Устойчивость консольно защемленной неоднородной пластинки в сверхзвуковом потоке газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Исаулова, Татьяна Николаевна

• Исаулова, Татьяна Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Исаулова, Татьяна Николаевна

Введение.

1. Обзор теоретических исследований устойчивости пластинок в сверхзвуковом потоке газа.

1.1. Вводные замечания.

1.2. Моделирование течения газа.

1.3. Моделирование движения пластинки.

1.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость консольно защемленной неоднородной пластинки в сверхзвуковом потоке газа»

Актуальность темы диссертации

При проектировании самолетов и ракет задачи аэродинамики решаются обычно в предположении, что поверхность, обтекаемая воздушным потоком, является поверхностью абсолютно твердого тела. Это предположение, однако, не всегда приемлемо. Такие части конструкции, как элементы обшивки, крылья и т.п., обладают подчас сравнительно малой жесткостью и могут, при определенных условиях, заметно деформироваться под воздействием потока. Опыт показывает, что при скорости обтекания, меньшей некоторой критической величины, деформации обтекаемой поверхности пренебрежимо малы и практически не влияют на аэродинамические и прочностные характеристики летательного аппарата. При достижении критической скорости взаимодействие деформируемой обтекаемой поверхности с потоком приводит или к резкому возрастанию деформации обтекаемой поверхности в квазистатическом режиме, или к возникновению колебаний с нарастающей амплитудой. Оба эти явления представляют собой потерю устойчивости. То, что происходит в первом случае, называется дивергенцией, во втором - флаттером [1]. И дивергенция, и флаттер встречались в практике авиа- и ракетостроения. Их последствия -разрушение или резкое снижение управляемости — послужили причинами ряда катастроф. Поэтому, начиная с конца 20-х годов прошлого столетия, ведется интенсивное теоретическое изучение дивергенции и флаттера [1]. Эти явления стали предметом исследования аэроупругости — раздела механики сплошной среды, возникшей на стыке механики жидкости и газа и механики деформируемого твердого тела.

Задача определения критической скорости, при которой наступает дивергенция или флаттер, формулируется как задача о потере устойчивости процесса обтекания газа (по умолчанию — воздуха) поверхности тела [2].

Тело предполагается упруго деформируемым, причем, его деформация способна влиять на характеристики потока. Исходное обтекание (при отсутствии деформаций обтекаемого тела) считается стационарным.

Для решения задачи об устойчивости процесса обтекания обычно используются два подхода. Суть первого из них заключается в разыскании условий стационарного обтекания, при котором деформации обтекаемого тела отличны от нуля; характеристики потока при этом также будут отличаться от исходных. Потеря устойчивости в данном случае — дивергенция, то есть переход от одного стационарного режима обтекания к другому, также стационарному. Режим дивергенции характерен, в основном, для крыльев большого удлинения при сравнительно малых скоростях набегающего потока.

Такая постановка задачи, называемая статической, потому что поверхность, обтекаемая стационарным потоком, неподвижна, позволяет найти критическую скорость дивергенции, но она непригодна для нахождения критической скорости флаттера. Здесь приходится рассматривать более сложную, динамическую постановку задачи об устойчивости. При этом предполагается, что обтекаемое тело колеблется совместно с обтекающим потоком. При достижении критической скорости амплитуда колебаний начинает возрастать. Динамический подход позволяет определить не только критическую скорость флаттера, но и критическую скорость дивергенции. В силу его универсальности и того, что потеря устойчивости происходит, как правило, в режиме флаттера, в большинстве исследований, в том числе и в настоящем, используется динамический подход.

Задачу об устойчивости можно рассматривать как в линейной, так и в нелинейной постановке. При динамическом подходе в линейной постановке исследуется динамическая реакция системы на бесконечно малое возмущение — колебания с бесконечно малой амплитудой. Если при этом амплитуда колебаний будет со временем возрастать (в линейной постановке

- до бесконечности), то имеет место неустойчивый режим колебаний. Критическая скорость набегающего потока определяется как скорость, при достижении которой появляется возможность неустойчивого режима.

При анализе устойчивости крыло часто рассматривается как стержень, совершающий изгибные и крутильные колебания [1]. Такая расчетная схема уместна при анализе крыла большого удлинения. Однако для расчета крыльев малого удлинения естественно рассматривать крыло как консольно защемленную пластинку [1]. При этом задача резко усложняется. Ее решение было предметом ряда исследований, в том числе и настоящей диссертации.

