальной задачи с помощью метода конечных разностей (МКР) дает возможность рассматривать объект исследований как систему с числом степеней свободы, стремящимся к бесконечности. На основе МКР, при переходе колебаний двумерной распределенной системы из гармонических в хаотические по сценарию Фейгенбаума, установлены границы, после которых ее поведение можно считать истинным. Показана сходимость МКР по типу колебания (по Фурье и вейвлет -спектру, по ляпуновским показателям). Подтверждено, что колебания различных точек срединной плоскости структуры происходят на одном и том же наборе частот, что соответствует физике процесса, подтверждает достоверность получаемых результатов и корректность работы комплекса программ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крылова, Екатерина Юрьевна, 2013 год

Список литературы

1. Курдюмов, С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем /С.П. Курдюмов// Нуака, технология, вычислительный эксперимент.- М.: Наука, 1993. С. 6-32.

2. Курдюмов, С.П. Структуры в нелинейных средах /С.П. Курдюмов, Г.Г. Молинецкий, А.Б. Потапов, A.A. Самарский// Компьютеры и нелинейные явления. - М: Наука, 1988. С.5 - 43.

3. Молинецкий, Г.Г. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент /Г.Г. Молинецкий // М.: Наука, 1997. 255с.

4. Моисеев, H.H. Математические задачи системного анализа /H.H. Моисеев//. М.: Наука, 1981. 488с.

5. Самарский, A.A. Введение в численные методы. Учеб. пособие. /A.A. Самарский// - М.: Наука, 1982. 272 с.

6. Самарский, A.A. Численные методы /A.A. Самарский, A.B. Гулин// М.: Наука, 1989.432 с.

7. Ашихмин, В.Н. Введение в математическое моделирование. Учебное пособие./ В.Н. Ашихмин, М.Б. Гитман, И.Э. Келлер, О.Б. Наймарк, В.Ю. Столбов, П.В. Трусов// - М.: Логос. 2005. 440 с.

8. Кузнецов, С. П. Динамический хаос /С.П. Кузнецов//. М.: Издат. Физ.-матем. лит., 2001.296 с.

9. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения /A.M. Ляпунов//.М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

10. Оселедец, В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристики показателей Ляпунова динамических систем /В.И. Оселедец// Тр. Моск.мат.общества. 1968.Т. 19.С. 179 - 210

11. Cartwright, M.L. On nonlinear differential equations of the second order.I. The equation y + k(\-y2)y + y==bAkcos(Ai+a), k large /M.L. Cartwright, J.E. Littlewood// J. bond. Math. Soc.1945. V. 20. P. 180 - 189.

12.

13.

14.

15,

16,

17,

18

19

20

21

22

23

24

25

Андронов, A.A. Теория колебаний /A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хайкин// М.: Наука, 1981

Reynolds, О. An Experimental on the Circumstances which Determine whether the Motion of Water shall be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels /О. Reynolds // Phil.Trans.Roy.Soc.1883. V.174. P.935. Ландау, JI. Д. К проблеме турбулентности /Л.Д. Ландау//. Докл. АН СССР. 1944.44. вып. 8. 339-342.

Hopf, Е. A mathematical example displaying the features of turbulence /Е. Hopf // Comm.Pure Appl.Math.l948.V.l.P.303 - 322.

Lorenz, E.N. Deterministic Nonperiodic Flow /E.N. Lorenz // J. Atmos. Sei. 1963. V. 20.P.130- 141.

Ruelle, D. On the nature of turbulences /D. Ruelle, F. Takens// Comm. Math. Phys. 1971.V.20.P.167 - 192.

Feigenbaum, M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations /M.J. Feigenbaum//J. Stat. Phys. 1978. V. 19, №1. P. 25 - 52. Feigenbaum, M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations /М. J. Feigenbaum // Stat. Phys: 1979. V. 21,№6. P.669 - 706.

