Описание ионизации атомов в контексте квазиштурмовских базисов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Алёшин Максим Сергеевич

• Алёшин Максим Сергеевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Алёшин Максим Сергеевич

Введение

Глава 1. Описание кулоновской системы трёх тел

1.1. Введение

1.2. Метод сильной связи каналов со сходимостью

1.3. 7-матричный подход

1.4. Метод обобщённых штурмовских функций

1.5. Метод внешнего комплексного скейлинга

Глава 2. Одночастичные квазиштурмовские функции

2.1. Введение

2.2. Формулировка проблемы

2.3. Квази-штурмовские функции

2.4. Пример

2.5. Заключение

Глава 3. Квазиштурмовский базис в кулоновской задаче трёх тел

3.1. Введение

3.2. Геометрия эксперимента

3.3. Квази-штурмовские базисные функции

3.4. Решение уравения

3.5. Результаты и обсуждение

3.6. Заключение

Заключение

Список литературы

Список сокращений и условных обозначений

КШ — квазиштурмовские (функции)

СКШ — свёртка квазиштурмовских (функций)

FDCS — пятикратное дифференциальное сечение рассеяния

ab initio — неэмпирический (метод)

ECS — (метод) внешнего комплексного скейнинга

CCC — (метод) сильной связи каналов со сходимостью

GSF — (метод) обобщённых штурмовских функций

Ln(x) — многочлен Лагерра

Ii (z) — модифицированная функция Бесселя

(а)п — = а(а + 1)...(а + п\) = ГГ(+)П) - символ Почхаммера

— = - биномиальный коэффициент

2F1(a,b; с; z) — гипергеометрическая функция

1F1(a; b; z) — вырожденная гипергеометрическая функция

первого рода

-^(z), ^(z) — функции Уиттекера

Yim — сферическая гармоника

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Описание ионизации атомов в контексте квазиштурмовских базисов»

Введение

Актуальность темы исследования. Задача рассеяния с участием трех заряженных частиц является одной из фундаментальных нерешённых проблем теоретической физики атомов и молекул. В атомной физике актуальными с точки зрения изучения корреляции электронов представляются реакции двойной ионизации. Настоящая работа посвящена построению корректной волновой функции двухэлектронного континуума, который возникает как конечное состояние в реакциях (е, 3е) и (7, 2е).

Существуют различные методы построения волновой функции состояния непрерывного спектра системы трёх заряженных частиц, которые эффективно работают при низких энергиях. Однако существенна проблема применимости этих методов при высоких энергиях, когда открывается большое число каналов. В таких случаях волновая функция системы трех тел принадлежит непрерывному спектру, а граничные условия в конфигурационном пространстве имеют очень сложный вид и соответствуют множеству двух- и трёхчастичных каналов. Существенное усложнение картины асимптотического движения частиц происходит из-за наличия в системе дальнодействующих сил.

Несмотря на то, что принципиальные вопросы описания систем двух и трёх тел с кулоновским и сильным взаимодействием на основе уравнений Шредин-гера и Фаддеева-Меркурьева разрешимы [1-3], очень сложной остаётся вычислительная реализация расчета наблюдаемых рассеяния составных заряженных частиц. Поэтому практическое применение существующих методов невозможно без использования приближений, последствия которых, однако, очень трудно оценить. В связи с этим в настоящее время продолжаются активные поиски новых независимых методов учёта кулоновского взаимодействия в системе нескольких тел.

Стоит отметить, что аналитическое решение удаётся найти лишь в некоторых специальных случаях. Так, например, в результате исследований, проде-

ланных в работах [3,4], получено решение для волновой функции трёхчастично-го кулоновского континуума (в области конфигурационного пространства, где расстояние между частицами значительно превышает характерный размер системы). В работах [5-8] рассмотрен предельный случай, при котором значение одной координаты Якоби значительно превышает значение другой. Существуют также альтернативные подходы. Так, например, авторы работ [9,10] применяют к трёхчастичному гамильтониану так называемое унитарное кулоновское Фурье-преобразование, что позволяет исключить из него кулоновское взаимодействие. В работах [11, 12] по исследованию состояния низкоэнергетической фрагментации атомной системы также производится аппроксимация решения уравнения Шредингера для трехчастичного континуума. Кроме того, существуют методы теоретического исследования рассеяния без использования волновых функций непрерывного спектра (см., например, [13]).

Развитию методов описания процессов рассеяния с участием трёх заряженных частиц, основанных на прямом численном решении уравнения Шре-дингера, во многом способствовало возрастание вычислительных возможностей компьютерной техники. Среди таких подходов можно выделить: метод сильной связи со сходимостью (convergent close coupling) (CCC) [14-18], метод внешнего комплексного скейлинга (exterior complex scaling) (ECS) [19-21], метод J-матрицы [22-24], метод Д-матрицы [25-27], прямой метод конечных разностей (direct finite-difference method) (FDM) [28,29], метод сильной связи каналов с псевдосостояниями [30-33]. Общей чертой для всех этих методов является использование поведения волновой функции в состоянии кулоновского континуума в качестве граничных условий задачи. Существенны также значения энергий системы по отношению к пороговой энергии трёхчастичного развала. При значениях ниже этого порога открыты только бинарные каналы, и все вышеперечисленные методы обычно без трудностей применяются в сочетании с некоторыми приближениями. Если же энергия превышает значение порога развала, то решение должно удовлетворять граничным условиям в асимптотиче-

