Случайные блуждания и ветвящиеся процессы в случайной среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Афанасьев, Валерий Иванович

• Афанасьев, Валерий Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Афанасьев, Валерий Иванович

Введение.

Глава 1. Условные предельные теоремы для случайного блуждания

§1. Условные предельные теоремы для случайного блуждания с нулевым сносом.

§2. Условные предельные теоремы для случайного блуждания с отрицательным сносом.

§3. Обобщенные условные принципы инвариантности для случайного блуждания и остановленного случайного блуждания.

Глава 2. Предельные теоремы для ветвящихся процессов в случайной среде.

§1. Определение и классификация ветвящихся процессов в случайной среде.

§2. Сопровождающие случайные последовательности и их свойства в критическом случае

§3. Предельные теоремы для критического ветвящегося процесса вслучайной среде.

§4. Предельные теоремы для логарифма критического ветвящегося процесса в случайной среде.

§5. Сопровождающие случайные последовательности и их свойства в умеренно докритическом случае.

§6. Предельные теоремы для умеренно докритического ветвящегося процесса в случайной среде.

§7. Предельные теоремы для промежуточно докритического ветвящегося процесса в случайной среде.

§8. Предельная теорема для строго докритического ветвящегося процесса в случайной среде.

Глава 3. Предельные теоремы, связанные с моментами достижения фиксированного уровня и максимума.

§1. Асимптотика распределения максимума критического ветвящегося процесса в случайной среде.

§2. Предельные теоремы, связанные с моментом достижения уровня

§3. Асимптотика распределения максимума докритического ветвящегося процесса в случайной среде.

§4. Предельные теоремы, связанные с моментом достижения максимума

§5. Предельные теоремы для локального времени остановленного случайного блуждания.

§6. Асимптотика распределения среднего значения функции от остановленного случайного блуждания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Случайные блуждания и ветвящиеся процессы в случайной среде»

В классической теории ветвящихся процессов, изложенной в известных монографиях Харриса Т.Е. [22], Севастьянова Б.А. [18], Атрея К. и Нея П. [29], рассматривается, как правило, ситуация, когда законы размножения частиц не меняются от поколения к поколению. Попытки изучить более сложную ситуацию, когда эти законы подвержены изменению с течением времени, привели к формированию на рубеже шестидесятых и семидесятых годов двадцатого столетия двух новых направлений в теории ветвящихся процессов.

С одной стороны, возникла теория ветвящихся процессов в изменяющейся среде (по другой терминологии, неоднородных ветвящихся процессов). Под средой при этом понимается совокупность заданных для каждого поколения законов размножения частиц. В работах этого направления (см., например, [25, 26, 44, 45, 55, 60]) обычно находятся условия, налагаемые на среду, при выполнении которых ветвящийся процесс в изменяющейся среде обладает тем или иным свойством. Например, вырождается с вероятностью 1, или является суперкритическим, или имеет одну скорость роста и т.п. Следует отметить, что полная классификация этих процессов пока не получена.

С другой стороны, возникла теория ветвящихся процессов в случайной среде. Рассмотрение этих процессов обусловлено желанием выявить интегральные свойства различных ветвящихся процессов в изменяющихся средах. С этой целью предполагается, что сами эти среды являются реализациями некоего случайного механизма, отсюда и название — случайные среды. Чтобы исследовать ветвящийся процесс в случайной среде, необходимо знать вероятностную природу указанного случайного механизма. В настоящее время наиболее активно изучается модель Смита-Вилкинсона [64], в которой предполагается, что законы размножения различных поколений формируются независимо друг от друга. В другой популярной модели Атрея-Карлина [27] механизм формирования случайных сред носит стационарный и эргодический характер. В дальнейшем, если не оговорено противное, будет рассматриваться модель Смита-Вилкинсона.

Перейдем к точным определениям. Пусть последовательности случайных величин оо

5>£> = 1, i,neN0 = {0,1,2,,.}, г=0 одинаково распределены и независимы при разных п. Введем производящие функции ш = 4°) + ТГ^ + тг^2 + . , п € N0.

Последовательность {£п, п е N0} неотрицательных целочисленных случайных величин называется ветвящимся процессом в случайной среде {-7ГП, п 6 N0}, если

I £0,6,-•• ,7ГП) = (/„(в))*», п € N0 для простоты изложения будем считать, что £о — 1)- Из этого определения видно, что если случайная среда фиксирована, то ветвящийся процесс в случайной среде представляет собою ветвящийся процесс в изменяющейся среде, а это, в свою очередь, означает, что если известна численность всех поколений вплоть до п-го, то частицы п-го поколения размножаются независимо друг от друга и от предыстории процесса в соответствии с законом размножения, задаваемым производящей функцией /п(5).

В работах Смита В. и Вилкинсона В. [64], Атрея К. и Карлина С. [27], Тэнни Д. [67] (в последних двух работах рассматривается модель Атрея-Карлина, в которой последовательность 7Го, 7Гх, 7Г2,. предполагается стационарной и эргодической) была дана классификация ветвящихся процессов в случайной среде. Выяснилось (если отбросить детали), что процесс {£п} вырождается п.н. при М1п/д(1) < 0, и вероятность невырождения процесса Р(£п > 0) при п оо имеет положительный предел при М1п/^(1) > 0. В соответствии с этим ветвящийся процесс в случайной среде {£п} называется надкритическим, если

М1п/£(1)>0; критическим, если

М1п/£(1) = 0; докритическим, если

М1пДО) <0.

Позже в работе Афанасьева В.И. [72] выяснилось, что эта классификация нуждается в большей детализации в докритическом случае. Оказывается, вид асимтотики вероятности невырождения докритического ветвящегося процесса в случайной среде существенно зависит от знака М(/^(1) 1п (1)). В соответствии с этим докритический ветвящийся процесс в случайной среде, удовлетворяющий условию М(/о(1) 1п+ /¿(1)) < +оо, называется умеренно докритическим, если

МДО)1п/^(1)>0; промежуточно докритическим, если

МДО)1п/^(1) = 0; строго докритическим, если

М/о(1) 1п/о(1) < 0.

В работе Козлова М.В. [11] впервые обнаружена глубокая связь между ветвящимися процессами в случайной среде и случайными блужданиями. Положим

В силу требований, предъявляемых к случайной среде {я-п}, пары случайных величин 771), (Х2, щ), ■ ■ ■ независимы и одинаково распределены. Введем так называемое сопровождающее случайное блуждание п г=1

Поскольку

MJfi = Min/¿(1), то блуждание {5П} имеет положительный, нулевой и отрицательный снос, если ветвящийся процесс в случайной среде является надкритическим, критическим и докритическим соответственно. Оказалось, что многие задачи, касающиеся ветвящихся процессов в случайной среде, сводятся к так называемым условным предельным теоремам для случайных блужданий. Это — активно развивающийся с начала семидесятых годов двадцатого столетия раздел теории вероятностей (см., например, [6, 7, 17, 31, 41, 52-54, 57, 62, 71, 76]), тесно примыкающий к теории слабой сходимости вероятностных мер, созданной Прохоровым Ю.В., Скороходом A.B. и другими математиками. Развитие теории условных предельных теорем для случайных блужданий в настоящее время во многом стимулировано потребностями теории ветвящихся процессов в случайных средах.