Feigenbaum, M.J. The onset spectrum of turbulence / M.J. Feigenbaum // Phys. Lett. 1979. V. A74,№6. P.375 - 378.

Feigenbaum, M.J. Quasiperiodicity in dissipative systems: A renormalization group analysis /M.J. Feigenbaum, L.P. Kadanoff, S.J. Shenker// Physica. 1982. V. D5. P.370.

Awrejcewicz, J. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics /J. Awrejcewicz, V.A.Krysko// Nonlinear Dynamics. - 2001. - № 24. - P. 373 - 398. Pomean, Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dymamical systems /Y. Pomean, P. Manneville// Comm. Math. Phys. 1980, Vol74 № 2 pi89-198. Крысько, B.A. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек /В.А. Крысько, A.B. Кириченко// Нелинейная динамика механических и биологических систем. - Саратов: СГТУ, 2000. С. 144-152 Крысько, А. В. Динамика цилиндрических панелей при действии продольных знакопеременных нагрузок (консервативные и диссипативные системы). /A.B.

Крысько, С. А. Мицкевич, Ю. В. Чеботаревский// Нелинейная динамика механических и биологических систем. - Саратов: СГТУ, 2000. - С. 119 - 127.

26. Киреева, О.Н. Изучение влияния расположения ограничителя на прогиб на колебания балки Эйлера - Бернулли с закрепленными концами /О.Н. Киреева, В.А. Крысько// Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами. Межвуз. научн. сб. Саратов, СГТУ, 1999. - С.50 -58.

27. Киреева, О.Н. Исследование балок Бернулли - Эйлера и типа Тимошенко с ограничением на прогиб /О.Н. Киреева, В.А. Крысько// Труды десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2000. с. 50 - 53.

28. Киреева, О.Н. Изучение влияния наличия нескольких ограничителей на прогиб на колебания балки Эйлера - Бернулли /О.Н. Киреева, В.А. Крысько// Нелинейная динамика механических и биологических систем. Межвуз. научн. сб. Саратов, СГТУ, 2000. С.138 - 144.

29. Киреева, О.Н. Анализ характера колебаний балки Эйлера - Бернулли с учетом влияния ограничения на прогиб. /О.Н. Киреева, В.А. Крысько// Известия ВУЗов, Машиностроение, №5, 2001. С.З - 11.

30. Kravtsova, I.V. (Papkova I.V.) Stochastic vibrations of flexible flat axisymmetric shells exposed inhomogeneous loading /I.V. Kravtsova (I.V. Papkova), V.A. Krys'ko// Dynamical of System - Theory and Applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P. 189 - 197.

31. Кравцова, И.В. (Папкова И.В.), Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек /И.В. Кравцова (И.В. Папкова), В.А. Крысько// Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 1. С. 189 - 200.

32. Кравцова, И.В. (Папкова И.В.) Хаотические колебания сферических оболочек под действием неоднородного нагружения /И.В. Кравцова (И.В. Папкова), В.А. Крысько// Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 1(2). С. 24 - 36.

33. Кравцова, И.В. (Папкова И.В.) Динамика и статика гибких секториальных пологих оболочек /И.В. Кравцова (И.В. Папкова), В.А. Крысько// Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 2(3). С. 27 - 36.

34. Кравцова, И.В. (Папкова И.В.) Динамика и статика гибких осесимметричных оболочек при действии распределенной знакопеременной нагрузки в зависисмости от величины параметра пологости и краевых условий /И.В. Кравцова (И.В. Папкова), В.А. Крысько// Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 12. С. 3 - 14.

35. Tschekaturova, T.V. Complicated vibrations spherical and conical variable thickness shells. /T.V. Tschekaturova, V.A. Krys'ko// Dynamics of system - theory and applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P.585 - 603.

36. Щекатурова, T.B. Хаотические колебания конических оболочек /Т.В. Щекотурова, В.А. Крысько// Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. №4. С. 140 - 150.

