Предельные теоремы и статистические процедуры для величин, связанных с рекордами и экстремальными порядковыми статистиками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Степанов, Алексей Васильевич

• Степанов, Алексей Васильевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Степанов, Алексей Васильевич

Оглавление

1 Введение 7

1.1 Введение главы 1..............................................................7

1.2 Основные понятия и обозначения, используемые в диссертации............10

1.3 Важнейшие результаты, известные в теории порядковых статистик ... 12

1.4 Краткое содержание работы..................................................13

2 Обобщения леммы Боре ля—Кантелли 31

2.1 Введение главы 2..............................................................31

2.2 Недавние обобщения леммы Бореля-Калтелли..............................34

2.2.1 Обобщения первой части леммы Бореля-Кантелли......................34

2.2.2 Обобщение леммы Бореля-Кантелли для последовательностей событий, обладающих марковским свойством..................................35

2.3 Исследование асимптотических свойств максимумов в случае ^"-схемы . 39

3 Рекорды: распределения, предельные теоремы 43

3.1 Введение главы 3..............................................................43

3.2 Распределения рекордов ......................................................48

3.2.1 Распределения рекордных времен..........................................48

3.2.2 Распределения рекордных величин........................................49

3.2.3 Распределения слабых рекордных величин в дискретном случае ... 51

3.2.4 Распределения слабых рекордных величин в случае, когда исходное распределение имеет конечное число атомов..............................54

3.2.5 Распределения рекордов с подтверждением..............................58

3.2.6 Распределения рекордных времен с подтверждением....................60

3.2.7 Моменты рекордных времен с подтверждением..........................61

3.3 Предельные теоремы для слабых рекордных величин в дискретном случае 63

3.3.1 Усиленный закон больших чисел, центральная предельная теорема и закон повторного логарифма................................................63

3.3.2 Вероятности больших уклонений ..........................................67

3.3.3 Примеры......................................................................69

3.4 Применение теории правильно меняющихся функций для изучения асимптотического поведения отношений слабых рекордов........................72

3.4.1 Вспомогательные результаты................................................73

3.4.2 Асимптотическое поведение отношений слабых рекордных величин . 76

3.4.3 Асимптотическое поведение индикаторов слабых рекордных величин 81

3.4.4 Примеры......................................................................83

3.5 Асимптотические свойства рекордов с подтверждением....................85

3.5.1 Асимптотические свойства рекордных величин с подтверждением . . 85

3.5.2 Асимптотические свойства рекордных времен с подтверждением ... 85

4 Статистические процедуры, связанные с рекордами 88

4.1 Введение главы 4..............................................................88

4.2 Критерии проверки гипотезы однородности, основанные на рекордах . . 90

4.2.1 Введение......................................................................90

4.2.2 Совместное распределение величин ЛМг при справедливости нулевой гипотезы ......................................................................92

4.2.3 Распределения тестовых статистик........................................94

4.2.4 Распределения величин ЯМг и 11апк(У(.7)) в случае справедливости альтернативной гипотезы Лемана..........................................99

4.2.5 Мощности тестов при альтернативах Лемана..............101

4.2.6 Равномерно наиболее мощный тест, основанный на величинах ЯМг . 106

4.2.7 Альтернативные гипотезы сдвига.....................106

4.2.8 Тесты, в случае недостаточного количества рекордов..........109

4.3 Информация Фишера, содержащаяся в рекордах............................112

4.3.1 Введение...................................112

4.3.2 Абсолютно непрерывный случай......................113

4.3.3 Информация Фишера, содержащаяся в слабых рекордных величинах 120

4.3.4 Информация Фишера, содержащаяся в верхних рекордных величинах 122

4.4 Тест, основанный на рекордах с подтверждением............................127

5 Величины, регистрируемые около порядковых статистик и рекордов 134

5.1 Введение главы 5..............................................................134

5.2 Предельные теоремы для числа величин, регистрируемых около порядковых статистик..................................................................137

5.2.1 Распределения числа величин, регистрируемых около порядковых

статистик. Предельные теоремы для них.................137

5.3 Асимптотические свойства числа величин, регистрируемых около порядковых статистик, при изменении параметров................................141

5.3.1 Экспоненциальный случай.........................141

5.3.2 Асимптотическое поведение числа величин, регистрируемых около порядковых статистик в случае, когда кп/п —>а = 0..........143

5.3.3 Асимптотическое поведение числа величин в случае, когда а € (0,1) 145

5.3.4 Асимптотическое поведение числа величин, регистрируемых около порядковых статистик в случае, если а — 1 ...............146

5.4 Асимптотическое поведение чисел околорекордных величин................148

5.4.1 Распределения чисел околорекордных величин.............148

5.4.2 Ограниченный носитель ..........................149

5.4.3 Предельные теоремы для чисел околорекордных величин.......151

5.4.4 Асимптотическое поведение сумм околорекордных величин......156

5.5 Примеры........................................................................163

5.6 Приложение главы 5 ..........................................................167

5.6.1 Доказательства результатов параграфа 5.2................167

5.6.2 Доказательства результатов параграфа 5.3................171

6 Серии, основанные на порядковых статистиках и рекордах 176

6.1 Введение........................................................................176

6.2 Предварительные результаты ................................................179

6.3 Ограниченный носитель ......................................................181

6.3.1 Серии, основанные на спейсингах порядковых статистик........181

6.3.2 Серии, основанные на спейсингах рекордных величин.........183

6.4 Неограниченный носитель....................................................186

6.4.1 Асиптотические результаты для серий, основанных на спейсингах порядковых статистик.............................186

6.4.2 Асиптотические результаты для серий, основанных на спейсингах рекордных величин...............................189

6.5 Серии в экспоненциальном и равномерном случаях ........................193

6.5.1 Равномерное распределение ........................193

6.5.2 Экспоненциальный случай.........................197

6.6 Проверка статистической гипотезы ..........................................199

7 Конкомитанты порядковых статистик и рекордов 201

7.1 Введение........................................................................201

7.2 Предварительные результаты ................................................203

7.3 Сильные предельные теоремы для конкомитантов верхних порядковых статистик ......................................................................207

7.4 Дальнейшие асимптотические результаты для конкомитантов верхних порядковых статистик............................................................212

7.4.1 Асимптотические результаты для конкомитантов верхних порядковых статистик У[п_м в случае, когда к стремится к бесконечности . 212

7.4.2 Влияние неслучайных последовательностей на асимптотическое поведение конкомитантов верхних порядковых статистик.........213

7.5 Сильные предельные теоремы для конкомитантов рекордов................215

7.6 Примеры и методы генерирования............................................217

7.6.1 Примеры...................................217

7.6.2 Генерирование конкомитантов верхних порядковых статистик и рекордов .....................................220

8 Характеризационные теоремы 223

8.1 Введение........................................................................223

8.2 Характеризационные теоремы для слабых рекордов в дискретном случае 228

8.3 Характеризации, основанные на порядковых статистиках..................231

8.4 Характеризация, использующая вторую рекордную величину и максимум

выборки..........................................................................235

Литература 242

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы и статистические процедуры для величин, связанных с рекордами и экстремальными порядковыми статистиками»

Глава 1 Введение

§ 1.1 Введение главы 1

Развитие теории экстремальных порядковых статистик и рекордов является актуальным в связи с различными приложениями, возникающими в метеорологии, гидрологии, в страховом и финансовом бизнесе. Перепады температур и атмосферного давления, паводки рек, спортивные достижения, страховые и финансовые риски, различные модели, связанные с временами обслуживания, коррозией металлов, сопротивлением материалов, все это и многое другое, прекрасно описывается математическим аппаратом этой теории. Следует отметить, что порядковые статистики и рекорды также активно используются в статистических выводах.

Более подробную информацию о приложениях, связанных с порядковыми статистиками, рекордами и индуцированными ими случайными величинами, можно найти в книгах Галамбоша [3] ("Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик" 1984), Эмбрехтса, Клюппельберг и Микоша [81] (Embrechts, KKippelberg and Mikosch "Modelling Extremal Events for Insurance and Finance" 1997), Невзорова [15] ("Рекорды. Математическая теория" 2000) и Бейрланта, Гогебера, Тойгельса и Сегерса [46] (Beirlant, Goegebeur, Teugels and Segers "Statistics of extremes. Theory and applications" 2004). Среди большого количества работ, посвященных тематике порядковых статистик и рекордов, выделим также обзорную статью Пайка [158] (Руке "Spacings - with discussion" 1965), книги Арнольда, Балакришнана и Нагараджи [30], [31] (Arnold, Balakrishnan and Nagaraja "A first course in order statistics" 1992, "Records" 1998), Ахсануллаха и Невзорова [26] (Ahsanullah and Nevzorov "Ordered random variables" 2001), а также книгу Дэйвида. В данной диссертации мы ссылаемся на третье издание этой книги, подготовленное Дэйвидом и Нагараджи [73] (David and Nagaraja "Order Statistics. - Third edition" 2003).

В ходе развития теории экстремальных порядковых статистик и рекордов в ней выделились отдельные направления. Самостоятельный интерес приобрело изучение спейсин-гов, образуемых порядковыми статистиками и рекордами, числа величин, регистрируемых около порядковых статистик и рекордов, серий, основанных на порядковых и рекордных статистиках. Тематика порядковых статистик и рекордов интересна еще и тем, что вбирает в себя различные математические, вероятностные и статистические методы и подходы. Здесь можно встретить рассуждения в духе функционального анализа, работает аппарат предельных теорем классической теории вероятностей, активно используются рекуррентные методы и мартингальные подходы. Порядковые статистики, рекорды и связанные с ними статистики активно используются для статистических выводов и построения оценок неизвестных параметров.

Данная диссертационная работа посвящена изучению экстремальных порядковых статистик и рекордов. Акцент делается на изучении асимптотических свойств этих случайных величин. Вместе с тем в работе рассматриваются характеризационные теоремы для экстремальных порядковых статистик и рекордов, ищутся оценки неизвестных параметров и проверяются статистические гипотезы. Работа состоит из восьми глав и списка литературы.

