Панельный флаттер при низких сверхзвуковых скоростях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Веденеев, Василий Владимирович

• Веденеев, Василий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Веденеев, Василий Владимирович

Введение

1. Явление панельного флаттера

2. Механизмы возбуждения флаттера.

3. Обзор литературы.

3.1. Исследования неограниченных пластин.

3.2. Исследования конечных пластин в точной аэродинамической постановке

3.3. Исследования конечных пластин с помощью поршневой теории.

3.4. Влияние пограничного слоя.

3.5. Нелинейные задачи.

3.6. Экспериментальные работы.

3.7. Новые направления в исследованиях панельного флаттера

4. Обзор диссертации.

1. Неустойчивость безграничной пластины

1.1. Постановка задачи и предварительные замечания.

1.2. Вывод уравнений для возмущений.

1.2.1. Уравнение неразрывности.

1.2.2. Уравнение импульсов

1.2.3. Волновое уравнение.

1.2.4. Условие непротекания.

1.2.5. Уравнение движения пластины.

1.2.6. Замкнутая система уравнений

1.3. Решение уравнений движения. Бегущие волны.

1.3.1. Возмущения типа бегущих волн

1.3.2. Вывод дисперсионного уравнения

1.3.3. Преобразование Фурье-Лапласа и его свойства.

1.3.4. Решение для произвольного возмущения пластины

1.3.5. Дальнейшие вычисления.

1.3.6. Обоснование корректности вычислений.

1.3.7. Структура решения

1.3.8. Решение для произвольного возмущения пластины и газа

1.3.9. Переход к безразмерным переменным.

1.3.10. Частные случаи: тангенциальный разрыв и одностороннее обтекание.

1.4. Устойчивость тангенциального разрыва.

1.4.1. Метод исследования.

1.4.2. Случай

1.4.3. Случай

1.4.4. Частный случай: равные отношения теплоёмкостей

1.4.5. Поведение решений дисперсионного уравнения.

1.4.6. Возмущения с произвольно направленным волновым вектором.

1.4.7. Влияние поверхностного натяжения.

1.5. Исследование устойчивости в общем случае.

1.5.1. Неустойчивость длинных волн.

1.5.2. Поведение решений при изменении к.

1.5.3. Случай малых плотностей газов.

1.6. Устойчивость пластины при одностороннем обтекании.

1.6.1. Критерий устойчивости.

1.6.2. Случай малой плотности газа.

1.7. Выводы.

2. Неустойчивость пластины, имеющей форму полосы

2.1. Постановка задачи.

2.2. Неустойчивость одномерных систем.

2.2.1. Общее решение задачи с начальными и граничными условиями.

2.2.2. Глобальная и односторонняя неустойчивость.

2.2.3. Физический смысл односторонней неустойчивости

2.2.4. Физический смысл глобальной неустойчивости.

2.2.5. Слабая глобальная неустойчивость.

2.3. Свойства дисперсионного уравнения.

2.3.1. Разрезы и их асимптотические свойства.

2.3.2. Определение числа решений дисперсионного уравнения

2.3.3. Источник проблемы.

2.4. Глобальная неустойчивость высокочастотных возмущений

2.4.1. Условие неустойчивости.

2.4.2. Физический механизм возникновения неустойчивости

2.4.3. Условие неустойчивости: продолжение.

2.4.4. Усиление возмущений вне окрестности максимального роста.

2.4.5. Усиление возмущений в окрестности максимального роста

2.4.6. Расположение собственных частот.

2.4.7. Влияние параметров задачи на высокочастотный спектр

2.5. Глобальная неустойчивость низкочастотных возмущений

2.5.1. Поведение низкочастотного спектра при параметрах (2.3.6)

2.5.2. Упрощение дисперсионного уравнения.

2.5.3. Исследование устойчивости при отсутствии натяжения

2.5.4. Исследование устойчивости в общем случае.

2.6. Односторонняя неустойчивость.

2.6.1. Условие защемления.

2.6.2. Условие опирания

2.6.3. Свободный край

2.7. Обсуждение результатов.

2.8. Выводы.

3. Оценка точности решения задачи о флаттере пластины, имеющей форму полосы

3.1. Влияние ширины пластины на распределение давления

3.1.1. Источник погрешности.

3.1.2. Вывод уравнения движения пластины.

3.1.3. Решение уравнения и оценка погрешности.

3.2. Влияние ширины пластины на образование собственных функций

3.2.1. Оценка погрешности.

3.2.2. Примеры

3.3. Влияние демпфирования пластины на рост собственных функций

3.3.1. Вязкоупругое демпфирование.

3.3.2. Конструкционное демпфирование

3.3.3. Примеры

3.4. Влияние покоящегося газа.

3.5. Выводы.

4. Одномодовый флаттер пластины с учётом пограничного слоя

4.1. Постановка задачи.

4.2. Дисперсионное уравнение безграничной пластины в потоке газа

4.3. Влияние пограничного слоя на усиливающуюся волну.

4.4. Пример: профили ускоряющихся и замедляющихся течений

4.5. Связь дестабилизации пластины пограничным слоем и устойчивости самого слоя.

4.6. Влияние пограничного слоя на нейтральные и затухающие волны

4.7. Пластина больших, но конечных размеров

4.8. Примеры

4.9. Использованные ограничения.

4.10. Выводы.

5. Одномодовый флаттер прямоугольной пластины 204 5.1. Постановка задачи.

5.2. Условие усиления колебаний пластины

5.2.1. Динамический краевой эффект.

5.2.2. Переход от стоячей волны к бегущим волнам.

5.2.3. Действие газа на собственное колебание в целом

5.2.4. Построение собственной функции

5.3. Вектор скорости газа параллелен одной из сторон пластины

5.4. Вектор скорости не параллелен сторонам пластины: равномерное усиление

5.5. Вектор скорости не параллелен сторонам пластины: неравномерное усиление

5.5.1. Вывод основного уравнения.

5.5.2. Решение задачи на собственные значения.

5.5.3. Анализ решения

5.5.4. О пространственном росте собственных функций

5.5.5. Общий случай

5.6. Влияние покоящегося газа.

