Структурный подход в задаче конструирования и реализации явных одношаговых методов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Олемской, Игорь Владимирович

• Олемской, Игорь Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Олемской, Игорь Владимирович

1 МЕТОДЫ КЛАССА (£

1.1. Метод интегрирования.

1.2. Условия порядка.

1.3. Метод второго порядка.

1.4. Метод третьего порядка.

1.5. Метод четвертого порядка.

1.6. Метод пятого порядка.

1.6.1 Условия порядка.

1.6.2 Алгоритм построения явного метода пятого порядка.

2 ВЫДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ

2.1. Постановка задачи.

2.2. Основные понятия.

2.3. Алгоритм решения задач 1,2.

2.4. Пример применения алгоритма выделения структурных особенностей

2.4.1 Равноправные правые части.

2.4.2 Неравноправные правые части.

3 МЕТОДЫ КЛАССА 21(2) 104 3.1. Метод интегрирования.

3.2. Методы третьего порядка.

3.2.1 Расчетные схемы третьего порядка на базе квадратурных формул Гаусса-Лежандра.

3.2.2 Двухэтапные расчетные схемы третьего порядка . ИЗ

3.3. Методы четвертого порядка.

3.3.1 Исследование условий порядка разноэтапного метода

3.3.2 Построение разноэтапных расчетных схем четвертого порядка с заранее определенными свойствами

3.3.3 Трехэтапный метод четвертого порядка на базе квадратур Лобатто.

3.3.4 Вычислительная схема на базе трёхточечного квадратурного правила Гаусса-Лежандра

3.4. Четырехэтапный метод пятого порядка.

3.4.1 Метод интегрирования.

3.4.2 Условия порядка.

3.4.3 Расчетная схема пятого порядка.

4 МЕТОДЫ КЛАССА 21 (п)

4.1. Метод интегрирования.

4.2. Метод четвертого порядка.

4.2.1 Исследование условий порядка.

4.2.2 Расчетные схемы четвертого порядка, коэффициенты которых зависят от размерности системы

4.2.3 Расчетные схемы четвертого порядка, коэффициенты которых не зависят от порядка системы.

4.3. Частное решение.

5 МЕТОДЫ КЛАССА

5.1. Метод интегрирования.

5.2. Условия порядка.

5.3. Тестирование.

6 ВЛОЖЕННЫЕ МЕТОДЫ КЛАССОВ 2l(z) и

6.1. Методы типа Дормана-Принса.

6.2. Вложенный метод класса

6.2.1 Метод четвертого порядка.

6.2.2 Методы пятого порядка.

6.2.3 Тестирование.

6.3. Вложенный метод класса 03.

6.3.1 Метод пятого порядка.

6.3.2 Тестирование.

7 СВЯЗЬ МЕТОДОВ НЮСТРЕМА И СТРУКТУРНОГО ПОДХОДА

7.1. Методы интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка.

7.2. Метод класса 21(2) и его реализация при интегрировании дифференциальных уравнений второго порядка специального вида.

7.2.1 Методы типа Нюстрёма.

7.2.2 Вложенные структурные методы типа Нюстрёма-Дормана-Принса

7.3. Системы разделяющихся дифференциальных уравнений второго порядка с перекрестной структурой связей по первым производным

7.3.1 Структурные методы типа Нюстрёма интегрирования систем специального вида

7.3.2 Вложенные структурные методы типа Нюстрёма интегрирования систем специального вида.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурный подход в задаче конструирования и реализации явных одношаговых методов»

Последние пятьдесят лет можно охарактеризовать как период, в течение которого классические методы численного решения ОДУ (методы Адамса, Рунге-Кутты (РК), экстраполяции), приспособленные и развитые для ручного счета, пересматривались в соответствии с требованиями и новыми возможностями, продиктованными бурно развивающимися технологиями машинного счета.

Постоянному наращиванию мощностей ЭВМ соответствовала и общая тенденция расширения классов решаемых задач. Новые возможности решения более трудоемких и сложных задач породили и массу проблем, связанных с устойчивостью и аппроксимацией разрабатываемых высокоэффективных и надежных алгоритмов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ).

В этот период были выполнены фундаментальные исследования по устойчивости численного решения ОДУ , теории конструирования и реализации методов интегрирования [8, 16, 17, 19, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 45, 114, 148].

Так в классе одношаговых методов за это время и способ вывода условий порядка [13,104, 137] (с помощью помеченных деревьев), и конструирование [15, 31, 106, 135] (с использованием упрощающих соотношений) расчетных схем эволюционировали в основном под влиянием работ Дж. Батчера, Э. Хайрера, Г. Ваннера [107, 109, 110, 111, 125, 129]. Разработанная Дж. Батчером абстрактная алгебраическая теория методов Рунге-Кутты [12, 14, 105, 108, 110] открыла большие возможности для теоретического исследования их свойств и для конструирования [2, 5, 92, 93, 94, 138, 141] новых высокоэффективных алгоритмов. Следует обратить особое внимание на то, что для предложенного Э. Хайрером составного метода типа Рунге-Кутты интегрирования систем разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений (СРОДУ) первого порядка была создана [129] теория условий порядка, обобщающая идеи Батчера. Это обеспечило подход к условиям порядка для широкого класса методов. Обобщение теории условий порядка на случай СОДУ высоких порядков произвел Хебзакер [131].

В начале 60-х Дж. Батчером [105, 108] и Г. Шанксом [151] был установлен первый барьер (Батчера [90]): для q > 5 не существует явных методов РК порядка q с числом этапов т = q. Следующие два барьера — для методов седьмого и восьмого порядков — также были получены Дж. Батчером [108, 112].

В этот период развивались и способы оценки погрешности численного интегрирования: полной и локальной. [9,11, 28, 42, 77, 99, 103, 123, 152].