Глава 1 является введением диссертации. В параграфе 1.2 приведены основные понятия и обозначения, принятые в диссертации. В параграфе 1.3 дается краткий обзор важнейших результатов, известных для порядковых статистик. Основные результаты диссертации анонсируются в параграфе 1.4.

В главе 2 диссертационной работы обсуждаются теоретические основы сильной сходимости. Рассматриваются недавние обобщения леммы Бореля-Кантелли. В последующих главах диссертации эти обобщения используются для получения сильных предельных теорем. В главе 3 диссертации исследуются рекорды: классические рекорды, слабые рекорды и рекорды с подтверждением. Для рекордов ищутся распределения и выводятся предельные теоремы. В главе 4 обсуждаются статистические процедуры, связанные с рекордами. В главе 5 рассматривается асимптотическая теория числа величин, регистрируемых около порядковых статистик и рекордов. В главе б анализируются предельные теоремы для серий, основанных на порядковых статистиках и рекордах. Предельные теоремы для кон-комитантов порядковых статистик и рекордов обсуждаются в главе 7. Наконец, в главе 8

предлагаются характеризационные теоремы для порядковых и рекордных статистик.

§ 1.2 Основные понятия и обозначения, используемые в диссертации

Обозначения, приводимые в данном параграфе, закреплены за обозначаемыми объектами во всех главах диссертации.

Пусть Xi,X2,... - последовательность случайных величин. Везде в диссертации будем предполагать, что такие величины заданы на одном вероятностном пространстве

ÍÍ = (M,F ,Р),

о чем далее упоминать уже не будем. В нашей работе Асг будет обозначать дополнение события At, a Ia ~ индикатор события А. Событие

{An б.ч.} = П-=1 U£Ln Ак

состоит из тех точек пространства Q, которые принадлежат бесконечно многим Ап. Сокращение б.ч. будем использовать для термина "бесконечно часто". Записи -4, А и П-1>' будут использоваться для обозначения сходимости по распределению, по вероятности и с вероятностью единица, соответственно. В диссертационной работе будем использовать следующие обозначения:

F(x) = Р{Х <х}, F(x) = l-F(x), f{x) = F'(ж),

рп = Р{Х = п], qn = Р{Х > п), ßn =

Qn

If = sup{x : F{x) — 0}, rp = inf{a: : F(x) = 1}.

Носитель распределения F обозначим следующим образом: íj = [lF,rF], Во многих главах диссертации будет использоваться предел

lim ß(x, a) = ß(a) G [0,1], (1.2.1)

Z->rF

где ß(x,a) — F{x + a)/F(x) и a > 0. Может создаться впечатление, что если предел в

(1.2.1) существует для некоторого а > 0, то он существует и для любого а > 0. Однако это не так. Рассмотрим распределение, имеющее хвост

Предел в (1.2.1) равен /3(а) = е а в случае, когда а £ и предел в (1.2.1) не существует для других а.

Замечание 1.2.1. В лемме 2.2 работы [116] было показано, что если предел в (1.2.1) существует для каждого а из интервала (0,Л), А > 0, то этот предел существует и для любого а > 0.

Из теории правильно меняющихся функций, см. страницу 54 справочника [52], следует, что для того чтобы предел в (1.2.1) существовал для любого а > 0, необходимо и достаточно, чтобы он существовал для некоторых 01,02 > 0, таких что отношение а\/а2 - иррационально.

В дальнейшем Ь(п,р), пЬ(п,р), д(р), ро(Х),т и Z будут обозначать случайные величины, имеющие, соответственно, биномиальное распределение с параметрами пир, отрицательное биномиальное распределение с параметрами пир, геометрическое распределение с параметром р, распределение Пуассона с параметром Л, стандартное экспоненциальное распределение и стандартное нормальное распределение.

Утверждения диссертации и все формулы имеют сквозную нумерацию в каждом параграфе. Так, "Теорема 3.2.4"означает, что теорема 4 находится в параграфа 2 главы 3. Исключение из этого правила составят результаты и формулы параграфа 1.4, где приводятся основные результаты диссертации и сохранена нумерация соответствующих глав.

§ 1.3 Важнейшие результаты, известные в теории порядковых статистик

Пусть Xi,..., Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения F. По исходной последовательности случайных величин построим вариационный ряд

Х\ :п < Х2 :п < •• • < Хп<п.

члены которого назовем порядковыми статистиками. Для максимума выбоки будем использовать обозначение Мп. Известно (см., например, [73]), что функция распределения к-ой порядковой статистики задается равенством

п

Р{Хк>п < х} = Fkin(x) = ClF\x){ 1 - F(x))n~\ (1.3.1)

i=k

Если F - непрерывное распределение, то может быть записано в виде:

Fk,n(x) = пСкп~_\ Г Fk~\u)( 1 - F(u))n~k dF(u). (1.3.2)

J—00

В абсолютно непрерывном случае плотность случайной величины Хк,п определяется равенством

Л,„(х) = nCkn-_\{F{x)}k~'{l - F(x)}n~kf(x). (1.3.3)

Рассмотрим векторы Х^ = (X iiTÎ,... ,Xfc_ii7l) и А'2' = {Xk+\>n-, • ■ ■ ,Хп^п). Для них справедлива лемма 1.3.1 (см., например, [73]).

Лемма 1.3.1. Векторы и условно независимы при условии {Хк,п — х}. Кроме того, условное распределение то же, что и безусловное распределение порядковых статистик ■ ■ ■ -, Yk-\,k-i> построенных по независимым одинаково распределенным величинам Y\,... ,Yk~ 1, имеющим распределение G{u) — F(u)/F(x) (и < х). Условное распределение X^ то же, что и безусловное распределение порядковых статистик W\ n—k,..., Wn-k,n-k, построенных по независимым одинаково распределенным случайным величинам W\,.... Wn-k с распределением Т(и) = (и > ж).

§1.4 Краткое содержание работы

В параграфе 1.4 кратко излагается содержание диссертационной работы. Нумерация формул, лемм, теорем и других утверждений, приводимых в данном параграфе, совпадает с нумерацией, используемой в соответствующих главах.

В главе 2 диссертационной работы рассматриваются обобщения леммы Бореля-Кантелли. Среди этих обобщений есть и обобщения, предложенные автором данной диссертационной работы. Современный вариант леммы Бореля-Кантелли (лемма 2.1.1) приводится в главе 2.

Лемма 2.1.1 (1) Пусть - последовательность событий, для которых

выполняется неравенство Р{Ап) < оо. Тогда Р(Ап б.ч.) = 0.

(2) Пусть А1,А2,... - последовательность независимых событий и Р(Ап) — оо.

Тогда Р(Ап б.ч.) = 1.

Из результатов главы 2 приведем в этом параграфе две наших леммы, обобщающих лемму 2.1.1. Данные результаты были получены в работах [207] и [227], соответственно.

Лемма 2.2.1 Пусть А\,А2,..- ~ последовательность событий, таких что Р(Ап) —> 0. Если для некоторого т > 0 выполняется условие

оо

Р(АСп.Ап1-1 ■ ■ ■ А^+т_1Ап+т) < оо,

П=1

то Р(Ап б.ч.) = 0.

Определим последовательность событий, обладающих марковским свойством. Скажем, что последовательность событий Ап (п > 1) обладает марковским свойством, если последовательность 1ап (п > 1) является цепью Маркова.

Лемма 2.2.5 Пусть А1;А2,. .. - последовательность событий, обладающих марковским свойством, такая что Р(Ап) —» 0. Рассмотрим ряд

оо

(2.2.6)

71=1

Если ряд (2.2.6) сходится, то справедливо равенство Р(Ап б.ч.) — 0. Если ряд (2.2.6) расходится, то Р(Ап б.ч.) — 1.

В последующих главах диссертации эти и другие обобщения леммы Бореля-Кантелли, приводимые в главе 2, используются для получения сильных предельных теорем.

Материал главы 2 опубликован автором диссертационной работы в статьях: [198], [207] и [227].

В главе 3 диссертационной работы рассматриваются рекордные величины. Математическая теория рекордов берет свое начало с работы Чендлера [61] (Chandler "The distribution and frequency of record values" 1952). На данный момент эта теория насчитывает большое количество работ, значительная часть из которых была опубликована в последние три или четыре десятилетия. Асимптотическая теория рекордов, так же как и экстремальных порядковых статистик, актуальна в связи с различными приложениями.

Определим последовательности верхних рекордных времен L{n) и величин Х(п) следующим образом:

L(0) = 0, L{\) = 1,

L(n + 1) = min{j > L(n) : X, > XL(n)}, (3.1.1)

X(n)=XL{n), 77 = 1,2,...

Если второй знак неравенства в (3.1.1) заменить на < , то вместо верхних рекордных времен и величин мы получим нижние рекордные времена Ll(n) и величины Х1(п). От верхних рекордных величин легко перейти к нижним, взяв вместо исходной последовательности величины —Xi.—X2.... или, если Хг > 0 (г > 1), случайные величины 1/Х\, 1/Х2,... Таким образом, можно ограничиться изучением только верхних рекордных времен и величин, а само слово "верхние" в данной работе мы будем опускать. Исключение составит параграф 4.3, в котором будут рассматриваться и верхние и нижние рекорды одновремен-

но.

Для дискретных распределений и распределений, имеющих атомы, самостоятельный интерес представляют слабые рекордные времена и величины, введенные Верваатом [177] (Уегуаа1; 1973). Если второй знак неравенства в (3.1.1) заменить на > , то вместо рекордных времен и величин мы получим слабые рекордные времена 1/ш(п) и величины Хш(п). Вслед за работой Верваата [177], публикация Степанова [190] (1992) явилась второй работой, посвященной слабым рекордам. В ней была предложена концепция перехода от зависимых слабых рекордных величин к суммам независимых величин, имеющих геометрические распределения.