5.7. Примеры расчёта флаттера прямоугольной пластины.

5.7.1. Алгоритм расчёта

5.7.2. Флаттер обшивки летательного аппарата.

5.7.3. Флаттер пластины, испытываемой в аэродинамической трубе.

5.8. Выводы.

6. Численное исследование панельного флаттера

6.1. Постановка задачи.

6.2. Численный метод.

6.2.1. Описание метода решения.

6.2.2. Сходимость численного метода.

6.3. Асимптотические границы флаттера.

6.4. Результаты расчётов: шарнирно опёртая пластина.

6.4.1. Границы устойчивости-.

6.4.2. Влияние плотности потока

6.4.3. Влияние натяжения пластины на одномодовый флаттер

6.4.4. Влияние натяжения пластины на связанный флаттер

6.4.5. Влияние жёсткости пластины.

6.4.6. Инкременты усиления колебаний и сравнение с асимптотической теорией.

6.5. Результаты расчётов: защемлённая пластина.

6.6. Сравнение границ флаттера с другими работами.

6.6.1. Связанный тип флаттера.

6.6.2. Одномодовый флаттер.

6.7. Выводы.

7. Вычисление аэродинамического демпфирования

7.1. Численный метод.

7.2. Двумерная задача.

7.2.1. Сходимость.

7.2.2. Сравнение с расчётами методом Бубнова-Галёркина и асимптотическими результатами.

7.3. Трёхмерная задача.

7.3.1. Пластина в однородном потоке.

7.3.2. Влияние пограничного слоя.

7.4. Выводы.

8. Нелинейный одномодовый флаттер пластины

8.1. Постановка задачи.

8.2. Результаты исследования линейной устойчивости

8.3. Вывод уравнения для амплитуды.

8.4. Вычисление давления.

8.5. Простые одночастотные колебания.

8.5.1. Поведение мод, затухающих в линейном приближении

8.5.2. Поведение моды, растущей в линейном приближении

8.5.3. Пример

8.5.4. Поведение пластины при увеличении М.

8.6. Простые многочастотные колебания.

8.6.1. Предельные циклы.

8.6.2. Условия существования двучастотного предельного цикла

8.6.3. Устойчивость предельных циклов

8.7. Многочастотные колебания с внутренним резонансом.

8.7.1. Чётный дробный внутренний резонанс пластины в потоке

8.7.2. Нечётный дробный внутренний резонанс пластины в потоке

8.8. Колебания прямоугольных пластин

8.9. Сравнение амплитуд при одномодовом и связанном флаттере

8.10. Выводы.

9. Экспериментальное исследование панельного флаттера 360 9.1. Методика проведения эксперимента.

9.1.1. Схема эксперимента.

9.1.2. Описание модели.

9.1.3. Условия эксперимента.

9.1.4. Аппаратура и методика измерений.

9.1.5. Программа испытаний.

9.2. Методика обработки результатов.

9.3. Собственные колебания пластины.

9.3.1. Экспериментальное определение собственных частот и форм.

9.3.2. Факторы, не контролируемые в эксперименте.

9.3.3. Численное исследование неконтролируемых факторов

9.4. Анализ экспериментальных данных.

9.4.1. Трансзвуковые режимы работы трубы.

9.4.2. Режим М = 3.

9.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Панельный флаттер при низких сверхзвуковых скоростях»

1. Явление панельного флаттера

Настоящая работа посвящена изучению устойчивости плоских упругих пластин, обтекаемых потоком газа. Эта задача возникает при изучении явления «панельного флаттера» — интенсивных вибраций панелей обшивки самолётов и ракет, возбуждаемых набегающим потоком воздуха.

Выделим в обшивке крыла самолёта отдельную панель (рис. 1) и рассмотрим возмущение её состояния покоя. Такие возмущения неизбежно возникают а б и

Рис. 1. Рассматриваемая панель обшивки крыла. Вид крыла в плане (а), сечение крыла (б). при полёте, например, из-за перепадов давления воздуха и турбулентности. Чтобы ограничиться рассмотрением одной панели, будем считать, что она вмонтирована в жёсткую раму и обтекается с одной стороны потоком воздуха (рис. 2). Если скорость потока не очень велика, то энергия возникающих

Рис. 2. Колебание изолированной панели. возмущений рассеивается в потоке, и он обладает демпфирующим действием. Однако, при превышении некоторой критической скорости (как правило, сверхзвуковой) возникает обратный приток энергии от воздуха к панели, и возникающие малые колебания «раскачиваются» потоком — положение панели становится неустойчивым. В результате амплитуды колебаний быстро нарастают, что приводит к катастрофическому или усталостному разрушению панели.

Впервые панельный флаттер возник во время Второй мировой войны на немецких ракетах V-2 в 1944 г., в результате чего многие из них были подвержены разрушениям [1]. На самолётах этот вид флаттера, даже в случае разрушения отдельных панелей, обычно непосредственно не приводит к крушению, но может приводить к существенному ухудшению управляемости самолёта и разрушению других систем. Так, в 1950-х гг. на одном из опытных американских истребителей в результате возникшего флаттера одной из панелей произошло разрушение трубопровода гидравлической системы, соединённого с этой панелью, что привело к крушению. На другой серии истребителей проблема повышенного шумового фона в кабине пилотов была решена после того, как было выяснено, что причиной является панельный флаттер обшивки [1]. Возникновение панельного флаттера зафиксировано на гиперзвуковом летательном аппарате North American Х-15. В 1960-е годы серьёзные проблемы с флаттером панелей имелись при разработке ракеты «Сатурн V» американской лунной программы «Аполлон» [1]. Панельный флаттер имел место на американском истребителе F-117A в 1980-х гг: после одного из испытательных полётов было обнаружено разрушение примерно половины композитных панелей обшивки, которые затем были перепроектированы [2]. Задача обеспечения устойчивости к флаттеру панелей решалась при проектировании самолёта-разведчика Lockheed SR-71 [3] и истребителя F-22 [4].

