Вероятностный и статистический анализ экстремумов дискретных стохастических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор наук Родионов Игорь Владимирович

• Родионов Игорь Владимирович
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Родионов Игорь Владимирович

5.2 Оценка (4.4)

Список литературы

Введение

Актуальность темы.

Диссертация посвящена вероятностному и статистическому анализу экстремальных значений в различных дискретных моделях теории вероятностей, также рассмотрены и некоторые соответствующие модели в непрерывном времени. Отличительной особенностью работы является внедрение в стохастическую теорию экстремумов многих ранее не использованных в ее рамках идей современной теории вероятностей и математической статистики.

Стохастическая теория экстремумов занимается изучением свойств распределений экстремальных значений различных систем случайных величин и случайных процессов. Свое начало теория берет в работе Б.В. Гнеденко [102] 1943 года, где было показано, что если у последовательности нормированных максимумов независимых одинаково распределенных случайных величин есть невырожденное предельное распределение, то оно принадлежит одному из трех типов максимум-устойчивых законов (а именно, законов Фреше, Гумбеля и Вейбулла). Впервые же упомянутые законы были описаны в работе Фишера и Типпетта [94] в 1928 году. Завершающим этапом классической стохастической теории экстремумов, посвященной изучению предельных распределений экстремумов последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин, стали работы Балкема и де Хаана [48] и Пикандса [168], где ими независимо была сформулирована теорема о приближении хвоста функции распределения обобщенным распределением Парето, также известная как теорема Пикандса-Балкема-де Хаана и иногда называемая второй теоремой стохастической теории экстремумов.

На сегодняшний день стохастическая теория экстремумов является довольно разветвленной дисциплиной, объединяющей в себе как вероятностные, так и статистические результаты и методы. Современное состояние теории и ее приложения в финансах, страховании, гидрологии

и прочих областях можно найти в монографиях [85], [89], [52]. Мы остановимся лишь на некоторых направлениях стохастической теории экстремумов, которые имеют отношение исследованиям в диссертации.

После завершения классического этапа развития теории у исследователей возник интерес к ее расширению на последовательности зависимых случайных величин, а также на гауссовские стационарные последовательности и процессы с непрерывным временем. Оба этих направления были объединены в классической монографии Лидбеттера, Линдгрена и Ротсена [137], до сих пор не потерявшей своей актуальности.

Расширяя и дополняя результаты работ Уотсона [198], Бермана [54] и Лойнса [142], Лидбеттер [136] показал, что при выполнении условия слабой зависимости экстремальных событий (условие D) и условия асимптотического отсутствия кластеров (условие D') предельное распределение максимума стационарной последовательности совпадает с предельным распределением максимума последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с той же маргинальной функцией распределения. Обобщения этого результата на нестационарные последовательности были получены Хюслером [119], [120], а на нестационарные случайные поля на Z2 - Перейрой и Феррейрой [164]. Условия, налагаемые на случайное поле в работе Перейры и Феррейры, крайне неудобно записываются для случайных полей в пространствах большей размерности, чем 2; в статье автора [6] приведены гораздо более простые и легко интерпретируемые условия, восходящие к условиям D и D' Лидбеттера.

В упомянутой работе [136] Лидбеттер рассмотрел и ситуацию, когда для стационарной последовательности выполнено лишь условие D. В этом случае при слабых предположениях у последовательности существует так называемый экстремальный индекс служащий мерой локальной зависимости ее экстремумов. Попытка обобщить понятие экстремального индекса на нестационарные последовательности была предпринята Хюслером [120], однако его работа не нашла большого отклика в литературе. Заметим, что существуют процессы, не имеющие экстремального индекса, но обладающие тем не менее фантомной

функцией, которая является обобщением понятия экстремального индекса [160]. Необходимые и достаточные условия существования фантомной функции у стационарной последовательности были получены сравнительно недавно Духаном, Якубовским и Лангом [79]. Если теорию фантомных функций и экстремального индекса для стационарных последовательностей по сути можно считать завершенной, то аналогичная теория для стационарных полей на Zd и более сложных случайных структур еще далека от завершения. Работы по изучению (глобального) экстремального индекса для стационарных полей на целочисленных решетках начали появляться с начала 2000х годов [64], [194], [90], тогда как понятие фантомной функции для стационарного случайного поля на Zd было впервые рассмотрено лишь совсем недавно [123]. Отметим также работы A.B. Лебедева и A.A. Голдаевой [14], [105], в которых рассмотрены обобщения понятия экстремального индекса для схемы серий, см. также докторскую диссертацию A.B. Лебедева [13].

Хорошо известно, что нормальное распределение принадлежит области максимального притяжения распределения Гумбеля, или двойного экспоненциального закона. В 1964 году Берман [54] показал, что предельное распределение нормированного максимума стационарной гауссовской последовательности с теми же нормировочными константами, что и в теореме Гнеденко, и условием на убывание корреляционной функции последовательности (названное впоследствии условием Бермана) также совпадает с распределением Гумбеля. Интересен тот факт, что условие Бермана близко к необходимому и достаточному: так, Миттал и Илвисакер [156] показали, что в случае логарифмического убывания корреляционной функции стационарной гауссовской последовательности предельное распределение нормированного максимума будет отличаться от распределения Гумбеля, а в случае более медленного убывания корреляционной функции и вовсе будет вырожденным независимо от выбора нормировочных констант. Результат Бермана впоследствии был обобщен на нестационарные гауссовские последовательности [119], а также па стационарные и нестационарные гауссовские поля на Zd (см.

работы [64], [123], [163]).

Теория асимптотического анализа гауссовских случайных процессов восходит к работам X. Крамера [67] и Ю.К. Беляева [2], которые независимо друг от друга показали, что число выходов за высокий уровень гауссовского процесса на конечном интервале при некоторых условиях имеет пуассоновское распределение. Пикандсом [167] в 1969 году был предложен общий метод анализа асимптотики вероятности выхода за высокий уровень траекторией гауссовского стационарного процесса, в 1972 г. доработанный В.И. Питербаргом [27]. Этот метод оказался определяющим для асимптотической теории гауссовских случайных процессов и был обобщен В.И. Питербаргом и его соавторами на нестационарные гауссовские процессы [172], на гауссовские случайные поля и функции в банаховых пространствах [31], [19], а также на некоторые функционалы от гауссовских процессов и полей [169], [171], см. также монографии [170], [28]. Асимптотики вероятностей больших уклонений траекторий евклидовых норм гауссовских векторных процессов в различных условиях, наложенных на дисперсию и ковариационную функцию процесса, были получены в работах [112], [141].

Началом систематического изучения статистических аспектов теории принято считать уже упомянутую работу Пикандса [168] и работу Хилла [115], в которых были предложены первые оценки индекса экстремального значения 7, параметра, который управляет предельным поведением распределения максимума случайных величин в теореме Гнеденко, хотя первые критерии проверки принадлежности распределений областям притяжения максимально-устойчивых законов Фреше, Вейбулла и Гумбеля начали появляться чуть ранее (см. например [143]). В целом, задаче оценивания индекса экстремального значения, а также оценивания параметров модели обобщенного распределения Парето, как для последовательностей независимых, так и зависимых случайных величин посвящено достаточно много работ (см. [110], [187], [75], [116] среди прочих), чего нельзя сказать о задачах проверки гипотез о хвостах распределений, см. обзор [121] методов их решения.

Интересно, что в подавляющем большинстве случаев проверяемые гипотезы формулируются в терминах индекса экстремального значения и параметров модели обобщенного распределения Парето, тогда как задачи различения хвостов распределений внутри областей максимального притяжения или, наоборот, не принадлежащих ни одной из областей максимального притяжения, практически не рассматривались, отметим здесь работы [103], [96].

Первые работы по оцениванию экстремального индекса стационарных последовательностей начали появляться позже, в 90х годах [117], [199]. На сегодняшний день наилучшими оценками экстремального индекса признаны интервальная оценка [93] и оценка методом К^арй [190]. Однако стоит отметить, что все предложенные на настоящий момент оценки требуют выбора одного или двух вспомогательных параметров (например, выбора высокого уровня или размера блока), и при их неаккуратном выборе точность оценивания существенно снижается. Проблеме оптимального выбора вспомогательных параметров пока что посвящено не так много работ [97], [91], но в настоящее время исследования в этом направлении ведутся достаточно активно, см. обзор [92].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностный и статистический анализ экстремумов дискретных стохастических систем»

Цель работы.

• Получить достаточные условия экстремальной независимости дискретных случайных систем и применить этот результат для изучения экстремумов гауссовских систем и экстремальных характеристик случайных графов.