Расчетная схема, в которой обтекаемое тело рассматривается как пластинка, нашла применение при анализе устойчивости обтекания элементов обшивки

- в так называемых задачах о панельном флаттере. Ряд таких задач имеет аналитическое решение, решения других достаточно легко находятся методом Галеркина [2, 3]. Представляется очевидным, что можно найти аналогичные решения и для консольно защемленной пластинки. Однако это не так. Дело в том, что на незащемленной части контура пластинки, моделирующей крыло, обязательно задаются граничные условия свободного края - отсутствие моментов и перерезывающих сил. Эти условия весьма сложны, поэтому аналитическое решение задачи (для получения аналитического решения используется метод разделения переменных) найти не удается. Чтобы получить решение методом Галеркина, необходимо построить систему координатных функций, которые удовлетворяют всем граничным условиям, в том числе и на свободной части контура [4]. Отметим, что эта система должна быть полной [5]. Примеры построения такой системы (у контура пластинки, схематизирующей крыло, три свободных участка) неизвестны.

Возможность получения решения видится в использовании метода Ритца или его разновидности - метода конечных элементов1. Ограничения на координатные функции в методе Ритца менее жесткие, чем в методе Галеркина: достаточно, чтобы они удовлетворяли лишь существенным (кинематическим) граничным условиям [4]. Применительно к консольно защемленной пластинке это означает, что координатные функции должны удовлетворять лишь условиям защемления. Полную систему таких координатных функций легко построить, поэтому, казалось бы, что применение метода Ритца к решению задачи о флаттере пластинки вполне законно. Но корректность применения метода Ритца доказана только для задач, которые можно сформулировать как задачи о минимуме некоторого функционала [4]. Дифференциальный оператор задачи о флаттере несимметричен, поэтому эта задача не может быть поставлена как задача о минимуме функционала [4]. Таким образом, получается, что метод Галеркина непригоден из-за невозможности подобрать координатные функции, удовлетворяющие всем граничным условиям, а метод Ритца неприменим из-за несимметричности дифференциального оператора задачи о флаттере.

Противоречия удается устранить благодаря предложенному в работе [4] видоизменению метода Галеркина для естественных (динамических) граничных условий. В видоизмененном методе координатные функции должны удовлетворять, как и в методе Ритца, только существенным граничным условиям, а постановка задачи после интегрирования по частям совпадает с ее вариационной постановкой, к которой можно прийти, используя принцип Гамильтона или принцип возможных перемещений.

1 Отличие метода конечных элементов от классического метода Ритца заключается в выборе координатных функций: в методе конечных элементов используются функции с ограниченным носителем [6].

Таким образом, видоизмененный метод Галеркина формально не отличается от метода Ритца.

Этим методом рядом исследователей решены различные задачи об устойчивости консольно защемленных пластинок в потоке газа. Но, как это обычно бывает для сложных численных методов, видоизмененный метод Галеркина может использоваться в различных формах. Различия в данном случае обусловлены выбором координатных функций. Среди предшествующих исследований можно встретить и неполную систему координатных функций, и несогласованные конечные элементы, что ставит под сомнение достоверность полученных результатов. Но даже корректно проведенные исследования дают возможность рассчитывать критическую скорость лишь для пластинок постоянной толщины, защемленных по всей стороне. Теоретических исследований устойчивости неоднородных пластинок, защемленных не по всей стороне, до настоящего времени не проводилось. Однако крылья и стабилизаторы, чьей моделью является в данном случае пластинка, как правило, неоднородны. Кроме того, встречаются конструкции, в которых крыло или стабилизатор прикреплены к фюзеляжу не по всей длине корневой хорды. Проблему их устойчивости приходится решать исключительно экспериментально. Поэтому разработка теоретического метода исследования устойчивости таких пластинок, чему посвящена настоящая диссертация, представляется актуальной задачей. Актуальность темы диссертации также и в том, что изучение влияния неполного защемления и неоднородности пластинки на ее устойчивость в потоке газа представляет несомненный научный интерес, так как вносит вклад в понимание закономерностей исследуемого процесса.

Диссертационная работа выполнялась при финансовой поддержке программы Минобразования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», грант №2010101032.

Цель работы

Целью настоящего исследования является разработка математически корректного метода численного решения задачи об устойчивости неоднородной консольно защемленной пластинки в сверхзвуковом потоке газа и решение этим методом новых задач.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод численного решения задачи об устойчивости неоднородной консольно защемленной пластинки в сверхзвуковом потоке газа.