Впервые в работах Р. Мерсона, Ф. Ческино, Дж. Зонневельда [ИЗ, 137, 149, 153] была использована идея, которая легла в основу нового семейства одношаговых методов — вложенных. Свое развитие эти методы получили в серии работ Р. Ингланда, Е. Фельберга [78, 118, 119, 120, 145,148]. На сегодняшний день используются два типа вложенных методов. Для первого типа (Фельберга) характерно, что определение главного члена погрешности метода интегрирования на одном щаге осуществляется по двум формулам Рунге-Кутты разных порядков р и q (р < q) соответственно. Причем в качестве искомого приближения в случае принятия такого решения берется приближение порядка р. Разница приближений разного порядка позволяет оценить локальную погрешность полученного приближения. Для вложенных же методов второго типа (Дормана-Принса) в качестве приближения к решению выбирается приближение старшего порядка q, а разница двух приближений используется лишь в алгоритме выбора шага [115, 116].

Параллельно с разработкой вложенных методов для уравнений первого порядка велись работы [117, 121, 122] по конструированию аналогичных методов типа Нюстрёма [97,102, 117, 121,122,126,127,130,140] для дифференциальных уравнений второго порядка.

В 60-ые годы возникло понятие жестких систем, которое к концу 70-ых оформилось в отдельный класс. Проблемы, связанные с жесткостью, потребовали создания новых методов, новых подходов [19, 23, 29, 79, 82, 83, 91, 106, 139, 142, 143, 144, 146, 147, 150], рассчитанных на решение задач этого класса.

Осознание того факта, что в реальных задачах отсутствуют чисто жесткие или нежесткие задачи, а всегда это их комбинация, является дополнительным аргументом в пользу развития и совершенствования методов всех типов — как для жестких, так и нежестких задач.

Наиболее общая схема явного метода Рунге-Кутты численного интегрирования СОДУ fs(x,yo,.--,yn), s = 0,1,. ,п, ys(X0)=ysо, s = 0,1,., п, хе[Хо,Хк]с R, ys:[X0,Xk]—*R,

0.0.1) (0.0.2) fs:{X0,Xk}xRn+l -+R, s = 0,1,.,n дана в [39] ys(x + z8 = ys(x) + bswksw(h), s = 0,1,., n,

0.0.3) где функции ksw = ksw(h) вычисляются по схеме w-i ksw = hfs(x + cswh, y0(x) + asw0gk0g,.

5=1

0.0.4)

9=1 csi = 0, aswti = 0, t = 0,l,., n.

Здесь ys(x + h),zs — соответственно точное и приближенное значение s—ой компоненты в точке х + h 6 [Xo,Xk], ys(x) ~ точное значение s-ой компоненты в точке х 6 h - шаг метода. Причем в общем случае ms (число этапов) и qs (порядок метода) по s-ой компоненте искомой функции могут быть различны по каждой из компонент. Поэтому при построении расчетных схем метода их характеристикой могут выступать как векторы числа этапов М = (то,., тп) и порядка точности q — (?о> • • • ? Qn) , если хотя бы одна из компонент соответствующих векторов отлична от остальных, так и скаляры т и q , если компоненты соответствующих векторов равны между собой: то = . = тп = т , qo = . = qn = q. Введем понятие, необходимое для сравнения методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение 0.1 Пусть для некоторого вектора числа этапов в рамках одношагового метода существует расчетная схема порядка Q = (qo,.,qn). Будем называть такой вектор числа этапов минимальным и обозначать M(Q) = (mo(<?o),.>^n(?n))> если для любой М = (то,.,тп)-этапной расчетной схемы порядка Q = (#о, • • - ,Яп) этого же метода справедливы неравенства ms > s = О, 1, . ,71.

В скалярном случае минимальное число этапов метода порядка q будем обозначать m(q).

При построении расчетных схем в рамках метода (0.0.3), (0.0.4) традиционно, в силу равноправности уравнений системы [4, 6, 8, 9, 10, 20, 39], параметры метода полагают bw = bSW) Cw = Caw, йщ = Q>swtgi ТП = TTlSi независящими от номера компоненты s . Такой способ распространения метода интегрирования уравнений на системы (назовем его формальным), с одной стороны, сужает возможности метода (0.0.3), (0.0.4), а с другой стороны, значительно упрощает задачу конструирования методов интегрирования систем. В этом случае методы строятся для скалярных уравнений, а распространение на системы осуществляется простой заменой скалярных функций у, /, ks на соответствующие векторные. При этом все утверждения о соотношении порядка точности метода q и числа этапов т, справедливые для скалярного случая, верны и для векторного.

В связи с этим напомним [4, 6, 8, 9, 10, 20, 39, 84, 90], что для явного метода Рунге-Кутты q-го порядка численного интегрирования дифференциального уравнения минимальное число этапов удовлетворяет равенствам m{q) = q, q < 4; m(5) = 6, m(6) = 7, m(7) = 9. (0.0.5)

Причем равенства (0.0.5) справедливы не только для формального метода интегрирования системы (0.0.1), но и для общей схемы метода (0.0.3), (0.0.4).

На сегодняшний день формальный метод Рунге-Кутты является самым распространенным. Пожалуй, единственный известный метод, ориентированный на интегрирование СОДУ (0.0.1) — составной неявный метод [129] для разделяющихся дифференциальных уравнений. Приближение zs к решению ys(x + h) при известных значениях точного решения ys(x) в рамках составного метода вычисляется по схеме т ys(x + h)ttzs= ys(x) + Y, bswksw(h), s = 0,1,., n, (0.0.6) w=1 где функции ksw = ksw(h) вычисляются по схеме m ksw = hfs(x + cjl, Уо(х) + Y, <hvOghg, • • •

9=1 m

• • • , 2/n M + £ Uwngkng)• (0.0.7)

9=1

Идейное наполнение составного метода (0.0.6),(0.0.7) — применение к разным частям СОДУ различных вычислительных схем. Причем в качестве признаков, по которым происходит выделение частей, могут выступать: линейная и нелинейная части (И7"—методы [91]), «жесткая» и «нежесткая» компоненты (разделяющиеся методы).