Необходимость предотвращение панельного флаттера возникала при проектировании перспективного гиперзвукового летательного аппарата Х-2000 (ЦИАМ) [5,6]. При этом рассчитывалась как модель самого аппарата, находящегося в гиперзвуковом потоке, так и пилона для стендовых испытаний, находящегося в локально трансзвуковом потоке.

В настоящее время явление панельного флаттера исследовано недостаточно, и его изучение остаётся актуальной задачей. Совершенствование характеристик как военных, так и гражданских самолётов неизбежно требует уменьшения их массы, а следовательно и жёсткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения панельного флаттера. Активно обсуждаются и испытываются самолёты с гибкими крыльями, адаптирующимися к условиям полёта, что также требует уменьшения толщины обшивки. Разработка летательных аппаратов новых геометрических форм, внедрение новых материалов, в том числе композитов, меняет параметры обтекания панелей и их физические свойства, что также может привести к возникновению флаттера. Недостаточно хорошо изученным остаётся флаттер при трансзвуковых и низких сверхзвуковых скоростях.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Веденеев, Василий Владимирович

9.5. Выводы

Проведены эксперименты по обнаружению одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке воздуха. Изготовлена пластина, которая,

Глава 9. Экспериментальное исследование панельного флаттера £■ 105 | ■-1-1-.-1-1-

О 10 20 30 40 50 60 70 80 г (в)

Рис. 9.34. Живой процесс колебаний пластины (вверху) и вибраций трубы (внизу) при третьем запуске. начиная с низких сверхзвуковых чисел Маха (М = 1.17) может быть подвержена одномодовому флаттеру, но связанный («классический») тип флаттер теоретически возникать не может. Колебания пластины контролируются 12 тензодатчиками, вибрации аэродинамической трубы — датчиком вибраций, пульсации статического давления в потоке — датчиком давления.

Проведены испытания в диапазоне 0.8<М<1.3и при М = 3. В резуль 106

АЛО* 3 il-ii * И f, ■■1 ' I. L' hi

111Ё1|1Ы1Ш™

III

ШЁшЛМёШШШш ki

M=3.0

1000 Q (Hz)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

П(Нг)

Рис. 9.35. Сверху: АЧХ колебаний пластины на режиме М = 3. Снизу: АЧХ вибраций трубы на режиме М = 3. тате сопоставления данных эксперимента с теоретическими предсказаниями определено, что при 1.2 < М < 1.3 пластина находится в области одномодо-вого флаттера. Основные аргументы:

• Резкий рост амплитуды колебаний, начиная с М = 1.2 (рис. 9.29), сильно превышающий рост вибраций трубы

• Значение М = 1.2 близко к теоретической границе устойчивости М = 1.17

• Выделение в спектре колебаний пиков, усиливающихся при увеличении М, соответствующих теоретически неустойчивым к одномодовому

Глава 9. Экспериментальное исследование панельного флаттера флаттеру модам

• Отсутствие сближения и слияния пиков, соответствующих неустойчивым к связанному флаттеру модам, при увеличении М.

При испытаниях на режиме М = 3 флаттера не обнаружено: амплитуда вибраций трубы больше, а амплитуда колебаний пластины — меньше, чем на трансзвуковых дофлаттерных режимах (М « 1.14 - 1.16). Это согласуется с теоретически ожидаемыми результатами: моды колебаний, на которых при М = 3 возможен флаттер, имеют слишком малые теоретические инкременты усиления колебаний, чтобы флаттер по этим модам мог реализоваться в действительности (то есть при наличии хотя бы минимальной диссипации).

Заключение

В работе исследована устойчивость пластины, обтекаемой с одной стороны потоком совершенного газа, в следующих постановках: безграничная пластина, пластина, имеющая форму полосы (двумерная постановка), и прямоугольная пластина. Во всех случаях с другой стороны от пластины поддерживается постоянное давление или находится покоящийся невязкий совершенный газ.

В случае безграничной пластины, когда со стороны, противоположной обтекаемой, поддерживается постоянное давление, получен критерий устойчивости и описан его физический смысл: рост амплитуды бегущей волны происходит тогда, когда газ «обгоняет» волну, а разница между фазовой скоростью волны и скоростью течения больше скорости звука в газе. Учёт покоящегося газа приводит к дестабилизации возмущений и неустойчивости системы при любых параметрах. Как предельный случай безграничной пластины рассмотрена устойчивость тангенциального разрыва и найдены достаточные условия его устойчивости и неустойчивости.

Для исследования устойчивости пластины, имеющей форму полосы, применяется асимптотический метод глобальной неустойчивости. Получены два типа флаттера: связанный и одномодовый. Первый является «классическим» типом панельного флаттером и подробно исследован в литературе в приближении поршневой теории. Потеря устойчивости в этом случае происходит через слияние двух собственных частот колебаний пластины и возможна лишь при достаточно большой плотности потока газа. Второй тип флаттера не описывается с помощью поршневой теории и был впервые обнаружен асимптотическими методами. Потеря устойчивости происходит из-за отрицательного аэродинамического демпфирования одной из собственных форм колебаний; взаимодействия между формами при этом не происходит. Характерной особенностью одномодового флаттера является то, что он может иметь место при сколь угодно малой плотности потока газа. Выяснены физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера, получены критерии устойчивости и частоты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний.

Исследовано влияние различных факторов, неучтённых в асимптотическом анализе. Покоящийся газ не оказывает влияния на результаты при М — 1 < X и демпфирует колебания при М — 1 ^ % (М — число Маха, х — отношение скорости звука покоящегося газа к скорости звука движущегося). Рассмотрено влияние внутреннего трения в материале пластины и конструкционного демпфирования. Они по-разному действуют на пластину: достаточно большое рассеяние в материале подавляет флаттер пластин любых размеров, в то время как конструкционное демпфирование может быть сделано сколь угодно малым при достаточно большой протяжённости пластины. Приведены примеры обтекания стальных, титановых и алюминиевых пластин, для которых показатель усиления колебаний при высокочастотном флаттере в несколько раз больше, чем трение в материале.