ской области. Так, например, применение упомянутых подходов к задаче ионизации водородоподобного атома электронным ударом уже ограничено. Во всех этих подходах задаётся корректное поведение волновой функции во "внутренней" области конфигурационного пространства. Информация же об амплитуде ионизации извлекается из условия сшивки решения с граничными условиями в области трёхчастичного континуума. Эти граничные условия задаются с использованием некоторого приближения, отличного для каждого из подходов. В методе сильной связи каналов со сходимостью, например, они определяются путём дискретизации состояний мишени в асимптотической области. Амплитуда перехода процесса ионизации получается перенормировкой псевдосостояний атома по соответствующим состояниям истинного континуума [16]. Псевдосостояния здесь задаются квадратично интегрируемыми функциями. Однако состояния асимптотической области в этих подходах определяются произведением двух кулоновских волн, которые соответствуют движению электронов в полях с фиксированными зарядами. Другими словами, такая аппроксимация не учитывает межэлектронной корелляции. По этой причине фаза амплитуды перехода реакции как функции радиуса сшивки расходится. Авторы работа [18,34-36] предлагают так называемую теорию ионизации атомов электронным ударом для того, чтобы обойти данные ограничения и устранить неоднозначное определение фазы амплитуды рассеяния.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель работы состояла в формулировке метода описания трёхчастичного кулоновского континуума в процессе двукратной ионизации атома.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• построение базисов для описания непрерывного спектра кулоновской системы трёх тел;

• разработка алгоритмов решения неоднородного уравнения Шрёдингера кулоновской трёхтельной задачи с граничными условиями в виде расхо-

дящейся шестимерной сферической волны;

• применение предложенного метода к решению задачи двукратной ионизации атома гелия ударом высокоэнергетичного электрона.

Научная новизна.

• Предложены квазиштурмовские функции в качестве базисных при описании состояний непрерывного спектра квантовых систем. Получено представление функций в замкнутом аналитическом виде. Преимущества метода проиллюстрированы на примере двухчастичной задачи рассеяния.

• Выполнено обобщение одночастичных квазиштурмовских функций на случай трёх заряженных частиц. Двухчастичные базисные функции получены по аналогии с функцией Грина для двух невзаимодействующих во-дородоподобных атомных систем в виде интеграла-свёртки двух одноча-стичных квазиштурмовских функций. Полученные таким образом двухчастичные квазиштурмовские функции (в отличие от простого произведения двух одночастичных) ведут себя асимптотически как шестимерная расходящаяся сферическая волна.

• Построенные двухчастичные квазиштурмовские функции применены к описанию (е,3е) процесса на атоме гелия. При этом использовался подход, эквивалентный первому борновскому приближению, основанный на неоднородном уравнении Шрёдингера. Решение этого уравнения получено в виде разложения по базису двухчастичных квазиштурмовских функций. Исследована сходимость разложения. Результаты для дифференциального сечения согласуются с расчётами других авторов.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа является теоретическим и прикладным исследованием. Полученная в диссертации в контексте базисов квазиштурмовских функций волновая функция

кулоновской системы трёх тел может быть использована, например, при теоретическом описании процессов ионизации атомов электронным ударом ((е, 2е) и (е, 3е) реакции) или двойной фотоионизации ((7, 2е) реакция).

Результаты, представленные в диссертационной работе, могут найти применение в теоретических исследованиях процессов ионизации ударом электрона, двукратной фотоионизации, которые проводятся в российских и зарубежных научных центрах, например, ТОГУ (г. Хабаровск), ОИЯИ (г. Дубна), НИИЯФ МГУ (г. Москва), в Университете Лотарингии (Франция), в Южном Национальном Университете (г. Буэнос-Айрес, Аргентина).

Методология и методы исследования. В работе используются методы квантовой теории столкновений и теории спектрального разложения операторов.

Положения, выносимые на защиту:

• Введены новые квазиштурмовские (КШ) функции, получаемые как решение неоднородного уравнения Шредингера двухчастичной задачи рассеяния. Получено аналитическое представление функций в замкнутом виде.

• Новые базисные функции применены к задаче потенциального рассеяния. Показано, что эффективность предложенного метода сопоставима или выше по сравнению с существующими подходами.

• Сделано обобщение квазиштурмовских функций на случай трёхчастичной кулоновской системы. Предлагаемые функции получены в виде свёртки двух квазиштурмовских (СКШ) функций от относительных координат частиц. При этом выполнено аналитическое продолжение квазиштурмов-ских функций в область комплексных импульсов и найден соответствующий контур интегрирования.