• Исследовать понятие и условия существования экстремального индекса для случайных полей с дискретным временем и схем серий случайных величин и исследовать автоматическую процедуру его оценивания для стационарной последовательности.

• Найти асимптотики вероятностей высоких экстремумов нестационарных гауссовских полей с непрерывным временем

и евклидовых норм нестационарных гауссовских процессов с непрерывным временем в слабых предположениях на ковариационную функцию и дисперсию.

• На основе современных методов математической статистики предложить общие методы оценивания параметров и проверки гипотез о хвостах распределений по экстремальным наблюдениям выборки, не зависящие от выполнения условий теоремы Гнеденко.

Методы исследования.

В работе используются классические и современные методы теории вероятностей и математической статистики, такие как теория сходимости в пространстве Скорохода, теория контигуальных мер, метод отношения правдоподобий, неравенства Прохорова и Фука-Нагаева, а также специальные методы теории экстремумов, такие как представление Реньи и теорема Смирнова, методы асимптотического анализа гауссовских процессов, такие как метод двойных сумм и лемма сравнения, и методы теории случайных графов.

Научная новизна.

Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Основные результаты диссертации следующие.

• Показано, что при выполнении условий типа О и О' Лидбеттера предельное распределение последовательности максимумов схемы серий зависимых случайных величин совпадает с предельным распределением последовательности максимумов схемы сопровождающих серий независимых случайных величин. Результат использован для доказательства теоремы Гнеденко для стационарных случайных полей на Ж1, для анализа экстремумов гауссовских систем и для изучения предельных распределений экстремальных характеристик случайных графов.

• Найдены условия существования экстремального и хвостового

индексов для последовательностей сумм и максимумов схемы серий зависимых случайных величин с доминирующим членом.

• Доказано отличие понятий глобального экстремального индекса и экстремального индекса вдоль направлений для стационарных случайных полей на целочисленных решетках; для этой цели исследовано предельное распределение нормированного максимума стационарного гауссовского поля на И1 при нарушении условия Бермана.

• Доказана корректность автоматической процедуры оценивания экстремального индекса стационарной последовательности на основе произвольной оценки экстремального индекса, зависящей от одного гиперпараметра.

• Найдены условия выполнения теоремы Гнеденко для диагональных и внедиагональных элементов эмпирической матрицы ковариаций стационарного субэкспоненциального случайного поля; для доказательства этого результата была получена асимптотика вероятности большого уклонения последовательности частичных сумм субэкспоненциальной стационарной последовательности.

• Найдена асимптотика вероятности высокого экстремума нестационарного гауссовского поля и эвклидовой нормы гауссовского векторного процесса без предположений о степенном характере поведения ковариационной функции и дисперсии процесса.

• Предложен первый общий метод оценивания одномерного параметра хвоста распределения, не зависящий от выполнения условий теоремы Гнеденко.

• Предложены оценки параметров сдвига и масштаба хвоста распределения из областей максимального притяжения Фреше и Гумбеля.

• Предложен первый общий метод различения широких классов хвостов распределений, не зависящий от выполнения условий теоремы Гнеденко.

• Предложены первые критерии согласия для хвостов распределений и доказана их состоятельность.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Развитые в диссертации методы могут быть применены в задачах стохастической теории экстремумов, а также в теории случайных графов. Результаты работы могут быть использованы для оценивания рисков в финансовой и страховой сфере, в задачах гидрологии и метеорологии, в задачах надежности оборудования и безопасности технических систем, для анализа телекоммуникационных систем.

Разделы диссертации могут быть использованы как материал специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности "математика".

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались автором на научных семинарах:

• Большой семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика РАН, проф. А.Н. Ширяева.

• Семинар отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А. Стеклова под руководством академика РАН, проф. A.C. Холево и академика РАН, проф. А.Н. Ширяева.

• семинар "Гауссовские случайные процессы" под руководством д.ф,-м.н., проф. В.И. Питербарга, механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова.

семинар "Статистика экстремальных значений" под руководством д.ф.-м.н., гл.п.с. Н.М. Маркович, Институт проблем управления РАН им. В.А. Трапезникова.

семинар "Управление по неполным данным" под руководством члена-корреспондента РАН, проф. А.А. Галяева, Институт проблем управления РАН им. В.А. Трапезникова.

научно-исследовательский семинар кафедры дискретной математики ФИВТ МФТИ под руководством д.ф.-м.н., проф. A.M. Райгородского.

а также на международных конференциях:

Workshop "Statistics meets Stochastics - 2", Москва, ВШЭ, Россия (910 июня 2017 г.)

International workshop on graphs, networks and their applications, Москва, МФТИ, Россия (14-16 мая 2018 г.)

4th Conference of the International Society for Nonparametric Statistics, Салерно, Италия (11-15 июня 2018 г.)

International workshop "LSA winter meeting" 2018, пос. Снегири, Московская обл., Россия (3-7 декабря 2018 г.)

4th International Conference on Stochastic Methods, Дивноморское, Краснодарский край, Россия (3-8 июня 2019 г.)

Extreme Value Analysis 2019, Загреб, Хорватия (30 июня-5 июля 2019 г.)

XXII International Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN'2019), Москва, Россия (23-27 сентября 2019 г.)

The 8th Polish Combinatorial Conference, онлайн, Польша (14-18 сентября 2020 г.)

• 5th International Conference on Stochastic Methods, онлайн, Россия (23-27 ноября 2020 г.)

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 18 печатных работах, приведенных в списке литературы под номерами [1], [6], [8], [10], [12], [29], [33]—[36], [124], [134], [149], [152], [173], [183]—[185], в рецензируемых научных изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования Web of Science и Scopus.

Личный вклад.

Некоторые работы, опубликованные автором диссертации, были написаны в соавторстве с другими учеными. Результаты этих работ, включенные в диссертацию, получены автором самостоятельно (кроме одного случая, когда результаты работы были получены при равноценном вкладе с соавтором).

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на разделы, приложения и списка литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор исследований, посвященных вопросам стохастической теории экстремумов, и результатов диссертации.

В первой главе диссертации проводится анализ экстремумов систем (последовательностей, полей и схем серий) зависимых случайных величин. В разделе 1.1 приводится краткий обзор основных теорем и понятий классической стохастической теории экстремумов. В разделе 1.2 формулируется и доказывается результат о асимптотической эквивалентности распределений максимумов зависимых случайных величин и максимумов независимых случайных величин с такими же маргинальными распределениями в схеме серий. А именно,

рассматриваются следующие вопросы: при каких условиях для всех х Е К выполнено

Р ( тах Х,,п < И - П Р (Х,,п < х) \гЕИ )

4 7 Ы]

^ 0, п ^ ж, (0.1)

где Хп = (Х^п,... ,Х^>п), d = ((п), п Е N - последовательность действительнозначных случайных векторов и [(] := {1,...,(}, и существует ли равномерная оценка для модуля разности в (0.1). Если установлен результат типа (0.1), то предельное распределение максимума случайных величин в схеме серий найти гораздо проще; так, в случае одинаковой распределенности этих величин задача сводится к применению теоремы Гнеденко. По стандартному соглашению, из Р(А) = 0 вытекает Р(В|А) = Р(В).

Теорема 1.5. Пусть х Е Аг = Аг(п) = {Хг,п > х}. Предположим,, что множества индексов = Wг(n) С [(] \ {%} % е [(], м 7 > 0 таковы, что

Р( II а

з Е^,П[г-1]

АЛ -

р( У Аз | А,

¿Е^П[г-1]

< 7

(0.2)

для всех % Е [(]. Обозначим

Д = ^ Р (изЕМ]\^гАз) Р(А,), А' = ^ ^ Р(А, П Аз).

»€ I

гЕДО з"Е[г-1]\^<

Тогда

гЕ[й]

г€!

К П А) - П Р (А,) < 7р( У Аг) + тах(Д, А').

ге [

Тем самым, достаточным условием выполнения (0.1) является стремление величин 7, А и А' к 0 при п ^ ж. Далее, в разделе 1.3 приводится результат применения теоремы 1.5 к гауссовским системам. В разделе 1.4 теорема 1.5 используется для анализа такой максимальной

характеристики случайного графа как максимальное число общих соседей к вершин в случайном графе.