Объяснено известное в литературе отличие условий устойчивости безграничных и ограниченных пластин больших размеров. Устойчивость ограниченных пластин исследовалась с использованием поршневой теории, приводящей лишь к низкочастотному флаттеру. Но неустойчивость безграничных пластин, проявляющаяся в виде роста бегущих волн, связана с высокочастотным флаттером, а низкочастотный флаттер имеет другой механизм возбуждения и не связан с усилением бегущих волн.

Поскольку главный интерес представляет одномодовый флаттер, в случае прямоугольной пластины исследована неустойчивость именно такого типа. Получен критерий, позволяющий для каждой формы колебаний пластины определить, является ли она растущей или затухающей. В случае, когда поток параллелен одной из сторон пластины, форма колебаний при флаттере не искажается по сравнению с колебанием пластины в вакууме. В случае потока, не параллельного кромкам, искажение возможно; выяснены его условия и причины. Найдены собственные моды и инкременты искажённых мод. Сформулирован алгоритм расчёта одномодового флаттера пластины и проведены конкретные вычисления. Рассмотрены два случая: устойчивость дюралюминиевой панели летательного аппарата и устойчивость стальной пластины, испытываемой в аэродинамической трубе. На этих примерах показано, что возможны ситуации, когда в пластине возникают одномодовые флаттерные колебания при отсутствии флаттера связанного типа. Влияние покоящегося газа аналогично двумерному случаю: он не влияет на колебания при небольших скоростях потока и демпфирует их в противном случае.

Изучено влияние пограничного слоя на одномодовый флаттер пластины при больших числах Рейнольдса в двумерной постановке. В случае безграничной пластины при обобщённо-выпуклом профиле скорости пограничный слой стабилизирует растущие волны, но дестабилизирует часть нейтрально устойчивых волн. Это поведение соответствует известным результатам о поведении пластины в несжимаемой и сжимаемой жидкости. В случае профиля с обобщённой точкой перегиба, исследованном впервые, влияние пограничного слоя обратно: при тонком погранслое часть растущих волн усиливается быстрее, чем в однородном потоке, при увеличении толщины усиление достигает максимума, при превышении определённой толщины слоя растущие волны полностью стабилизируются. За счёт подбора профиля и толщины пограничного слоя можно сделать усиление колебаний пластины сколь угодно быстрым. Поведение конечной пластины в форме широкой полосы аналогично безграничной пластине: в случае обобщённо-выпуклого профиля пограничного слоя растущие возмущения стабилизируются, а нейтрально устойчивые — дестабилизируются. В случае профиля с обобщённой точкой перегиба растущие возмущения усиливаются быстрее при тонком слое, и затухают при достаточно толстом. Нейтральные и затухающие волны полностью стабилизируются в пограничном слое большой толщины.

Методом Бубнова-Галёркина численно исследована устойчивость двумерной задачи при произвольных размерах пластины и широкого диапазона различных параметров (пограничный слой не учитывается). Построены границы устойчивости, в том числе для коротких пластин. Область одномодового флаттера значительно больше области флаттера связанного типа при низких М. При увеличении размеров пластины границы флаттера хорошо приближаются асимптотическими результатами. Показано, что влияние плотности потока на границы одномодового флаттера незначительно даже для коротких пластин. Другой интересный результат — границы флаттера связанного типа хорошо приближаются поршневой теорией специального вида даже при 1 < М < 2, хотя формально поршневая теория при таких низких скоростях неверна.

Предложен упрощённый метод исследования одномодового флаттера произвольных конструкций (пластины произвольной формы в плане, оболочки и т.д.), не требующий решения связанной задачи аэроупругости. Рассчитывается нестационарное обтекание конструкции, колеблющейся с постоянной амплитудой по собственной форме. На одном из периодов колебаний вычисляется работа сил давления, которая показывает направление передачи энергии между конструкцией и потоком и является критерием флаттера. Метод протестирован на двумерных и трёхмерных пластинах в однородном потоке и в потоке с пограничным слоем.

Решена задача о нелинейных одномодовых флаттерных колебаниях. Исследовались предельные циклы и зависимость их амплитуды от степени углубления в область флаттера. Доказано, что при некоторых условиях одновременно могут существовать несколько предельных циклов: «простой», при котором по каждой линейно неустойчивой моде происходят независимые колебания, и «резонансные», когда происходит передача энергии между различными модами.

Впервые проведены экспериментальные исследования одномодовых колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа. Анализируя сигналы тензодат-чиков, наклеенных на поверхность пластины, датчика пульсаций давления в потоке и датчика вибраций аэродинамической трубы, а также их спектров, установлено, что при 1.2 < М < 1.3 возбуждается одномодовый флаттер. Границы устойчивости и спекры колебаний находятся в удовлетворительном согласии с асимптотической теорией.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Веденеев, Василий Владимирович, 2011 год

1. Garric 1.E., Reed W.H., III. Historical development of aircraft flutter// Journal of aircraft. 1981. V. 18. № 11. P. 897-912.

2. Zhou R.C., Lai Z., Xue D.Y., Huang J.-K., Mei C. Suppression of nonlinear panel flutter with piezoelectric actuators using finite element method// AIAA journal. 1995. V. 33. № 6. P. 1098-1105.

3. E. Livne, T. A. Weisshaar. Aeroelasticity of nonconventional airplane configurations — past and future// Journal of aircraft. 2003. V. 40. № 6. P. 1047-1065.

4. D. S. Layton, W. D. Anderson, D. S. Piette. Consideration of Nonlinearities in the Aeroelastic Design and Testing of the F-22// Proceedings of International Forum of Aeroelasticity and Structural Dynamics (IFASD). 2009. Paper IFASD-2009-060. 12 p.

5. Dowell E.H. (ed.), Clark R, Cox D, Curtiss H.C, Edwards J.W, Hall K.C, Peters D.A., Scanlan R.H., Simiu E., Sisto F., Strganac T.W. A modern course in aeroelasticity. Kluwer Academic Pub., 2004. 752 p.

6. Ильюшин A.A. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей// Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 6. С. 733-755.

