Нелинейный изгиб упругого стержня следящей и распределенной нагрузками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Скоробогатов, Алексей Дмитриевич

• Скоробогатов, Алексей Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скоробогатов, Алексей Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ИЗГИБУ ТОНКИХ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЮ ДВУХСЛОЙНЫХ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Устойчивость стержневых систем под действием сосредоточенной нагрузки.

1.2. Устойчивость стержней под действием следящей сосредоточенной нагрузки.

1.3. Устойчивость стержней под действием распределенной нагрузки.

1.4. Перемагничивание двухслойных магнитных систем.

Выводы.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЯ СЛЕДЯЩЕЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ.

2.1. Общее решение задачи об изгибе стержня сосредоточенной нагрузкой

2.2. Изгиб стержня сосредоточенной следящей нагрузкой под произвольным углом.

2.3. Изгиб стержня под действием поперечной сосредоточенной следящей нагрузки.

2.4. Изгиб стержня под действием растягивающей следящей нагрузки при малом угле слежения.

2.4. Изгиб стержня под действием сжимающей следящей нагрузки.

Выводы.

ГЛАВА 3. ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ ВРАЩАЮЩИМСЯ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ.

3.1. Вращающееся магнитное поле как аналогия следящей сосредоточенной нагрузки.

3.1. Перемагничивание двухслойной магнитной системы вращающимся магнитным полем.

Выводы.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЯ НОРМАЛЬНОЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ.

4.1. Вывод уравнения равновесия упругого стержня, нагруженного нормальной распределенной нагрузкой.

4.2. Общее решение уравнения равновесия для случая нормальной распределенной нагрузки.

4.2. Изгиб под действием нормальной распределенной нагрузки стержня, закрепленного на одном конце и свободного на другом.

4.3. Изгиб шарнирно опертого стержня под действием нормальной распределенной нагрузки.

4.4. Изгиб под действием нормальной распределенной нагрузки стержня со скользящим защемлением концов.

Выводы.

ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ПРОГРАММНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНОГО ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ. СЛУЧАЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ

И СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СЛЕДЯЩЕЙ НАГРУЗКИ.

5.1. Один конец стержня защемлен. Произвольное приложение сосредоточенной следящей нагрузки.

5.2. Один конец стержня защемлен. Поперечное приложение сосредоточенной следящей нагрузки.

5.3. Один конец стержня защемлен. Продольное приложение сосредоточенной следящей нагрузки.

5.4. Программа расчета изгиба тонкого упругого стержня под действием нормальной распределенной нагрузки.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейный изгиб упругого стержня следящей и распределенной нагрузками»

Во многих областях современной промышленности: авиационной, ракетной, кораблестроительной и других, - большое внимание уделяется вопросам устойчивости и колебаний стержневых конструкций, оболочек, мембран и пр. Особо остро такие вопросы встали перед областями промышленности, производящими устройства микромеханики и занимающимися нанотехнологиями, так как миниатюризация устройств приводит к тому, что каждое из них можно рассматривать в виде тонкого стержня, либо тонкостенной оболочки. А условия эксплуатации можно назвать экстремальными. В таких условиях часто поведение конструкций является закритическим, не описывающимся линеаризованными уравнениями сопротивления материалов. Поэтому изучение ударных, или динамических нагрузок всегда является объектом пристального внимания исследователей, особенно после появления основополагающей работы М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1].

Такие задачи о поведении стержневых конструкций очень важны как в теоретическом, так и практическом отношении, однако точные решения их получить не всегда удается. Поэтому для решения подобных задач очень часто привлекаются численные методы, и только небольшое количество задач удалось решить точно аналитически.

В последние годы в научно-исследовательской группе под научным руководством д.ф.-м.н., проф. Ю.В. Захарова были разработаны методы исследования устойчивости и изгиба упругих систем при условии конечности перемещений. Разработанные методы позволяют анализировать поведение упругих стержневых конструкций при перемещениях, которые уже не являются малыми, но не настолько велики, чтобы для анализа таких систем надо было использовать нелинейный вариант закона Гука. Также в работах [2, 3] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя как аналогия исследованной М.А. Лаврентьевым и А.Ю. Ишлинским [1] динамической потери устойчивости упругой системы.

Найденная аналогия может быть использована для проверки опытным путем получаемых аналитических результатов, так как магнитная система является удобной экспериментальной системой.

