Устойчивость по Ляпунову и статистические характеристики управляемых систем с импульсным воздействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Ларина, Яна Юрьевна

• Ларина, Яна Юрьевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Ларина, Яна Юрьевна

Оглавление

Список основных обозначений

Введение

Глава I Статистические характеристики непрерывных функций и статистически слабо инвариантные множества управляемой системы

§ 1. Статистические характеристики непрерывных

функций

§ 2. О вычислении средних значений и статистических характеристик для почти периодических функций

§ 3. Статистические характеристики, появляющиеся в различных моделях естествознания

Глава II Устойчивость множеств относительно управляемых систем с импульсным воздействием

§ 4. Условия положительной инвариантности, устойчивости по

Ляпунову и асимптотической устойчивости

§ 5 . Условия слабой положительной инвариантности, слабой устойчивости по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости 60 § 6 . Аналитические и компьютерные исследования

устойчивости множеств относительно управляемых систем с

импульсным воздействием

Глава III Теоремы сравнения и статистические характеристики управляемых систем с импульсным воздействием

§ 7. Теоремы сравнения для решений систем и уравнений с импульсами

§ 8 . Об оценках статистических характеристик управляемых систем с импульсным воздействием

Заключение

Список литературы

Список основных обозначений

R _ стандартное евклидово простанство размерности п; R+ = [0,

Ог(х0) = {х G R : Ix — xol ^ r} — замкнутый шар pадиуса г с центром в точке х0 G

q(A,B) = inf |a — — расстояние между замкнутыми множествами А аеА,ЪеВ

и В в Rn;

d(A, В) = sup д(а, В) — полуотклонение множества А от множества В;

аеА

dist(A, В) = max{d(A, В),d(B, Л)} — расстояние по Хаусдорфу между замкнутыми множествами А и В в пространстве

comp(Rn) — пространство непустых компактных подмножеств R с ме-тиркой Хаусдорфа;

D(t,X) — множество достижимости управляемой системы в момент времени t из начального множества X;

V °(t,x; р) = lim sup ^( + + ^-^ — обобщенная производ-

пая (производная Ф. Кларка) локально липшицевой функции V(t, х) в точке (t,x) G R х R по направлению вектора q = (1,р), p G Vmmin(t,x) = inf V°(t,x; p), Vmmax(t,x) = sup V°(t,x; p) — нижняя и

p gF(t,x) p gf(t,x)

верхняя производные функции V в силу дифференциального включения х G F (t, х);

mes — мера Лебега на числовой прямой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость по Ляпунову и статистические характеристики управляемых систем с импульсным воздействием»

Введение

В диссертационной работе изучается одна из важнейших задач математической теории управления задача исследования инвариантности, устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости множеств относительно различных управляемых систем и дифференциальных включений. Данной тематике посвящены работы Н. Н. Красовского и А. И. Субботина [14], А. Б. Куржанского и Т. Ф. Филипповой [16, 68, 69], Ж. П. Обена [63, 64], Е.А. Панасенко и Е.Л. Тонкова [39, 40], Л. И. Родиной [44] [49], В.Н. Ушакова [6], [53] [57], П. Хартмана [66] и многих других авторов.

В последние годы появились работы, связанные с исследованием множеств, которые немного отличаются от инвариантных или слабо инвариантных (см. работы В. Н. Ушакова и его учеников [53] [57]), а именно рассматривается инфинитезимальное представление свойства инвариантности и вычисляется дефект инвариантности, который оценивает степень несогласованности множества и динамики системы с точки зрения понятия инвариантности. В работах Л. И. Родиной и Е.Л. Тонкова [45] [51] также исследуются множества, не являющиеся инвариантными в «классическом» смысле; для таких множеств вводится естественное расширение понятия инвариантности, которое названо статистической инвариантностью. Пусть ) — множество достижимости управляемой системы

X = /(г,х,и), (г,х,и) е [0, X х (0.1)

в момент времени £ из начального множества X. Множество

М = {(г,х) е [0, х : ж е м(г)}

называется статистически инвариантным, относительно системы (0.1), если относительная частота пребывания множества достижимости X) в множестве М равна единице.

В моей диссертационной работе изучаются статистически инвариантные, статистически слабо инвариантные множества и статистические характеристики множества достижимости управляемой системы (0.1), а также управляемых систем с импульсным воздействием. Исследуются такие характеристики, как верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости системы заданным множеством M :

) = д-теф € ) С Mjt)},

freq.(X) = ¡1- mes{t € ) С MМ}, (0' '

где mes — мера Лебега на числовой прямой. Если freq^X) = freq*(X), то общий предел

г . mes{t € [0, $] : D(t,X) С M(t)}

freq(X) = ¡im -{-——-^ (0.3)

ê^œ и

называется относительной частотой поглощения множества достижимости системы (0.1) множеством M.

Для непрерывной функции р : R ^ Rn верхнюю относительную частоту попадания ее графика в множество M определим равенством

= ¡1- mes{*€ [м- € м m

â^œ ê

mes

стоту freq(^) определим тем же равенством, но с заменой в нем верхнего

предела нижним, а если эти пределы совпадают freq*(^>) = freq(^), то

общий предел обозначим

_ . . .. mes{t € [0,tf] : <p(t) € M (t)} freq(^) = ¡im -----———-

â^œ ê

и назовем относительной част,от,ой, попадания графика функциив мно-M.

Для двух непрерывных функций р и для которых

11ш - (¿)| =0

получены условия равенства этих характеристик. Для непрерывной периодической функции получена формула вычисления относительной частоты попадания графика функции в заданное множество М. Для почти периодических функций определенного вида, которые зависят от конечного числа периодических функций, получены формулы для вычисления среднего значения и характеристики

„ , шев{£ е [0,01: 2(¿) < 0} к = 11Ш ---.

