Устойчивость и жесткость частных решений задачи о вращении гиростата вокруг неподвижной точки в консервативных силовых полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Мурадов, Фархад Кямал оглы

• Мурадов, Фархад Кямал оглы
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мурадов, Фархад Кямал оглы

I. Введение.

Глава I. Устойчивость движения гиростатов постоянной массы.

§ I.I Уравнения движения гиростата постоянной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил

§1.2 Об устойчивости перманентных вращений гиростата постоянной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил.I®

§1.3 Об устойчивости перманентных: вращений гиростата постоянной массы вокруг закрепленной точки в ньютоновском поле сил.

Глава II. Устойчивость движения гиростатов переменной массы.

§ 2.1 Уравнения движения гиростата переменной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил

§2.2 Об устойчивости перманентных вращений симметричного гиростата переменной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил Д - в , U-U(£fjJj

§2.3 Об устойчивости перманентных вращений несимметричного гиростата переменной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил

Глава III. Жесткость движения гиростатов

§ 3.1. Необходимые сведения из теории жесткости движения

§ 3.2 Применения метода функции Ляпунова к задаче жесткости движения.

§ 3.3 Жесткость оси вертикально выпрямленного симметричного гиростата в консервативном поле сил.

§ 3.4. Жесткость оси вертикально выпрямленного несимметричного гиростата в ньютоновском поле сил.

§ 3.5. Жесткость оси вертикально выпрямленного тяжелого тела в случае сшлера-Пуансо

§ З.б. Жесткость стационарных движений в задаче Розе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и жесткость частных решений задачи о вращении гиростата вокруг неподвижной точки в консервативных силовых полях»

Задача об устойчивости перманентных вращений твердого тела в консервативных силовых полях имеет непродолжительную историю. Ее появление связано с потребностями инженерной практики. Моменты гравитационных сил Земли, Луны и планет являются одним из важных факторов, влияющих на вращение искусственных и естественных небесных тел и других космических объектов. Анализ гравитационных полей Земли и Луны показывает, что они являются неоднородными с достаточно сложной нелинейной потенциальной функцией. Нецентральное ть гравитационного поля Земли, а также, и других планет обусловлена неоднородностью массы планеты, ее фигурой и т.п. Неоднородности силового поля создают также магнитные силы, как естественного происхождения, так и искусственно генерируемые.

Первым, кто начал изучать перманентные вращения твердого тела и прежде всего их устойчивость, был Н.Е.Жуковский /24/. В этой связи следует также упомянуть работы Р.Граммеля /20/, 0. Боттема /10/, Н.ГЛетаева /72/, В.В.Румянцева /55,56,58/, В.Г.Демина /23/, В.В.Крементуло /36/, В.Н.Скимеля /62/, В.Н.Рубановско-го /54/ и др. Работы названных авторов объединяет то, что в mix рассматривается движение твердого тела в однородном поле тяжести. Такая модель силового поля Земли, является приближенной и в некоторых задачах механики оказывается довольно- грубой. В таких случаях следует рассматривать более близкое к реальному неоднородное гравитационное поле, например, центральное.

Изучение перманентных вращений твердого тела, движущегося в неоднородном поле сил, связано с развитием космонавтики. За одну из основных моделей гравитационного поля Земли принималась модель, в которой силовое поле Земли трактовалось как центральное ньютоновское поле с силовой функцией, представляющей собой сумму линейной и квадратичной форм относительно направляющих косинусов вертикали с главными осями инерции твердого тела для закрепленной точки. К исследованию такого рода задач относятся работы В.В. Белецкого /9/, Г.К.Пожарицкого /51/, П.А.Кузьмина /37/, А.А.Ан-чева /4/ и др. Ряд практически важных задач устойчивости движения искусственных небесных тел решен Д.Е.Охоцимским и В.А.Сары-чевьзм /49/.

Нахождению всего множества перманентных осей вращения твердого тела и исследованию их устойчивости в произвольном консервативном поле сил с аналитической относительно трех направляющих косинусов, прямой в главных осях инерции силовой функцией посвящены работы Н.Г.Апыхтина /5-7/.