Исследования по асимптотике вероятности невырождения для ветвящихся процессов в случайной среде были осуществлены Козловым М.В. [11] и Афанасьевым В.И. [72]. Для критического ветвящегося процесса в случайной среде Козлов М.В. установил, что при п оо

Р(£п > 0) X 1/лАГ запись ап х Ъп означает, что 0 < lim (an/bn) < lim (an/bn) < +oo). Афаn-wo n—»oo насьев В.И. исследовал докритический случай и показал, что если {£п} — умеренно докритический процесс, то при п —У оо

Р(£п>0)х7"/П3/2, где 7 = min (/¿(l))i; если {£п} — промежуточно докритический процесс, то ££[0,1]

Р(£п > 0) х (Mfo(l))n/ если {£„} — строго докритический процесс, то

Р(,£п > 0) х (М/Й(1))п.

Лишь в 1999 г. Гейгеру Й. и Керстингу Г. [49] удалось усилить результат Козлова М.В. Они показали, что в критическом случае при п —> оо

Р(£п > 0) - с/уЧ где с — положительная постоянная. Деккинг Д.М. [36, 37] и Лиу К. [61] для модели Смита-Вилкинсона, а также Д'Суза Ж.С. и Хэмбли В.М. [46] для модели Атрея-Карлина исследовали предел lim л/Р(£п > 0) для докритичесп-лоо кого случая (полученные результаты для модели Смита-Вилкинсона следуют из более ранней работы Афанасьева В.И. [72]). К работам по асимптотике вероятности невырождения тесно примыкает работа Ватутина В.А. и Дьяконовой Е.Е. [4], в которой исследуется асимптотика вероятности вырождения в фиксированный момент для критического случая.

Перейдем к предельным теоремам для ветвящихся процессов в случайной среде. Пусть Рл и означают вероятность и математическое ожидание соответственно, вычисленные при условии, что случайная среда {7ГП} фиксирована. Положим тп = Мп£п.

В работах Атрея К. и Карлина С. [28] и Тэнни Д. [68] установлено, что для надкритического ветвящегося процесса в случайной среде с вероятностью 1 существует lim £п/тп = W, п—»оо причем W > 0 с положительной вероятностью, если M((£i ln+ £i)/mi) < +оо. Первая предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде была получена в работе Афанасьева В.И. [79]. Затем этот результат был обобщен в работе Козлова М.В. [13]. Разнообразные предельные теоремы для критического и докритического ветвящихся процессов в случайной среде были получены в работах Афанасьева В.И. [80-86]. Эти теоремы составляют основное содержание диссертации, и поэтому о них будет рассказано позднее. Говоря о предельных теоремах для ветвящихся процессов в случайной среде, следует упомянуть близкие к рассматриваемой тематике работы Боровкова К.А. и Ватутина В.А. [32], Ватутина В.А. и Фляйшманна К. [48], посвященные редуцированным ветвящимся процессам в случайной среде.

Теория ветвящихся процессов в случайной среде тесно связана с бурно развивающейся теорией случайных блужданий в случайной среде. Обозначим (п число переходов блуждающей частицы из точки п в точку п + 1 до момента первого достижения полуоси (—оо, 0]. Оказывается, что если случайное блуждание в случайной среде возвратно или п.н. уходит в —оо, то {Сп} является ветвящимся процессом в случайной среде, причем производящие функции {/n(.s)} в этом случае дробно-линейны. Благодаря указанной взаимосвязи были решены некоторые задачи, касающиеся случайных блужданий в случайной среде. Например, задача о предельных законах для блуждания, уходящего в +оо, в работе Кестена X., Козлова М.В., Спицера Ф. [59], задача об асимптотике распределения максимума блуждания, уходящего в —со, и задача об асимптотике распределения момента первого достижения полуоси (—оо, 0] для возвратного блуждания в работах Афанасьева В.И. [75, 83]. Упомянутый частный случай ветвящихся процессов в случайной среде, когда производящие функции {/n(s)} дробно-линейны (это означает, что

Ш = 1 - + в е [-1,1], П € No,

1 - Oin 1 - ans где (ao,ßo), (схi,ßi),. — независимые одинаково распределенные пары случайных величин, удовлетворяющие условиям 0 < ап < 1, ßn > 0, ап + ßn < 1) играет важную роль, поскольку, как показала практика, уже при его рассмотрении приходится разрешать значительное число аналитических трудностей, свойственных общему случаю.

Перейдем к изложению содержания диссертации. В первой главе устанавливаются условные предельные теоремы для случайного блуждания, играющие важную роль в дальнейшем. Пусть Х\, Х2,. — независимые одинаково распределенные случайные величины. Рассмотрим случайное блуждание

So = 0, Sn =Хг + . + Хп, пе N.

Пусть го = 0,71,72,. — моменты достижения блужданием {5"п} рекордно малых значений, т.е.

7i = inf{п : Sn < 0}, 72 = inf{n > Ti : Sn < STl},.

Эти моменты получили название строгих нижних лестничных моментов, и они, как хорошо известно, имеют большое значение при исследовании случайных блужданий. Если блуждание возвратно или уходит в —оо, то все вероятностное пространство целесообразно разбить на случайные события {г,- < п < Tj+1}, j G N0, тем самым предполагая, что в момент времени п блуждающая частица находится не ниже уже достигнутого ji-ro рекордно малого значения. Тогда некоторые задачи о случайных блужданиях можно свести к условным задачам при условии {rj < п < т] + \] для каждого j G No- Первоначально исследователи сосредоточились на изучении {Sn} при условии {ri > п}, что объясняется аналогией с процессом ожидания в первый рабочий период в СМО с одним прибором. В первой главе блуждание {5П} изучается при условии {rj < п < Tj+1} для каждого j £ No- В качестве предельных процессов фигурируют броуновская извилина {W+(i)} и броуновская экскурсия {Wo"(i)}. Напомним их определение. Пусть {W(t), t £ [0, +00)} — стандартное броуновское движение, выходящее из нуля, и т<1} = sup{i € [0,1] : W(t) = 0}, т<2> = inf{i > 1 : W(t) = 0},

A^l-rW, Д2 = г(2)-Г(1>.

Тогда

W+(t) = \W(T^ + tA2)\/y/A^, t e [0,1]; w+(t) = \W(t(D + ¿A1)|/4/aT, t e [0,1], а при t > 1 (W+(i)} представляет собою стандартное броуновское движение, выходящее из W+(l).