Исследуются прикладные задачи, в которых вычисляются или оцениваются различные статистические характеристики. В частности, рассматривается следующая задача. Пусть задано число Ао е [0,1]. Необходимо найти значение с(А0) такое, чтобы верхнее решение х{Ъ) задачи Коши не превышало с(А0) с относительной частотой, равной Ао. В зависимости от постановки задачи значение х{Ъ) можно интерпретировать как размер популяции, энергию частицы, концентрацию вещества, величину производства или цену на продукцию.

Для систем с импульсным воздействием вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем исследовались в работах О.В. Анашкина, Т.В. Довжик и О.В. Митько [1], Д.Д. Баинова [65], Р.И. Гла-дилиной и А.О. Игнатьева [5, 9], А.Д. Мышкиса [36], И.А. Перестюка, В. И. Плотникова, А. М. Самойленко и Н.В. Скрипник [42], Н.А. Перестюка и О.С. Черниковой [70]. Отметим также, что системам с импульсным воздействием посвящены работы А.В. Арутюнова, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, С.Т. Завалищина, Д.Ю. Карамзина, Б.М. Миллера, Ф.Л. Перейра, И.В. Ра-синой, Е.Я. Рубиновича, О.Н. Самсонюк, А.Н. Сесекина и многих других.

Рассматривается управляемая система с импульсным воздействием

X = f(t, Х,и), £ = Г;,

М , , ), = " (0.4)

Дж|*=т. = д&^г), (г,х,и,<ш^ е [¿0, х К х х к^,

где векторы = 1, 2,..., являются управляющими воздействиями, влияющими на поведение системы в моменты времени £ = т^, и принимают значения в заданном компактном множестве W С

В данной диссертации получены условия положительной инвариантности заданного множества М относительно управляемой системы с импульсным воздействием, условия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости, выраженные в терминах функций А.М. Ляпунова и производной Ф. Кларка. Доказаны утверждения о слабой положительной инвариантности и получены условия слабой асимптотической устойчивости множества М. Отметим, что в этой работе рассматривается функция Ляпунова относительно заданного множества и ее определение отличается от общепринятых.

Определение 0.1 (см. [37, гл. 5, с. 349], [40]). МножествоМ называется положительно инвариантным относительно управляемой системы (0.4), если для любого х0 е М(¿0) каждое решение х(р,х0) системы (0.4) с начальным условием х(Ъ0,х0) = х0 удовлетворяет включению (£, х(Ъ, х0)) е М при всех I ^ Ц.

Определение 0.2 (см. [37, гл. 5, с. 444], [41]). Множество М называется устойчивым по Ляпунову относительно управляемой системы (0.4), если для любого £ > 0 найдется такое 5 = 5(е) > 0, что для любого решения х(Ъ, х0) системы (0.4) из условия х0 е Ы5(¿0) следует, что (£, х(Ъ, х0)) е Ш£ при всех I е [£0,

Определение 0.3 (см. [37, гл. 5, с. 444], [41]). МножествоМ называется асимптотически устойчивым, относительно системы (0.4), если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое число г > 0, что для каждого решения x(t,x0) системы (0.4), удовлетворяющего начальному условию х0 Е Nr(¿о), имеет место равенство lim g(x(t,x0), М(t)) = 0.

Отметим, что если положить множество

Е [0, х Rn :

х Е М(t) = 0|, то получатся классические определения устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости.

Определение 0.4 (см. [41]). Множество М называется слабо положительно инвариантным относительно системы (0.4), если для любой начальной точки х0 Е М(t0) существует решение x(t, х0) системы (0.4), удовлетворяющее начальному условию x(t0,x0) = х0 и включению (t, x(t, х0)) Е М при всех t ^ t0.

Определение 0.5 (см. [41]). Множество М называется слабо устойчивым по Ляпунову относительно системы (0.4), если для любого £ > 0 существует такое ö = ö(s) > 0, что для любой начальной точки х0 Е N6 (t0) найдется реш ение x(t,x0) системы (0.4), которое удовлетворяет включению (t, x(t, ж0)) Е М£ ^рт всex t ^ t0.

Определение 0.6 (см. [41]). Множество М называется слабо асимптотически устойчивым, относительно системы (0.4), если оно слабо устойчиво по Ляпунову и существует такое г > 0, что для любой начальной точки х0 Е Nr(t0) найдется такое решение x(t,x0) системы (0.4), что lim g(x(t,x0),M(t)) = 0.

t—УТО

Также в работе доказаны теоремы сравнения для решений систем и уравнений с импульсным воздействием, в которых приведены условия

существования инвариантных и устойчивых множеств. Получены оценки статистических характеристик решений систем и уравнений с импульсным воздействием.

Результаты работы проиллюстрированы на различных моделях математической биологии, таких как модель конкуренции двух видов и задача о динамике численности популяции вредителей при наличии биологического контроля.

* * *

Работа состоит из введения, трех глав, включающих восемь параграфов (нумерация параграфов сквозная), заключения и списка литературы.

В первой главе исследуются характеристики (0.2), (0.3) для управляемой системы (0.1). Предполагаем, что функция /(£,х,и) непрерывна, управление и содержится в компактном множестве и(£,х) С и функция и(£,х) полунепрерывна сверху в метрике Хаусдорфа при всех (£, х) е [0, х . Рассматривается множество

М = {(£,х) е [0, х : ж е М(г)},

заданное функцией £ ^ М(£), непрерывной в метрике Хаусдорфа; предполагаем, что для каждого £ е [0, множество М(£) непусто и компактно.

