Моделирование и подгонка временных рядов c тяжелыми хвостами распределений и сильной временной зависимостью посредством гауссовских рядов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Мазур Анна Евгеньевна

• Мазур Анна Евгеньевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Мазур Анна Евгеньевна

2.2 Базовые определения

2.2.1 Оценка индекса экстремального значения

2.2.2 Условие второго порядка

2.3 Построение оценки для функции f

2.4 Асимптотическая нормальность оценки f для независимых случайных величин

2.5 Асимптотическая нормальность оценки f для стационарного временного ряда

2.6 Условия асимптотической нормальности оценок в случае стационарного временного ряда и их проверка

2.6.1 Проверка условий C1, C3, D1, D2 при lim n(1 —

F (un)) = oo

2.6.2 Условия C1, C3, Dl при lim n(1 — F(un)) < то

n

2.7 Асимптотическая нормальность оценок и (к) и 7 и

выполнимость теоремы 2.15 в стационарном случае

3 Дополнение (численные результаты)

3.0.1 Асимптотическая нормальность оценки /

3.0.2 Состоятельность оценки /

3.1 Оценка ] на реальных данных

4 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и подгонка временных рядов c тяжелыми хвостами распределений и сильной временной зависимостью посредством гауссовских рядов»

Введение

Модели временных рядов с тяжелыми хвостами распределений и сильной временной зависимостью (большим радиусом корреляции) часто используются при исследовании финансовых и эконометрических данных, в задачах передачи информации [29, 12, 56, 47]. Обычно в качестве моделей применяются модели с устойчивым распределением, различные типы преобразований дробного броуновского движения [12, 47, 37]. В то же время имеются и другие хорошо изученные модели случайных временных рядов с сильной временной зависимостью. В первую очередь это гауссовские последовательности, для которых легко находится предельное распределение максимума и совместное предельное распределение нескольких порядковых статистик. Однако гауссовское распределение имеет легкий, суперэкспоненциальный, хвост, что зачастую является существенным недостатком при построении моделей для вышеупомянутых данных. Чтобы использовать все возможности хорошо развитой техники исследования гауссовских распределений, можно прибегнуть к нелинейным преобразованиям фазового пространства (пространства значений временного ряда), то есть к копулам. Например, в [11] гауссовские копулы применяются в задачах хеджирования и прогноза доходности при наличии большого числа факторов и малого числа наблюдений. Зависимость гауссовских распределений от малого числа параметров и возможность моделирования сильной зависимости играют здесь существенную роль.

Исследования и применения моделей для хвостов распределений временных рядов широко используют результаты классической теории экстремумов. В основе классической теории экстремумов лежит широко известная теорема Гнеденко-Фишера-Типпета [32], в которой дано полное описание возможных предельных распределений максимума Мп = шах(У,..., Уп), при неограниченно растущем п, здесь У\,... ,Уп -независимые одинаково распределенные случайные величины. Теорема Гнеденко утверждает [3], что если существуют последовательности ап > 0 и Ьп е К такие, что предел по распределению при п ^ то последовательности случайных величин ап(Мп — Ьп) существует и

имеет невырожденную функцию распределения (принимающую больше двух значений), то эта функция принадлежит одному из трех типов распределений экстремальных значений с точностью до линейных преобразований аргумента:

Говорят, что функция распределения ^ случайных величин принадлежит области максимального притяжения Фреше, Гумбеля или Вейбулла, если функция распределения предела нормированного максимума последовательности случайных величин, ап(Мп — Ьп), принадлежит типу Фреше, Гумбеля или Вейбулла соответственно. Существуют необходимые и достаточные условия принадлежности функции распределения какой-либо области максимального притяжения. Такие критерии описаны в классической литературе по теории экстремумов, например, [15] и [3].

В первой части настоящей работы мы рассматриваем гауссовские копульные временные ряды, маргинальные функции распределения которых принадлежат области максимального притяжения Фреше МЭА(Фа). Под гауссовским копульным временным рядом мы понимаем случайную последовательность Хк = / ), к = 1,2,..., где -гауссовская стационарная последовательность с нулевым средним, единичной дисперсией и ковариационной функцией Я(к). Выбирая соответствующим образом копульную функцию ](х), можно получать различные типы хвостов маргинальных распределений временного ряда Хк. Далее, для удобства, слово «копульная» будем иногда опускать. Таким образом, применяя нелинейное преобразование к гауссовским случайных величинам, мы можем моделировать случайные величины с функцией распределения, принадлежащей области притяжения Фреше. Такое нелинейное преобразование позволяет применять хорошо изученную технику исследования гауссовских распределений

Тип Гумбеля : Л(х) = ехр(—е х), —ж < х < ж;

Тип Вейбулла : Ф«(х)

Тип Фреше : Фа(х)

х

к моделям временных рядов с тяжелыми хвостами. Техника применения монотонного нелинейного преобразования к данным или, другими словами, трансформация данных используется в различных задачах статистики, например, для построения оценки плотности функции распределения исходных данных с тяжелыми хвостами [40]. Ядерная оценка такой плотности была рассмотрена в [34].

