Трехмерные конвективные эффекты в узких полостях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Попов, Евгений Андреевич

• Попов, Евгений Андреевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Попов, Евгений Андреевич

Содержание

Глава 1. Введение. Общая характеристика работы 4

1.1. Введение 4

1.2. Краткое содержание диссертации 5

Глава 2. Обзор литературы 9

2.1. Течения в тонких полостях 9

2.2. Примеры полных трехмерных расчетов с использованием современных численных методов 22

2.3. Уравнения термовибрационной конвекции для бинарных смесей 29

Глава 3. Тепловая конвекция бинарных жидких смесей

в ячейке Хеле - Шоу 35

3.1. Приближение плоских траекторий. Влияние

высокочастотных вибраций 36

3.2. Стационарная задача 41

3.3. Влияние геометрических размеров ячейки 48

3.4. Устойчивость равновесия 5 О

3.5. Нестационарная задача 55

3.6. Пикообразные выбросы 56

3.7. Нестационарные решения при отрицательной термодиффузии 58

3.8. Основные характеристики пакета ОрепБОАМ 62

3.9. Полная трехмерная задача конвекции коллоидной смеси 68

Глава 4. Тепловые плюмы в вертикальном слое 74

4.1. Постановка задачи 77

4.2. Карта режимов всплытия плюмов в вертикальном слое 81

4.3. Взаимодействие плюмов 91

Глава 5. Концентрационно-конвективные структуры

во встречных потоках взаиморастворимых жидкостей 102

5.1. Эксперименты по смешению взаиморастворимых жидкостей

в тонком горизонтальном слое 104

5.2. Постановка задачи и основные уравнения 107

5.3. Случай малых чисел Шмидта 124

Заключение 127

Список литературы 131

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трехмерные конвективные эффекты в узких полостях»

Глава 1. Введение. Общая характеристика работы 1.1. Введение

В последние годы возможности современной вычислительной техники в совокупности с развитием численных методов и достижениями в области автоматизации расчетов стремительно возросли. Эти глобальные процессы в естественных науках были прогнозируемы, но успехи оказались все равно впечатляющими. Еще несколько десятилетий назад трехмерное численное моделирование в гидродинамике на основе полных нелинейных уравнений было экзотикой и касалось, в основном, довольно простых геометрий и исследуемых течений. Ограничения были обусловлены не только недостаточностью компьютерных ресурсов (величиной памяти и производительностью), но и множеством других, не менее важных сопутствующих факторов. Среди направлений, в рамках которых велась многолетняя кропотливая работа целых коллективов ученых-математиков, специалистов в области вычислительных методов и инженеров, были совершенствование архитектуры вычислительных процедур, разработка новых численных методов в плане их устойчивости и универсальности, создание эргономичных интерфейсов, сопутствующих тому или иному численному методу и т.д. Только работа по всем этим направлениям в совокупности позволила совершить качественный скачок в области прямого численного моделирования различных процессов в физике и технике, которые в большинстве своем объективно требуют трехмерных расчетов.

Тем не менее, с точки зрения фундаментальной физики абсолютно не потеряли актуальность различные приемы, позволяющие упростить описание рассматриваемых процессов. Их применение дает возможность изучить эффект в "чистом виде", получить строгие закономерности, лежащие в основе физических явлений в виде аналитических формул или простых графиков, которые допускают простую интерпретацию. По сути, современный научный подход к исследованию какого-нибудь сложного

процесса в идеале как раз и состоит из трех частей: аналитического (или полуаналитического) анализа физических законов рассматриваемых явлений, полного численного моделирования и эксперимента. Только так можно добиться комплексного описания самого явления и всего многообразия различных тонких вторичных эффектов, сопутствующих изучаемым процессам. 2.1. Краткое содержание диссертации

Настоящая диссертационная работа состоит из пяти глав и заключения. Первая часть включает введение и краткое описание диссертации. Во второй главе проведен обзор литературы по тематике диссертации, и представлен вывод осредненных уравнений термовибрационной конвекции бинарной смеси при наличии силы тяжести.