37. Щекатурова, Т.В. Стохастические колебания конических оболочек переменной толщины. /Т.В. Щекотурова, В.А. Крысько// Известия вузов. Машиностроение. 2004. №5, С.З- 13.

38. Кузнецова, Э.С. Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок при действии поперечной знакопеременной нагрузки в температурном поле /Э.С. Кузнецова, Н.Е. Савельева, В.А. Крысько// Известия вузов. Машиностроение, 2006. №1. С. 3 - 9

39. Кузнецова, Э.С. О влиянии температурного поля на сложные колебания замкнутых цилиндрических баллонов. /Э.С. Кузнецова, А.В. Крысько, Я. Аврейцевич// Вестник Саратовского государственного технического университета, 2008. № 1(31). Вып. 2. С. 71 - 85

40. Kuznetsova, E.S. Nonlinear dynamics of plates in a temperature field. /E.S. Kuznetsova, A.V. Krysko, J. Awrejcewicz, N.E. Saveleva// Proceedings of the 9th Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications. Lodz, Poland, 2007. P.233 - 240

41. Kuznetsova, E.S. Chaotic vibrations of shells in a temperature field. /E.S. Kuznetsova, A.V. Krysko, J. Awrejcewicz// Proceedings of the International Conference on Engineering Dynamics. Carvoeiro, Algarve, Portugal, 2007. P.21- 28

42. Qiang, H. A study of chaotic motion in elastic cylindrical shells / H. Qiang, Hu Haiyan, Yang Guitong// Eur. J. Mech. A. - 1999. - 18. №2. P. 351- 360

43. Ланда, П.С. Хаотические колебания в модели голосовых связок / П.С. Ланда // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6. №4. С. 57 -67.

44. Amabili, М. Chaotic vibrations of circular cylindrical shells: Galerkin versus redued-order models via the proper orthogonal decomposition method /М. Amabili, A. Sarkar, M. P. Paidoussis// J. Sound and Vibr. N 3 - 5, 2006, т. 290, p.736 - 762

45. Wang, Y. Bifurcation and chaos of bimetallic circular plates subjected to periodic heat load /Y. Wang// ZAMM: Z. angew. Math, und Mech.N4.2008.T.88. C.256-266

46. Ерофеев, В. И. Хаотические фрикционные автоколебания упругого слоя, контактирующего с движущимся полупространством /В. И. Ерофеев, В. В Кажаев// Пробл. машиностр. и надеж, машин N 4, 2009, С.З - 7

47. Shu-yong, L. Исследование хаотических колебаний нелинейных систем виброизоляции при квазипериодическом возбуждении /L. Shu-yong, Z. Shi-jian, Y. Xiang // Chuanbo lixue N 1- 2, 2010, т. 14, стр.141 - 147

48. Awrejcewicz, J. Routes to chaos in continuous mechanical systems. Part 1 /J. Awrejcewicz , A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko// Mathematical models and solution methods, Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45. 2012. P. 687-708

49. Awrejcewicz, J. Routes to chaos in continuous mechanical systems: Part 2. /J. Awrejcewicz , A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko// Modelling transitions from regular to chaotic dynamics. Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45. 2012. P. 709-720

50. Awrejcewicz, J. Routes to chaos in continuous mechanical systems. Part 3. /J. Awrejcewicz , A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko// The Lyapunov exponents, hyper, hyper-hyper and spatial-temporal chaos. Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45. 2012. P.721-736

51.

52.

53.

54,

55,

56

57

58

59

60

61

62

63

64

Крысько, В.А. Об учете влияния поперечных сдвигов на сложные нелинейные колебания упругих балок / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, О. А. Салтыкова, A.B. Крысько//ПМТФ. 2011. Т. 52. №5. С. 186 - 193.

Крысько, В.А. Фазовая хаотическая синхронизация колебаний многослойных балочных структур / В.А. Крысько, М.И. Коч, М.В. Жигалов, A.B. Крысько // ПМТФ, 2012. Т. 53, №3. С. 166 - 175.