В статье [67] введен и исследован весьма общий вид копульной функции ](х) для получения гауссовского копульного временного ряда, распределение которого принадлежит области максимального притяжения Фреше, см. ниже (1.1). Появляется возможность подгонки модели к данным, имеющим предположительно тяжелые (степенные) хвосты распределений, принадлежащие области максимального притяжения Фреше. Далее, для использования предельной теоремы Гнеденко для копульного гауссовского временного ряда, хвосты маргинальных распределений которого принадлежат области максимального притяжения Фреше, мы отталкиваемся от предельной теоремы Бермана для максимума гауссовской последовательности, см., например, [8]:

Теорема 1.2. Пусть , к = 1,2... - гауссовская стационарная последовательность с нулевым средним, единичной дисперсией и ковариационной функцией Я(к). Предположим, что выполнено условие Бермана

Я(п)1п п ^ 0, п ^ ж. (1.2)

Тогда

где

lim P( max < anlx + an) = e e x,

n^TO k=1,...,n

^- lnln П + ln4n

an = V2m n--. —. (1.3)

2\/2 ln n

Этот подход хорошо работает, если данные моделируются распределением с конечной дисперсией, тогда можно найти связь между ковариационной функцией моделируемого копульного ряда и исходного гауссовского. В случае, если модель с конечной дисперсией плохо работает, нужно использовать другие методы анализа зависимости данных. Зависимость на больших шагах, приводимая в некоторых

источниках как долгая память или же сильная зависимость, является важным понятием для исследования данных. Однако существует большое количество различных определений этого понятия, см. [63]. Популярным определением, даваемым во многих работах, является определение через свойства второго порядка стохастических процессов, например, [42], стохастический процесс {Х^} является зависимым на больших отрезках, если

то

(н)| =

Н=0

Где рх (Н) - автокорреляционная функция с лагом Н е Z. Условие сильного перемешивания, или а-перемешивание, введенное Розенблатом в 1956, [62] часто используется для переноса результатов классической теории экстремумов со случая независимых случайных величин на стационарные последовательности.

Определение 2.21. Говорят, что последовательность {^п} удовлетворяет условию сильного перемешивания, если существует функция а(к), такая, что выполнено:

а(к) = вир{|Р(АВ)—Р(А)Р(В)| : А е В, В е В^к+1,1 > 1} ^ 0, (2.25)

при к ^ то. Здесь Ъ\ - а-алгебра, порожденная . Коэффициенты

а(к) будем называть коэффициентами перемешивания.

Иногда невыполнение условия (2.25) принимают как определение условия зависимости на больших шагах.

Повторим, что в качестве альтернативной меры зависимости между случайными величинами ^ и ^ может использоваться их корреляция. Одним из известных ограничений на корреляционную функцию является довольно слабое условие Бермана (1.2), влекущее, как мы видели, выполнимость теоремы Гнеденко для нормальных последовательностей.

Позднее, в 1974 году, М. Р. Лидбеттер предложил более слабый аналог условия перемешивания Розенблатта, при котором остаются верными многие центральные утверждения теории экстремумов. Сформулируем это условие. Для краткости вместо Рг1,..,гп(и,... ,и), где Рг1,..,гп(х5,..., хп) -совместная функция распределения случайных величин ^,... , будем писать ^ь...,гп(и). Пусть {ип} - последовательность вещественных чисел.

Определение 1.12. Будем говорить, что выполнено условие 0(пп), если для любых целых чисел

1 < ii < • • • < ip < j 1 < ••• <jp < n, для которых j1 n ip > ln, верно

\F4,...,ip,ji,...,jp' Ы n Fib...,ip (Un)Fjl,...,jp, (Un)\ < an,ln ,

где an,in ^ 0 при n ^ то для некоторой последовательности ln = o(n).

Определение 1.13. Будем говорить, что для стационарной последовательности } и числовой последовательности {un} выполнено условие D'(un), если

[n/m]

limsup У^ P> un,^j > un) ^ 0, при m ^ то.

n

j=2

В рамках построенной в диссертации модели, мы перейдем от условия а-перемешивания для стационарных случайных величин к более слабым условиям на зависимость, к условиям на ковариацию.

