Тяжелые хвосты, экстремумы и кластеры линейных стохастических рекуррентных последовательностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Голдаева, Анна Алексеевна

• Голдаева, Анна Алексеевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Голдаева, Анна Алексеевна

Содержание

Стр.

Введение

Глава 1. Основные свойства индексов

1.1. Основная теорема и свойства сравнения индексов

1.2. Броуновские смеси

1.3. Примеры

1.4. Использование процессов с непрерывным временем

Глава 2. Границы экстремального индекса для броуновских смесей

2.1. Первая равномерная верхняя граница

2.2. Однородность экстремального индекса

2.3. Границы экстремального индекса, зависящие от распределения

2.4. Случай логнормального распределения

2.5. Вторая равномерная верхняя граница

Глава 3. Теорема о непрерывности и точные результаты

3.1. Теорема о непрерывности

3.2. Случай троичного распределения

3.3. Случай обобщенного лапласовского распределения

Глава 4. Индексы некоторых многомерных последовательностей

4.1. Случай последовательностей с различными хвостовыми индексами

4.2. Случай независимых последовательностей с равными хвостовыми индексами

4.3. Экстремальный индекс при переходе к собственному базису

4.4. Наблюдения многомерного процесса с непрерывным временем

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тяжелые хвосты, экстремумы и кластеры линейных стохастических рекуррентных последовательностей»

Введение

В последние десятилетия прикладная теория вероятностей и статистика нередко сталкиваются с тем, что нормальное распределение не является хорошей моделью для описания многих явлений в природе, технике и экономике. Как показал опыт, такие явления все чаще требуют рассмотрения так называемых «тяжелых хвостов», которые делают более вероятными большие значения некоторых величин, по сравнению с гауссовской моделью. Более того, структура зависимостей случайных величин не характерна для гауссовских моделей. Например, для экстремальных событий, таких как превышения высокого уровня, характерна кластерность. Т.е. они имеют тенденцию происходить не по одному, а группами — кластерами [17, гл.8]. В своей книге [6] Мандельброт в этой связи вспоминает две библейские истории: историю Ноя — всемирный потоп — и историю Иосифа, предсказавшего семь урожайных, а затем семь неурожайных лет подряд. В первой истории важно указание на то, что возможны такие наводнения, которые кажутся невероятными с общепринятой точки зрения, а во второй — что дождливые и засушливые годы имеют тенденцию образовывать группы. Мандельброт даже предложил для подобных явлений особые термины: эффект Ноя и эффект Иосифа.

Простейшей моделью, в которой наблюдаются эти эффекты, является линейное стохастическое реккурентное уравнение

Уп = АпУп-1 + ВП1 п> 1, У0>0, (1)

где (Ап, Вп), п > 1, — независимые одинаково распределенные пары неотрицательных случайных величин.

Стационарные процессы вида (1) подробно изучались в [23]. При некоторых дополнительных условиях такие процессы обладают двумя важными свойствами. Во-первых, их стационарное распределение имеет степенной

хвост, т.е. существуют постоянные с, к > 0, такие, что Р(Уп > х) ~ сх~к при х —оо, а во-вторых, максимум Мп = тах{У!,... ,Уп} при п —оо растет асимптотически, как максимум [Оп] независимых случайных величин с тем же распределением, где О Е (0,1) называется экстремальным индексом процесса Уп. Средний размер кластера при этом оказывается равным 1/6 > 1.

Явление кластеризации также возникает и хорошо изучено в А11СН-процессах и АГША-процессах со степенными хвостами инноваций, имеющих широкое применение в финансовой математике и эконометрике [17, гл.8].

В диссертации рассматриваются случаи, когда Ап могут принимать значения, большие и меньшие единицы. Случай Ап < 1 п.п. рассматривался Лебедевым в [3,4], в этом случае наличие тяжелых хвостов и кластеров зависит от распределения Вп.

В литературе также рассматривался более общий случай, когда Ап и Вп могут принимать отрицательные значения. Кроме того, рассматривалось многомерное векторно-матричное обобщение уравнения (1), которому в данной диссертации посвящена глава 4.

Заметим, что уравнение (1) применимо во многих областях экономики, техники, страхования, а также для описания некоторых природных явлений.

В общем случае уравнение (1) может описывать динамику некоторой системы, подверженной случайным возмущениям. Если бы коэффициенты Ап были постоянны и равны А, то система была бы устойчивой при 0 < А < 1 и неустойчивой при А > 1. Однако в нашем случае система "осциллирует" между этими двумя состояниями, проходя через периоды устойчивости и неустойчивости случайным образом.