Krysko, V.A. Nonlinear dynamics of continuous elastic systems./ V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, A. Vakakis // Springer, 2004. 341c.

Krysko, V.A. Chaos in Structural Mechanics./ V.A. Krysko, J. Awrejcewicz // Springer. 2008. 400 p.

Доннелл JI. Г., Балки, пластины и оболочки /Л.Г. Доннелл// М.: Наука,1982. 586 с.

Karman, Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau/ Th. Karman // Encykle. D. Math. Wiss. 1910. Vol. 4, №4, P. 311 -385

Крысько, В.А. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли - Эйлера /В.А. Крысько, М.В. Жигалов, A.C. Десятова, O.A. Салтыкова // Изв. РАН. МТТ. 2008. №6. С. 128-136.

Вольмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем /А.С.Вольмир// Наука. М. 1968.

Новожилов, В.В. Основы линейной теории упругости./ В.В. Новожилов// Гостехиздат, М. 1948

Биргер, И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности /И.А. Биргер//- ПММ. 1952. вып. 15. с. 6.

Качанов, Л.М. О вариационных методах решения задач теории пластичности /Л.М. Качанов //- ПММ. 1959. вып. 23.с. 3.

Ланцот, К. Вариационные принципы механики / К. Ланцот// М., Мир. 1965. Лурье, А.И. Аналитическая механика /А.И. Лурье //М., Физматиз, 1961. Ricker, N. The form and nature of seismic waves and the structure of seismograms /N. Ricker// Geophysics, 5(4), October 1940, p. 348-36

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72

73

74

75

76

77

78

Grossman, A., Morlet S. Decomposition of Hardy functions into square separable wavelets of constant shape /А. Grossman, S. Morlet// SIAM J. Math. Anal, 1984, vol. 15, №4, p. 723

Meyer, Y. Ondelettes et fonctions splines. /Y. Meyer// Technical report, Seminaire EDP, Ecole Polytechnigue, Paris, 1986.,

Meyer, Y. Wavelets: Algorithms and applications /Y. Meyer // SIAM, Philadelphia, 1993. Translated by Robert D. Ryan

Mallat, S. Multiresolutionan representation and wavelets. Ph.D. thesis./S Mallat// University of Pennsylvania, 1998.

Daubechies, I. Painless nonorthogonal expansions /I. Daubechies, A.Grossmann, Y.Meyer//J. Math. Phys. 1986. 27, 1271-1283

Meyer, Y. Ondelettes, fonctions splines et analyses graduees, Lecture Notes /Y. Meyer//University of Torino, Italy. 1986.

Mallat, S. Multiresolution approximations and wavelet orthonormal basis of L2(R), Trans. Amer. Math. Soc. 1989. 315. p. 69-88 - ссылка не полностью соответствует

Battle, G. A block spin construction of ondelettes, Part 1: Lemarie functions, Commun. /G. Battle//Math. Phys., 1987.110, p.601-615

Lemarie, P. G. Une nouvelle base d'ondelettes de L2 (Rn)/P.G. Lemarie// J. Math. Pure Appl. 1988. 67. p. 227-236.

Daubechies, I. Orthogonal bases of compactly supported wavelets /I. Daubechies// Commun. Pure Appl. Math.1988. 41, p. 909-996

Cohen, A. Biorthogonal basis of compactly supported wavelets /А. Cohen, I.Daubechies, J. Feauveau // Comm. Pure and Appl. Math. 1992. 45. p. 485-560 Cohen, A. Biorthogonal Wavelets, in Wavelets - A Tutorial in Theory and Applications /А. Cohen //Academic Press, New York. 1992. p. 123-152 Chui, С. K. A cardinal spline approach to wavelets /С. K. Chui, J. Z. Wang// Proc.Amer.Math.Soc.1991. 113. P.785-793.