В первом параграфе исследованы статистические характеристики непрерывной функции, такие как верхняя и нижняя относительные частоты попадания графика данной функции в множество М. Получены условия равенства этих характеристик для двух функций р и для которых 11ш -ф(1)1 =0.

Обозначим через дМ границу множества М, через 'ткМ — внутренность данного множества, д(х, М) = т£ |ж — у1 — расстояние от точки х

уем

до множества M. Рассмотрим функцию

!д(ф),дМ(t)), если <p(t) g M(t), -д(ф),дМ (t)) y(t) G M (t).

Пусть B(R) — сигма-алгебра всех борелевских подмножествК. Определим для каждого множества В G B(R) функции

mes {t G [0,tf] : Rv(t) G В}

ß*(B ) = lim

ß*(B) = lim

mes {t G [0,tf] : Rv(t) G В}

Основным утверждением первого параграфа является следующая теорема.

Теорема 0.1. (см. [32]) Пусть функции p(t), ^(t) и множесmeo M m,а,ковы, что lim |^>(¿) — = 0 и имеет место равенство

t^œ

Т *п л • !• Т^ mes {t G [0,ф |^(í)| < e} n , .

lim a* ([—e,e]) = lim lim ---1 J ' л-1 = 0. (0.5)

e^ö+0 v e^ö+ö ê^œ ê

Тогда freq*(^>) = freq*(^) ^ freq*(^) = freq*(^>).

Следовательно, если один из пределов freq(^) или, freq(^) существует, то другой предел также существует wfreq(^) = freq(^).

Приведены примеры вычисления статистических характеристик при помощи теоремы 0.1.

В первом параграфе также получено условие существования статистически слабо инвариантного множества.

Поставим в соответствие управляемой системе (0.1) дифференциальное включение

х G F(t,x), F(t,x) = œ H(t,x), (0.6)

где Н(t, х) представляет собой множество всех предельных значений функции f{t,x,U(t, х)) при (ti,Xi) ^ (t,х), coH(t,х) — замыкание выпуклой оболочки множества Н(t, х), то есть наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее множество Н(t ,х).

Множество M = {(t,х) £ [0, х Rn : х £ М(¿)| называется статистически слабо инвариантным, относительно управляемой системы (0.1), если для любой точки х £ М(0) найдется хотя бы одно решение ((t) включения (0.6), определенное при всех/; ^ 0, удовлетворяющее начальному условию ((0) = х и равенству freq*(e) = 1.

Теорема 0.2. (см. [32]) Пусть для любой точки х £ М(0) существует решение '(t) включения (0.6)7 удовлетворяющее начальному условию ф(0) = х и равенст ву lim l((t) — ф(£)| = 0, где ((t) — решение данного включения, для, которого

Т *П ^ • v Т^ mes {t£ [0,§]: R^t) < —} 1

lim ß* ((—то, —£)) = lim lim ---1 \—^-- = 1.

e^ö+ö 44 ' e^ö+0 d^cx §

Тогда, множество M статистически слабо инвариантно относительно систем,ы, (0.1).

Во втором параграфе получены формулы для нахождения среднего

значения и характеристики

„ , mes{i £ [0,§]:z(t) < 0} к = lim ---

для почти периодических в смысле Бора функций z(t), которые зависят от конечного числа периодических функций. Приведем основные утверждения.

Теорема 0.3. (см. [32]) Пусть z(t) = F(z\(t),..., Zk(t)), функции z.(f) — периодические с периодамиTi, i = 1,..., к, функция F(Zifai),..., Zk(хи))

интегрируема по Риману на множестве [0,Ti] х ... х [0,Tk]. Если числа, Ti,... ,Tk рационально независимы, то для среднего значения

1 Г

z = lim — z (t)dt

ТTJ 0

функции z(t) выполнено равенство

z = lim 1 / F (zi(t),..., zk (t))dt = гТ J 0

rTi i-Tk

/ ... F(zi (xi),...,Zk (Xk)) dxi ...dxk

Ti • T2 •... • Tk

Следствие 0.1. (см. [32]) Пусть z(t) = H{zi(t),..., zk(t)), функции

z() — периодические с перuodaMuTi, i = 1,... ,k, функция H(yzi(xi),..., zk(xk))

интегрируема по Риману на множестве [0,Ti] х • • • х [0,Tk]. Если числа,

Ti,... ,Tk рационально независимы, то имеет место равенство

~ = mesjm Е [0,Ti],...,Xk Е [0,Tk] : Н(xi),...,Zk(xk)) ^ 0} К = Ti • Т2 • ... • Tk ,

где me^ к-мерная мера Лебега.

В третьем параграфе изучаются характеристики, возникающие в различных прикладных задачах естествознания. Для любого с Е R вводится характеристика

mes{t Е [0,tf] : 2(t) < с}

кс = lim ------.

д—то v

Рассматривается следующая задача. Пусть задано число А0 Е [0,1] и функция z(t) является размером популяции (или концентрацией веществ, или объемом производства). Необходимо найти значение с = с (А0) такое, что величина z(t) не превышает с (А0) с относительной частотой, равной А0. Пусть г(t) — решение линейной задачи Коши

¿ = a(t)z + b(t), z (0) = Z0. (0-7)

Лемма 0.1. (см. [18]) Предположим, что функции a(t), b(t) почти

периодические в смысле Бора, а{t) = а(t) + h, где h < 0, функция / а(s)ds

J о

ограниченная. Если для каждого z G R справедливо равенство

mes {t G [0,$]:a(t)z + b(t) = 0}

ê^œ $

то имеют место следующие свойства:

1) для, каждого с G R предел кс существует и вы,полнено равенство

mesji G [0,$]:z(t) ^ с} К = кс = lim ---;

ïï^œ $

2) для любого Х0 G [0,1] найдется число с = с(А0) такое, что

К = Ао.