В финансовой математике уравнение (1) может описывать динамику некоторого денежного фонда [17, гл.8], куда через определенные промежутки времени поступают вклады (величины Вп), а в остальное время изменения капитала происходят пропорционально его величине (со случайными коэффициентами Ап), причем учитываются как доходы, так и расходы. Однако стацио-

парное распределение возможно лишь тогда, когда фонд является в среднем убыточным, т.е. при Eln/l^ < 0. Это возможно в случае, когда не ставится цель увеличения прибыли, например, для благотворительного фонда.

Модель (1) использовалась в работах, связанных с наследственностью растений [14], в теории управления [25], а также при анализе радиоактивного распада [37].

Поведение экстремумов представляет очевидный интерес в области экономики. Например, экстремальные потери могут характеризовать начало банкротства [35] или кризис на валютном рынке [19].

Теория экстремальных событий имеет широкое применение в страховании [17, §8.7], она играет важную роль в ценообразовании договоров перестрахования, особенно в области контрактов отдельных событий.

Примером является CatXL-перестрахование (Catastrophe Excess-of-Loss Cover per Event), которому в теории финансовых опционов соответствует бычий спред, причем основным является соотношение потерь рынка.

Пример использования уравнения (1) в моделях страхования рисков можно найти в работах [15] и [21].

При моделировании протоколов TCP в телекоммуникационных сетях [16], [22], [32] рассматривается модель, похожая на (1). В этой модели размер окна либо увеличивается на единицу при успешном прохождении пакетов, либо уменьшается вдвое при наличии потерь, а в модели (1) умножение и сложение происходят одновременно.

Рассмотрим ряд работ в исторической перспективе.

Классическими работами в этой области являются [26] и [43].

Верваат в работе [43] исследовал сходимость по распределению процесса, заданного уравнением (1). Он показал, что в наиболее важном случае эта сходимость оказывается эквивалентной сходимости п.н. случайного ряда

AiA2 ■ ■ • Ak-\Bk и существованию решения уравнения

Y = AY+B, (2)

где У и (А, В) независимы. Также Верваат изучал существование и сходимость моментов процесса, заданного уравнением (1). Он получил центральную предельную теорему для решения уравнения (2) с заменой А на А1^а при а —> оо и нашел некоторые достаточные условия для того, чтобы решение (2) было безгранично делимым.

Кестен в своей работе [26] рассмотрел предельное распределение процесса Yn, заданного матричным уравнением (1). В одномерном случае он показал, что если Elog^l < 0, то существует единственное стационарное решение (1), которое представляется в виде

¿-1

Yt = Bt+ Ai+i---AtBi, tez.

i=—00

Де Хаан и др. посвятили свою работу [23] изучению предельного распределения (1) и экстремального индекса. Так же они рассмотрели следующий частный случай. Пусть задан ARCH-процесс первого порядка

Хп = en^J1 + \Xl_l) те > 1, 7, Л > О,

где еп, п > 1, независимы и одинаково распределены. Тогда последовательность Yn = удовлетворяет (1) с Ап — Ле^, Вп = те > 1. В классической модели £п имеют стандартное нормальное распределение, поэтому величины Ап имеют гамма-распределение с параметрами В работе [23] получе-

ны численные значения хвостового индекса к и экстремального индекса 6 для этого случая, в зависимости от Л.

Результаты, полученные де Хааном и др., были обобщены Перфектом в

[38] для случая марковских процессов, а Туркманом и Амаралом Туркманом в [42] были выведены экстремальные свойства для билинейных процессов первого порядка.

В модели GARCH(1,1) [11, гл.2, §3] имеем следующие формулы:

Хп = ап£п, о\ = а0 + aiX^ +

где «о > 0, > 0. Нетрудно заметить, что Уп — сг^ удовлетворяет урав-

нению (1) с Ап — ais^ + /3i и Вп = ао-

В [18] Энгл и Рассел предложили модель ACD (Autoregressive Conditional Duration Model), родственную моделям ARCH, для промежутков между скачками обменных курсов валют, где условным распределением для промежутка Ak является экспоненциальное распределение со средним

Фк = (х о + aiAk^i + Мк-\

с Ао = 0, фо = 0, ао > 0, а\ > 0 и > 0. Нетрудно заметить, что Д^ = фк£к, где имеет стандартное показательное распределение и тогда

Фк = Oi0 + + Мк-i = «о + (oii^fc-i +

Таким образом, последовательность фк удовлетворяет уравнению (1) с Ап —

«lffc-i + Pi и Вп = а0-

Пергамснщиков и Ширяев [9] рассматривали последовательность, удовлетворяющую (1) с независимыми одинаково распределенными Ап и независимыми одинаково распределенными Вп. Они построили последовательные оценки (по наблюдениям Х\,Х2,..-) для неизвестного параметра Л = E^i и изучили свойства этих оценок в предположении, что параметр о2 = DAi известен, ЕВ\ — 0, D£?i = 1.