Теория условий порядка Батчера ориентирована на конструирование методов Рунге-Кутты ОДУ с последующим формальным распространением их на СОДУ. Для разделяющихся дифференциальных уравнений Хайреру потребовалось создание (обобщение теории Батчера) новой теории Р-рядов [90, 129], следствием которой является общая структура условий порядка для методов Фельберга и Нюстрёма.

Достаточно часто при интегрировании СОДУ можно произвести разделение по структурным признакам. Рассмотрим один из вариантов такой структурной классификации СОДУ. В ней выделено три класса разделенных структурно выраженных систем, причем каждый следующий является расширением предыдущего.

Первый класс — 21(п) (системы разделяющихся ОДУ с перекрестной структурой связей) у'г = Л(*,И0, (008) y'j = fj(x,yj-1), j = 2,.,n, здесь ys,fs — функции размерности rs. Необходимость в интегрировании систем класса 21(2) = 2l(ri), при п = 2 возникает достаточно часто в задачах моделирования механических и физических систем, управления и оптимизации. Например, при анализе динамики частиц в линейном ускорителе представляет большой интерес зависимость энергии частиц от пройденного расстояния. Уравнения, описывающие продольное движение электронов, имеют [49] вид

Здесь £ = z/\ — безразмерное расстояние, Л = 27rc/w — длина волны в свободном пространстве, 7 = Wp/Wo — приведенная энергия, а;(£) — амплитуда напряженности ускоряющей волны, — приведенная фазовая скорость ускоряющей волны.

Этому же классу принадлежит и система ОДУ, полученная в результате приведения систем дифференциальных уравнений второго порядка, правая часть которых не зависит от первой производной. Например, задача небесной механики — задача двух тел.

Системы класса 21(п) при п > 3

У2 = /2 (я, </i)

0.0.9)

У\ = /i(z,2/n), y'j = 2/7-1), j = 2,., n, n> 3,

0.0.10) на практике встречаются несколько реже, чем системы (0.0.9). Например, задача классического оптимального линейного быстродействия или дифференциальное уравнение п—го порядка у^ = f{x,y).

Для определенности, явный одношаговый метод типа Рунге-Кутты, ориентированный на интегрирование систем класса 21(п) , будем называть методом класса 21(п).

Следующий, второй класс — 03 (системы структурно разделяющихся оду) y'i = fi(x, 2/1, —, yi-h У1+1, • • •:Уп) , i = 1,. •, (ООН)

У'з = fj(x, 2/i,., Уз-1) , j = I + 1, • • •, n, где ys,fs — функции размерности rs. К системам такого класса приводится плоская ограниченная задача трех тел или задача о крупномасштабных колебаниях ротационно симметричных систем. Например, при рассмотрении крупномасштабных колебаний ротационно симметричных систем [43] задача сводится к интегрированию системы: d2x х df=K~(2x + z)V d2z z dt2~ "(2 x + z)V

0.0.12) dK 1 dx ~dt ~ ~(2x + z)lTt' dL 1 dz dt=~( 2х + г)Ш

Здесь x - безразмерный момент инерции системы относительно оси вращения, z - безразмерный момент инерции относительно экваториальной плоскости, К - кинетическая энергия движений параллельно экваториальной плоскости, L - кинетическая энергия движений в вертикальном направлении. На первый взгляд приведенная система имеет мало общего с выделенным классом. Однако, использование новых переменных 2/1 = У2 = z', Уз = х, г/4 = z, у$ = К, у§ = L позволит привести систему (0.0.12) к виду (0.0.11).

Явный одношаговый метод типа Рунге-Кутты, ориентированный на интегрирование систем класса 03 , будем называть методом класса ЯЗ.

Последний, третий класс — С (системы структурно разделяющихся ОДУ общего вида)

Уо = Мх,у0,у1,.,уп), (0.0.13) y'i = fi(x, Уо,.--, Vi-uVi+h ■•■,Уп), г = 1,., I, (0.0.14) y'j = /j(®,yo,.-.,yj-i), j = / + l,.,n, (0.0.15)

I 6 {0} U N, n<E{0}UiV, I < n, xe[X0,Xk]c R, ys:[XQ,Xk]->Rr°, s = 0,l,.,n, /о: [X0, Xk] x Rr —» iT°, E^o ^ = fi: [X0,Xk] x Rr~^ i = l,.,l, fj: IX0, Xk] x j = I + l,., n, r0 > 0.

Необходимость в интегрировании систем класса С возникает, в частности, в задачах различных систем ускорения и транспортировки пучков заряженных частиц. Например, в задачах оптимизации динамики пучка электронов в ускорителе на бегущей волне [49] движение электронов в волновом группирователе описывается уравнениями вида dz -\Pf(& щ = п = 13«,«), (0.0.16) dn ya(£) sin<p 1 /тга({)(у - V72 - 1/3/(Q) cosy?

Здесь £ = z/X — безразмерное расстояние, Л = 2itс/ш — длина волны в свободном пространстве, 7 = Wp/Wq — приведенная энергия, а(£) — амплитуда напряженности ускоряющей волны, /?/(£) — приведенная фазовая скорость ускоряющей волны, — напряженность фокусирующего магнитного поля.

Изменение порядка следования уравнений в системе (0.0.16) (замена переменных, уо = к, у\ = (р, yi = 7, уз = rj) приводит ее к рассматриваемому виду (0.0.13)—(0.0.15).

Явный одношаговый метод типа Рунге-Кутты, ориентированный на интегрирование систем класса С, будем называть методом класса С.

Причем любой из методов класса С может быть использован для интегрирования систем классов 21(п) и а любой из методов класса 03 — для интегрирования систем класса 21(п).

Существенно, что как формальный метод Рунге-Кутты, так и составной, алгоритмически пассивны. Они только на уровне разрешения условий порядка учитывают структурные особенности интегрируемых СОДУ. Это обстоятельство и является сдерживающим фактором в построении высокоэффективных одношаговых методов для практически интересных классов СОДУ, приведенных выше и имеющих общие структурные особенности.