Во второй части рассматривается задача оценивания копульной функции f по статистическим данным. Построение моделей по данным, предположительно имеющим тяжелые хвосты, является нередкой задачей при исследовании финансовых и экономических данных, а также в некоторых областях физики. Временные ряды с различными хвостами распределений удобно моделировать при помощи гауссовских временных рядов в силу развитой техники работы с ними и простого вида зависимости между наблюдениями. Моделируются как последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, так и стационарный временной ряд, в предположении, что маргинальная функция распределения случайных величин Xi,i £ 1,...,n принадлежит области максимального притяжения Фреше. При этом важной задачей является задача оценивания и исследования свойств квантиля хвоста функции распределения F, xPn = Fn 1 (1 — pn), где pn - уровень квантиля функции распределения F. Оценка приведенного квантиля хвоста функции распределения F и исследование

его свойств для случая независимых случайных величин приводятся в классической монографии по статистике экстремумов [15]. Достаточно универсальный метод перехода к зависимым случайным величинам при решении подобных задач был рассмотрен Х. Ротсеном в [61]. При наложении ряда дополнительных условий автор доказывает слабую сходимость нормированной эмпирической функции хвоста к функции распределения Г. Полученный Х. Ротсеном результат впоследствии был дополнен и обсужден в некоторых работах Х. Дресом [27], [28]. Для проверки асимптотической нормальности оценки индекса экстремального значения удобно использовать технику перехода к последовательности функционалов от эмпирической квантильной функции хвоста

к

гп—1(1 — — г) = X—м>п при г е [0,1], п

описанную в [61], [23], [26]. Здесь и далее [•] - целая часть числа.

В настоящей работе оценки копульной функции / строятся как с использованием независимых наблюдений, так и в случае наблюдений в виде стационарного временного ряда. Основные методы работы, применяемые для решения задачи, описаны в [15], [3] и [4]. В [4] приведен результат, позволяющий оценить коэффициент сильного перемешивания следа гауссовской стационарной последовательности Ук, к = 1,...,п, на уровне ип, то есть последовательности 1{Ук>Мп}, (где I - индикатор события), с помощью корреляционной функции последовательности Ук. Данный результат позволяет работать со стационарными последовательностями с сильной зависимостью, пользуясь техникой работы с нормальными случайными величинами. В [15], [3], например, приведены предельные теоремы для максимумов последовательностей случайных величин, теоремы об асимптотических свойствах индекса экстремального значения для случая независимых случайных величин.

Приведем описание результатов диссертации более подробно. В первой главе настоящей работы получен широкий класс функций, таких, что распределение случайных величин, полученных применением этих функций к гауссовским случайным величинам, принадлежит области максимального притяжения Фреше.

Теорема 1.1. Пусть £ - стандартная нормальная случайная величина. Если для x > x0 при некотором x0 > 0 имеет место представление

f (x) = C expg + ^X sg(s)ds) , (1.1)

то функция распределения случайной величины f (£) принадлежит MDA(Qa) для некоторых C > 0 и непрерывно дифференцируемой функции g(x) такой, что g(x) — 0 и g'(x)/x — 0 при x — то.

Если функция f имеет вид (1.1), то будем писать f G GCа. Далее сформулирована и доказана предельная теорема для гауссовского копульного временного ряда Xk = f (£k) с ковариационной функцией p(k), k > 1, с условиями, наложенными на ковариационную функцию как самой гауссовской стационарной последовательности £k, k > 1, так и на ковариационную функцию копульного временного ряда Xk, k > 1, при условии ее существования.

Теорема 1.11. Пусть f (x) G GCa, а > 2. Пусть £k - стационарная стандартная гауссовская последовательность с ковариационной функцией R(k). Тогда функция распределения F(•) = Ф^-1(-)) случайной величины Xk = f (£k) принадлежит области максимального притяжения Фреше, MDA(Фa). Также пусть выполнено ограничение на зависимость гауссовских случайных величин R(k) ln k — 0 или условие на зависимость наблюдаемых случайных величин p(k) ln k — 0 при k — то. В этом случае для всех x > 0 имеет место предельное соотношение

lim P( max Xk < dnx) = e-x a, (0.1)

n—>-то k=1,...,n

где либо dn = F-1(1 - П), либо dn = f (an), an = V2 lnn - ^^.

В случае отсутствия вторых моментов у наблюдаемых случайных величин, при а > 0, накладываем условие Бермана только на гауссовскую последовательность, теорема 1.17. В этом случае, предельная теорема для максимумов доказывается с помощью сведения к вышеприведенным условиям перемешивания по Лидбеттеру, смотри также [3]. Однако накладываемым условием на зависимость по-прежнему остается условие

Бермана для исходной гауссовской последовательности. А именно, одним из основных шагов при доказательстве предельной теоремы для максимумов построенной последовательности Х\,... ,Хп,... будет доказательство следующей леммы:

Лемма 1.15. Если Я(п) 1п п ^ 0 и I £ ОСа, а > 0, то гауссовский копульный временной ряд Хк = I (Ск), к = 1,2,..., удовлетворяет условиям Лидбеттера.

