Учет электронных корреляций и лазерного излучения в состояниях кулоновского непрерывного спектра электронов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Зайцев Александр Сергеевич

• Зайцев Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Зайцев Александр Сергеевич

Список обозначений

Введение

Глава 1. Квази-штурмовский базис в задаче двухэлектронного континуума

1.1 Обсуждение задачи и методов решения

1.2 Квазиштурмовские базисные функции

1.2.1 Уравнение процесса

1.2.2 Двухчастичные квазиштурмовские функции

1.2.3 Интегральное представление

1.2.4 Разложение по лагерровскому базису

1.2.5 Асимптотическое поведение

1.2.6 Асимптотика решения

1.3 Решение неоднородного уравнения Шредингера

1.4 Представление двухэлектронного континуума

Глава 2. Двойная ионизация атома гелия в представлении двухэлек-

тронного континуума

2.1 Формулировка задачи

2.2 Амплитуда ионизации в представлении двухэлектронного континуума

2.2.1 Матричное уравнение

2.2.2 Амплитуда, извлекаемая из асимптотического поведения Ф(+)

2.2.3 Амплитуды, получаемые из уравнения Липпмана-Швингера

2.3 Численное применение представления двухэлектронного континуума, амплитуды двойной ионизации для Ь =

2.4 Оператор возмущения

2.5 Результаты вычислений

Глава 3. Квазиштурмовский метод Флоке для описание состояний

непрерывного спектра электрона в присутствии лазерного излучения

3.1 Формулировка задачи

3.2 Теория Флоке в калибровке Крамерса-Хеннеберга

3.2.1 Уравнения Флоке

3.2.2 Состояния рассеяния

3.3 Квазиштурмовское представление

3.3.1 Лагерровские базисные функции

3.3.2 Параболические квазиштурмовские функции

3.4 Иллюстрация работы метода

3.4.1 Расчет одетых полем атомных состояний

3.4.2 Численные результаты

Заключение

Литература

Приложение А. Возмущение, индуцированное, фазовым множителем

А.1 Оператор возмущения

А.2 Градиент фазы и лапласиан

А.3 Смешанные производные

А.4 Угловые коэффициенты

Список обозначений

В работе используются следующие обозначения: КШ/КШФ — квазиштурмовские (функции) СКШ/СКШФ — свертка квазиштурмовских (функций) ДЭК — (представление) двухэлектронного континуума TDCS — трехкратное дифференциальное сечение FDCS — пятикратное дифференциальное сечение КН — (представление) Крамерса-Хеннебергера ab initio — неэмперический (метод) ECS — (метод) внешнего комплексного скейлинга ССС — (метод) сильной связи каналов со сходимостью GSF — (метод) обобщенных штурмовских функций Ln(x) — многочлен Лагерра Pn(x) — многочлен Лежандра Yim(r) — сферические гармоники

(а)п — = а(а + 1)...(а + n — 1) = ГГа(+п) — символ Почхаммера

(а, b; c; z) — гипергеометрическая функция \F\ (а; b; z) — вырожденная гипергеометрическая функция первого рода r(z) — гамма-функция

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Учет электронных корреляций и лазерного излучения в состояниях кулоновского непрерывного спектра электронов»

Введение

Актуальность темы. Исследование квантовых систем нескольких тел является фундаментальной задачей теоретической физики ядер, атомов и молекул. В процессах с участием заряженных частиц основную трудность представляет специфика асимптотического поведения волновой функции континуума, обусловленная дальнодействием кулоновских сил. В частности, несмотря на полученные в работе [1] общие выражения для границ асимптотических областей, актуальной остается проблема разработки практических методов задания размеров 'внутренней' области конфигурационного пространства, где решение уравнения Шредингера находится численно [2] (и за пределами которой можно воспользоваться асимптотическими приближениями).

В настоящей работе исследуются состояния трехчастичного кулонов-ского континуума в выходном канале при двойной ионизации атома. Существует ряд ab initio подходов к теоретическому исследованию процессов ионизации, в которых проблема учета граничных условий решается с разной степенью эффективности. В методе внешнего комплексного скейлинга (ECS) [3] задача ионизации атома сводится к краевой задаче для уравнения Шредингера с нулевыми граничными условиями. Изначально метод ECS был сформулирован для задач с короткодействующими потенциалами. Версия ECS подхода, применимая к трехчастичным системам с куло-новским взаимодействием, была предложена в работе [4] для s-волновой модели Темкина-Поета. В частности, был предложен метод расщепления потенциала, обеспечивающий затухание правой части уравнения. Обобщение этого метода для трехчастичной системы с нулевым полным орбитальным моментом дано в работе [5]. В рамках метода сильной связи со сходимостью (ССС) [6-8], используется то обстоятельство, что выражение для матричного элемента перехода содержит волновую функцию связанного со-

стояния мишени. Таким образом, амплитуда ионизации определяется волновой функцией континуума в ограниченной области пространства. В методе так называемых обобщенных штурмовских функций (GSF) [9,10] исходное уравнение Шредингера преобразуется в уравнение с квадратично интегрируемой правой частью. Использование базисных функций с асимптотикой в виде произведения расходящихся сферических волн [11] позволяет эффективно находить решение в ограниченной области пространства. Вместе с тем для корректного вычисления амплитуды процесса требуется последовательно расширять область вычисления функции рассеяния. При этом размеры этой области, достаточные для достижения сходимости этого метода при расчете амплитуды рассеяния, a priori не известны.

Состояния непрерывного спектра электронов, движущихся в поле ку-лоновского центра в присутствии электромагнитного поля лазера также являются предметом исследования в настоящей работе. В случае слабых полей модифицированные лазером кулоновские состояния рассеяния достаточно точно описываются аналитически в рамках: 1) приближения так называемого сильного поля [12], в котором кулоновским потенциалом в уравнении Шредингера пренебрегают, а электронные состояния описываются волков-скими функциями [13]; 2) подхода Бункина-Федорова [14], в рамках которого кулоновский потенциал также рассматривается как возмущение; 3) модели кулон-волковских функций [15,16], в которой кулоновские и лазерные поля описываются с одинаковой степенью приближения (см., например, [17]).

Появление в последние десятилетия мощных лазеров, которые открывают новые возможности в экспериментальном изучении многофотонных процессов, требует совершенствования известных непертрубативных методов, таких как теории R-матрицы-Флоке [18] и метода сильной связи каналов [19-21] в представлении Крамерса-Хеннебергера [22], и развития новых непертурбативных методов теоретического исследования столкновения электронов с атомами и процессов ударной ионизации в присутствии интен-

сивных лазерных полей. Актуальной проблемой в развитии таких методов остается построение оптимального представления решения двухэлектронно-го континуума.

Цели и задачи диссертационной работы. Целями данной работы являются: 1) разработка метода описания состояния непрерывного спектра трех заряженных частиц, альтернативного существующим подходам, основанного на использовании базисных функций с корректным поведением в асимптотической области, так что коэффициенты разложения функции рассеяния содержат всю информацию об амплитудах; 2) разработка непертур-бативного подхода, способного эффективно описать состояния электронного континуума в процессах с участием лазерного излучения.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построение представления двухэлектронного континуума (ДЭК), основанного на разложении по базисным функциям с асимптотическим поведением, отвечающим приближению сферического эйконала, фаза которого содержит вклады от всех трех кулоновских взаимодействий: как электронов с ионом остатка, так и электрон-электронного. Таким образом, волновая функция рассеяния во всем конфигурационном пространстве находится в рамках конечного ДЭК представления.

2. Применение ДЭК представления к процессам двойной фотоионизации и ударной электронной ионизации атома гелия.