Зависимость эффективности метода от структурных особенностей уже отмечена в практике конструирования одношаговых методов. Так для численного интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка у" = f(x,y,y') Нюстрём предложил прямой метод Рунге-Кутты (названный в его честь методом Нюстрёма), ошибочно утверждая, что при одном и том же количестве этапов порядок прямого метода выше порядка метода Рунге-Кутты интегрирования систем первого порядка. Позже Цурмюль распространил прямой метод Рунге-Кутты для уравнений п—го порядка и показал [140], что утверждение Нюстрёма справедливо только в том случае, если правая часть уравнения у^ = f{x,y,. не зависит от производной порядка п — 1. Уравнение п—го порядка, приведенное к системе первого порядка при п = 2, принадлежит классу систем (0.0.9), при п > 2 — классу (0.0.11). Ни в рамках общей схемы явного метода Рунге-Кутты, ни тем более в рамках формального нельзя построить вычислительные схемы численного интегрирования систем первого порядка (0.0.9), (0.0.11) столь же эффективные, как и методы Нюстрёма и Цурмюля.

Дальнейший возможный путь повышения эффективности явных одношаговых методов интегрирования нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом барьеров Батчера — это путь конструирования методов для классов систем ОДУ (0.0.9), (0.0.10), (0.0.11), (0.0.13)-(0.0.15) с активным использованием структурных особенностей на алгоритмической стадии метода.

Приведенная выше классификация систем по структурным признакам потребует рассмотрения методов и алгоритмов быстро развивающейся теории комбинаторного программирования [80]. Лишь в последние три десятилетия из совокупности искусственных приемов и разрозненных методов сформировалась система знаний о разработке, реализации и анализе алгоритмов. В отличие от некоторых других разделов математики комбинаторные вычисления [35, 36, 37, 133] не имеют «ядра», т.е. некоторого количества «фундаментальных теорем», составляющих суть предмета, из которых выводится большинство результатов. Один из общих подходов исчерпывающего поиска при ответе на вопрос «перечислить все возможные.» — поиск с возвращением. Непосредственное его применение приводит к алгоритмам, время работы которых недопустимо велико. Хорошо известный вариант поиска с возвращением — метод ветвей и границ — является специальным типом поиска с ограничениями. Он успешно применяется в оптимизационных задачах уже более четырех десятилетий, хотя был известен еще с конца 19-го века. Разнообразные применения этого метода можно найти в [48, 80,134,136].

Актуальность темы. В связи с отмеченными обстоятельствами представляется целесообразным проведение исследований, направленных на разработки методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида, что обусловлено тремя основными моментами:

- во-первых, указанные выше системы широко используются в практике моделирования динамики сложных физических объектов и процессов (примерами могут служить задачи ускорения и транспортировки пучков заряженных частиц, небесной механики, оптимального линейного быстродействия и др.);

- во-вторых, новые явные методы интегрирования систем специального вида должны существенно повысить эффективность интегрирования по сравнению с классическими одношаговыми аналогами (преодоление барьеров Батчера);

- в-третьих, конструирование новых явных методов интегрирования систем первого порядка с учетом структурных особенностей на уровне алгоритма позволяет установить связь между ними и прямыми методами

Рунге-Кутты интегрирования дифференциальных уравнений высшего порядка.

Цель работы. Разработка общего подхода к конструированию экономичных явных одношаговых методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, алгоритмически учитывающих и использующих их структурные особенности. Построение в рамках предложенного структурного подхода эффективных расчетных схем решения задачи Коши. Повышение рентабельности методов требует разработки алгоритмов приведения систем обыкновенных дифференциальных уравнений к нужному виду.

Методика исследования. В работе широко используются идеи и методы численного анализа, комбинаторного программирования, теории дифференциальных уравнений и алгебраической теории одношаговых методов.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. Среди них особую роль играют следующие:

- выполнена структурная классификация СОДУ и построены алгоритмы, реализующие разделение дифференциальных уравнений в рамках предложенной классификации;

- предложен подход в построении высокоэффективных явных одно-шаговых методов для каждого класса структурно выраженных СОДУ;

- получены условия порядка предложенных методов интегрирования классов СОДУ и методика использования упрощающих предположений, их исследования;

- разработаны экономичные явные расчетные схемы интегрирования систем структурно разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений, преодолевающие в части структурно выраженных групп компонент искомой вектор-функции барьер Батчера.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы определяется тем, что разработанный в ней структурный подход позволяет расширить теорию конструирования одноша-говых методов численного интегрирования СОДУ. Практическая — тем, что на базе полученных экономичных явных расчетных схем типа Рунге-Кутты может быть существенно повышена эффективность алгоритмов решения задачи Коши.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Выделен общий тип структурных особенностей систем обыкновенных дифференциальных уравнений и предложен новый общий подход конструирования экономичных явных одношаговых методов их интегрирования.

2. Построены и математически строго обоснованы алгоритмы выделения структурных особенностей нужного типа.

3. Проведена классификация систем рассматриваемого типа по характеру структурных связей, и для каждого класса разработан соответствующий метод интегрирования.

4. На базе предложенного структурного подхода впервые получены условия порядка, учитывающие алгоритмически как специфику метода, так и структурные особенности интегрируемых систем.

5. В рамках предложенной классификации структурных особенностей установлена зависимость параметров метода рассматриваемого подхода от класса интегрируемых систем.

6. Доказаны утверждения, позволяющие конструировать явные одно-шаговые методы интегрирования систем выделенных классов, преодолевающие барьеры Батчера для структурно выраженных уравнений.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Механико-математического факультета МГУ (рук. академик РАН Н.С.Бахвалов)-1983 г.; СПбГУ (семинары кафедр теории управления, рук. чл.-корр. РАН Зубов В.И., и информационных систем, рук. д.ф.-м.н., проф. Кирин Н.Е., неоднократно); Всесоюзном семинаре «Вопросы оптимизации вычислений»,в Ин-те кибернетики АН УССР, 1987; на Международной конференции «International Congress on Computer System and Applied Mathematics » St. Petersburg, 1993; на Международной конференции «Interval94»,St. Petersburg, 1994; на 1-й, II-й, III-й Международных конференциях «Beam dynamics and optimization», St. Petersburg, 1994, 1995, 1996; Международная конференция «Еругин-ские чтения-Х», Могилев, 2005; Совещание-семинар «От спутников до галактик», Санкт-Петербург, 2005.