В третьей главе исследуется устойчивость квазиравновесия бинарной смеси в ячейке Хеле — Шоу с идеально теплопроводными широкими гранями, подвергающейся действию высокочастотных вибраций. Рассматривается влияние произвольно ориентированных в плоскости широких граней вибраций на пороговое критическое значение управляющего параметра задачи, соответствующее возникновению осредненного одновихревого течения. Аналитически проводится разграничение областей с "жестким" и "мягким" возбуждением конвекции по безразмерным критериям задачи. Определяется природа наиболее опасных возмущений для нормальной и аномальной термодиффузии. Вычисляется критическое значение термодиффузионного параметра, для которого возможно конвективное одновихревое течение при нагреве сверху. Изучается влияние наклона оси вибраций на границы устойчивости квазиравновесия относительно бесконечно малых монотонных и колебательных возмущений. Для случая "жесткого" возбуждения конвекции определяются границы гистерезисной зоны между механическим квазиравновесием и осредненным одновихревым течением.

Изучается влияние геометрических размеров полости на критические числа Грасгофа при положительной и нулевой термодиффузии для различных параметров поступательных вибраций, а именно их интенсивности и направления. Для положительной термодиффузии численно на основе анализа динамической модели исследуется влияние вибраций на нестационарный режим конвекции в виде установившихся перебросовых колебаний. Вычисляется зависимость амплитуды и частоты этих колебаний от интенсивности и направления вибраций. Проводится поиск нестационарных решений, которые обеспечивают выход на стационарное одновихревое движение при малых числах Грасгофа для нормальной термодиффузии и отрицательных числах Грасгофа для аномальной термодиффузии. Также в случае сильной отрицательной термодиффузии изучаются колебательные режимы. Проанализирована смена регулярного режима нерегулярным при увеличении числа Грасгофа.

В параграфе 3.8 третьей главы дано краткое описание используемого в дальнейшем для численных расчетов гидродинамического пакета ОрепРОАМ. Проводится тестирование этой платформы на известной задаче о тепловой конвекции однородной жидкости в ячейке Хеле - Шоу с промежуточной теплопроводностью границ. Полученные в ходе полного трехмерного численного моделирования результаты сравниваются с известными экспериментальными и теоретическими результатами.

Термоконцентрационная конвекция в ячейке Хеле-Шоу бинарной жидкости-носителя с микрочастицами в качестве наполнителя рассматривается в параграфе 3.9 с учетом эффекта седиментации. Изучается эффект попеременного нарушения лево-правой симметрии автоколебательного четырехвихревого течения с перезамыканием угловых вихрей. Показано, что наблюдавшаяся ранее экспериментально потеря право-левой симметрии может быть вызвана седиментацией микрочастиц, использовавшихся в опыте для визуализации течения.

В четвертой главе рассматривается эволюция конвективного факела, образованного от центрально нагревателя в узком вертикальном слое конечных размеров. Полное трехмерное численное моделирование проводится с помощью гидродинамического пакета ОрепБОАМ. Проводится классификация тепловых плюмов на четыре типа: вязко-теплопроводный, вязко-нетеплопроводный, невязко-теплопроводный, невязко-нетеплопроводный. Исследуется скорость всплытия плюмов в зависимости от температуры нагревателя. Изучается взаимодействие нескольких плюмов в процессе синхронного и асинхронного всплытия, а также взаимодействие одного плюма с ближайшей узкой боковой стенкой полости.