2. Решения новых задач об устойчивости пластинок в сверхзвуковом газовом потоке.

Научная новизна работы

1. Разработан новый конечноэлементныш метод решения; задачи? об . , устойчивости неоднородной консольно, защемленной пластинки в сверхзвуковом потоке газа. 2. Исследовано влияние; параметров; подобия задачи на критическую скорость потока;

3. Проведено сопоставление результатов расчетов с экспериментальными .данными. ; ■ .

4. Получены решения новых задач - задач; об устойчивости пластинок , переменной толщины и защемленных не всей стороне. .

Практическая ценность исследования

Разработанный метод позволяет вычислить скорость потока^ при достижении которой происходит потеря устойчивости процесса, обтекания — возникает флаттер или дивергенция. Он может быть использован в инженерной практике и как метод поверочного расчета крыльев и стабилизаторов летательных аппаратов на устойчивость, и как метод, позволяющий определить диапазон безопасных режимов полета.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с решениями других исследователей и экспериментальными данными.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на Международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2004, 2005, 2008 гг.), семинаре по МДТТ им. JI.A. Толоконникова (руководитель - проф. A.A. Маркин), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в пяти публикациях [7-11], в том числе в статье [11] из журнала, входящего в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов и заключения. Объем работы - 124 страницы, включая 27 рисунков и 14 таблиц. Списки литературы содержат 118 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Исаулова, Татьяна Николаевна

1.4. Выводы

1. Среди математических моделей движения газа в задачах аэроупругости невозможно выделить ту, которая не была бы основана на тех или иных специальных упрощающих предположениях. Использование поршневой теории Ильюшина-Лайтхилла, как наиболее простой и апробированной, вполне допустимо.

2. Специфика расчетной схемы консольно защемленной пластинки предполагает применение исключительно численных методов исследования. Известны работы, в которых задача решалась методом

Ритца и методом конечных элементов. Правомерность применения этих методов имеет теоретическое подтверждение.

3. Большинство исследований устойчивости пластинки при сверхзвуковом обтекании посвящено проблеме панельного флаттера -флаттера элементов обшивки летательных аппаратов. В немногочисленных работах, в которых изучалась устойчивость консольно защемленных пластинок, пластинки переменной толщины и пластинки, защемленной не по всей длине корневой хорды, не рассматривались. В некоторых работах имеются не вполне математически обоснованные выводы, что снижает достоверность полученных в них результатов.

Таким образом, данная диссертация посвящена решению новых, ранее не исследовавшихся, задач. Для их решения потребовалась разработка также нового, более общего и математически корректного численного метода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Исаулова, Татьяна Николаевна, 2009 год

1. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 384 с.

2. Волъмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

3. Волъмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 320 с.

4. Волъмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976. 416 с.

5. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла. Методы и алгоритмы проектирования несущих поверхностей. М.: Машиностроение, 1987. 136 с.

6. Красилъщикова Е.А. Тонкое крыло в сжимаемом потоке. М.: Наука, 1978.223 с.

7. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке. М.: Наука, 1971. 767 с.

8. Ильюшин A.A. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. Т. 20, вып. 6. С. 733-755.

9. Lighthill M.J. Oscillating airfield at high Mach number // J. Aeronaut. Sei. 1953. Vol. 20, N 6. P. 402-406. Пер.: Лайтхил M. Колебание профилей при больших числах М // Механика: Сб. иностр. пер., 1954. № 5. С. 134140.

10. Бисплингофф Р.Л., ЭшлиХ., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость. М.: Иниздат, 1958. 799 с.

11. GarrickI.E., Rubinov S.I. Flutter and oscillating air-force calculations for an air-foil in two-dimensional supersonic flow // NACA. Rep 846. 1946.

12. Stewartson K. On the linearised potential theory of unsteady supersonic motion // Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1950. V. 3. Part 2. P. 182-199.1 б.Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 247 с.

13. Kariappa, Somashekar B.R., Shah C.G. Discrete element approach to flutter of skew panes with in-plane forces under yawed supersonic flow // AIAA Journal. 1970. V. 8. № 11. P. 2017-2022.

14. Olson M.D. Finite elements applied to panel flutter // AIAA Journal. 1967.

15. Rosettos J.N., Tong P. Finite-element analysis of vibration and flutter of cantilever anisotropic plates // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1974. Dec. P. 1075-1080.