3. Построение метода решения задачи однократной ионизации атома электронным ударом в присутствии лазерного поля, основанного на эрмитовой теории Флоке в представлении Крамерса-Хеннебергера (КХ) с использованием разложения по базисным функциям (КШФ) в параболических координатах.

4. Применение квазиштурмовского-Флоке метода к расчету дифферен-

циального сечения (е, 2е) процесса на атоме водорода в присутствии линейно поляризованного лазерного излучения. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Представление ДЭК, основанное на использовании свертки ква-зиштурмовских функций (СКШФ), снабженных кулоновским фазовым множителем, которое позволяет учесть электронные корреляции в асимптотической области. Эффективность применения метода показана на примере расчета дифференциальных сечений реакции (е, 3е) в приближении э-модели Темкина-Поета.

2. Обобщение э-модели ДЭК представления на случай произвольного числа парциальных волн. Численное доказательство сходимости парциальных амплитуд ионизации с ростом числа базисных функций в ДЭК представлении. Согласие расчетов дифференциальных сечений (7, 2е) и (е, 3е) процессов на атоме гелия с результатами других авторов.

3. Метод решения стационарного матричного уравнения, сформулированного в рамках теории Флоке в КХ представлении для описания состояния непрерывного спектра электрона, движущегося в поле ку-лоновского центра в присутствии лазерного излучения. Разложение по КШФ параболических координат для искомых компонент Флоке.

4. Расчет с помощью квазиштурмовского-Флоке метода дифференциального сечения (е, 2е) процесса на атоме водорода в компланарной кинематике в присутствии линейно поляризованного поля лазера. Вектор поляризации лазерного поля выбран перпендикулярным плоскости рассеяния. Численное доказательство сходимости результатов расчетов как с ростом числа Флоке-компонент, так и с увеличением размерности базиса КШФ.

Научная новизна:

1. Впервые для вычисления амплитуды двойной ионизации атомов предложено представление ДЭК, в рамках которого учтены электронные корреляции в состоянии континуума. Численным экспериментом показана сходимость рассчитанных в данном представлении парциальных амплитуд к их эталонным значениям с увеличением числа базисных функций СКШФ.

2. Впервые в представлении ДЭК выполнен расчет дифференциальных сечений (7, 2е) и (е, 3е) процессов на атоме гелия, которые согласуются с результатами расчетов, полученными другими подходами и авторами.

3. Впервые дано решение матричного уравнения Флоке в представлении КХ для функций непрерывного спектра атомного электрона в виде разложения по КШФ параболических координат.

4. Впервые в рамках предложенного квазиштурмовского-Флоке метода выполнен расчет дифференциального сечения процесса ионизации атома водорода электронным ударом в присутствии лазерного поля. Исследована сходимость метода с увеличением числа Флоке-компонент и базисных КШФ.

Практическая значимость. Диссертационная работа является теоретическим и исследованием, имеющим практическую значимость. Сформулированные в работе математические модели и методы позволяют количественно оценивать и анализировать процессы однократной и двукратной ионизации атомов электронным ударом. Применение модифицированных квазиштурмовских функций в процессе расчета сечения реакции позволяет точно описать кулоновские состояния непрерывного спектра в асимптотической области и приводит к достаточно быстрой сходимости по числу базисных функций. В работе также сформулирован квазиштурмовский подход

к решению краевой задачи непрерывного спектра электрона, движущегося в кулоновском и лазерном полях, в рамках которого взаимодействие с лазерным излучением учитывается непертурбативно.

Основные результаты опубликованы в авторитетных научных изданиях и могут найти свое применение в теоретических исследованиях процессов ионизации электронным ударом в том числе в присутствии лазерного поля. Подобные исследования ведутся в ТОГУ (г. Хабаровск), НИИЯФ МГУ (г. Москва), Университете Лотарингии (Франция), Южном Национальном Университете (Аргентина).

Достоверность. Достоверность результатов, изложенных в диссертационной работе, обеспечивается использованием методов квантовой теории столкновений, обоснованной математической моделью и использованием строгих математических методов. Результаты, полученные в работе, находятся в хорошем согласии с результатами, полученными другими методами и другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

• Четырнадцатая региональная научная конференция "Физика: Фундаментальные и прикладные исследования и образование"(Россия, Хабаровск, 2016).

• Международная конференция "Nuclear Theory in the Supercomputing Ега"(Россия, Хабаровск, 2016).

• Международная конференция "Many Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces"(Россия, Москва, 2016).

• Международная конференция "European Conference on Atoms Molecules and Photons"(Германия, Франкфурт, 2016).

• Международная конференция "International conference on photonic electronic and atomic collisions"(Кэрнс, Австралия, 2017).

• Пятнадцатая региональная научная конференция "Физика: Фундаментальные и прикладные исследования и образование"(Россия, Благовещенск, 2017).

• Международная конференция "20th International Symposium on Correlation, Polarization and ionization in Atomic and Molecular Со1^ю^"(Франция, Мец, 2019)

Личный вклад. Автор принимал активное участие в проведении и анализе численных расчетов, обсуждении полученных результатов в работах, сделанных в соавторстве с научным руководителем. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают вклад автора в проведенные и опубликованные исследования. Вклад автора в получение и анализ результатов диссертации является определяющим.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 7 из которых изданы в журналах, входящих в БД Scopus и Web of Science [23-29], 2 — в изданиях, входящих в РИНЦ [30,31] и 1 — в сборнике трудов конференции [32].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации 102 страницы с 17 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 86 наименований.

Основное содержание работы изложено в трех главах. В главе 1 предлагается новый тип базисных функций для описания состояния двухэлектронного континуума, которое образуется в результате двойной фотоионизации атомной системы. Мы назвали эти функции свертками квазиштурмовских функций (СКШФ); их асимптотическое поведение описывается шестимерной сферической волной. Уравнение, описывающее (e, 3e) процесс на гелии в приближении s-модели Темкина-Поета находится численно в виде разложения по СКШФ. Показана что решение во всем

конфигурационном пространстве (а не в конечной области) может быть получено в рамках представления двухэлектронного континуума (ДЭК).

В главе 2 дается обобщение ДЭК представления на случай произвольного числа парциальных волн. В частности, исследуется сходимость парциальных амплитуд перехода для случая полного углового момента Ь = 1 для (е, 3е) процесса. Выполнен расчет дифференциальных сечений (7, 2е) и (е, 3е) процессов на атоме гелия. Найденные значения хорошо согласуются с результатами полученными другими авторами.

Глава 3 посвящена исследованию состояний непрерывного спектра электронов в комбинированном кулоновском и лазерном поле в непертур-бативном подходе, основанном на эрмитовой теории Флоке. Использование представления Крамерс-Хеннебергера (КН) приводит к формулировке задачи в виде неоднородного уравнения Шредингера с квадратично интегрируемой правой частью. Решение уравнения с граничными условиями в виде сферической кулоновской волны предлагается искать путем разложения по базису параболических квазиштурмовских функций.

Глава 1. Квази-штурмовский базис в задаче двухэлектронного континуума

1.1. Обсуждение задачи и методов решения

Задача рассеяния в кулоновской системе трех тел является одной из фундаментальных проблем атомной и молекулярной физики, которая остается нерешенной до сих пор главным образом из-за громоздких граничных условий, которым удовлетворяет волновая функция состояния континуума в различных областях конфигурационного пространства. Кроме того, дально-действующая природа кулоновского взаимодействия требует информации о значениях волновой функции в достаточно обширной области пространства для нахождения характеристик рассеяния. В идеале исследуемая область должна быть расширена вплоть до границы асимптотической зоны где все три частицы достаточно сильно сепарированы. Таким образом, решение проблемы, с одной стороны требует значительных вычислительных ресурсов для нахождения волновой функции в большой области пространства. С другой стороны, необходимые размеры внутренней области априори не известны, хотя общие выражения для границ разнородных областей конфигурационного пространства были получены достаточно давно [1].