Во второй части работы построена оценка копульной функции I по наблюдаемым величинам как для случая независимых случайных величин, так и для наблюдений в виде стационарного временного ряда, и доказана ее асимптотическая нормальность. Пусть Хк = I(Ск), к > 1, где ,&,... - либо последовательность гауссовских стандартных независимых случайных величин, либо стационарная стандартная гауссовская последовательность с ковариационной функцией сои(^1 ,Сз) = Я(и — ¿), и пусть на ковариационную функцию наложено условие:

то

^ |кЯ(к)| < то. (2.1)

к=1

При выполнении этих условий для достаточно больших х построена оценка I(х) копульной функции I(х). А именно, пусть уп - произвольная числовая последовательность, стремящаяся к бесконечности при п ^ то, тогда рассмотрим оценку /(уп) вида:

- ( к X1

1 (уп) = Хп—^ п(1 — ф(уп)^ , (2.5)

где 7 - оценка индекса экстремального значения 7 = 1/а, Хп—кп,п - (п—кп)-ая порядковая статистика, при этом кп такая, что кп ^ то и ^ ^ 0 при п ^ то; Ф - функция распределения стандартного нормального закона. При выполнении некоторых технических условий и условия (2.1) на ковариационную функцию в случае работы со стационарной последовательностью в работе, теорема 2.15, показана состоятельность и асимптотическая нормальность оценки I функции I:

^ fe - ^ — Г, (2.10)

log d„\ f ы у

где dn = kn/(npn) и Г - нормальная случайная величина, имеющая то же распределение, что и предел последовательности \/кП(7—Y), где Y - оценка индекса экстремального значения, и pn = 1 — Ф(уп). Результат выполнен для любой асимптотически нормальной оценки Y индекса экстремального значения в условиях доказываемой теоремы.

Для доказательства последнего результата проверяются условия введенные X. Ротсеном в [61].

Первое условие накладывает ограничение на размер кластеров, состоящих из экстремумов, ограничивая их p-ый момент. Второе условие есть условие на сходимость ковариационной функции эмпирического нормированного хвоста функции распределения F при n — то. Третье условие накладывает ограничение на зависимость между блоками, на которые мы разбиваем последовательность. И четвертое условие обеспечивает экспоненциальную скорость убывания по un коэффициентов сильного перемешивания.

Цель и задачи исследования.

Целью диссертации является изучение как явного вида, так и статистических оценок копульных функций для независимых случайных величин и для стационарного временного ряда с сильной временной зависимостью. Среди задач выделяются следующие:

• Построение вида функции f, позволяющей преобразовывать нормальную случайную величину в случайную величину, принадлежащую области максимального притяжения Фреше, МВЛ(Фа). Доказана предельная теорема для максимумов копульного временного ряда fi = 1,...,n при достаточно слабом условии на зависимость для наблюдаемого временного ряда Xi, i = 1,..., n, или гауссовского временного ряда £i, i = 1,... ,n.

• Построение оценки функции f в модели Xi = f (£i), i = 1,...,n, где £k - гауссовская стационарная последовательность с нулевым средним, единичной дисперсией, и маргинальная функция

распределения случайных величин Х,и г = 1,...,п, принадлежит области притяжения Фреше. В диссертации проведено исследование статистических свойств оценки / как для независимых случайных величин гауссовской последовательности г = 1,...,п, так и для гауссовского стационарного временного ряда с условиями на ковариационную функцию.

Научная новизна.

Представленные в диссертации результаты являются новыми, основные направления исследования и мотивация приведены ниже.

• Построен вид функции /, позволяющей преобразовывать нормальную случайную величину в случайную величину, принадлежащую области максимального притяжения Фреше. Доказана предельная теорема для максимумов копульного временного ряда /(£«), г = 1,...,п при достаточно слабом условии на зависимость для наблюдаемого временного ряда Х^, г = 1,... ,п, или гауссовского временного ряда

г = 1,...,п.

• Построена оценка функции / в модели Х{ = /(<^), г = 1,...,п, где - гауссовская стационарная последовательность с нулевым средним, единичной дисперсией, и маргинальная функция распределения случайных величин Х^, г = 1,...,п, принадлежит области притяжения Фреше. В диссертации доказана асимптотическая нормальность оценки / как для независимых случайных величин гауссовской последовательности г = 1,... ,п, так и для гауссовского стационарного временного ряда с условиями на ковариационную функцию.

Положения, выносимые на защиту.

В диссертации получены следующие основные результаты.

• Для временных рядов с тяжелыми хвостами и сильной временной зависимостью построено преобразование, преобразующее гауссовские случайные величины в величины из области притяжения Фреше. Показана выполнимость предельных соотношений для

нормированного максимума стационарной последовательности с тяжелыми хвостами и сильной временной зависимостью, где построенное преобразование дает возможность применения развитой техники исследования гауссовских распределений к моделям временных рядов с тяжелыми хвостами.

• Построена оценка преобразований, преобразующих гауссовские случайные величины в случайные величины из области притяжения Фреше, для последовательностей случайных величин и временных рядов с тяжелыми хвостами и сильной временной зависимостью. Исследованы статистические свойства построенной оценки, показана асимптотическая нормальность при условиях на ковариацию с последующим применением асимптотических методов для гауссовских распределений вместо проверки условий перемешивания.

