Устойчивость динамических почти периодических систем в бесконечномерном фазовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Рогозин, Андрей Владимирович

• Рогозин, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рогозин, Андрей Владимирович

Введение.

ГЛАВА1. Устойчивость решений почти периодической разностной системы на компакте

§ 1.1. Почти периодические последовательности в хаусдорфовом топологическом пространстве.

§ 1.2. Формулировка признака асимптотической устойчивости

§ 1.3. Вспомогательные леммы.

§ 1.4. Доказательство признака асимптотической устойчивости.

Глава 2. Устойчивость почти периодических разностных систем в метрическом пространстве

§ 2.1. Некоторые сведения из теории банаховых алгебр.

§ 2.2. Признак равномерной по начальному возмущению асимптотической устойчивости.

§ 2.3. Частный случай.

Глава 3. Устойчивость решений почти периодических дифференциальных уравнений в банаховом и гильбертовом пространствах

§3.1. Предварительные сведения.

§3.2. П - свойство разрешающего оператора почти периодического уравнения (3.1).

§3.3. Признак асимптотической устойчивости для почти периодического уравнения (3.1) в банаховом пространстве.

§3.4. Формулировка признака асимптотической устойчивости линейного почти периодического дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве.

§3.5. Вспомогательные леммы.

§3.6. Доказательство признака асимптотической устойчивости для уравнения (3.13).

§3.7. Пример.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость динамических почти периодических систем в бесконечномерном фазовом пространстве»

1. Задачи теории колебаний, теории автоматического управления систематически приводят к проблеме расчета на устойчивость динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. Если в частном случае периодических систем развиты эффективные метода анализа устойчивости и на этой основе решен ряд прикладных задач [1-22], то здесь известные до последнего времени результаты относятся главным образом к системам с малым параметром [23-35]; вместе с тем возникающие в приложениях динамические системы в ряде случаев не вкладываются в схему метода малого параметра.

Некоторое продвижение в этой области произошло в последние 15 лет. В цикле работ [36-40, 46] показано, что известная процедура анализа устойчивости динамических систем с дискретным и непрерывным временем общего вида, связанная с использованием функций Ляпунова, существенно упрощается на подклассе почти периодических систем. При этом в выполняемых построениях использована конечномерность фазового пространства. В работах [42-45], где эти результаты перенесены на системы с запаздыванием, некомпактность единичной сферы в пространстве начальных данных компенсируется компактностью индивидуальных ограниченных траекторий.

2. Основной целью диссертационной работы является распространение результатов конечномерных работ [36-40] на почти периодические системы с дискретным временем в бесконечномерном фазовом пространстве. Получены приложения к динамическим системам с непрерывным временем.

3. В основе выполняемых в работе построений лежит следующая схема.

1) Вначале рассматривается динамическая система хп+1=/п(хп) (0.1) с почти периодической по дискретному времени правой частью на произвольном топологическом компакте. Доказан достаточный признак асимптотической устойчивости с ослабленным условием на разностную производную функции Ляпунова Уп(х) вдоль траекторий системы (0.1), определяемую равенством х))-^*). (0.2)

11) Исследование устойчивости положения равновесия г0 динамической системы (0.1) в метрическом пространстве проводится в два этапа. а) Выполняется надлежаще выбранная компактификация инвариантной окрестности положения равновесия г0 (такая окрестность существует вследствие условия т)я < 0), динамическая система (0.1) и функция Ляпунова уДх) продолжаются по непрерывности на построенный топологический компакт. На этом этапе используется аппарат банаховых алгебр. б) К расширенной системе применяется результат пункта (1). Асимптотическая устойчивость положения равновесия - образа г0 означает для исходной системы асимптотическую устойчивость г0, равномерную по начальному возмущению: существование окрестности и точки г{) такой, что для траекторий, начинающихся в этой окрестности (х0еЦ), имеет место сходимость хп —> г0 равномерно по х0. iii) Приложения полученных результатов к динамическим почти периодическим системам с непрерывным временем jc = fix, t) в банаховом пространстве Е основаны на следующем наблюдении. Пусть U(t,t) - разрешающий оператор системы. Справедливо утверждение: последовательность функций fn (х) = U{n +1, п)х, пе Z, (0.3) почти периодична по п. Это позволяет привести анализ устойчивости динамической системы х = f(x, t) к анализу устойчивости системы (0.1) с правой частью (0.3).

Диссертация состоит из введения, 3-х глав и списка литературы. 4. Глава 1 посвящена реализации пункта (i) указанной схемы. 4.1. Пусть К - компакт. Обозначим X множество всех непрерывных функций f{x)К —» К, С (К) - множество всех непрерывных

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рогозин, Андрей Владимирович, 2008 год

1. Floquet G. Sur les équations différentielles linéaires a coefficients périodiques // Ann. Sci. de l'Ecole. Norm. Sup. 1883. V. 12(2). P. 4789.

2. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1956. Т.2. С.7-263.

3. Poincaré H. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique // Acta Math. 1890. V.13. P.5-270.

4. Крейн М.Г., Далецкий 10.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

5. Якубович В.А., Старжинский В.Ad. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

6. Якубович В.А., Старлсинский В.A4. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987.

7. Кучмгнт П.А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных. // УМН. 1982. Т.37. №4. С.3-52.

8. Halanay A. Differential equations: stability, oscillstions, timelags. New York —London: Acad. Press, 1966.

9. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

10. Солдатов М.А. О свойствах решений линейных дифференциально-разностных уравнений // Сиб. матем. журнал. 1967. Т.8. №3. С.669-679.

11. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов A.C., Родкина А.Е., Садовский E.Ii. Теория уравнений нейтрального типа / Математический анализ, Т. 19. М.: ВИНИТИ, 1982. С.55-126.