• Полученные СКШ функции использованы в качестве базисных при решении неоднородного уравнения Шредингера. Исследована сходимость реше-

ния в зависимости от числа используемых базисных функций. Результаты для дифференциального сечения согласуются с экспериментальными данными по форме (но не по амплитуде) и расчётами других авторов.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием современных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией описываемых явлений, возможностью экспериментальной проверки полученных решений. Правильность результатов проверялась сопоставлением полученных данных с результатами теоретических расчетов других авторов и результатами экспериментов.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Десятая региональная научная конференция «Физика: Фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Владивосток, 2011 г.);

• Двенадцатая региональная научная конференция «Физика: Фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Хабаровск, 2013 г.);

• XVI краевой конкурс молодых учёных, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН, (Хабаровск, 2014 г.);

• Международная конференция «Nuclear Theory in the Supercomputer Era» (Хабаровск, 2014 г.);

• Международная конференция «Many Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces» (Мец, Франция, 2014 г.);

• Всероссийская молодежная научная конференция «Физика: Фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Благовещенск, 2014 г.);

• XVII краевой конкурс молодых учёных, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН, (Хабаровск, 2015 г.)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [37-39], один тезис докладов [40] и 2 статьи в сборниках трудов конференций [41,42].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Автор принимал непосредственное участие, как на этапах постановки задач, так и на этапах проведения аналитических расчётов, а также обсуждения полученных результатов, на всех этапах, в работах, сделанных в соавторстве с научным руководителем. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 86 страниц, из них 77 страниц текста, включая 22 рисунка. Библиография включает 93 наименования на 9 страницах.

Основное содержание работы изложено в трёх главах.

Глава 1 посвящена обзору существующих подходов к описанию задачи рассеяния трёх тел. В частности рассмотрены способы учёта корреляции в реакциях двойной ионизации атомов. Приведено описание метода сильной связи каналов со сходимостью (ССС), в котором исходная задача формулируется в виде уравнения Липпмана-Швингера для амплитуды перехода, где ядро оператора раскладывается по базису квадратично интегрируемых функций (при этом асимптотика волновой функции задаётся в виде произведения двух кулоновких волн). Описаны основные элементы ^/-матричного подхода, способ сведения исходной задачи к уравнениям типа Липпмана-Швингера для волновой функции. Приводится решение данного уравнения в виде разложения по квадратично интегрируемым функциям, в частности с использованием лагерровских базисных функций.

В ряде случаев задача двойной ионизации атома может быть сформулирована в виде неоднородного уравнение Шрёдингера с квадратично интегрируемой правой частью. Рассмотрены два подхода к решению этого уравнения с граничными условиями в виде расходящейся волны. В рамках метода обобщённых штурмовских функций (GSF) в качестве базиса используются решения уравнения Штурма-Лиувилля. А в методе внешнего комплексного скейлинга (ECS) с помощью комплексного преобразования координаты исходное уравнение сводится к краевой задаче с нулевыми граничными условиями.

В главе 2 вводятся новые базисные функции, которые названы квазиштур-мовскими по аналогии с обобщёнными штурмовскими функциями. Приведён способ получения введённых функций, которые в отличие от обобщённых штурмовских функций получены не в результате решения задачи Штурма-Лиувил-ля, а как решение неоднородного уравнения Шредингера с помощью функции Грина. Выполнено исследование свойств предложенных функций, приведены асимптотические выражение. Новый базис успешно применён к модельной задаче рассеяния. Исследована сходимость решения с ростом числа используемых базисных функций. Проведено сравнение скорости сходимости предлагаемого метода с существующими подходами.

В главе 3 реализовано обобщение квазиштурмовских функций на случай задачи трёх тел. Описан метод получения двухчастичных квазиштурмовских функций в виде интеграла свёртки ранее введённых одночастичных КШ функций. Продемонстрировано применение полученного базиса к описанию процесса ионизации атома гелия ударом высокоэнергетичного электрона ((е, 3е) реакция). Рассчитаны пятикратные дифференциальные сечения. Исследована скорость сходимости предлагаемого метода. Проведено сравнение расчитанных значений с экспериментальными данными и результатами расчётов по методу сильной связи каналов со сходимостью. Показано, что предложенный нами метод позволяет описать экспериментальные данные по форме и хорошо согласуется с имеющимися методами.

Глава 1

Описание кулоновской системы трёх тел 1.1. Введение

Большое разнообразие подходов к изучению явлений атомной и молекулярной физики во многом определяется степенью изученности задачи трёх тел. Данная проблема, как и вообще задача нескольких частиц, является одной из фундаментальных проблем физики, явный вид точного решения которой остается неизвестным (несмотря на существование [1-3]). В последние годы в этом направлении проводятся многочисленные теоретические исследования с использованием различных приближенных методов (см., например, [4-12]). В частности развитию методов исследования процессов рассеяния способствовало появление быстродействующих компьютеров (см., например, [19-21,25-29]).

Многие атомные и молекулярные процессы в диапазоне высоких энергий представляют одновременно протекающие процессы возбуждения и ионизации, двойной ионизации или многократной ионизации некоторых электронов в системе. Такие процессы не могут рассматриваться в рамках стандартных ab initio методов, направленных на изучение структуры, поскольку излучаемые электроны разбросаны по всему пространству. Также возникает трудность в описании данных процессов с использованием методов, разработанных для описания атомных столкновений, так как в общем случае связанные электроны обычно рассматриваются в некоторых приближениях. Кроме того, лишь немногие методы позволяют точно описать состояние континуума электронов при одновременном задании корректного связанного состояния процесса столкновения.