Теоретическая и практическая значимость.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в стохастической теории экстремумов, в страховании, в финансовой сфере и во многих других приложениях вероятностных методов.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях:

1. «Теория вероятностей и ее приложения», посвященная 100-летию Б.В. Гнеденко, Москва, Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова, 26-30 июня 2012

2. Satellite conference of 6th European Congress of Mathematics "Copulae in mathematical and Quantitative finance", Guest House of the Jagiellonian University "Przegorzaly", Krakow, 9-11 July, 2012

3. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2013», Москва, Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова, 8-13 апреля 2013

4. 7th European Congress of Mathematics, Technische Universität, Berlin, 18-22 July 2016

а также на семинарах:

5. Большой семинар кафедры теории вероятностей, механико-математический факультет МГУ, руководитель - академик РАН, проф. А. Н. Ширяев, 2018

6. Семинар «Статистика экстремальных значений», институт проблем управления РАН, руководитель - д.ф.-м. н., гл. н. с. Н. М. Маркович, 2018

7. Семинар «Гауссовские случайные процессы», механико-математический факультет МГУ, руководитель - д.ф.-м. н., проф. В.И. Питербарг, неоднократно (2010 - 2016)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в пяти статьях ([67] - [71]) в рецензируемых научных журналах, три из которых включены в международные базы данных (Web of Science и/или Scopus), одна работа, [70], опубликована в журнале, входящем в RCSI, одна депонирована в ВИНИТИ. Имеются также опубликованные тезисы докладов международных конференций ([72] -[75]). Список работ приведен в конце диссертации.

Благодарности. Автор выражает глубочайшую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Питербаргу Владимиру Ильичу, за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе. Отдельную благодарность автор приносит Игорю Владимировичу Родионову за помощь в изложении результатов и полезные обсуждения.

1 Построение копульной функции для временных рядов с тяжелыми хвостами и сильной временной зависимостью

1.1 Условия

принадлежности

функции

распределения случайной величины f (£) области максимального притяжения Фреше

В данной главе построим функцию /, позволяющую преобразовать нормальную случайную величину в случайную величину, принадлежащую области максимального притяжения Фреше, М^Л(Фа). Основные результаты данной главы опубликованы в [67].

Сформулируем теорему, которая описывает вид функции /, преобразующей гауссовские случайные величины к случайным величинам из области максимального притяжения Фреше. Такое преобразование делает возможным применение техник работы с гауссовскими случайными величинами к случайным величинам, принадлежащим области притяжения Фреше.

Теорема 1.1. Пусть £ - стандартная нормальная случайная величина. Если для х > х0 при некотором х0 > 0 имеет место представление

то функция распределения случайной величины /(£) принадлежит МВЛ(Фа) для некоторых С > 0 и непрерывно дифференцируемой функции д(х) такой, что д(х) ^ 0 и д'(х)/х ^ 0 при х ^ то.

Вид функции, приведенный в теореме 1.1, получен при преобразовании и анализе предельной теоремы Бермана 1.2 с целью получить максимально общий вид функции /. Обозначим через класс

функций, удовлетворяющих условиям теоремы 1.1.

Сформулируем утверждения, на которые будем опираться при доказательстве теоремы 1.1.

(1.1)

Теорема 1.2. Пусть , k = 1,2,..., - гауссовская стационарная последовательность с нулевым средним, единичной дисперсией и ковариационной функцией R(k). Предположим, что выполнено условие Бермана:

R(n) In n — 0, n — ж.

Тогда выполнено

lim P( max < a—lx + an) = e-e x, (1.2)

n—Уж h=l,...,n

где

^- lnln n + ln4n

an = V2ln n--. —. (1.3)

2y/2 ln n

Также сформулируем еще несколько утверждений и определений, которые будут использованы при доказательстве теоремы 1.1. Сформулируем критерий принадлежности функции распределения F области максимального притяжения Фреше с параметром а, М0А(Фа), (см. пункт 1 из утверждения 1.2.1, [15]):

Теорема 1.3. Функция распределения F принадлежит области максимального притяжения Фреше тогда и только тогда, когда

—а

г EV А п 1- 1 -F(tx)

supx : F (x) < П = и lim-. = x

FL V ; j 1 - F(t)

для некоторого а > 0, для каждого x > 0.

Приведем определение правильно и медленно меняющихся функций [10]:

Определение 1.4. Измеримая по Лебегу функция f : R+ —• R, положительная при достаточно больших x, называется правильно меняющейся, если выполнено

f(tx) а lim „. . = xa, для любого x > 0. t-~ f (t) '

Измеримая по Лебегу функция f : R+ —- R, положительная при достаточно больших x, называется медленно меняющейся функцией, если выполнено

f (tx)

lim „. . = 1, для любого x > 0.

t-m f (t) ^

Сформулируем теорему о пуассоновкой аппроксимации из [3]:

Теорема 1.5. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F и Mn = max(£i,... ,£n). Пусть 0 < т < то, и предположим, что {un} -последовательность вещественных чисел, для которой

n(l — F(un)) — т при n — то. (1.4)

Тогда

P(Mn < un) — e—T при n — то. (1.5)

Обратно, если (1.5) выполняется для некоторого т, 0 < т < то, то выполняется и (1.4).