В пятой главе рассматривается процесс изотермического взаимного вытеснения двух растворимых жидкостей в тонком горизонтальном слое конечных размеров за счет начального неравновесного распределения концентрации. Полное 3-0 численное моделирование для параметров, соответствующих эксперименту, проводится с помощью пакета ОрепРОАМ. Изучается эволюция фронта вытеснения и его неустойчивость относительно спиральных возмущений. Выполнено сравнение с экспериментальными данными. Анализируется влияние разности плотностей взаиморастворимых жидкостей на такие важные наблюдаемые характеристики, как скорость движения концентрационного фронта вытеснения, время возникновения и длину волны спиральных структур. Предсказано скачкообразное замедление концентрационного фронта после возникновения в пограничных слоях спиральных пальцеобразных валов.

В заключении проведено обобщение полученных результатов и попунктно перечислены наиболее важные из них.

Достоверность изложенного в диссертации материала подтверждается тестированием расчетных схем на сходимость по локальным и интегральным характеристикам, совпадением данных аналитических и численных расчетов в предельных случаях с уже

известными теоретическими результатами; наличием качественного и количественного совпадения оригинальных результатов автора с экспериментальными данными.

Основные результаты исследований изложены в 17 различных печатных работах, в том числе, в 5 статьях, опубликованных в реферируемых журналах, учитываемых ВАК при защитах кандидатских диссертаций. В статьях [38, 39, 107] из списка ВАК изложены результаты совместных экспериментальных и теоретических исследований. Данные [38, 39] получены совместно с сотрудниками кафедры общей физики Пермского государственного национального исследовательского университета А.Ф. Глуховым и И.А. Мальгачевой, а результаты [107] - с коллективом экспериментаторов Института механики сплошных сред УрО РАН г. Перми К.Г. Костаревым, А.И. Мизевым и Е.А. Мошевой. Соответственно, вся экспериментальная часть [38, 39] выполнялась А.Ф. Глуховым и И.А. Мальгачевой, а опыты [107] проводились К.Г. Костаревым, А.И. Мизевым и Е.А. Мошевой. Вся теоретическая часть в этих работах принадлежит автору диссертации. В теоретических работах [61,62], [66-68], [85-89], [92], [106], [107], [110], [111] автор участвовал в постановке задач, выполнял расчеты, проводил обобщение результатов и принимал непосредственное участие в подготовке публикаций. Материалы диссертации докладывались на научных конференциях различного уровня (Пермь, 2012, 2013, Томск, 2013; Санкт-Петербург, 2014; Снежинск, 2014). Кроме того, автор неоднократно выступал с докладами на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени профессоров Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого (2012, 2013, 2014), а также в Пермском государственном педагогическом университете на научном семинаре под руководством профессора В.Г. Козлова (2014 г.).

Глава 2. Обзор литературы

Долгое время проблемы вычислительного характера не позволяли проводить полноценные трехмерные расчеты в гидродинамике [1, 2]. На фоне большого числа экспериментов теоретические работы с результатами численного моделирования трехмерных конвективных течений в широкой области надкритичностей стали появляться сравнительно недавно. С другой стороны, существуют гидродинамические системы, которые изначально позволяют облегчить расчеты путем сведения трехмерной задачи к двумерной в силу простоты геометрии. Одним из таких примеров специальной геометрии в области тепловой конвекции является ячейка Хеле - Шоу [3]. Этот термин используется для полости, представляющей собой прямоугольный параллелепипед, один из горизонтальных размеров которого много меньше двух других. Зазор между широкими пластинами конвективной камеры настолько мал, что обеспечивает большое тепловое и гидравлическое сопротивление. При этом условия возбуждения конвекции должны быть такими, чтобы в полости реализовывались только двумерные движения в плоскости широких граней.

2.1. Течения в тонких полостях

Свободная тепловая двумерная конвекция однородной по составу жидкости в подогреваемой снизу ячейке Хеле - Шоу с широкими гранями высокой теплопроводности и размерами 1:5:10 была исследована экспериментально и теоретически с помощью спектрального метода в работах [4,5]. В поперечном сечении поля температуры и двух компонент скорости аппроксимировались простейшими базисными функциями. В результате было установлено, что в полости данной геометрии первым критическим является одновихревое движение в плоскости широких граней. Это движение при потере устойчивости сменяется нестационарным четырехвихревым режимом с перезамыканием вихрей, который с ростом

надкритичности становится стохастическим. В дополнение на плоскости безразмерных управляющих параметров задачи построены границы устойчивости для различных многовихревых течений в зависимости от размеров ячейки.