Существуют несколько ab initio методов, разработанных для конструирования решения задачи трехчастичного рассеяния (см. обзор [33]). В методе внешнего комплексного скейлинга (ECS) [3,34-36] исходная проблема формулируется в виде граничной задачи с нулевыми условиями на асимптотике. Попытки обобщения ECS метода на случай кулоновских взаимодействий были предприняты в работах [37, 38]. В ряде других подходов для аппроксимации состояния трехчастичного континуума используется произведение двух кулоновских волн с фиксированными зарядами. В рамках метода сильной связи каналов со сходимостью (ССС) [6-8], сепарабельного

разложения потенциала (РБЕ) [39,40] и метода ^/-матрицы [41,42] решение ищется в представлении квадратично интегрируемых лагерровских базисных функций. В частности, в последних двух подходах исходное уравнение Шредингера преобразуется в интегральные уравнения типа Липпмана-Швингера, ядра которых в общем случае некомпактны. В последнее время активно применяется так называемый метод обобщенных штурмовских функций (ОБР) [9, 10], в рамках которого проблема сводится к решению неоднородного уравнения Шредингера с квадратично интегрируемой правой частью. При этом искомое решение ищется в виде разложения по произведениям обобщенных штурмовских функций с асимптотическим поведением в виде расходящихся сферических волн [11] каждая. Одночастичные базисные функции получают численно как собственные решения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.

В данной работе для описания состояния непрерывного спектра ку-лоновской трехчастичной системы мы предлагаем базисный набор двухчастичных функций, построенных с использованием так называемых ква-зиштурмовских (КШ) функций [43]. Одночастичные КШ функции удовлетворяют неоднородному уравнению Шредингера с кулоновским потенциалом и граничными условиями в виде расходящихся сферических волн. В свою очередь, двухчастичные функции построены, по аналогии с функциями Грина двух невзаимодействующих водородоподобных атомных систем, в виде интеграла-свертки двух одночастичных КШ функций. Полученные таким образом базисные функции получили название свертки квазиштурмов-ских (СКШ) функций. Отметим, что (в отличие от простого произведения двух одночастичных функций) СКШ функции ведут себя на асимптотике (когда гиперрадиус р ^ то) как шестимерные сферические волны.

Мы применяем СКШ функции к проблеме двойной ионизации гелия. В частности, мы предлагаем искать решение неоднородного трехчастично-го уравнения Шредингера, соответствующего первому борновскому прибли-

жению [11], в виде разложения по СКШ функциям и исследуем сходимость результата с расширением базисного пространства. Заметим, что поведение базисных СКШ функций в асимптотической области отличается от аналитического результата, полученного для решения в рамках эйкональ-ного приближения [1]. А именно, у базисных функций отсутствует фазовый множитель, соответствующий межэлектронному взаимодействию. Таким образом, эффективность предлагаемого (конечного) разложения решения оказывается под вопросом. Для того, чтобы привести в соответствие асимптотические свойства базисных функций и эйконального приближения мы предлагаем снабдить СКШ функции недостающим фазовым множителем с кулоновской логарифмической фазой. Эффективность применения модифицированных таким образом базисных функций также исследуется в работе.

Все фигурирующие в работе величины выражены в атомных единицах, если не указано иное.

1.2. Квазиштурмовские базисные функции 1.2.1. Уравнение процесса

Кулоновская проблема трех тел возникает в контексте процесса двойной ионизации атома гелия в результате столкновения с быстрой частицей. В этом случае налетающая и рассеянная частица описывается плоскими волнами, так что четырехчастичная проблема сводится к трехчастичной. Исходная четырехчастичная задача решается методом последовательных приближений, где роль возмущения играет оператор взаимодействия с мишенью (см., например, [3,8,10,33,44]). При этом состояние невозмущенной системы описывается произведением кулоновской волны налетающего электрона и функции основного состояния атома гелия. В первом порядке

теории возмущений уравнение формулируется в виде:

Е-Н

Ф(+)(гЬ Г2) = Т^><(Г1, Г2)Ф(0)(Г1, Г2) (1.1)

с трехчастиным гамильтонианом

Я = Но + —, (1.2)

Г12

Но = Е (-2^ - Я (1.3)

где электроны с координатами г1 и г2 движутся в поле ядра (бесконечной массы) с зарядом 2 (2 = 2 для гелия), г12 = |г1 — г2| — расстояние между электронами. Полагается, что изначально гелий находится в основном состоянии с волновой функцией Ф(0). В результате двойной ионизации

к2 к2

электроны вылетают с полной энергией Е = у + у. Явный вид оператора зависит от способа ионизации. Единственным ограничением на является требование свойства квадратичной интегрируемости правой части уравнения (1.1).

Приведем вывод основного уравнения (1.1), следуя работе [11]. Исходим из гамильтониана системы четырех тел, состоящей из трех электронов и ядра бесконечной массы и заряда 2 (2 = 2 для гелия):

1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 /ч

Нш = —1V? — - У2 — - ------+ — + — + —. (1.4)

2 2 2 Г1 Г 2 Гз Г12 Г31 Г32

Слагаемые с индексом 3 относятся к налетающему электрону, индексами 1 и 2 обозначены переменные электронов мишени. Кроме того определим следующие два гамильтониана:

^ 1_о 1_о 2 2 1 , .

н = —-^2 — ^2----+ — (1.5)

2 1 2 2 Г1 Г2 Г12 v ;

и

1

Нр = — 2 V2. (1.6)

Здесь: Н — гамильтониан атомной системы (е-, е-, Не++); Нр — гамильтониан налетающего электрона. В этих обозначениях полный гамильтониан принимает вид

Нш = Н + Нр + Ж, (1.7)

где Ж — оператор взаимодействия между налетающим электроном и ми-

шенью:

ж = - * + .1 + .1.

Гз Г31 Г32

(1.8)

Приближенное решение исходного уравнения Шредингера, отвечающего процессу (е, 3е):

Ем - Н - Нр - ЛЖ

Ф(гЬ Г2, Гз) = 0,

(1.9)

будем искать методом последовательных приближений в предположении малости оператора Ж (на что указывает множитель Л, который полагается равным 1 в результирующем выражении). Таким образом, искомое решение представляется в виде ряда:

Ф = ^ Лп Ф(п), (1.10)

п

элементы Ф(п) которого удовлетворяют следующей системе уравнений:

Еш - Н - Нг

Ф(0) = 0,

Еш - Н - Нг

Еш - Н - Нг

Ф« = Ж ф(°).

Ф(п) = Ж Ф(п-1).

(1.11)

Решение Ф(0) — собственная функция гамильтониана Н + Нр, — представляется в нашем случае в виде произведения функции Ф(0)(г1, г2) основного состояния атома гелия и плоской волны, отвечающей налетающему электрону (с импульсом к^). Иными словами, начальное состояние системы описывается функцией

Ф(0)(Г1, Г2, Гз)

1

(2п)3/2 17

егк,тзф(0)(г1, Г2).

(1.12)

Запишем решение Ф(1) (которым мы и ограничимся) в интегральной форме:

Ф(1)(гЬ Г2, Гз) = / в^1 Ф(+)(Г2, Гз).