Часто при проведении статистических экспериментов выборки содержат посторонние наблюдения. Такие нетипичные наблюдения могут сильно влиять на статистические выводы. Предположим, что выборка, состоящая из независимых одинаково распределенных Хг с непрерывной функцией распределения Г, может быть "загрязнена" одним или несколькими наблюдениями, взятыми из выборки независимых одинаково распределенных У3 с другой непрерывной функцией распределения О. Предположим, что Хг <У3, где < означает стохастическое сравнение величин Хг и У3. Данное сравнение подразумевает, что величины У3 имеют больше шансов стать рекордами в совместной выборке, состоящей из величин Хг и УГ Такие рассуждения указывают на необходимость введения нового понятия рекордов - рекордов с подтверждением. Понятие рекордных величин Х(п) и рекордных времен Ь(п) с подтверждением было предложено Невзоровым [145] ^еугогоу 2012). Прежде чем определить рекорды с подтверждением, зафиксируем натуральные т, к, такие что 1 < т < к. Пусть

Ь(1) = 1,Х(1)=Х1

и для п > 1 справедливо:

мп+1)=

га,/с >

где 1а ~ индикатор события Л, а - порядковая статистика, полученная из выборки

состоящей из положительных наблюдений

1{ХЦп)+1>Х(п)}ХЦп)+1^ 1{Хцп)+2>Х(п)}ХЦп)+2' •••> I{XJ>X(n)}XJ-

Далее в главе 3 излагаются предельные теоремы для слабых рекордов и рекордов с подтверждением. Важную роль для получения предельных теорем для слабых рекордов играют лемма 3.2.4 и представление 3.2.1. Определим величину равенством:

С = к (к> 0),

если к слабых рекордных величин зарегистрировано в точке г (г = 0,.... N). Лемма 3.2.4 Случайные величины (г = 0,1,..., N) независимы и

где f3n = qn/qn+i, qn = P(Xi > n), п=' oo для N < oo. Представление 3.2.1 В условиях леммы 3.2.4 справедливо представление

p{xw{n) > т} = + ег + ■ ■ ■ + С < п},

где n>luO<m<N.

Лемма 3.2.4 и представление 3.2.1 обобщаются в главе 3 на случай, когда функция распределения F имеет конечное число атомов (см. лемму 3.2.6). С помощью леммы 3.2.4 и представления 3.2.1 доказываются предельные теоремы для слабых рекордных величин. Приведем некоторые из них.

Пусть Xi, Х2, ■ ■ ■ - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 0,1,..., таких что F(n) < 1 (п > 0). Определим функции

г=0 Рг г=0 Рг

Для слабых рекордных величин справедлив усиленный закон больших чисел Колмогорова.

Теорема 3.3.1 Пусть распределение F удовлетворяет следующему условию:

а — inf ßn > 0. (3.3.1)

п> 0

Тогда

lim "="' 1.

га—» оо П

Центральная предельная теорема и закон повторного логарифма для величины R(Xw(n)) приводятся в теореме 3.3.2.

Теорема 3.3.2 Пусть распределение F удовлетворяет (3.3.1) и условию

г Я(п)

lim 7?Н = 6 е •

га—юо ±?(п)

Тогда для слабых рекордных величин справедливы центральная предельная теорема и закон повторного логарифма, т.е.

rR(Xw(n))-n d

Ve—----> Z (га ->• oo),

y/n

r\R(Xw(n))-n\ п.н.

lim sup Ve--=— = 1.

n->-°° \/2n In In n

причем скорость сходимости в центральной предельной теореме для больших п имеет

вид:

sup

Р <( v/ё—--- < х - Ф(ж)

= 01^,, уп )

где 2 и Ф - стандартная нормальная случайная величина и стандартное нормальное распределение, соответственно.

В параграфе 3.4 аппарат теории правильно меняющихся функций используется для получения предельных теорем как для отношений слабых рекордных величин Zw(n, т) — Хш{п + т)/Х'ш(п), так и для величин Приведем некоторые результаты этого параграфа.

Теорема 3.4.1 Пусть Р - быстро меняющаяся функция. Тогда для любого то > 1 справедливо:

г™(п,т)А 1 (га->оо).

Теорема 3.4.2 Пусть Р - медленно меняющаяся функция. Тогда для любого то > 1 справедливо:

Zw(n, то) А оо при п —> оо.

Теорема 3.4.3 Пусть Р - правильно меняющаяся функция с показателем р > 0. Тогда для любого то > 1 справедливо:

1 + (р1 пж) + ... + (у"-1

---——-х > 1.

В параграфе 3.5 приводятся некоторые предельные теоремы для рекордных времен и величин с подтверждением. В частности, дается следующий результат.

Следствие 3.5.2 Пусть Р - непрерывная функция распределения. Тогда

-1п(1 -Р(Х(п))) пм. 1+ + 1

п к к — то 1

Основные результаты главы 3 опубликованы автором диссертационной работы в статьях: [189], [190], [191], [212], [216], [223] и [228].

В главе 4 диссертационной работы обсуждаются некоторые статистические процедуры, связанные с рекордами. Через два года после публикации первой статьи по рекордам [61] (Chandler 1952) появились работы, в которых было предложено использовать рекорды для статистических выводов. См. работы Фостера и Стьюарта [90] (Foster and Stuart 1954) и Фостера и Тейчроева [91] (Foster and Teichroew 1954). На данный момент известно

достаточное количество работ, в которых рекорды используются для оценки параметров и проверки статистических гипотез.

Естественно задаться вопросом - зачем нужно использовать рекорды в статистических процедурах. Почему бы не воспользоваться классической выборкой? Дело в том, что в некоторых случаях традиционная выборка может быть недоступна. В то же время рекордные величины (полученные из данной выборки) могут быть известны. Такие рекордные выборки рассматривались в работах Саманиего и Витакера [164], [165] (Samaniego апс! \Vhitaker 1986, 1988) и назывались обратными выборками первого рода. Подобного типа выборки появляются в экспериментах теории сопротивления материалов, а также в теории надежности, где измерения проводятся последовательно и доступными оказываются величины, которые превосходят все предыдущие величины. Отметим, что использование выборок, состоящих только из рекордных величин, возможно также в случае, когда традиционные выборки содержат слишком много наблюдений.

В параграфе 4.2 рассматриваются критерии проверки гипотезы однородности, основанные на рекордных величинах. Пусть Х2, ■ ■ ■ и Уь ■ • • ~ две независимые выборки независимых одинаково распределенных случайных величин с функциями распределения Рх и Ру, соответственно. Пусть нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента функции распределения равны между собой, то есть Щ : Рх = Ру. Пусть односторонняя альтернативная гипотеза Н\ имеет вид: существуют значения аргумента, для которых Ех > -Ру- (или Н[ : Рх < Ру). Рассмотрим величины ДМ( (г = 1,2,...), определяемые равенствами

ЯМг = ф{з е {1, 2,.. .} : У (г - 1) < Х{]) < У (г)}.

В последнем равенстве У(0) = —оо и Х(г),У(г) (г = 1,2,...) - последовательности рекордных величин, полученных из выборок Х\, Х2,... и У1; У2,... Для натурального г > 1 определим три тестовые статистики. Первую статистику В,Р(Г) назовем статистикой доминирования У-рекордов:

г

яр(г) = ямг.

1=1

Вторую статистику RM^r) назовем статистикой доминирования максимума У-рекордов:

RM(r) = max ЯМг.

(' 1<1<Г

Наконец, третью статистику RW(г) назовем статистикой суммы рангов У-рекордов:

г

RW[r) = ^Rank(y(z)). i=i

Величины Иапк(У(г)) являются рангами рекордных величин Y (г) в последовательности У(1),..., Y (г), ..., X(RP(r)). Тест, основанный на величине суммы рангов рекордов, аналогичен хорошо известному тесту Вилкоксона [185] (Wilcoxon 1945), основанному на сумме рангов порядковых статистик. В параграфе 4.2 рассматриваются критерии проверки гипотезы однородности, основанные на статистиках RP(r), RM^ и RW(r). Эти критерии обсуждались ранее в нашей работе [199].

Информация Фишера (FI), содержащаяся в рекордах, слабых рекордах и в числах рекордных величин, исследуется в параграфе 4.3. Данные исследования используются при нахождении оценок неизвестных параметров. Приведем один из результатов параграфа 4.3 (теорема 4.3.1 ниже). Будем говорить, что распределение F(x | 0) (с плотностью f(x \ в)) принадлежит семейству распределений Ехр1(^) (или Ехр2(#)), если существуют измеримые функции с(в) и к(х), такие что = с{в)к{х) (или Р^щ — с(в)к(х)). Информация Фишера, содержащаяся в верхних и нижних рекордных величинах и временах, извлеченных из популяции, принадлежащей семействам Exp^fl) и Ехр2(0), обсуждается в теореме 4.3.1 (см. также нашу работу [204]). Теорема 4.3.1 При любом п>1 справедливы равенства:

1/г, F G Ехр2(в),

In(RlTl)= FeExnV),

где In(RlTl) и In(RuTu) - информация Фишера, содержащаяся, соответственно, во всех нижних рекордных величинах и временах и во всех верхних рекордных величинах и временах, принадлежащих данной выборке Х\,..., Хп.

В параграфе 4.4 обсуждаются тесты, основанные на рекордных величинах с подтверждением. Подобного рода тесты могут быть полезны при обнаружении и удалении нетипичных наблюдений, имеющих "большие" значения. Предположим, что в результате статистического эксперимента получены две независимые между собой выборки, состоящие из независимых одинаково распределенных случайных величин. Первая выборка состоит из наблюдений Хг с непрерывной Г, а вторая - из наблюдений Хг и У3 с непрерывными .Р и С. Пусть Ь(2) - второе рекордное время с подтверждением, полученное из какой-либо выборки. В параграфе 4.4 предлагается тест, основанный на рекордных временах с подтверждением, который позволяет идентифицировать выборку, то есть определить присутствуют ли в данной выборке нетипичные наблюдения У3. Данный тест основывается на статистике Т — • Поскольку предполагается, что распределения Р и С имеют один

и тот же носитель и Хг < У3, где < обозначает стохастическое сравнение величиин Хг и У3, наблюдения У3 имеют больше шансов стать рекордными величинами в совместной выборке. Основная гипотеза Нп задается следующим образом:

выборка состоит только из наблюдений Хг.