В разделе 1.5 получены условия существования хвостового и экстремального индексов последовательностей взвешенных сумм и максимумов схемы серий зависимых регулярно меняющихся случайных величин в случае наличия доминирующего члена; установлено, что хвостовые и экстремальные индексы этих последовательностей совпадают и равны хвостовому и экстремальному индексу доминирующей последовательности. Итак, пусть (Уп^, п,г > 1) - схема бесконечных серий зависимых случайных величин. Будем предполагать, что для каждого г > 1 последовательность {Уп^,п > 1) является стационарной (в узком смысле) и имеет экстремальный индекс $1, то есть для любого т > 0 существует такая последовательность уровней (и^(т), п > 1), что выполнено

пР(Уц > иЦ)(т)) ^ т, Р(Мп,г < и«(т)) ^ в-в*т

при п ^ то, где Мп,г = шах^-=1,...,п Уц- Пусть также для каждого г > 1 последовательность (Уп^,п > 1) имеет регулярно меняющееся маргинальное распределение

Р(Уп,г > х) х ¿¿(х)

с хвостовым индексом к > 0 и медленно меняющейся на бесконечности функцией ¿i (х), пишем Уп'1 ~ К^к - Предположим выполнение условия

¿¿(ж) < Ах6, х>хо(А, 5) (0.3)

для всех г > 1 и некоторых А, 5 > 0. Выберем

1п = [пх], X > 0 (0.4)

и определим к := т£2<%<1п ki. Рассмотрим последовательности

взвешенных сумм и максимумов схемы серий {Уп^,п,г > 1)

где > 1) - ограниченная последовательность неотрицательных

чисел. Следующая теорема является обобщением теоремы 1 из работы A.A. Голдаевой [5].

Теорема 1.12. Предположим, что выполнено к1 < к, (0.3) и х < Хо, где

Хо = к^. (°'5)

Тогда последовательности (УП(^,/п), п > 1) и (УП*(^,/п), п > 1) имеют одинаковый хвост,овой индекс к (г) = к1 и одинаковый экстремальный индекс =

Заметим, что теорема 1.12 выполнена для любой последовательности натуральных чисел (/п, п > 1), удовлетворяющей условию /п < [пх]. Далее в разделе 1.5 рассматриваются экстремальные свойства последовательностей (Уп(г,Жп), п > 1) и (Уп*(г, Жп), п > 1), где (Жп,п > 1) - последовательность случайных величин, принимающих натуральные значения. Предположим также, что все величины в этой последовательности - регулярно меняющиеся с хвостовым индексом а > 0, а именно, для всех п > 1 выполнено Р(^п > х) = х-а£п(х) для некоторой последовательности медленно меняющихся на бесконечности функций (£п(х), п > 1). Каких-либо условий на форму зависимости между (Жп,п > 1) и (Уи>г,п,% > 1) не налагается. Определим для у > 0 последовательность уровней мп = мп(у), п > 1, где мп(у) = упк1 ^(п) и ^1(п) - обратная то де Б руину [57] ф ункция к £1(п).

Теорема 1.14. Предположим, что множества функций (£п(х), п > 1) ■м (£п(х), п > 1) удовлетворяют условию (0.3)7 к1 < к и

Р(Жп > /п) = о(Р(^п>1 > Мп)), п ^ ж

для последовательности (/п, п > 1), удовлетворяющей (0.4) и (0.5). Тогда, последовательности (УЦг, Жп), п > 1) и (^(г,^), п > 1) имеют одинаковый хвост,овой, индекс к(г) = к1 и одинаковый экстремальный индекс ) =

В разделе 1.6 обсуждаются понятия глобального экстремального индекса и экстремального индекса вдоль направления для случайных полей на Zd, формулируются необходимые и достаточные условия их существования и приводится пример гауссовского стационарного поля на Z2, вдоль некоторых направлений которого существует экстремальный индекс, но которое не имеет глобального экстремального индекса, что доказывает различие этих понятий. Итак, пусть (Xn, n £ Zd) _ стацИОнарное (в узком смысле) случайное поле размерности d с маргинальной функцией распределения F и частичными максимумами, определяемыми для j, n £ Zd формулой

Mj n = max Xk, если j < n,

k:j<k<n

и Mj n = —то, если j ^ n. Здесь j < n означает, что все координаты вектора j те больше соответствующих координат вектора n. Для удобства будем писать Mn := M1n. Скажем, что стационарное случайное поле (Xn, n £ Zd) имеет экстремальный индекс в £ [0,1], если для любого т > 0 существует такая последовательность уровней (un(r), n > 1), что выполнено

n*F(un*(т)) ^ т, P(Mn < Un*(т)) ^ e—вт (0.6)

при n ^ то покоординатно, где n* = ni • n2 • ... • nd, есл и n = (ni, n2,..., nd). Заметим, что свойство (1.68) выполнено вне зависимости

n

кривую в Nd как отображение ^(n) : N ^ Nd такое, что ^(n) ^ то при n ^ то, ^(n) < -0(n + 1), но ^(n) = ^(n + 1) для всех n > 1 и

^(n + 1)*

, . .--> 1, n ^ то,

^(n)*

и скажем, что у стационарного случайного поля (Xn, n £ Zd) есть экстремальный индекс в по направлению если последовательность (X^(n), n > 1) имеет экстремальный индекс в.

Введем строго монотонное поле уровней (vn, n £ Nd) как отображение v^) : Nd ^ R такое, что vm < vn, если m* < n*.

Будем говорить, что стационарное случайное поле (Хп, п Е Ъ3) обладает свойством Б^((^(п))), если для некоторого Т > 0 и некоторой монотонной кривой ф выполнено

тах

р(1)+р(2)<Т^(п)

Р(Мр(1)+р(2) < ^^(п)) - П Р(М(Р1(г1)>...,Рй(г^)) < ^^(п))

1Е{1>2}^

при п ^ ж, где компоненты векторов р(1), р(2) - неотрицательные целые числа. В следующей теореме установлены необходимые и достаточные условия существования двух описанных типов экстремальных индексов у стационарного случайного поля на Ъ3.

Теорема 1.15. (А. ,]акиЪои)зЫ, N. 8о]а-КиЫе1а,[124]) Пусть (Хп, п Е

Ъ3) - стационарное случайное поле.

(г) Поле (Хп) имеет глобальный экстремальный индекс в Е (0,1] тогда и только тогда, когда существуют такие 71,72 Е (0,1) и строго монотонное поле уровней (г>п, п Е что

* 1п 71

Р(Мп < vn) ^ 71, Р(^п)п ^ у2 п'Ри п ^ ж, --= в

1п 72

и для всех монотонных кривых ф и всех Т > 0 вы,полнено свойство Бт ((^(п))).

(И) Поле (Хп) имеет экстремальный индекс в Е (0,1] по направлению ф тогда и только тогда, когда существуют такие 71,72 Е (0,1) и неубывающая, последовательность уровней (г>^(п), п > 1), что

Р(Мкп) < ^^(п)) ^ 71, Р(^(п/(п)* ^ 72 при п ^ ж, = в

п

и для всех Т > 0 вы/полнено свой,ство Б^((^(п))).

Далее в разделе 1.6 доказывается, что стационарное гауссовское случайное поле (Х(г>3), ) Е Ъ2) с пулевым средним, единичной дисперсией и ковариационной функцией гг>з = ЕХ(0>0)Х(г>3), где для некоторой константы С > 0

= С 1п1п |%| 1

Гг>з = С Ш1%г ня 18

для достаточно больших по модулю г, 3, имеет экстремальный индекс, равный 1, вдоль диагонального направления ^(п) = (п,п), но не имеет экстремального индекса вдоль направления ^(п) = ([п/ 1п п], [1п п]). Это означает, что у данного поля нет глобального экстремального индекса и что две упомянутых разновидности экстремального индекса различаются.

В разделе 1.7 изучаются предельные свойства статистики ¡х>2-критерия, построенной по максимальным членам вариационного ряда межкластерных расстояний, для процедуры оптимального выбора гиперпараметра оценки экстремального индекса стационарной последовательности. Итак, пусть (Х^, г > 1) - стационарная (в узком смысле) последовательность с маргинальной функцией распределения Г и экстремальным индексом 0. Пусть количество превышений последовательностью (Х^)^ уровня и равно Ь = Ь(и) и Sj(и) - это индекс з'-го превышения, то есть,

Sj(и) = шт{к > 57--1(и) : Хк > и}, 3 = 1,..., Ь, где $э(и) = 0. Определим межкластерные расстояния как

Yj(и) = (Ь(и)/п) • (Яж(и) - Sj(и)), з = 1,..., Ь - 1,

Ь

Известно, что при некоторых условиях [93] выполнено

Р(У1(ип) > х) ^ #б-0х =: 1 - Го(х)

для некоторой последовательности уровней (ип, п > 1). Далее пишем ^ вместо У^(ип), 1 < г < Ь. Рассмотрим модификацию статистики ¡х>2-критерия Крамера-фон Мизеса-Смирнова, построенную по максимальным порядковым статистикам последовательности (У^ 1 < г < Ь),

к-1 /Го(У(ь-г)) - Го(У(ь-к)) к - г - 0.5 \2 1 ^(0) = Ы -1 (Ут .Л---к- +

¿=0

V 1 - Го(У(ь_к)) к ) 12к

и

экстремального индекса состоит в том, чтобы найти решения и1,..., и/ уравнения невязки

£2&(и)) = £,

где 0п(и) - некоторая оценка экстремального индекса и £ - мода или высокая квантиль) распределения А1, предельного распределения

2

статистики классического ^-критерия в случае верности нулевой гипотезы, и положить 0п = у Хл=1 0п(и») в качестве окончательной оценки. Корректность такого выбора £ подтверждает следующая теорема.