Структура и объем диссертации Диссертация изложена на 300 страницах. Она содержит введение, 7 глав, заключение, список литературы, включающий 152 наименования, 1 приложение, 49 таблиц и 7 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Олемской, Игорь Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных в диссертации исследований:

1. Выделен общий класс структурных особенностей систем обыкновенных дифференциальных уравнений и предложен новый общий подход к конструированию явных одношаговых высокоэффективных методов интегрирования систем этого класса.

2. Построены на базе метода ветвей и границ и математически строго обоснованы (теоремы 2.1 - 2.3) алгоритмы выделения структурных особенностей систем рассматриваемых классов.

3. Проведена классификация систем рассматриваемого типа по характеру структурных связей и для каждого класса разработан соответствующий метод интегрирования.

4. В рамках предлагаемого подхода для каждого выделенного класса систем и методов их интегрирования, впервые получены условия порядка (до пятого порядка включительно), учитывающие алгоритмически как специфику метода, так и структурные особености интегрируемых систем.

5. Исследовано влияние структурных особенностей на характеристики методов рассматриваемого подхода. Доказаны утверждения, позволяющие конструировать явные одношаговые методы интегрирования систем выделенного класса, преодолевающие барьер Батчера: теоремы 1.1 - 1.4, теоремы 3.1 - 3.3, теоремы 4.1, теоремы 5.1.

6. В рамках построенных методов получены высокоэффективные явные расчетные схемы одношагового метода для всех рассмотренных классов: а) для интегрирования систем (1.1,1)—(1.1.3) класса С разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида это схемы второго, третьего, четвертого и пятого порядков — (1.3.2), (1.4.26), (1.5.62), таблица 1.4; б) для интегрирования систем (3.1.1) класса 21(г) разделяющихся дифференциальных уравнений с перекрестной структурой связей это схемы с третьего по пятый порядок включительно — (3.2.40), (3.2.60), (3.2.61), табл. 3.6, табл. 3.7, (3.4.67); в) для интегрирования систем (4.1.2) класса 21(п) разделяющихся дифференциальных уравнений построены схемы четвертого порядка двух типов. Первый характеризуется зависимостью коэффициентов от порядка системы (4.2.144), (4.2.145), второй тип расчетных схем не имеет этого недостатка — (4.2.146). г) для интегрирования систем (5.1.1) класса 05 структурно разделяющихся дифференциальных уравнений схема пятого порядка — табл. 5.2.

7. Построены вложенные методы типа Дормана-Принса пятого порядка для интегрирования систем (3.1.1) класса 21(г) разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений с перекрестной структурой связей и систем (5.1.1) класса 25 структурно разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений. Их сравнительная теоретическая эффективность подтверждена результатами численного эксперимента.

8. Установлена связь структурного подхода для интегрирования систем разделяющихся обыкновенных дифференциальных уравнений и методов типа Нюстрёма и Цурмюля — прямого интегрирования дифференциальных уравнений n-го порядка.

9. Продемонстрированы возможности предложенного подхода при конструировании вычислительных схем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка специального вида (7.3.1). Выписаны семейства эффективных явных четырехэтапных методов (7.3.2) пятого порядка и пятиэтапных вложенных методов (7.3.3) пятого порядка прямого интегрирования системы (7.3.1). Причем полученные расчетные схемы на треть экономичнее лучших существующих одношаговых методов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Олемской, Игорь Владимирович, 2005 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.-М.:Наука, 1979.

2. Артемьев С. С., Шкурко И. О. Алгоритм переменного порядка и шага основанный на методах типа Розенброка. //Журн. вычисл. математики и мат. физики, т.26, N5, 1986. С. 1256-1258.

3. Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. Пакет прикладных программ решения типовых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений //Вопросы конструирования библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.

4. Арушанян О.В., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране./ М.: Изд-во МГУ, 1990, 336 с.

5. Ассюй К.Р. Семистадийные методы Рунге-Кутты порядка шесть// Вестник РУДН. Серия Прикладная и компьютерная математика. Т. 2. №2. 2003. С. 61-76.

6. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

7. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.

8. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

9. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

10. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. М.: Физ-матгиз, 1962.

11. И. Бордовицына Т. В. Обзор современных способов повышения точности численного интегрирования дифференциальных уравнений движения небесных тел// Астрономия и геодезия, N8, 1980. С .5475.

12. Бордовицына Т. В. Метод Рунге-Кутты высоких порядков и стабилизирующие преобразования в задачах прогнозирования движения ИСЗ//Космич. исследования, т.19,№6, 1981. С. 941-943.

13. Бордовицына Т. В. Современные численные методы задачах небесной механики. М.: Наука. 1984. 136 с.

14. Бордовицына Т. В., Федяев Ю. А. Построение методов Рунге-Кутты высоких порядков на ЭВМ/ Агоритмы небесной механики. Рига:Изд-во Латв.ун-та, 1980. С .36-38.

15. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

16. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

17. Горбунов А. Д. Разностные уравнения и разностные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Изд. ВЦ МГУ, 1967.

18. Горбунов А. Д. ,3веркина Т. С., Соколихин В. Н. Два экономичных метода численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, использующих сетку// Журн. вычисл. математики, и мат. физики., 1974. Т. 14, №1. С. 99-112.

19. Деккер К., Вервер Я., Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988. 334 с.

20. Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

21. Едаменко Н. С., Олемской И. В. Эффективное интегрирование динамической системы специального вида/ Вопросы механики и процессов управления. СПб. 1996. С. 63-66 .

22. Жоголев Е. А. Программа интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом Штер-мера//Вычислительные методы и программирование. Вып. I. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962.

23. Заворин А. Н., Хесина И. Я., О некоторых численных методах решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Журн. вычисл. математики, и мат. физики., Т. 13, №1, 1973. С. 71-79.