Chui, С. K. On compactly supported spline wavelets and a duality principle /С. K. Chui, J. Z. Wang// Trans. Amer. Math. Soc. 1992. 330. P. 903-915

79. Debnath, L. Wavelet transforms and their applications. Birkhauser Verlag ÍL. Debnath// Boston. Basel. Berlín. 2002. 565p.

80. Ya'nan, L. Daubechies wavelet meshless method for 2-D elastic problems/ L. Ya'nan, L.Yinghua, C.Zhangzhi// Tsinghua Sci. and Technol. N 5. 2008. v.13. p.605-608

81. You-He, Z. Vibration control of piezoelectric beam-type plates with geometrically nonlinear/Z.You-He, W. Jizeng// Int. J. Non-Linear Mech. N 6.2004.V.39.P.909-920

82. Крысько, B.A. Анализ хаотических колебаний распределенных систем в виде балок Эйлера - Бернулли с помощью вейвлет-преобразования /В.А. Крысько, М.В. Жигалов, В.В. Солдатов// Известия вузов. Авиационная техника. 2009. № 4. С. 12-22.

83. Крысько, В.А. О выборе типа вейвлета при изучении нелинейных колебаний балок с учетом поперечных сдвигов /В.А. Крысько, М.В. Жигалов, В.В. Солдатов, М.Н. Подтуркин// Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. № 3 (40). Вып. 1. С. 14 - 22.

84. Крысько, В.А. Вейвлет-анализ колебаний замкнутых цилиндрических оболочек /В.А. Крысько, М.В. Жигалов, В.В. Солдатов, Кузнецова Э.С.// Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. № 4. Вып. 1. С.24 - 30.

85. Крысько, В.А. Особенности нелинейных колебаний балок С. П. Тимошенко /В.А. Крысько, М.В. Жигалов, В.В. Солдатов // Известия вузов. Строительство. 2009. №5. С. 25-35.

86. Крысько, В.А. Вейвлет-анализ в теории нелинейных колебаний балок, пластин и оболочек /В.А. Крысько, В.В. Солдатов// Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек: материалы Международного семинара, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В.Саченкова. Казань. 15 -17 сентября 2008. Казань. 2008. С. 83 - 85.

87. Солдатов, В.В. Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок в температурном поле /В.В. Салдатов, Э.С. Кузнецова// Математическое моделирование и краевые задачи: труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.1:

Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2009. С. 242 - 245.

88. Krysko, V.A. Dynamic stability loss of closed circled cylindrical shells estimation using wavelets /V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, M. Zhigalov, V. Soldatov, E.S. Kuznetsova, S. Mitskevich// Proceedings of the International Conference "Chaotic Modeling and Simulation" CHAOS 2009, Chania,Crete, Greece, June 1-5. 2009. 8p.

89. Добеши И. Десять лекций по вейвлентам / И. Добеши// М.;Ижевск:РХД, 2001.

90. Debnath, L. Wavelet transforms and their applications/ L. Debnath // Birkhauser Verlag, Boston, Basel, Berlin. 2002. 565p.

91. Debnath, L. Integral transforms and their applications. / L. Debnath, D.Bhatta// Chapman & Hall / CRC. 2007. 688p.

92. Stark, H-G. Wavelets and Signal Processing /Н-G. Stark // Springer-Verlag Berlin Heidelber. 2005. 150p.

93. Morlet, J. Wave propagation and sampling theory, Part I: Complex signal land scattering in multilayer media. /J. Morlet, G.Arens, E. Fourgeau, D. Giard// J. Geophys.1982. 47. p. 203 - 221

94. Morlet, J. Wave propagation and sampling theory, Part II: Sampling theory and complex waves /J. Morlet, G.Arens, E. Fourgeau, D. Giard// J. Geophys. 1982. 47. P. 222-236

95. Мала, С. Вейвлеты в обработке сигналов /С. Мала// Пер. с англ. М.: Мир. 2005. 671 с.

96. Смоленцев, Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. /Н.К. Смоленцев// М.: ДМК Пресс. 2005.304с.

