Об устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Руденко, Татьяна Владимировна

• Руденко, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Руденко, Татьяна Владимировна

Введение

1 Вывод уравнений движения

1.1 Некоторые геометрические и кинематические формулы

1.2 Уравнения движения.

2 Об устойчивости стационарных движений гиростата

2.1 Функция Рауса.

2.2 Стационарные движения.

2.3 Устойчивость стационарных движений

2.3.1 Тело с круговым основанием

2.3.2 Диск с ротором.

2.3.3 Тело, опирающееся на плоскость иглой.

3 Гиростат с жидкостью в полости

3.1 Уравнения движения. Первые интегралы.

3.2 Стационарные движения. Устойчивость.

3.3 Случай тонкой оболочки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости»

1. Задача исследования движения и устойчивости качения тела по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости является классической задачей, которой начали заниматься во второй половине XIX столетия и которую продолжают изучать до настоящего времени.

В 1861 г. Г. Слессер [65], используя основные теоремы динамики, составил уравнения движения тяжелого тела вращения, отнесенные к системе координат, движущейся относительно тела и в пространстве.

Э. Дж. Раус в своем трактате [63], также записав основные теоремы динамики в полуподвижной системе координат, получил уравнения движения без скольжения тела вращения по горизонтальной плоскости, определил условия существования его стационарных движений, исследовал вертикальные вращения и малые колебания вблизи положения равновесия тела произвольной формы, вывел первые интегралы уравнений движения в случае тела вращения со сферическим основанием.

С. А. Чаплыгин [53] впервые вывел дифференциальные уравнения движения неголономной системы в обобщенных координатах для систем, кинетическая, потенциальная энергии и уравнения связей которых не содержат некоторых из обобщенных координат. Системы, обладающие таким свойством, стали называть системами Чаплыгина. Однако, решая далее задачу о движении без скольжения тяжелого симметричного гиростата — тела вращения с ротором, он записал уравнения движения гиростата на основе общих теорем динамики с последующим исключением входящих в эти уравнения реакций. Далее он указал ряд частных случаев, когда интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам, и сделал ряд замечаний о характере движения гиростата в этих случаях.

В монографии А. Грэя [57] изложена теория движения тела вращения со сферическим основанием, несущего ротор, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, найдено условие существования стационарных движений системы, рассмотрен случай диска с ротором.

Из линеаризованных уравнений движения определены условия устойчивости прямолинейного качения тела с круговым основанием, в частности диска, по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости pi].

В конце XIX столетия Э. Дж. Раус [62] получил условия устойчивости стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами или с известными первыми интегралами. Следует отметить, что для голономных консервативных механических систем существует единственное определение циклической координаты, которое одновременно обеспечивает наличие соответствующего циклического интеграла. В случае неголономных систем существуют несколько определений псевдоциклической координаты [22], среди которых имеются определения, обеспечивающие существование стационарных движений, но вообще говоря, не допускающие циклических интегралов. Таким образом, консервативные неголоном-ные механические системы не имеют, вообще говоря, интегралов, отличных от интеграла энергии. Однако, в некоторых случаях неголо-номная система Чаплыгина допускает первые интегралы, явный вид которых неизвестен, но их можно представить в виде гипергеометрических рядов [20]. Несуществование дополнительных интегралов в случае неголономной системы существенно затрудняло исследование устойчивости ее стационарных движений.

В работах И. М. Миндлина [28] и А. П. Дувакина [7] исследована устойчивость прямолинейного качения диска с ротором и устойчивость прямолинейного качения диска и верчения диска вокруг вертикально расположенного диаметра на абсолютно шероховатой плоскости. И. М. Миндлиным и Г. К Пожарицким [29] получено необходимое и достаточное условие устойчивости стационарных движений гиростата в предположении, что угол нутации отличен от нуля. При исследовании устойчивости прямым методом Ляпунова использовалось представление неизвестных первых интегралов в виде гипергеометрических рядов.

В монографии Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [31] впервые дано достаточно полное изложение механики неголономных систем. Рассмотрены различные формы уравнений движения неголономных систем, затронуты вопросы малых колебаний около положения равновесия и устойчивости стационарных движений.