Также в третьем параграфе вычисляются статистические характеристики кс и Кс для решения уравнения Ферхюльста:

z = (e(t) — a(t)z) z,

( )

a(t)z — удельная (средняя) смертность, которая пропорциональна размеру популяции. Предполагаем, что функции s(t) и a(t) положительные и почти периодические в смысле Бора.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости по Ляпунову, асимптотической устойчивости, слабой устойчивости и слабой асимптотической устойчивости множеств относительно управляемых систем с импульсным воздействием (0.4).

Введем в рассмотрение множество

M = {(t,х) G [to, +œ) x Rn : ж G M(i)},

заданное непрерывной в метрике Хаусдорфа функцией £ ^ М(£), где для каждого Ь Е [¿о, множество М(£) непусто и замкнуто. Пусть Мг(£) -замкнутая г-окрестность множества М(£), то есть множество таких точек ж Е что д(х,М(£)) ^ г, (£) = Мг(¿)\М(£) — внешняя г-окрестность границы множества М(£) (здесь д(х,М) = т^ ||ж — у|| — расстояние от точки ж Е К до миожества М С Построим множества

Ж = {(г,х) Е [¿о, х : ж Е Мг(*)}, N = {(г,х) Е [¿о, х : ж Е № (г)}.

Определение 0.7 (см. [40]). Скалярная функция V (Ь,х) переменных (£, х) Е [¿0, х называется функцией Ляпунова относительно множества Ж, если она удовлетворяет условию Липшица по переменным (Ъ, х) и следующим условиям:

1) V(£, ж) = 0 для всех (Ъ, х) Е Ж;

2) V(£, ж) > 0 для некоторого г > 0 для всех (Ъ, х) Е N.

Функция У(£, ж) называется определенно положительной (относительно множества Ж), если для каж дого £ Е (0,г) найдется та кое 5 > 0, что V(£, х) ^ 6 для всех (Ъ, х) Е Жг \ Же.

Поставим в соответствие системе х = /(Ъ,х,и) дифференциальное включение

х е ^(г,х), ^(г,х) = сдн(г,х), (0.8)

где для каждой фиксированной точки (р,х) Е [¿0, х множество Н(£, х) состоит из всех предельных значений функции /(ti,Xi)) при (и,Х{) ^ (Ъ,х), сдН(Ъ,х) — замыкание выпуклой оболочки множества

н (г,х).

Условие 0.1. Для любого х0 Е Mr(t0) каждое решение ip(t,х0) включения (0.8), удовлетворяющее начальному условию ^(t0,x0) = х0, определено при всех t ^ t0.

В четвертом параграфе получены условия положительной инвариантности, устойчивости по Ляпунову, а также асимптотической устойчивости. Приведем основные утверждения этого параграфа.

Теорема 0.4. (см. [20]) Пусть выполнено условие 0.1 и существует функция V(t, х) — определенно положительная функция Ляпунова относительно множества M такая, что неравенство Vnax(^, х) ^ 0 выполнено для, всех (t, х) Е Nr и

max V(Ti,х + д(х, w)) — V(rt, x) ^ —ф(V(rt, x))

wEW

для всех х E Nr(Ti),i = 1, 2, . . . , где ф(з) — непрерывная приз ^ 0 функция, такая, чтоф(0) = 0 иф(з) > 0 при s > 0. Тогда множество M асимптотически устойчиво по Ляпунову относительно системы (0.4).

Теорема 0.5. (см. [30]) Пусть существуют функции V(t,х) uq(t, z) такие, что:

1) V(t, х) — определенно положительная функция Ляпунова относительно множества M;

2) функция, q(t, z) локально Липшицева по z, q(t, 0) = 0 м тривиальное решение уравнения z = q(t, z) асимптотически устойчиво (в классическом смысле);

3) Vmax(^, х) ^ q(t,V(t, х)) для всех (t,х) Е N;

4) max V(тг,х + д(х, w)) ^ V(тг, х) для всех х Е Mr(Ti), i = 1, 2,____

wEW

Тогда множество M асимптотически устойчиво относительно управляемой системы (0.4).

Теорема 0.6. (см. [30]) Предположим, что существуют а < 0 и функция Ляпунова V(t, х) относительно множестваШ такая, что неравенство V1^axi(t,x) ^ а < 0 выполнено для, всех (t,x) Е N и

max V(ri,x + g(x, w)) ^ V(ri, х) для всex х Е Мг(ri), i = 1, 2,....

weW

Тогда, для, каждого решения, x(t,x0) системы (0.4), удовлетворяющего начальному условию х0 Е Nr(t0), существует момент времени t* = t*(x(t,x0)) > t0 такой, что точка (t,x(t,x0)) принадлежит, множеству Ш при вс ex t Е [t*, +ж).

Если, кроме того, функция, Ляпунова V(t, х) определенно положительная, то множество Ш асимптотически устойчиво относительно управляемой, системы (0.4).

В пятом параграфе приведены условия слабой положительной инвариантности, слабой устойчивочти по Ляпунову и слабой асимптотической устойчивости.

Основные результаты пятого параграфа:

0. 1

функция, V(t, х) — определенно положительная функция, Ляпунова относительно множества Ш такая, что для, всех (t, х) Е N вы,полнено неравенство Vmin(t,x) ^ 0 и найдутся такие wi Е W, что

V(гг,х + д(х,щ)) - V(тг,х) ^ -ф(у(Тг,х)) для всех х Е Nr(ri), i = 1, 2,... ,

где ф(в) — непрерывная при s ^ 0 функция, такая, что ф(0) = 0 и ф(s) > 0 при s > 0. Также предполагаем, что если х Е М(ri), то х + g(x,Wi) Е М(r-i). Тогда множествоШ слабо асимптотически устойчиво относительно систем,ы, (0.4).