97. Чуй, Ч. Введение в вэйвлеты /Ч. Чуй// Пер. с англ. М.: Мир. 2001.412 с.

98. Короновсий, А.А.Неприрывный вейвлетный анализ и его приложения /А.А. Короновсий, А.Е. Храмов // М. ФИЗМАТЛИТ. 2003.176 с.

99. Муштари, Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек /Х.М. Муштари, К.З. Галимов// Казань.: Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

100. Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек /А.С. Вольмир // М. Наука. 1972. 432с.

101. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем /A.C. Вольмир// М. Физматгиз. 1963. 880 с.

102. Феодосьев, В.И. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек /В.И. Феодосьев // Труды VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. M.: Наука. С. 971 -976.

103. Shian, A.C. Dynamic Buckling of conical shells with Imperfection /A.C. Shian, T.T. Soong, D.S. Roth// AIAA Journal, 1974. Vol. 12, № 6. P. 24 - 30.

104. Крысько, B.A. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек /В.А. Крысько//Изд-во. СГУ 1976. 216 с.

105. Лукаш, П. А. Применение метода асимптотического интегрирования к решению контактных задач теории оболочек / П.А. Лукаш, Л.В. Божкова, Л.Г. Ильина//Тр .Моск. инж.-стр. ин-та.1981.№157. С.167 - 177.

106. Галин, Л.А. Развитие теории контактных задач в СССР / Л.А. Галин// М. : Наука. 1976. 492 с.

107. Попов, Г.Я. Проблема контакта жестких тел с тонкостенными элементами / Г.Я. Попов, В.М. Толкачев// Изд. АН СССР. Механика тверд, тела. 1980. №4. 192-206.

108. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач /А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин // М. : Наука. 1979. 228с.

109. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шиманский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шиманский // М.: Наука, 1980. 286 с.

110. Григолюк, Э. И. Цилиндрический изгиб пластины жесткими штампами / Э. И. Григолюк, В. М. Толмачев // Прикладная математика и механика. 1975. 39 №5 С. 876- 883.

111. Александров, В. М. Контактные задачи в машиностроении /В. М. Александров, Б. Л. Ромалис//М.: Машиностроение. 1986. 176с.

112. Демкин, Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей /Н.Б. Демкин//М.: Наука, 1970. 228 с.

113. Левина, З.М. Контактная жесткость машин /З.М. Левина, Д.М. Решетов// М.: Машиностроение 1971. 264 с.

114. Конверистов, Г.Б. Контактные напряжения, взаимодействие цилиндрической оболочки с бандажем /Г.Б. Конверистов, H.H. Спирина// Прикладная математика. 1979. 15. №2. С.65 - 70.

115. Александров, В.М. О приближенном решении одного типа интегральных уравнений /В.М. Александров// Прикладная математика и механика. 1962. т 26. вып. 5. С.934 - 943.

116. Александров, В.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В.М. Александров, С.М. Мхитарян // М.: Наука. 1983. 488 с.

117. Богатыренко, Т.Д. О контакте оболочек вращения через тонкий упругий слой /Т.Д. Богатыренко, Б.Я. Кантор, Д.Е. Липовский// АНУССР. Институт проблем машиностроения. Харьков. 1982. 9 с.

118. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабенко// М.: Наука. 1974. 456 с.

119. Кантор, Б.Я. Континуальный подход к анализу оболочек, состоящих из многих неспаянных слоев /Б.Я. Кантор // Докл. АН УССР. сер. А. 1983. №10. С. 30- 33.

120. Кантор, Б.Я., Метод решения контактных задач нелинейной теории оболочек / Б.Я. Кантор, Т.Л. Богатыренко//Докл. АН УССР. сер.А .1986. №1. С. 18 - 21.

121. Кантор, Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращение / Б.Я. Кантор // Киев. Наукова думка. 1990. 135 с.

122. Корнишин, М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения/М.С. Корнишин//М.:Наука. 1964. 192с.