Далее мы рассмотрим подробнее некоторые методы исследования процессов рассеяния с участием трех заряженных частиц на основе прямого численного решения уравнения Шредингера. В любом из нижеописанных методов при

описании процессов ионизации встаёт вопрос о учёте межэлектронного взаимодействия. Так, например, в приближении независимых электронов, большинство значений энергий налетающих частиц, достигаемых на практике, может передаваться посредством электромагнитного поля только одному электрону. Изменение квантового состояния второго и последующих электронов может происходить только за счёт межэлектронных корреляций. Эта корреляция понимается в широком смысле как способность электронов в отсутствии внешнего поля или взаимодействия изменять определённый набор индивидуальных квантовых чисел. Некоррелированные электроны в основном состоянии характеризуются главным, угловым и магнитным квантовыми числами п, I, т, соответственно. Наличие корелляции в основном состоянии сводит эти числа к приближённым параметрам. Так, пара электронов основного 1в2 состоянии атома гелия могут находиться с некоторой вероятностью в 2з2, 2р2 и более высоких возбужденных состояниях. В состоянии же непрерывного спектра, коррелированный электрон характеризуется его энергией Е и импульсом к. Однако из-за упругого либо неупругого рассеяния на электронах других атомов, эти квантовые числа могут изменяться.

По описанной выше причине, двукратная и многократная ионизации атома происходят за счёт электронных корреляций, как в основном состоянии так и в состоянии континуума. В работе [37] была произведена оценка степени влияния выбора волновой функции основного состояния атома гелия на величину матричного элемента перехода в реакции (7, 2е). В частности, при учёте существенности вклада, обусловленного учетом корреляции электронов в волновой функции начального состояния ф^, было показано, что расхождение абсолютных значений матричного элемента, полученных для различных волновых функций начального состояния системы, может достигать пятидесяти процентов, что подтверждают и другие работы [43-45]. При этом не учитывалось взаимодействие электронов в конечном состоянии, т. е. волновая функция конечного состояния 'фf была выбрана в виде произведения двух кулоновских волн [46].

Здесь и далее мы используем атомные единицы (к = е = те = 1).

1.2. Метод сильной связи каналов со сходимостью

Одним из методов описания волновой функции состояния непрерывного спектра системы на языке квадратично интегрируемых функций, признанных наиболее точным, является метод сильной связи каналов со сходимостью (ССС) [14-17,47,48]. В этом подходе (так же, как и в методе псевдосостояний) непрерывный спектр выделенной двухчастичной подсистемы заменяется конечным набором уровней с положительной энергией.

В методе сильной связи каналов внутренние состояния мишени используются в качестве базиса для разложения полной волновой функции. Базисный набор состояния мишени, очевидно, должен быть ограничен в реальных вычислениях, поэтому изначально применение метода было ограничено использованием нескольких состояний спектра. В конце 1960-х, стало известно [32], что расчётная сходимость сечений процесса может быть ускорена путем включения положительной энергии "псевдосостояний" в разложении, получаемой как правило диагонализацией гамильтониана мишени в базисе квадратично интегрируемых функций. При разложении по методу сильной связи каналов для достижения сходимости для состояний мишени должны выполняться условия полноты в области взаимодействия. Авторы работ [14,15] смогли достичь этого в практических расчетах путем систематического роста псевдосостояний схеме метода ССС, и показали, что нефизические структуры, которые, как правило, появляются в поперечных сечениях вблизи порогов псевдосостояний, в конечном итоге исчезают. Они также показали, что сумма сечений возбуждения в псевдосостояниях с положительной энергией даёт точное представление полного сечения ионизации. Аналогичные результаты были достигнуты и с другими методами сильной связи, таких как метод Д-матрицы [49].

Трудность в применении подхода состоит в том, что каналы континуума,

как известно, имеют большую роль в области промежуточных значений энергий, и связь с ними должна осуществляться в некотором приближении. Метод же сильной связи каналов со сходимостью (ССС) позволяет описать континуум путём использования квадратично интегрируемых состояний. Главная особенность метода состоит в использовании для описания состояния мишени разложения по набору ортогональных Ь2 функций, которые образуют полный базис в гильбертовом пространстве. Во всех случаях, когда эффект от описания континуума мишени был существенным, метод ССС довольно точно воспроизводит сечения рассеяния [14,15,48].

Рассмотрим рассеяние на атоме водорода электронным ударом. В этом случае волновая функция системы соответствующая расходящейся сфе-

рической волне, удовлетворяет уравнению Шрёдингера

(Е - Н)|ФГ+)) =0, (1.1)

где Б - полный спин электрона. Гамильтониан системы имеет вид

Н = Н\ + Н2 + ^12, (1.2)

где У12 - потенциал электрон-электронного взаимодействия, Е - полная энергия системы, Hj (] = 1, 2) - гамильтониан электрона, движущегося в кулоновском поле ядра:

щ = к3 + V-. (1.3)

Здесь К - гамильтониан свободного электрона, V - притягивающий кулонов-ский потенциал. Индексом ] = 1 нумеруется налетающий электрон. Электрон атома-мишени соответствует индексу 2.

В ССС подходе для описания атома-мишени гамильтониан Н2 диагонали-зируется с использованием ортогонального лагерровского базиса

*М= (Г *^ еХР (^Л) ^^ (1.4)

где г) - присоединённые полиномы Лагерра, к пробегает значения от 1

до числа базисных функций N1. Это позволяет получить псевдосостояния мише-

i АН )\ (Н) 1

ни 1 фп ) с энергиями еП , которые для каждого I удовлетворяют уравнению:

(ф^ IН2 | = Лга„е<№). (1.5)

Здесь общий индекс N указывает на наличие зависимости уравнения от размера базиса.

