Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кинзебулатов, Дамир Маратович

• Кинзебулатов, Дамир Маратович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кинзебулатов, Дамир Маратович

Обозначения 3Всномогательные определения

1. Пространство обобщенных функций TV

2. Дифференциальные уравенения с обобщенными функциями из %'

3. Пространство обобщенных функций Т'

4. Дифференциальные уравенения с обобщенными функциями из Т'

5. Достаточные условия положительной инвариантности

6. Достаточные условия равномерной и асимптотической устойчивости

7. Об импульсной задаче удержания решения в множестве

8. Дифференциальные уравенения с обобщенными функциями общего вида

9. Модель Бевертона-Холта

10. Сравнение с некоторыми из существующих подходов ИЗ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями»

Во многих из упомянутых работ рассматривается дифференциальное уравнение(0.1) x = f{t,x) + g{t,x)vс линейным вхождением обобщенной функции v. Системы вида (0.1) возникают, например, в задачах оптимального управления с конусообразными фазовыми ограничениямина управление v [21, 33, 110]. Приведем пример одной такой задачи.Следующей особенностью подхода к рассмотрению дифференциальных уравнений собобщенными функциями в пространстве V (см. [21, 33, 101, 110, 115]) является неоднозначность в определении понятия решения, которая выражается в существованииразных решений одной и той же начальной задачи для системы (0.1), если решение (0.1)понимается в смысле разных работ [51, 104, ПО]. Указанная множественность отмечалась многими авторами (см. [51, 110]), и оказывается тесно связана с некорректностьюонерации умножения обобщенной функции на разрывную в пространстве V. В этойсвязи в [51, с.34] отмечается, что выбор того или иного определения понятия решениядолжен быть обусловлен тином нредельного перехода, который приводит к дифференциальному уравнению с обобщенными функциями. Приведем в иесколько более общейформе пример из [51, с.34].Отметим также, что в общем случае решение начальной задачи для системы (0.1) всмысле выполнения первого предельного перехода (см. пример 0.2) зависит от выборадельта-образного семейства {ае}е>о. Как следствие, возникает необходимость рассмотрения семейства {ае}Е>о как части системы (0.1) (см. [21, 33, 110]), несмотря на то,что априорный выбор того или иного способа приближения дельта-функции 6г £ ^ 'не обусловлен никакими свойствами топологии пространства обобщенных функций V.Далее в пространстве TZ' рассматривается дифференциальное уравнение вида(0.8) x = f{t,x)+g{t)v,где V £TV (О системах с обобщенными функциями из V вида (0.8) см. [103]). Дифференциальное уравнение общего вида(0.9) x = f{t,x)+g{t,x)v,рассматривается в пространстве Т', т.е. v &Т'. Запись дифференциальных уравнений(0.8) и (0.9) оказывается корректной с точки зрения теории обобщенных функций.В отличие от пространства V, в пространствах 1Z' и Т' решение начальной задачи,понимаемое в смысле первого предельного перехода (см. пример 0.2), единственно.В настоящей работе показано, что в пространстве Т' содержатся дельта-функции,реализующие предельный переход как первого, так и второго типа (см. пример 0.2), чтопозволяет объеденить разные определепия понятия решения в рамках одного подхода,основанном на пространстве обобщенных функций Т'.Пространство обобщенных функций Т' оказалось удобным для определения и изучения свойства инвариантности замкнутного множества относительно системы с обобщенными функциями вида (0.9). В диссертации приводятся достаточные условия положительной инвариантности, обобщающие известные достаточные условия положительнойинвариантности относительно системы с обычной правой частью. Приводятся достаточные условия равномерной и асимптотической устойчивости положений равновесиясистем с обобщенными функциями.Изучение свойства ноложительной инвариантности отчасти мотивировано необходиостью рассмотрения обобщенных управлепий в задаче удержания решения в заданномзамкнутом множестве [50]. Именно, приводится пример, показывающий, что управление, удерживающее решение в заданном замкнутом множестве в течение наибольшегопромежутка времени, может не существовать в классе обычных управлений, но можетсуществовать в классе обобщенных управлений.9Некоторые результаты настоящей работы применяются для исследования одной модификации популяционной модели Бевертона-Холта.В первом параграфе вводится в рассмотрение пространство обобщенных функцийTZ'j^ = 'П'^{1), элементами которого являются линейные непрерывные функционалы,заданные на пространстве разрывных основных функций TZm. • Пространство TZ^ состоит из функций if е Gm, имеющих компактный носитель supp (у?) С / , и наделенотопологией, относительно которой TZm локально-выпукло и содержит Dm в качествеподпространства (см. используемые обозначения в списке обозначений, с. 3).