Альтернативная гипотеза Нг определяется следующим образом:

первым наблюдением выборки является

среди остальных наблюдений выборки есть хотя бы одно наблюдение У3.

Поскольку Хг < У3, разумно предположить, что если справедлива альтернативная гипотеза Н\, то второе рекордное время появится раньше, чем это произойдет в случае, когда справедлива Н0. Данные рассуждения помогают определить критическую область: Т > с + 2(к+1) > гДе с > 0 - надлежащее критическое значение и Т - среднее значение выборки Т\,... ,7дг. Вышеописанный тест обсуждается в параграфе 4.4.

Результаты главы 4 излагаются автором диссертационной работы в следующих публикациях: [199], [204], [216] и [228].

В главе 5 диссертационной работы обсуждаются асимптотические свойства чисел величин, регистрируемых около порядковых статистик и рекордов. Пусть Х\,..., Хп - выборка

независимых одинаково распределенных величин с общей непрерывной функцией распределения F. Пэйкс и Стьютел [152] (Pakes and Steutel 1997) и Хмаладзе, Надарешвили и Никабадзе [116] (Khmaladze, Nadareishvili and Nikabadze 1997) предложили исследовать величину

К(п, a) = 4{j ■ Х3 € (М„ -a,Mn)} (1 < j < п, а > 0),

которая описывает количество наблюдений выборки, попадающих в случайный интервал (Мп — а,Мп). Оказалось, что величина К(п,а) тесно связана с "верхними" спейсингами, построенными по порядковым статистикам и может быть использована для получения результатов для спейсингов. В работе [151] определили случайную величину К_(п,к,а):

К_(п, k, а) = #{j : G (Хк,п - а, Хк,п)} (0 < j < n, 1 < к < п).

Отметим, что К-(п,п, а) — К(п,а). В главе 5 также рассматривается случайная величина К+(п,к,а), равная числу наблюдений выборки, попадающих в случайный интервал (Xk,n, Xk,n + а)- Дополним список работ, в которых изучались свойства величин К_ и К+, следующими работами: [101], [102], [103|, [104], [111], [116], [127], [128], [149], [150|, |159], [160] и [213].

В главе 3 изучаются дискретные случайные величины £гш, равные числам слабых рекордных величин, попадающих в точки г (г > 1). В главе 5 рассматривается непрерывный аналог этих величин - величины £п(а), задаваемые равенствами:

= ф{] : L{n) < j < L(n + 1), Е (Х(п) - о, Х(п)}} (п > 1).

Величины £п(о) назовем числами величин, регистрируемых около рекордных величин, или числами околорекордных величин. Величины £п(а) и их суммы находят применение в актуарной и финансовой математике. Пусть Хг - положительные величины и sn(a) - сумма величин, регистрируемых около тг-ой рекордной величины, т.е. sn(a) = 1 Хг> где

Хг € (Х(п) — а. Х[п)\. Данная сумма может быть интерпретирована как сумма страховых требований, попадающих в случайный интервал (Х(п) — а. Х(п)]. Эти требования будут регистрироваться только после некоторого специального момента. Этот момент обозначен требованием, превосходящим все предыдущие требования, или, в наших терминах, является n-ым рекордным временем Ь{п). В силу некоторых обстоятельств (текущего за-

конодательства и т.п.) регистрация этих требований прекращается в момент появления следующего рекордного требования L(n + 1). Естественно, что для страховых компаний сумма "больших" страховых выплат sn(a) (а она может достигать до 90% от суммы всех выплат) представляет значительный интерес. Величины £п(а) и их суммы изучались в работах: [29], [97], [114] и [200].

В параграфах 5.2-5.4 получены предельные результаты для величин £га(а), их сумм и величин К_ и К+. Приведем некоторые из них.

Теорема 5.2.2 Пусть гр = оо u /3(a) — 1. Для того чтобы

К_(п,п — k,a) П—>' 0 (п —> оо)

(для некоторых фиксированных к > 0 и а > 0), необходимо и достаточно, чтобы

F(x + а) - F{x - а)

J

J к

(1 -F{x-a)f

-dF(x) < оо.

Теорема 5.4.10 Предположим, что предел в (1.2.1) существует для а, 6 > 0, таких что а/Ь - иррационально. Тогда

т )) (п —> оо),

где дг(р) - геометрическая случайная величина с параметром р и компоненты вектора, стоящего в правой части последнего предельного соотношения, независимы. В частности, Зп тд ^ Зт,а> <?де

4,т,а = £п(а1) + • • • + (п+ш-^т), Я^а = 91 (Ж^)) + . . . + 0т(/?(ат). При этом производящая функция 89т й имеет вид:

Е |>™.«1 = П_^__(5 4 16)

Распределение величины s9mà является сверткой геометрических распределений. В частности, если все координаты вектора â — (ai,... ,an) различны, то

m

р «â = fc) = Е <т) РМ (! - РЫ)" , к = 0,1,..., (5.4.17)

i=i

где

, , Р(т) (1 - /3(аг))т

ш = M Yrr" (M \ M ЛЛ ' г = 1 5А18

дфг

/3(т) — /9(аг). Если же ai = ... = am, то распределение â является отрицательным биномиальным. Получен также следующий результат.

Теорема 5.4.11 Пусть Р - быстро меняющаяся функция и предел в (1.2.1) существует для а,Ь > 0, таких что а/Ь - иррационально. Тогда З^гпй/Х(п) -4 89тй, где Зпта = йгг(а1) + ■ • ■ + 5п+т-1 (<1т) и величина 89т й определяется производящей функцией (5.4.16).

(1) (а) В частности, если 0 < /?(а) < 1 и все компоненты а различны, то распределение задается (5-4-17) и (5.4-18).

(б) Если же а\ = ■ ■ ■ = ат — а, то

Р{^т,а = к} = Скт_1+к{/3(а)Г{ 1 - /3(а)}к (к > 0).

(2) Если /3(а) — 0, то для любого вектора а с положительными компонентами верно:

(3) Если в (а) = 1, то для любого вектора а с положительными компонентами верно:

А 0.

Материал диссертации, представленный в главе 5, опубликован автором диссертационной работы в следующих статьях: [198], [200], [201], [206], [211], [213], [221] и [222].

В главе £ диссертационной работы обсуждаются предельные теоремы для серий, основанных на порядковых статистиках и рекордах. Понятия серий, образуемых спейсингами порядковых статистик и рекордов, были предложены, соответственно, в наших работах [208] и [214]. Свойства таких серий изучались далее в работах: [83], [84], [85], [88], [224],

[225] и [226], см. также ссылки в этих работах.

В главе 6 рассматриваются выборки двух типов. Выборка первого типа состоит из независимых и одинаково распределенных случайных величин Х\,..., Хп с непрерывной функцией распределения Р. Из этих величин формируются соответствующие порядковые статистики Х\,п < ... < Хп^п. Выборки второго типа (в нашей работе они называются обратными выборками первого рода, см. [164], [165]) - есть выборки, состоящие из рекордных величин -^(1), • • •, Х(п). Они используются тогда, когда классические выборки недоступны.

Серии, основанные на спейсингах порядковых статистик Х1}П — Хг-11П (спейсингах рекордных величин Х(]) — Х(] — 1)), определяются в главе 6 (см. также [214] и [208]) следующим образом. Для е > 0 определим величины и соотношениями

и1 ,п ~ ип+1,п — 1) £1 — —

Кп

1, если Хг>п - > с, г = 2,..., п,

0, в противном случае,

1, если Х(п) - Х(п - 1) > е, п> 2, 0, в противном случае.

Будем говорить, что последовательность спейсингов порядковых статистик

Хг,п Х1—1П,..., Xj .ii

(спейсингов рекордных величин -Х"(г) — Х(г — 1),... — Х(] — 1)) формирует серию

длиной з — г — \ (г + 1 < ] <п+\), если

Кп = уЕг+1 ,п = ••■ = ,П = 0. и1п = 1

(£г£ = = ... = = 0,^ = 1). Определим числа всех серий, образованных спейсин-

гами данной выборки и обратной выборки первого рода Щ^, равенствами

¿г = ][>%> ^ = Е£

г=1 /=1

В главе 6 доказываются следующие предельные теоремы.

Теорема 6.4.2 Пусть (5(е) = 7(е) = 0, где 7(Ъ) = Нт^.оо = —оо,£> > 0), и

Теорема 6.4.4 Пусть Р - абсолютно непрерывное распределение, (3(е) £ (0,1] и (3(х,е) строго возрастает по переменной х. Тогда

В параграфе 6.5 рассматривается схема серий в случае равномерного распределения. Здесь величины будут симметрично зависимыми. Пусть Х1:..., Хкп - независимые равномерно на [0,1] распределенные величины и кп —> оо при п —> оо. Пусть е = еп уменьшается по мере роста количества наблюдений в каждой серии, так что 0 < еп < к 1_1. Справедлив следующий результат.

Теорема 6.5.1 Пусть тп < кп - последовательность натуральных чисел, таких что Пш^оо ^ = «е(0,1).

1) Пусть еп = ¿г^гу, где кп —> оо и А € (0,1). Тогда

Тогда

1.

2) Пусть е = о(дг-) и £пк^/2 —> оо. Тогда

X

—оо

В главе 6 мы также предлагаем статистический критерий, основанный на спейсингах, образованных порядковыми статистиками.

Материал диссертации, представленный в главе 6, опубликован автором диссертационной работы в следующих статьях: [208], [214], [224], [225] и [226].