7. Ashley Н., Zartarian G. Piston theory — new aerodynamic tool for the aeroelastician// Journal of the aeronautical sciences. 1956. V. 23. № 12. P. 1109-1118.

8. Григолюк Э.И., Лампер P.E., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек// Итоги науки. Механика. 1963. М.: ВИНИТИ, 1965. С. 34-90.

9. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек// Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. С. 67-122.

10. Mei С., Abdel-Motagaly К., Chen R.R. Review of nonlinear panel flutter at supersonic and hypersonic speeds// Applied mechanics reviews. 1999. V. 52. Issue 10. R 321-332.

11. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

12. Dowell Е.Н. Aeroelasticity of plates and shells. Kluwer Academic Pub., 1974. 160 p.

13. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 247 с.

14. Takao Ishii. Aeroelastic instabilities of simply supported panels in subsonic flow// AIAA paper No. 65-772. 1965. 30p.

15. J. Dugundj, E. Dowell, B. Perkin. Subsonic flutter of panels on continuous elastic foundations// AIAA journal. 1963. V. 1. № 5. P. 1146-1154.

16. N. Peake. On the unsteady motion of a long fluid-loaded elastic plate with mean flow// Journal of fluid mechanics. 2004. V. 507. P. 335-366

17. N. Banichuk, J.Jeronen, P. Neittaanmaki, T. Tuovinen. Static instability analysis for travelling membranes and plates interacting with axially moving ideal fluid// Journal of fluids and structures. 2010. V. 26 (2). P. 274-291

18. L. Brevdo, A. Il'ichev. Multi-modal destabilization of a floating ice layer by wind stress// Cold region science and technology. 2001. V. 33 (1). P. 77-89.

19. P. W. Carpenter, C. Davies, A. D. Lucey. Hydrodynamics and compliant walls: Does the dolphin have a secret?// Current science. 2000. V. 79. № 6. P. 758-765.

20. Miles J.W. On the aerodynamic instability of thin plates// Journal of the aeronautical sciences. 1956. V. 23. № 8. p. 771-780.

21. Miles J.W. On panel flutter in the presence of a boundary layer// Journal of the aero/space sciences. 1959. V. 26. № 2. P. 81-93, 107. Перевод: О флаттере панелей с учётом пограничного слоя// Механика. Сборник переводов. 1959. № 4. С. 97-122.

22. Epstein R.J., Srinivasan R., Dowell Е.Н. Flutter of an infinitely long panel in a duct// AIAA journal. 1995. V. 33. № 1. P. 109-115.

23. Kornecki A. Aeroelastic and hydroelastic instabilities of infinitely long plates. II// Solid mechanics archives. 1979. V. 4. № 4. P. 241-346.

24. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow. NACA. 1946. Report № 846. 25 p.1

25. Дж. У. Майлс. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М.: Физматгиз, 1963. 272 с.

26. Кийко И.А., Показеев В.В. К постановке задачи о колебаниях и устойчивости полосы в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2009. № 1. С. 159-166.

27. Все цитируемые здесь отчёты NACA и NASA находятся в открытом доступе в интернете по адресамhttp://naca.laxc.nasa.gov, http://ntrs.nasa.gov, или http://trs.nis.nasa.gov.

28. Nelson Н.С., Cunnigham H.J. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow. NACA. 1956. Report № 1280. 24 p.

29. Cunningham H.J. Flutter analysis of flat rectangular panels based on three dimensional supersonic potentional flow// AIAA journal. 1963. V. 1. № 8. P. 1795-1801.

30. D. R. Kobett. Research on panel flutter. NASA CR-80. 1964. 67 p.

31. E. F. E. Zeydel, D. R. Kobett. Flutter of flat plates with partially clamped edges in the low supersonic region// AIAA journal. 1965. V. 3 № 1. P. 17-22.

32. D. R. Kobett. Flutter of multiple-streamwise bay rectangulat panels at low supersonic Mach number. NASA CR-538. 1966. 30 p.

33. Dowell E.H. Nonlinear oscillations of fluttering plate. II// AIAA journal. 1967. V. 5 № 10. P. 1856-1862. Перевод: Нелинейный флаттер пластины. II// Ракетная техника и космонавтика. 1967. Т. 5. № 10. С. 156-164.

34. Bendiksen 0.0., Davis G.A. Nonlinear traveling wave flutter of panels in transonic flow// AIAA paper 95-1486. 1995. 17 p.

35. Selvam R. P., Visbal M. R., Morton S. A. Computation of Nonlinear Viscous Panel Flutter Using a Fully-Implicit Aeroelastic Solver. AIAA paper 98-1844. 1998. 10 p.

36. Gordnier R. E., Visbal M. R. Computation of three-dimensional nonlinear panel flutter. AIAA paper 2001-0571. 2001. 17 p.

37. Bendiksen O.O., Seber G. Fluid-structure interactions with both structural and fluid nonlinearities. Journal of sound and vibration. 2008. V. 315 (3). P. 664-684.

38. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании// Доклады АН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.

39. Dong Min-de. Eigenvalue problem for integro-differential equation of supersonic panel flutter. Applied mathematics and mechanics. 1984. V. 5 (1). P 1029-1040.

40. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 211-222.

41. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 2. С. 231-243.

42. Мовчан А.А. Устойчивость лопатки, движущейся в газе// Известия АН СССР. ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 5. С. 700-706.

43. Микишев Г.Н. Экспериментальное исследование автоколебаний квадратной пластины в потоке// Известия АН СССР. OTH. Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 154-157.

44. Махортых Ж.К. Устойчивость многопролётной панели, движущейся в газе// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 2. С. 174-177.

45. Bohon H.L. Flutter of flat rectangular orthotropic panels with biaxial loading and arbitrary flow direction. NACA TN D-1949. 1963. 33 p.

46. Метсавээр Я.А. О флаттере защемлённых пластин// Известия АН СССР. МТТ. 1969. № 4. С. 179-180.

47. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины// Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44. № 4. С. 35-42.