В §1.1 изучается блуждание с нулевым сносом. Следующий результат является аналогом принципа инвариантности Донскера-Прохорова.

Теорема 1.1.1. Если МХг = 0, MX% = <т2, 0 < а2 < +оо, то при любом j £ N0 и п —> оо

S[nt]/{(yy/n), t е [0, +00) I Tj < п < rj+1} A {W+(t), t е [0, +оо)}, где знак —ь означает сходимость по распределению в пространстве

0, +оо) с топологией Скорохода.

Теорема 1.1.1 позволяет рассматривать сразу всю траекторию случайного блуждания, но для его начального отрезка оказывается малоинформативной. В следующей теореме как раз и рассматривается начальный отрезок случайного блуждания.

Теорема 1.1.2. В условиях теоремы 1.1.1 при любом ^ £ N0 и п —> оо {5», ieNo\rj<n< т,Ч1} А г е N0}, где i € N0} — некоторая случайная последовательность, а знак означает сходимость в И,00 с топологией покоординатной сходимости.

Теорема 1.1.1 при з = 0 установлена в работах [53, 31, 52], а теорема 1.1.2 при ; = 0в работе [11]. Теоремы 1.1.1 и 1.1.2 дополняет следующий результат.

Теорема 1.1.3. В условиях теоремы 1.1.1 при любом э € N0 и п —> оо случайная последовательность г € N0 | т^ < п < т^+х} и случайный процесс {^[п^А0" \/п), £ 6 [0, +оо) | т, < п < г^+х} асимптотически независимы в смысле конечномерных распределений.

В §1.2 изучается случайное блуждание с отрицательным сносом. Предполагается, что выполнены следующие условия:

A) МХ1 < 0;

B) функция ©(¿) = Мехр(ЬХх) определена при Ь е [0, а], где а — положительная постоянная;

C) функция ©(£), t Е [0, а], достигает своего минимума 7 < 1 в точке г е (0,а);

Б) случайная величина Х\ имеет атом в нуле, если она решетчатая. Иногда вместо (Б) используется более сильное условие:

Б) либо функция распределения Х\ имеет отличную от нуля абсолютно непрерывную компоненту, либо Х\ является решетчатой случайной величиной с атомом в нуле.

Такого рода случайные блуждания изучались во многих работах (см., например, [2, 3, 30, 54, 70, 71]). Оказалось, что при исследовании ветвящихся процессов в случайной среде вполне можно обойтись именно такими блужданиями с отрицательным сносом.

В отличие от блуждания с нулевым сносом для блуждания, удовлетворяющего условиям (А)-(О), рассматриваемого при условии {г^- 1 < п < т^}, имеет место сходимость по распределению при п —> оо не только для начального, но и для конечного отрезков последовательности 51,. ,Бп. Положим

51 = 5'2 = . = 0.

Теорема 1.2.1. Если выполнены условия (А)-(Б); то при любом j £ N и п —>• оо й, 5пг, г € N0 I <П< г,-} А {5г0), 5гЫ, г е К0},

Г / ^- , .4 где {б1- , г € N0}, , % € N0} — некоторые случайные последовательности.

Сходимость по распределению {5"п | > п} при п —> оо в условиях теоремы 1.2.1 установлена в работе [54]. Следующая теорема является условным принципом инвариантности для случайного блуждания с отрицательным сносом.

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условия (А), (В), (С), (Б), тогда при любом ] € N и п —> оо

5И]/(Ау/п), í € [0,1] I < п < г,-} А {Ж0+(г), * € [0,1]}, где А = \/0"(т)/7, знак —ь означает сходимость по распределению в пространстве 1)[0,1] с топологией Скорохода.

Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 дополняет следующий результат.

Теорема 1.2.3. Пусть выполнены условия (А), (В), (С), (Б). Тогда при любом j е N и п оо случайный процесс {5[п4]/(Ау/п), £ € [0,1] | < п < т^-} и случайная последовательность {Si,Sn-i, % € N0 | <п< т^-} асимптотически независимы в смысле конечномерных распределений.

В §1.3 помимо случайного блуждания {5^} с нулевым сносом рассматривается остановленное случайное блуждание Г 5П, п < Г; П " I 0, п > Т, где Т = ш£{гг > 0 : ¿)п < 0} — момент первого достижения отрицательной полуоси блужданием {5П}. Остановленное случайное блуждание — весьма популярный объект исследования (см., например, [52, 62, 73, 74, 77, 78]), что вызвано в первую очередь потребностями теории массового обслуживания и теории управления запасами.

Наряду с рассмотренным ранее процессом {3[пц/((т у/п)} весьма полезным оказывается изучение еще одного процесса {¿'^/(с-у/п)}. Справедлив следующий обобщенный условный принцип инвариантности для случайного блуждания с нулевым сносом.

Теорема 1.3.1. Если МХх = 0, ШХ^ = а2, 0 < а2 < +оо, то при п —> оо t е [0,+оо) ТУ+(*т), [0,+оо)}, сту/п сгу/п ) и где т = > 0 : У/+(Ь) = 0}, знак -—У означает сходимость по распределению в пространстве £>[0,+оо) х 1)[0,+оо) с топологией Скорохода.

Заметим, что теорема о сходимости процесса {Б[Гт]/(ау/п), Ь € [0,1] | Т > п} установлена в работе [52]. Результат, аналогичный теореме 1.3.1, имеет место для остановленного случайного блуждания.

Теорема 1.3.2. В условиях теоремы 1.3.1 при п —У оо где = \¥+(Ь Л г), = Л г), * е [0, +оо).

Теоремы 1.3.1 и 1.3.2 позволяют изучать случайное блуждание {5П} и остановленное случайное блуждание {6"п} при условии {Т > п} сразу в двух временных шкалах: абсолютной и относительной (относительно времени достижения отрицательной полуоси). Теорема 1.3.2 играет важную роль при исследовании ветвящихся процессов в случайной среде. Это вызвано тем, что аналогичный условный принцип инвариантности справедлив для критических ветвящихся процессов в случайной среде. Поэтому для нахождения предельных распределений, касающихся критических ветвящихся процессов в случайной среде, удобно использовать остановленное простое случайное блуждание.

Во второй главе, играющей центральную роль, рассматриваются предельные теоремы для критических и докритических ветвящихся процессов в случайной среде.

В §2.1 дается определение ветвящегося процесса в случайной среде {£п}> излагается классификация этих процессов и показывается, что сопровождающее случайное блуждание для умеренно докритического процесса удовлетворяет условиям (А), (В), (С), при которых в §1.2 изучалось случайное блуждание с отрицательным сносом. В этом же параграфе устанавливается взаимосвязь между случайными блужданиями в случайной среде и ветвящимися процессами в случайной среде. В заключение параграфа излагаются асимптотические формулы для вероятности невырождения для критического и докритического ветвящихся процессов в случайной среде.