(£+)

Полная волновая функция записывается в виде симметризованного

разложения по дискретным состояниям мишени

N

i фг>) * i ф.г+>) = (1 + (-1)£ рг) i £ ), (1.6)

п=1

с неизвестными функциями | /П£+)). В рамках метода ССС предполагается, что в пределе при N ^ <ж точная полная волновая функция воспроизводится должным образом благодаря полноте лагерровского базиса, из которого строятся состояния мишени. Заметим, что функции | фП^, отвечающие псевдосостояниям с положительными энергиями, затухают на бесконечности и, таким образом, не могут описать состояния непрерывного спектра мишени. Авторы [50,51] умножают эти функции на их проекции на соответствующие функции непрерывного спектра.

Подстановка разложения (1.6) в уравнение (1.1) и проецирование его на функции | фП^ даёт систему из N связанных уравнений для одноэлектронных

функций ) (г1),

N

№) | (Е - н) (1 + (-1)£Рг) | £ ФП1 )/ПГ£)>= 0, (1.7)

п=1

для всех п' из диапазона 1 < п' < N. Поскольку необходимо найти такие решения для /, которые соответствовали бы расходящимся рассеянным волнам мишени в основном или возбужденном состоянии, то определяем асимптотическую гамильтониан определяется соотношением К = К1 + Н2. Разложение

состояний мишени по квадратично интегрируемым функциям гарантирует, что на больших расстояниях, налетающая частица видит нейтральный атом, хотя и всегда в дискретном состоянии с отрицательной либо положительной энергией.

Поэтому последнее уравнение перепишется:

N

(Ф™ 1(Е-К1 -Я2>|х>^ )/Г ))= (Е-К1 - |/Г)

п | v 1 I / п т ' V п I \Jn

п=1

N

№ | (V + УИ + (H-E)(-lfPr) e^<N>/ifS)) (1.8)

п=1 N

п п

п=1

и применяя далее граничные условия расходящейся волны можно преобразовать связанное уравнение Шредингера в уравнение Липпмана-Швингера:

1 N

| |кп> + E ,п K1 H ,N,<ф^|у^iE^NfiNS))

E + гП -Ki - H - ey „==i

(1.9)

|k> ) | V(s) | eN=^n) f(Ns))

- $п'i |кп' > +

d3k-

Е + ¿0 - к2/2 - е^)

где Е = к2п,/2 + е^) на энергетической поверхности.

Вместо того, чтобы находить непосредственно одноэлектронные функции /, домножим предварительно уравнение (1.9) на (к/ф^|V(5>)|Ф^), получив тем самым связанные интегральные уравнения для элементов матрицы перехода (Т-матрицы)

(к^Т^ф^'к > = (к^'^ ^ф^к

N

+е

п=1

где

MN) 1V (s) ^N ^XMN ) ^ (NS) ^f )к) (1Л0)

E + Ю - kr/2 - €

( N)

п

N

(мПт^ф^к,) - (МПу^Еф^ fD

п=1

(1.11)

(к/Ф/|(Н - E) (1 + (-1)SPr) |»(NS+^,

для kf из энергетической поверхности.

Для конечного состояния двухэлектронной системы, состоящей из одного электрона в связанном состоянии и одного свободного, используется разложение сильной связи:

| Ф«-)(к))= | 1 к<->)+ £ ^ I ,р(+>), (1.12)

г

с граничными условиями, соответствующими расходящейся волне в данном канале | зк(—^ и входящим волнам во всех остальных каналах | 3р(+)). Здесь Е = к2/2 + е^ - энергия конечного состояния. Волновая функция канала | зк(-)) является произведением одноэлектронной орбитальной функции ф^, полученной диагонализацией гамильтониана иона атома гелия Не+ в лагерровском базисе, и кулоновской расходящейся волны с зарядовым числом 2 — 1 (2 = 2 для гелия) или связанного состояния. Знак суммы и интеграла в выражении (1.12) означает сумму по всем связанным состояниям водородоподобного атома и интегрирование по всему пространству. Половина оболочки Т-матрицы в (1.12) является решением соответствующего интегрального уравнения Лип-пмана-Швингера:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алёшин Максим Сергеевич, 2016 год

Список литературы

1. Меркурьев С. П., Фаддеев Л. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. Москва: Наука, 1985. С. 400.

2. Noble J. V. Three-body Problem with Charged Particles // Phys. Rev. 1967. Vol. 161. P. 945-955.

3. Merkuriev S. P. On the three-body Coulomb scattering problem // Ann. Phys. 1980. Vol. 130. P. 395-426.

4. Brauner M., Briggs J. S., Klar H. Triply-differential cross sections for ionization of hydrogen atoms by electrons and positrons //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1989. Vol. 22. P. 2265-2287.

5. Alt E. O., Mukhamedzhanov A. M. Asymptotic solution of the Schrodinger equation for three charged particles // Phys. Rev. A. 1993. Vol. 47. P. 2004-2022.

6. Mukhamedzhanov A. M., Lieber M. Asymptotic wave function for three charged particles in the continuum // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54. P. 3078-3085.