48. Dowell Е.Н. Nonlinear oscillations of fluttering plate// AIAA journal. 1966. V. 4 № 7. P. 1267-1275. Перевод: Нелинейный флаттер пластины// Ракетная техника и космонавтика. 1966. Т. 4. № 7. С. 149-159.

49. Dowell Е.Н. Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion of a deterministic autonomous system// Journal of sound and vibration. 1982. V. 85 (3). P. 330-344.

50. Bolotin V.V., Grishko A.A., Kounadis A.N., Gantes Ch., Roberts J.B. Influence of initial conditions on the postcritical behavior of a non-linear aeroelastic system// Nonlinear dynamics. 1998. V 15 (1). P. 63-81.

51. Лампер P.E. О применении некоторых аэродинамических теорий к расчёту флаттера панели// Прикладная механика и техническая физика. 1960. № 2. С. 147-149.

52. Новичков Ю.Н. О применении трёхмерной аэродинамической теории к задачам выпучивания и флаттера панелей// Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 3. С. 138-141.

53. Минасян Д.М., Минасян М.М. Новое приближение в задаче о флаттере пластинки в сверхзвуковом потоке газа// Доклады НАН Армении. 2001. Т. 101. № 1. С. 49-54.

54. Минасян Д.М. Вычисление частот одномодных флаттерных колебаний конечной пластинки// Известия НАН Армении. Механика. 2001. Т. 54. № 4. С. 26-33.

55. Галкин М.С. К вопросу о динамической устойчивости мембран в сверхзвуковом потоке газа// Учёные записки ЦАГИ. 1976. Т. VII. № 3. С. 8090.

56. Т. В. Benjamin. Effects of a flexible boundary on hydrodynamic stability// Journal of fluid mechanics. 1960. V. 9. P. 513-532.

57. M. T. Landahl. On the stability of a laminar incompressible boundary layer over a flexible surface// Journal of fluid mechanics. 1962. V. 13. P. 609-632.

58. А.И. Короткин. Устойчивость ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости на упругой поверхности// Известия АН СССР. МЖГ. 1966. № 3. С. 39-43.

59. Carpenter P.W., Garrad A.D. The hydrodynamic stability of flow over Kramer-type compliant surfaces: Part 1. Tollmien-Schlichting instabilities// Journal of fluid mechanics. 1985. V. 155. P. 465-510.

60. Carpenter P.W., Garrad A.D. The hydrodynamic stability of flow over Kramer-type compliant surfaces: Part 2. Flow-induced surface instabilities// Journal of fluid mechanics. 1986. V. 170. P. 199-232.

61. Савенков И.В. Подавление роста нелинейных волновых пакетов упругостью обтекаемой поверхности// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35. № 1. С. 95-103.

62. В.В. Алексеев. О форме потери устойчивости пограничного слоя на гибкой поверхности при больших числах Рейнольдса// ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 5. С. 811-823.

63. О. Wiplier, U. Ehrenstein. On the absolute instability in a boundary-layer flow with compliant coatings// European journal of mechanics B/Fluids. 2001. V. 20. № 1. p. 127-144.

64. Miles J. Stability of inviscid shear flow over a flexible boundary// Journal of fluid mechanics. V. 434. P. 371-378. 2001.

65. Dowell E.H. Generalized aerodynamic forces on a flexible plate undergoing transient motion in a shear flow with an application to panel flutter// AI A A journal. 1971. V. 9. № 5. P. 834-841.

66. Muhlstein L., Jr., Gaspers P. A., Jr., Riddle D. W. An experimental study of the influence of the turbulent boundary layer on panel flutter. NASA TN D-4486. 1968. 52 p.

67. Dowell E.H. Aerodynamic boundary layer effect on flutter and damping of plates// Journal of aircraft. 1973. V. 10. № 12. P. 734-738.

68. A. Hashimoto, T. Aoyama, Y. Nakamura. Effect of turbulent boundary layer on panel flutter// AIAA journal. 2009. V.47. № 12. P. 2785-2791.

69. Болотин B.B. Нелинейный флаттер пластин и оболочек// Инженерный сборник. 1960. Т. 28. С. 55-75.

70. Bein Т., Friedmann P., Zhong X., Nydick I. Hypersonic flutter of a curved shallow panel with aerodynamic heating// AIAA paper 93-1318. 1993. 15 p.

71. Gray Jr. C.E., Mei C. Large-amplitude finite element flutter analysis of composite panels in hypersonic flow// AIAA journal. 1993. V. 31 № 6. P. 1090-1099.

72. Resende H.B. Hypersonic panel flutter in a rarefied atmosphere. NASA CR-4514. 1993. 116 p.

73. A. R. Crowell, J. J. McNamara, В. A. Miller. Hypersonic aerothermoelastic response prediction of skin panels using computational fluid dynamic surrogates// Journal of aeroelasticity and structural dynamics. 2011. V. 2. № 2. P. 3-30.

74. A. H. Куликов. Бифуркация автоколебаний пластинки при малом демпфировании в сверхзвуковом потоке газа// ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 271-281.

75. М.А. Sylvester, J.E. Baker. Some experimental studies of panel flutter at Mach number 1.3. NASA TN 3914. 1957. 25 p.

76. Shideler S. L., Dixon S. C., Shore C. P. Flutter at Mach 3 of thermally stressed panels and comparisons with theory for panels with edge rotational restraint. NASA TN D-3498. 1966. 23 p.

77. C.S. Ventres, Dowell E.H. Comparison of theory and experiment for nonlinear flutter of loaded plates// AIAA journal. 1970. V. 8. № 11. P. 20222030.

78. Gaspers P. A., Jr., Muhlstein L., Jr., Petroff D. N. Further results on the influence of the turbulent boundary layer on panel flutter. NASA TN D-5798. 1970. 45 p.

79. Маслов H.A., Шандаров JI.Г. Исследование области сверхзвукового флаттера плоских панелей// Колебания упругих конструкций с жидкостью (сборник статей). Новосибирск, 1976. С. 285-290.

80. Н. Taneda, М. Nagahata. A Study of supersonic flutter of composite panels// AIAA paper No. 95-3985. 1995. 12 p.