Теорией экстремальных значений в управлении рисками занималась

Клюппельберг. В работе [27] изучалось поведение процесса с непрерывным временем, заданного следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

где IV — стандартное броуновское движение. Далее нас будет интересовать частный случай этого уравнения, возникающий также в обобщенной модели Кокса-Ингерсолла-Росса, когда /л(х) = с — <1 ■ х, а = ах, т.е.

Для процесса, заданного уравнением (3) в [27] найдено решение в явном виде, стационарная плотность, а также продолжен метод нахождения асимптотических распределений максимумов подобных процессов на отрезке [0, ¿] при £ —>• оо.

Также Клюппельберг с Пергаменщиковым [28,29] изучали стационарные процессы авторегрессии порядка д > 1 со случайными коэффициентами вида

где а.{п = щ + (7г7]1П. а г Е М, <7г > 0. При этом предполагается, что векторная последовательность коэффициентов г]п = (771 п,..., г]чп) и последовательность помех £п независимы и обе являются последовательностями независимых одинаково распределенных случайных элементов с Е(] — Ег)ц = 0 и = 1 = 1, г = 1,..., Если положить Уп = (уп,..., уп-ч ц)тто получим, что процесс Уп можно рассматривать как решение векторно-матричного разностного уравнения вида (1) с

¿Хг = 11{Хг)(И + а{Хг)с1УУи I > 0, Х0 = ж,

с1Х1 = (с-(1- Хг) (И + аХгШи Х0 = х,

(3)

Уп = ахпУп-! + • ■ ■ + адпуп-д + п Е М,

и

т

где — единичная матрица порядка <7—1.

В [28] предполагалось выполнение следующих условий:

^о) собственные значения матрицы ЕЛх (8) А\ по модулю меньше 1,

случайные величины щг, 1 < г < 5, п е Н, независимы, одинаково распределены и имеют симметричную непрерывную положительную функцию плотности ф(-), невозрастающую на и имеющую моменты любого порядка,

(Я2) Для некоторого т £ N выполнено Е(ац — а\)21ГП = <т2тЕт/2™ 6 (1, оо), в частности <71 > О,

(£>3) случайные величины независимы, одинаково распределены и Е|^1|т < оо для всех т > 2,

(1)4) для любой числовой последовательности с/с такой, что 0 < Ск <-

оо, случайная величина г = имеет симметричную плотность, невоз-

растающую на М+,

При этих условиях было показано, что стационарное распределение таких процессов имеет степенной хвост и получена формула степени этого хвоста. В работе [29] изучался экстремальный индекс для многомерных последовательностей вида (1), в предположении выполнения следующих условий:

(Л1) последовательности Ап и Вп обе независимы и одинаково распределены, являются независимыми друг от друга и удовлетворяют условию

Е|^1|2 < оо, ЕВ\ < оо и Е|£1|2<оо,

(А2) марковская цепь Уп, определенная векторно-матричным уравнением (1), является апериодической и неприводимой по отношению к некоторой нетривиальной мере в М",

(Аз) собственные значения матрицы Е/Ц <8> А\ по модулю меньше 1. (Здесь символ (8) обозначает матричное произведение, | - | — евклидову норму в К." и |А|2 = №ААТ — соответствующую матричную норму.)

В [29] было доказано существование экстремального индекса, но явной формулы, позволяющей конструктивно вычислить его в конкретных случаях, найдено не было.

В настоящей диссертации получены результаты для важных частных случаев при более простых условиях.

Скотто [40] исследовал экстремальные свойства процесса

со j—l

хк = X) (П Лк-°) Вк~* к е ^

¿=1 3=1

где (Аь, В^кеъ — периодическая последовательность независимых случайных пар со значениями в I2. В частности, изучалось предельное распределение максимума этого процесса и соответствующий экстремальный индекс. В работе [41] рассмотрено двумерное уравнение (1) и изучены экстремальные свойства некоторой подпоследовательности процесса, задаваемого этим уравнением, результаты применимы в классе билинейных и АЯСН-процессов.

Микош и др. [36| исследовали дробные моменты стационарного решения (1). Ими выведены рекуррентные формулы для дробных моментов, рассмотрен частный случай, когда Вп имеют распределение Эрланга. Получены различные приближения для дробных моментов.

Лаурини и Таун [31] занимались изучением экстремального индекса САЯСН(1,1)-процессов. Ими было получено аналитическое выражение для экстремального индекса и новые результаты для предельного распределения размера кластеров экстремумов.

Непосредственно предшествующей работам автора является работа Новицкой и Яцало [7], где найдены хвостовые индексы для логнормального и логлапласовского случаев, найден явный вид экстремального индекса в случае логлапласовского распределения и доказаны свойства индексов в случае логнормального распределения.

В теории случайных процессов часто бывает удобнее рассматривать процессы с непрерывным временем, чем с дискретным. В диссертации использован новый подход, связанный с рассмотрением рекуррентной последовательности как последовательности наблюдений процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (3) через случайные промежутки времени.