24. Залеткин С. Ф. О численном решении задачи Коши для обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений на больших отрезках интегрирования //Вычислительные методы и программирование. Вып. XXVI. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977.

25. Залеткин С. Ф. Полиалгоритм автоматизированного решения обыкновенных дифференциальных уравнений//Автоматизация конструирования библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.

26. Залеткин С. Ф. Коллекция дифференциальных уравнений для тестирования вычислительных алгоритмов и программ/Вопросы конструирования библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

27. Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений многошаговыми методами //Конструирование библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

28. Захаров А. Ю. Некоторые результаты сравнения эффективности решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений/ Препринт ИПМ АН СССР № 125. М., 1979.

29. Захаров А. Ю., Калиткин Н. Н. Информация о работах по жестким системам дифференциальных уравнений// Дифференц. уравнения, т. 19, № 10. 1983. с.1831-1832.

30. Зверкина Т. С. Модификация конечно-разностных методов для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с негладкими решениями.//Журн. вычисл. математики, и мат. физики., т.4,№4, 1964. С. 149-160.

31. Ильин В. П., Кузнецов Ю. И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

32. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

33. Карпов И. И., Платонов А. К. Ускорение численного интегрирования уравнений движения в небесной механике//Космические исследования, т.Х,Вып. 6, 1972. С. 811-827.

34. Киселев Ю. М., Орлов М. В. Численные алгоритмы линейных быстродействий //Журн. вычисл. математики и мат. физики, Т. 31, №12, 1991. С. 1763-1771.

35. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 1. М.: Мир,1976.

36. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 2. М.: Мир,1977.

37. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 3. М.: Мир,1978.

38. Коллатц JI. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1953.

39. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения.-Минск: Наука и техника. 286 с.

40. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 2. М.: Наука, 1977.

41. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы высшей математики. Т.2. Под ред. И. П. Мысовских. Минск,"Вышэйш. школа", 1975.

42. Куликов Г. Ю. Об одном способе контроля ошибки для методов Рунге-Кутты//Журн. вычисл. математики, и мат. физики., т.38, №10, 1998. С. 1651-1653.

43. Кутузов С. А., Олемской И. В., Осипков J1. П., Старков В. Н. Математические методы исследования космических систем/ Учебное пособие, СП6ГУ,2003. 203 с.

44. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. Под ред. А. А. Коломенского. М, Мир, 1980.

45. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977.

46. Милн В. Э. Численное решение дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1955.

47. Некрасов С. А. Двусторонний метод решения задачи Коши //Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1986, Т. 26, №5. С. 771-776.

48. Нильсон Н. Дж. Искусственный интеллект. Методы поиска решений.-М.: Мир, 1973.

49. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков.- СПб: СПбГУ, 1998. 276 с.

50. Олемской И. В. Об одном методе численного интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих динамику заряженных частиц в линейном ускорителе// Вопросы атомной науки и техники. Вып. 1(7), серия: техника физического эксперимента. 1981. С. 17.

51. Олемской И. В. О численном методе интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений/ Оптимальное управление в механических системах. Л.,1983. С. 178-185.

52. Олемской И. В. Метод численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных специального вида/ (Деп.ВИНИТИ

53. N5942-83) Управление динамическими системами. Л., 1983. С .8994.

54. Олемской И. В. О модификации метода Рунге-Кутты/ Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. Саранск,1983. С. 99-104.

55. Олемской И. В. Распространение метода Рунге-Кутты на системы обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида/ (Деп.ВИНИТИ N1421-83) Проблемы управления. JI.,1983. С. 12-19.

56. Олемской И. В. Численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Матем. методы анализа управляемых процессов. Л., 1986. С. 157-160.

57. Олемской И. В. Модификация метода Рунге-Кутта по структуре систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Автореф. дисс. .канд. физ.-матем. наук. Л.: ЛГУ, 1987.

58. Олемской И. В. О структурном методе типа Рунге-Кутта/ IX Все-союз.семинар "Вопросы оптимизации вычислений". Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1987, С.242.

59. Олемской И. В. Структурный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений/ Межд.конф. "International Congress on Computer System and Applied Mathematics".St.Petersburg, 1993. C. 52.

60. Олемской И. В., Рубцова И. Д. Моделирование и оптимизация динамики пучка частиц в группирователе/ Межд.конф. "Beam dynamics and optimization".St.Petersburg, 1994. C. 143-153.

61. Олемской И. В. Численный метод расчета галактических орбит звездных скоплений/Межд.конф. "Beam dynamics and optimization".St.Petersburg, 1996. C.27.

62. Олемской И. В., Симонова Т. A. Error estimation for the modification of the Runge-Kutta method with embedded methods 4(3)/Межд.конф. "Beam dynamics and optimization".St.Petersburg,1996,ISBN 5-7997-0045-7, 1997. P. 214217.

63. Олемской И. В. Экономичная расчетная схема четвертого порядка точности численного интегрирования систем специального вида/ Процессы управления и устойчивость. Тр. XXX научн. конф. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1999. С. 134-143.

64. Олемской И. В. Экономичный метод численного интегрирования систем специального вида/ Процессы управления и устойчи-вость:Труды XXXI научной конференции ПМ-ПУ. СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 218-220.

65. Олемской И. В. Расчетные схемы третьего порядка точности// Процессы управления и устойчивость-.Труды XXXII научной конференции ПМ-ПУ. СПб, 2001. С. 85-88.

66. Олемской И. В. Структурный подход в задаче конструирования и реализации явных одношаговых методов/Учебное пособие. СПбГУ. 2002. 65 с.

67. Олемской И. В. Четырехэтапный метод пятого порядка точности численного интегрирования систем специального вида //Журн. вы-числ. математики и мат. физики, 2002, Т. 42, №8. С. 1179-1190.

68. Олемской И. В. Структурный подход в задаче конструирования явных одношаговых методов //Журн. вычисл. математики, и мат. физики., 2003. Т. 43, №7. С. 961-974.