Теорема 1.1 Пусть f G V^. Тогда существует линейное непрерывное продолж.ениеf с Т>т па Tim.Производные высшего порядка определяются индуктивно. В частности, производные10дельта-функций имеют видгде О ^ I ^ т, т Е I, (р Е TZm • В настоящей работе доказывается теорема об общемвиде обобщенной функции, сосредоточенной в точке, так что оказывается, что в 7?.'„^ нетдругих продолжений дельта-функции и ее производных с V^ на TZj^, сосредоточенныхв точке, кроме определенных выше.Пусть п С I - подинтервал, to € п. Решением начальной задачи (0.10) на п называется функция X Е BVfo(,(J7) такая, что выполнено включение {t,x{t)) € D длявсех t Е О,, X удовлетворяет начальному условию в (0.10) и существует производнаяX Е 72."'(О) такая, что х я х обращают уравнение в (0.10) в равенство в пространстве 1Z"''{U). Напомним, что операции дифференцирования, композиции, умножения,возникающие при подстановке х в дифференциальное уравнение в (0.10), корректноопределены в пространстве обобщенных функций 7<!."', т.е. занись уравнения в (0.10)является корректной с точки зрения теории обобщенных функций.Теорема 2.1 Пусть х Е BVJJ,(,(O) - решение задачи (0.10). Тогда х удовлетворяетуравнениюnt А(0.11) x{t) = xo+ f{r,x{r))dr+ g{r)duc{r)+Jto Jto11где t EQ.. Обратно, если х G BVJJ,j.(Q) удовлетворяет уравнению (0.11), то % -решение задачи (0.10).Следствие 2.1 Если х G BVU,(,(fi) - решение задачи (0.10), т,о производная х е, возникающая в определении решения, имеет видтет{х)Доказывается теорема существования и единственности решения начальной задачи(0.10), а также теорема о непрерывной зависимости решения задачи (0.10) от иервообразной и.Третий параграф посвяш;ен построению пространства обобш;енных функций Т ' . Дляэтого вводится вспомогательное понятие динамической функции, т.е. отображенияЗначение динамической функции / в точке t обозначается через /(t)(-). На элементы алгебры динамических функций вМ переносятся понятия абсолютной величины,носителя, точных граней, односторонних нрередлов, точки непрерывности и точки разрыва. Вводятся алгебры динамических функций cflL, sG С dG,Определены непрерывные гомоморфизмы алгебрdL 1-^- L, dG н-> G, s l V к^ BV, dGbc ^ Gioc, sBViобраз динамической функции под действием гомоморфизма называется обычной частью динамической функции (см. список обозначений; нодробные определения см. втретьем параграфе настоявшей работы).Пространство динамических основных функций Т состоит из динамических функций (/? G dG, имеюш;их компактный носитель supp((/7) с / , наделенном топологией,относительно которой Т локально-выпукло та V, 71 - подпространства Т .Элементами пространства обобп];енных функций Т' являются линейные непрерывные функционалы, заданные на Т .Теорема 3.2 Пусть f Е 1Z'. Тогда суи^ествует, линейное непрерывное продолжениеf с TZ на Т. В пространстве Т' определена операция дифференцирования элементов sBVioc, такчто Б Т' справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения.Доказывается теорема существования и единственности решения начальной задачи(0.13), а также теорема о непрерывной зависимости решения задачи (0.13) от первообразной и.14в пятом параграфе приводятся достаточные условия положительной инвариантностизамкнутого множества М С D, заданного с помощью ограничений(0.17) М = {{t,y) : r]i{t,y) е D < О, l^i^m},где функции T]i : D i-^ Ш. {1 ^ i ^ т) предполагаются непрерывно дифференцируемыми, относительно заданной системы с обобщенными функциями вида системы в (0.13).Именно, множество М называется положитально инвариантным относительно системыв (0.13), если для любого решения х такого, что для некоторого to Е I x{to—) G Mtg,где Mt - сечение М, выполнено включение x{t){s) G Mt для всех f^ to, s Е J.Важным для определения свойства ноложительной инвариантности оказывается то,что интегральные кривые решений системы в (0.13) с обобщенными функциями из Т"'образуют связные подмножества / х Е" .Пусть С - некоторое множество индексов, {^с}сес - семейство ненрерывных функций / Э t ь-> dMt таких, что для произвольно заданных t Е I, у Е dMt найдется с Е Стакое, что ^c(i) = у.Пусть Q - некоторое множество индексов, {i^qjqeQ семейство функций ijq{t,y) ЕLy{t) {t Е I, у Е dMt) таких, что для произвольно заданных t Е I, у Е dMt имеетместо равенствои для каждого с Е С существует не более чем счетное семейство открытых интервалов {R}, на каждом из которых функция il)q{-,Cc{-)) постоянна, которое покрывает /всюду, за исключением, может быть, не более чем счетного множества точек.