7. Mukhamedzhanov A. M., Kadyrov A. S., Pirlepesov F. Leading asymptotic terms of the three-body Coulomb scattering wave function // Phys. Rev. A. 2006. Vol. 73. P. 0127013-1-0127013-11.

8. Kim Y. E., Zubarev A. L. Asymptotic continuum wave function for three charged particles // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 56. P. 521-526.

9. Belyaev V. B., Levin S. B., Yakovlev S. L. Three charged particles in the continuum: astrophysical examples //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2004. Vol. 37. P. 1369-1380.

10. Alt E. O., Levin S. B., Yakovlev S. L. Coulomb Fourier transformation: A novel approach to three-body scattering with charged particles // Phys. Rev. C. 2004. Vol. 69. P. 034002-1-034002-11.

11. Macek J. H., Ovchinnikov S. Y. Hyperspherical theory of three-particle fragmentation and Wannier's threshold law // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54. P. 544-560.

12. Kuchiev M. Y., Ostrovsky V. N. Threshold laws for the breakup of atomic parti-

cles into several charged fragments // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 58. P. 321-335.

13. Эфрос В. Д. Вычисление инклюзивных спектров переходов и сечений реакций без волновых функций // Ядерная физика. 1985. Т. 41. С. 1498-1507.

14. Bray I., Stelbovics A. T. Convergent close-coupling calculations of electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 46. P. 6995-7011.

15. Bray I., Stelbovics A. T. Explicit demonstration of the convergence of the close-coupling method for a Coulomb three-body problem // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. P. 53.

16. Bray I., Fursa D. V. Calculation of ionization within the close-coupling formalism // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54. P. 2991-3004.

17. Bray I., Fursa D. V., Kheifets A. S., Stelbovics A. T. Electrons and photons colliding with atoms: development and application of the convergent close-coupling method //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2002. Vol. 35. P. R117-R146.

18. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., Stelbovics A. T., Bray I. Theory of electron-impact ionization of atoms // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. P. 062703.

19. Baertschy M., Rescigno T. N., Isaacs W. A., McCurdy C. W. Benchmark single-differential ionization cross section results for the s-wave model of electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1999. Vol. 60. P. R13-R16.

20. Baertschy M., Rescigno T. N., Isaacs et al. Electron-impact ionization of atomic hydrogen // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 63. P. 022712-1-022712-19.

21. Baertschy M., Rescigno T. N., McCurdy C. W. Accurate amplitudes for electron-impact ionization // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 64. P. 022709-1-022709-11.

22. Кныр В. А., Стотланд Л. . Проблема трех тел и метод J-матрицы // Ядерная физика. 1992. Т. 55. С. 2908-2914.

23. The J-Matrix Method: Developments and Applications / Ed. by A. Alhaidari, H. A. Yamani, E. J. Heller, M. S. Abdelmonem. Springer Netherlands, 2008. P. 356.

24. Yamani H. A., Fishman L. J-matrix method: extension to arbitrary angular momentum and to Coulomb sacttering //J. Math. Phys. 1975. Vol. 16. P. 410-420.

25. Burke P. G., Noble C. J., Scott P. R-Matrix Theory of Electron Scattering at Intermediate Energies // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1987. Vol. 410. P. 289-310.

26. Meyer K. W., Greene C. H., Bray I. Simplified model of electron scattering using ^-matrix methods // Phys. Rev. A. 1995. Vol. 52. P. 1334-1343.

27. Bartschat K., Bray I. 5-wave model for electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54. P. R1002-R1005.

28. Wang Y. D., Callaway J. Direct numerical approach to electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1993. Vol. 48. P. 2058-2069.

29. Jones S., Stelbovics A. T. Complete Numerical Solution of Electron-Hydrogen Model Collision Problem above the Ionization Threshold // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 1878-1881.

30. Massey H. S. W. Theory of the Scattering of Slow Electrons // Rev. Mod. Phys. 1956. Vol. 28. P. 199-213.

31. Callaway J., Oza D. Total and ionization cross sections in a simplified model of electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 29. P. 2416-2420.

32. Burke P. G., Gallaher D. F., Geltman S. Electron scattering by atomic hydrogen using a pseudo-state expansion I. Elastic scattering //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1969. Vol. 2. P. 1142-1154.

33. Konovalov D. A., McCarthy I. E. Convergent J-matrix calculation of the Po-et-Temkin model of electron-hydrogen scattering //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1994. Vol. 27. P. L407-L412.

34. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., Steblovics A. T. Asymptotic form of the electron-hydrogen scattered wave // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 67. P. 024702-1-024702-4.

35. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., Steblovics A. T. et al. Asymptotic behavior of the Coulomb three-body scattering wave // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 68. P. 022703-1-022703-10.

36. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., Steblovics A. T., Bray I. Inte-

gral Representation for Electron-Atom Ionization Amplitude which is Free of Ambiguity and Divergence Problems // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 91. P. 253202-1-253202-4.

37. Алёшин М. С., Зайцев С. А. Исследование роли начального состояния в описании процесса двойной фотоионизации атома гелия // Вестник Тихоокеанского государственного университета. 2011. Т. 3(22). С. 13-18.