Теорема 1.21. Пусть выполнены условия теоремы 1 из работы [98]. Предположим, что оценка экстремального индекса вп = 0п(ип) такова, что

^шП(?п _ 0) — (, п — то,

где ( имеет невырожденное распределение. Пусть последовательность (шп, п > 1) такова, что к/шп = о(1) м (1пЬ)2/шп = о(1) при п — то. Тогда

Ш) — С ~ А1, п — то.

Для некоторых оценок экстремального индекса, например, интервальной оценки и оценки методом К^арй, в качестве шп можно Ь.

еще одной модификации ¡х>2-статистики в случае нарушения условия к/Ь = о(1), а именно, показано, что случае к/Ь — с £ (0,1) при п — то это распределение будет зависеть от значения 0.

В разделе 1.9, последнем разделе главы 1, рассматривается задача поиска асимптотики распределения максимума диагональных и внедиагональных элементов эмпирической матрицы ковариаций стационарного ш-зависимого случайного поля. Итак, рассмотрим случайное действительно-значное поле (Х^, г,£ £ Ъ). Предположим, что "строки" (Х^, £ £ Ъ), г = 1,2,..., являются независимыми

одинаково распределенными, каждая из которых является т-зависимой стационарной последовательностью. Рассмотрим матрицу X = (Х^, г = 1,...,р; £ = 1,...,п). Ее эмпирическая матрица ковариаций определяется как

XXT - XiiXji). . , (Sjjn))i,j=i,...^ .

/г,7=1.....p 7

4=1 г>^=1>...>Р

Предположим, чтор = рп — ж Далее под Х подразумеваем случайную величину с функцией распределения Р, а также будем обозначать последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения Р через (Х^).

Лемма 1.24. Пусть выполнены следующие условия:

(г) Х Е БУа для некоторого а > 4, в частности, это означает, что существует такая последовательность (сп), что п Р(Х2 > сп) — 1 и с-1 тах^=1>...>п Х2 -— У, где У распределено по максимально-устойчивому закону Фреше с параметром а/2.

^ Выполнены соотношения:

Р(^1п) - п ЕХ2 > Спрх) - п Р(Х2 > Спрх) , х > 0 ,

Р(|^|п) - п (ЕХ)2| > Спрх) < сп Р(|Х1Х2| > Спрх) = о(р-2), х > 0.

Тогда верны, следующие предельные соотношения:

c"1 max |Sj - n (EX)2| — 0 ,

np i<i<j<p j c-p1 -max (s(n) - n EX2) — Y

Раздел 1.9 также содержит результат, аналогичный лемме 1.24, в случае если X имеет субэкспоненциальное распределение, принадлежащее области максимального притяжения Гумбеля. В конце раздела 1.9 доказан результат о больших уклонениях частичных сумм ш-зависимой стационарной последовательности, который дает

достаточные условия выполнения предельных соотношений из пункта (и) леммы 1.24.

Вторая глава диссертации посвящена результатам автора в теории асимптотического анализа гауссовских случайных процессов. А именно, результаты касаются асимптотик вероятностей больших уклонений нестационарных гауссовских процессов, гауссовских полей и процессов бесселевского типа.

В разделе 2.1 после краткого обзора литературы приводится результат об асимптотике вероятности высокого экстремума нестационарного гауссовского процесса на действительной прямой в так называемом "почти стационарном" случае, [11]. Итак, пусть X(t), t E [—S, S], - гауссовский случайный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией r(s,t), обозначим a2(t) = r(t,t). В разделе 2.1, как и в остальных разделах этой главы, нас будет интересовать асимптотическое поведение вероятности

P(S; u) := P(maxX(t) > u). (0.7)

tES

при u ^ ж. Выберем S = [—S, S] для некоторого S > 0. Наложим следующие условия на процесс:

AI Случайный процесс X(t) непрерывен почти наверное.

А2 Абсолютный максимум функции a(t) на отрезке [—S, S] достигается в единственной точке t = 0, причем а(0) = 1. Кроме того, существуют пределы (конечные или бесконечные)

г 1 - ^2(t) гп 1 1 • 1 - ^2(t) rn п

lim -E [0, ж] и lim -E [0, ж].

t+0,40 1 - Г (s, t) tt0,st0 1 - r(s,t)

0,

предположим, что существуют такие константы c > 0 и K < ж, что для всех x E [0, c] уравнение 1 - ^2(t) = x имеет не более, чем K

A3 Обозначим p(s,t) := r(s,t)/a(s)a(t). Тогда существует такая ковариационная функция p(t) стационарного процесса, что

выполнено

lim 1 - = 1.

—>0 1 - p(t - s)

A4 Для функции p из предыдущего условия найдутся положительные функции q(u) и h(t) такие, что для всех t = 0 существует предел

lim u2(1 - p(q(u)t)) = h(t),

M—TO

причем для некоторого £ > 0 это соотношение выполнено равномерно па отрезке t £ [-£, г].

Легко видеть, что из условий А2 и A4 следует, что существует предел

lim u2(1 - a2(q(u)t)) = hi(t) £ [0, то].

M—TO

Обозначим

Ф(м) = __ / ехр | — ж2 ) ¿ж,

( ) 4 2 У ,

хвост функции распределения стандартной нормальной случайной величины. "Почти стационарный" случай поведения процесса X(£), о котором далее пойдет речь, обобщает случай в > а в монографиях 170, 28]. Обозначим для удобства ](£) = (1 — а2(£))/2, а также

Ь+(А) := / е-А/и Ь-(А) := / е-А/А > 0. (0.8)

Асимптотическое поведение этих интегралов при А — то не зависит от выбора 5 > 0 в силу условий на 0"(£). Следующая теорема получена в работе [11].

Теорема 2.1 (S.G. Kobelkov, V.l. Piterbarg). Пусть выполнены условия AI-A4. Если h1(t) =0 t £ [-S, S], rno

P([0, S], u) = H«L+ (u2) q-1(м)Ф(м)(1 + o(1))

и

P([-S, S],u) = Ha (L+ (u2) + L-(u2)) q-1(u)^(u)(1 + o(1))

npw u — то, где Ha - константа Питербарга, см. определение в монографии [28].

5

0

Основным результатом раздела 2.2 является обобщение результата теоремы на нестационарные гауссовские поля, однако на случайное поле накладываются несколько другие условия. Итак, пусть Sc

0,

X(t), t E S, - почти наверное непрерывное гауссовское поле с пулевой функцией среднего и ковариационной функцией R(s, t) = EX(s)X(t), снова обозначим через £2(t) = R(t, t) функцию дисперсии данного процесса. Целью раздела 2.2 является изучение вероятности (0.7) при u — ж для гауссовского поля X (t) в почти стационарном случае. Наложим условия на этот процесс, большинство из которых является естественным продолжением условий AI-A4.

X(t)

существует £ > 0 такое, что интеграл Дадли [28], [82] стандартизированного поля X(t) = X(t)/E(t) по множеству Be = {t : |t| < £} конечен.

В2 Абсолютный максимум функции £(t) на множестве S достигается в единственной точке t = 0, причем S(0) = 1.

ВЗ Существует такая ковариационная функция Y(t) однородного случайного поля, Y(t) < 1 для t = 0, что выполнено

lim 1 -Д<8' t> =1.

s,t—0,s=t 1 - Y(t - s)

B4 Существует базис в Rd, векторная функция q(u) = (qi(u),..., qd(u)), u > 0, с положительными компонентами и положительная для всех t = 0 функция h(t) такие, что для всех t, записанных в этих координатах, будет выполнено

lim u2(1 - Y(q(u)t)) = h(t)

и—^ж

равномерно по t на любом замкнутом множестве, где под q(u)t имеется в виду вектор (q1(u)t1,..., qd(u)td).