16. Nelson H.C., Cunningham H.J. Theoretical investigation of flutter two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow // NACA. Rep. 1956. N. 1280. P. 251-264.

17. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // ДАН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.2 6.Yang T.Y. Flutter of flat finite element panels in supersonic potential flow //

18. AIAA J. 1975. V. 13. № 11. P. 1502-1507. 21.Новичков Ю.Н. О применении трёхмерной аэродинамической теории к задачам выпучивания и флаттера панелей // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 3. С. 138-141.

19. Майлс Дж.У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М.: Физматгиз, 1963. 272 с.

20. Cunningham H.J. Flutter analysis of flat rectangular panels based on three-dimensional supersonic unsteady potential flow // NASA. TR R-256. 1967.

21. Dowell E.H., Voss H.M. Theoretical and experimental panel flutter studies in Mach-number range 1.0 to 5.0 // AIAA J. 1965. V. 3. P. 2292-2304.

22. ЪХ.Белоцерковский C.M., Кочетков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980. 384 с.

23. ЪЪ.Ильюшин A.A., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки //ПММ. 1994. Т.58. Вып. 3. С. 167-171.

24. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1994. №4. С. 40-44.

25. Минасян Д.М., Минасян М.М. Новое приближение в задаче о флаттере пластинки в сверхзвуковом потоке газа // Докл. НАН Армении. 2001. №1. С. 49-54.

26. A Modern Course in Aeroelasticity / E. H. Dowell (ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. 776 p.

27. Основы газовой динамики / Под ред. Г. Эмманс. М.:Иниздат, 1963. 702с.

28. Ashley Н., Zartarian G. Piston theory a new aerodynamic tool for the aeroelastician // J. Aeronaut. Sci. 1956. Vol. 23, N 12. P. 1109-1118.

29. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635с.

30. ЪЪ.Огибалов П.М. Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.

31. Yates С., Bennett R.M. Use of aerodynamic parameters from nonlinear theory in modified-strip-analysis flutter calculations for finite-span wings at supersonic speeds //NASA. TN D-1824. 1963.

32. Yates С. Subsonic and Supersonic Flutter Analysis of a Highly Tapered Swept-Wing Platform, Including Effects of Density Variation and Finite Wing Thickness, and Comparison with Experiments // NASA. TN D-4230. 1967.

33. Yates E. Modified strip analysis method for predicting wing flutter at subsonic to hypersonic speeds //NASA. LAR-10199. 1994.

34. Ветров В.В., Денеэюкин Д.Г., Редъко А.А. Устойчивость пластин в потоке газа//Изв. ТулГУ. Сер. физ. 1999. № 2. С. 154-157.

35. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // ПММ. 1956. Т. 20, вып. 2. С. 231-243.

36. Bolotin V.V., Grishko А.А., Kounadis A.N., Gantes C.H., Roberts J.В. Influence of Initial Conditions on the Postcritical Behavior of a Nonlinear Aeroelastic System//Nonlinear Dynamics. 1998. V. 15. N. 1. p. 63-81.

37. Молодожникова P.H. Устойчивость профиля переменной толщины в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 5. С. 176-180.

38. Мовчан А.А. Некоторые вопросы колебаний пластинки, движущейся в газе // Тр. Ин-та механики АН СССР. 1955. Вып. 1. С. 2-35.

39. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 231-243.

40. Hedgepeth J.M. Flutter of rectangular simply supported panels at high supersonic speeds // J. Aeronaut. Sci. 1957. № 8. P. 563-573, 586.

41. Eisley J.G. The flutter of simply supported rectangular plates in a supersonic flow // GALCIT. Rep. № OSR-TN-55-236. 1955. July.

42. Luke Y.L., St. John A.D., Gross B. Panel flutter at supersonic speeds // Midwest Research Inst, reports to WADC. Third Quately Progress Report. 1956. March.

43. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541с.

44. Zienkiewicz О.С., Taylor R.L. The finite element method. Oxford: Buttenworth, Heinemann, 2000.

45. А. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины // ПМТФ. 2003. Т. 44, № 4. С. 35-42.

46. Кадыров А.К., Кийко И.А. Флаттер упругой полосы переменной толщины // Изв. ТулГУ. Сер. мат., мех., информ. 2005. Т. 11. Вып. 2.