Теорема 0.8. (см. [30]) Пусть существуют функцииУ(t, х) uq(t, z) такие, что:

1) V(t, х) — определенно положительная функция Ляпунова относительно множества M;

2) функция, q(t, z) локально Липшицева по z, q(t, 0) = 0 м тривиальное решение уравнения z = q(t, z) асимптотически устойчиво (в классическом смысле);

3) Vmin(i, х) ^ Я{t,V(t, х)) для всех (t,х) G N;

4) найдутся такие Wi G W, что V(Ti,x + g(x,Wi)) ^ V(Ti,x) для, всех х G Mr ( n), i = l, 2,....

Тогда, множество M слабо асимптотически устойчиво относительно системы (0.4).

Теорема 0.9. (см. [30]) Предположим, что существуют а < 0 м функция, Ляпунова V(t, х) относительно множестваШ такая, что неравенство Vmin(i, х) ^ а < 0 выполнено для, всех (t,х) G N и найдутся такие Wi G W, что

V ( тг,х + д(х,и}{)) ^V ( тг,х) для, всех х G Mr ( Ti), i = l, 2,....

Тогда, для, каждой начальной точки х0 G Nr(tо) существует решение х(£, х0) системы (0.4), для, которого найдется момент времени t* = £*(х(£ ,х0 )) > t0 такой, что m очка (t ,х(Ь ,х0)) принадлеж ит M при всех t G [t*, +œ).

V( , х)

M

тельно управляемой, систем,ы, (0.4).

Шестой парагаф посвящен практическому применению результатов предыдущих параграфов. Рассматриваются модель конкуренции двух ви-

дов и модель изменения численности популяции вредителей в условиях биологического контроля. Используются аналитические методы, при невозможности получения результата таким способом применяются численные методы пакета Mathematica версии 11.0.1.

В третьей главе получены теоремы сравнения для управляемых систем с импульсным воздействием, а также изучаются статистические характеристики таких систем. В седьмом параграфе получены аналоги теоремы Ла Салля (см. [7, с. 276]) для управляемых систем с импульсным воздействием (0.4). Отметим, что для систем без импульсов et = f (t,x,u) подобные утверждения доказаны в работах [40, 45].

Рассмотрим дифференциальное уравнение с импульсным воздействи-

¿ = q(t,z), t = тг, Az|t=n = l(z), (t,z) G [to, x R, (0.9)

где функция q(t, z) локально лиишицева no z, а функция l(z) непрерывна. Введем в рассмотрение функцию L(z) = l(z) + z в предположении, что L(z) неубывающая для всех г G R.

Приведем основные теоремы седьмого параграфа.

Теорема 0.10. (см. [20]) Пусть выполнено условие 0.1 и существуют функции V(t,x), q(t,z), l(z) такие, что V(t,x) является определенно положительной функцией Ляпунова относительно множествам и для, всех (t, х) G N выполнены неравенства

KiaxM) ^ q(t,v(t,x)), max V(rt, x + g(x,w)) ^ L (V(ъ, x)), i = 1, 2,____

wGW

Тогда, если для решения, z(t)уравнения (0.9) с начальным условием z(t0) = max V(t0,x0) выполнено равенство lim г(t) = 0, то множе-

xoGN (to)

ство Ш асимптотически устойчиво по Ляпунову относительно системы (0.4).

Теорема 0.11. (см. [23]) Пусть существуют функцииУ(t,х), q(t, z), l(z) такие, что V(t,х) является определенно положительной функцией Ляпунова относительно множества Ш, для всex (t, х) Е N выполнено неравенство V^in (, х) ^ q(t ,V (t, х)) и найдутся такие Wi Е W, что

V(тг,х + д(х, Wi)) ^ L (V(Ti, х)) для всех i = 1, 2,....

Тогда, если для решения, z(t) уравнения (0.9) с начальным условием z(t0) = max Vи0,хо) выполнено равенство lim z(t) = 0. то множе-

xoEN- (to) t^™

Ш

В восьмом параграфе получены оценки статистических характеристик управляемых систем с импульсным воздействием.

Определение 0.8 (см. [45]). Верхней относительной частотой попадания решения х(Ъ, хо) системы (0.4) в множество Ш называется следующий предел

= Jim шефе [М ^ ,хо) еМ (ОД

где mes — мера Лебега на числовой прямой. Аналогично определяется нижняя относительная частота freq*^) (с заменой верхнего предела на нижний предел). Если freq*^) = freq*^), то существует предел

г , , . mes{tE [0,§]:х(£,хо) ЕМ(t)}

fгeq(х) = lim ---,

V у §

который называется относительной частотой попадания решения х(Ъ, х0) Ш

Также введем в рассмотрение характеристику

mesji G [0,tfl: 2(t) < 0}

к = lim ---,

З^Ж и

где функция г(t) является решением уравнения (0.9). Если данный предел не существует, то рассматриваются соответственно верхний и нижний пределы

-— mesji G [0, tfl : 2(t) < 0} , mesji G [0, tf] : z(t) < 0}

к* = lim-^-^-^-J-, к = lim-^--^-J-.

я^ж § §

Теорема 0.12. (см. [32]) Предположим, что существуют функции V(t,x), q(t,z), l(z) такие, что V(t,x) является функцией Ляпунова относительно множества M и для всex (t,x) G [t0, ж) x Rn выполнены неравенства

Ушax(t,x) ^ q(t,V(t,x)), max V(rt, x + g(x,w)) ^ L (V(ъ, x)), i = 1, 2,____

wGW

Пусть z(t) — решение уравнения (0.9), удовлетворяющее начальному условию z(t0) = V(t0,x0). Тогда для любого решения x(t,x0) системы (0.4) такого, что x(t0,x0) = х0, имеют место неравенства

freq*(^) ^ к*, freq*(^) ^ к*.