Бурное развитие ракетной техники и космических полетов сделало задачу о движении гиростата, т.е. твердого тела с роторами или с полостями, частично или полностью заполненными идеальной или вязкой жидкостью, одной из первоочередных задач механики.

Задачи динамики тел с полостями, содержащими жидкость, относятся к числу трудных классических задач механики. Их исследование было начато еще в прошлом веке Стокеом /69/ и продолжено затем в работах Гельмгольца, Неймана /46/ и Ламба /38, 39/ . В дальнейшем различные аспекты этой задачи рассматривались Кель-виным /28/, Гринхилмом /21-22/, Пуанкаре /52/ и др. В работах Н.Е.Жуковского /25/ и В.Вольтерра /13/ детально разработана теория движения твердого тела с полостью, полностью наполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей потенциальное движение. Н.Е.Жуковский в работе /25/ показал, что потенциальное движение жидкости в полости определяется движением тела, само лее движение тела совершается так, как если бы жидкость была заменена эквивалентным твердым телом.

Для абсолютно твердого тела с полостями, содержащими жидкость, когда массы тела и жидкости неизменны, наиболее, общий характер имеют дифференциальные уравнения движения, выведенные В.В. Румянцевым /44/.

Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки служит базой многих технических приложений, прикладной гироско-пии, теории инерциальной навигации и динамики вращательного движения космических аппаратов. Более сложной, по сравнению с классической, является задача о движении твердого тела с одной закрепленной точкой /гиростата/, имеющего роторы и полости с жидкостью, в исследовании которой важную роль сыграли труды Н.Е.Жуковского /25/, А.Ю.Ишлинского /26/, Ламба /39/, Н.Н.Моисеева /43, 44/, Г.С.Нариманова /45/, Д.Е.Охоцимского /50/, В.В.Румянцева /44,57,58/, С.Л.Соболева /68/, Стокса /69/, Н.Г.Четаева /72/.

С середины XIX века была поставлена задача о движении твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. Как показал В.В.Румянцев /44/, движение такого тела может быть описано конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Одновременно с изучением задачи о движении твердых тел с полостями, заполненными жидкостью, возник вопрос об устойчивости частных движений таких тел. Еще в опытах Кельвина было обнаружено , что вращение волчка будет устойчиво, если полость сжата в направлении оси вращения, и неустойчиво в противном случае. В работах Гринхилла /22/, Хао;а /71/, Пуанкаре /52/ и др. проводилось теоретическое исследование этой задачи.

В работе С.Л.Соболева /68/ рассматривалось движение тяжелого симметричного волчка с полостью, заполненной идеальной жидкостью, им, в частности, указаны некоторые условия устойчивости. Стюартсон в работе /70/ исследовал устойчивость тяжелого волчка с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью.

Более интересные результаты устойчивости перманентных вращений твердого тела с полостями заполненными жидкостью, принадлежат Н.Г.Четаеву /72/ и В.В.Румянцеву /44,57/. К исследованию такого рода задач относятся работы Н.Н.Колесникова /32-34/, В.Н. Скимеля /63,64/ и др. В названных работах движение твердого тела рассматривается в однородном ньютоновском поле сил.

Развитие современной техники и ее качественное изменение, вызванное широким применением реактивного движения, требует решения задач о движении тел переменной массы.

Механику тел переменной массы, основы которой были заложены в работах И.В.Мещерского /40-42/, можно разбить на два этапа. На первом этапе /до середины 50-х годов XX века/ исследуется, главным образом, движение тел с отбрасыванием частиц и проводится систематическое построение теории. Этому посвящены работы М.Ш. Аминова /2,3/, А.С.Галиуллина /14/, И.Ф.Верещагина /II/, Ф.Р. Гантмахера и Л.М.Левина /19/, Л.А.Космодемьянского /35/, B.C. Новоселова /47,48/ и др.

Второй этап /с середины 50-х годов XX века/ соответствует исследованию движения тел как с отбрасыванием, так и с присоединением частиц. Таковы, например, работы В.М.Карагодина /27/ и В.В.Сапа /61/.