В §2.2 вводятся две сопровождающие случайные последовательности: п-1 ап = ехр(-5п), = Ъ+г ехРп 6 N0. о

Эти последовательности являются необходимым инструментом при исследовании ветвящихся процессов в случайной среде. В частности, при изучении критических ветвящихся процессов в случайной среде важное значение имеет следующий результат. Будем предполагать, что выполнено условие а) конечны М^2, Мщ, Мр^х), причем МХ^ = а2 > 0.

Теорема 2.2.1. Пусть {£„} — критический ветвящийся процесс в случайной среде, выполнено условие (а) и Мехр(—.Хх) < +оо, тогда при любом 3 6 N0 и п -» оо пф * е (0,1] I Т} < п < гу+1> о,

Ь[„ф * 6 (0,1] I Тз < п < т^+х} =» Уу, где гл,- — случайный процесс с положительными постоянными реализациями на (0,1], знак =Ф- означает сходимость процессов в смысле конечномерных п1] чт

О у/п ' Сл/п £ е [0,+оо) распределений. Более того, процессы {а[пф t € (0,1]}, {Ь[пф t £ (0,1]} и {S[ntj/(cr у/п), t € [0,+оо)}, рассматриваемые при условии {tj < п < rJ+1}, асимптотически независимы при п —> оо в смысле конечномерных распределений.

Пусть Т — момент вырождения процесса {£п}> т.е.

Т = inf{n : in = 0}.

Для произвольного ветвящегося процесса в случайной среде с вероятностью 1 существует lim (£n/mn), но, в отличие от надкритического случая, в критип—>оо ческом и докритическом случаях этот предел равен 0 вследствие вырождения процесса. Поэтому естественным является рассмотрение предельного поведения последовательности {(n/mn | Т > п}.

В §2.3 устанавливаются предельные теоремы для критического ветвящегося процесса в случайной среде. Сначала доказывается условная функциональная предельная теорема, в которой исследуется сразу вся траектория процесса до момента п.

Теорема 2.3.1. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде, выполнено условие (а) и Мехр(—Х±) < +оо, тогда при п —> оо jiiüil t е (0,1] Т > nl ßi,

I Щш] J где — случайный процесс с неотрицательными постоянными траекториями на (0,1], причем P(//i > 0) > 0; сходимость надо понимать как сходимость по распределению в пространстве D[u, 1] с топологией Скорохода при любом фиксированном и G (0,1).

Теорема 2.3.1, нестрого говоря, утверждает, что поведение реализаций критического ветвящегося процесса в случайной среде в далекий момент времени определяется с точностью до случайной константы поведением соответствующих реализаций (случайного) математического ожидания числа частиц в данной среде.

Доказательство этой теоремы весьма сложно. Основная идея доказательства состоит в следующем. Условие {Т > п} в соответствии с ранее сказанным разбивается на условия {Т > п, Tj < п < Tj+1}, j G No (здесь ri,r2,. — лестничные моменты сопровождающего случайного блуждания). Затем показывается, что в условии {Г > n, Tj < п < 7j|i} ограничение Т > п может быть снято. Условие {rj < п < Tj+1} является ограничением только на случайную среду. На основании результатов первой главы находится предел при п —> оо случайной среды, рассматриваемой при условии {tj < п < rj+1}, а затем рассматривается ветвящийся процесс в этой "предельной" среде.

В случае, когда производящие функции {fn(s)} дробно-линейны, теорему 2.3.1 можно дополнить следующими утверждениями. Во-первых, ßi > 0 п.н. Во-вторых, справедлив следующий результат о начальном отрезке случайной последовательности {£i/mi, г G Nq \ Т > п}.

Теорема 2.3.3. В условиях теоремы 2.3.1 при п -» оо ieNo\T > п} ^ {<рг, г е N0}, где {<рг, г £ N0} — некоторая последовательность неотрицательных слу ^ чайных величин, причем (рг —> при г —> оо.

В третьих, вместо нормировочного множителя тп можно применить множитель ш+ =МТ(£П | > 0), используемый, как известно, в классической предельной теореме для критического ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона.

Теорема 2.3.4. В условиях теоремы 2.3.1 при п —> оо ти £е(0,1]

Т>п) АДх, где /¡1 — случайный процесс с положительными постоянными реализациями на (0,1].

В §2.4 изучается логарифм числа частиц критического ветвящегося процесса в случайной среде. Поскольку тп = ехр5П, то из теоремы 2.3.1 следует, что случайный процесс {1п(£[„^ 4-1)/ л/п, £ 6 [0,1] | Т > п} хорошо аппроксимируется процессом л/п, £ € [0,1] | Т > п}, изучение которого можно осуществить на основе результатов первой главы. Будем предполагать, что выполнено условие: конечны Мг/1, М(Хх?71), М^4, Мехр(-Хх), причем МХ^ = а2 > 0.

Следущее утверждение является обобщенным условным принципом инвариантности для критического ветвящегося процесса в случайной среде.

Теорема 2.4.3. Пусть — критический ветвящийся процесс в случайной среде и выполнено условие (*). Тогда при п —> оо <7 у п а у/п

Т>п}> А V

Теорема 2.4.3 позволяет изучать критический ветвящийся процесс в случайной среде сразу в двух временных шкалах: абсолютной и относительной (относительно "времени жизни" процесса). В сочетании с обобщенным условным принципом инвариантности для остановленного случайного блуждания (см. теорему 1.3.2) он дает возможность решать многие задачи, связанные с моментами достижения фиксированного уровня и максимума.

Заметим, что сходимость в смысле конечномерных распределений для ln(£[ni] + 1)/(<т Vn), £ £ [0,1] | T > n} в случае, когда производящие функции {fn{s)} дробно-линейны была установлена в работе Афанасьева В.И. [79]. Козлов М.В. [13] установил для этого процесса сходимость по распределению в пространстве D[0,1] с топологией Скорохода без предположения о дробно-линейности {fn{s)}- Теорема 2.4.3 установлена Афанасьевым В.И. в работе [83].

Если сравнивать теоремы 2.3.1 и 2.4.3, то видно, что они соотносятся между собой, как закон больших чисел и центральная предельная теорема для случайных блужданий с нулевым сносом.

В §2.5 изучаются сопровождающие случайные последовательности {ап} и {Ьп} для умеренно докритического ветвящегося процесса в случайной среде и устанавливается следующий результат.

Теорема 2.5.1. Пусть {£п} — умеренно докритический ветвящийся процесс в случайной среде, конечны Мехр(—Xi), M(r/i exp Xi) и случайная величина Xi удовлетворяет условию (D). Тогда при любом j £ N и п —> оо a [nt],b[nt], t £ (0,1] | i <п< Tj} {pj{t),Vj(t), t E (0,1]}, где {vj(t)} — случайный процесс с неотрицательными на (0,1] и постоянными на (0,1) траекториями, {pj(t)} — случайный процесс, такой, что Pj(t) = 0 при t Е (0,1) и pj( 1) > 0. Если условие (D) заменить на (D), то при п —» оо двумерный процесс {а[пф 6[пф t £ [0,1] | i < п < Tj} асимптотически не зависит от процесса {S[nt]/(A \/п), t £ [0,1] | i <п< Tj} в смысле конечномерных распределений.