A. В. Карапетяном было исследовано движение на абсолютно шероховатой плоскости тяжелого тела, распределение масс и форма поверхности которого произвольны [12, 13], а также некоторых частных случаев тел [17, 14]. Рассмотрено движение [19] по абсолютно шероховатой плоскости трехосного эллипсоида, центр масс которого совпадает с его геометрическим центром. Найдено условие существования перманентных вращений эллипсоида. Изучены случаи перманентных вращений вокруг его главных осей, вокруг осей, расположенных в главной плоскости эллипсоида, и вокруг произвольной оси.

B. В. Румянцевым [40] исследована устойчивость стационарных вращений вокруг вертикали тяжелого гиростата произвольной формы.

В диссертации А. В. Карапетяна [12] разработана теория устойчивости стационарных движений неголономных систем. Показано, что если рассматривается неголономная система Чаплыгина, причем матрица диссипативно-ускоряющих сил, действующих на линейную приведенную систему, тождественно по позиционным координатам обращается в нуль, то для исследования устойчивости справедливо обобщение теоремы Рауса.

В работе А. В. Карапетяна и В. В. Румянцева [22] дан обзор результатов об устойчивости положений равновесия и стационарных движений голономных и неголономных систем, исследованы стационарные движения тяжелого твердого тела на горизонтальной абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостях и на плоскости с трением.

В монографии А. П. Маркеева [25] изложены основные результаты в задачах движения твердых тел по поверхности, в частности, по абсолютно шероховатой плоскости. Исследованы стационарные и периодические движения тела произвольной формы, тела вращения, диска, трехосного эллипсоида.

В работе J1. Сальвадори и Ф. Визентин [64] для неголономной динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями Вольтерра с одной ациклической переменной, построена функция, к определению минимума которой сведено исследование устойчивости динамической системы. Полученные результаты приложены к задаче о качении тела вращения по горизонтальной плоскости, найдены условия устойчивости всех стационарных движений тела вращения, за исключением вращения вокруг вертикально расположенной оси симметрии.

В диссертации Е. Н. Шевелевой [54] рассмотрено движение без скольжения неоднородного диска, представляющего собой однородный круговой диск с расположенной на нем точечной массой; найдены необходимые условия устойчивости верчения системы вокруг вертикально расположенного диаметра, содержащего эту точечную массу. В диссертации [54] и в статье В. И. Каленовой, В. М. Морозова, Е. Н. Шевелевой [11] рассмотрено движение по абсолютно шероховатой плоскости одноколесного велосипеда, состоящего из однородного кругового диска, стержня, прикрепленного к центру диска и движущегося в плоскости диска, и однородного симметричного маховика, установленного на стержне. Найдены необходимые условия устойчивости равновесия системы, вращения диска вокруг неподвижного вертикального диаметра и прямолинейного качения системы.

Исторический очерк развития рассматриваемой проблемы имеется в трактатах П. Аппеля [3], Е. Рауса [63], а также в современной монографии А. П. Маркеева [25]. Исторический обзор достижений в развитии теории устойчивости стационарных движений голономных систем и систем с дифференциальными связями с учетом результатов последних лет дан в монографии А. В. Карапетяна [20].

2. Фундаментальные результаты в задачах динамики твердых тел, имеющих полости, содержащие жидкость, принадлежат В. В. Румянцеву [45, 36, 30, 42, 44, 4, 5 ]. А. В. Карапетяном [16] получены достаточные условия устойчивости регулярной прецессии симметричного твердого тела с неподвижной точкой, имеющего эллипсоидальную полость, целиком заполненную идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.

В последнее время возрос интерес к задаче движения тяжелого осе-симметричного тела с полостью, содержащей жидкость, по горизонтальной неподвижной плоскости. Первой в этом ряду исследований была работа А. П. Маркеева [26], в которой рассмотрено движение тела вращения с полостью в форме эллипсоида вращения, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Для случая абсолютно гладкой плоскости найдены необходимые и достаточные условия устойчивости вращения гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Для абсолютно шероховатой плоскости получено необходимое условие устойчивости вертикального вращения гиростата в предположении, что тело и жидкость вращаются с одинаковой угловой скоростью

26]; исследованы колебания около положения равновесия гиростата

27].