При построении достаточных условий устойчивости движения тела переменной массы оказался плодотворным модифицированный метод Н.Г.Четаева, предложенный М.Ш.Аминовым /I/. М.Ш.Аминов в своей монографии /3/ дал вывод дифференциальных уравнений движения свободного и закрепленного в одной точке твердого тела, масса которого меняется за счет отделения частиц. В этой же работе 1/1.Ш.Аминов изучил устойчивость перманентных вращений тела переменной массы с одной неподвижной точкой в однородном поле сил. Изучению перманентных вращений твердого тела переменной массы в неоднородном поле сил посвящена также работа И.Й.Вовченко /12/.

В работах А.С.Галиуллина /15-18/ изучена устойчивость вращательного движения твердого тела переменной массы, центр тяжести которого совершает программное движение.

Изучению перманентных вращений гиростата переменной массы в ньютоновском поле сил с силовой функцией, представляющей собой сумму линейной и квадрапшчной форм относительно направляющих косинусов вертикали с главными осями инерции гиростата, посвящены работы Ж.Киргизбаева /29-31/.

В работах В.Н.Скимеля /65,67/ вводится определение жесткости движения механических систем. Свойство жесткости можно рассматривать как своего рода обощение и модификацию понятия устойчивости. Действительно, после Ляпунова изучались свойства движений, которые по-прежнему продолжали называть устойчивостью. Термин "устойчивость" приобрел более широкий смысл, нежели тот, который был заложен в определении Ляпунова. Так, например, понятие технической устойчивости /72/ уже не связано непосредственно с представлением об устойчивости /"сохранении"/ движения при малых начальных возмущениях. Также обстоит дело и с понятием жесткости, которое охарактеризуем ниже.

На практике часто встречаются случаи, когда невозмущенное /ведущее/ движение некоторой механической системы по определенной части переменных подвергается большим возмущениям. При этом требуется, чтобы отклонения возмущенного движения от невозмущенного в остальных переменных были бы малыми. Что касается поведения с течением времени первой части переменных в возмущенном движении, то обычно требуется лишь их ограниченность.

Перечисленным требованиям можно удовлетворить выбором величин определенных параметров, содержащихся в уравнениях возмущенного движения рассматриваемой системы. Такие параметры В.Н.Ски-мель называет существенными. Заметим, что за существенные параметры, наряду с некоторыми физическими параметрами системы, могут приниматься и начальные условия, определяющие семейство невозмущенных движений. В работах /65,67/ приводятся и обсуждаются соответствующе определения.

Дифференциальные уравнения возмущенного движения системы предполагаются зависящими от существенных параметров:

0.1) где ОС - /2 -мерный вектор, CL - постоянный векторный параметр, вектор-функция, удовлетворяющая условию

XHfOfOjsO при i У/ и условиям теоремы существования и единственности решения в соответствующей области пространства переменных Х^ • • •, Хп .Обозначим через хЦ-toj Щ решение системы (0.1).

Разделил переменные на части

Хы, Xjj, Ш) р - Wi, • • п) и введем области

П('/х: fx*/**,, Ixfl+bj,

- г П -)

Определение. Решение Х-О уравнения (0.1) обладает жесткостью по переменным , если для любых наперед заданных чисел £f 7 О , <Рл 7 О /первое может быть сколь-угодно мало, а второе - велико/ и момента io У/ "to можно указать зависящие от ншс параметр ft* и числа ^ у 0 , определяющие области

0,2) такие, что решение системы /0.1) ^ Я1* Ol*)^ fli , если только Х0 6 П$ .

Вводится и ряд других определений, представляющих собой модификации основного определения /сильная жесткость, практическая устойчивость и т.п./. Свойство жесткости не исключает возможности использования и других областей, отличных от (0.2). В частности, например, можно было воспользоваться областями вида которыми мы пользуемся в настоящей работе.

Обратим здесь внимание на то обстоятельство, что жесткость решения =г О и его устойчивость представляют собой, вообще говоря, независимые свойства /65/.

Признаки жесткости устанавливаются с помощью теорем, связывающих поведение решений уравнений возмущенного движения /как того требуют определения/ с существованием функции V • С этой целью в рассмотрение вводится функция VHjOCjCt) , зависящая определенным образом от параметров. Такие функции В.Н.Скимель называет обладающими свойствами /\ . Свойство /4 связано также и с принятым разделением переменных на части Хы , Xj} .