Доказательство теоремы 1.1: Возьмем последовательность независимых одинаково распределенных стандартных нормальных случайных величин , k = l, 2,.... Тогда из теоремы 1.2 следует, что

lim P( max < a——1x + an) = e—e x, (1.6)

n—>-то k=1,...,n

где

^- 1п 1п п + 1п 4п

ап = V 21п п--. —.

2л/21п п

От обеих частей неравенства шахк=1,...,п < а-1х + ап из (1.6) берем функцию /, делаем замену х = а 1п у, получаем

lim P( max Xk < f (anLa lny + an)) = e y a. (1.7)

п^то k=1,...,n

Данное преобразование верно, так как функция f является монотонно возрастающей функцией.

Рассмотрим логарифм разложения функции f, приведенного в (1.1), с

аргументами an и а- 1a ln y + an соответственно:

а2 f

ln f (an) = ln C + + s9 (s)ds.

0

Поэтому

^ a„+aa-1 ln y

ln f (a-1a ln y + an) = ln C + — + aa- ln У + ln y + i sg(s)ds.

2a 2 J

0

Тогда при an — ж получаем:

an+aan 1 ln y

^^а 21п.2 у

1п /(а-1 а 1п у + ап) - 1п /(ап) = 1п у +--^--+ I вд(в)дв.

ап

Оценим интеграл из правой части последнего равенства. Обозначим к(в) = вд(в), тогда к'(в) = д(в) + вд'(в). Так как скорость изменения функции к(в) в любой точке заданного интервала [ап,а-1а 1пу + ап] ограничивается максимальным по модулю значением производной функции на всем интервале, то интеграл от к(в) по дв на заданном интервале отличается от произведения к(ап) • (а-1а 1п у) не более чем на

2

, (/ ч, (a,n 1а ln y\ sup lh'(s)|l n 2 y . (1.8)

sG[an,a- 1a ln y+an]

То есть, подставив к(в) = вд(в) в только что полученную оценку сверху (1.8), получим:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мазур Анна Евгеньевна, 2021 год

Список литературы

[1] Айвазян, С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных // Финансы и статистика. 1983.

[2] Антоненко А. В. Дипломная работа «Об асимптотическом распределении максимума гауссовского копульного процесса с дискретным временем», механико-математический факультет МГУ, научный руководитель д.ф. - м. н., проф. Питербарг В. И. 2009.

[3] Лидбеттер М. Р., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов // Мир. 1989.

Leadbetter MR., Lindgren G., Rootzen H. Extremes and related properties of random sequences and processes. Springer Series in Statistics. 1986

[4] Питербарг В. И. Двадцать лекций о гауссовских процессах // МЦНМО. 2015.

Piterbarg V. I. Twenty lectures about Gaussian processes, Atlantic Financial Press, 2015.

[5] Сегё Г. Ортогональные многочлены // Физматлит. 1962.; пер. с англ.: G. Szego, Orthogonal polynomials // American Mathematical Society Colloq. 1959. V. 23.

[6] Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного [Учеб. для инж.-физ. и физ.-техн. спец. вузов] // Наука. 1989.

[7] Ширяев А. Н. Вероятность. МЦНМО. 2004.

[8] Berman S. Limit theorems for the maximum term in stationary sequences // The Annals of Mathematical Statistics. 1964. V. 35. N 2. P. 502-516.

[9] Billingsley P. Probability and measure // John Wiley & Sons. 2008.

[10] Bingham, N. H., Charles M. G., Teugels J. L. Regular variation // Cambridge university press. 1989. V. 27.

[11] Cherny A.S., Douady R., Molchanov S. A. On measuring hedge fund risk. 2008 // Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1113620 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.1113620.

[12] Cont R. Long range dependence in financial markets // Fractals in engineering, Ed. by E. Lutton & Levy-Vehel J. Springer. 2005. P. 159179.

[13] Csorgo S., Deheuvels P., Mason D. Kernel estimates of the tail index of a distribution // The Annals of Statistics. 1985. P. 1050-1077.

[14] Csorgo M., Horvath L., Revesz P. On the optimality of estimating the tail index and a naive estimator // Australian Journal of Statistics. 1987. V. 29. N 2. P. 166-178.

[15] De Haan L., Ferreira A. Extreme value theory: an introduction. Springer. 2007.

[16] DAgostino R., Pearson E. S. Tests for departure from normality. Empirical results for the distributions of b2 and b1 // Biometrika. 1973. V. 60. N 3. P. 613-622.

[17] Bacro J. N., Brito M. Weak limiting behaviour of a simple tail Pareto-index estimator // Journal of Statistical Planning and inference. 1995. V. 45. N 1-2. P. 7-19.

[18] Caperaa P., Fougares A. L., Genest C. A nonparametric estimation procedure for bivariate extreme value copulas // Biometrika. 1997. V. 84. N 3. P. 567-577.

[19] Davis R., Resnick S. Tail estimates motivated by extreme value theory // The Annals of Statistics. 1984. P. 1467-1487.