В §2.6 устанавливаются предельные теоремы для умеренно докритического ветвящегося процесса в случайной среде. Сначала доказывается условная функциональная предельная теорема.

Теорема 2.6.1. Пусть {£п} — умеренно докритический ветвящийся процесс в случайной среде и производящие функции fn{s), п £ No, дробно-линейны. Пусть конечны Мехр(—Х{), M(?7i expXi) и случайная величина Х\ удовлетворяет условию (D). Тогда при п -> оо iE (0,1) ™[nt] где Ц2 — случайный процесс с положительными реализациями на (0,1), знак ь означает сходимость по распределению в пространстве D[u, 1 — и] с топологией Скорохода при любом фиксированном и £ (0; 1/2).

Сравнивая этот результат с теоремой 2.3.1, видим много общего в поведении процесса {i[nt]lm{nt}i t £ [0,1] | Т > п} в критическом и докритическом случаях. Отличие состоит в поведении этого процесса при t, близких к 1, что поясняет следующее утверждение (положим = £-2 = . = 0).

Теорема 2.6.2. В условиях теоремы 2.6.1 при п —> оо — ,—,¿£N0 Т > n 1 {<pi, ipi, г £ No}, [ rrii mn-i J где г £ N0}, г £ N0} — некоторые последовательности неотрица

V . V тельных случайных величин, причем щ —> ¡12, Щ —^ /¿2 при г —> оо.

Как и в критическом случае вместо нормировочного множителя тп можно использовать множитель т+.

Теорема 2.6.3. В условиях теоремы 2.6.1 при п —> сю mU t е (0,1)

Т > п } ^ где ¿¡2 — случайный процесс с положительными постоянными реализациями на (0,1).

В заключение параграфа устанавливается условный принцип инвариантности для умеренно докритического ветвящегося процесса в случайной среде.

Теорема 2.6.4. Пусть {£п} — умеренно докритический ветвящийся процесс в случайной среде и производящие функции /п(з), п £ N0, дробно-линейны. Пусть конечны Мехр(—Хх), М^ехрХх) и случайная величина Х\ удовлетворяет условию (Б). Тогда при п —> оо ' 6 ^' Т > П) ^ * е 1]}"

В §2.7 устанавливаются предельные теоремы для промежуточно докритического ветвящегося процесса в случайной среде. Предельная теорема в промежуточно докритическом случае отличается от соответствующих теорем в критическом и умеренно докритическом случаях своеобразием предельного процесса, траектории которого уже не являются постоянными. Чтобы сформулировать соответствующий результат, сначала зададим положительный случайный процесс (^з(^), £ £ (0) 1)}? который фигурирует в качестве предельного в промежуточно-докритическом случае. Для этого зададим преобразования Лапласа его конечномерных распределений. Зафиксируем натуральное число т и действительные числа £ъ£г> • • • >£т : 0 < £1 < £2 < • • • < £т < 1- Положим

4>t ,tm (Al, • • • ,Ат) = М ехр | ) , г=1 где Aj > 0, г = 1,. , т. Чтобы задать рц,. ,tm (Ai, •. • ,Am), необходимо рассмотреть броуновскую извилину {W^+(£)}. Положим

Фк = inf w+(t), к = 1,. , 7П; i>k,i = min Vi te[l-tk,l-tk-i] к<г<1 здесь ¿о = 0). Тогда по определению

Vib.,im(Ai,. ,Am) = М(/гт(Ах,. ,Am))~2, где т то

1т(Ах,. , Аго) = 1 + + ^ ' ■ • • '

Ъ — 1 к~2 Iк ,т где 1к,т = {(¿0,^1,. ,гк) : 0 = г0 < ч < г2 < . < гк < то}. Отсюда, в частности, следует, что одномерные распределения процесса {//з(£), £ 6 (0,1)} совпадают и являются гамма-распределениями с плотностью вероятностей

Г жехр(—х), х > 0; р(х) = < У \ 0, ж < 0.

Теорема 2.7.1. Пусть {£п} — промежуточно докритический ветвящийся процесс в случайной среде {7гп} и производящие функции /п(з), п € N0, дробно-линейны. Пусть 0 < ехрХх) < +оо и существуют такие положительные постоянные М\, М2 {М\ < М2), что М\ < ^хехрХх < М2 п.н. Тогда при п —оо т

И] г е (0,1) т>п}=>{»3(*), * е (0,1)}.

Рассмотрим то различных чисел . , <1т. Упорядочим их по возрастанию. Пусть г г — номер, полученный йг после проведения этой процедуры. Положим г ((¿1,. , йт) = (гх,. , гт) (заметим, что в статистике этот вектор называется ранжировкой). Теорему 2.7.1 можно уточнить. Положим

Ф* = Ы к = 1,. ,то.

Теорема 2.7.2. В условиях теоремы 2.7.1 при п —> оо и любых т Е ¡1,. ¡¿т £ И : 0 < < ¿2 < • • • < ¿т < 1, и любой перестановки г = (гх,. , гт) чисел 1,. , то г = 1,. ,т т[пи]

Т>п, г(Фь.,Фт)=г1 23■ г = 1,. ,то}, где г = 1,. ,т} — случайный вектор, преобразование Лапласа которого равно т ¿=1

Мехр = m то

1 + + S AilAi2 ' • • • ' ^ihX{n0,i1>ril,ia>.>rih1,ik} i=1 k=2Ik<m где гъ 1 = min n. ' fc<i<i

Предельный вектор {/4^(ii), • • • >/4^(^)1 в теореме 2.7.2 устроен следующим образом. Пусть в последовательности гi,. , rm рекордно малые значения есть г 1,Гд,rj2,. ,rjp. Тогда = H.H.,

4г)(*л) = /4г)(*л+1) = • ■ • = п-н-> з\Ър) = Рз)(Ър + 0 = ■ • • = /4Г)(*т) П.Н. и все эти группы случайных величин не зависят друг от друга. Итак, чтобы понять, как взаимосвязаны случайные величины | Г > п}, г = 1,. , т, надо знать, как соотносятся между собой отрезки сопровождающего случайного блуждания {Зп} от 0 до [п£х], от [п£х] ДО [п^] и т.д. До тех пор пока какой-нибудь отрезок случайного блуждания не опустится ниже отрезка от 0 до [га£х], рассматриваемые случайные величины будут асимптотически равны друг другу. Как только некоторый отрезок случайного блуждания опустится ниже отрезка от 0 до [п£х], начинается новая серия асимптотически равных случайных величин, но асимптотически независимая от первоначальной серии, и она завершится как только какой-нибудь новый отрезок случайного блуждания опустится ниже всего предыдущего случайного блуждания и т.д.