В работе И. М. Казмерчука и В. А. Самсонова [10] рассмотрено движение осесимметричного тела с цилиндрической полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью. При различных законах трения исследованы семейства траекторий волчка на фазовой плоскости.

В статье А. В. Карапетяна и О. В. Прокониной [21] исследована устойчивость вращений на горизонтальной плоскости с трением скольжения симметричного твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость, целиком заполненную идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.

В конце XIX столетия Уильям Томсон (лорд Кельвин) [66] описал опыты с жидкостным гиростатом, представляющим собой тонкую оболочку в форме эллипсоида вращения, целиком заполненную жидкостью. С. Гафом, А. Б. Бассе и С. В. Жаком были получены необходимые [59, 56] и достаточные [8] условия устойчивости вертикального вращения волчка, движущегося по инерции вокруг центра полости. А. П. Маркеев [26] определил области устойчивости равномерного вращения вокруг вертикально расположенной оси симметрии тонкостенного волчка на абсолютно гладкой плоскости. В статьях А. В. Карапетяна и О. В. Прокониной [21, 50] исследована устойчивость стационарных движений тонкостенного волчка, заполненного жидкостью, на плоскости с трением скольжения. А. В. Карапетяном [15] найдены стационарные и периодические движения тонкостенного сфероида, целиком заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, на горизонтальной плоскости с вязким трением скольжения; рассмотрен вопрос ветвления этих движений, получены необходимые условия устойчивости равномерного вращения сфероида вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Для случая абсолютно шероховатой плоскости в результате анализа корней характеристического многочлена линеаризованных уравнений А. П. Маркеев [26] установил, что необходимое условие устойчивости вертикального вращения выполнено для сжатого вдоль оси симметрии волчка и некоторых вытянутых волчков.

3. Диссертация посвящена вопросам устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, рассмотрено влияние ротора и жидкости на устойчивость стационарных движений. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, и списка литературы, содержащего 67 наименований.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Руденко, Татьяна Владимировна

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

Показано, что уравнения движения симметричного гиростата — тяжелого симметричного тела вращения с ротором — в форме уравнений Чаплыгина выражают в проекциях на оси полуподвижной системы координат тоерему об изменении кинетического момента гиростата, взятого относительно точки контакта корпуса с опорной плоскостью.

2. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости стационарных движений гиростата. Исследовано влияние ротора на устойчивость стационарных движений. Показано, что с увеличением мгновенной угловой скорости ротора возможно стабилизировать неустойчивое перманентное вращение и прямолинейное качение гиростата.

3. Рассмотрен случай, когда корпусом гиростата является тело с круговым основанием, в частности диск. Показано, что ротор оказывает стабилизирующее влияние на равновесие гиростата. Установлена неустойчивость прямолинейного качения диска с ротором при условии, что осевой кинетический момент такого гиростата равняется нулю.

4. Получено обобщение интеграла Желле для гиростата, корпус которого — тело вращения со сферическим основанием, к телу прикреплен симметричный ротор, в теле имеется полость в форме эллипсоида вращения, целиком заполненная однородной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.

5. Найдены стационарные движения гиростата с жидкостью в полости. Построением функции Ляпунова в виде связки первых интегралов получены достаточные условия устойчивости найденных стационарных движений. Показано, что если полость представляет собой сильно вытянутый вдоль оси симметрии эллипсоид и жидкость и корпус вращаются с одинаковой угловой скоростью, то нарушаются достаточные условия устойчивости вращения гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Показано, что вращение ротора в направлении, противоположном вращению корпуса и жидкости, также разрушает устойчивость.

6. Исследован случай, когда ротор отсутствует, а масса корпуса пренебрежимо мала по сравнению с массой жидкости. Показано, что вертикальное вращение сжатого вдоль оси симметрии тонкостенного волчка устойчиво. Если волчок — вытянутый вдоль оси симметрии эллипсоид, то нарушаются достаточные условия устойчивости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Руденко, Татьяна Владимировна, 2001 год

1. Анчев А. Об устойчивости перманентных вращений тяжелого гиростата // Прикладная математика и механика (ПММ). 1962. Т. - XXV1. Вып. 1. С. 22 - 28.

2. Анчев А. О перманентных вращениях тяжелого гиростата, имеющего неподвижную точку // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 49 -58.