[20] Deheuvels P., Haeusler E., Mason D. M. Almost sure convergence of the Hill estimator // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge University Press. 1988. V. 104. N 2. P. 371 - 381.

[21] Dekkers A. L. M, Einmahl J. H. J., De Haan L. A moment estimator for the index of an extreme-value distribution // The Annals of Statistics. 1989. P. 1833-1855.

[22] Dekkers A. L. M. et al. On the estimation of the extreme-value index and large quantile estimation // The Annals of Statistics. 1989. V. 17 . N 4. P. 1795-1832.

[23] Drees H. A general class of estimators of the extreme value index // Journal of Statistical Planning and Inference. 1998. V. 66. N 1. P. 95112.

[24] Drees, H. Extreme quantile estimation for dependent data, with applications to finance // Bernoulli V. 2003. 9. N 4. P. 617-657.

[25] Drees, H., Ferreira A., De Haan L. On maximum likelihood estimation of the extreme value index // Annals of Applied Probability. 2004. P. 1179-1201.

[26] Drees H. On smooth statistical tail functionals // Scandinavian Journal of Statistics. 1998. V. 25. N 1. P. 187-210.

[27] Drees H. Tail empirical processes under mixing conditions // Empirical process techniques for dependent data. 2002. P. 325-342.

[28] Drees H. Weighted approximation of tail processes for 3-mixing random variables // The Annals of Applied Probability. 2000. V. 10. N 4. P. 12741301.

[29] Embrechts P., Kluppelberg C, Mikosch T. Modeling extremal events: for insurance and finance. Springer. 1997.

[30] Falk M. Extreme quantile estimation in ^-neighborhoods of generalized Pareto distributions // Statistics & Probability Letters. 1994. V. 20. N 1. P. 9-21.

[31] Gill R. D. Non- and semi-parametric maximum likelihood estimators and the von Mises method (part 1) // Scandinavian Journal of Statistics. 1989. V. 16. N 2. P. 97 - 128.

[32] Gnedenko B. V. Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aleatoire // Annals of Mathematics. 1943. V. 44. P. 423-453.

[33] Goldie C. M., Smith R. L. Slow variation with remainder: Theory and applications // The Quarterly Journal of Mathematics. 1987. V. 38. N 1. P. 45-71.

[34] Gyorfi L., Devroye L. Nonparametric density estimation: The L1 view // John Wiley. 1985.

[35] Haeusler E., Teugels J. L. On asymptotic normality of Hill's estimator for the exponent of regular variation // The Annals of Statistics. 1985. P. 743-756.

[36] Hall P. On some simple estimates of an exponent of regular variation // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). 1982. P. 37-42.

[37] Heath D., Resnick S., Samorodnitsky G. Heavy tails and long range dependence in on/off processes and associated fluid model // Mathematics of Operations Research. 1998. V. 23. N 1. P. 145-165.

[38] Hill B. M. A simple general approach to inference about the tail of a distribution // The Annals of Statistics. 1975. V. 3. N 5. P. 1163-1174.

[39] Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of function theory and functional analysis // Nauka, Moscow. 1968.

[40] Maiboroda R. E., Markovich N. M. Estimation of heavy-tailed probability density function with application to Web data // Computational Statistics. 2004. V. 19. N 4. P. 569-592.

[41] Markovich N., Vaiciulis M. Modification of Moment-Based Tail Index Estimator: Sums versus Maxima // arXiv preprint arXiv:1710.03084. 2017.

[42] Markovich N. Nonparametric analysis of univariate heavy-tailed data: research and practice // John Wiley & Sons. 2007. V. 753.

[43] Mason D. M. Laws of large numbers for sums of extreme values // The Annals of Probability. 1982. P. 754-764.

[44] Matthys, G. and Beirlant, J. Estimating the extreme value index and high quantiles with exponential regression models // Statistica Sinica. 2003. P. 853-880.

[45] McElroy T, Politis D. N. Moment-based tail index estimation // Journal of statistical planning and inference. 2007. V. 137. N 4. P. 1389-1406.

[46] Meerschaert M. M., Scheffler H. P. A simple robust estimation method for the thickness of heavy tails // Journal of statistical planning and inference. 1998. V. 71. N 1-2. P. 19-34.

[47] Mikosch T. Modeling dependence and tails of financial time series // Extreme values in finance, telecommunications, and the environment, Ed. by Finkenstadt B., Rootzen H. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton. 2004. P. 196-297.

[48] Novak S. Y. Inference about the Pareto-type distribution. 1992.

[49] Novak S. Inference on heavy tails from dependent data // Siberian advances in mathematics. 2002. V. 12. N 2. P. 73-96.

[50] Novak S. Y. On the Distribution of the Ratio of Sums of Random Variables // Theory of Probability & Its Applications. 1997. V. 41. N 3. P. 479-503.

[51] Novak S. Y, Utev S. A. Asymptotics of the distribution of the ratio of sums of random variables // Siberian Mathematical Journal. 1990. V. 31. N 5. P. 781-788.