Теорема 0.13. (см. [32]) Предположимчто существуют функции V(t,x), q(t,z), l(z) такие, что V(t,x) является функцией Ляпунова относительно множества M и для вс ex (t,x) G [t0, ж) x Rn выполнены неравенства

Ушin(t,x) ^ q(t,V(t,x)), min V(rt,x + g(x, w) ^ L (V(ъ, x)), i = 1, 2,____

WjGW

Пусть г(Ь) — решение уравнения (0.9), удовлетворяющее начальному условию г(Ь0) = У(Ь,х0). Тогда существует решение х(Ь,х0) системы (0.4) такое, что х(Ь0,х0) = х0 и имеют место неравенства

&ед*(х) ^ к*, £гед*(х) ^ к*.

Результаты диссертации опубликованы в работах [17] [32].

Автор диссертации выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Л. И. Родиной за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Глава I

Статистические характеристики непрерывных функций и статистически слабо инвариантные множества управляемой системы

Первая глава диссертационной работы посвящена изучению статистических характеристик множества достижимости управляемой системы

х = ¡(г,х,и), (г,х,и) е [0, х х (0.1)

таких как верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости системы некоторым заданным множеством.

В первом параграфе определяются статистические характеристики непрерывных функции и для частных случаев приводятся способы их вычисления. Во втором параграфе находятся средние значения и статистические характеристики для периодических и почти периодических функций в смысле Бора.

В третьем параграфе исследуются прикладные задачи, в которых вычисляются или оцениваются различные статистические характеристики. В частности, рассматривается следующая задача. Пусть задано число А0 е [0,1]. Необходимо найти значение с(А0) такое, чтобы верхнее решение х{Ъ) задачи Коши не превышало с( А0) с относительной частотой, равной А0. В зависимости от постановки задач и значение х{Ъ) можно интерпретировать как размер популяции, энергию частицы, концентрацию вещества, величину производства или цену на продукцию.

§ 1. Статистические характеристики непрерывных функций

В этом параграфе исследованы статистические характеристики непрерывной функции, такие как верхняя и нижняя относительные частоты попадания графика данной функции в множество

M = {(t,x) е [0, +<) х R : ж е М(t)},

заданное функцией t ^ М(t), непрерывной в метрике Хаусдорфа; предполагаем, что для каждого t е [0, +<) множество М(t) непусто и компактно. Получены условия равенства этих характеристик для двух функций р и

ф, для которых lim I^(t) — ф(Щ = 0. t

Рассмотрим управляемую систему (0.1) и отвечающее ей дифференциальное включение

х е F(t, х), F(t, х) = coH(t, х), (1.1)

где Н(t, х) представляет собой множество всех предельных значений функции f(t,x,U(t,x)^ при (ti,Xi) ^ (t,x), coН(t,x) — замыкание выпуклой оболочки множества Н(t,x). Предполагаем, что множество F(t,x) непусто, ограничено, замкнуто и выпукло, функция f (t,x,u) непрерывна по совокупности переменных, а функция U(t,x) полунепрерывна сверху. Тогда функция F(t,x) также полунепрерывна сверху, поэтому для каждой начальной точки х0 е Rn локальное решение включения (1.1) существует (см. [59, с. 60]).

Под решением включения (1.1) на интервале J С R будем понимать всякую абсолютно непрерывную функцию у : J ^ Rп, которая при почти всех t е J удовлетворяет данному включению. Приведем необходимые определения.

Определение 1.1. Допустимым процессом управляемой системы, (0.1) назовем функцию

t^ (u(t),x(t)) G Rm x Rn,

которая удовлетворяет следующим условиям:

1) управление u(i) определено на I = [0, +œ), ограничено и измеримо по Лебегу;

2) решение x(t) в смысле Каратеодори системы дифференциальных уравнений

X = f(t, X, u(t)),

определено для всех t G I;

3) имеет место включение u(t) G U(t,x(t)).

( u( ) , X( )) u( )

вается допустимым, управлением системы (0.1).

Определение 1.2. Для непрерывной функции р : R ^ Rn верхнюю относительную частоту попадания ее графика в множество

M = {(t ,x) G [0, +œ) x Rn : x G M (t)}

определим равенством

р) = lîm mes{*G [M GM Ш,

ê^œ ê

где mes — мера Лебега на числовой прямой. Нижнюю относительную частоту freq(p) определим тем же равенством, но с заменой в нем верхнего предела нижним, а если эти пределы совпадают freq*(p) = freq(p), то общий предел обозначим

_ . . .. mes{t G [0,^ : <p(t) G M (t)} freqip) = lim -----———-

â^œ ê

и назовем относительной частотой попадания графика функциир в множество Ш.

Обозначим через дМ границу множества М, через intM — внутренность данного множества, q(x, M) = inf |ж — yl — расстояние от точки х

уем

до множества М. Рассмотрим функцию

g((p(t),dM(t)), если <p(t) g M(t),

Rv(t) = {

-д(ф),дМ (t)), если y(t) g M (t).

Пусть B(R) — сигма-алгебра всех борелевских подмножествК. Определим для каждого множества В g B(R) функции

mes {t g [0,0] : Rv(t) g В}

ß*(B ) = lim

ß*(B ) = lim

mes {t g [0,tf] : R^(t) G В}

ê—>00

ê

Теорема 1.1. (см. [32]) Пусть функции p(t), ^(t) и множесmeo M таковы, что lim l<ß(t) — ^(t)l = 0 и имеет место равенство

mes {t g [0,0] : |^(í)| < e}

lim ß* ([—e,e])= lim lim 1 е 1 ' J ' 1 w } = 0. (1.2)

e ^0+0 J' e^O+Otf^TO 0

Тогда, freq*(^>) = freq*(^) ^ freq*(^) = freq*(^>).