В работе [1] Белкина и др. рассмотрели проблему использования финансовых инструментов в целях уменьшения рисков страхования. Работа посвящена исследованию оптимальной стратегии инвестиций с использованием двух видов активов - рискового и безрискового - в модели Крамера-Лундберга при наличии бюджетного ограничения, т.е. в ситуации, когда заем средств не допускается. При этом особое внимание уделяется случаю, когда отдельные страховые требования имеют экспоненциальное распределение. Заметим, что изменение капитала описывается следующим уравнением

с1Хг = + 0)<И + аХ1(Ш1 + агШ[,

где \¥1 и \¥[ — два независимых броуновских движения.

При <тг —0 это уравнение сводится к дифференциальному уравнению (3). Изучением кластеров экстремальных значений временных рядов занималась Маркович. В работе [33] она показала, что предельное распределение размера кластера и расстояния между кластерами для стационарных последовательностей при определенных условиях перемешивания является геометрическим. Показано применение полученных результатов в телекоммуникациях, сейсмологии и климатологии. В работе [34] Маркович исследовала качество транспортировки пакетов для мультимедийных услуг в оверлейных сетях, где превышение уровня и (пропускная способность канала) процессом (скорости передачи пакетов) является одной из причин потерь пакетов при передаче их по Интернету. Способ выбора пробных пакетов, с помощью ко-

торых производятся исследования эффективности работы Интернета, следуя пуассоновскому потоку, т.е. с экспоненциальными временными промежутками между запуском пробных пакетов, описан в статье [12]. Статья [39] посвящена выбору масштаба для измерений и его влиянию на экстремальный индекс.

С учетом всего вышеизложенного, исследования, проведенные в диссертации, представляются весьма актуальными.

Глава 1 диссертации посвящена основным свойствам индексов.

В параграфе 1 главы 1 изложены определения индексов, предшествующие результаты и доказаны соотношения между индексами в случае, когда имеются процессы типа (1) Уп и Уп с коэффициентами Лп и Лп, связанными соотношениями типа равенств или неравенств по распределению.

В параграфе 2 главы 1 вводится новый класс распределений, называемых броуновскими смесями, и доказываются их свойства.

В параграфе 3 главы 1 приведены примеры распределений, принадлежащих классу броуновских смесей.

В параграфе 4 главы 1 приводится стохастическое дифференциальное уравнение (3) и вводится новый подход, связанный с рассмотрением процесса (1) как процесса, удовлетворяющего уравнению (3), наблюдаемого через случайные моменты времени.

Глава 2 посвящена нахождению границ экстремального индекса процесса, заданного уравнением (1), в случае броуновских смесей.

В параграфе 1 главы 2 найдена равномерная граница экстремального индекса. Чтобы найти эту границу, автор применила подход, который использовался в [27]. Для стохастического дифференциального уравнения (3) введена масштабная функция и мера скорости, с помощью которых оценивается максимум процесса с непрерывным временем, удовлетворяющего уравнению (3).

Параграф 2 главы 2 посвящен доказательству однородности экстремального индекса.

В параграфе 3 главы 2 найдены границы экстремального индекса, зависящие от распределения коэффициентов Ап в уравнении (1).

Параграф 4 главы 2 посвящен случаю, когда коэффициенты Ап в уравнении (1) имеют логнормалыюе распределение. В этом случае найдены выражения для верхней и нижней оценок экстремального индекса и найдена их асимптотика.

В параграфе 5 главы 2 найдена еще одна равномерная верхняя граница экстремального индекса.

Глава 3 посвящена вопросу непрерывности зависимости хвостового и экстремального индексов, а также распределений размеров кластеров от распределений коэффициентов Ап и получению точных результатов в некоторых случаях.

В параграфе 1 главы 3 вводится новый вид сходимости случайных величин, основанный на сходимости их преобразований Меллина-Стилтьеса на отрезке. Доказана основная теорема о непрерывности для хвостового и экстремального индексов, а также распределения размеров кластеров.

Параграф 2 главы 3 посвящен примеру применения теоремы о непрерывности. Рассматривается случай, когда величины 1п Д( имеют троичное распределение, формально не удовлетворяющее условиям теоремы А из [23].

В параграфе 3 главы 3 рассмотрен случай обобщенного лапласовского распределения, для него найдены хвостовой и экстремальный индексы, а также посчитано распределение размеров кластеров.

Глава 4 посвящена обобщению хвостового и экстремального индекса на многомерные рекуррентные последовательности со степенными хвостами маргинальных распределений. Рассматриваются линейные комбинации компонент векторов, и задача сводится к одномерной, при этом индексы превращаются в функции от коэффициентов. Подобный подход в отношении хвостового индекса был применен в работе [26], а в отношении экстремального индекса — в работе [29].