123. Крылова, Е.Ю. Нелинейная динамика балок Бернулли- Эйлера. (Математическая модель, сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические) /Е.Ю. Крылова, М.В. Жигалов, В.А. Крысько// Известие вузов. Сер. Строительство 2011. № 2. С. 15-21.

124. Крылова, Е.Ю. О памяти нелинейных дифференциальных систем в теории пластин /Я. Аврейцевич, Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева, В.А. Крысько// Вестник Нижегородского университета им. Лобачевского. 2011. №4.4. 2. С. 21 -23.

125. Крылова, Е.Ю. О сценариях перехода колебаний пластины в хаотические на основе Фурье анализа /Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, В.А. Крысько// Нелинейный мир. №12 Т. 10 2012. С.903 - 912

126. Крылова, Е.Ю. Крысько В.А., Жигалов М.В., Яковлева Т.В. , Крылова Е.Ю., Папкова И.В. Метод установления в нелинейных задачах балок и пластин с учетом локальности нагружения /Е.Ю. Крылова, М.В. Жигалов, И.В. Папкова, Т.В. Яковлева, В.А. Крысько// Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. №2 (65). Вып. 1. С. 7 - 17.

127. Крылова Е.Ю. Нелинейная динамика параметрических колебаний двухслойных распределенных систем /Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, В.А. Крысько// Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. Т. 1. № 1.С. 7-11.

128. Крылова, Е.Ю. Математическое моделирование и прогнозирование характера колебаний нелинейных колебаний гибких балок / Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, В.А. Крысько // Известие вузов. Сер. Строительство 2013.№1. С.20-27.

129. Крылова, Е.Ю. Математические модели нелинейной динамики распределенных консервативных и диссипативных балочно-пластинчато-оболочечных структур /А.В. Крысько, Т.В. Яковлева, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько// XV International Conference Dynamical System Modelling and Stability Investigation, Abstracts of Conference Reports. Kiev. Ukraine. May 25-27. 2011. P. 287.

130. Krylova, E.Y Хаотические колебания оболочек под действием сдвиговых знакопеременных нагрузок./ E.Y. Krylova, I.V. Papkova, V.A. Krysko // PAMM, Special Issue: 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM), Graz 2011, Vol. 11. Issue 1. P. 327-328.

131. Krylova, E.Y. On application of fourier analysis to regular and chaotic dynamics of rectangular flexible plates subject to shearharmonic loading / J. Awrejcewicz, E.Y. Krylova, I.V. Papkova, V.A. Krysko // Proceedings of the International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2011), Tavira, Portugal, 20-22 June. 2011.P. 50-51.

132. Krylova, E.Y. On application of fourier analysis to regular and chaotic dynamics of rectangular flexible plates subject to shearharmonic loading / J. Awrejcewicz, E.Y. Krylova, I.V. Papkova, V.A. Krysko // Proceedings of the International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2011), Tavira, Portugal, 20-22 June. 2011. P. 52-59

133. Krylova, E.Y. Wavelet-based analysis fo the regular and chaotic dynamics of rectangular flexible plates subjected to shear-harmonic loading /J. Awrejcewicz, E.Y. Krylova, V.A. Krysko// Shock and vibration 19 (2012) P. 979-994 DOI 10.3223/ SAV-2012-0705 IOS Press

134. Krylova, E.Y. Regular and chaotic dynamics of flexible plates /J. Awrejcewicz, E.Y. Krylova, V.A. Krysko//Proceedings of the International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2013), Sesimbra, Portugal, June 17-19,2013, Юр.

135. Крылова, Е.Ю. Хаотические колебания оболочек под действием сдвиговых знакопеременных нагрузок /Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, В.А. Крысько// МЗЗ, ММТТ-24 сб. трудов XXIV Международной научной конференции, 10 т. Т.1. Секция 1, Киев: Национальный технический ун-т Украины "КПИ", 2011.- 148с. ISBN 978-5-7433-2386-9, С.76-80

136. Крылова, Е.Ю. Управление сложными нелинейными колебаниями гибких балок /Е.Ю. Крылова, Т.В. Яковлева// Ломоносов - 2010: материалы Международного научного форума: электрон, изд. М.: МАКС Пресс. 2010.