Следовательно, если один из пределов freq(^) или, freq(^) существует, то другой предел также существует wfreq(^) = freq(^).

Дока з а т е л ь с т в о. Из условия (1.2) следует, что

lim М*((0,е]) = lim ß* ((—е, 0]) ^ li0+o ß*{(s,s]) = 0,

£ ^0+0 7 £ ^0+0 7 £ ^0+0 4 7

поэтому

Jimo/i*((-TC, е]) = |/((-ж, 0]) + ^ц*((°,е]) = |^'((-ж, 0]),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ларина, Яна Юрьевна, 2017 год

Список литературы

1. Аыашкиы О.В., Довжик Т.В., Митько О.В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений при наличии импульсных воздействий // Динамические системы. 2010. Вып. 28. С. 3 10.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

3. Арнольд В.14., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск. Регулярная и хаотическая динамика, 1999.

4. Благодатских В.14., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1985. Т. 169. С. 194 252.

5. Гладилина Р.И., Игнатьев А.О. Об устойчивости периодических систем с импульсным воздействием // Матем. заметки. 2004. Т. 76. е 1. С. 44 51.

6. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения, их производные и применение к задачам управления // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. е 11. С. 1888Ц-1894.

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

8. Жиков В.В. К проблеме почти-периодичности для дифференциальных и операторных уравнений// Сборник научных трудов ВПИ. 1969. Т. 8. С. 94Ц188.

9. Игнатьев А.О. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости решений систем диффернциальных уравнений с импульсным воздействием // Матем. сборник. 2003. Т. 194. е 10. С. 117 132.

10. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 300 с.

11. Козлов В.В. Усреднение в окрестности устойчивых инвариантных торов // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2. е 3/4. С. 41 46.

12. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

13. Корнфельд 14.П., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 384 с.

14. Красовский H. Н., Субботин А. 14. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

15. Кузенков О.А., Рябова Е.А. Математическое моделирование процессов отбора. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2007. 324 с.

16. Куржанский А. В., Филиппова Т. Ф. Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Оптимальное управление и дифференц. ур-ния. Тр. МИ РАН. М.. 1995. Т. 211. С. 304 315.

17. Ларина Я.Ю. Условия статистической инвариантности для управляемых систем с периодическими коэффицентами // Современные методы

прикладной математики, теория управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2013): сб. тр. 6 Междунар. конф., г. Воронеж. 10-16 сент. 2013 г. Воронеж: Издат.-полиграф. центр Воронеж, гос. ун-та, 2013. С. 136 138.

18. Ларина Я.Ю. Статистические характеристики систем с почти периодическими коэффициентами // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика: сб. науч. тр. по материалам междунар. заоч науч.-практ. конф. Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях: Междунар. открытая конф., 18-19 июня 2014 г. Воронеж: ФГБОУ ВПО «ВГЛТА», 2014. - е 4, ч. 2 (9-2). С. 417 420.

19. Ларина Я.Ю. Статистически инвариантные множества для периодических систем // Современные проблемы математики и ец приложений: тр. 45-й Междунар. молодеж. шк.-конф., поев. 75-лет. В. 14. Бердыше-ва, 2-8 февр. 2014 г. Ин-т математики и механики УрО РАН, Урал, фед. ун-т, Екатеринбург: I4MM УрО РАН, УрФУ, 2014. С. 81 83.

20. Ларина Я.Ю. Функции Ляпунова и теоремы сравнения для управляемых систем с импульсным воздействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2015. Т.25. Вып. 1. С. 51 59.

21. Ларина Я.Ю. Об асимптотическом поведении решений управляемых систем с импульсным воздействием // Теория управления и математическое моделирование: тезисы докладов Всерос. конф. с междунар. участием «Теория управления и математическое моделирование», по-свящ. памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова, Ижевск, Рос-

сия, 9-11 июня 2015 г. М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «УдГУ», Ижевск: Удмуртский университет, 2015. С. 180 182.

22. Ларина Я.Ю. Статистические характеристики управляемых систем с импульсным воздействием // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск. 2015. Вып. 2 (46). С. 99Ц-105.

23. Ларина Я.Ю. О слабой асимпотической устойчивости управляемых систем с импульсным воздействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2016. Т.26. Вып. 1. С. 68 78.

24. Ларина Я.Ю. Слабо асимптотически устойчивые множества относительно управляемых систем с импульсным воздействием // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тез. докл.: Суздаль, 8-12 июля 2016 г. Суздаль, 2016. С. 118 119.

25. Ларина Я.Ю., Родина Л.14. Статистические характеристики управляемых систем, возникающие в различных моделях естествознания // Моделирование и анализ информационных систем, 2013. Т. 20, е 5. С. 62 77.

26. Ларина Я.Ю., Родина Л.14. О статистически слабой инвариантности множеств относительно управляемых систем // Теория управления и математическое моделирование: тезисы докладов Всерос. конф. с междунар. участием «Теория управления и математическое моделирование», посвящ. памяти проф. И.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова, Ижевск, Россия, 9-11 июня 2015 г. М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «УдГУ», Ижевск: Удмуртский университет, 2015. С. 182 184.

27. Ларина Я.Ю., Родина Л.И. О существовании статистически слабо инвариантных множеств управляемых систем // Динамика систем и процессы управления: труды Между нар. конф., посвящ. 90-летию со дня рожд. акад. Н. Н. Красовского, Екатеринбург, Россия, 15-20 сент. 2014 г. Ин-т математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2015. С. 236 242.