В качестве следствия теоремы 2.7.1 получается функциональная предельная теорема для логарифма числа частиц промежуточно докритического ветвящегося процесса в случайной среде.

Теорема 2.7.3. В условиях теоремы 2.7.1 при п —> оо

0,1] *е[0,1]}, где а* = (М(Х? ехрХ^/МехрХх)1^ вир -*) - г е [0,1].

В лемме 2.7.9 показано, что при t £ (0,1) случайная величина (¿) положительна.

В §2.8 устанавливается предельная теорема для строго докритического ветвящегося процесса в случайной среде.

Теорема 2.8.1. Пусть {£п} — строго докритический ветвящийся процесс в случайной среде и производящие функции /п(з), п Е дробно-линейны. Пусть М(?71 ехрХх) < +оо. Тогда при п —> оо

Пф I е (0,1) | Т > п} * € (о, 1)}, где {/^(¿)} — положительный случайный процесс, у которого все сечения независимы и одинаково распределены.

Утверждение теоремы 2.8.1 сохранится, если использовать нормировочный множитель тп^у

Сравним предельные теоремы для критического, умеренно докритического, промежуточно докритического и строго докритического ветвящихся процессов в случайной среде. На первый взгляд, эти теоремы существенно различаются. Действительно, в них используются различные нормировочные множители для процесса {£[пф ^ ^ [0,1] | X1 > п}. Но, как показано, во всех четырех случаях может быть использована одна и та же нормировка тп^у Далее, в этих теоремах различаются предельные процессы. Однако это является проявлением некоторой общей закономерности. Чтобы ее объяснить, введем понятие уровня случайной среды на промежутке [0, : где {Зп} — сопровождающее случайное блуждание. Пусть то, т\, . — строгие нижние лестничные моменты для блуждания {5"п}.

При изучении критического и умеренно докритического ветвящихся процессов в случайной среде используется представление с»

Г > п} = и {Г > п, т, < п < т,+1},

3=0 причем при любом ^ Е N0 отношение Р(Т > п, т^ <п < т^+1)/Р(Т > п) имеет конечный положительный предел при п —> оо.

В критическом случае событие {тj < п < 7^+1} при п —> оо эквивалентно событию {ту < еп, п < 1} при любом фиксированном £ Е (0,1). Но это означает, что уровень среды Ьп(£) не меняется при всех £ € [е, 1]. Именно поэтому предельный процесс для \ Т > п} имеет постоянные траектории на

М1

В умеренно докритическом случае событие {т^ < п < Т7+1} при п —>• оо фактически означает, что осуществляется либо событие {т^ < еп, п < т^-+1}, либо событие {т\ > (1 — е)п, п < т^+х}. Но это означает, что уровень среды не меняется при всех £ Е [е, 1 — е]. Именно поэтому предельный процесс имеет постоянные траектории на [б, 1 — е].

В промежуточно докритическом случае при условии {Т > п} с ненулевой вероятностью возможно падение уровня среды на любом временном отрезке, содержащемся в (0,1). Из ранее сказанного следует, что падение уровня среды приводит к "разрыву" предельного процесса, а сохранение уровня среды означает продление участка постоянства этого процесса.

Наконец, в сильно докритическом случае при условии {Т > п} падение уровня среды обязательно происходит на любом временном отрезке, содержащемся в (0,1). Именно поэтому предельный процесс "рвется" в каждый момент времени.

В третьей главе рассматриваются предельные теоремы для ветвящихся процессов в случайной среде и остановленного случайного блуждания, связанные с моментами достижения фиксированного уровня и максимума. При этом существенно используются обобщенные условные принципы инвариантности, установленные в первой и второй главах.

В §3.1 находится асимптотика распределения максимального и суммарного числа частиц критического ветвящегося процесса в случайной среде.

Теорема 3.1.1. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде и выполнено условие (*). Тогда при х —»• +оо

Р ( sup £п > х ) ~ ,

WNo J lnx где с — положительная постоянная.

Теорема 3.1.2. В условиях теоремы 3.1.1 при х —> Н-оо

Р\ТАп>х)~ с , sn I , ) тж п=0 / где с — положительная постоянная, та же, что и в теореме 3.1.1.

Теоремы 3.1.1 и 3.1.2 имеют интересные следствия для возвратного случайного блуждания в случайной среде {Zn}. Пусть означает число переходов блуждающей частицы из точки г в точку (г + 1) до момента первого достижения отрицательной полуоси rz : tz = inf{n > 0 : Zn G (—оо, 0]}.

Как известно, если М 1п(ао//5о) = 0, то блуждание {Zn} является возвратным и последовательность {Ci, г £ No} представляет собою критический ветвящийся процесс в случайной среде. Поэтому в силу теоремы 3.1.1 (при выполнении некоторых ограничений на вероятности перехода) при х —> +оо

Р ( sup Сп > х ) ~ С

In ж' где с — положительная постоянная. Поскольку в рассматриваемой ситуации число переходов из точки г в (г + 1) равно числу переходов из точки (г + 1) в г, оо то 2 X] Сг = Отсюда ввиду теоремы 3.1.2 следует, что при х —»■ +оо г=0

Р(гг > х) ~ С

In ж' где с — положительная постоянная.

В §3.2 устанавливаются предельные теоремы, связанные с моментом достижения уровня. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде, а Тх — момент первого достижения уровня х > 0 этим процессом, т.е.

Тх = т£{п : £п > х}.

Пусть {Бп} — случайное блуждание с нулевым сносом, {5П} — соответствующее ему остановленное случайное блуждание и Тх — момент первого достижения уровня х > 0 остановленным случайным блужданием, т.е.

Тх = Ы:{п : 8п > х}.

В следующих двух теоремах показывается, что время достижения высокого уровня х при условии, что он достижим, имеет порядок 1п2 х для {£п} и х2 для {£»}.

Теорема 3.2.1. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде и выполнено условие (*). Тогда при любом и £ [0, +оо) где оо

К{и) = 1-2^(-1)к+1е-2к2и2 к=1 функция распределения Колмогорова. у "Р (* Т* ПШ Р —у— < и х-++со \ х

Теорема 3.2.2. Пусть {5П} — случайное блуждание с нулевым сносом и МХ2 - а2, 0 < а2 < +оо. Тогда при любом и £ [0, +оо)

Шп х—>+оо \ х2 где К(-) — функция распределения Колмогорова.

Указанные теоремы следуют из соответствующих обобщенных условных принципов инвариантности. При этом оказывается, что предельные распределения в этих теоремах совпадают между собой. Для нахождения вида этого предельного распределения используется простое случайное блуждание {5П}, шаг которого Х\ принимает всего два значения ±1 с одинаковыми вероятностями.