В главе 7 диссертационной работы рассматриваются предельные теоремы для конко-митантов порядковых статистик и рекордов. Интерес к конкомитантам порядковых статистик и рекордов проявляется в страховом бизнесе, когда конкомитанты наибольших страховых выплат также могут вызвать большие расходы для страховых компаний, в теории надежности, когда сложные системы состоят из нескольких компонент и выход из строя отдельных компонент системы приводит к прекращению работы всей системы, в биостатистике, при исследовании побочных эффектов от действия лекарств, и в некоторых других областях. Пусть (X, У), (Xi, Ух), (Х2, Y2),..., (Хп, У^),... - независимые одинаково распределенные векторы с двумерной непрерывной функцией распределения F(x, у) и маргинальными функциями распределения Н(х) и G (у). Пусть Х1:„ < X2tn < ... < ХП:П -порядковые статистики, образованные выборкой Хь ... , Х„, а Х(п) (п > 1) - рекордные величины, полученные из выборки Х\,Х2, ■ ■ ■ Порядковые статистики Х1>п и рекордные величины Х{п) индуцируют конкомитанты порядковых статистик и рекордных ве-

личин Y[n\ (п > 1). Конкомитанты порядковых статистик были предложены в работах Дэйвида [70] (David 1973) и Бхаттачарии [50] (Bhattacharya 1974). Конкомитанты рекордных величин, по-видимому, впервые обсуждались в работе Хоученза [110] (Houchens 1984).

Асимптотическое поведение вероятности P(Y[n^k,n] < у) в случае, когда к (к > 0) либо фиксировано, либо стремится к бесконечности (при п —> оо), изучалось во многих работах, см., например, [5], [50], [51], [66], [71], [72], [73], [96] и [179]. См. также ссылки в этих работах. Стоит отметить, что работ, в которых рассматривались сильные предельные теоремы для конкомитантов порядковых статистик или рекордов, было немного. Упомянем здесь статью [96], в которой были получены сильные предельные теоремы для разностей между порядковыми статистиками и их конкомитантами, статью [166], в которой рассматривались принципы инвариантности для конкомитантов порядковых статистик, и наши работы [196], [227], в которых обсуждались асимптотические свойства величин Yj„_fc.n], в том числе, сильные предельные теоремы. Стоит также упомянуть нашу работу [197], в которой

изучались асимптотические свойства конкомитантов рекордных величин.

Следующий предел рассматривается в главе 7 (см. также наши работы [196] и [197]):

= (7.2.6)

Предел в (7.2.6) используется в главе 7 (см. также [196] и [197]) для классификации двумерных распределений. Величина р классифицирует распределения F следующим образом, (i) Пусть для некоторого с € [—оо, оо]

р(у) =0 (у < с) и р(у) = 1 (у > с).

Тогда распределение F называется с-конкомитант-стабильным.

(И) Если такой с не существует, то F называется конкомитант-нестабильным распределением. Например, если X и Y - независимые случайные величины, то р(у) = G (у) и распределение F - конкомитант-нестабильное.

Приведем только один асимптотический результат главы 7. В нашей диссертационной работе получена сильная предельная теорема для величины Y[n}.

Теорема 7.5.2 Пусть для всех е > 0 выполняются равенства р(с — е) = 0 u р(с + е) = 1. Для того чтобы,

Y{n] n4t' с (п —> сю), необходимо и достаточно, чтобы интегралы

G{c + e) - F(x,c + e)

f

J к /

Jm

(1 -H{x)f G (с — с) — F(x, с — е)

[dH(x) - F{dx, с + е)]

\dH(x) - F(dx.c-£)]

(1 ~Н(х)У сходились при всех £ > 0.

Результаты главы 7 излагаются автором диссертационной работы в следующих публикациях: [196], [197] и [227].

В главе 8 диссертационной работы обсуждаются характеризационные теоремы для порядковых и рекордных статистик. Приведем здесь некоторые публикации, в которых со-

держались характеризации, основанные на порядковых статистиках: [39], [89], [112], [113], [115], [121], [136], [137], [138], [140], [173] и [181]. Характеризационные задачи данной тематики поднимались и освещались в книгах Кагана, Линника и Pao [7] (1972), Галамбоша и Котца [94] (Galambos and Kotz 1978), Галамбоша [3] (1984), Pao и Шанбхага [162] (Rao and Shanbhag 1993), Ахсануллаха [24] ( Ahsanullah 1995), Арнольда, Балакришнана и На-гараджи [30], [31] (Arnold, Balakrishnan and Nagaraja 1992, 1998), Невзорова [15] (2000), Дэйвида и Нагараджи [73] (David and Nagaraja 2003).

Среди множества публикаций, использовавших свойства рекордов для характеризации распределений, можно выделить работы: [22], [23], [25], [40], [100], [117], [120], [135], [138], [140], [143], [144], [189] и [191].

С 1993 года слабые рекорды стали использоваться для характеризаций. Приводимая ниже теорема 8.2.1, опубликованная автором диссертационной работы в статье [191], явилась первым результатом, использующим свойства слабых рекордов для характеризации распределений.

Теорема 8.2.1 Пусть Xi,Xi,... - последовательность независимых величин, принимающих значения 0,1,..с общей функцией распределения F, такой что rF — сю. Для того чтобы случайная величина Xi имела распределение вида

( для некоторых а > 0 и ß > 0), необходимо и достаточно, чтобы

E{Xw(n + 1) - Xw(n)\Xw{n) = l} = a + ßl

для всех I = 0,1,... (n > 1).

Обобщения этой теоремы были получены позднее в работах [27], [28], [129] и [183]. Следует упомянуть работы [60], [68], [69], [75] и [79], в которых также рассматривались характеризации, основанные на слабых рекордах.

В параграфе 8.3 приводятся характеризации, основанные на порядковых статистиках. В параграфе 8.4 даны характеризации, основанные на второй рекордной величине и

максимуме выборки. Пусть - последовательность независимых величин с

общей непрерывной функцией распределения F и Sn = Х(2) — Мп.

Теорема 8.4.1 (1) Случайные величины S~ — min{0,5n} и Мп независимы для некоторого п > 3 тогда и только тогда, когда исходное непрерывное распределение F совпадает (с точностью до параметров сдвига и масштаба) с F(x) — ех (х < 0).

(2) Случайные величины 5*+ = max{0, 5„} и Мп независимы для некоторого п > 1 тогда и только тогда, когда исходное непрерывное F совпадает (с точностью до параметров сдвига и масштаба) с F(x) = 1 — е~х (х > 0).

3) Величины Sn и Мп независимы для некоторого п = 1,2,... тогда и только тогда, когда исходное непрерывное F совпадает (с точностью до параметров сдвига и масштаба) с F(x) = 1-е~х (х > 0) и п = 1, 2.

Материал диссертации, представленный в главе 8, опубликован автором диссертационной работы в статьях: [189], [191], [202] и [223].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степанов, Алексей Васильевич, 2014 год

Литература

1. Берред А., Невзоров В.Б. (2004). Выборки без возвращения: дискретные аналоги некоторых непрерывных распределений, Зап. научн. сем. ПОМИ, 311, 40-50.

2. Боровков A.A. Математическая статистика. - М. Наука, 1984.

3. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. -М. Наука, 1984.

4. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. - М. Физматгиз, 1963.

5. Егоров В.А., Невзоров В.Б. (1981). О скорости сходимости к нормальному закону сумм индуцированных порядковых статистик, Зап. научн. сем. ПОМИ, 108, 45—56.

6. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. -М. Наука, 1965.

7. Каган A.M., Линник Ю.В., Pao С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. - М. Наука, 1972.

8. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М. Наука, 1973.

9. Мартикайнен А.И., Петров В. В. (1990). О лемме Бореля—Кантелли, Зап. научн. сем. ПОМИ, 184, 200-207.

10. Невзоров В.Б. (1985). О рекордных моментах и межрекордных временах для последовательностей неодинаково распределенных случайных величин, Зап. научн. сем. ПОМИ, 142, 109-118.

11. Невзоров В.Б. (1986). О к-ых рекордных моментах и их обобщениях, Зап. научн. сем. ПОМИ, 153, 115-121.

12. Невзоров В.Б. (1987а). Рекорды, Теория вероягпн. и ее примеч., 32 (2), 219-251.

13. Невзоров В.Б. (19876). Моменты некоторых величин, связанных с рекордами, Вестник СПбГУ, 8, 33 37.

14. Невзоров В.Б. (1997). Об одном предельном соотношении между порядковыми статистиками и рекордами, Зап. научн. сем. ПОМИ, 244, 218-226.

15. Невзоров В.Б. Рекорды. Математическая теория. - М. ФАЗИС, 2000.

16. Петров В.В. (1968). Асимптотическое поведение вероятностей больших уклонений, Теория вероятн. и ее примеч., 13 (3), 432-444.

17. Петров В.В. Суммы независимых случайиых величин. - М. Наука, 1972.

18. Сенета Е. Правильно мечяющиеся фучкции. - М. Наука (перевод с английского под ред. Золотарева В.М.), 1985.

19. Феллер В. Введечие в теорию вероятностей и ее приложения. - М. Наука, 1967.

20. Ahmad, I.A. and Kochar, S.C. (1988). Testing for dispersive ordering, Statist. Probab. Lett., 7, 179-185.

21. Ahmadi, J. and Arghami, N.R. (2001). On the Fisher information in record values, Metrika, 53, 195-206.

22. Ahsanullah, M. (1979). Characterization of the exponential distribution by record values, Sankhya, Ser. B, 41, 116-121.

23. Ahsanullah, M. (1981). On a characterization of the exponential distribution by weak homoscedasticity of record values, Biometrical J., 23, 715-717.

24. Ahsanullah, M. (1995). Record Statistics, Nova Science Publishers, Commack, NY.

25. Ahsanullah, M. and Holland, B. (1984). Record values and the geometric distribution, Statist. Hefte, 25, 319-327.

26. Ahsanullah, M. and Nevzorov, V.B. (2001). Ordered random variables, Nova Science Publisher, NY.

27. Aliev, F.A. (1998). Characterizations of distributions through weak records, J. Appl. Statist. Sci., 8, 13-16.

28. Aliev, F.A. (1999). New characterization of discrete distributions through weak records, Теория вероятн. и ее примеч., 44, 756-761.

29. Akbaria, М. and Fashandia, М. (2014). On characterization results based on the number of observations near the k-records, Statistics, 48 (3), 633-640.