В5 Для всех 1 существует функция ^(1) £ [0, то] такая, что выполнено предельное соотношение

lim u2(1 - S2(q(u)t)) = hi(t).

u—У 00

Более того, если h1(e) = 0 для всex e G Sd 1, где Sd 1 - единичная сфера в Rd, то

lim u2(S2(s) - S2(s + q(u)t)) = 0

U—TO

равномерно по s G Be и t на произвольном замкнутом множестве. Определим

L(A) = / e-A(1-s2(t))/2dt, Л > о. Тогда будет верен следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия В1-В5. Если к тому же h1 (t) = 0 для вс ex t, то

d

P(S,u) = (1 + o(1))HqL(u2) ^ q-1(u)^(u)

¿=1

при, u — то, где Hq - обобщенная, константа Питербарга, см. определение в работе [188].

В разделе 2.3 получена асимптотика вероятности высокого экстремума евклидовой нормы гауссовского векторного процесса с независимыми одинаково распределенными компонентами для всех трех возможных случаев поведения функции дисперсии и ковариационной функции. Пусть X(t) := (X1(t),... , Xd(t)) G Rd, t G [0,T] - гауссовский векторный процесс, компоненты которого - независимые одинаково распределенные гауссовские процессы с нулевыми средними. Модуль этого процесса ß(t) := |Х(t)| будем называть ß-процессом. Целью раздела 2.3 является нахождение асимптотики вероятности

Р ( max ß(t) > u )

\iG[0,T ] )

при u — ж. Аналогично началу раздела 2.1, обозначим r(s,t) = EX1(t)X1(s), прочие обозначения раздела 2.1 будем использовать без изменений. Предположим, как и ранее, что функция a2(t) имеет единственный максимум на отрезке [0,T] в точке to, причем a2(t0) = 1.

(t)

A4, изменив точку максимума дисперсии с 0 па to, а вместо условия А2 наложим следующее:

А2* Для всех t существует предел

h1 (t) = lim u2(1 - a2(t0 + q(u)t)) E [0, ж].

и—ж

В граничных случаях: при t0 = 0 и t < 0 или п ри t0 = T и t > 0 -считаем, что h1(t) = ж. Более того, если h1(t) = 0 для некоторого t, то существуют c > 0 и K < ж такие, что для всех x E [0, c] количество корней уравнения 1 - a2(t) = x не превосходит K.

В этих условиях верен основной результат раздела 2.3:

Теорема 2.4. Пусть выполнены вышеприведенные условия на процесс X(t). Тогда, при, u — ж выполнены следующие соотношения:

1) Если хотя бы одно из чисел, /гх (1), (—1) равно нулю, то

Р(шахв(¿) > и) = 3^/2)1Ь(и2)^(и)-1 ф(и)(1 + °(1))' где ДА) = £+(Л) + ¿—(Л).

^ Если ^(1) = 1) = ж (здесь имеется в виду доопределение в А2* для граничной ¿0, то

Р(1тШ^ вМ > И) = 2(^— 3)/2Г(^/2) 1Ф(И)(1 + 0(1)).

^ Если хот,я, бы, одно число из чисел ^(1), 1) положительно и конечно, при, этом другое - не нуль, то

р(тахвф > и) = 2(^—з)/2Г^(0г/2)ХФ(и)(1 + о(1)) определение константы Пикандса Ра с«м. в монографии [28].

Третья глава диссертации посвящена критериям проверки гипотез о хвостах распределений по выборкам из независимых одинаково распределенных случайных величин. Общим для всех предложенных критериев является то, что они построены с использованием лишь максимальных членов вариационного ряда выборки, потому что хвост распределения оказывает влияния лишь на эти наблюдения.

Первый раздел этой главы посвящен краткому обзору литературы о проверке гипотез о хвостах распределений по последовательностям независимых одинаково распределенных случайных величин. В разделе 3.2 предлагается критерий проверки простой гипотезы о хвосте распределения из области максимального притяжения Гумбеля против сложной "левосторонней" альтернативы. Критерий снова строится на основе отношения правдоподобий; существенным ограничением этого критерия является то, что хвосты распределений из нулевой и альтернативной гипотез должны убывать быстрее, чем хвост экспоненциального распределения. "Левосторонность" альтернативы в данном случае означает, что все хвосты распределений из альтернативной гипотезы тяжелее хвоста некой функции распределения , который в свою очередь тяжелее хвоста функции распределения Го из нулевой гипотезы.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Родионов Игорь Владимирович, 2021 год

Список литературы

[1] Ахтямов П.И., Родионов И.В. Об оценке параметров сдвига и масштаба хвостов распределений. ФПМ, 23(1) (2020), 25-49.

[2] Беляев Ю.К. О числе пересечений уровня гауссовским случайным процессом. ТВП, 12(3) (1967), 444-457.

[3] Вапник В.Н., Маркович Н.М., Стефанюк А.Р. О скорости сходимости в L2 проекционной оценки плотности вероятности. АиТ, 7 (1992), 64-74.

[4] Гихман И.И. Об одном непараметрическом критерии однородности k выборок. ТВП, 2(3) (1957), 380-384.

[5] Голдаева A.A. Индексы многомерных рекуррентных стохастических последовательностей. Соврем, пробл. мат,, мех., 8(3) (2013), 42-51.

[6] Жан Р., Жуковский М.Е., Исаев М.И., Родионов И.В. Стохастическая теория экстремумов для схемы серий зависимых случайных величин. УМН. 75(5) (2020), 193-194.

[7] Жданов А.И., Питербарг В.И. Большие выбросы процессов гауссовского хаоса. Аппроксимация в дискретном времени. ТВП, 63(1) (2018), 3-28.

[8] Жуковский М.Е., Родионов И.В. Распределение максимальных k-степеней биномиального случайного графа. ДАН, 483(5) (2018), 485-487.

[9] Ивченко Г.И. Об асимптотическом поведении степеней вершин в случайном графе. ТВП, 18(1) (1973), 195-203.

[10] Кантонистова Е.О., Родионов И.В. Об аналогах классических критериев согласия для хвостов распределений. Докл. РАН. Мат. информ. проц. управл., 496(1) (2021), 44-47.

[11] Кобельков С.Г., Питербарг В.И., Родионов И.В., Хашорва Э. Вероятность высокого максимума траектории нестационарного процесса. ФПМ, 23(1) (2020), 161-174.

[12] Когут Н.С., Родионов И.В. О критериях различения хвостов распределений. ТВП, (2021), в печати, http://mi.mathnet.ru/tvp5375

[13] Лебедев A.B. Неклассические задачи стохастической теории экстремумов. Дисс. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.05. М.: МГУ, 2015.

[14] Лебедев A.B. Экстремальные индексы в схеме серий и их приложения. Информ. примен., 9(3) (2015), 39-54.

[15] Лебедев A.B. Максимумы активности в некоторых моделях информационных сетей со случайными весами и тяжелыми хвостами. ППИ, 51(1) (2015), 72-81.

[16] Маркович Н.М. Экспериментальный анализ непараметрических оценок плотности вероятности и методов их сглаживания. АиТ, 7 (1989), 110-119.

[17] Мартынов Г.В. Критерии омега-квадрат. М.: Наука, 1978.

[18] Микушева А.Е. Закон больших чисел и логарифмический закон в схеме серий. ФПМ, 6(1) (2000), 195-206.

[19] Михалева Т.Л., Питербарг В.И. О распределении максимума гауссовского поля с постоянной дисперсией на гладком многообразии. ТВП, 41(2) (1996), 438-451.

[20] Нагаев A.B. Предельные теоремы с учетом больших уклонений при нарушении условий Крамера. Изв. АН УзССР, Сер. физ.-мат. паук, 6 (1969), 17-22.

[21] Нагаев A.B. Интегральные предельные теоремы, включающие большие уклонения, когдау условие Крамера не выполнено, I, II. ТВЩ 14 (1969), 51-64, 203-215.

[22] Нагаев A.B. Об одном свойстве сумм независимых случайных величин. ТВЩ 22(2) (1977), 335-346.

[23] Нагаев C.B. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. ТВЩ 10(2) (1965), 231-254.

[24] Нагаев C.B. Письмо в редакцию. ТВП, 21(4) (1976), 896.

[25] Песенко Ю.А. Принципы и методы количественного анализа в фаунистических исследованиях. М.: Наука, 1982.