В рассматриваемом параграфе также доказываются условные предельные теоремы при условии, что достижим высокий уровень х, для случайных величин Тх/Т, Тх/Т, Т/\п2х, Мх/Т, ЛГХ/Т, где НХ{НХ) означает число всех таких п, для которых > х (£п > х).

В §3.3 продолжено изучение асимптотики максимума ветвящегося процесса в случайной среде уже для докритического случая.

Будем предполагать, что при некотором положительном числе ае выполнено условие Mexp(seXi) = 1, Mpf^exp(aeXi)) < +оо.

Сопровождающее случайное блуждание {5П} в докритическом случае имеет отрицательный снос. А для блужданий с отрицательным сносом условие (**) является классическим и оно позволяет находить асимптотику вероятностей

Р ( sup Sn > х ) (см. [21]) exp5n > х ) (см. [58]) при х -> +оо. В neNo } Wi / 00 \ работе [59] при условии (**) найдена асимптотика Р I > х I при х —>■ сю, п=о / при этом, правда, рассмотрен лишь случай, когда ж € (0, 2] и производящие функции {/n(s)} дробно-линейны. Основным результатом параграфа является следующая теорема.

Теорема 3.3.1. Пусть {£„} — докритический ветвящийся процесс в случайной среде. Пусть при некотором положительном числе эе выполнено условие (**) и распределение Ху нерешетчато. Наконец, пусть

Mfi ln+ & ехр((ае - l)Xi)) < +оо, а при ае > 1, кроме того, существует такое число р > ае, что конечно ехр((эе — р)Х-\)). Тогда при х —> +оо

Р I вир £п > X \ ~ сх 33, \neNo ) где с — положительная постоянная, не зависящая от х.

Идея доказательства этой теоремы состоит в переходе к так называемой "сопряженной" случайной среде и соответствующему ей уже надкритическому ветвящемуся процессу в случайной среде.

В §3.4 рассматриваются предельные теоремы, связанные с моментом достижения максимума. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде. Рассмотрим момент первого достижения максимального значения:

Тм = inf < п : £n = max & I ¿eN0

Пусть {6^} — случайное блуждание с нулевым сносом, a {S^} — соответствующее ему остановленное случайное блуждание. Введем момент первого достижения максимального значения для {Sn}:

Тм = inf <{ n : Sn = max Si ¿eN0

Сначала находится асимптотика распределений Тм и Тм

Теорема 3.4.1. Пусть {5П} — случайное блуждание с нулевым сносом и МХ1 — а2, 0 < а2 < +оо. Тогда при п ->■ оо с1п2

Р (Тм > п) ~ п где с — ехр I (Р(5Л > 0) - I) и=1

Теорема 3.4.2. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде и выполнено условие (*). Тогда при п —> оо

-п.,™ ч с1п2

Р (Тм > п) ~ п где с —постоянная из асимптотической формулы для Р(Т > п) (см. стр. 6).

Далее в этом параграфе доказываются предельные теоремы при п —у оо для случайных величин {Тм/п | Т > п}, {Тм/Т \ Т > п}, {Тм/п \ Т > п}, {'Тм/Т | Т > п}. При получении всех результатов существенно используются упомянутые ранее обобщенные условные принципы инвариантности.

В §3.5 устанавливаются предельные теоремы для локального времени остановленного случайного блуждания. Пусть {5™} — случайное блуждание с нулевым сносом, причем шаг блуждания Х\ является целочисленной случайной величиной с максимальным шагом 1. Пусть {5П} — соответствующее остановленное случайное блуждание. Обозначим р(х) число всех натуральных п для которых 8п = х, где х € N. Естественно и(х) назвать локальным временем остановленного случайного блуждания {5П}. Справедливы следующие результаты (х предполагается натуральным числом).

Теорема 3.5.1. Пусть Х\ — целочисленная случайная величина с максимальным шагом 1. Пусть МХх = О, МХ2 = <т2, 0 < а2 < +оо. Тогда при х —У +оо

М(-5Г)

Р(х/(я) > °) X

Теорема 3.5.2. В условиях теоремы 1 при и € [0,+оо) о) = 1 - е~и'2. кт Р -— < и х—>+оо \ х

В §3.6 находится асимптотика распределения среднего значения функции от остановленного случайного блуждания. Пусть {<5"Г),} — случайное блуждание с нулевым сносом, а {5^} — соответствующее остановленное случайное

23 блуждание. Пусть /(ж) — некоторая неслучайная функция, определенная при х £ [0, +оо). Нас интересует среднее значение последовательности т.е. среднее значение неслучайной функции от остановленного случайного блуждания за время его жизни. Справедлив следующий результат.

Теорема 3.6.1. Пусть = О, МХ^ = а2, 0 < а2 < +оо. Пусть /(ж) — положительная, возрастающая и правильно меняющаяся на бесконечности функция с показателем р > О, определенная при х £ [0,+оо). Тогда при х —>■ +оо с — положительная постоянная, такая же, как в теореме 3.4.1.

Нумерация параграфов в каждой главе самостоятельная. При ссылках на другие параграфы указывается номер главы и номер параграфа. Аналогично нумерация формул, теорем и т.п. в каждом параграфе самостоятельная. При ссылках на результаты других параграфов добавляется номер главы и номер параграфа.

Основные результаты диссертации изложены в работах [73-87].

Автор искренне благодарен чл.-корр. РАН Севастьянову Б.А. и всему отделу дискретной математики МИ АН им. В. А. Стеклова, а также доценту Козлову М.В. за внимание к работе и поддержку. f(So),f(S1),.,f(Sr-l), где д(-) — обратная функция к /(•),

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Афанасьев, Валерий Иванович, 2000 год

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. Наука, Москва, 1977.

2. Боровков A.A. Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых. Сибирский матем. ж. (1962) 3, N-5, 645-694.

3. Боровков A.A., Рогозин Б.А., Граничные задачи для некоторых двумерных случайных блужданий. Теория вероятностей и ее применения (1964) 9, №3, 401-430.

4. Ватутин В.А., Дьяконова Е.Е., Критические ветвящиеся процессы в случайной среде: вероятности невырождения в фиксированный момент. Дискретная математика (1997) 9, N°4, 100-126.

5. Ватутин В.А., Зубков A.M., Ветвящиеся процессы I. Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. ВИНИТИ, Москва, 1985, т.23, 3-67.

6. Денисов И.В. Случайное блуждание и винеровский процесс, рассматриваемые из точки максимума. Теория вероятностей и ее применения (1983) 33, N4, 785-788.

7. Денисов И.В. Условные предельные теоремы для броуновского движения и случайного блуждания. Успехи математических наук (1987) 42, N-2, 225-226.

8. Дьяконова Е.Е., Ветвящийся процесс с миграцией в случайной среде. Дискретная математика (1997) 9, N-1, 30-42.