Подстановка (1.13) и (1.12) во второе уравнение системы (1.11) дает

(1.13)

¿к

,«к-гз

Е к2 Е

Е^--~--Н

(2Л)372е г, - - - Н ф(+)(Г1,Г2) = Ж^е'к"Г3Ф<0)(Г1,Г3).

(1.14)

Далее, умножая слева уравнение (1.14) на плоскую волну (^Прде-гк/, где kf — импульс рассеянного электрона, и интегрируя по г3, получаем основное уравнение задачи:

Е-Е

Ф(+)(Г1, Г2) = Ж/г(г1, Г2)Ф(0)(Г1, Г2),

(1.15)

где

1 4п

Ж/г(г1, 42 (-£ + егфГ1 + егфГ2),

(2п)3 д

к\

(1.16)

д = к — к/ — переданный импульс, Е = Е^ —2 — энергия атомной системы.

В рамках предлагаемого подхода другие каналы реакции (упругое рассеяние, с возбуждением атома-мишени, однократная ионизация атома) частично учитываются при построении базисных функций. Однако детальное изучение этих эффектов выходит за рамки данного исследования.

1.2.2. Двухчастичные квазиштурмовские функции

Нас будет интересовать решение (1.1), которое удовлетворяет граничному условию в виде расходящейся шестимерной сферической волны в асимптотической области Мы предлагаем искать Ф(+) в виде разложения

N-1

~ ~ (1.17)

Ф(+)(Г1, Г2)=^ £ М1П2^; ¿м>

¿1,^2 П1,П2=0

Я

по базису

|ni W2; LM)g = ; ri,r2)yLM(fi,/2), (1.18)

Г1Г2

YLMM2(ri, Г2) = ^ (4^2m2 \LM)Yiimi(fi)Y,2m2(Г2). (1.19)

Ш1Ш2

Радиальная часть базисного вектора (1.18) задается СКШ функцией

гл№2 ( + )

Qnгп2 , которая удовлетворяет уравнению

E - h 1 1 - h22

«П1^ (E; ri ,Г2) = {rMl (r2), (1.20)

rir2

где

ч 1 д2 1 + 1) Z

2 dr2 + 2 r2 r , (1.21)

фП — лагерровские базисные функции (b — масштабный параметр)

фП(r) = [(n + 1b+i]"2 (2br)^+ie-6rLf+^br), (1.22)

ортогональные с весом i:

J drtä (rWm (r) = inm, (1.23)

0

ж (г) = Г^ (г). (1.24)

СКШ функции с соответствующим поведением на асимптотике могут

быть получены в результате действия оператора функции Грина С= —1

на правую часть уравнения (1.20):

e - hi1 - ^2

QniÄ(+)(E; ri,r2) = ¿^(E фЬ . (1.25)

Оператор G^W в свою очередь представляется в виде интеграла-свертки [45,46]

G^2(+)(E) = — i dE (G^1(+)(V2E)(7^2(+)^2(E - E)) (1.26)

2ni у с

операторов функции Грина, соответствующих водородоподобным системам:

г-н

1

, ¿¿2(+)^2(Е - Е))

Е - £ - к

1

. (1.27)

Здесь прямолинейный контур интегрирования С на комплексной плоскости энергий Е располагается чуть выше вещественной оси, обходя непрерывный спектр и полюсы (соответствующие связанным состояниям) С^1(+) (см. рис. 1.1).

1

2

Рис. 1.1. С — контур интегрирования в интеграле-свертке (1.26). Полюсы (отвечающие связанным состояниям) ¿¡^ 1(+) (л/2Е) изображены сплошными кружками. Серой линией обозначен унитарный разрез. С1 — контур, полученный в результате поворота С относительно точки Е/2. Часть С1 (пунктирная линия) лежит в области нефизических энергий.

1.2.3. Интегральное представление

Подобно (1.27) СКШ функции ОЙ^ можно записать в виде интеграла-свертки КШ функций:

ОЙ^ (Е; Г1 ,Г2) = ¿Е ОП11(+)(^2Ё; Г2), (1.28)

С2

; п) = С* ^(^Е)^,

_ (1.29)

дП22(+)(^2(Е - Е); г2) = (+)(^2(Е - Е))/2.

Здесь интегрирование ведется вдоль контура С2 рис. 1.2, который получен путем деформирования С таким образом, чтобы максимально приблизить его к вещественной оси и тем самым избежать экспоненциального роста подынтегрального выражения в (1.28) [47,48].

Рис. 1.2. Контур С2 интегрирования в (1.28), асимптотически приближающийся к вещественной оси энергии.

1.2.4. Разложение по лагерровскому базису

СКШ функции могут быть разложены по лагерровским базисным функциям (1.22) как

01(+)(£; Г1,Г2)= £ ^ (г 1)^2 (ЫС^+П^ (Е). (1.30)

Ш1,Ш2 =0

Коэффициенты Ст1т2П1П2 являются матричными элементами оператора функции Грина (1.26) на функциях

(1.31)

(п)/22 (Г2)

и вычисляются с помощью свертки [40-42]

С^+и (Е) = ¿/^ )Стт2+2(^2(Е — Е)) (1.32)

С1

матричных элементов операторов функции Грина [49, 50] двух во-

дородоподобных систем. Эти матричные элементы выражаются через два линейно независимых ^/-матричных решения [51,52]:

СШ+ Н^) = —2^п<^(к)С'П+]!(к), п< = ш1п(п,т),п> = шах(п,т), (1.33)

~ 111111 5 "V' /ь>

^(к) = | [(п + 1)(2,+1)]1/2 (2в1пО*1 е—пв/2^^ х (—-)п 2^1 (—п, £ + 1 + ¿в; 2£ + 2; 1 — -—2) ,

сп£ (к) = V п"(п + 2£ + 1) (2вт|Г(^+1+гв)| Г(п+^+2+«в) х2^1 (—£ + ¿в, п + 1; п + £ + 2 + ¿в; -2),

(1.34)

(1.35)

где

- Ь + ¿к • с 2Ьк п

- = ^ = Ь—¿л, 81п * = б2Тк?. (1.36)

Г7

Здесь в = "к" — параметр Зоммерфельда, — гипергеометрическая функция. Следуя методу [46], мы выполняем интегрирование в (1.32) вдоль контура С1 (см. рис. 1.1) который получен поворотом контура С на угол —п < ^ < 0 относительно точки ЕЕ. Это позволяет обойти сингулярности

^Ш^п^ = 1 2).

1.2.5. Асимптотическое поведение

Асимптотическое поведение КШ функции Оп+^к; г) при г ^ то имеет вид

Ы '(к; Г) — —2к^п/

хи (£ + 1 + ¿в, 2£ + 2, — 2гкг), аДк) — кулоновская фаза: е2га^(к) = ц^—в). Воспользовавшись асимптотическим поведением функции Куммера и мы получаем [43]

Оп(+)(к; г) - — 2Sni(k) Акг—в 1п(2кг)—^+^(к)). (1.38)

Оп(+)(к; г) — —2 к Бп1 (к)(—2кг)^+1бпв/2бг(кг+а^(к))

Асимптотическое поведение двухчастичной СКШ функции (1.28) при г1 ^ то и г2 ^ то и фиксированном отношении 1ап(а) = г2/г1, где а — гиперугол, получается заменой ^П\(+) и ОП2(+) в (1.28) их асимптотическим приближением (1.38) и использованием метода стационарной фазы для оценки результирующего интеграла. Стационарная точка Е0, которая удовлетворяет уравнению(см. [1])

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зайцев Александр Сергеевич, 2021 год

Литература

1. Merkuriev S. P., Faddeev L. D., Quantum Scattering Theory for Several Particle Systems // Dordrecht: Springer Sci. Business Media. 1993. P. 405.