81. Panel flutter. NASA space vehicle design criteria (structures). NASA SP-8004. 1972. 53 p.

82. Laurenson R.M., McPherson J.I., Shore C.P. Design procedures for flutterfree surface panels// AIAA journal. 1979. V. 17 № 4. P. 398-399.

83. Lee I., Cho M.-H. Flutter analysis of composite panels in supersonic flow// AIAA paper 90-1180. 1990. 11 p.

84. Zhou R.C., Xue D.Y., Mei C. Finite element time domain-modal formulation for nonlinear flutter of composite panels// AIAA journal. 1994. V. 32 № 10. P. 2044-2052.

85. Abdel-Motaglay K., Chen R., Mei C. Nonlinear flutter of composite panels under yawed supersonic flow using finite elements// AIAA journal. 1999. V. 37 № 9. P. 1025-1032.

86. В.И. Матяш. Флаттер упруго-вязкой пластинки// Механика полимеров. 1971. № 6. С. 1077-1083.

87. Г.С. Ларионов. Нелинейный флаттер упруговязкой пластинки// Известия АН СССР. МТТ. 1974. № 4. С. 95-100.

88. Кийко И.А. Флаттер вязкоупругой пластины// ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 172-175.

89. Б.А. Худаяров. Численное решение нелинейных задач о флаттере вяз-коупругих оболочек// Сибирский журнал вычислительной математики. 2004. Т. 7. № 3. С. 277-282.

90. Б.А. Худаяров. Алгоритмизация задачи о флаттере вязкоупругих трёхслойных оболочек, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа// Вычислительные технологии. 2005. Т. 10. № 4. С. 111-117.

91. Кийко И.А., Показеев В.В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа// Доклады РАН. 2005. Т. 401. № 3. С. 342-344.

92. Craig G. Merrett, Harry H. Hilton. Elastic and viscoelastic panel flutter in incompressible, subsonic and supersonic flows// Journal of aeroelasticity and structural dynamics. 2010. V. 2. № 1. P. 53-80.

93. Duan В., Abdel-Motagaly K., Guo X., Mei C. Suppression of supersonic panel flutter and thermal deflection using shape memory alloy// AIAA paper 2003-1513. 2003. 10 p.

94. Ю. А. Степанянц, А. Л. Фабрикант. Распространение волн в сдвиговых гидродинамических течениях// Успехи физических наук. 1989. Т. 159. Вып. 1. С. 83-123.

95. А. М. Фридман. Модифицированный критерий Ландау стабилизации неустойчивости тангенциального разрыва скорости в сжимаемой среде// Успехи физических наук. 1990. Т. 160. Вып. 10. С. 179-183.

96. П. Ю. Георгиевский, В. А. Левин. Управление обтеканием различных тел с помощью локализованного подвода энергии в сверхзвуковой набегающий поток// Известия РАН. МЖГ. 2003. № 5. С. 154-167.

97. Vasily V. Vedeneev. Panel flutter at low supersonic speeds// Journal of fluids and structures. 2012 (принято к печати)

98. В. В. Веденеев. Одномодовый флаттер пластины с учётом пограничного слоя// Известия РАН. МЖГ. 2012 (принято к печати)

99. Веденеев В.В., Колотников М.Е., Макаров П.В., Фирсанов В.В. Трёхмерное моделирование флаттера лопаток компрессоров современных ГТД// Вестник СГАУ. 2011 (принято к печати)

100. В. В. Веденеев. Флаттер пластины в потоке газа при низких сверхзвуковых скоростях// Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (3). С. 680-682.

101. Vasily Vedeneev. Flutter of aircraft panels at low supersonic flight speeds// Proceedings of 4th European conference for aerospace sciences (EUCASS). St. Petersburg, 2011.

102. Vasily Vedeneev. Study of single mode panel flutter at low supersonic speeds// Proceedings of International forum of aeroelasticity and structural dynamics (IFASD). Paris, 2011.

103. Vasily V. Vedeneev, Sergey V. Guvernyuk, Alexander F. Zubkov. Studies of panel flutter phenomenon al low supersonic speeds// Proceedings of Taiwan-Russian bilateral symposium on problems in advanced mechanics. M.: Изд-bo МГУ, 2010. С. 244-250.

104. Vasily V. Vedeneev, Sergey V. Guvernyuk, Alexander F. Zubkov, Mikhail E. Kolotnikov. Experimental observation of single mode panel flutter in supersonic gas flow// Journal of fluids and structures. 2010. V. 26 (5). P. 764779

105. В. В. Веденеев. Исследование одномодового флаттера прямоугольной пластины в случае переменного усиления собственной моды вдоль пластины// Известия РАН. МЖГ. 2010. № 4. С. 163-174.

106. В. В. Веденеев, С. В. Гувернюк, А. Ф. Зубков, М. Е. Колотников. Экспериментальное исследование одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2010. № 2. С. 161-175.

107. Vasily V. Vedeneev, Sergey V. Guvernyuk, and Mikhail E. Kolotnikov. Experimental observation of single mode panel flutter in supersonic gas flow// 7th European solid mechanics conference (ESMC). Lisbon, 2009.

108. В. В. Веденеев, С. В. Гувернюк, А. Ф. Зубков, М. Е. Колотников. Экспериментальное наблюдение одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа// Доклады РАН. 2009. Т. 427. № 6. С. 768-770.

109. В. В. Веденеев. Численное исследование сверхзвукового флаттера пластины с использованием точной аэродинамической теории// Известия РАН. МЖГ. 2009. № 2. С. 169-178.

110. В. В. Веденеев. Нелинейный высокочастотный флаттер пластины// Известия РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 197-208.

111. Vasily V. Vedeneev. Non-linear analysis of high-frequency panel flutter// EUROMECH Colloquium 483 «Geometrically non-linear vibrations of structures». Porto, 2007.

112. В. В. Веденеев. Высокочастотный флаттер прямоугольной пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 4. С. 173-181.

113. Vasily V. Vedeneev. High-frequency flutter of rectangular plates// 6th European solid mechanics conference (ESMC). Budapest, 2006.