30. Arnold, B.C., Balakrishnan, N. and Nagaraja, H.N. (1992). A first course in order statistics, John Wiley к Sons, NY.

31. Arnold, B.C., Balakrishnan, N. and Nagaraja, H.N. (1998). Records, John Wiley & Sons, NY.

32. Arnold, B.C. and Villasenor, J.A. (1998). The asymptotic distributions of sums of records, Extremes, 1 (3), 351-363.

33. Bairamov, I.G. (1997). Some distribution free properties of statistics based on record values and characterizations of the distribution through a record, J. Appl. Statist. Sci., 5 (3), 1725.

34. Bairamov, I.G. (2000). On the characteristic properties of exponential distribution, Ann. Inst. Statist. Math., 52 (3), 448-458.

35. Bairamov, I.G. and Eryilmaz, S.N. (2000). Distributional properties of statistics based on minimal spacing and record exeedance statistics, J. Statist. Plann. Inference, 90, 21-33.

36. Bairamov, I.G. and Apaydin, A. (2000). Characterizations of continuous distributions by property of conditional expectation, S. Afr. Statist. J., 34, 39-50.

37. Bairamov, I.G. and Eryilmaz, S.N. (2005). Spacings, exceedances and concomitants in progressive type II censoring scheme, J. Statist. Plann. Inference, 136 (3), 527-536.

38. Bairamov, I.G., Gebizlioglu, O.L. and Kaya, M.F. (2001). Asymptotic distributions of the statistics based on order statistics, record values and invariant confidence intervals. In book: Asymptotic methods in Probability and Statistics with Applications, Ed. by Balakrishnan, N., Ibragimov, I.A. and Nevzorov, V.B., Birkhauser, Boston, NY, 309-320.

39. Balakrishnan, N. and Akhundov, I.S. (2003). A characterization by linearity of the regression function based on order statistics, Statist. Probab. Lett., 63, 435-440.

40. Balakrishnan, N. and Balasubramanian, K. (1995). A characterization of geometric distribution based on record values, J. Appl. Statist. Sci., 2, 233-248.

41. Balakrishnan, N. and Koutras, M.V. (2002). Runs and scans with applications, Wiley Series in Probability and Statistics.

42. Balakrishnan, N. and Nevzorov, V.B. (1997). Stirling numbers and records. In book: Advances in Combinatorial Methods and Applications to Probability and Statistics, Ed. by N.Balakrishnan, Boston, MMA: Birkhauser, 189-200.

43. Balakrishnan, N. and Ng, H.K.T. (2006). Precedence-Type Tests and Applications, Wiley, Hoboken, NJ.

44. Barndorff-Nielsen, O. (1961). On the rate of growth of the partial maxima of a sequence of independent identically distributed random variables, Math. Scand., 9, 383-394.

45. Baryshnikov, Y., Eisenberg, B. and Stengle, G. (1995). A necessary and sufficient condition for the existence of the limiting probability of a tie for first place, Statist. Probab. Lett., 23, 203-209.

46. Beirlant, J., Goegebeur, Y,. Teugels, J. and Segers, J. (2004). Statistics of extremes. Theory and applications, Chichester, Wiley.

47. Berred, A. (1992). On record values and the exponent of a distribution with a regularly varying upper tail, J. Appl. Prob., 29, 575-586.

48. Berred, A. (1998a). Prediction of record values, Comm. Statist. Theory Methods, 27 (9), 2221-2240.

49. Berred, A. (1998b). An estimator of the exponent of regular variation based on k-record values, Statistics, 32, 93-109.

50. Bhattacharya, B.B. (1974). Convergence of sample paths of normalized sums of induced order statistics, Ann. Statist. , 2, 1034-1039.

51. Bhattacharya, B.B. (1984). Induced order statistics: theory and applications, In Handbook of Statistics 4, Ed. Krishnaiah, P. R. andSen, P. K., North Holland, Amsterdam, 383-403.

52. Bingham, N.H., Goldie, C. and Teugels, J.F. (1997). Regular variation, Encyclopaedia Math. Appl. 27, Cambridge University Press.

53. Borel, E. (1909). Les probabilités denombrables et leurs applications arithmétiques, Rend. Cire. Mat. Palermo, 27, 247-271.

54. Borel, E. (1912). Sur un problème de probabilités relatif aux fisetious continues, Math. Ann., 77, 578-587.

55. Brands, J.J.A.M., Steutel, F.W. and Wilms, R.J.G. (1994). On the number of maxima in a discrete sample, Statist. Probab. Lett., 20, 209-217.

56. Breiman, L. (1968). Probability, Addison-Wesley. Reading Mass.

57. Bremaud, P. (1999). Markov Chains. Gibbs Fields. Monte Carlo Simulation, and Queus, Springer-Verlag, New York.

58. Bulinski, A. and Shashkin, A. (2007). Limit Theorems for Associated Random Fields and Related Systems, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.

59. Cantelli, F.P. (1917). Sulla probalitita come limite della frequenza, Atti Accad. Naz. Lincei, 26, 39-45.

60. Castano-Martinez, A., Lopez-Blazquez, F. and Salamanca-Mino B. (2013). An additive property of weak records from geometric distributions, Metrika, 76, 449-458.

61. Chandler, K.N. (1952). The distribution and frequency of record values, J. Royal Statist. Soc., Ser. B, 14, 220-228.

62. Chandra, Т.К. (2012). The Borel-Cantelli Lemma, Springer Briefs in Statistics.

63. Chakraborti, S. and van der Laan, P. (1996). Precedence tests and confidence bounds for complete data: an overview and some results, Statistician, 45, 351-369.

64. Chakraborti, S. and van der Laan, P. (1997). An overview of precedence-type tests for censored data, Biometrical J., 39, 99-116.

65. Chernof, Н and Teicher, H (1958). A central limit theorem for sums of interchangeable random variables, Ann. Math. Statist., 29 (1), 118-130.

66. Chu, S.J., Huang, W.J. and Chen, H. (1999). A study of asymptotic distributions of concomitants of certain order statistics, Statist. Sinica, 9, 811-830.

67. Chung, K.L. and Erdos, P. (1952). On the application of the Borel-Cantelli lemma. Trans. Amer. Math. Soc., 72, 179-186.

68. Danielak, K. and Dembinska, A. (2007a). Some characterizations of discrete distributions based on weak records, Statist, Pap., 48, 479-489.

69. Danielak, K. and Dembinska, A. (2007b). On characterizing discrete distributions via conditional expectations of weak record values, Metrika, 66, 129-138.

70. David, H.A. (1973). Concomitants of order statistics, Bull. Internat. Statist. Inst., 45 (1), 295-300.

71. David, H.A. (1994). Concomitants of Extreme Order Statistics, In Extreme Value Theory and Applications, Proceedings of the Conference on Extreme Value Theory and Applications, 1, Ed. Galambos, J., Lechner, J., and Simiu, E., Kluwer Academic Publishers, Boston 211-224.

72. David, H.A. and Galambos, J. (1974). The asymptotic theory of concomitants of order statistics, J. Appl. Probab., 11, 762-770.

73. David, H.A. and Nagaraja, H.N. (2003). Order Statistics, Third edition, John Wiley & Sons, NY.

74. Dembinska, A. (2001). Linearity of regression for adjacent order statistics - discrete case, Demonstratio Math., XXXIV (3) 711-721.

75. Dembinska, A. (2007). Review on Characterizations of Discrete Distributions Based on Records and k-th Records, Comm. Statist. Theory Methods, 37 (7), 1381-1387.

76. Dembinska, A. and Wesolowski, J. (1998). Linearity of regression for non-adjacent order statistics, Metrika, 48, 215-222.

77. Dembinska, A. and Wesolowski, J. (2000). Linearity of regression for non-adjacent record values, J. Statist. Plann. Inference, 90, 195-205.

78. Dembinska, A. and Wesolowski, J. (2003). Constancy of regression for size-two record spacings, Pakistan J. Statist., 19, 143-149.

79. Dembinska, A. and Lopez-Blazquez, F. (2005). A characterization of geometric distribution through fc-th weak records, Comm. Statist. Theory Methods, 34, 2345-2351.

80. Eisenberg, В., Stengle, G. and Strang, G. (1993). The asymptotic probability of a tie for first place, Ann. Appl. Probab., 3, 731-745.

81. Embrechts P., Kluppelberg C. and Mikosch T. (1997) Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Berlin, Springer.

82. Erdos, P. and Renyi, A. (1959). On Cantor's series with convergent JZ 1 /qn. Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math., 2, 93-109.

83. Eryilmaz, S. (2005). On the distribution and expectation of success runs in nonhomogeneous Markov dependent trials, Statist. Pa,p., 46,117-128.

84. Eryilmaz, S. (2007). Extension of runs to the continuous valued sequences, Statist. Probab. Lett., 77, 383-388.

85. Eryilmaz, S., Fu, J. (2008). Runs in continuous-valued sequences, Statist. Probab. Lett., 78, 759-765.

86. Etemadi, N. (1983). On the laws of large numbers for nonnegative random variables, J. Multivariate Anal., 13, 119-122.

87. Fan, Y. (1999). A data-driven test for dispersive ordering, Statist. Probab. Lett., 41, 331336.

88. Fan, A.H., Wang, Z.Z and Ding, F.Q. (2008). Some limit theorems of runs to the continuous-valued sequence, Kybernetes, 37, 1279-1286.

89. Ferguson, T.S. (1967). On characterizing distributions by properties of order statistics, Sankhya, Ser. A, 29, 265-278.

90. Foster, F.G. and Stuart, A. (1954). Distribution free tests in time-series band on the breaking records, J. Royal Statist. Soc., Ser. B, 16 (1), 1-22.

91. Foster, F.G. and Teichroew, D. (1955). A sampling experiment on the powers of the record tests for trend in a time series, J. Royal Statist. Soc., Ser. B, 17 115-121.

92. Frolov, A.N. (2012). Bounds for probabilities of unions of events and the Borel-Cantelli lemma, Statist. Probab. Lett., 82, 2189-2197.

93. Fu, J.C. and Lou, W.Y.W. (2003). Distribution theory of runs and patterns and its applications, World Scientific Publishing, Singapore.