Что касается самих теорем жесткости, то как их формулировки, так и доказательства подобны теоремам прямого метода Ляпунова. Однако для этих случаев могут быть использованы функции, не зависящие от параметров. В частности, предлагается аналог известной теоремы Четаева о неустойчивости. Изложение теоремы сопровождается примерами преимущественно академического характера.

В частности, в работе /67/ как пример рассмотрена жесткость перманентных вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа. В работе /66/ изучены свойства жест -кости некоторых движений консервативных систем.

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости перманентных вращений гиростата постоянной и переменной массы с одной неподвижной точкой в произвольном консервативном силовом поле и жесткости перманентных вращений гиростата постоянной массы и стационарных движений в задаче Розе.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной и цитированной литературы.

Во введении дан краткий исторический обзор работ, связанных с рассматриваемыми здесь вопросами устойчивости и жесткости движения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Мурадов, Фархад Кямал оглы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование условий устойчивости невозмущенного движения твердого тела вокруг неподвижной точки является одной из самых первоочередных проблем механики. Интерес к ней определяется ее практическим значением для прикладной теории гироскопов и динамики вращательного движения космических аппаратов. В нашей работе получены:

- необходимые, и- достаточные условия устойчивости, перманентных вращений гиростатов-постоянной массы в произвольном консервативно!,i поле сил. Практически важный случай ньютоновского поля сил рассмотрен как частный случай, где в разложении силовой функции сохранены три первых гармоники;

- применяя метод Четаева-Аминова для построения функции Ляпунова получены достаточные, условия устойчивости перманентного движения симметричного и несимметричного гиростата переменной массы в произвольном консервативном поле сил. Здесь также ньютоновское поле сил рассмотрено как частный случай консервативного поля сил;

- исследована жесткость оси- вертикально•выпрямленного симметричного и несимметричного гиростата соответственно в консервативном и ньютоновском полях сил ;

- отдельно рассмотрена жесткость оси вертикально выпрямленного гироскопа Зйлера-Пуансо.;

- исследована жесткость стационарных движений связки двух тел с цилиндрическим шарниром и. показано, что стационарное движение обладает жесткостью по углам нутации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мурадов, Фархад Кямал оглы, 1984 год

1. Аминов М.Ш. Об одном методе получения достаточных условий устойчивости неустановившегося движения. - ПММ, т.19, вып. 5, 1955, с.621-622.

2. Анчев А.А. О перманентных вращениях твердого тела с одной неподвижной точкой и их устойчивости.- ПММ, т.29, вып.2, 1955, с.380-386.

3. Апыхтин Н.Г. Об устойчивости некоторых перманентных вращений твердого тела.- ПШ, т.29, вып.2, 1965, с.375-379.

4. Апыхтин Н.Г. Об устойчивости перманентных вращений симметричного твердого тела.- ПММ, т.40, вып.1, 1976, с.171-173.

5. Апыхтин Н.Г. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела в потенциальном поле сил. В кн.: Числен, мет. реш. задач матем. физики и теории систем. М.: 1978, с.88-96.

6. Архангельский Б.А. Аналитическая динамика твердого тела.-М.:Наука, 1977, 328 стр.

7. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс.- м.:Наука, 1965, 416 стр.10. bviiehvOL О. $2 зЖхЛМоШ. vanban fybaude.- Ekoc. Konimd* /IkcLexJ, Jjmd ♦

8. Верещагин К.©. Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы.- Пермь:т. I, 1969, 217 стр., т.2, 1972, стр. 235.

9. Вовченко И.И. Об устойчивости некоторых случаев движения тел переменной массы с одной закрепленной точкой.- Тр. КАЙ, вып. 61, матем. и мех., I960, с.29-46.

10. XhltvvtOL V. Uuz ikzotiz, о/лб bwtLcdc.ofi6du luiUucJes Л da МиШяг,, 1&ЗЭ} i.22, Z0i~$56 (оипои.).

11. Галиуллин А.С. Об одной задаче устойчивости движения тяжелой точки переменной массы на конечном интервале времени.- Тр. КАИ, вып.28, 1953, с.