В параграфе 1 главы 4 рассмотрен случай, когда последовательности имеют различные хвостовые индексы и среди них есть наименьший.

Параграф 2 главы 4 посвящен случаю независимых последовательностей с равными хвостовыми индексами.

В параграфе 3 главы 4 найден экстремальный индекс в случае существования базиса из собственных векторов матрицы Ап.

В параграфе 4 главы 4 рассматривается многомерный аналог уравнения (3) и его использование для нахождения экстремального индекса.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту А.В.Лебедеву за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку при работе над диссертацией.

Глава 1 Основные свойства индексов

1.1. Основная теорема и свойства сравнения индексов

Рассмотрим процесс Yn, п > 1, удовлетворяющий стохастическому разностному уравнению

У„ = ЛЛ-1 + Д», п> 1, У0>0, (1.1)

где (Ап, Вп), п > 1, — независимые, одинаково распределенные пары неотрицательных случайных величин.

Известно, что стационарные процессы вида (1.1) при довольно общих условиях обладают двумя важными свойствами, относящимися к поведению их экстремумов: стационарное распределение имеет степенной хвост, т.е. существуют постоянные с, к > 0, такие, что Р(У^ > х) ~ сх~к при х —> оо, а максимум = max{Yi,..., Yn} при п оо растет асимптотически, как максимум [вп] независимых случайных величии с тем же распределением, где 0 есть экстремальный индекс процесса Уп.

Определение 1.1.1 [5]. Стационарная случайная последовательность Yn с маргинальной функцией распределения G(x) имеет экстремальный индекс в, если для любого г > 0 существует такая последовательность ип(т), что:

1) nG{un{r)) —» т при п —Ь оо;

2) Р{Ml < ип(т)) ехр(-6>т), п оо.

Наши рассуждения будут опираться на следующую теорему [23].

Теорема А [23]. Пусть процесс Yn, п > 1, удовлетворяет уравнению (1.1) и пусть

1) существует такое число к > 0; что ЕЛ* = 1; Eyif ln+ ylj < оо, О < ЕВ* < оо;

2) распределение В\/{1 — /li) невырожденное, а распределение ln/li при

условии, что А\ ф 0; не решетчатое.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) уравнение Уоо == АхУ^ + В\, где У^ и (А1,В\) независимы, имеет единственное решение У,ж = ^з П*=1 А/

2) если в (1-1) положить 1о = ^оо; ^о процесс {Уп} будет стационарным;

3) при любом начальном условии процесса {1^} имеет место Уп -4 У^, п —> оо;

4) существует постоянная с > 0; такая, что Р(Хх> > х) ~ сх~к при х —> оо;

5) процесс Уп имеет экстремальный индекс в, вычисляемый по формуле

О = [ р(ш.^сТ[Аг<у-1)ку-к-Ыу1

причем если ап = п"1^, то \{тп^00Р(апМп < х) = ехр(—св х~к) для всех х>0.

Далее, если Ип — нормализованный по времени точечный процесс превышений уровня ип — хп1/к, х > 0; и N — сложный пуассоновский процесс с интенсивностью свх~к и распределением кратности точек, заданном вероятностями тс к = {в к — 9к+\)/9, к > 1, где

вк = Р 1 > у-1} = А; — ку-К~1 ¿у,

в частности 9\ = 9, то А^ —> Ы, п —У оо.

Замечание 1.1.1. В [23] также получено следующее представление:

вк = Е(ектад-ь0) - тт(Тй,0)^

где Тк — /с-ый максимум в последовательности Бп =

1пД-, п > 1.

В частности,

в = 1-Ее*т1п(т'0), (1.3)

где Т = тах(5,ь52,...).

Замечание 1.1.2. Поведение процесса (1.1) в достаточно общем случае определяется только величинами Ап. Другими словами, если два процесса вида (1.1) заданы парами случайных величин (Ап, Вп) и (ЛП,БП), п > 1, соответственно, причем эти пары удовлетворяют условиям 1, 2 теоремы А, то оба процесса имеют одинаковые индексы хвоста ас и одинаковые экстремальные индексы 0, а также одинаковые 9к и к > 1.

Предположим, имеются процессы типа (1.1) Уп и Уп с коэффициентами Ап и Ап, связанными соотношениями типа равенств или неравенств по распределению. Возникает вопрос: что можно сказать о соотношении между к, в и к, 0? Подобные свойства естественно называть свойствами сравнения.

Обозначим Zn = 1пАп, п > 1, и введем случайные величины А и Z, равные по распределению Ап и Zn соответственно.

Лемма 1.1.1 [7]. Если А = Ая > 0, то к — к/з, 0 = 9.

Определение 1.1.2 [2]. Функция распределения ^ называется стохастически меньшей функции распределения (^ <^ Р2), если для любого х выполняется неравенство

F1{x) > ВД.