69. Олемской И. В. Алгоритм выделения структурных особенностей /Николай Ефимович Кирин: Сб. стат. под ред.В.В.Жука, В.Ф.Кузютина, 2003. С. 234-251.

70. Олемской И. В. Методы типа Рунге-Кутты интегрирования систем и дифференциальных уравнений второго порядка специального вида // Вычисл. технологии, 2004. Т.9, №2. С. 67-81.

71. Олемской И. В. Конструирование явных одношаговых методов/ Часть I.Структурный метод: Учебное пособие.- СПбГУ. 2004. 36 с.

72. Олемской И. В. Конструирование явных одношаговых методов/ Часть II.Структурный подход и метод Нюстрёма : Учебное пособие.- СПбГУ. 2004. 36 с.

73. Олемской И. В. Вложенные методы пятого порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2004. Сер. 10, вып. 2. С. 82-93.

74. Олемской И. В, Конструирование явных методов типа Рунге-Кутты интегрирования систем специального вида// Изв. Вуз. Математика. 2005. №2(513). С. 75-80.

75. Олемской И. В. Явный метод типа Рунге-Кутты пятого порядка // Вычисл. технологии, 2005. Т.10, №2. С. 87-105.

76. Олемской И. В. Вложенный пятиэтапный метод пятого порядка типа Дормана-Принса // Журн. вычисл. математики, и мат. физики., 2005. Т. 45, №7. С. 1181-1191.

77. Олемской И. В. Метод пятого порядка типа Рунге-Кутты интегрирования систем структурно разделенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2005. Сер. 10, вып. 1. С. 39-48.

78. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

79. Платонов А. К., Власова 3. П., Степанянц В. А. Многоточечный метод интегрирования с переменным шагом для обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: 1976, 18 с. (Препринт/ИПМ:72).

80. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

81. Рейнгольд Е. М., Нивергельд Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика.- Пер. с англ. Е.П.Липатова, под ред. В.Б.Алексеева М.: Мир, 1980. 476 с.

82. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

83. Скворцов Л. М. О повышении точности явных методов Рунге-Кутты при решении умеренно жестких задач// Докл. Акад. наук, 2001. Т. 378, М. С. 602-604.

84. Скворцов Л. М. Диагонально неявные FSAL—методы Рунге-Кутты для жестких и дифференциально-алгебраических систем// Мат. модел., 2002. Т. 14, №2. С. 3-17.

85. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта, М.: Мир, 1979.

86. Тихонов А. Н., Горбунов А. Д., Гайсарян С. С. Об особенностях графика полной погрешности приближенного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения /Вычислительные методы и программирование. Вып. V. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1966.

87. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

88. Форсайт Дж., Мол ер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969.

89. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

90. Шевченко Г. В. Численный алгоритм решения линейной задачи оптимального быстродействия //Журн. вычисл. математики и мат. физики, 2002, Т. 42, №8. С. 1166-1178.

91. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. -М.: Мир, 1990.

92. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие задачи: Пер. с англ. -М.: Мир, 1999.

93. Хаммуд Г. М., Хашин С. И. Шестимерное семейство 6-шаговых методов Рунге-Кутты порядка 5//Научные труды ИвГУ. Математика. Вып. 4. - 2001. С. 114-122.

94. Хаммуд Г. М. 3-х мерное семейство 7-шаговых методов Рунге-Кутты порядка б//МГУ, Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2. С. 159-166.

95. Хашин С. И. Численнон решение уравнений Бутчера// Вестник Ив-ГУ. № 3. 2000. С. 155-164.

96. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1977.

97. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978.

98. Яров-Яровой М. С. О применении уточненных методов численного интегрирования в небесной механике/Труды ГАИШ,- М. Мир, 1974, т.45, С. 179-200.

99. R. Aid, Richardson estimator with variable step-size// C. R. Acad. Sci. Paris, 1999. V.329, Serie I, P. 833-837.

100. R. H. Battin, Resolution of Runge-Kutta-Nystrom condition equations through eighth order// AIAA J., V. 14, 1963, P. 1012-1021.

101. D. G. Bettis, A Runge-Kutta-Nystrom algorithm// Celestial Mechanics, 1973. V.8, P. 229-233.

102. P. A. Beentjes, W. J. Gerritsen Higher order Runge-Kutta methods for the numerical solution of second order differential equations without first derivatives/ Report NW 34/76, Math. Centrum, Amsterdam, 1976.

103. R. Bulirsch, J.Stoer Numerical treatment of ordinary differential equations by extrapolation methods// Num. Math., V. 8,1966, P. 113

104. J.C. Butcher, Coefficients for the study of Runge-Kutta integration processes// J. Austral. Math. Soc., 1963. V. 3. P. 185-201.

105. J.C. Butcher, On Runge-Kutta processes of high order // J. Austral. Math. Soc., 1964. V. 4. P. 179-194.

106. J.C. Butcher, Implicit Runge-Kutta process// Math.Сотр., V. 18, 1965. P. 50-64.

107. J.C. Butcher, On the attainable order of Runge-Kutta methods// Math. Сотр. V. 19, 1965. P. 408-417.

108. J.C. Butcher, A modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations// J. Ass. comput. Mach., 12, 1965. P. 124-135.

109. J.C. Butcher, On the convergence of numerical solutions to ordinary differetial equations// Math. Сотр. V. 20, 1966, P. 1-10.

110. J.C. Butcher, An algebraic theory of integration methods// Math. Сотр., V. 26, 1972, P. 79-106.

111. J.C. Butcher, An order bound for Runge-Kutta methods// SIAM J.Num. Anal, V. 12, 1975, P. 304-315.

112. J.C. Butcher, The non-existence of ten stage eighth order explicit Runge-Kutta methods// BIT, V. 25, 1975. P. 521-540.

113. F. Ceschino Evaluation de l'erreur par pas dans les problemes differentiels// Chiffres. V. 5, 1962. P. 223-229.

114. G. Dahlquist, Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations // Math. Scand., 1956. V. 4, P. 33-53.

115. J.R. Dormand, P.J. Prince, New Runge-Kutta algorithms for numerical simulation in dynamical astronomy// Celestial Mechanics, 1978. V. 18, P. 223-232.