[26] Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

[27] Питербарг В.И. О работе Пикандса "Вероятности пересечения для гауссовского стационарного процесса". Вест. Моск. ун-та, Сер. 1 Мат. Мех., 5 (1972), 25-30.

[28] Питербарг В.И. Двадцать лекций о гауссовских процессах. МЦНМО Москва, 2015.

[29] Питербарг В.И., Родионов И.В. Большие выбросы процесса Бесселя и других процессов бесселевского типа. ДАН, 487(3) (2019), 238-241.

[30] Питербарг В.И., Стаматович С. Предельная теорема для а-выходов траекторий ^-процесса за высокий уровень. ТВП, 48(4) (2003), 811-818.

[31] Питербарг В.И., Фаталов В.Р. Метод Лапласа для вероятностных мер в банаховых пространствах. УМН, 50 (6) (1995), 57-150.

[32] Прохоров Ю.В. Одна экстремальная задача теории вероятностей. ТВП, 4(2) (1959), 211-214.

[33] Родионов И.В. Критерий различения хвостов распределений типа Вейбулла. ТВП, 63(2) (2018), 402-413.

[34] Родионов И.В. О различении классов хвостов распределений. ППИ, 54(2) (2018), 29-44.

[35] Родионов И.В. Различение близких гипотез о хвостах распределений по максимальным членам вариационного ряда. ТВП, 63 (3) (2018), 447-467.

[36] Родионов И.В. О параметрическом оценивании хвоста распределения. ДАН, 488(4) (2019), 356-359.

[37] Розовский Л.В. Вероятности больших уклонений на всей оси. ТВП, 38(1) (1993), 79-109.

[38] Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

[39] Фук Д.Х., Нагаев C.B. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин. ТВП, 16(4) (1971), 660-675.

[40] Чистяков В.П. Теорема о суммах независимых положительных случайных величин и ее приложения к ветвящимся случайным процессам. ТВП, 9(4) (1964), 710-718.

[41] Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1: факты, модели. М.: Фазис, 1998.

[42] Alón N., Spencer J.H., The Probabilistic Method, Third Edition, John Wiley & Sons, 2008.

[43] Ancona-Navarrete M.A., Tawn J.A. A comparison of methods for estimating the extremal index. Extremes, 3(1) (2000), 5-38.

[44] Asmussen S. Applied Probability and Queues. 2nd edn. New York: Springer, 2003.

[45] Asmussen S., Foss S. Regular variation in a fixed-point problem for single- and multi-class handling processes and queues. Branching Processes and Applied Probability. Papers in Honour of Peter Jagers. Adv. Appl. Prob., 50A (2018).

[46] Bai Z.D., Yin Y.Q. Limit of the smallest eigenvalue of a large-dimensional sample covariance matrix. Ann. Probab., 21(3) (1993), 1275-1294.

[47] Balakrishnan N., Kateri M. On the maximum likelihood estimation of parameters of Weibull distribution based on complete and censored data. Stat. Probab. Lett., 78 (2008), 2971-2975.

[48] Balkema A., de Haan L. Residual life time at great age, Ann. Probab., 2 (1974), 792-804.

[49] Barr D. M., Davidson T. A Kolmogorov-Smirnov test for censored samples. Technometrics, 15 (1973), 739-757.

[50] Basrak B., Tafro A. Extremes of moving averages and moving maxima on a regular lattice. Probab. Math. Statist., 34 (2014), 6179.

[51] Beirlant J., Broniatowski M., Teugels J.L., Vynckier, P. The mean residual life function at great age: Applications to tail estimation. J. Statist. Plann. Infer., 45 (1995), 21-48.

[52] Beirlant J., Goegebeur Y., Teugels J., Segers J. Statistics of Extremes: Theory and Applications. New York: Wiley, 2004.

[53] Berghaus B., Biicher A. Weak convergence of a pseudo maximum likelihood estimator for the extremal index. Ann. Statist., 46(5) (2018), 2307-2335.

[54] Berman S.M. Limit theorems for the maximum term in stationary sequences. Ann. Math. Statist., 35 (1964), 502-516.

[55] Berred M. Record values and the estimation of the Weibull tail-coefficient. C. R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math., 312(12) (1991), 943-946.

[56] Billingsley P. Convergence of Probability Measures, Wiley, New York, 1968.

[57] Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. Cambridge: Cambridge university press, 1987.

[58] Bojanic R., Seneta E. Slowly varying functions and asymptotic relations. J. Math. Anal. Appl, 34 (1971), 302-315.

[59] Bollobäs B. The distribution of the maximum degree of a random graph. Discrete Mathematics, 32(2) (1980), 201-203.

[60] Breiman L. On some limit theorems similar to the arc-sin law. Theor. Probab. Appl, 10 (1965), 323-331.

[61] Chen N., Litvak N., Olvera-Cravioto M. PageRank in Scale-Free Random Graphs. WAW 2014, ed. A. Bonato et al, Springer, Switzerland, Lecture Notes in Computer Science, 8882 (2014), 120131.

[62] Chernick M. R. On strong mixing and Leadbetter's D condition. J. Appl. Probab., 18 (1981), 764-769.

[63] Chernobai A., Rachev S., Fabozzi F. Composite goodness-of-fit tests for left-truncated loss samples. Handbook of Financial Econometrics and Statistics (2005), 575-596.

[64] Choi H. Central Limit Theory and Extremes of Random Fields. PhD dissertation (2002)

[65] Cline D.B.H., Hsing T. Large deviation probabilities for sums of random variables with heavy or subexponential tails. Technical Report, Texas A& M University, 1998.

[66] Coles S. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, 2001.

[67] Cramer H. On the intersections between the trajectories of a normal stationary stochastic process and a high level. Ark. Mat. 6 (1965), 1656-1663.

[68] D'Agostino R.B., Stephens M.A. Goodness of Fit Techniques, New York: Marcel Dekker, 1986.

[69] Danielsson J., Jansen D.W., de Vries C.G. The method of moments ratio estimator for the tail shape parameter. Commun. Stat. Theory, 25 (1986), 711-720.

[70] Darling D.A. The Cramer-Smirnov test in the parametric case. Ann. Math. Statist., 26 (1955), 1-20.

[71] Davis R.A., Heiny J., Mikosch T., Xie X. Extreme value analysis for the sample autocovariance matrices of heavy-tailed multivariate time series. Extremes, 19(3) (2016), 517-547.

[72] Davis R.A., Mikosch T., Pfaffel O. Asymptotic theory for the sample covariance matrix of a heavy-tailed multivariate time series. Stoch. Proc. Appl., 126(3) (2016), 767-799.

[73] D§bicki K., Hashorva E., Liu P. Extremes of Gaussian random fields with regularly varying dependence structure. Extremes, 20 (2017), 333-392.

[74] Dekkers A.L.M., Einmahl J.H.J., de Haan L. A moment estimator for the index of an extreme-value distribution. Ann. Statist. 17 (1989), 1833-1855.

[75] Dekkers A.L.M., de Haan L. On the estimation of the extreme-value index and large quantile estimation. Ann. Statist., 17 (1989), 17951832.

[76] Denisov D., Dieker A.B., Shneer V. Large deviations for random walks under subexponentiality: the big-jump domain. Ann. Probab., 36 (2008), 1946-1991.

[77] Diebolt J., Gardes L., Girard S., Guillou A. Bias-reduced estimators of the Weibull tail-coefficient. TEST, 17(2) (2008), 311-331.

[78] Dmitrovsky V.A. On the integrability of the maximum and the local properties of Gaussian fields. In: Grigelionis, B., Prohorov, Yu.V., Sazonov, V.V., Statulevicius, V. (eds.) Probability Theory and Mathematical Statistics, vol. /, Mokslas, Vilnius (1990), 271-284.

[79] Doukhan P., Jakubowski A., Lang G. Phantom distribution functions for some stationary sequences. Extremes, 18 (2015), 697725.

[80] Drees H., Ferreira A., de Haan L. On maximum likelihood estimation of the extreme value index. Ann. Appl. Probab., 14 (2003), 1179-1201.

[81] Dubickas A. An estimate for the probability of dependent events. Statistics & Probability Letters, 78(17) (2008), 2839-2843.

[82] Dudley R.M. The sizes of compact subsets of Hilbert space and continuity of Gaussian processes. J. Fund. Anal. 1 (1967), 290-330.

[83] Durbin J. Weak convergence of the sample distribution function when parameters are estimated. Ann. Statist., 1 (1973), 279-290.

[84] Embrechts P., Goldie C.M. On closure and factorization theorems for subexponential and related distributions. J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 29 (1980), 243-256.

[85] Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T. Modelling extremal events for insurance and finance. Springer, Berlin, 1997.