12. Галиуллин А.С. К устойчивости движения тяжелой точки переменной массы.- Тр. КАЙ, вып.37, 1957, с.

13. Галиуллин А.С. Об устойчивости программного движения тяжелой точки переменной массы.- Тр. КАЙ, вып.37, 1957, с.

14. Галиуллин А.С. 0.6 устойчивости движения тяжелой точки переменной массы.- Тр. КАИ, вып.45, 1959, с.

15. Галиуллин А.С., Мухалетзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов

16. В.Д. Построение систем программного движения. -Ы.:Наука, 1971, 352 стр.

17. Гантмахер Ф.Р., Левин Л.М. Теория полета неуправляемых ракет.-М. :<3изматгиз, 1959, 239 стр.

18. Ozwm*ite£ R. Die 5>ia$<ilce4 Ыеъ SioutcfescA&z Ж&щ/ ~ кло^ил^ек.--Mai/i> Ь., 1920,Ло/. б, 5.

19. Д. £fyfzu#tics oj a iqp.- Pzoc. la/гс/, Mot6i>

20. Sec., JS9S, 26, 2JS-2S6{CM?U.) .22. (rzeenhtfl J}.&. ffihe. pf £Аг- Science, /90S, JTS, 973-97J*fa/teu.J.

21. Демин В.Г. Об устойчивости перманентного вращения тяжелого твердого тела, мало отличающегося от гироскопа С.В.Ковалевской.- Тр. УДН т.5, вып.2, 1964, с.136-140.

22. Жуковский Н.Е. 0 прочности движения.- Ученые зап. МГУ, вып. 4, 1882, с.1-104.

23. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью.- Избранные соч., т.I, М.-Л.:Гостехиздат, 1948, с.31-152.

24. Ишлинский АЛО., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, тлеющего полость, целиком заполненную несжимаемой жидкостью.- ПМТВ, № 3, I960, с.415-421.

25. Карагодин В.М. Теоретические основы механики тела переменного состава.- М.:0боронгиз, 1963, 252 стр.

26. MeJfo-tfi) L<yiol> Ma£h&riaJ:iu>t£ алс/ Physical 3

27. Киргизбаев Ж. Об устойчивости перманентного движения тяжелого тела переменной массы с гироскопом. -Тр. УДН, математика, вып.2, с.215-217.

28. Киргизбаев Ж. Об устойчивости в некоторых случаях движения тяжелого тела переменной массы с одной неподвижной точкой.-Тр. УДН, математика, вып.2, с.218-223.

29. Киргизбаев Ж. К устойчивости перманентных вращений тела переменной массы с гироскопом в ньютоновском поле сил.- Тр. УДН, серия механики, вып.5, 1968, с.13-23.

30. Колесников Н.Н. Об устойчивости свободного твердого тела с полостью, заполненной несжимаемой вязкой жидкостью,- ПММ, т.24, вып.4, 1962, с.606-612.

31. Колесников Н.Н. К устойчивости свободного гиростата. ПММ,т.27, вып.4, 1963. с.699-702.

32. Колесников Н.Н. Об устойчивости свободного гиростата.- Вестник МГУ, В 3, 1966, с.125-128.

33. Космодемьянский А.А. Механика тел переменной массы. М.:Изд. ВВИА им.Н.Е.Жуковского, 1947, стр.235.

34. Крементуло В.В. Стабилизация стационарных движений твердого тела.- М.:Наука, 1977, стр.264.

35. Кузьмин П.А. Стационарные движения и их устойчивость в центральном поле тяготения. -В кн.:Труды межвуз.конфер.по теории устойчивости и аналитич.механ. Казань,1964,стр.93-98.

36. Lcmcl. On- Же ftee motion cc so&o/ МъоадЛ алinJihiU mus«s of ^ulo/,- Рь&с* о/ tAz Ufto/ж . Soc,, J'£S (cweu.).

37. Ламб.Г. Гидродинамика. Перев. с англ.М.:Гостехиздат, 1947, стр.928.

38. Мещерский И.В. Динамика точки переменной массы. Сб.И.В.Мещерский. Работы по механике тел переменной массы.- М.Л.:Гостех-,издат, 1949.