В этом случае для случайных величин Х^, к = 1,2, с функциями распределения к = 1,2, пишут Х\ <(1 Х2

Лемма 1.1.2 [7]. Если А А, то к > к, 0 > 0.

В [2] вводится более слабый порядок по сравнению со стохастическим доминированием. Это порядок стоп-лосс. Приведем его определение.

Определение 1.1.3 [2]. Говорят, что X! <з! Х2, если Е(Хх—сГ)+ < Е(Х2— в)+ для любого (¿> 0.

Утверждение 1.1.1 [2]. Для любой выпуклой неубывающей функции /, для которой определены Е/(Х\) и Е/(Х2), верно

Хх <е1Х2^Е/(Х1)<Е/{Х2).

Введем функцию ф(з) = ЕЛ6', й > 0, называемую преобразованием Меллина-Стилтьеса случайной величины А.

Лемма 1.1.3. Пусть 7, <8{ Тогда ф{з) < ф(з) и к > к,.

Доказательство. Рассмотрим выпуклую возрастающую функцию /(х) — е5*. Тогда из утверждения 1.1.1 следует, что Е/(£) < Ef{Z), т.е. ф(в) < ф(з). Отсюда Е^ < а значит, к> к.

Пример 1.1.1. Пусть Х\ имеет нормальное распределение с параметрами ах, ох, Х2 имеет нормальное распределение с параметрами о~2, причем а-1 < а,2, сг1 < сг2. Тогда Х\ <¡1 Х2 ( [2], замечание 8).

В силу теоремы 13 [2] для того, чтобы <5/ Х2, достаточно выполнения следующих условий: 1) ЕХ1 < ЕХ2: 2) /^(ж) < при х < с, > ^х2{х) при х > с для некоторого с > 0. Эта теорема в [2] приведена для неотрицательных рисков, но она, очевидно, обобщается на произвольные риски, поэтому условие с > 0 можно опустить.

Введем асимметричное распределение Лапласа с параметрами а и /3, плотность которого задается формулой

еах, при х < 0,

а + /3

е при х > 0,

и математическое ожидание равно | — К

Пример 1.1.2. Пусть величина Х\ имеет равномерное распределение на отрезке [—2,1/2], а величина Х2 — асимметричное распределение Лапласа с параметрами а = 1 и ¡3 = 2. Графики функций распределения Х\ и Х2

представлены на рис. 1.1, сплошной линией — равномерное распределение, пунктиром — лапласовское. В силу обобщения теоремы 13 [2] Х\ Х2.

Пример 1.1.3. Пусть величина Х\ имеет равномерное распределение на отрезке [—2,1/2], а величина Х2 — нормальное распределение с параметрами а = —0,5 и ег = 1. Графики функций распределения Х\ и Х2 представлены на рис. 1.1, сплошной линией — равномерное распределение, пунктиром — нормальное. В силу обобщения теоремы 13 [2] Х\ <5/ Х2.

Рис. 1.1. Рис. 1.2.

Пример 1.1.4. Пусть величина Х\ имеет нормальное распределение с параметрами а = —0,9, а = 1, а величина Х2 — асимметричное распределение Лапласа с параметрами а — 1 и /3 = 2. Условие ЕХ1 < ЕХ2, очевидно, выполнено. Графики функций распределения Х\ и Х2 представлены на рис. 1.3, сплошной линией — нормальное распределение, пунктиром — лапласовское. В силу обобщения теоремы 13 [2] Х\ <81 Х2.

Пример 1.1.5. Пусть величина Х\ имеет нормальное распределение с параметрами а = —2, а = 0,5, а величина Х2 — асимметричное распределение Лапласа с параметрами а = 1 и /3 = 2. Графики функций распределения Х\ и Х2 представлены на рис. 1.4, сплошной линией — нормальное распределение, пунктиром — лапласовское. В силу обобщения теоремы 13 [2] Х\ <5/ Х2.

Во всех, приведенных выше, примерах распределения Х\ и Х2 могут выступать в качестве распределений 2 = 1п А, удовлетворяющих теореме А.

Рис. 1.3.

Рис. 1.4.

Приведем еще одну теорему, относящуюся к свойствам сравнения индексов.

Теорема 1.1.1. Пусть 7, = ^ + .. где V — положительная целочис-

ленная случайная величина, не зависящая от ^ = где 2 удовлетворяет условиям теоремы А, ..., независимы. Тогда к — к и 9 > 9.

Доказательство.

оо

1)Ее^ = = ^ = п}) -

п=1

оо оо оо

= ^ - 71} = Ее21*-.. .-Ее^Р^ = п} = ]Г Р{г/ = п} =

П= 1 П=1 П=1

поскольку Ее^1* = ЕЛ* = 1. Отсюда следует, что Я — к.