114. В. В. Веденеев. О высокочастотном флаттере пластины// Известия РАН. МЖГ. 2006. № 2. С. 163-172.

115. В. В. Веденеев. Прогнозирование дозвукового безотрывного флаттера лопаток осевых компрессоров газотурбинных двигателей// Международный сборник «Надёжность и долговечность машин и сооружений». Киев, 2006. № 26. С. 38-44.

116. В. В. Веденеев. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа// Известия РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 155-169.

117. V. V. Vedeneev. Analytical investigation of plate flutter in supersonic gas flow// European conference for aerospace sciences (EUCASS). Moscow, 2005.

118. Веденеев В. В. Прогнозирование флаттера лопаток компрессоров газотурбинных двигателей// Труды 3-й российской конференции «Методы и программное обеспечение расчётов на прочность». Туапсе, 2004. М.: ФГУП НИКИЭТ, 2005. С. 138-142.

119. В. В. Веденеев. Неустойчивость безграничной упругой пластины, обтекаемой потоком газа// Известия РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 19-27.

120. В. В. Веденеев. Устойчивость упругой пластины в потоке газа при наличии на её поверхности пограничного слоя// Тезисы докладов 11-й международной школы-семинара «Модели и методы аэродинамики». М.: МЦНМО, 2011. С. 34.

121. V. Vedeneev. Numerical study of 3D single mode panel flutter// Abstract book of Euromech fluid mechanics conference (EFMC). Bad Reichenhall, Germany, 2010. P. S2-11.

122. В. В. Веденеев, С. В. Гувернюк, А. Ф. Зубков, М. Е. Колотников. Наблюдение одномодового панельного флаттера в эксперименте// Тезисы всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред». Владивосток: Дальнаука, 2009. С. 28.

123. В. В. Веденеев. Численное исследование панельного флаттера с использованием точной аэродинамической теории// Тезисы докладов международной конференции «Авиация и космонавтика 2008». М.: МАИ-ПРИНТ, 2008. С. 71.1. Литература

124. В. В. Веденеев. Нелинейный высокочастотный флаттер пластин// Тезисы докладов всероссийской конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Москва, 2007. С. 37-38.

125. В. В. Веденеев. Нелинейный высокочастотный панельный флаттер// Тезисы докладов международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды». Саратов: Изд-во

126. Саратовского университета, 2007. С. 30-31.

127. В. В. Веденеев, А. Г. Куликовский. Неустойчивость плоской упругойпластины, обтекаемой потоком газа// Тезисы докладов XII школысеминара «Современные проблемы аэрогидродинамики». Туапсе, 2004.

128. М.: Изд. МГУ, 2004. С. 22.

129. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1976. 576 с.

130. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T. I. М.: Наука, 1976. 536 с.

131. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

132. Miles J.W. On the disturbed motion of a plane vortex sheet// Journal offluid mechanics. 1958. V. 4. P. 538-552.

133. Лаврентьев M.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексногопеременного. М.: Наука, 1973. 736 с.

134. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

135. Ландау Л.Д. Об устойчивости тангенциальных разрывов в сжимаемойжидкости// Доклады АН СССР. 1944. Т. 44. № 4. С. 151-153.428

136. Сыроватский С.И. Неустойчивость тангенциальных разрывов в сжимаемой среде// Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1954. Т. 27. Вып. 1 (7). С. 121-123.

137. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. 432 с.

138. Куликовский А.Г. Об устойчивости однородных состояний// Известия АН СССР. ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 1. С. 148-153.

139. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т. 10. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.

140. Hersh R. Boundary conditions for equations of evolutions// Archive for rational mechanics and analysis. 1964. V. 16. № 4. P. 243-264.

141. Минасян Д.М. Флаттер упругой пластинки при малых сверхзвуковых скоростях потока газа. Сравнительный анализ// Известия НАН Армении. Механика. 2001. Т. 54. № 3. С. 65-72.

142. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера// Известия РАН. МТТ. 1999. №. 1. С. 170-176.

143. Кан С.Н., Свердлов И.А. Расчёт самолёта на прочность. М.: Машиностроение, 1966. 520 с.

144. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов. М.: Машиностроение, 1980. 544 с.

145. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1980. 231 с.

146. Бидерман B.JI. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

147. Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек// Известия АН СССР. ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 5. С. 831-842.

148. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластинок// Инженерный сборник. 1961. Т. 31. С. 3-14.

149. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Вибропоглогцающие свойства конструкционных материалов. Киев: Наукова думка, 1971.

150. Lees L., Lin С.С. Investigation of the stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid. NACA TN № 1115. 1946. 85 p.

151. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. M.: Изд-во иностранной литературы, 1958. 195 с.

152. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

153. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1972. 320 с.

154. Lees L., Reshotko Е. Stability of the compressible laminar boundary layer// Journal of fluid mechanics. V. 12. P. 555-590. 1962.

155. Куликовский А.Г. О глобальной неустойчивости однородных течений в неодномерных областях// ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 2. С. 257-263.

156. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

157. Муравей Л.А. О корнях функции Ai'(z) — oK\{z)// Дифференциальные уравнения. 1975. T. XI. №. 6. С. 1054-1077.

158. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

159. Ribeiro P., Petyt М. Non-linear vibrations of beams with internal resonance by the hierarchical finite element method// Journal of sound and vibration. 1999. V. 224 (4). P. 591-624.

160. Han W., Petyt M. Geometrically nonlinear vibration analysis of thin, rectangular plates using the hierarchical finite element method. Part I: The fundamental mode of isotropic plates// Computers and structures. 1997. V. 63. № 2. P. 295-308.

161. H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1955. 410 с.

162. Д. Стокер. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: Изд-во иностранной литературы, 1952. 264 с.

163. Аэродинамические установки Института механики Московского университета. Под ред. Г.Г. Черного, А.И. Зубкова, Ю.А. Панова. Изд-во МГУ. 1985. 44 с.

164. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. М.: Мир. 1972. 381 с.