12. Германович О.П. Линейные периодические уравнения нейтрального типа и их приложения. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1986.

13. Lillo J.C. First order periodic differential difference equations // J. Math. Anal. And Appl. 1979. V.70. №2. P.389-398.

14. Кулеско ILA. О полноте системы решений Флоке уравнений нейтрального типа // Матеем. Заметки. 1968. Т.З. №4. С.297-306.

15. Кулеско H.A., Левин Б.Я. О полноте решений Флоке для 1ифференциальных уравнений второго порядка с отклоняющимся аргументом// Сиб. матем. журнал. 1977. Т.18. №2. С. 321-326.

16. Колесое А.Ю., Колесое Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии / РАН. Труды Матем. ин-та им.B.А. Стеклова. CXCIX. М.: Наука, 1993.

17. Кубышкин Е.П. Параметрический резонанс в линейных периодических системах с последействием / Исследования по устойчивости и теории колебании. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1978.C.34-68.

18. Романовский Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими к оэффициентами // Методы функционального анализа в задачах математической физики. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1987. С.47-52.

19. Романовская A.M. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем второго порядка с периодическими коэффициентами // Известия вузов. Математика. 1987. №7. С. 4448.

20. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

21. Дергузов В.И. Об устойчивости решений уравнений Гамильтона с неограниченными периодическими коэффициентами // Матем. сборник. 1964. Т.63. №4. С. 591-619.

22. Дергузое В. И. Достаточные условия устойчивости гамильтоновых уравнений с неограниченными периодическими коэффициентами // Матем. сборник (новая серия). 1964. Т.64. №3. С. 411-435.

23. Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейны уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Матем. сборник (новая серия). 1946. Т. 19. №2.

24. Боголюбов H.H., Мшпропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

25. Мшпропольский Ю.А., Самойленко A.M., Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами. Киев: Наукова думка, 1984.

26. Фомин В.И. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972.

27. Бурд В.Ш. Бифуркация почти периодических колебаний дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа с быстрым и медленным временем / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1976. С.143-153.

28. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

29. Колесов Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1977. С.82-141.

30. Бибиков 10.Н. Квазипериодпчсские возмущения осциллятора с кубической восстанавливающей силой // Дифференц. Уравнения. 1996. Т.32. №12. С. 1593-1598.

31. Более в КГ., Первак В.Д. Об одном методе исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с частными производными и квазипериодическими коэффициентами // ДАН УССР. Сер. А. 1975. Т.15. С.391-394.

32. Еругин II.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

33. Игнатьев A.C. Об устойчивости почти периодических систем относительно части переменных // Дифференц. Уравнения. 1989. Т.25. №8. С.1446-1448.

34. Кубышкын Е.П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1978. С.110-117.

35. Чаплыгин В.Ф. Экспоненциальная дихотомия решений линейных почти периодических уравнений с последействием с медленным временем / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1975.

36. Добровольский С.М., Котюргина A.C., Романовский Р.К. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей.//Мат. заметки. 1992.Т.52,№ 6.10-14

37. Добровольский С.М., Романовский Р.К. Метод функции Ляпунова для почти периодических систем // Мат. заметки. 1997. Т.62, № 1. С.151-153

38. Кириченова О.В., Котюргина A.C., Романовский Р.К. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений спочти периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1996.Т.37,№1.С.170-174

39. Кириченова О.В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений // Сиб. мат. журн. 1998.Т.39,№1.С.45-48

40. Романовский Р.К., Алексеико Н.В., Добровольский С.М., Кириченова О.В. Прямой метод Ляпунова для уравнении с почти периодическим коэффициентами. Омск.: Изд-во ОмГТУ, 2001. 80 с.

41. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические фупкцпи и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1995. -204 с.

42. Алексенко Н.В. Устойчивость решений почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа // Изв. вузов. Математика. 2000. №2.С. 3-6.

43. Алексенко КВ., Романовский Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами //Дифференц. уравнения. 2001.Т.37.С.147-153.

44. Романовский Р.К, Троценко Г.А. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтральноготипа с почти периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2003.Т.44, № 2.С.444-453.

45. TpoijeHKo Г.А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Изв. вузов. Математика. 2003. № 6.

46. Игнатьев А.О. Об устойчивости нулевого решения почти периодической системы разностных уравнений //Дпфференц. уравнения. 2004.Т.40. №1. С.98-103.

47. Гсшелин Т.В. Равномерные алгебры. М.: Мир, 1973.

48. Хыошп Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ, Т.1.М.: Наука, 1975.

49. Халапай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир, 1971. 309 с

50. Энгелькинг Р. Общая топология Москва. "Мир"- 1986.

51. Барбаишн Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

52. Крейн М.Г., Рушманн М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. // УМН, ТЗ №1(23), 1948. СЗ-95.

53. Добровольский С.М., Рогозин A.B. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте // Сиб. мат. журн. 2005.Т.46, № 1. С.98-105.

54. Рогозин A.B. Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве с почти периодическим оператором // Доклады АН ВШ РФ. 2006, -№1(6).-С. 24-32.

55. Рогозин A.B., Романовский Р.К. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем в банаховом пространстве// Доклады АН ВШ РФ. 2005 № 2(5). С.65-72.

56. Добровольский С.М., Рогозин A.B. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте // Доклады АН ВШ РФ. 2004, № 1. С.14-19.

57. Рогозин A.B. Задача Коши для телеграфного уравнения с периодически подключаемым малым трением / Материалы VI международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин", (Омск 13-15 ноября 2007г.), -Омск. 2007 С.73-74.