3. Аппелъ П. Теоретическая механика. Т. II / Пер. с фр. — М.: Физматгиз, 1960. 488 с.

4. Владимиров В. А., Румянцев В. В. К обращению теоремы Ла-гранжа для твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 608 612.

5. Владимиров В. А., Румянцев В. В. К обращению теоремы Ла-гранжа для твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 2. С. 190 200.

6. Дувакин А. П. Об устойчивости движения волчка с гироскопом по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // Инженерный журнал. 1963. Т. III. Вып. 1. С. 131 134.

7. Дувакин А. П. Об устойчивости движений диска // Инженерный журнал. 1965. Т. V. Вып. 1. С. 3 9.

8. Жак С. В. Об устойчивости некоторых частных случаев движения симметричного гироскопа, содержащего жидкие массы // ПММ. 1958. Т. XXII. Вып. 2. С. 245 249.

9. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 2. С. 152 309.

10. Казмерчук И. М., Самсонов В. А. О квазистационарных движениях волчка с жидким наполнением // Изв. РАН. МТТ. 1996.1. N 2. С. 32 36.

11. Каленова В. И., Морозов В. М., Шевелева Е. Н. Устойчивость и стабилизация движения одноколесного велосипеда // Изв. РАН. МТТ. 2001. N 4. С. 49 58.

12. Карапетян А. В. Некоторые задачи динамики неголономных систем; Дис. . д-ра физ.-мат. наук; 01.02.01. М., 1982. 259 с.

13. Карапетян А. В. О перманентных вращениях тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости / / ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 5. С. 808 814.

14. Карапетян А. В. О специфике применения теории Рауса к системам с дифференциальными связями // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 17 22.

15. Карапетян А. В. О стационарных движениях сфероида, заполненного жидкостью, на плоскости с трением // ПММ. 2001.

16. Т. 65. Вып. 4. С. 645 652.

17. Карапетян А. В. Об устойчивости регулярной прецессии симметричного твердого тела с эллипсоидальной полостью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1972. N 6. С. 122 125.

18. Карапетян А. В. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 5.1. С. 801 807.

19. Карапетян А. В. Об устойчивости стационарных движений систем некоторого вида // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. N 2.1. С. 45 52.

20. Карапетян А. В. Семейства перманентных вращений трехосного эллипсоида на шероховатой плоскости и их ветвление // Актуальные проблемы классической и небесной механики. Межвед. сб. научн. тр. — М.: ТОО "Эльф", 1998. С. 46 51.

21. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.

22. Карапетян А. В., Проконина О. В. Об устойчивости равномерных вращений волчка с полостью, заполненной жидкостью, на плоскости с трением // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 1. С. 85 91.

23. Карапетян А. В., Румянцев В. В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 6. С. 5 132.

24. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 432 с.

25. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение / Пер. с нем. Г. Д. Блюмина и др.; Под ред. Г. Д. Блюмина. — М.: Мир, 1974.528 с.

26. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. 336 с.

27. Маркеев А. П. Об устойчивости вращения волчка с полостью, наполненной жидкостью // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. N 3.1. С. 19 26.

28. Маркеев А. П. О колебаниях твердого тела с полостью, содержащей жидкость, на абсолютно шероховатой плоскости // Некоторые задачи и методы исследования динамики механических систем. — М.: Изд-во МАИ, 1985. С. 19 25.

29. Миндлин И. М. Об устойчивости диска, несущего гироскоп // Инженерный журнал. 1964. Т. IV. Вып. 1. С. 101 104.

30. Миндлин И. М.} Пожарицкий Г.К. Об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 4.1. С. 742 745.

31. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. 440 с.

32. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. 520 с.

33. Парс JI. А. Аналитическая динамика / Пер. с англ. К. А. Лурье. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. 636 с.

34. Руденко Т. В. Об устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой плоскости / / ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 765 778.

35. Руденко Т. В. Об устойчивости стационарных движений волчка с жидкостью на абсолютно шероховатой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Ч. 2. М.: ВЦ РАН, 2001. С. 147 160. (В печати)

36. Руденко Т. В. Об устойчивости стационарных движений гиростата с жидкостью в полости // ПММ. 2002. (В печати)

37. Румянцев В. В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. N 6.1. С. 119 140.