Использование разработанных методов для упругих систем позволило получить точные аналитические решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня-консоли под действием сосредоточенной нагрузки на свободном конце [5-6].

Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу задач об изгибе стержня следящей сосредоточенной и распределенной нагрузок.

В то же время интерес представляет не только само явление потери устойчивости стержней и стержневых систем, но и их закритическое поведение после потери устойчивости. Все попытки решать столь сложные проблемы устойчивости механики сплошных сред приводят к необходимости получения нелинейных уравнений равновесия и разработке их методов решения.

Основным вопросом расчета стержневых конструкций является задача об изгибе стержня. Основным способом решения таких задач является получение приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, решения которых получаются в виде полиномов. Для некоторых случаев есть точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [7-10], или в эллиптических интегралах [12-13]. В последнем случае решения определяются тремя параметрами, связанными с условиями на двух концах и действующей силой и находящихся из вспомогательных таблиц и номограмм. Такие решения очень громоздки и сложны для использования инженерами-практиками. В то же время есть прогресс в получении точных аналитических решений, выраженных в эллиптических функциях с одним параметром — модулем к, определяемым действующей силой. В настоящее время есть достаточно эффективные, быстрые алгоритмы для вычисления эллиптических функций и интегралов на основе современных математических пакетов, таких как Maple, что позволяет создать эффективные программные продукты для визуализации точных решений для изгиба тонких стержней. В наши дни, когда размеры устойств достигают нанообластей, это имеет ясно выраженное прикладное инженерное значение при расчете устройств точной механики в условиях ограниченных габаритов, поскольку точные аналитические решения в ряде случаев значительно отличаются от приближенных. Поэтому сравнение точных решений с приближенными может позволить найти те области параметров, где целесообразно использовать точное или возможно использовать приближенное решение. Это может позволить выбрать оптимальные характеристики создаваемых устройств микромеханики.

С развитием математического аппарата, в частности, с появлением новых способов разложения специальных функций в ряды, стали появляться приближенные решения задач механики деформируемого твердого тела на основе точных аналитических решений [например, 14].

При всей ясности и проработанности задач об изгибе стержней для случаев малых прогибов, уравнения их равновесия существенно усложняются уже для конечных прогибов стержня. В последнее время, в связи со стремительным развитием ЭВМ, для решения подобных задач механики деформируемого твердого тела привлекаются численные методы, такие как: метод стрельбы, метод Галеркина и т.д.

В связи со всем вышесказанным сформулируем цели и задачи этой работы:

- получение в компактном виде точных аналитических решений задачи об изгибе тонкого упругого стержня сосредоточенной следящей нагрузкой при условии конечности прогибов и исследование устойчивости таких стержней;

- проведение аналогии между перемагничиванием ферромагнитного слоя на антиферромагнитной подложке под действием вращающегося магнитного поля и изгибом тонкого упругого стержня под действием сосредоточенной следящей нагрузки;

- получение в компактном виде точных аналитических решений задачи об изгибе тонкого упругого стержня под действием нормальной распределенной нагрузки при различных условиях закрепления концов и исследование устойчивости таких стержней;

- разработка программы для визуализации изгибов тонкого упругого стержня при различных значениях следящей сосредоточенной нагрузки.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Скоробогатов, Алексей Дмитриевич

Выводы

Созданная в пакете Maple программа позволяет визуализировать формы изгиба стержня в зависимости от внешней приложенной нагрузки - ее модуля и угла слежения.

На данную программу получено свидетельство о регистрации в едином реестре программ [73].

Заключение

1. Получены точные аналитические выражения в компактном виде для форм изгиба упругого стержня следящей нагрузкой, которые записаны в едином параметрическом виде и зависят от одного параметра - угла наклона внешней силы, определяемого величиной нагрузки, углом слежения и модой решения.

2. Показана возможность беспорогового перехода между модами решения с различным числом точек перегиба под действием плавно увеличивающейся нагрузки.

3. При нагружении поперечной сосредоточенной следящей силой при некоторых значениях нагрузки стержень может парадоксальным образом изгибаться навстречу приложенной нагрузке.

4. Получены точные аналитические выражения в виде дробно-линейной комбинации эллиптических функций Вейерштрасса для форм изгиба упругого стержня при нагружении нормальной распределенной нагрузкой в -геометрически нелинейном случае; эти выражения зависят от одного параметра, определяемого внешней приложенной нагрузкой.