28. Ларина Я.Ю., Родина Л.14. О расширении понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем // Международная конференция по математической теории управления и механике: тез. докл.: Суздаль, 3-7 июля 2015 г. Суздаль, 2015. С. 83 85.

29. Ларина Я.Ю., Родина Л. 14. Об оценках относительных частот и статистически слабо инвариантных множествах управляемых систем // Материалы симпозиума «Дифференциальные уравнения 2016», проводимого в рамках форума кМатематика и глобальные вызовы XXI векаш и посвященного столетию Пермского государственного национального исследовательского университета, Пермь, 16-21 мая 2016 г. Пермь, 2016. С. 55 57.

30. Ларина Я.Ю., Родина Л.14. Асимптотически устойчивые множества управляемых систем с импульсным воздействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2016. Вып. 4. С. 490 502.

31. Ларина Я.Ю., Родина Л. 14. Расширение понятия инвариантности и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзорьпь, 2017. Вып. 132. С. 57Ц-60.

32. Ларина Я.Ю., Родина Л.И. Статистические характеристики непрерывных функций и статистически слабо инвариантные множества управляемой системы // Известия вузов. Математика, 2017, е 2. С. 34 43.

33. Ларина Я.Ю., Родина Л. 14. Об асимптотической устойчивости множеств относительно управляемых систем // Тезисы докладов XVII международной научной конференции по дифференциальным уравнениям «Еругинские чтения 2017», 16-20 мая 2017 года, Минск, 2017. С.81.

34. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Издательство Московского университета, 1978.

35. Лейхтвейс К. Выпуклые множества М.: Наука, 1985.

36. Мышкис А. Д. Устойчивость решений дифференциальных уравнений при обобщенных импульсных возмущениях // Автоматика и телемеханика. 2007. е 10. С. 125-Ц133.

37. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехтеориздат, 1949. 550 с.

38. Никодис Г., Пригожин 14. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979.

39. Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Функции Ляпунова и положительно инвариантные множества дифференциальных включений // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. е 6. С. 859-Ц860.

40. Паыасеыко Е.А., Тонков Е.Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2008. Т. 262. С. 202 221.

41. Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Распространение теорем Е.А. Барбашина и H.H. Красовского об устойчивости на управляемые динамические системы // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. е 3. С. 185 201.

42. Перестюк H.A., Плотников В.14., Самойленко A.M., Скрипник Н.В. Импульсные дифференциальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. Киев: Ин-т математики HAH Украины, 2007. 428 с.

43. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 236 с.

44. Родина Л. 14. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем / Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук / УдГУ. Ижевск, 2011. 246 с.

45. Родина Л.14. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 2 (40). С. 3 164.

46. Родина Л.И. Пространство clcv(Rn) с метрикой ХаусдорфаЦБебуто-ва и статистически инвариантные множества управляемых систем // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2012. Т. 278. С. 217Ц226.

47. Родина Л .14. Статистические характеристики множества достижимости и периодические процессы управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 2. С. 34 43.

48. Родина Л. 14. О некоторых вероятностных моделях динамики роста популяций // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 109 124.

49. Родина Л.14. Оценка статистических характеристик множества достижимости управляемых систем // Известия вузов. Математика. 2013. е И. С. 20 32.

50. Родина Л.14., Тонков Е.Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. е 2. С. 265 288.

51. Родина Л. 14., Тонков Е.Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. С. 67 86.

52. Самойденко A.M., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987. 288 с.

53. Ушаков В.Н., Латушкин Я.А. Дефект стабильности множеств в игровых задачах управления // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12. е 2. С. 178-Ц194.

54. Ушаков В.Н., Мадцв А.Г. К вопросу о дефекте стабильности множеств в игровой задаче о сближении // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. е 1. С. 199-Ц222.

55. Ушаков В.H., Зимовец A.A. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 98Ц-111.

56. Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р., Ушаков A.B., Паршиков Г.В. Инвариантность множеств при конструировании решений задачи о сближении в фиксированный момент времени // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. е 1. С. 264Ц-283.

57. Ушаков В.Н., Котелышкова А.Н., Малцв А.Г. Об оценке дефекта слабой инвариантности множеств с кусочно-гладкой границей // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. е 4. С. 250Ц-266.

58. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. 761 с.

59. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 223 с.

60. Филиппов В.В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1993. 336 с.

61. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

62. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М., Л.: Гостехиздат, 1950. 102 с.

63. Anbin J. P. Viability Theory. Boston, Birkhäuser. 1991. 543 p.

64. Anbin J.P., Cellina A. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, Springer-Verlag. 1984. 342 p.

65. Bainov D.D., Simeonov P.S. Systems with impulse effect: stability, theory and applications. N.-Y.: Halsted Press, 1989. 255 p.

66. Hart man P. On invariant sets and on a theorem of Wazewski // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 32. P. 5111,1-520.

67. Holling C.S. The components of predation as revealed by a study of small mammal predation of the European pine sawfly // The Canadian Entomologist. 1959. Vol. 91. e 5. P. 293 320.

68. Kurshanski A. B., Filippova T. F. Dynamics of the set of viable trajectories to a differential inclusion: the evolution equation // Probl. Contr. Inform. Theory. 1988. Vol. 17. e 3. P. 137 144.

69. Kurshanski A. B., Filippova T. F. Pertubation technicues for viability and control // Lect. Notes in Control, Inform. Sri. 1992. Vol. 180. P. 394 403.

70. Perestyuk M.O., Chernikova O.S. On the Stability of Invariant Sets of Discontinuous Dynamical Systems // Ukrainian Mathematical Journal. 2001. Vol. 53, e 1. P. 91 98.