2. Roudnev V., Cavagnero M., Automatic grid construction for few-body quantum-mehanical calulations // Comp. Phys. Comm. 2011. Vol. 182. P. 2099-2106.

3. McCurdy C. W., Baertschy M., Rescigno T. N. Solving the three-body Coulomb breakup problem using exterior complex scaling //J. Phys. B. 2004. Vol. 37. P. R137-R187.

4. Yarevsky E., Yakovlev S.L., Larson A., Elander N. Potential-splitting approach applied to the Temkin-Poet model for electron scattering off the hydrogen atom and the helium ion //J. Phys. B. 2015. Vol. 48. P. 115002-1-115002-8.

5. Yarevsky E., Yakovlev S.L., Elander N. Potential splitting approach to e - H and e - He+ scattering //J. Phys. B.: At. Mol. Opt. Phys. 2017. Vol. 50. P. 055001-1-055001-7.

6. Bray I., Stelbovics A. T. Explicit demonstration of the convergence of the close-coupling method for a Coulomb three-body problem // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. P. 53-56.

7. Bray I., Fursa D. V., Kheifets A., Stelbovics A. T. Electrons and photons colliding with atoms: development and application of the convergent close-coupling method //J. Phys. B. 2002. Vol. 35. P. R117-R146.

8. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., Stelbovics A. T., Bray I. Theory of electron-impact ionization of atoms // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. P. 062703-1-062703-21.

9. Frapiccini A. L., Randazzo J. M., Gasaneo G., Colavecchia F. D. A boundary adapted spectral approach for breakup problems //J. Phys. B. 2010. Vol. 43. P. 101001-1-101001-5.

10. Gasaneo G., Ancarani L. U., Mitnik D. M., Randazzo J. M., Frapiccini A. L., Colavecchia F. D. Three-Body Coulomb Problems with Generalized Sturmian Functions // Adv. Quantum Chem. 2013. Vol. 67. P. 153-216.

11. Gasaneo G., Mitnik D. M., Randazzo J. M., Ancarani L. U., Colavecchia L. U. S-model calculations for high-energy-electron-impact double ionization of helium // Phys. Rev. A. 2013. Vol. 87. P. 042707-1-042707-11.

12. Keldysh L. V. Ionization in the field of a strong electromagnetic wave // Sov. Phys. JETP, 1965. Vol. 20. №. 5. P. 1307-1314.

13. Wolkow D. M. Uber eine Klasse von Losungen der Diracschen Gleichung // Z. Phys. 1935. №. 94. P. 250-260.

14. Bunkin F. V., Fedorov M. V. Bremsstrahlung in a strong radiation field // Sov. Phys. JETP. 1966. Vol. 22. №. 4. P. 844-847.

15. Jain M., Tzoar N. Compton scattering in the presence of coherent electromagnetic radiation // Phys. Rev. A. 1978. Vol. 18. P. 538-545.

16. Cavalieri P., Ferrante G., Leone C. Particle-atom ionising collisions in the presence of a laser radiation field //J. Phys. B: At. Mol. Phys. 1980. Vol. 13. P. 4495-4507.

17. Kornev A. S., Zon B. A. Testing of Coulomb-Volkov functions //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1980. Vol. 35. P. 2451-2458.

18. Dorr M. S., Terao-Dunseath M., Burke P. G., Joachain C. J., Noble C. J., Purvis J. R-matrix-Floquet theory of multiphoton processes. III. Multiphoton ionization of atomic hydrogen //J. Phys. B. 1995. Vol. 26. №. 11. P. 3545.

19. Dimou L., Faisal F. H. M. New class of resonance in the e+H + scattering in an excimer laser fieldn // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 59. P. 872-875.

20. Dimou L., Faisal F. H. M. Decay of metastable H atoms in intense excimer lasers // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 46. P. 4442-4444.

21. Collins L. A., Csank G. Multiphoton resonances in e+H + scattering in a linearly polarized radiation field // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 44. P. R5343(R)-R5345(R).

22. Henneberger W. C. Perturbation Method for Atoms in Intense Light Beams // Phys. Rev. Lett. 1968. Vol. 21. P. 838-841.

23. Zaytsev A. S., Zaytseva D. S., Ancarani L. U., Zaytsev S. A. Double ionization of helium with a convoluted quasi Sturmian approach // European Physical Journal D. 2019. Vol. 73. P. 111-1-111-11.

24. Zaytsev A. S., Zaytsev S. A., Ancarani L. U., Kouzakov K. A. Laser-modified Coulomb scattering states of an electron in the parabolic quasi-Sturmian-Floquet approach // Physical Review A. 2018. Vol. 97. P. 043417-1-043417-11.

25. Zaytsev A. S., Ancarani L. U., Zaytsev S. A. Introducing a phase factor for the two-electron continuum representation // European Physical Journal D. 2017. Vol. 71. P. 177-1-177-11.

26. Zaytsev A. S., Ankarani L. U., Zaytsev S. A. Quasi Sturmian basis for the two-electon continuum // Eur. Phys. J. Plus. 2016. Vol. 131. P. 48-1-48-16.

27. Zaytsev A. S., Zaytsev S. A., Ancarani L. U., Kouzakov K. A. Laserassisted electron scattering and ionization processes in a quasi-Sturmian-Floquet approach // Journal of Physics: Conference Series. 2020. Vol. 1412. P. 092021.

28. Zaytsev A. S., Ancarani L. U., Zaytsev S. A. Introducing a phase factor for the two-electron continuum representation // Journal of Physics: Conference Series. 2017. Vol. 875. P. 062052.

29. Zaytsev A. S., Granados-Castro C. M., Ancarani L. U., Gasaneo G., Zaytsev S. A. Electron correlation in the Quasi Sturmian approach for two-electron continuum problems // Journal of Physics: Conference Series. 2015. Vol. 635. P. 052072.

30. Анкарани Л. У., Гасанео Г., Зайцев А. С., Зайцев С. А. Применение параболических квази-штурмовских функций в задаче ионизации атома водорода // Ученые заметки ТОГУ. 2015. Т. 6. С. 167-174.

31. Зайцев А. С., Крамарь Е. И. Учет кулоновских корреляций с помощью фазового множителя // Ученые заметки ТОГУ. 2015. Т. 6. С. 481-487.

32. Зайцев А. С., Крамарь Е. И. Учет кулоновского взаимодействия в состояниях двух- и трехчастичного континуума в рамках S-модели // Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование: материалы XIV региональной найч. конф., Хабаровск, 22-24 сентября 2016 г. Изд-во Тихоокеанского гос. ун-та, 2016. С. 106-110.

33. Bray I., Fursa D. I., Kadyrov A. S., Stelbovics A. T., Kheifets A., Mukhamedzhanov A. M. Electron- and photon-impact atomic ionisation // Phys. Rep. 2012. Vol. 520. P. 135-174.

34. Gasaneo G., Mitnik D. M., Ancarani L. U. On the applicability of the exterior complex scaling method for scattering problems including Coulombic potentials // Eur. Phys. J. D. 2012. Vol. 66. P. 91-1-91-13.

35. Hornyak I., Kruppa A. T. Two-body Coulomb scattering and complex scaling // Phys. Rev. A. 2012. Vol. 85. 022702-1022702-8.

36. Yarevsky E., Yakovlev S. L., Larson A., Elander N. Potential-splitting approach applied to the Temkin-Poet model for electron scattering off the hydrogen atom and the helium ion //J. Phys. B. 2015. Vol. 48. 1150021-115002-8.