Прямое численное моделирование методом конечных разностей [6] показало, что при подогреве со стороны вертикальной узкой грани в ячейке Хеле - Шоу наблюдается течение в плоскости широких граней, которое остается регулярным и одновихревым в очень широкой области управляющих параметров. Теоретический вывод о двумерности движения в ячейке Хеле - Шоу при грубом варьировании параметров задачи и добавлении разнообразных внешних осложняющих факторов подтверждается многочисленными экспериментами (библиографию можно найти в [7]).

Эксперименты показывают, что конвективные движения в данной полости часто можно считать плоскими, даже когда изначально на неоднородно нагретый элемент жидкости действуют объемные силы, имеющие все три компоненты и сложным образом меняющиеся в массиве от точки к точке. В [8] теоретически рассматривалось действие сил инерции на конвективные движения в ячейке Хеле - Шоу, подогреваемой снизу точечным пульсационным источником тепла. Полость совершала круговое движение в плоскости, ось вращения которой была наклонена на небольшой угол (порядка 1°) по отношению к вертикали. Кювета располагалась от оси вращения на расстоянии, значительно превышающем размеры самой полости, а широкие грани были параллельны оси вращения. Вследствие достаточно большой угловой скорости вращательного движения действие центробежной силы было сравнимо по величине с влиянием на течение силы тяжести. При движении элемента жидкости в плоскости широких граней в подобных условиях на него действует дополнительно сила Кориолиса, направленная поперек полости. Действие этой силы неизбежно должно было бы приводить к возникновению

трехмерного течения. Однако оценки показывают, что полость всегда можно сузить настолько, что широкие грани будут запирать течение в поперечном сечении. Таким образом, в ходе вычислений [8] можно было учитывать действие только центробежной силы и пренебречь силой Кориолиса. Оказалось, что результаты двумерных расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными [9].

Другим примером резистивности ячейки Хеле - Шоу относительно возникновения в ней трехмерных конвективных движений может служить процесс развития в системе двух химически взаимодействующих жидкостей специфических концентрационных "пальчиковых структур" [10]. Вертикальная ячейка Хеле - Шоу, целиком заполненная реагирующими жидкостями, изначально представляет собой двухслойную конвективную систему. Вследствие неустойчивости Рэлея - Тейлора совместное действие химической реакции, конвекции и диффузии приводит к формированию диссипативных структур, эволюция которых имеет двумерный характер и происходит в плоскости широких граней полости. Существенная двухмерность картины термоконцентрационного движения является одним из главных результатов данной работы.

Специфика геометрии рассматриваемой полости может быть наглядно продемонстрирована на примере действия на тепловую конвекцию поступательных высокочастотных вибраций (неакустического диапазона [11]).

Для ячейки Хеле - Шоу классические уравнения термовибрационной конвекции не допускают решения в виде состояния механического квазиравновесия при подогреве снизу. Отметим, что в вибрационной гидродинамике квазиравновесием называют состояние, при котором в жидкости имеются мелкомасштабные пульсации скорости, давления и температуры, но в среднем движение отсутствует [12, 13]. При сколь угодно слабом вибрационном воздействии узкими стенками полости генерируется осредненное конвективное течение, приводящее к

медленному движению жидкости во всем объеме [14, 15]. Как следствие вблизи краев полости ожидается генерация трехмерных вибрационно-конвективных течений. Однако эксперименты показывают, что при включении вибраций конвективное движение в широком диапазоне вибрационных чисел Рэлея остается двумерным. Для доступных в эксперименте значений амплитуд и частот "вибрационная сила" невелика, в результате чего широкие грани по-прежнему запирают движение в поперечном сечении и не дают развиться трехмерным осредненным течениям. Серьезным аргументом в пользу возможности применимости приближения плоских траекторий к задачам о вибрационной конвекции в ячейке Хеле - Шоу служит факт существования квазиравновесия в многочисленных экспериментах с разной постановкой [16].