94. Galambos, J. and Kotz, S. (1978). Characterizations of Probability Distributions, Lecture Notes in Mathematics No. 657, Springer-Verlag, Berlin.

95. Gibbons, J.D. and Chakraborti, S. (1992). Nonparametric Statistical Inference, Third edition, Marcel Dekker, New York.

96. Goel, P. K. and Hall, P. (1994). On the average difference between concomitants and order statistics, Ann. Probab., 22, 126-144.

97. Gouet, R.F., Lopez, J. and Sanz, G. (2012). Central Limit Theorem for the Number of Near-Records, Comm. Statist. Theory Methods, 41(2), 309-324.

98. Greene, D.H. and Knuth, D.E. (1982). Mathematics for the Analysis of Algorithms, 2th. Ed., Birkhauser.

99. Griffin P., Lossers, O.P. and Rade, L. (1994). Problem E3436 and its solution, Amer. Math. Monthly, 101, 78-80.

100. Gupta, R. C. (1984). Relations between order statistics and record values and some characterization results, J. Appl. Probab., 21, 425-430.

101. Hashorva, E. (2003). On the number of near-maximum insurance claims under dependence, Insurance Math. Econom., 32, 37-49.

102. Hashorva, E. (2004). Bivariate maximum insurance claim and related point processes, Statist. Probab. Lett., 69 (2), 117-128.

103. Hashorva, Е. and Husler, J. (2002). The neighborhood of the bivariate maxima: with application to insurance, Suppl. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, 70, 361-376.

104. Hashorva, E. and Husler, J. (2005). Estimation of Tails and Related Quantities Using the Number of Near-Extremes, Comm. Statist. Theory Methods, 34 (2), 337-349.

105. Hofmann, G. (2004). Comparing Fisher information in record data and random observations, Statist. Pap., 45, 517-528.

106. Hofmann, G. and Balakrishnan, N. (2004). Fisher information in /c-records, Ann. Inst. Statist. Math., 56, 383-396.

107. Hofmann, G., Balakrishnan, N. and Ahmadi, .T. (2005). A characterization of the factorization of the hazard function by the Fisher information in minima and upper record values, Statist. Probab. Lett., 72, 51-57.

108. Hofmann, G. and Nagaraja H. N. (2003). Fisher information in record data, Metrika, 57, 177-193.

109. Hofri, M. (1995). Analysis of Algorithms, O.U.P., NY.

110. Houchens, R.L. (1984). Record value theory and inference, Ph.D. Dissertation, University of California, Riverside, California.

111. Hu Z. and Su C. (2003). Limit theorems for the number and sum of near-maxima for medium tails, Statist. Probab. Lett., 63, 229-237.

112. Huang, J.S. (1975). Characterization of distributions by the expected values of order statistics, Ann. Inst. Statist. Math., 27, 87-93.

113. Huang, J.S. (1989). Moment problem of order statistics: a review, Intern. Statist. Rev., 57, 57-66.

114. Iliopoulos, G., Dembinska, A. and Balakrishnan, N. (2012). Asymptotic properties of numbers of observations near sample quantiles, Statistics, 46 (1), 85-97.

115. Kaminsky, K.S. and Nelson, P.I. (1975). Best linear unbiased predictor of order statistics in location and scale families, J. Amer. Statist. Assoc., 70, 145-150.

116. Khmaladze, Е., Nadareishvili, М. and Nikabadze, A. (1997). Asymptotic behaviour of a number of repeated records, Statist. Probab. Lett., 35, 49-58.

117. Kirmani, S.N.U.A. and Beg, M.I. (1984). On characterization of distributions by expected records, Sankhya, Ser. A, 46, 463-465.

118. Kochen, S.B. and Stone, C.J. (1964). A note on the Borel-Cantelli lemma. Illinois J. Math., 8, 248-251.

119. Kounias, E.G. (1968). Bounds for the probability of a union, with applications, Ann. Math. Statist., 39, 2154-2158.

120. Korwar, R.M. (1984). On characterizing distributions for which the second record value has a linear regression on the first, Sankhya, Ser. B, 46 (1), 108-109.

121. Kotlarski, I. (1972). On a characterization of some distributions by conditional expectation, Sankhya, Ser. A, 34, 461-467.

122. Kotz, S. and Shanbhag, D. N. (1980). Some new approaches to probability distributions, Adv. App. Probab., 12, 903-921.

123. Lamperti, J. (1963). Wiener's test and Markov chains, J. Math. Analysis Appl., 6, 58—66.

124. Lehmann, E.L. (1953). The power of rank test, Ann. Math. Statist., 24, 23—42.

125. Lehmann, E.L. (1998). Nonparametrics: statistical methods based on ranks, Prentice Hall, New Jersey.

126. Levy, P. (1937). Theorie de V' addition des variables aleatoires, Gauthier-Villars, Paris.

127. Li, Y. (1999). A note on the number of records near maximum, Statist. Probab. Lett., 43, 153-158.

128. Li, Y. and Pakes, A. (1998). On the number of near-records after the maximum observation in a continuous sample, Comm. Statist. Theory Methods, 27, 673-686.

129. Lopez-Blazquez, F. (2004). Linear prediction of weak records: the discrete case, Теория вероятн. и ее примеч., 48, 718-723.

130. Lossers, О.P. (1993). Solution to part (b) of a problem of Lennart Rade, Amer. Math. Monthly, 101, 78-80.

131. Mann, B. (1992). How do you stop flipping a lot of coins?, A.B. Thesis, Princeton University.

132. Maronna, R.A., Martin, R.D. and Yohai V.J. (2006). Robust Statistics - Theory and Methods, John Wiley к Sons, New York.

133. Mori, T.F. and Szekely, G.J. (1983). On the Erdos-Renyi generalization of the Borel-Cantelli lemma. Studia Sci. Math. Hunger., 18, 173-182.

134. Nagaraja, H.N. (1975). Characterization of some distributions by conditional moments, J. Indian Statist. Assoc., 13, 57-61.

135. Nagaraja, H.N. (1977). On a characterization based on record values, Austral. N. Z. J. Statist., 19 (1), 70-73.

136. Nagaraja, H.N. (1984). Asymptotic linear prediction of extreme order statistics, Ann. Inst. Statist. Math., 36, 289-299.

137. Nagaraja, H.N. (1988a). Some characterizations of continuous distributions based on regressions of adjacent order statistics and record values, Sankhya, Ser. A, 50, 70-73.

138. Nagaraja, H.N. (1988b). Record values and related statistics - A review, Comm. Statist. Theory Methods, 17, 2223-2238.

139. Nagaraja, H.N. and David, H.A. (1994). Distribution of the maximum of concomitants of selected ordered statistics, Ann. Statist., 22, 478-494.

140. Nagaraja, H.N. and Nevzorov, V.B. (1997). On characterizations based on record values and order statistics, J. Statist. Plann. Inference, 63, 271-284.

141. Nelson, L.S. (1963). Tables of a precedence life test, Technometrics, 5, 491—499.

142. Nelson, L.S. (1993). Tests on early failures: the precedence life test, J. Qual. Technoi, 25, 140-143.

143. Nevzorov, V.B. (1986). Two characterizations using records, Lecture Notes in Mathematics, 1233, Springer, Berlin, 79—85.

144. Nevzorov, V.B. (1992). A characterization of exponential distributions by correlations between records, Math. Methods Statist., 1, 49-54.

145. Nevzorov, V.B. (2012). Records with confirmation. In: Abstracts of International Conference Probability Theory and its Applications; In Commemoration of the Centennial of В. V. Gnedenko, Moscow State University, 152—153.

146. Nevzorov, V.B. and Ahsanullah, M. (2000). Some Distributions of Induced Records, Biometrical J., 42 (8), 1069-1081.

147. Nevzorov, V.B. and Balakrishnan, N. (1998). A record of records, in Handbook of Statistics, Ed. Balakrishnan, N. and Pao, C.R. Elsevier Science, Amsterdam, 16, 515-570.

148. Nevzorov, V.B., Balakrishnan, N. and Ahsanullah, M. (2003). Simple characterization of Student's ¿2 distribution, Statistician, 52, 395-400.

149. Pakes, A. (2000). The number and sum of near-maxima for thin-tailed populations, Adv. Appl. Probab., 32, 1100-1116.

150. Pakes, A. (2005). Criteria for convergence of the number of near maxima for long tails, Extremes, 7 (2), 123-134.

151. Pakes, A. and Li, Y. (1998). Limit laws for the number of near maxima via the Poisson approximation, Statis. Probab. Lett., 40, 395-401.

152. Pakes, A. and Steutel, F.W. (1997). On the number of records near the maximum, Austral. N. Z. J. Statist., 39, 179-193.

153. Petrov, V.V. (1995). Limit Theorems of Probability Theory, Oxford University Press, Oxford.

154. Petrov, V.V. (2002). A note on the Borel-Cantelli lemma, Statist. Probab. Lett., 58, 283286.

155. Petrov, V.V. (2004). A generalization of the Borel-Cantelli lemma, Statist. Probab. Lett., 67, 233-239.

156. Pfeifer, D. (1989). Extremal processes, secretary problems and the 1/e law, J. Appl. Probab., 27, 722-733.

157. Pfeifer, D. (1991). Some remarks on Nevzorov's record model, Adv. Appl. Probab., 23, 823-834.

158. Руке, R. (1965). Spacings (with discussion), J. Royal Statist. Soc., Ser. B, 27, 395-449.

159. Qi, Y. (1997). A note on the number of maxima in a discrete sample, Statist. Probab. Lett., 33, 373-377.

160. Qi, Y. and Wilms, R.J.G. (1997). The limit behavior of maxima modulo one and the number of maxima, Statist. Probab. Lett., 32, 357-366.

161. Rade, L. (1991). Problem E3436, Amer. Math. Monthly, 99, 366-366.

162. Rao, C.R. and Shanbhag, D.H. (1993). Choquet-Deny Type Functional Equations with Applications to Stochastic Models, John Wiley & Sons, Chichester, England.