5. На основе разработанных алгоритмов решения нелинейных задач создана программа для визуализации форм изгиба тонкого упругого стержня под действием сосредоточенной следящей силы.

6. Рассмотрено перемагничивание двухслойной магнитной системы вращающимся магнитным полем, показано, что процесс перемагничивания аналогичен изгибу стержня следящей силой.

Автор искренне благодарен Охоткину К.Г. и Власову А.Ю. за пристальное внимание к работе и детальное обсуждение результатов, ШкутинуЛ.И., Баранову A.M., Манькову Ю.И. за полезные обсуждения и интерес к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Скоробогатов, Алексей Дмитриевич, 2009 год

1. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 779 782.

2. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании // ДАН. 1995. Т. 344. № 3. С. 328-332.

3. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании. Пороговые поля и частоты магнитного резонанса // Препринт №758Ф. Красноярск: Ин-т физики СО РАН, Ин-т биофизики СО РАН. 1995. С. 40.

4. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней //ПМТФ. 2002. Т.43, № 5. С. 124-131.

5. Захаров Ю.В., Захаренко А.А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли // Вычисл. технол. 1999. Т. 4. № 1. С. 48 54.

6. Захаров Ю.В., Захаренко А.А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли и оценка риска катастроф / Препринт №780Ф. Красноярск: Ин-т физики СО РАН. - 1997. - 8 с.

7. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. М.: ГТТИ, 1934. - 600 с.

8. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 576 с.

9. Ляв. А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. - 248 с.

11. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. - 568 с.

12. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986. -296 с.

13. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л. -М.: ОГИЗ, 1948.-170 с.

14. Астапов Н. С. Приближенные формулы для прогибов сжатых гибких стержней // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 4. С. 200 203.

15. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова думка, 1975. - 704 с.

16. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.-744 с.

17. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989.

18. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. — Л.: Из-во ЛГУ, 1988. 254 с.

19. Foppl A. Forlesungen tiber technische Mechanik. Bd 5. Die wichtigsten Lehren der hoheren Eiastizitatstheorie. Leipzig: B.G. Teubner, 1907. 391 s.

20. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau. Enzyklopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd IV. Mechanik, Teilband 4, Hft 3, Art 27,. Punkt 8. Ebene Platten. Leipzig: B.G. Teubner, 1910. S. 311 385.

21. Heinzerling H. Mathematische Behandlung einiger grundlegender Fragen des. Knicksproblems des geraden Stabes Diss. — 1938. - Karlsruhe: Borna -Leipzig, 1939-P. 64. (KorreferentDr. phil. h. L. Collatz).

22. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). -М.: Физматгиз, 1968. 504 с.

23. Левяков С.В. Формы равновесия и вторичная потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного продольной силой // ПМТФ. 2001. Т. 42, №2. С. 153-159.

24. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Эластика Эйлерова стержня с защемленными концами // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 3. С. 184 186.

25. Кузнецов В.В., Левяков С.В. О вторичной потере устойчивости Эйлерова стержня // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 6. С. 184 185.

26. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Многозначные решения пространственных задач нелинейного деформирования тонких криволинейных стержней // ПМТФ. 1998. Т. 39, № 2. С. 141 149.

27. Halphen G.-H. Sur une courbe elastique // Journal de l'ecole polytechnique. Paris, 1884. V. 54. p 183.

28. Halphen G.-H. Traite des fonctions elliptiques. Paris, 1888.

29. Elishakoff, I. Controversy Associated With the So-Called "Follower Forces": Critical Overview / I. Elishkoff // Applied Mechanics Review. 2005. March, Vol.58.-P. 117-142.

30. Шкутин, Л.И. Численный анализ развлетвленных форм изгиба арок ПМТФ. 2001. Т. 42, № 4. С. 155-160.

31. Шкутин, Л.И. Численный анализ развлетвленных форм изгиба стержней ПМТФ. 2001. Т. 42, № 2. С. 141-147.

32. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука, 1979. 384 с.

33. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. -984 с.

34. Детинко, М.Ф. Следящая нагрузка и устойчивость плоской формы изгиба стержня / М.Ф. Детинко // Механика твердого тела. 2002. №5. - С. 137144.

35. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Магнитные колебания в пленке аналогия с механическими колебаниями стержня // Тезисы Байкальской междунар. научно-практ. конф. «Магнитные материалы». - Иркутск: ИркГПУ, 2001. С. 77.

36. Горнаков B.C., Кабанов Ю.П., Никитенко В.И. и др. Хиральность формирующейся спиновой пружины и особенности перемагничивания двухслойной ферромагнитной системы // ЖЭТФ. 2004. Т. 126. Вып. 3(9). С. 691 -703.

37. Захаров Ю.В., Игнатченко В.А. Частоты магнитного резонанса в пленках на антиферромагнитной подложке // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. № 3. С. 951 956

38. Zakharov Yu., Ignatchenko V.A. Magnetic resonanse in films on antiferromagnetic substrate // Czech. J. Phys. 1971. V. B21. № 4-5. P. 482 -485.

39. Хрусталев Б.П., Мельник A.C. Низкочастотная область спин-волнового резонанса в тонких металлических слоях с обменной анизотропией // ФММ. 1973. Т 36. № 2. С. 435 436.

40. Саланский Н.М., Ерухимов М.Ш. Физические свойства и применение магнитных пленок. Новосибирск: Наука, Сибирское отд., 1975. - 222 с.

41. Salansky N.M., Khrustalev В.P. Peculiarities of the resonance absorption in the magnetic films magnetized to non-saturated state // Czech. J. Phys. 1971. V B21. № 4—5. P. 419 428.

42. Aharoni A., Frei E.H., Shtrikman S. Theoretical approach to the asymmetrical magnetization curve // J. Appl. Phys. 1959. - V. 30. №12. - P. 1956 - 1961.

43. Goto E., Hayashi N., Miyashita Т., Nakagawa K. Magnetization and switching characteristics of composite thin magnetic films // J. Appl. Phys. 1965. V. 36, №9. P. 2951 -2958.

44. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Физматгиз, 1977. - 408 с.

45. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

46. Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган, М.: Наука,

47. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1968.

48. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Физматгиз, 1967.

49. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций. — М. —Л.: ОНТИ, 1936.

50. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений.-М.: Физматгиз, 1962.

51. Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определённые интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. М.:

52. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Изгиб стержней под действием следящей нагрузки // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 5. С. 167-175.

53. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Исакова В.В., Скоробогатов А.Д. Задачи нелинейного изгиба стержневых конструкций. // Вестник СибГАУ, — Красноярск: СибГАУ, Вып. 6, 2005, С. 46-51. (раздел 2)

54. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Нелинейный изгиб тонкого гибкого стержня следящей силой // Сборник тезисов четырнадцатой зимней школы по механике сплошных сред. — Пермь: Институт механики сплошных сред УрО РАН, 2005. С. 125.

55. Скоробогатов А.Д. Нелинейный изгиб стержней следящей силой — аналогия с перемагничиванием тонкой пленки вращающимся магнитным полем // Тезисы докладов НКСФ-2005 «Физика и Эйнштейн», КГУ, 2005. С. 110.

56. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Ферромагнитный слой во вращающемся магнитном поле — аналогия изгиба тонкого гибкого стержня следящей силой // Материалы IX Междунар. научной конф. Решетневские чтения, Красноярск: СибГАУ, 2005, С. 129.

57. Zakharov Yu.V., Okhotkin K.G., Skorobogatov A.D., Isakova V.V. Magnetization reversal of the multilayer magnetic film. // Тезисы докладов Евро-Азиатского симпозиума «Magnetism on a Nanoscale» (EASTMAG-2007). Казань: КГУ, 2007. P. 184.

58. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Нелинейный изгиб консоли распределенной нагрузкой // Вестник СибГАУ, Красноярск: СибГАУ, Вып. 4(11), 2006, С. 21-24.

59. Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Нелинейные формы изгиба упругой консоли при действии нормальной распределенной нагрузки // Аннотации докладов IX Всеросс. съезда по теоретической и прикладной механике. Т.1.-Н. Новгород: ННГУ, 2006. С. 93.

60. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Скоробогатов А.Д. Изгиб упругой консоли под действием нормальной распределенной нагрузки // Сборник статей 15 Зимней школы по механике сплошных сред. Ч. 2. Пермь: ИМСС УрО РАН, 2007. С. 60-61.