2) Пусть — независимые случайные величины, распределен-

ные как и. Построим последовательности и п > I, следующим образом: = = ---И = ^г = где ^ = Рассмотрим величины Т = тах(5>1,..., • • ■), Т = тах(£?ь ..., ...) = тах(5^, ..., ...). Поскольку Т < Т, то отсюда следует, что тт(Г,0) < тт(Г,0), а значит Ее*т1п(Г'°) < Еект1п^т,0\ Поскольку к = к, то получаем, что 1 — Еектш(т,°) = 1 — Еект1п(Т'0) > 1 - Ее*т1п™, т.е. 6 > в. Теорема доказана.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Голдаева, Анна Алексеевна, 2013 год

Список литературы

1. Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Куркина А. О. О проблеме оптимального управления инвестициями в динамических моделях страхования. ¡.Различные инвестиционные стратегии и вероятность разорения. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009, т. 16, №6, с. 961-981.

2. Булинская Е.В. Теория риска и перестрахование. М.: ООО "Мэй-лер 2009.

3. Лебедев A.B. Максимумы рекуррентных случайных последовательностей. //Вести. Моск. ун-та, Матем. Механ., 2001, №1, с. 10-14.

4. Лебедев A.B. Максимумы рекуррентных случайных последовательностей. Случай тяжелых хвостов.// Вестн. Моск. ун-та, Матем. Механ., 2001, №3, с. 63-66.

5. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Рогпсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.

6. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

7. Новицкая О.С., Яцало Е.Б. Экстремальное поведение рекуррентных случайных последовательностей. // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ., 2008, №, с. 6-10.

8. Океендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М: Мир, 2003.

9. Пергаменщиков С.М., Ширяев А.Н. О последовательном оценивании параметра стохастического разностного уравнения со случайными коэффициентами. // Теор. вер. и ее прим., 1992, т. 37, №3, с. 482-501.

10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1, 2. М.: Мир, 1964.

11. Ширяев А.H. Основы стохастической финансовой математики, т. 1, 2. М: Фазис, 1998.

12. Baccelli F., Machiraju SVeitch D., Bolot J. The role of PASTA in network measurment. // Networking, IEEE/ACM Transactions on, 2009, v. 17, №4, p. 1340 - 1353.

13. Вarndorff-Nielsen O.E. Exponentially deacreasing distributions for the logarithm of particle size // Proceedings of the Royal Society. London. Ser. A, 1977, v. 353, p. 401-419.

14. Cavalli-Sforza L., Feldman M. W. Models for cultural inheritance, I. Group mean and within group variation. // Theor .Population Biol., 1973, v. 4, №1, p. 42-55.

15. Collamore J.F. Random reccurence equations and ruin in a Markov-dependent stochastic economic environment. // Ann. Appl. Probab., 2009, v. 19, p. 1404-1458.

16. Dumas V., Guillemin F., Robert P. A Markovian analysis of additive-increase multiplicative-decrease algorithms. // Adv. Appl. Probab., 2002, v. 34, №4, p. 85-111.

17. Embrechts P., Kliippelberg C., Mikosh T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer, 2003.

18. Engle R.F., Russell J.R. Forecasting transaction rates: The autoregressive conditional duration model. // Proceedings of the First International Conference on High Frequency Data in Finance (HFDF-I, March 29-31, 1995): Introductury Lectures and 4 volumes. Zurich:«01sen& Associates», Research Institute for Applied Economics, v. 4, http://www.nber.org/papers/w4966.pdf.

19. Flood R.P., Garber P.M. Collapsing exchange-rate regimes: some linear examples. // Internat. Economics, 1984, v. 17, p. 1-13.

20. Fréshet M. Sur les formules de répartition des revenus// Rev. Inst. Int. Statist., 1939, v. 7, p. 32-38.

21. Gjessing H.K., Paulsen J. Present value distributions with applications to ruin theory and stochastic equations. // Stoch. Proc. Appl., 1997, v. 71, p. 123-144.

22. Guillemin F., Robert P., Zwart B. AIMD algoritms and exponential functionals. // Ann. Appl. Probab., 2004, v. 14, p. 90-117.

23. Haan L. de, Resnick S., Rootzén H., Vries G. de Extremal behaviour of solutions to a stochastic difference equation with applications to ARCH processes. // Stoch. Proc. Appl., 1989, v. 32, p. 213-224.

24. Inoue T. On income distribution: the welfare implication of the general equilibrium model and the stochastic processes of income distribution formation. // Ph. D. Thesis. University of Minnesota, 1978.

25. Kalman R.E. Control of randomly varying linear dynamical systems. // Proc. Symp. Appl. Math., 1962, v. 13, p. 287-298.

26. Kesten H. Random difference equations and renewal theory for products of random matrixes// Acta Math., 1973, v. 131, p. 207-248.

27. Klüppelberg C. Risk Management and Extreme Value Theory// Extreme Values in Finance, Telecommunication and the Environment. Boca Raton: Clapman and Hall/CRC, 2004, p. 101-168.