[52] Pickands J. Multivariate extreme value distribution // Proceedings 43th, Session of International Statistical Institution. 1981.

[53] Pickands III J. Statistical inference using extreme order statistics // The Annals of Statistics. 1975. V. 3. N 1. P. 119-131.

[54] Piterbarg V. I. Asymptotic methods in the theory of Gaussian processes and fields // American Mathematical Society. 1996. V. 148.

[55] Politis D. N. A new approach on estimation of the tail index // Comptes Rendus Mathematique. 2002. V 335. N 3. P. 279-282.

[56] Resnick S.I. Heavy tail modeling and teletraffic data: special invited paper // The Annals of Statistics. 1997. V. 25. N 5. P. 1805-1869.

[57] Resnick S., Staaricaa C. Smoothing the moment estimator of the extreme value parameter // Extremes. 1999. V. 1. N 3. P. 263-293.

[58] Resnick S., Starica C. Smoothing the Hill estimator // Advances in Applied Probability. 1997. V. 29. N 1. P. 271-293.

[59] Rieder H. Robust Asymptotic Statistics // Springer Series in Statistics. Springer, 1994.

[60] Rootzen, H., Leadbetter, M. R., & de Haan, L. Tail and quantile estimators for strongly mixing stationary processes // Report, Department of Statistics, University of North Carolina. 1992.

[61] Rootzen, H. Weak convergence of the tail empirical process for dependent sequences // Stochastic Processes and their Applications. Elsevier. 2009. V. 119. N 2. P. 468-490.

[62] Rosenblatt M. A central limit theorem and a strong mixing condition // Proceedings of the National Academy of Sciences. 1956. V. 42. N 1. P. 43-47.

[63] Samorodnitsky G. Long range dependence // Foundations and Trends in Stochastic Systems. 2007. V. 1. N 3. P. 163-257.

[64] Smith R. L. Estimating tails of probability distributions // The Annals of Statistics. 1987. P. 1174-1207.

[65] Vervaat W. Functional central limit theorems for proc esses with positive drift and their inverses // Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. 1972. V. 23. N 4. P. 245-253.

[66] Weissman, I. Estimation of parameters and large quantiles based on the k largest observations // Journal of the American Statistical Association.

1978. V. 73 N 364. P. 812-815.

Работы автора по теме диссертации

[67] Мазур А. Е., Питербарг В. И. Гауссовские копульные временные ряды с тяжелыми хвостами и сильной временной зависимостью // Вестник Московского университета. 2015. V. 70. N 5. С. 197-201;

Mazur A. E., Piterbarg V. I. Gaussian copula time series with heavy tails and strong time dependence // Moscow University Mathematics Bulletin. 2015. V. 70. N 5. P. 197-201.

[68] Мазур А. Е. Моделирование и подгонка временных рядов с тяжелыми хвостами распределений и сильной временной зависимостью посредством гауссовских рядов // Теория вероятностей и ее применения. 2018. V. 63. N 1. P. 186-190.

Mazur A. E. Modeling and fitting of time series with heavy distribution tails and strong time dependence by Gaussian time series // Theory of Probability & Its Applications. 2018. Т. 63. N 1. P. 151-154.

[69] Мазур А. Е. Подгонка временных рядов с тяжелыми хвостами распределений и сильной временной зависимостью посредством гауссовских рядов // Фундаментальная и прикладная математика. 2018. V. 22. N 3. P. 127-143.

Mazur A. E. Fitting Time Series with Heavy Tails and Strong Time Dependence // Journal of Mathematical Sciences V. 254, P. 537-549. 2021.

[70] Мазур А. Е. О слабой сходимости эмпирического процесса хвостов распределения для копульного временного ряда. Труды физико-математического института. 2020. V. 12. N. 1. P. 100-103.

[71] Мазур А. Е. Моделирование и подгонка временных рядов с тяжелыми хвостами распределений и сильной временной зависимостью посредством гауссовских рядов // Деп. в ВИНИТИ, 54 стр., 2017. V. 5. N97-B2017.

Тезисы конференций

[72] Мазур А. Е., Питербарг В. И. Modeling time series with heavy tails and strong dependence by Gaussian copulae sequence, Международная конференция «Теория вероятностей и ее приложения», посвященная 100-летию со дня рождения Б. В. Гнеденко, Тезисы докладов. 171. Ленанд, 2012.

[73] Мазур А. Е., Питербарг В. И. Modeling time series with heavy tails and strong dependence by Gaussian copulae sequence, Международная спутниковая конференция 6-го Европейского конгресса, workshop «Copulae in mathematical and quantitative finance», book of abstracts, posters, 7, 2012.

[74] Мазур А. Е. Estimation of copula functions for stationary time series with heavy tails and strong time dependence, 7-й Европейский конгресс по математике, Scientific program. 89. Technische Universitat Berlin. 2016.

[75] Мазур А. Е. Gaussian copula time series with heavy tails and strong dependence // Материалы Международного Молодежного научного форума «Ломоносов-2013», Москва.