38. Алёшин М. С., Зайцев С. А., Гасанео Г., Анкарани Л. У. Квазиштурмовские функции в задачах непрерывного спектра // Известия высших учебных заведений. Физика. 2014. Т. 57. С. 25-32.

39. Алёшин М. С., Зайцев С. А., Гасанео Г., Анкарани Л. У. Квази-штурмовские функции в задачах трехчастичного кулоновского континуума // Известия высших учебных заведений. Физика. 2015. Т. 58. С. 62-70.

40. Алёшин М. С., Зайцев С. А. Роль начального состояния в описании процесса двойной фотоионизации атома // Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование: Тезисы докладов десятой региональной научной конференции. Владивосток: 2011. С. 8.

41. Алёшин М. С., Зайцев С. А., Гасанео Г., Анкарани Л. У. Применение базиса квазиштурмовских функций к решению задач непрерывного спектра // Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование: материалы XII региональной науч. конф., Хабаровск, 28-31 октября 2013 г. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2013. С. 3-9.

42. Алёшин М. С., Зайцев С. А. Квази-штурмовский базис в (е, 3е) реакции // Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование: Материалы Всероссийской молодёжной научной конференции. Благовещенск: Амурский гос. ун-т, 2014. С. 7-10.

43. Kornberg M. A., Miraglia J. E. Double photoionization of helium: Use of a correlated two-electron continuum wave function // Phys. Rev. A. 1993. Vol. 48. P. 3714-3719.

44. Jones S., Madison D. H. Role of the ground state in electron-atom double ion-

ization // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 91. P. 073201.

45. Chuluunbaatar O., Puzynin I. V., Vinitsky P. S. et al. Role of the cusp conditions in electron-helium double ionization // Phys. Rev. A. 2006. Vol. 73. P. 014703.

46. Le Rouzo H., Dal Capello C. Double photoionization of helium: Analysis of photelectrons respect to energies and angles // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 43. P. 318-329.

47. Bray I. Close-Coupling Approach to Coulomb Three-Body Problems // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 89. P. 273201-1-273201-4.

48. Kheifets A., Bray I. Convergent calculations of double ionization of helium: From (7, 2e) to (e, 3e) processes // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 69. P. 050701.

49. Bartschat K., Burke P. G., Scott M. P. R-matrix with pseudo-states calculation for electron collisions with neutral beryllium //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1997. Vol. 30. P. 5915.

50. Bray I., Stelbovics A. T. Convergent Close-Coupling Approach to Electron-Atom Collisions // Many-Particle Quantum Dynamics in Atomic and Molecular Fragmentation / Ed. by J. Ullrich, V. Shevelko. Springer Berlin Heidelberg, 2003. Vol. 35 of Springer Series on Atomic, Optical, and Plasma Physics. P. 121-135.

51. Kheifets A. Close-Coupling Approach to Multiple—Atomic Ionization // Many-Particle Quantum Dynamics in Atomic and Molecular Fragmentation / Ed. by J. Ullrich, V. Shevelko. Springer Berlin Heidelberg, 2003. Vol. 35 of Springer Series on Atomic, Optical, and Plasma Physics. P. 137-151.

52. Bray I. Convergent close-coupling method for the calculation of electron scattering on hydrogenlike targets // Phys. Rev. A. 1994. Vol. 49. P. 1066-1082.

53. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В. Описание непрерывного спектра трехчастичной кулоновской системы в J-матричном подходе // Ядерная физика. 2007. Т. 70. С. 706-713.

54. Зайцев С. А. Алгебраический подход в квантовой теории рассеяния двух и трёх частиц: Докторская диссертация / Тихоокеанский государственный университет. 2009.

55. Kvitsinsky A. A., Wu A., Hu C.-Y. Scattering of electrons and positrons on hydrogen using the Faddeev equations //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1995. Vol. 28. P. 275-285.

56. Кныр В. А., Стотланд Л. . О возможности решения задачи трех тел методом J-матрицы // Ядерная физика. 1996. Т. 59. С. 607-615.

57. Heller E. J. Theory of J-matrix Green's functions with applications to atomic polarizability and phase-shift error bounds // Phys. Rev. A. 1975. Vol. 12. P. 1222-1231.

58. Серов В. В., Дербов В. Л., Сергеева Т. А., Виницкий С. И. Современные методы расчета фотоионизации и ионизации электронным ударом двухэлек-тронных атомов и молекул // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2013. Т. 44. С. 1435 - 1499.

59. McCurdy C. W., Baertschy M., Rescigno T. N. Solving the three-body Coulomb breakup problem using exterior complex scaling //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2004. Vol. 37. P. R137-R187.

60. Simon B. The Defition of Molecular Resonance Curves by the Method of Exterior Complex Scaling // Phys. Lett. A. 1979. Vol. 71. P. 211-214.

61. Rescigno T. N., Baertschy M., Byrum D., McCurdy C. W. Making complex scaling work for long-range potentials // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 55. P. 4253-4262.

62. McCurdy C. W., Horner D. A., Rescigno T. N., Martin F. Theoretical treatment of double photoionization of helium using a В-spline implementation of exterior complex scaling // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 69. P. 032707.

63. Rotenberg M. Application of sturmian functions to the Schroedinger three-body problem: Elastic e+ - H scattering // Ann. Phys. NY. 1962. Vol. 19. P. 262.