28. Klüppelberg C., Pergamenchtchikov S. The tail of the stationary distribution

m of a random coefficient AR(q) model. // Ann. Appl. Probab., 2004, v. 14,

№2, p. 971-1005.

29. Klüppelberg G., Pergamenchtchikov S. Extremal behaviour of models with multivariate random recurrence representation // Stochastic Processes and their Applications, 2007, № 117, p. 432-456.

30. Kozubowski T. J., Podgorski K. Log-Laplace distributions // Int. Math. J., 2003, v. 3, №4, p. 467-495.

31. Laurini F., Tawn J.A. The extremal index for GARCH(1,1) processes. // Extremes, 2012, №15, p. 511-529.

32. Lopker A.H., van Leeuwaarden J.S.H. Transient moments of the TCP window size process. // Appl. Probab., 2008, v. 45, p. 163-175.

33. Markovich N.M. Modeling clusters of extreme values. // Extremes, 2013, http://link.springer.com/article/10.1007%2Fsl0687-013-0176-3.

34. Markovich N.M. Quality assessment of the packet transport of peer-to-peer video traffic in high-speed networks. // Perform. Evaluation, 2013, v. 70, №1, p. 28-44.

35. McCulloch J.H. Interest rate risk and capital adecuacy for tradional bank and financial intermediaries, in: S.J. Maisel, ed., Risk and Capital Adequacy in Commerical Banks, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1981.

36. Mikosch T., Samorodnitsky G., Tafakori L. Fractional moments of solutions to stochastic reccurence equation, Preprint, March 13, 2012, http://legacy.orie.cornell.edu/gennady/techreports/FractionalMoments.pdf

37. Paulson A.S., Uppulury V.R.R. Limit laws of a sequence determined by a random difference equation governing a one-compartment system. // Math. Biosci., 1972, v. 13, p. 325-333.

38. Perfekt R. Extremal behavior of stationary Markov chains with applications. // Ann. Appl. Probab.,1994, v. 4, p. 529-548.

39. Robinson M.E., Tawn J.A. Extremal analysis of processes sampled at different frequencies. // Statist. Soc., 2000, v. 62, №1, p. 117-135.

40. Scotto M.G. Extremes for solitions to stochastic difference equations with regularly varying tails. // REVSTAT, 2007, v. 5, №3, p. 229-247.

41. Scotto M.G., Turkman K.F. On the extremal behavior of sub-sampled solutions of stochastic difference equations. // Portugaliae Math., 2002, v. 59, №3, p. 267-282.

42. Turkman K.F., Amaral Turkman M.A. Extremes of bilinear time series models. // Time Ser. Anal., 1997, v. 18, p. 305-319.

43. Vervaat W. On a stochastic difference equation and a representation of nonnegative infinitely divisible random variables. // Adv. Appl. Probab., 1979, v. 11, p. 750-783.

44. Голдаева A.A. Использование процессов с непрерывным временем в исследовании стохастических рекуррентных последовательностей. // Вестник Моск. ун-та. Матем. Механ., 2010, №6, с. 13-18.

45. Голдаева A.A. Равномерная оценка экстремального индекса стохастических рекуррентных последовательностей. // Вестник Моск. ун-та. Матем. Механ., 2012, № 2, с. 51-55.

46. Голдаева A.A. Экстремальные индексы и кластеры в линейных стохастических рекуррентных последовательностях. // Теор. вер. и ее прим., 2013, т.58, №4, с. 793-802.

47. Голдаева A.A. Границы, пределы и точные результаты для экстремальных индексов линейных стохастических рекуррентных последовательностей. // Деп. в ВИНИТИ РАН 28.11.2013, № 334-В2013, 24 с.

48. Голдаева A.A. Исследование индексов рекуррентных случайных последовательностей с помощью процессов с непрерывным временем. // Современные проблемы математики и механики, 2011, том 7, № 1, с. 22-28.

49. Голдаева A.A. Индексы многомерных рекуррентных стохастических последовательностей. // Современные проблемы математики и механики, 2013, т. 8, №3, с. 42-51.

50. Голдаева A.A. Континуальный подход к исследованию стохастических рекуррентных последовательностей. // XVII Международная научная конференция молодых ученых «Ломоносов-2010», секция «Математика», 2010,

http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2010/14-l.rar (45_982_14430.pdf).

51. Голдаева A.A. Индексы некоторых стохастических рекуррентных последовательностей. // XIX Международная научная конференция молодых ученых «Ломоносов-2012», секция «Математика», 2012, http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/1797/14430_561e.pdf

52. Голдаева A.A. Тяжелые хвосты, экстремумы и кластеры стохастических рекуррентных последовательностей. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2013, т. 20, №3, http://www.tvp.ru/conferen/vsppml4/novio010.pdf.