Теорема 5.3 Пусть {'i]i{t,y),'4yi]i{t,y)) Е М-"-"*"" линейно-независимы для каждогоt Е I, у Е dMt {i ^ Ly{t)). Если выполнены, неравенствав T'{R) для всех с Е С и q Е Q, где R С I - произвольный интервал постоянствафункции i^q{-,^ci')) = Ь ™С1 мноснсество М является полооюительно инвариантнымотносительно системы (0.18).Г' 1 5Следствие 5.2 Пусть Vyr]i{y) е М" {г Е. Ly = {г : г]г{у) = 0}) линейно-независимыдля каждого у € дМ С М" . Если выполнены неравенства(V,77i(t,у), /(t,у) + 5f(t У)^ ') < О (Г 6 L,)в Т для всех у 6 дм, то М является полоокительно инвариантным относительносистемы (0.18).В шестом параграфе приводится приложение теоремы 5.3 к исследованию равномерной и асимптотической устойчивости решений системы (0.18). Пусть / = (а, оо).Рассмотрим в нространстве Т " ' систему вида (0.18),(0.19) x = f{x)+g{x)v,где V е Т" ' . Решение системы (0.19), тождественно равное постоянной, назовем положением равновесия, и будем отождествлять решение с этой постоянной.В седьмом параграфе настоящей работы нриводится ностановка импульсной задачиудержания решения в замкнутом множестве М С К". Приводится нример, показывающий, что для некоторых управляемых систем управление, удерживающее решение вмножестве М в течение максимально долгого времени, может не существовать в классеобычных управлений, но существовать в классе обобщенных управлений.Доказывается теорема существования решения начальной задачи (0.23).Десятый параграф содержит обзор некоторых из существующих подходов к рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенными функциями. Результаты, полученные в диссертации, сравниваются с результатами других авторов.19Результаты диссертации докладывались на конференциях:1. 26-я конференция молодых ученых Механико-математического факультета МГУ,Москва, апрель 2004,2. Всероссийская молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения 2005", Казань, октябрь 2005,3. Международная научная конференция "Гармонический анализ на однородных пространствах, представления групп Ли и квантование", Тамбов, апрель 2005,4. Математическая теория управления и математическое моделирование, Ижевск, январь 2006,5. The Third Annual Young Researchers Conference in Mathematical and SatatisticalSciences, Canada, Edmonton, April 2006,6. Теория управления и математическое моделирование, Ижевск, июль 2006,а также на семинарах:1. Ижевский городской семинар по дифференциальным уравнениям и теории управления, УдГУ, май 2004, май 2005, октябрь 2006,2. Topology and Non-Commutative Geometry Seminar, University of Calgary, Canada,October 2004.Диссертация состоит из списка обозначений, введения, вспомогательных определений, десяти параграфов и библиографического списка. Применяется двойная нумерация формул и утверждений, где нервое число - номер параграфа.Пусть / = (а, 6) С М - открытый интервал, в общем случае неограниченный.Обозначим через F = F(/) множество всевозможных отобрал<ений I h-^R. Назовемэлементы F(J) обычными функциями. Множество F образует алгебру (под терминомалгебра здесь и далее будем понимать коммутативную алгебру с единицей над полем Шотносительно поточечных операций).Можем определить фактор-алгебруG = G/J.Элементы фактор-алгебры G будем отождествлять с функциями, которые не имеютзначений в точках разрыва, а обладают только односторонними нределами. Заметим,что переход от алгебры G к алгебре G нозволяет упростить пространство обобщенныхфункций (см. ниже).Обозначим черезмножество точек разрыва функции д Е G.Лемма 0.1 ([79]). Мноокество точек разрыва Т{д) [д G G) не более чем счетно.21в дальнейшем обозначение g{t) используется в двух случаях 1) t е I \ Т{д), иg{t) - общее значение односторонних пределов g{t+), g{t-) 2) в дифференциальномуравнении или нод знаком интеграла чтобы подчеркнуть независимую переменную илипеременную интегрирования.В алгебре G определена норма [84](0.30) ||^||G = supmax{|p(t+)|,|(/(t-)|}.teiЛемма 0.2. Алгебра G банахова.Обозначим алгебру функций ограниченной вариации через BV = ШЧ{1), и введемнорму(0.33) | |^IU = b(a+)| + var;(5').Лемма 0.3 ([79]). Алгебра ЖЧ банахова.Обозначим через BVbc (CBVioc) алгебру функций локально ограниченной вариации,т.е. функций д таких, что для каждого ограниченного интервала п, cl(fi) С / ,д\а € В¥(П){д\п £ СШ¥{п), соответственно). Аналогично определим Gbc, ^тЬс^ AQoc и BVjoc.Лемма 0.4 ([16]). Если Ц -^ / в G, ди -^ д в MY, щ-^ а в С, то[аи) / fk{t)dg,{t) -> (а) / f{t)dg{t).Ju JuДля д е BVi" р, а е С", / € GJJ,^ " определим значение а-интеграла с использованием равенства (0.37), где ("/)(t) определяется согласно (0.36).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кинзебулатов, Дамир Маратович, 2006 год

1. Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Элементы современной теории функцонально-дифференциальных уравнений, М.:Инст. комп. иссл., 2002, 384 с.

2. А.В. Анохин, О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР, 286, 1986, с.1037-1040

3. Я. Ацел, Ж. Домбр, Функциональные уравнения с несколькими переменными, Физматлит, 2003, 432 с.

4. В.Н. Баранов, Достаточные условия локальной выживаемости для систем с последействием // Дифференц. уравнения, 39, 2003, с. 858

5. В.Н. Баранов, Задачи выживания для систем с последействием // Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 28, 2003, с. 3-114

6. B.C. Владимиров, В.В. Жаринов, Уравнения математической физики. Физматлит, 2000, 400 с.

7. И. Гайшун, Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения, Минск: Наука и техника, 1983, 253 с.

8. В.И. Гурман, Принцип расширения в задачах управления, Наука, 1985, 288 с.

9. Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы: общая теория, УРСС, 2004, 895 с.

10. Б.П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, Наука, 1967, 472 с.

11. В.Я. Дерр, К определению понятия решения дифференциального уравнения с обобщенными функциями // Докл. АН СССР, 298, 1988, с. 269-272

12. В.Я. Дерр, О дифференциальных уравнениях с обобщенными функциями и С-интегральных уравнениях // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2000

13. В.Я. Дерр, К.И. Дизендорф, 0 дифференциальных уравнениях в С-обобщенных функциях // Изв. вузов. Матем., 40, 1996, с. 37-47

14. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Замечания о квазиравномерной сходимости // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2002, с. 96-102

15. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Обобщенные функции с разрывными основными функциями и линенйные дифференциальные уравнения // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2005, с. 35-58

16. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Альфа-интеграл типа Стилтьеса // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2006, с. 41-63

17. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Об умножении обобщенных функций // Тезисы конференции "Математическая теория управления и математическое моделирование", Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 36, 2006, с. 43-48

18. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями в пространстве Т' // Тезисы конференции "Теория управления и математическое моделирование", Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 37, 2006, с. 29-31

19. В.А. Дыхта, О.Н. Самсонюк, Оптимальное импульсное управление с приложениями, Физматлит, 2003, 255 с.

20. С.Т. Зав&лигцин, Специальные нелинейные уравнения в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения, 26,1990, с. 1316-1323

21. В.К. Иванов, Гиперраспределения и умножение распределений Шварца // Докл. АН СССР, 204, 1972, с. 1045-1049

22. К. Иосида, Функциональный анализ, Мир, 1967, 624 с.