38. Румянцев В. В. К задаче об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости с трением // Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982. С. 263 272.

39. Румянцев В. В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки // ПММ. 1957. Т. XXI. Вып. 3. С. 339 346.

40. Румянцев В. В. Об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. N 4. С. 11 21.

41. Румянцев В. В. Об устойчивости движения гиростатов // ПММ. 1961. Т. XXV. Вып. 1. С. 9 16.

42. Румянцев В. В. Об устойчивости движения гиростатов некоторого вида // ПММ. 1961. Т. XXV. Вып. 4. С. 778 784.

43. Румянцев В. В. Об устойчивости перманентных вращений несимметричного гироскопа с жидким заполнением // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. N 6. С. 4 9.

44. Румянцев В. В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: ВЦ АН СССР, 1967. 141 с.

45. Румянцев В. В. Об устойчивости установившихся движений гироскопа с жидким наполнением / / Проблемы прикладной математики и информатики: Докл. конф. Ч. 1: Механика и математическая физика. — М.: ВЦ РАН, 1990. С. 30 46.

46. Румянцев В. В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью // ПММ. 1957. Т. XXI. Вып. 6. С. 740 748.

47. Румянцев В. В., Скимелъ В. Н. Устойчивость гироскопов, гиростатов и гироскопических систем // Труды Второго Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике (1964). Вып. 2. — М.: Наука, 1965. С. 199 216.

48. Самсонов В. А. Ветвление и некоторые свойства нелинейных механических систем // Нелинейная механика. Под ред. В. М. Мат-росова, В. В. Румянцева, А. В. Карапетяна. — М.: Физматлит, 2001. С. 323 -361.

49. Самсонов В. А. Качественный анализ задачи о движении волчка по плоскости с трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. N 5. С. 29 35.

50. Самсонов В. А. О квазистационарных движениях механических систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. N 1. С. 32 35.

51. Селюцкая О. В. О стационарных движениях волчка, заполненного жидкостью / / Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Ч. 1. М.: ВЦ РАН, 2000. С. 150 156.

52. Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостех-издат, 1952. 343 с.

53. Цодокова Н. С. О перманентных осях вращения гиростата с закрепленной точкой Ц ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 6. С. 1104 1107.

54. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем. M.-JL: Гостехиздат, 1949. С. 9 27.

55. Шевелева Е. Н. Задача стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами; Дисс. . канд. физ.-мат. наук; 01.02.01. М., 1999. 167 с.

56. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1955. 207 с.

57. Basset А. В. On the Steady Motion and Stability of Liquid Contained in an Ellipsoidal Vessel // The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 1914. Vol. 45. No 179 (3). P. 223 238.

58. Gray A. A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion: Theory and Applications. London: Macmillan and Co, 1918. 530 p.

59. Hadamard J. Sur les mouvements de roulement // Appell P. Les mouvements de roulement en dinamique. — Paris: Gauthier-Villars, 1899. P. 47 68.

60. Hough S. S. The Oscillations of a Rotating Ellipsoidal Shell Containing Fluid // Phil. Transactions. Roy. Soc. London. Ser. A. 1895. Vol. 186. Pt. 1. P. 469 506.

61. Jellett J. H. A Treatise on the Theory of Friction. Dublin; London: MacMillan, 1872. 230 p.

62. Routh Е. J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. London: MacMillan and Co, 1877. 108 p.

63. Routh E. J. Dynamics of a System of Rigid Bodies. London: McMillan, 1882. V. 2. = Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел / Пер. с англ.; Под ред. Ю. А. Архангельского и В. Г. Демина : В 2-х т. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.

64. Salvadori L., Visentin F. Stability Problems for a Class of Nonholonomic Mechanical Systems // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. 1996. Vol. 2. No 4. P. 461 476.

65. Slesser G. M. Notes on Rigid Dinamics // Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 1861. Vol. IV. P. 65 77.

66. Thomson W. On the Motion of a Liquid within an Ellipsoidal Hollow // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh: Neill and Company, 1885 1886. Vol. XIII. No 121. P. 370 - 378.

67. Vranceanu G. Sulla Stabilita del Rotolamento di un Disko // Atti della Royale Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Sc. fisishe, mat. e Nat. 1924. V. 33. P. 383 388.