39. Мещерский И.В. Интегрирование уравнений движения в задаче двух тел переменной массы. -Сб. И.В.Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. M.-JI. :Гостехиздат, 1949.

40. Мещерский И.В- Уравнения движения точки переменной массы в общем случае.- Сб. И.В.Мещерский, заботы по механике тел переменной массы.- М.-Л.:Гостехиздат,1949.

41. Моисеев Н.Н. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, тлеющего свободную поверхность.- Мат.сб.1953, с.215-219.

42. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость.- М.':Наука, 1965,стр.439.

43. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью,- ПШ, т.20, вш.1, 1956,с.65-68.

44. МЫпгапп С. tfydncxtfymwccte ^с/е^исЛсо^^е/г. -Lelfbijf, 1865 (мае J,

45. Новоселов B.C. Некоторые вопросы механики переменных масс с учетом внутреннего движения частиц.-I.Вестник.ЛГУ, № 19, 1956, с.814-817.

46. Новоселов B.C. Некоторые вопросы механики переменных масс с учетом внутреннего движения частиц.-II.Вестник ЛГУ, ii= 1, 1957, с.55-59.

47. Охоцимский Д.Е., Сахычев В.А. Система гравитационной стабилизации искусственных спутников.- Искусст.спутн.Земли, 1963, вып.116, с.5-9.

48. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями частично заполненными жидкостью.- 1ШМ,вып.1, 1956, с.55-59.

49. Пожарицкий Г.К. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела с закрепленной точкой, находящегося в центральном ньютоновском поле сил. -ГОН, т.23, выл.4,1959, с.732-793.

50. Рао^салг Н- /к^слш&г c/ej сгукtes. Лсс&е&г. asZvemtntyue, /9/0, t. 3&--3S6,

51. Розе Н.В. Проблема гироскопической стабилизации.- Труды Ленинград. инст. точной механики и оптики, вып.6, 1941, с.57-64.

52. Рубановский В.Н. 0 бифуркации и устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой.-Те ор. и прикл. мех., т. 5, II- 2, 1974, с. 55-70.

53. Румянцев В.В. К задаче о движении твердого тяжелого тела с одной неподвижной точкой.- Докл.АН СССР, т.116, Р 2, 1957, с.185-188.

54. Румянцев В.В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки.- ПШ, т.21, 3, 1957, с.339-346.

55. Румянцев В.В. Об устойчивости вращательных движений твердых тел с жидким наполнением.- ПШ, т.23,вып.6,1960,с.1057-1065.

56. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в случае. С.В.Ковалевский.-ПШ, т. 18, К- 4, 1954, с.457-458.

57. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов.- 11ММ, т.25, выпЛ.,1961, с.778-784.

58. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных.-Вес тник Моек. ун-та,сер.мат.,мех.,ас троном.,шиз., хим., Р 4, 1957, с.9-16.

59. Сапа В.А. Движение материальной точки переменной массы в случае одновременного отделения и присоединения частиц.-Уч.зап. КГУ, т.30, вып.5,1957,с.573-578.

60. Скимель В.Н. К задачам устойчивости движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.- ГШ,т.20, И°- I, 1956,с.130-132.

61. Скимель В.Н. Об устойчивости некоторых типов гиростатов.-Тр. КАИ, т.71, 1962, с.33-40.

62. Скимель В.Н. Об устойчивости некоторых движений гиростатов.-Тр. КАИ, т.71,1962, с.36-41.

63. Скимель В.Н. Об одном свойстве движения.- Тр. КАЙ, 1969, вып. 109, с.52-58.

64. Скимель В.Н. 0 свойстве жесткости некоторых гироскопических систем.- Тр. КАИ, вып.119, 1970, с.70-81.

65. Скимель В.Н. О свойстве жесткости движения.- ПШ, т.42, № 3, 1978, с.407-414.

66. Соболев СЛ. О движении симметричного волчка с полостью наполненной жидкостью.- Журнал прикладной механики и технической физики, № 3, I960, с.20-25.

67. Четаев Н.Г. Устойчивость движения.- Работа по аналитической механике. М.:АН СССР, 1962, стр.535.