9. Дьяконова Е.Е., Об асимптотике вероятности невырождения многомерного ветвящегося процесса в случайной среде. Дискретная математика (1999) 11, N4, 113-128.

10. Жакод Ж., Ширяев А.Н., Предельные теоремы для случайных процессов, т.1. Наука, Москва, 1994.

11. Козлов М.В., Об асимптотике вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде. Теория вероятностей и ее применения (1976) 21, N4, 813-825.

12. Козлов М.В. Принцип инвариантности для критического ветвящегося процесса в случайной среде с иммиграцией. Фундаментальные проблемы математики и механики: математика. Изд-во МГУ, Москва, 1994, 125-131.

13. Козлов М.В., Условная функциональная предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. Доклады РАН (1995) 344, N4, 12-15.

14. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. Наука, Москва, 1972.

15. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Наука, Москва, 1987.

16. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И., Интегралы и ряды. Наука, Москва, 1981.

17. Романов В.А., Условные функциональные предельные теоремы для рандомизированного блуждания. Теория вероятностей и ее применения (1986) 31, N4, 820-825.

18. Севастьянов Б.А., Ветвящиеся процессы. Наука, Москва, 1971.

19. Спицер Ф., Принципы случайного блуждания. Мир, Москва, 1969.

20. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1. Мир, Москва, 1984.

21. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.2. Мир, Москва, 1984.

22. Харрис Т.Е., Теория ветвящихся случайных процессов. Мир, Москва, 1966.

23. Эллиотт Р., Стохастический анализ и его приложения. Мир, Москва, 1986.

24. Эппель М.С., Локальная предельная теорема для момента первого перескока. Сибирский матем. ж. (1979) 20, N-1, 181-191.

25. Agresti A., Bounds of the extinction time distribution of a branching process. Adv. Appl. Probab. (1974) 6, N4, 322-335.

26. Agresti A., On the extinction times of varying and random environment branching processes. J. Appl. Probab. (1975) 12, №-1, 39-46.

27. Athreya K.B., Karlin S., On branching processes with random environments, I: Extinction probabilities. Ann. Math. Statist. (1971) 42, №5, 1499-1520.

28. Athreya K.B., Karlin S., Branching processes with random environments, II: Limit theorems. Ann. Math. Statist. (1971) 42, iVa6, 1843-1858.

29. Athreya K.B., Ney P.E., Branching Processes. Springer-Verlag, Berlin, 1972.

30. Bahadur R.R., Rao R.R., On deviations of the sample mean. Ann. Math. Statist. (1960) 31, N4, 1015-1027.

31. Bolthausen E., On a functional central limit theorem for random walks conditioned to stay positive. Ann. Probab. (1976) 4, №3, 480-485.

32. Borovkov K.A., Vatutin V.A., Reduced critical branching processes in random environment. Stoch. Proc. Appl. (1997) 71, 225-240.

33. Chung K.L., Excursions in Brownian motion. Ark. Mat. (1976) 14, N-1, 155-177.

34. Coffey J., Tanny D., A necessary and sufficient condition for noncertain extinction of a branching process in a random environment (BPRE). Stoch. Proc. Appl. (1984) 16, 189-197.

35. Cohen J.W., Hooghiemstra G., Brownian excursion, the M/M/l queue and their occupation times. Math. Oper. Res. (1981) 6, N4, 608-629.

36. Dekking F.M., Subcritical branching processes in a two-state random environment, and a percolation problem on trees. J. Appl. Probab. (1987) 24, N-4, 798-808.

37. Dekking F.M., On the survival probability of a branching process in a finite state i.i.d. environment. Stoch. Proc. Appl. (1988) 27, 151-157.

38. Dembo A, Peres Y., Zeitouni O., Tail estimates for one-dimensional random walk in a random environment. Commun. Math. Phis. (1996) 181, 667-683.

39. Dittrich P., A critical branching process in random environment. Теория вероятностей и ее применения (1990) 35, N-3, 612-615.

40. Doney R.A., A note on conditioned random walk. J. Appl. Probab. (1983) 20, №■2, 409-412.

41. Durrett R.T., Conditioned limit theorems for some null recurrent Marcov processes. Ann. Probab. (1978) 6, №5, 798-828.

42. Durett R.T., Iglehart D.L., Functional of Brownian meander and Brownian excursion. Ann. Probab. (1977) 5, N-l, 130-135.

43. Durett R.T., Iglehart D.L., Miller D.R., Weak convergence to Brownian meander and Brownian excursion. Ann. Probab. (1977) 5, N4, 117-129.

44. D'Souza J.C., The rates of growth of the Galton-Watson process in varying environments. Adv. Appl. Probab. (1994) 26, №-3, 698-714.

45. D'Souza J.C., Biggins J.D., The supercritical Galton-Watson process in varying environments. Stock. Proc. Appl. (1992) 42, 39-47.

46. D'Souza J.C., Hambly B.M., On the survival probability of a branching process in a random environment. Adv. Appl. Probab. (1997) 29, N-l, 38-55.

47. Emery D.J., Limiting behaviour of the distributions of the maxima of partial sums of certain random walks. J. Appl. Probab. (1972) 9, №-3, 572-579.

48. Fleischmann K., Vatutin V.A., Reduced subcritical Galton-Watson processes in a random environment. Adv. Appl. Probab. (1999) 31, N-l, 88-111.

49. Geiger J., Kersting G., The survival probability of a critical branching process in random environment. Теория вероятностей и ее применения (2000) 45.

50. Hirano. К., An asymptotic behavoir of the mean of some exponential functionals of a random walk. Osaka J. Math. (1997) 34, 953-968.

51. Hirano. K., Determination of the limiting coefficient for exponential functionals of random walks with positive drift. J. Math. Sci. Univ. Tokyo (1998) 5, 299332.

52. Hooghiemstra G., Conditioned limit theorems for waiting-time processes of the M/G/l queue. J. Appl. Probab (1983) 20, №3, 675-688.

53. Iglehart D.L., Functional central limit theorems for random walks conditioned to stay positive. Ann. Probab. (1974) 2, N4, 608-619.

54. Iglehart D.L., Random walks with negative drift conditioned to stay positive. J. Appl. Probab. (1974) 11, N4, 742-751.

55. Jagers P., Galton-Watson processes in varying environments. J. Appl. Probab. (1974) 11, N4, 174-178.

56. Jirina M., Extinction of non-homogeneous Galton-Watson processes J. Appl. Probab. (1976) 13, N4, 132-137.

57. Kaigh W.D., An invariance principle for random walk conditioned by a late return to zero. Ann. Probab. (1976) 4, №-1, 115-121.

58. Kesten H., Random difference equations and renewal theory for products of random matrices. Acta Math. (1973) 131, 208-248.

59. Kesten H., Kozlov M.V., Spitzer F., A limit law for random walk in a random environment. Compositio Mathematica (1975) 30, N-2, 145-168.60.