47. Кадыров А.К. Флаттер пластины переменной жесткости // Вестник ТулГУ. Сер. мат., мех., информ. 2007. Т. 13. Вып. 2. С. 76-81.

48. Сейранян А.П. Оптимизация устойчивости пластинки в сверхзвуковом потоке газа // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 5. С. 141-147.1..Pierson B.L. Discrete variable approximation to minimum weight panels with fixed flutter speed // AIAA J. 1972. V. 10. № 9.

49. Pierson B.L. Aeroelastic panel optimization with aerodynamic damping // AIAA J. 1975. V. 13. №4.

50. ЦАГИ основные этапы научной деятельности, 1993-2003. М.: Физматлит, 2003. 576 с.

51. ЪЪ.Мшлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.512 с.

52. Вулих Б.3. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. 416 с.8Ъ.Лавит, И.М. Устойчивость консольно защемленной прямоугольной пластинки в сверхзвуковом потоке // Проблемы нелинейной механики. Тула: Изд-во ТулГУ. 2003. С. 210-217.

53. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовща и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 779 с.

54. Ю.Марченко Г.А. Метод Ритца в неконсервативных задачах теории упругой устойчивости // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1966. № 3. С. 62-68.

55. Марченко Г.А. Исследование колебаний несимметричных пластин в потоке газа // Динамика и прочность машин: Респ. межвед. науч.-техн. сб. 1967. Вып. 6. С. 37-41.

56. Марченко Г.А., Филиппов А.П. О колебаниях пластины в потоке газа // Прикл. механика. 1966. Т. 2. Вып. 11. С. 133-137.

57. Филиппов А.П. Колебания деформируемых: систем. М.: Машиностроение, 1970. 736 с.91 .Мовчаи A.A. О влиянии аэродинамического демпфирования на сверхзвуковой флаттер обшивки // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. № 1. С. 175-177.

58. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.318 с.9Ъ.Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с.

59. Suleman A. Adaptive composites modelling and application in panel flutter and noise suppression // Computers and Structures. 2000. V. 76. N. 2. p. 365-378.

60. Popescu B. Deteriorated Geometrical Stiffness for Higher Order Finite Elements with Application to Panel Flutter // Nonlinear Dynamics. 1999. V. 18. N. l.p. 89-103.

61. Кандидов В.П., Чесноков С.С. Расчет устойчивости прямоугольных пластин в потоке воздуха методом конечных элементов // Вестн. МГУ. Физика, астрономия. 1972. Т. 13, № 5. С. 495-502.

62. Pian Т.Н., Tong P. Finite-element methods in continuum mechanics // Advances in Applied Mechanics. 1972. V. 12. P. 1-58.

63. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ КОНСОЛЬНО ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПЛАСТИНКИ В ПОТОКЕ ГАЗА21. Основные соотношения

64. Рис. 1. Схема обтекания пластинки. Пластинка обтекается воздушным потоком, скорость которого на бесконечности равна V и направлена вдоль оси ординат. На участке ЕР пластинка защемлена.

65. Исходным соотношением математической модели является вариационное уравнение Гамильтона для деформируемого твердого тела при малых деформациях 5.

66. Юнга; v коэффициент Пуассона; С^Е/^2(1+ у). - модуль сдвига.

67. После подстановки соотношений (3) в вариационное уравнение (2) и интегрирования по х3 в пределах от — h/2 до hl2 уравнение (2)преобразуется к виду <2

68. При этом для пластинок переменной толщины Dum зависят от координат Xj и х2.

69. С учетом выражения (7) уравнение (4) принимает виднтЭДм> + 2рсЭ,м>)5и>+Э2Э2т^)(Э1Э15>у+ Э2Э26^) и 5- (1 V) (ЭД^Э^З-и;+Э2Э2>уЭ1Э15м> - 2Э1д2-и>Э1Э28и>). + (9)2рсГЭ2™8>у}£й' = О

70. Уравнение (11) представляет собой вариационное уравнение, решением которого является функция Ж = Ж(х1,х2). Она разыскивается в классе функций, удовлетворяющих условиям заделки существенным граничнымусловиям 7.2 на участке ЕР1. Ж = 0; д1Ж = 0 ' (12)

71. Дифференциальное уравнение Эйлера для вариационного уравнения (11) получается в результате интегрирования по частям в уравнении (11) и преобразования поверхностных интегралов в контурные по формулам 8.п

72. В работе 7. используется другой термин: существенные граничные условия называются главными.; |э2фй?5 = ^Фс1х113)Л