23. JI.B. Канторович, Г.П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, 1975, 741 с.

24. Д.М. Кинзебулатов, К качественной теории импульсных систем // Вестн. Ижевского гос. техн. ун-та, 4, 2006 Л^-гг

25. Д.М. Кинзебулатов, Свойство выживаемости для систем с обобщенными функциями // Тезисы конференции "Теория управления и математическое моделирование", Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 37, 2006, с. 59-61

26. Д.М, Кинзебулатов, Задача минимизации величины скачка решения в априорно неизвестыне моменты времени // Тезисы 26-й конференции молодых ученых Механико-математического факультета МГУ, Москва, 2004, с. 61

27. А.И. Колмогоров и С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, 1981, 544 с.

28. Н.Н. Красовский, Теория управления движением: линейные системы, Наука, 1968, 475 с.

29. А.Ю. Левин, Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных уравнений // Вестн. Ярославского ун-та, 8,1974, с. 122-144

30. В.П. Максимов, A.H. Румянцев, Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование // Изв. вузов. Матем., 5,1993, с. 56-71

31. Б.М. Миллер, Метод разрывной замены времени в задачах управления импульсными и дискретно-непрерывными системами // Автоматика и телемеханика, 54, 1993, с. 3-32

32. Б.М. Миллер, Оптимизация динамических систем с обобщенными управлениями // Автоматика и телемеханика, 6, 1989, с. 23-24

33. Б.М. Миллер, Обобщенные решения в нелинейных задачах оптимизации с импульсными управлениями I. Проблема существования решения. // Автоматика и телемеханика, 4, 1995, с. 62-76

34. Б.М. Миллер, Обобщенные решения в нелинейных задачах оптимизации с импульсными управлениями II. Представление решений с помощью дифференциальных уравнений с мерой. // Автоматика и телемеханика, 5, 1995, с. 56-70

35. В.Д. Мильман, А.Д. Мышкис, Об устойчивости движения при наличии толчков // Сибирский матем. журнал, 1, 1960, с. 233-237

36. А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко, Системы с толчками в заданные моменты времени // Матем. сборник, 74, 1967, с. 202-208

37. Ю.В. Орлов, Виброкорректные дифференциальные уравнения с мерами // Матем. заметки, 38, 1985, с. 110-119

38. Ю.В. Орлов, Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями, Паука, 1988

39. В.И. Родионов Абстрактные дифференциальные уравнения в пространстве прерывистых функций // Изв. инст. матем. и информ. Ижевск, 25, 2002

40. В.И. Родионов Присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса в алгебре прерывистых функций // Изв. инст. матем. и информ. Ижевск, 31, 2005, с. 3-78

41. A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк, Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения, 13, 1977, с. 1981-1992

42. A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк, Об устойчивости решений системы с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения, 17, 1981, с. 1995-2001

43. А.Н. Сесекин, О нелинейных дифференциальных уравнениях в классах функций ограниченной вариации // Дифференц. уравнения, 25, 1989, с. 1925-1932

44. А.Н. Сесекин, Свойства множества достижимости динамической системы с импульсным управлением // Автоматика и телемеханика, 2, 1994, с. 52-59

45. А.Н. Сесекин, О связности множества разрывных решений нелинейной динамической системы с импульсным управлением // Изв. вузов. Матем., 11, 1996, с. 85-93

46. А.Н. Сесекин, О непрерывной зависимости от правых частей и устойчивости аппроксимируемых решений дифференциальных уравнений, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные // Дифференц. уравнения, 11,1986, с. 2009-2011

47. А.Н. Сесекин, О множествах разрывных решений нелинейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем., 6, 1994, с. 83-89

48. А.З. Фазылов, Достаточные условия оптимальности для задачи выживания // Прикл. Матем. Мех., 61, 1997, с. 535-537

49. А.Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, 1985, 224 с.

50. Г.М, Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегального исчисления. Лань, 1997, 800 с.

51. А.Г. Ченцов, К вопросу о компактификации пучка траекторий одной абстрактной управляемой системы // Изв. Вузов. Матем., 528, 2006, с. 55-65

52. Г.Е. Шилов, Математический анализ. Второй специальный курс, Изд-во МГУ, 1984, 208 с.