137. Крылова, Е.Ю. Математическая модель сценария перехода к хаосу балок Эйлера - Вернули /Е.Ю. Крылова, М.В. Жигалов, В. А. Крысько// Математическое моделирование и краевые задачи: МЗ: тр. Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. - Самара: СамГТУ, 2010. С. 263-266

138. Крылова, Е.Ю. О методах решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа / Е.Ю. Крылова, Т.В. Молоденкова. И.В. Папкова// Материалы XVII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". МГУ. 2011. С. 1-2

139. Крылова, Е.Ю. О потери устойчивости гибких оболочек под действием внешней сдвиговой знакопеременной нагрузки / Е.Ю. Крылова, И.Е. Кутепов, И.В. Папкова // Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и современные информационные технологии», г. Томск, 11-13 мая 2011, Томск: Изд-во СПБ Графике, С. 102 - 103.

140. Крылова, Е.Ю. Управление сложными колебаниями гибких упругих оболочек под действием внешней сдвиговой знакопеременной нагрузки / / Е.Ю. Крылова, Ю.В. Николаева, И.В. Папкова // Инженерные системы - 2011: тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф., Москва, 5-8 апреля 2011 г. М.: РУДН, 2011. С. 41.

141. Крылова, Е.Ю. О синхронизации и управлении колебаниями двухслойных пластинок связанных через краевые условия / Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько, Т.В. Яковлева, И.В. Папкова, Э.С. Кузнецова// Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: сб. тез. докл. VIII Междунар. конф. по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, Санкт-Петербург, 22 - 23 июня 2011 г. - СПб.: Петербургский государственный университет путей сообщения. 2011. С. 69 - 71.

142. Крылова, Е.Ю. Математическое моделирование потери устойчивости гибких упругих прямоугольных пластин под действием внешней статической сдвиговой нагрузки. Метод установления // Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько, И.В. Папкова // Инженерные системы - 2012: тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф., Москва, 5- 8 апреля 2012 г. М.: РУДН. 2012. с. 41.

143. Крылова, Е.Ю. Математическое моделирование согласования краевых условий для оболочек произвольного плана /Е.Ю. Крылова, Т.В. Молоденкова, В.А. Крысько// Ломоносов - 2012: материалы Международного научного форума: электрон, изд. М.: МАКС Пресс, 2012.

144. Крылова, Е.Ю. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2011616993. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких

пологих прямоугольных в плане оболочек под действием различных нагрузок / Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова; Зарегистрировано 8.09.2011.

145. Крылова, Е.Ю. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2013613308. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких упругих пологих сферических осесимметричных оболочек под действием различных нагрузок, действующих в единице объема /Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько, И.В. Папкова и др.; Зарегистрировано 1.04.2013.

146. Крылова, Е.Ю. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2013613519. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких пологих прямоугольных в плане оболочек под действием различных нагрузок, учтенных в граничных условиях /Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, М.В. Жигалов; Зарегистрировано 9.04.2013.

147. Крылова, Е.Ю. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2013614573. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде двухслойных прямоугольных в плане гибких упругих пологих оболочек с учетом активной и пассивной деформаций /Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько, И.В. Папкова, и др.; Зарегистрировано 16.05.2013.

148. Крылова, Е.Ю. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2013615164. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких упругих пологих сферических секториальных оболочек под действием различных нагрузок, действующих в каждой единице объема /Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько, И.В. Папкова и др.; Зарегистрировано 29.05.2013.

149. Крылова, Е.Ю. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 20136161 75. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний прямоугольных в плане двухслойных оболочек с учетом геометрической нелинейности /Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько, И.В. Папкова и др.; Зарегистрировано 27.06.2013.