64. Rotenberg M. Theory and Application of Sturmian Functions // Adv. At. Mol. Phys. 1970. Vol. 6. P. 233.

65. Rawitsher G. ¿"-model calculations for high-energy-electron-impact double ionization of helium // Phys. Rev. C. 1982. Vol. 25. P. 2196.

66. Randazzo J. M., Buezas F., Frapiccini A. L. et al. Solving three-body-breakup

problems with outgoing-flux asymptotic conditions // Phys. Rev. A. 2011. Vol. 84. P. 052715.

67. Mitnik D. M., Colavecchia F. D., Gasaneo G., Randazzo J. M. Computational methods for Generalized Sturmians basis // Comp. Phys. Comm. 2011. Vol. 182. P. 1145.

68. Demir F., Hlousek Z. T., Papp Z. Coulomb-Sturmian matrix elements of the Coulomb Green's operator // Phys. Rev. A. 2006. Vol. 74. P. 014701.

69. Papp Z. Potential separable expansion approach to scattering on Coulomb-like potentials // Phys. Rev. C. 1988. Vol. 38. P. 2457-2460.

70. Papp Z. Use of Coulomb-Sturmian functions in calculating scattering quantities in Coulomb-like potentials // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 46. P. 4437-4439.

71. Revai J., Sotona M., Zofka J. Note on the use of harmonic-oscillator wavefunc-tions in scattering calculations //J. Phys. G: Nuclear Physics. 1985. Vol. 11. P. 745.

72. Brown N. C., Grefe S. E., Papp Z. Approximations of potentials through the truncation of their inverses // Phys. Rev. C. 2013. Vol. 88. P. 047001.

73. Newton R. G. Scattering theory of waves and particles. New York: McGraw-Hill, 1966.

74. Hostler L. Coulomb Green's Functions and the Furry Approximation //J. Math. Phys. 1964. Vol. 5. P. 591.

75. Broad J. T. Calculation of two-photon processes in hydrogen with an L2 basis // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 31. P. 1494-1514.

76. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Наука, 1963. С. 1108.

77. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. С. 664.

78. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Москва: Наука, 1979. С. 832.

79. Балашов В. В. Квантовая теория столкновений. Москва: Изд-во Моск ун-та, 1985. С. 199.

80. Elander N., Volkov M., Larson A. et al. Quantum Scattering with the Driven Schrodinger Approach and Complex Scaling // Few-Body Syst. 2009. Vol. 45. P. 197.

81. Gasaneo G., Mitnik D. M., Randazzo J. M. et al. ¿-model calculations for high-energy-electron-impact double ionization of helium // Phys. Rev. A. 2013. Vol. 87. P. 042707.

82. Bray I., Fursa D. I., Kadyrov A. S. et al. Electron- and photon-impact atomic ionisation // Phys. Rep. 2012. Vol. 520. P. 135-174.

83. Volkov M. V., Elander N., Yarevsky E., Yakovlev S. L. Solving the Coulomb scattering problem using the complex-scaling method // EPL (Europhysics Letters). 2009. Vol. 85. P. 30001.

84. Zaytsev S. A., Knyr V. A., Popov Y. V., Lahmam-Bennani A. Application of the J-matrix method to Faddeev-Merkuriev equations for (e,2e) reactions: Beyond pseudostates // Phys. Rev. A. 2007. Vol. 76. P. 022718.

85. Mengoue M. S., Njock M. G. K., Piraux B. et al. Electron-impact double ioniza-tion of He by applying the Jacobi matrix approach to the Faddeev-Merkuriev equations // Phys. Rev. A. 2011. Vol. 83. P. 052708.

86. Frapiccini A. L., Randazzo J. M., Gasaneo G., Colavecchia F. D. A boundary adapted spectral approach for breakup problems //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2010. Vol. 43. P. 101001.

87. Gasaneo G., Ancarani L., Mitnik D. et al. Three-Body Coulomb Problems with Generalized Sturmian Functions // Proceedings of MEST 2012: Exponential Type Orbitals for Molecular Electronic Structure Theory / Ed. by P. E. Hoggan. Academic Press, 2013. Vol. 67 of Advances in Quantum Chemistry. P. 153 -216.

88. Punta J. A. D., Ambrosio M. J., Gasaneo G. et al. Non-homogeneous solutions of a Coulomb Schrodinger equation as basis set for scattering problems //J.

Math. Phys. 2014. Vol. 55. P. 052101.

89. Kheifets A., Bray I., Lahmam-Bennani A. et al. A comparative experimental and theoretical investigation of the electron-impact double ionization of He in the keV regime //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1999. Vol. 32. P. 5047-5065.

90. Taouil I., Lahmam-Bennani A., Duguet A., Avaldi L. Fully Determined ( e, 3e) Experiments for the Double Ionization of Helium // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 4600-4603.

91. Shakeshaft R. Integral representation of the Coulomb Green function derived from the Sturmian expansion // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. P. 042704.

92. Goldberger M. L., Watson K. M. Collision Theory. New York, London, Sydney: John Wiley & Sons, Inc., 1964. P. 919.

93. Papp Z., Darai J., Hu C. Y. et al. Resonant-state solution of the Fad-deev-Merkuriev integral equations for three-body systems with Coulomb potentials // Phys. Rev. A. 2002. Vol. 65. P. 032725.