37. Volkov M .V., Elander N., Yarevsky E., Yakovlev S. L. Solving the Coulomb scattering problem using the complex-scaling method // Europhys. Lett. 2009. Vol. 85. P. 30001-p1-30001-p6.

38. Elander N., Volkov M., Larson A., Stenrup M., Mezei J. Z., Varevsky E., Yakovlev. S. Quantum Scattering with the Driven Schrodinger Approach and Complex Scaling // Few-Body Syst. 2009. Vol. 45. P. 197-201.

39. Papp Z., Hu C-. Y., Hlousek Z. T., Konya B., Yakovlev S. L. Three-potential formalism for the three-body scattering problem with attractive Coulomb interactions // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 63. P. 062721-1-06272111.

40. Papp Z., Darai J., Hu C-. Y., Hlousek Z. T., Konya B., Yakovlev S. L. Resonant-state solution of the Faddeev-Merkuriev integral equations for three-body systems with Coulomb potentials // Phys. Rev. A. 2002. Vol. 65. P. 032725-1-032725-5.

41. Zaytsev S. A., Knyr V. A., Popov Yu. V., Lahmam-Bennani A. Application of the J -matrix method to Faddeev-Merkuriev equations for (e,2e) reactions: Beyond pseudostates // Phys. Rev. A. 2007. Vol. 75. P. 0227181-022718-11.

42. Mengoue M. S., Kwato Njock M. G., Piraux B., Popov Yu. V., Zaytsev S. A. Electron-impact double ionition of He by applying the Jacobi matrix approach to the Faddeev-Merkuriev equations // Phys. Rev. A. 2011. Vol. 83. P. 052708-1-052708-11.

43. Del Punta J. A., Ambrosio M. J., Gasaneo G., Zaytsev S. A., Ancarani L. U. Non-homogeneous solutions of a Coulomb Schrodinger equation as basis set for scattering problems //J. Math. Phys. 2014. Vol. 55. P. 0521011052101-15.

44. Selles P., Magelat L., Kazansky A. K. Ab initio calculation of the whole set of He double-photoionization cross sections // Phys. Rev. A. 2002. Vol. 65. 032711-1-032711-15.

45. Базь A. И., Зельдович Я. Б., Переломов A. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике // Москва: Наука. 1966. С. 544.

46. Shakehaft R. Integral representation of the Coulomb Green function derived from the Sturmian expansion // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. P. 042704-1-042704-9.

47. Алешин М. С., Зайцев С. А., Гасанео Г., Анкарани Л. У. Квазиштур-мовские функции в задачах трехчастичного кулоновского континуума // Известия высших учебных заведений. Физика. 2015. T. 58. C. 62-70.

48. Aleshin М. S., Zaytsev S. А., Gasaneo G., Ancarani L. U. Quasi Sturmian Functions in Problems of a Three-Particle Coulomb Continuum // Russ. Phis. J. 2015. №. 58. P. 941.

49. Hostler L. Coulomb Green's Functions and the Furry Approximation // J. Math. Phys. 1964. Vol. 5. P. 591-611.

50. Blinder S. M. Nonrelativistic Coulomb Green's function in parabolic coordinates // J. Math. Phys. 1981. Vol. 22. P. 306-311.

51. Heller E. J. Theory of J -matrix Green's functions with applications to atomic polarizability and phase-shift error bounds // Phys. Rev. A. 1975. Vol. 12. P. 1222-1231.

52. Alhaidari A. D., Heller E. J., Yamani H. A., Abdelmonem M. S. The J—Matrix Method: Developments and Applications // Springer Sci. Business Media. 2008. P. 356.

53. Rudge M. R. H. Theory of the Ionization of Atoms by Electron Impact // Rev. Mod. Phys. 1968. Vol. 40. P. 564-590.

54. Lahamam-Bennani A., Taouil I., Duguet A., Lecas M., Avaldi L., Berakdar J. Origin of dips and peaks in the absolute fully resolved cross sections for the electron-impact double ionization of He // Phys. Rev. A. 1999. Vol. 59. P. 3548-3555.

55. Ambrosio M. J., Colavecchia F. D., Gasaneo G., Mitnik D. M., Ankarani L. U. Double ionization of helium by fast electrons with the Generalized Sturmian Functions method //J. Phys. B. 2015. Vol. 48. P. 055204-1055204-13.

56. Baertschy M., Rescigno T. N., Isaacs W. A., Li. X, McCurdy C. W. Electron-impact ionization of atomic hydrogen // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 63. P. 022712-1-022712-19.

57. Papp Z. Use of Coulomb-Sturmian functions in calculating scattering quantities in Coulomb-like potentials // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 46. P. 4437-4439.

58. Kheifets A., Bray I., Lahmam-Bennani A., Duguet A., Taouil I. A comparative experimental and theoretical investigation of the electron-impact double ionization of He in the keV regime //J. Phys. B. 1999. Vol. 32. P. 5047-5065.

59. Goldberger M. L., Watson K. M., Collision Theory // New York, London, Sydney: John Wiley & Sons Inc. 1964. P. 919.

60. Dorner R., Bräuning H., Feagin J. M., Mergel V., Jagutzki O., Spielberger L., Vogt T., Khemliche H., Prior M. H., Ullrich J., Cocke C. L., Schmidt-Bocking H. Photo-double-ionization of He: fully differential and absolute electronic and ionic momentum distributions // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 57. P. 1074-1090.

61. Kheifets A., Bray I. Convergent calculations of double ionization of helium from (y, 2e) to (e, 3e) processes // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 69. P. 0507011-050701-4.

62. McCurdy C. W., Horner D. A., Rescigno T. N., Martin F. Theoretical treatment of double photoionization of helium using a B-spline implementation of exterior complex scaling // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 69. P. 032707-1-032707-12.

63. Ambrosio M., Mitnik D. M., Gasaneo G., Randazzo J. M., Kadyrov A. S., Fursa D. V., Bray I. Convergent close coupling versus the generalized Sturmian function approach: Wave-function analysis // Phys. Rev. A. 2015. Vol. 92. P. 052518-1-052518-8.

64. Ambrosio M. J., Colavecchia F. D., Mitnik D. M., Gasaneo. G. Discrepancy between theory and experiment in double ionization of helium by fast electrons // Phys. Rev. A. 2015. Vol. 91. P. 012704-1-012704-4.

65. Randazzo J. M., Ancarani L. U., Gasaneo G., Frapiccini A. L., Colavecchia F. D. Generating optimal Sturmian basis functions for atomic problems // Phys. Rev. A. 2010. Vol. 81. P. 042520-1-042520-7.

66. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Курс теоретической физики: Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория) // Москва: ФИЗМАТЛИТ. 2004. С. 800.

67. Joachain C. J., Kylstra N. J., Potvliege R. M. Atoms in the Intense Laser Fields // New York: Cambridge University Press. 2012. P. 568.

68. Gavrila M., Kaminski J. Z. Free-Free Transitions in Intense High-Frequency Laser Fields // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 52. P. 613-616.

69. Maquet A. Use of the Coulomb Green's function in atomic calculations // Phys. Rev. A. 1977. Vol. 15. P. 1088-1108.

70. Potvliege R. M., Shakeshaft. R. Nonperturbative calculation of partial differential rates for multiphoton ionization of a hydrogen atom in a strong laser field // Phys. Rev. A. 1988. Vol. 38. P. 1098-1100.