[86] Engelke S., Hitz A.S. Graphical models for extremes. J. R. Stat. Soc. Ser. B, 82(4) (2020), 871-932.

[87] Estrella A. Critical values and p values of Bessel process distributions: computation and an application to structural break tests. Econometric Theory, 19(6) (2003), 1128-1143.

[88] Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Volume II. Second Edition. Wiley, New York, 1971.

[89] Ferreira A., Haan L. de. Extreme value theory. An introduction. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. N. Y.: Springer, 2006.

[90] Ferreira H., Pereira L. How to compute the extremal index of stationary random fields. Statist. Probab. Lett., 78 (2008), 13011304.

[91] Ferreira M. Analysis of estimation methods for the extremal index. J. Appl. Stat. Anal., 11(1) (2018), 296-306.

[92] Ferreira M. Heuristic tools for the estimation of the extremal index: a comparison of methods. REVS TAT Stat. J., 16(1) (2018), 115-136.

[93] Ferro C.A.T., Segers J. Inference for Clusters of Extreme Values. J. R. Stat. Soc. Ser. B., 65 (2003), 545-556.

[94] Fisher R.A., Tippet L.H.C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample. Proc. Cambridge Phil. Soc., 24 (1928), 180-190.

[95] Foss S., Korshunov D., Zachary S. An Introduction to Heavy-tailed and Subexponential Distributions. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering, 2nd edn, New York: Springer, 2013.

[96] Fraga Alves I., de Haan L., Neves C. A Test Procedure for Detecting Super-Heavy Tails. J. Statist. Plann. Infer., 139(2)(2009), 213-227.

[97] Fukutome S., Liniger M.A., Sùveges M. Automatic threshold and run parameter selection: a climatology for extreme hourly precipitation in Switzerland. Theor. Appl. Cïimatoï., 120 (2015), 403-416.

[98] Galambos J. On the distribution of the maximum of random variables. Ann. Math. Statist., 43(2) (1972), 516-521.

[99] Galambos J. Variants of the graph dependent model in extreme value theory. Comm. Statist. Theor. Meth., 17(7) (1988), 2211-2221.

[100] Gardes L., Girard S., Guillou A. Weibull tail-distributions revisited: a new look at some tail estimators. J. Statist. Plann. Infer., 141(1) (2011), 429-444.

[101] Girard S. The Hill-type of the Weibull tail-coefficient. Comm. Stat. Theor. Meth., 33(2) (2004), 205-234.

[102] Gnedenko B.V. Sur la distribution limite du terme maximum d'une série aléatoire. Ann. Math., 44 (1943), 423-453.

[103] Goegebeur J., Guillou A. Goodness-of-fît testing for Weibull-type behavior. J. Statist. Plann. Infer., 140(6) (2010), 1417-1436.

[104] Going-Jaeschke A., Yor M. A survey and some generalizations of Bessel processes. Bernoulli, 9(2) (2003), 313-349.

[105] Goldaeva A.A., Lebedev A.V. On extremal indices greater than one for a scheme of series. Lith. Math. J. 58(4) (2018), 384-398.

[106] Gomes M.I., Guillou A. Extreme Value Theory and Statistics of Univariate Extremes: A Review. Int. Stat. Rev., 83(2) (2015), 263292.

[107] Gumbel E.J. Statistics of Extremes. Columbia University Press, New York, 1958.

[108] de Haan L., Resnick S. Second-order regular variation and rates of convergence in extreme value theory. Ann. Probab., 24(1) (1996), 97-124.

[109] de Haan L., Peng L. Comparison of tail index estimators. Stat. Need., 52 (1998), 60-70.

[110] Hall P. On some simple estimates of an exponent of regular variation. Journal of the Royal Statistical Society, B44(1982), 37-42.

[111] Harris T.E. A lower bound for the critical probability in a certain percolation process. Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 56 (1960), 1320.

[112] Hashorva E., Ji L. Piterbarg theorems for chi-processes with trend. Extremes, 18(1) (2015), 37-64.

[113] Heiny J., Mikosch T. Eigenvalues and eigenvectors of heavy-tailed sample covariance matrices with general growth rates: The i.i.d. case. Stock Proc. Appl, 127 (7) (2017), 2179-2207.

[114] Heiny J. Random Matrix Theory for Heavy-Tailed Time Series. J. Math. Sci., 237 (2019), 652-666.

[115] Hill B.M. A simple general approach to inference about the tail of a distribution. Ann. Statist., 3 (1975), 1163-1174.

[116] Hsing T. On tail index estimation using dependent data. Ann. Statist., 19 (1991), 1547-1569.

[117] Hsing T. Extremal index estimation for a weakly dependent stationary sequence. Ann. Statist., 21(4)(1993), 2043-2071.

[118] Hult H., Lindskog F.. Mikosch T., Samorodnitsky G. Functional large deviations for multivariate regularly varying random walks. Ann. A'ppl. Probab. 15 (2005), 2651-2680.

[119] Hiisler J. Asymptotic approximation of crossing probabilities of random sequences. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 63(2) (1983), 257270.

[120] Hiisler J. Extreme values of non-stationary random sequences. J. Appl. Probab., 23(4) (1986), 937-950.

[121] Hiisler J., Peng L. Review of testing issues in extremes: in honor of Professor Laurens de Haan. Extremes, 11 (2008), 99-111.

[122] Jackson O.A.Y. An analysis of departures from the exponential distribution. J. R. Stat. Soc. Ser. B., 29 (1967), 540-549.

[123] Jakubowski A., Soja-Kukiela N. Managing local dependencies in asymptotic theory for maxima of stationary random fields. Extremes, 22 (2019), 293-315.

[124] Jakubowski A., Rodionov I., Soja-Kukiela N. Directional phantom distribution functions for stationary random fields. Bernoulli, 27(2) (2021), 1028-1056.

[125] Janson S., Luczak T., Rucinski A. Random graphs. Wiley, 2000.

[126] Jelenkovic P.R., Olvera-Cravioto M. Information ranking and power laws on trees. Adv. Appl. Probab., 42(4) (2010), 1057-1093.

[127] Jelenkovic P.R., Olvera-Cravioto M. Maximums on trees. Stock. Proc. Appl, 125 (2015), 217-232.

[128] Jessen A.H., Mikosch T. Regularly varying functions. Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 80 (2006), 171-192.

[129] Johnstone I.M. On the distribution of the largest eigenvalue in principal components analysis. Ann. Statist., 29(2) (2001), 295-327.

[130] Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On tests of normality and other tests of goodness of fit based on distance methods. Ann. Math. Statist., 26 (1955), 189-211.

[131] Kiefer J. K-sample analogues of the Kolmogorov-Smirnov and Cramér-v. Mises tests. Ann. Math. Statist., 30 (1959), 420-447.

[132] Kleitman D.J. Families of non-disjoint subsets. J. Comb. Theory, 1(1) (1966), 153-155.

[133] Kobelkov S.G., Piterbarg V.I. On maximum of Gaussian random field having unique maximum point of its variance. Extremes, 22 (2019), 413-432.

[134] Kobelkov S.G., Piterbarg V.I., Rodionov I.V. Correction to: On maximum of gaussian random fields having unique maximum point of its variance. Extremes, 24(1) (2021), 85-90.

[135] Lawler G. F. Notes on the Bessel process. Chicago University ed., 2018. http://www. math.uchicago. edu/~lawler/bessell8new.pdf

[136] Leadbetter M.R.. On extreme values in stationary sequences. Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 28 (1974), 289-303.

[137] Leadbetter M.R, Lindgren G., Rootzen H. Extremes and related properties of random sequences and processes. Springer Statistics Series. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1983.

[138] Lee J., Olvera-Cravioto M. PageRank on inhomogeneous random digraphs. Stock Proc. Appl, 130(4) (2020), 2312-2348.

[139] Lewis P.A.W. Some results on tests for Poisson processes. Biometrika, 52 (1965), 67-77.

[140] Lin C.-T., Huang Y.-L., Balakrishnan N. A New Method for Goodness-of-Fit Testing Based on Type-II Right Censored Samples. IEEE Trans. Rehab., 57(4) (2008), 633-642.

[141] Liu P., Ji L. Extremes of locally stationary chi-square processes with trend. Stock Proc. Appl., 127(2) (2017), 497-525.

[142] Loynes R.M.. Extreme values in uniformly mixing stationary stochastic processes. Ann. Math. Statist., 36 (1965), 993^999.