116. J.R. Dormand, P.J. Prince, A family of embedded Runge-Kutta formulae// J.Comp. Appl. Math., 1980. V. 6. P. 19-26.

117. J.R. Dormand, M.E.A. El-Mikkawy, P.J. Prince, Families of Runge-Kutta-Nystrom formulae// IMA J. of Numerical Analysis, 1987. V. 7. P. 235-250.

118. R. England, Error estimates for Runge-Kutta typesolutions to systems of ordinary differential equations// The Computer J., 1969. V. 12. P. 166-170.

119. E. Fehlberg, Lower-order classical Runge-Kutta formulas with step size control and their application to somei heat transfer problems// Computing, V. 6,1970. P. 61-71.

120. Fehlberg E., Classical fifth-,sixth-,seventh-, and eighth order Runge-Kutta formulas with step size control// Computing, V. 4, 1969, P. 93106.

121. Fehlberg E., Klassische Runge-Kutta-Nystrom formeln mit schrittweiten control fur differentialgleichungen x" = f(t,x)// Computing, V. 10, 1972. P. 305-315.

122. S. Filippi, J. Graf, New Runge-Kutta-Nystrom formula-pairs of order 8(7), 9(8), 10(9) and 11(10) for differential equations of the form y" = f(x,y)// J.Comput. and Applied Math., 1986. V. 14, P. 361-370.

123. W.B. Gragg Repeated extrapolation to the limit in the numerical solution of differential equations// SIAM J.Numer.Anal., V. 2, 1965, P. 384-403.

124. E. Hairer, G. Wanner, Multistep-multistage-multiderivative methods for ordinary differential equations// Computing, V. 11, 1973. P. 287303.

125. E. Hairer, G. Wanner On the Butcher group and General multi-value methods// Computing, V. 13, 1974. P. 1-15.

126. E. Hairer, G. Wanner A theory for Nystrom methods// Numer. Math., 1976, V. 25, P. 383-400.

127. E. Hairer Methodes de Nystrom pour 1'equation differentielle y" = !{х,у)ЦNumer. Math., V. 27, 1977. P. 283-300.

128. E. Hairer A Runge-Kutta method of order 10// J. Inst. Maths. Applies, V. 21, 1978. P. 47-59.

129. E. Hairer, Order conditions for numerical methods for partitioned ordinary differential equations// Numer. Math., 1981. V. 36, P. 431445.

130. E. Hairer, A one-step method of order 10 for y" = f(x,y)// IMA J. Numer. Anal., 1982. V 2, P. 83-94.

131. H.M. Hebsacker, Conditions for the coefficients of Runge-Kutta method for systems of n-th order differential equations// J.Comput. Appl., vol. 8, 1982. V 8, P. 3-14.

132. Т. E. Hull, W. H. Enright, В. M. Fellen, A. E. Sedgwick Comparing numerical methods for ordinary differential equations// SIAM J. Numer. Anal., 1972. V 9, P. 603-637.

133. Knuth D. E. Estimating the efficiency of backtrack programs// Math. Сотр., 1975. V. 29, P. 121-136.

134. Knuth D. E., Moore R. W. An analysis of alpha-beta pruning// Artificial Intelligence, V. 6, 1975. P. 293-326.

135. Lapidus L., Seinfeld J. H., Numerical solution of ordinary differential equations/ New York; London: Acad. Press, 1971, 299 p.

136. Lawler E. L., Wood D. E., Branch-and-bound methods: a survey// Operations Research, V. 14, 1966. P. 699-719.

137. Merson R. H., An operational method for study of integration processes/ Proc. Symp. Data Processing, Weapons Research

138. J. Oliver A curiosity of low-order exlicit Runge-Kutta methods//Mathematics of computation, 1975. V. 29, №132, P. 10321036.

139. W. R. Richert, Implicit Runge-Kutta formulae with built-in estimates of the accumulated truncation error//Computing, 1987. V. 39, P. 353362.

140. R. Zurmuhl, Runge-Kutta Verfahren zur numerischen Integration von Differentialgleichungen n-ter Ordnung// ZAMM, 1948. V. 28, P. 173182.

141. A.G. Werschulz Computational complexity of one-step methods for systems of differential equations// Mathematics of computation, V. 34,№ 149,1980. P. 155-174.

142. Gear C. W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations/ Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1971.

143. Gear C. W. The automatic integration of ordinary differential equations//Communications of the ACM. 1971. V. 14. №3.

144. Henrici P. Discrete-variable methods in ordinary differential equations/ New York : Wiley, 1962.

145. Verner J.H. Explicit Runge-Kutta methods with estimates of the local truncation error// SIAM J. Numer. Anal., 1978, V. 15. P. 772-790.

146. L. F. Shampine, H. A. Watts. A-stable block implicit one-step methods//BIT, 1972. №12, P. 252-266.

147. E. B. Shanks Solutions of differential equations by evaluations of functions//Math. of Сотр., 1966. V. 20. P. 21-38.

148. H. Shintani, Eight-stage block one-step methods with two step-points// Bull. Fac. Sch. Educ. Hiroshima Univ., Part II, 1987. V. 10, P. 63-71.

149. Scraton R. E. Estimation of the truncation error in Runge-Kutta and allied processes//The Computer Journal. 1964. V. 7, №3.

150. Shampine L. F., Gordon M. K. Computer solution of ordinary differential equations. San-Francisco: W. H. Freeman, 1975.

151. H. B. Shanks Solutions of differential equations by evaluations of functions//Math, of Сотр., 1966. V. 20. P. 21-38.

152. H.J. Stetter, Symmetric two-step algorithms for ordinary differential equations, Computing, V. 5, 1970. P. 267-280.

153. J.A. Zonneveld Automatic integration of ordinary differential equations/ Report R743, Mathematisch Centrum, Postbus 4079Д009АВ Amsterdam. Appeared in book form 1964.