53. М. Ashorida, On systems of linear generalized ordinary differential and integral inequalities // Mem. Differential Equations Math. Phys., 10, 1997, p.122-124

54. M. Ashorida, On successive approximations for solving the Cauchy problem for a system of linear generalized ordinary differential equations // Mem. Differential Equations Math. Phys., 10, 1997, p.lll-112

55. M. Ashorida, On a method of the solution of the multipoint boundary value problem for a system of generalized ordinary differential equations // Mem. Differential Equations Math. Phys., 5, 1995, p.119-111

56. J. Aubin, Viability Theory, Birkhauser, 1991, 326 p.

57. J.-P. Aubin, Viability kernels and capture basins of sets under differential inclusions, SIAM J. Optim and Contr., 40, 2001, p. 853-881

58. J. Aubin, A survey on viability problem // SIAM J. Optim and Contr., 28, 1990, p. 749-788

59. J. Aubin, A. Cellina, Differential Inclusions: Set-Valued Maps and Viablity Theory, Springer-Verlag, 1984, 388 p.

60. J. Aubin, H. Doss, Characterization of stochastic viability of any nonsmooth set involving its generalized contingent curvature // Stoc. Anal. AppL, 21, 2003, p. 955-981

61. J. Aubin, G. DaPrato, Stochastic Nagumo's viability theorem // Stoc. Anal. AppL, 13, 1995, p. 1-11

62. F. Bagarello, Multiplication of distributions in one dimension: possible approaches and applications to delta-function and its derivatives // J. Math. Anal. AppL, 196, 1995, p. 885-901

63. F. Bagarello, Multiplication of distributions in one dimension and first application to quantum field theory, // J. Math. Anal. AppL, 266, 2002, p. 298-320

64. H. Balasin, Geodesies for impulsive gravitational waves and the multiplication of distributions, // Class. Quantum Grav., 14, 1997, p. 455-462

65. R.J.H. Beverton, S.J. Holt, The theory of fishing, in Sea Fisheries; Their Investigation in the United Kingdom // M. Graham, ed., Edward Arnold, London, p. 372-441

66. F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Springer-Verlag, 2001, 416 p.

67. E. Braverman, D. Kinzebulatov, On linear peturbrations of the Ricker model // Math. Biosci., 202, 2006, p. 223-239

68. E. Braverman, D. Kinzebulatov, Nicholson's blowflies equation with a distributed delay // Can. AppL Math. Q. (в печати).

69. J.-F. Colombeau, Elementary Introduction to New Generalized Functions", North-Holland Pbulishing Co, Amsterdam, 1985, 281 p.

70. J.F. Colombeau, Multiplication of distributions. A tool in mathematics, numerical engineering and physics. Lecture Notes in Mathematics 1532, Springer, 1992, 183 p.

71. J.-F. Colombeau, A. Meril, Generalized functions and multiplication of distributions on smooth manifolds // J. Math. Anal. AppL, 186, 1994, p. 357-364

72. J.F. Colombeau, A. Heibig, Nonconservative products in bounded variation functions // SIAM J. Math. Anal., 23 1992 p. 941-949

73. J.F. Colombeau, A. Heibig, M. Oberguggenberger, Le probleme de Cauchy dans un espace de fonctions generalisees. I. // C. R. Acad. Sci. Paris, 317,1993, p. 851-855

74. J.F. Colombeau, A. Heibig, M. Oberguggenberger, Le probleme de Cauchy dans un espace de fonctions generalisees. II. // C. R, Acad. Sci. Paris, 319,1994, p. 1179-1183

75. J.F, Colombeau, A.Y. Le Roux, A. Noussair, B. Perrot, Microscopic profiles of shock waves and ambiguities in multiplication of distributions // SIAM J. Num. Anal., 26, 1989 p. 871-883,

76. R. Courant, D. Hilbert, Methods of mathematical physics, New York, 1962, 560 p.

77. V.Ya. Derr, A generalization of Riemann-Stieltjes integral // Func.-DifE. Equ., 2002, p. 325-341

78. V. Derr, D. Kinzebulatov, Distributions with dynamic test functions and multiplication by discontinuous functions // Preprint, arXiv:math.CA/0603351, 2006

79. V. Derr, D. Kinzebulatov, On extension of Schwartz distributions to the space of discontinuous test functions // Preprint, arXiv:math.FA/06061126, 2006

80. J. Dieudonne, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960, 361 p.

81. R. Edie, On the optimal control of the Vidale-Wolde advertising model // Optim. Contr, Appl. Meth., 18,1997, p. 59-72

82. T.W. Gamelin, Uniform Algebras, Prentice Hall, 1969, 252 p.

83. G. Haddad, Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory // Israel J. Math., 31, 1981, p. 83-100

84. G. Haddad, Functional viability theorems for differential inclusions with memory // Ann. Inst. H.Poincare Anal. Non. Lm£aire, 1, 1984, p. 179-204