[143] Mann N.R., Scheuer E.M., Fertig K.W. A new goodness-of-fit test for the two-parameter Weibull or extreme-value distribution with unknown parameters. Comm. Statist. 2, 383-400 (1973)

[144] Markovich N.M. Nonparametric Analysis of Univariate Heavy-Tailed, data: Research and Practice, Wiley, 2007.

[145] Markovich N.M. Modeling clusters of extreme values. Extremes, 17(1) (2014), 97-125.

[146] Markovich N.M. Nonparametric estimation of extremal index using discrepancy method. In: Proceedings of the X International conference "System identification and control problems" SICPRO-2015 Moscow January 26-29, V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences. (2015), 160-168.

[147] Markovich N.M. Erratum to: modeling clusters of extreme values. Extremes. Extremes, 19(1) (2016), 139-142.

[148] Markovich N.M.: Clusters of extremes: modeling and examples. Extremes, 20 (2017), 519-538.

[149] Markovich N.M., Rodionov I.V. Maxima and sums of non-stationary random length sequences. Extremes, 23 (2020), 451-464.

[150] Markovich N.M., Rodionov I.V. Threshold selection for extremal index estimation. Scand. J. Stat. (2021), arxiv:2009.02318.

[151] Michael J.R., Schucany W.R. A new approach to testing goodness of fit for censored samples. Technometrics, 21 (1979), 435-441.

[152] Mikosch T., Rodionov I. Precise large deviations for dependent subexponential variables. Bernoulli, 27(2) (2021), 1319-1347.

[153] Mikosch T., Samorodnitsky G. The supremum of a negative drift random walk with dependent heavy-tailed steps. Ann. Appl. Probab., 10 (2000), 1025-1064.

[154] Mikosch T., Wintenberger O. Precise large deviations for dependent regularly varying sequences. Probab. Th. Rel. Fields. 156 (2013), 851-887.

[155] Mikosch T., Wintenberger O. A large deviations approach to limit theory for heavy-tailed time series. Probab. Th. Rel. Fields. 166 (2016), 233-269.

[156] Mittal Y., Ylvisaker D. Limit distributions for the maxima of stationary Gaussian processes. Stock. Proc. Appl. 3 (1975), 1-18.

[157] Nadarajah S., Mitov K. Asymptotics of maxima of discrete random variables. Extremes, 5(3) (2002), 287-294.

[158] Nagaev S. V. Large deviations of sums of independent random variables. Ann. Probab., 7 (1979), 745-789.

[159] Northrop P.J. An efficient semiparametric maxima estimator of the extremal index. Extremes, 18(4) (2015), 585-603.

[160] O'Brien G. Extreme values for stationary and Markov sequences. Ann. Probab. 15 (1987), 281-291

[161] Olvera-Cravioto M. Asymptotics for weighted random sums. Adv. Appl. Prob., 44(4) (2012), 1142-1172.

[162] Paulauskas V., Vaiciulis M. On the improvement of Hill and some others estimators. Lith. Math. J., 53 (2013), 336-355.

[163] Pereira L. On the extremal behavior of a nonstationary normal random field. J. Stat. Plan. Infer., 140 (2010), 3567-3576.

[164] Pereira L., Ferreira H. Limiting crossing probabilities of random fields. J. Appl. Prohah., 3 (2006), 884-891.

[165] Petrov V.V. Limit Theorems of Probability Theory. Oxford: Oxford University Press, 1995.

[166] Pettitt A.N., Stephens M.A. Modified Cramer-von Mises statistics for censored data, Biometrika, 63 (1976), 291-298.

[167] Pickands J. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes. Trans. Amer. Math. Soc., 145 (1969), 51-73.

[168] Pickands J. Statistical inference using extreme order statistics, Ann. Stat., 3 (1975), 119-131.

[169] Piterbarg V.l. High excursion for non-stationary generalized chi-square processes. Stoch. Proc. Appl., 53(2) (1994), 307-337.

[170] Piterbarg V.l. Asymptotic Methods in the Theory of Gaussian Processes and Fields. American Mathematical Society [Providence, R.I., etc.], United States, 2012.

[171] Piterbarg V.l. High extrema of Gaussian chaos processes. Extremes, 19(2) (2016), 253-272.

[172] Piterbarg V.l., Prisyazhnyuk V.P. Asymptotics of the probability of large excursions for a nonstationary gaussian process. Theor. Probab. Math. Statist., 18 (1979), 131-144.

[173] Piterbarg V.l., Rodionov I.V. High excursions of Bessel and related random processes. Stoch. Proc. Appl., 130 (2020), 4859-4872.

[174] Pitman J., Yor M. The law of the maximum of a Bessel bridge. Electron. J. Probab., 4 (1999), 15.

[175] Resnick S.I. Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes. New York: Springer, 1987.

[176] Revuz D., Yor M. Continuous Martingales and Brownian Motion, 2nd ed., Springer Verlag, 1994.

[177] Rhee C. H., Blanchet J., Zwart B. Sample path large deviations for Levy processes and random walks with regularly varying increments. Ann. Probab., 47 (2019), 3551-3605.

[178] Robert C.Y. Asymptotic distributions for the intervals estimators of the extremal index and the cluster-size probabilities. J. Stat. Plann. Infer., 139 (2009), 3288-3309.

[179] Robert C.Y. Inference for the limiting cluster size distribution of extreme values. Ann. Statist., 37 (2009), 271-310.

[180] Robert C.Y., Segers J. Tails of random sums of a heavy-tailed number of light-tailed terms. Insur. Math. Econ., 43 (2008), 85-92.

[181] Robert C.Y., Segers J., Ferro C.A.T. A sliding blocks estimator for the extremal index. Electr. J. Statist., 3 (2009), 993-1020.

[182] Robert C.Y. Automatic declustering of rare events. Biometrika, 100 (2013), 587-606.

[183] Rodionov I.V. On Estimation of Weibull-Tail and Log-Weibull-tail Distributions for Modeling End-to-end Delay / / In: Distributed Computer and Communication Networks. DCCN 2019. Communications in Computer and Information Science, 1141 (2019), 302-314.

[184] Rodionov I.V. On parametric estimation of distribution tails. In: Proceedings of J^th ISNPS, Salerno, Italy, 2018. Springer International Publishing Switzerland, Michele La Rocca, Brunero Liseo, Luigi Salmaso, (Eds.) Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 339 (2020), 445-455.

[185] Rodionov I.V. On threshold selection problem for extremal index estimation. In: Proceedings of 5th ICSM, Moscow, Russia, 2020. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, (2021).

[186] Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J. Stochastic Processes for Insurance and Finance. New York: Wiley, 1999.

[187] Smith R. Maximum likelihood estimation in a class of nonregular cases. Biometrika 72 (1985), 67-90.

[188] Smith R.L. Estimating tails of probability distributions. Ann. Stat., 15(3) (1987), 1174-1207.

[189] Suen W.C.S. A correlation inequality and a Poisson limit theorem for nonoverlapping balanced subgraphs of a random graph. Rand. Struct. Alg., 1(2) (1990), 231-242.

[190] Siiveges M., Davison A.C. Model misspecification in peaks over threshold analysis. Ann. Appl. Stat., 4(1) (2010), 203-221.

[191] Szegedy M. The Lovasz local lemma - a survey. Computer Science - Theory and Applications, 11-23 (2013).

[192] Tikhomirov K. The limit of the smallest singular value of random matrices with i.i.d. entries. Adv. Math., 284 (2015), 1-20.

[193] Tillier C., Wintenberger O. Maxima and exceedances of stationary Markov chains. Extremes, 21 (2018), 27-56.

[194] Turkman K.F. A note on the extremal index for space-time processes. J. Appl. Prob., 43 (2006), 114-126.

[195] Voinov V., Nikulin M., Balakrishnan N. Chi-squared Goodness-of-Fit Tests with Applications, Boston: Academic Press, 2013.

[196] Volkovich Y.V., Litvak N. Asymptotic analysis for personalized web search. Adv. Appl. Prob., 42(2) (2010), 577-604.

[197] Wan P., Wang T., Davis R.A., Resnick S.I. Are extreme value estimation methods useful for network data? Extremes, 23 (2020), 171-195.

[198] Watson G.S. Extreme values in samples from m-dependent stationary stochastic processes. Ann. Math. Stat., 25(4) (1954), 798800.

[199] Weissman I., Novak S.Yu. On blocks and runs estimators of the extremal index. J. Statist. Plann. Infer., 66 (1998), 281-288.

[200] Wishart J. The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population. Biometrika, (1928), 32-52.

[201] Wu L., Samorodnitsky G. Regularly varying random fields. Stoch. Proc. A'ppl, 130 (2020), 4470-4492.