71. Potvliege R. M., Shakeshaft. R. Multiphoton processes in an intense laser field: Harmonic generation and total ionization rates for atomic hydrogen // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 40. P. 3061-3079.

72. Dorr M., Potvliege R. M., Shakeshaft R. Multiphoton processes in an intense laser field: III. Resonant ionization of hydrogen by subpicosecond pulses // Phys. Rev. A. 1990. Vol. 41. P. 558(R)-561(R).

73. Byron F. W. Jr., Francken P., Joachain C. J. Laser-assisted elastic electron-atom collisions //J. Phys. B. 1987. Vol. 20. P. 5487-5503.

74. Pont М., Walet N. R., Gavrila М. Radiative distortion of the hydrogen atom in superintense, high-frequency fields of linear polarization // Phys. Rev. A. 2010. Vol. 41. P. 477-494.

75. Pawlack М., Moiseyev N. Conditions for the applicability of the Kramers-Henneberger approximation for atoms in high-frequency strong laser fields // Phys. Rev. A. 2014. Vol. 90. P. 023401-1-023401-6.

76. Kouzakov K. A., Popov Y. V., Takahashi M. Laser-assisted electron momentum spectroscopy // Phys. Rev. A. 2010. Vol. 82. P. 0234010-10234010-14.

77. Li S. M., Berakdar J., Zhang S. T., Chen J. Laser-assisted (e, 2e) reaction in one-electron atoms and ions //J. Phys. B. 2005. Vol. 38. P. 1291-1303.

78. Hohr C., Dorn A., Najjari B., Fischer D., Schroter C. D., Ulrich J. Laserassisted electron-impact ionization of atoms //J. Electron. Spectrosc. 2007. Vol. 161. P. 172-177.

79. Joachain C. J., Francken P., Maquet A., Martin P., Veniard V. (e,2e) Collisions in the Presence of a Laser Field // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 165-168.

80. Martin P., Veniard V., Maquet A., Francken P., Joachain C. J. Electron-impact ionization of atomic hydrogen in the presence of a laser field // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39. P. 6178-6189.

81. Newton R. G. Scattering Theory of Waves and Particles // New York: McGROW-HILL BOOK COMPANY. 1972. P. 768.

82. Zaytsev S. A. Representation of the three-body Coulomb Green's function in parabolic coordinates: paths of integration //J. Phys. A. 2010. Vol. 43. P. 385208-1-385208-18.

83. Abramowitz M., Stegun I. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables // New York: Dover. 1972. P. 1059.

84. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Table of Integrals, Series and Products // Elsevier, Academic press. 1980. P. 1171.

85. Hohr C., Dorn A., Najjari B., Fischer D., Schroter C. D., Ullrich J. Electron impact ionization in the presence of a laser field: a kinematically complete (nYe, 2e) experiment // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. P. 153201-1153201-4.

86. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента // Москва: Наука. 1975. С. 439.

Приложение А. Возмущение, индуцированное, фазовым множителем

А.1. Оператор возмущения

Мы предлагаем следующую параметризацию фазы

^ = - Р1 [1п(2кр) + ки

(А.1)

где

u = л / + а.

12 + а (А-2)

Ниже используются обозначения: А = [1п(2кр) + х = г1? у = г2.

Нашей целью является выражение для матричного элемента оператора возмущения

£ = й + V, (А.3)

где

и = 2 [лГ1 w + лГ2W] -1 (vriw)2 + (vr2w)2 +i

ri (Vri W) •Voi + (Vr2 W) -v^2

Г2

V = i

в бисферическом базисе

(VriW) • ^ + (Vr2W) r2 d

ri dr\

r2 dr2

1

ri2

(А.4)

(А.5)

YLM2(ri, Г2) = E (^imi^2m2 \LM)Ytimi(r^Y^(r2).

mi+m2=M

Заметим, что

(А.6)

Vxri2 = Vxu =

откуда для градиентов фазы получаем

_ X = p, Vy P = y p '

. x-y ri2 , Vy ri2 = _ y-x ri2

. x-y и ' Vy u = У-х и '

X = P2, VyA = У p2 ,

(А.7)

VxW = - К Xu {A + 1}- uP (x - У)А

Vy W = - i (fi {A + 1}-UP3 (У - x)A

(А.8)

x

x

А.2. Градиент фазы и лапласиан

Возводя в квадрат правые части (А.8), получаем

)2 = <? (X2¿г {А + I}2 - х • (х - у) {А + 1} А + г?2

(V,^)2 = ^ (£¿г {А +1}2 - у • (у - х) {А + 1}А + £г?2А2), (А.9)

откуда следует выражение для суммы квадратов градиентов фазы, входящей в (2.47),

(V*™ )2 + (V, ^ )2 =

у1

= кг (¿2 {А + 1}2 - 2$ {А + 1} А + 2р2$А2) .

Вычисляя дивергенцию от (А.8), получаем

Аж^ = V • ) = = -1 ({А + 1} - 2^¿Х-^ {А + 1} - А - А + А

(А.10)

(А.11)

и

А,^ = V, • (V,) =

к Г-3- {А + 1} - 2^^ {А + 1} - А - ЦА + А .

к V рм ^ J м3р ^ J м3 и5 I

Таким образом, искомая сумма лапласианов сводится к

Д*УУ + Л^ =

(А.12)

—1 |5А + 61 — 2121 {А + 11 — ^А + 6РГг2 А

к I рм { } рм3 { } м3 м5

(А.13)

А.3. Смешанные производные

Заметим, что операторы (^ ^) • Х|- и (V,^) • , действуют на ( £ ^ •

) х <9ж ж, ) х ) ^

+£ ((^) • Х) ix,

(vу ^) • И (xi) = ж, ((vу ^) • i) (-1 +£ ((vу^) • У) Ц.

(А.14)

(А.15)

Тогда с учетом

и

(Уж^) • Х = -\( — {А + 1} - х • (х - у)А^ (А.16) х к \ри хи3 )

(Уу™) • у = -1 (Ри {А + 1} - у • (у - х)а) , (А.17) у к \ри уи3 )

у к \ри

получаем для суммы первых слагаемых в правых частях (А.14) и (А.15):

- х ) • ж -I (уу>у) • у = (А 18)

= 1(^-2 \А + 11 — 2рА + (У + ^ рс А ( .

к \ри { } и3 уж у I и3 /'

где

с = ^. (А.19)

х-

Вторые слагаемые в правых частях (А.14) и (А.15) являются дифференциальными операторами:

(У,™) • Х) У = -1 (х {А + 1} - ЦА + урС а) дХ (А.20)

х/ дх к \ри и3 и3 у дх

и

((Уу™) • У) дУ = -1 (ри {А + 1}- иРА + хРСА) дУ. (А.21)

А.4. Угловые коэффициенты

До сих пор мы рассматривали скалярные операторы. Здесь мы получим результаты действия операторов , ((У,™) • Уах) и I ((Уу^) • УоУ) на

р р ьы

ния [86]:

„ , и - . ( V у

'х / у V V у

бисферическую гармонику ^Ьы(Х, У). Мы используем известные соотноше

Уа,Уш(г) = Т + ^¿ТТ^мй + ^¿ТГ^м И (А.22)

и

(г) = - V¿+7^), <А.23>

где

^ры(Г) = ^ (М, 1м | ТМ) Урто(г)ем (А.24)

— векторная сферическая гармоника (шаровой вектор). Таким образом, с учетом г • Vпr =0 и (А.8) получаем

X ((^^) • ^) У^т* (х)^уту (У) =)

1 хм3 (^^^ж ^ (х) У ^^у ту (У ) )

Далее, применяя (А.22) и (А.23), получим для (А.25)