163. Renyi, A. (1962). On the extreme elements of observations, In Selected papers of Alfred Renyi, Budapest: Akademiai Kiado, 3, 50-65, 1976. (Translation of the paper - Edy megfigyelessorozat kiemelkedo elemeirol, Mag. Tud. Acad. 3 Oszt. Kozl., 1962, 12, 105121. )

164. Samaniego, F.J. and Whitaker, L.R. (1986). On estimating popular characteristics from record breaking observations I. Parametric results, Naval Res. Log. Quart., 33, 531-543.

165. Samaniego, F.J. and Whitaker, L.R.(1988). On estimating popular characteristics from record breaking observations II. Nonparametric results, Naval Res. Log. Quart., 35, 221— 236.

166. Sen, P.K. (1981). Some invariance principles for mixed rank statistics and induced order statistics and some application, Comm. Statist. Theory Methods, 10 1691-1718.

167. Sen, A. and Balakrishnan N. (1999). Convolution of geometries and a reliability problem, Statist. Probab. Lett., 43, 421-426.

168. Shorrock, R.W. (1972). A limit theorem for inter-record times, J. Appl. Probab., 9 (1), 219-223.

169. Shorrock, R.W. (1972). On record values and record times, J. Appl. Probab., 9 (2), 316326.

170. Shorrock, R.W. (1974). On discrete time extremal processes, Adv. Appl. Probab., 6, 580592.

171. Shaked, M. and Shanthikumar, J.G. (1994). Stochastic Orders and Their Applications, Academic Press, San Diego, California.

172. Spitzer, F. (1964). Principles of Random Walk, Van Nostrand, Princeton.

173. Szekely, G.J. and Mori, T.F. (1985). An extremal property of rectangular distributions, Statist. Probab. Lett., 3, 107-109.

174. Shuster, J. (1970). On the Borel-Cantelli problem, Canad. Math. Dull., 13 (2), 273-275.

175. Tata, M.N. (1969). On outstanding values in a sequence of random variables, Z. Wahrscheinlichkeitheor. verw. Geb., 12 (]), 9-20.

176. van der Laan, P.. Chakraborti, S. (2001). Precedence tests and Lehmann alternatives, Statist. Pap., 42, 301-312.

177. Vervaat, W. (1973). Limit theorems for records from discrete distributions, Stochast. Process. Appl, 1 (2), 317-334.

178. Walsh, J.E. (1969). Sample sizes for approximate independence between sample median and largest (or smallest) order statistic, Austral. N. Z. J. Statist., 11 (3), 120-122.

179. Wang, K. (2008). On concomitants of order statistics, PhD dissertation, The Ohio State University, Columbus, Ohio.

180. Wesolowski, J. (1995). Bivariate distributions via a Pareto conditional distribution and a regression function, Ann. Inst. Statist. Math., 47 (1), 177-183.

181. Wesolowski, J. and Ahsanullah, M. (1997). On characterizing distributions via linearity of regression for order statistics, Austral. N. Z. J. Statist., 39 (1), 69-78.

182. Wesolowski, J. and Ahsanullah, M. (1998). Distributional properties of exceedance statistics, Ann. Inst. Statist. Math., 50 (3), 543-565.

183. Wesolowski, J. and Ahsanullah, M. (2001). Linearity of regression for non-adjacent weak records, Statist. Sinica, 11 (1), 39-52.

184. Wesolowski, J. and Gupta, A.K. (2001). Linearity of convex mean residual life, J. Statist. Plann. Inference, 99, 183-191.

185. Wilcoxon, F. (1945). Individual comparisons by ranking methods, Biometrics Bull, 1, 80-83.

186. Yang, M.C.K. (1975). On the distribution of the inter-record times in an increasing population, J. Appl. Probab., 12, 148-154.

Статьи, опубликованные Степановым А.В.

187. Невзоров В.В., Степанов А.В. (1988). Рекорды: мартингальный подход к нахождению моментов, В сб. Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей, JI. ЛГУ, 171-181.

188. Степанов А.В. (1987). О логарифмических моментах для межрекордных времен, Теория вероятн. 'а ее примен., 32, 774-776.

189. Степанов А.В. (1989). Характеризации геометрического класса распределений, Теория вероятн. и матем. статист., Киев, 41, 133-136.

190. Степанов А.В. (1992). Предельные теоремы для слабых рекордов, Теория вероятн. и ее примен., 37. 586-590.

191. Степанов А.В. (1993). Характеризационная теорема для слабых рекордных величин, Теория вероятн. и ее примен., 38, 762-764.

192. Степанов А.В. (1996). Экстремальные порядковые статистики при изменении отношения порядка, Теория вероятн. и ее примен., 41, 896-900.

193. Степанов А.В. (2002а). Условные распределения времен односторонних последовательных приближений, Теория вероятн. и ее примен., 47, 364-366.

194. Степанов А.В. (2002b). Суммы случайных величин, имеющих геометрические распределения, Известия КГТУ, 1, 179-183.

195. Bairamov, I., Berred, A. and Stepanov, A. (2010). Limit results for ordered uniform spacings, Statist. Pap., 51 (1), 227-240.

196. Bairamov, I. and Stepanov, A. (2010). Numbers of near-maxima for the bivariate case, Statist. Probab. Lett., 80, 196-205.

197. Bairamov, I. and Stepanov, A. (2011). Numbers of near bivariate record-concomitant observations, J. Multivariate Anal, 102, 908-917.

198. Bairamov, 1. and Stepanov, A. (2013). Numbers of near-maxima for ^-scheme, Statistics, 47, 191-201.

199. Balakrishnan, N., Dembinska, A. and Stepanov, A. (2008). Precedence-type tests based on record values, Metrika, 68, 233-255.

200. Balakrishnan, N., Pakes, A. and Stepanov, A. (2005). On the number and sum of near record observations, Adv. Appl. Probab., 37, 1-16.

201. Balakrishnan, N. and Stepanov, A. (2004a). A note on the paper of Khmaladze et al, Statist. Probab. Lett., 68, 415-419.

202. Balakrishnan, N and Stepanov, A. (2004b). Two characterizations based on order statistics and records, J. Statist. Plann. Inference, 124, 273-287.

203. Balakrishnan, N. and Stepanov, A. (2005). A note on the number of observations registered near an order statistic, J. Statist. Plann. Inference, 134, 1-14.

204. Balakrishnan, N. and Stepanov, A. (2006). On the Fisher information in record data, Statist. Probab. Lett., 76, 537-545.

205. Balakrishnan, N. and Stepanov, A. (2008a). Asymptotic properties of the ratio of order statistics, Statist. Probab. Lett., 78, 301-310.

206. Balakrishnan, N. and Stepanov, A. (2008b). Asymptotic properties of numbers of near minimum observations under progressive Type-II censoring, J. Statist. Plann. Inference, 38,1010-1020.

207. Balakrishnan, N. and Stepanov, A. (2010). Generalization of the Borel-Cantelli lemma, Math. Sci., 35, 61-62.

208. Balakrishnan, N. and Stepanov. A. (2013). Runs based on records: Their distributional properties and an application to testing for dispersive ordering, Methodol. Comput. Appl. Probab., 15, 583-594.

209. Balakrishnan, N. and Stepanov, A. (2014). On the Use of Bivariate Mellin Transform in Bivariate Random Scaling and Some Applications, Methodol. Comput. Appl. Probab., 16, 235-244.

210. Bayramoglu, I. and Stepanov, A. (2006). A note on large deviations for weak records, Statist. Probab. Lett., 76, 1449-1453.

211. Berred, A. and Stepanov, A. (2005). Ties for the the second place, in book Recent Developments in Ordered Random Variables, Ed. Ahsanullah M. and Raqab M., Nova Science Publisher, NY, 171-185.

212. Dembinska, A. and Stepanov, A. (2006). Limit theorems for the ratio of weak records, Statist. Probab. Lett., 76, 1454-1464.

213. Dembinska, A. Stepanov, A. and Wesolowski, J. (2007). How many observations fall in a neighborhood of an order statistic, Comm. Statist. Theory Methods, 36, 851-867.

214. Eryilmaz S. and Stepanov A. (2008). Runs in an ordered sequence of random variables, Metrika, 67, 299-313.

215. Hashorva, E. and Stepanov, A. (2012). Limit theorems for the spacing of weak records, Metrika, 75, 163-180.

216. Nevzorov, V.B. and Stepanov, A. (2014). Records with confirmation, Statist. Probab. Lett., 95, 39-47.

217. Stepanov, A. (1998). Limit behavior of the times of one-sided successive approximations, Istatistik, 1 (3), 43-46.

218. Stepanov, A. (1999). The second record time in the case of arbitrary distribution, Istatistik, 2 (2), 65-70.

219. Stepanov, A. (2001). Records when the last point of increase is an atom, J. Appl. Statist. Sci., 10 (2), 161-167.

220. Stepanov, А. (2003). Conditional moments of record times, Statist. Pap., 44 (1), 131-140.

221. Stepanov, A. (2004). Random intervals based on record values, J. Statist. Plann. Inference, 118, 103-113.

222. Stepanov, A. (2006). The number of records within a random interval of the current record value, Statist. Pap., 48, 63-79.

223. Stepanov, A. (2007). Weak Records, in book Encyclopedia of Statistical Sciences, Ed. Balakrishnan, N.

224. Stepanov, A. (2011a). Runs based on discrete order statistics, TWMS J. Appl. Engineering Math., 1 (2), 185-191.

225. Stepanov, A. (2011b). Runs based on the ratios of consecutive order statistics, Comm. Statist. Theory Methods, 40 (18), 3252-3268.

226. Stepanov, A. (2011c). Limit theorems for runs based on 'small' spacings, Statist. Probab. Lett., 81, 54-61.

227. Stepanov A. (2014). On the Use of the Borel-Cantelli Lemma in Markov Chains, Statist. Probab. Lett., 90, 149-154.

228. Stepanov, A.V., Balakrishnan, N. and Hofmann, G. (2003). Exact distribution and Fisher information of weak record values, Statist. Probab. Lett., 64, 69-81.