85. R. Hermann and M. Oberguggenberger, Ordinary differential equations and generalized functions // Nonlinear theory of generalized functions, Vienna, 1997, p. 85-98

86. D. Kinzebulatov, Systems with distributions and viability theorem // J. Math. Anal. Appl (в печати).

87. D. Kinzebulatov, On one-sided Dirac measures // Abstracts of the Third Annual Young Researchers Conference in Mathematical and Statistical Sciences, Edmonton, 2006, p. 4

88. I. Kmit, Multiplication of distributions and distributional solution for a hyperbolic problem arising in population dynamics, Preprint, arXiv:math.AP/0402002, 2004

89. V. Krivan, Perturbation of viability of problem // J. Math. Anal. Appl, 155, 2001, p. 131-139

90. P. Kurasov, Distributions theory with discontinuous test functions and differential operators with generalized coefficients //J. Math. Anal. Appl., 201, 1996, p. 297-323

91. P. Kurasov, J. Boman, Finite rank singular pertrubations and distributions with discontinuous test functions // Proc. Amer. Math. Soc., 126,1998, p. 1673-1683

92. J. Kurzweil, Generalized ordinary differential equations // Chezhosl. Math. Journal, 8,1958, p. 360-388

93. J. Kurzweil, Linear differential equations with distributions as coefficients // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math, 9,1959, p.557-560

94. B.M. Miller, The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control // SIAM J. Optim and Contr., 34, 1996, p. 1420-1440

95. M. Nagumo, Uber die Lage der Integralkurven gewohnliker Differentialgleichungen // Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 24 1942, p. 551-559

96. E. Ozcag, Defining the k'th powers of the Dirac-delta distribution for negative integers, // Appl. Math. Letters, 14, 2001, p. 419-423

97. S.G. Pandit, Systems described by differential equations containing impulses // Rev. roum. math, pures et appl., 26, 1981, c. 879-887

98. S.G. Pandit, S.G. Deo, Differential Equations Involving Impulses. Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1982, 102 p.

99. M. Motta, F. Rampazzo, Dynamic programming for nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls // SIAM J. Optim. and Contr., 34,1996, p. 199-225

100. M.R.M. Rao, V.S.H. Rao, Stability of impulsively perturbed systems // Bull. Australian Math. Soc., 1977, 16, p. 99-110.

101. R.W. Rishel, An extended Pontryagin principle for control systems whose control laws contain measures // SIAM J. Optim. and Contr., 3, 1965, p. 191-205

102. A.M. Samoilenko, N.A. Perestyuk, Impulsive differental equations, World Sicientific, 1995, 462 p.

103. C.O.R. Sarrico, The linear Cauchy problem for a class of differential equations with distributional coefficients // Portugalie Math., 52, 1995, p. 379-390

104. C.O.R. Sarrico, Some distributional products with relativistic invariance // Portugalie Math., 51,1994, p. 283-290

105. C.O.R. Sarrico, Distributional products and global solutions for nonconservative inviscid Burgers equation // J. Math. Anal. Appl., 281, 2003, p. 641-656

106. G.N. Silva, R.B. Vinter, Necessary optimality conditions for optimal impulsive control problem // SIAM J. Optim. and Contr., 35, 1997, p. 1829-1846

107. L. Schwartz, Theorie des distributions I, II, Paris, 1950

108. A.N. Sesekin, S.T. Zavalishin, Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications, Kluwer Acad. Publ, 1997, 256 p.

109. M. Tvrdy, Linear bounded functionals on the space of regular regulated functions // Tatra Mountains Mathematical Publications, 8,1996, p. 203-210

110. M. Pelant, M. Tvrdy, Linear distributional differential equations in the space of regulated functions // Mathematica Bohemica, 118, 1993, p. 379-400

111. M. Tvrdy, On the continuous dependece on a parameter of solutions of initial value problems for linear generalized differential equations // Func.-Diff. Equ., 1997, p. 483-498

112. M. Tvrdy, Regulated functions and the Perron-Stieltjes integral // Casopis Pest. Mat., 114, 1989, p. 187-209

113. R.B. Vinter, F.M.F.L. Pereira, A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories // SIAM J. Optim. and Contr., 26,1988, p. 205-229

114. J. Warga, Variational problems with unbounded controls // J. SIAM. Ser. A. Control, 3, 1965, p. 428-434