(А.25)

_1 У£_ A

k xu3

4+1 V^+1

24 + 1 А 4m,

:(x)

г

ly!9-1 (y) -

24+1 -*■

!y my

!У + 1 Y!y + 1 (y)

2!y+1 * !ymy (y )

(А.26)

Рассмотрим сначала комбинацию скалярных произведений, которые

фигурируют в действии оператора на бисферическую гармонику YlM :

£ («xmx,«ymy |LM) (y^x) • Y^(y)) . (А.27)

xy

Подставляя определение (А.24) в (А.27), получаем

Y4m: (Х) • Y£y'my (У)

= E («x - 1m1,1ß |4тж)(«y - 1m2,1v my)

XY!:-1,m1 (x)Y!y-1,m2 (y)(eM • ev)

= E (4 - 1m1, 1ß |«xmx)(«y - 1m2,1 - ß my)

mi,m2,^

(А.28)

x(-l№:-1,mi (X)Y!y-1,m2 (У)

X] («x - 1mb 1ß |«xmx )(«y - 1m2, 1 - ß |

x(-1)"(4 - 1mb«„ - 1m |L'M')YL'M1,!y-1,

(x, y).

Следовательно сумма (А.27), с учетом (- 1)м = -л/3(1д, 1 -М 100), сводится к -символу, умноженному на бисферическую гармонику:

(^л/3)

«x 1 1 «x «y 1 1 «y

L 0 L

YLM-1,!y-1(x, y).

(А.29)

Далее можно воспользоваться следующим отношением:

'х 1 1 'х

'у 1 1 'у

Ь 0 Ь

'х 1 1 'х

[(2'х + 1)(2'у + 1)(2Ь + 1)]1 < 'у- 1 1 'у

Ь к. 0 Ь >

? 'х- 1 'х ч 1

[(2'х + 1)(2'у + 1)(2Ь + 1)]1 < 'у- 1 'у 1

Ь Ь 0

[(24 + 1)(2<у + 1)(2Ь + 1)]2

'х 1 'х

X

'у 'у 1 Ь

Поскольку 'х + 'у + Ь четно, то

-ж I ^у

/й ($хтХ5 'уШу т-т,.

¿--1^ ^Ау -1

^у тУ

У(24 + 1)(2'у + 1)

Аналогично

/й (£хШХ5 'уШу

^¿^ (Х) ' X

'х 1 'х 1

'у 'у 1 ЬЬ

1м-1Л-1(х, у).

у^ (X) ■ т!у-1

1ть1 4 у £у ту

У(2<хт1Ж+1)^ 'х+ 1 ^х Ь -1(х,у),

/й ('xШx, 'уШу

^""Х, ^у""у ) (Х) ■ У

■¿у + 1

¿у ту

Ь—^ИЬу

'х 1 'х 1

\/(2'х + 1)(2'у + 1)^ /У ; ,у),

'у 'у + 1 Ь

Е ('хШх,'уШу\ Y¿lm1 (X) ■ Y¿yт

¿у + 1

у

у ту

1у

'х + 1 'х 1 ^ + 1 I

'у 'у + 1 Ь

\/(2'х + 1)(2'у + 1)^ ; ^'¿у:1(Х,у).

(А.30)

(А.31)

(А.32)

(А.33)

(А.34)

1

т ,т

1у

Таким образом, имеем

X ((^ ) (X, У)

= - 1 5 А (-(«X + 1)^45 { 4 " 1 1 Ч -1(Х, У)

+ (4 + { ^ 1 Д I } У^У+1(х, У) (А.35)

{4 «+1 х 1 -1(х, У) 4«+1 + 1 11+1(х,У)

Аналогично

1 ((V,И>)■ ^у) (У, х) = -13а(-(4 + "1 1 1 №А-1(У,х)

\ 1 X X

+ (4 + 4 - 1 «X + 1 1} ^^, х) (А.36)

4жпж^4 + 1 1 1 Ь1Ул+1Л_1(У,х)

4УЙГ+1(4Т1){ 4«+1 1 1} у^1А+1(У,х)

С учетом четности суммы 'х + 'у + Ь и симметрии -символов получаем 1 ((УхЖ) ■ Уп-) + 1 ((V,Ж) ■ Упу)) (X,у)

= -1 из а( [-х ('х + 1) - х ('у +1)]

х

'Х'-1 I?-1 Ь ^«-1/у-1(Х, у)

+ [Х'х + Х'уМ'х + 1)('у + 1^ 'Х'+1 ''++ 1 Ь :1(Х,у)

+ [Х('х + 1) - х'уУ'х('„ + 1^ 'Х'- 1 /+ 1 Ь ^ Уьм^¿у:1(Х,у)

+[-х'х+х('у+1)]^(«х+1)'^ 'х'+1 1 Ь -1(х,л).

УС _±_ Х^ _±_ 1 М . Ко _±_ ; Х х ^ ^¿1:1^у

у 'у

(А.37)

Напомним, что матричный элемент полиномов Лежандра дается формулой

В ('х,'у,Ь,'Х,'у) =! ^у (X, у)!' Рл (ссв^)) (X, у)

= (_ 1)¿y+¿УК:1)^+1)(2¿1+1)(2¿У+1)]2 , .

_ ( 1) у (2Л+1) (А.38)

'х 'у Ь

х('х0,'Х0 |Л0)('у0,'у0 |Л0) ,

'у 'х Л

С учетом вышесказанного получаем выражение для матричного элемента

возмущения (А.3) на бисферических функциях (А.6)

/ dxdy

ym (x , у)

t/ t/ L УЫ

(x, У)

X

11

2 k2

E BA («x, «y, L, «x, «y)

"Ik {1 {Л + 2} gA1) _ 21 {Л + 1} gf + 6рЛд

(3) л

.(4) о (У s „А „(5)

_2рЛд(4) _ 2 Х + X

{{Л+-1}2g(6) + 2р2Л2д(7) _ 2 {Л + 1} А()8)}

t{(X {Л + 1} g(1) _ *Mg(4) + yMg(5)) |

+ (Ï {Л + 1} g(1) _ УрЛд(4) + жрЛд(5)) ддУ}

gA

(О)

MgA4)( [_ x («x + 1) _ x («y + 1)^л/«х«у

'A у dy «/ l

«/

«/y _ l L

xBa(«Х, «y, L, «Х _ 1,«У _ 1)

«x I 1 «x

+[ X «Х + X «У V(«x + 1)(«У + 1)

«У «У + 1 L

xBa («х,«у, L, «Х + 1,«У + 1)

,- ff- 1 «/

+[Х («Х + 1) _ X«УV«Х(«У + 1Г Х Х

«У «У + 1 L

xBa («x, «y, L, «X _ l,«y + 1)

«/ +1 «/ 1

+[_X«X +x(«y + l)V(«X + l)«y ' x x

«У «y _ 1 L

(А.39)

x Ва(«х,«у, L, «X + l,«y _ 1) ,

1

k

1

1

где

(О)

(2Л+1) 2 f 4Рл(с)^с = ¿ (

si11 = (2Л+1) 2 f UРл(с)^с, -1

sf = (2Л+1) 2 f1 2 f U2Рл(с)^с,

(3) (2Л+1) 2 f1 2 f U2Px(c)dc,

(4) (2Л+1) 2 f U3Рл(фс,

(5) (2Л+1) 2 f u3P\(c)dc,

(б) (2Л+1) 2 f U2Рл(фс,

(7) (2Л+1) 2 f1 2

(8) (2Л+1) 2 f1 2 f U2ftMdc.

(А.40)

1

Л