В [14] численно методом конечных разностей изучены двумерные конвективные движения в ячейке Хеле - Шоу, находящейся в условиях невесомости при воздействии продольных высокочастотных вибраций для различных соотношений сторон широких граней. В соответствии с двухполевой методикой [17] произведен расчет первых стационарных критических движений; показано, что вибрационная конвекция в невесомости возбуждается "мягко". В работе [18] найдены условия существования механического квазиравновесия однородной жидкости, заполняющей ячейку Хеле - Шоу, которая находится в поле тяжести под действием высокочастотных горизонтальных вибраций. Для полости с соотношением сторон 2:10:20 изучены сценарии перехода от квазиравновесия к нерегулярным колебаниям. Показано, что при наличии сильного вибрационного воздействия первым критическим движением может оказаться стационарное двухвихревое течение.

Влияние, оказываемое вертикальными вибрациями на конвекцию в ячейке Хеле - Шоу, которая находится в статическом поле тяжести, исследовано численно спектральным методом и аналитически в работе [19]. В широком диапазоне управляющих параметров изучены течения с

конечной амплитудой. Установлено, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости квазиравновесия и стабилизируют все наблюдавшиеся в расчетах вибрационно-конвективные режимы.

Различные специфические автоколебательные двумерные режимы в ячейке Хеле - Шоу были исследованы экспериментально и теоретически в часто цитируемой работе И.А. Бабушкина и В.А. Демина [20]. Установлено, что эти течения характеризуются сложным пульсационным пространственно-временным поведением. А именно, динамика пульсационного двухвихревого режима такова: на фоне основного течения в углу полости случайным образом рождается небольшой возвратный вихрь, который с течением времени растет до некоторых размеров и затем поглощается основным течением, после чего процесс повторяется. Спектральным свойствам пульсационных режимов и выявлению их подобия в полостях с разным соотношением сторон широких граней специально посвящены работы [21, 22].

Помимо описанного выше применения геометрии Хеле - Шоу при создании плоских химических реакторов [10], рассматриваемая конфигурация может успешно использоваться при совершенствовании конструкции конвективных датчиков инерционных ускорений [23]. Наличие конвективного отклика в виде плоских движений на самые разнообразные внешние инерционные воздействия показывает, что ячейка Хеле - Шоу является аналогом поляризатора внешнего сигнала, и позволяет создать датчик для регистрации инерционных сигналов с возможностью измерения их характеристик. Как оказалось, по локальным значениям температуры, зарегистрированным термопарами в нескольких точках, может быть восстановлена частота, амплитуда и направление внешнего инерционного сигнала.

Таким образом, можно заключить, что задача о конвективном течении в узкой полости часто может быть сведена к двухмерной, в результате чего вычислительная процедура значительно упрощается. Тем

не менее, встречаются задачи, в которых никак нельзя пренебрегать третьей компонентой скорости. В частности, течение в вертикальном слое конечной высоты в форме конвективного факела, создаваемое точечным источником тепла, требует полного трехмерного численного моделирования. В этом случае применение приближения Хеле - Шоу для тех же геометрических параметров задачи не применимо. Учет третей (поперечной) компоненты скорости в ходе численного моделирования приводит к заметной поправке для скорости роста конвективного факела. Температурные поля такого режима на этапе установления имеют характерную «грибообразную» форму, часто встречаются в природе и называются в литературе тепловыми плюмами [24].

В естественных условиях с тепловыми плюмами часто приходится сталкиваться в геологических приложениях. Конвективные грибообразные структуры, возникающие в магматических расплавах, характеризуются гигантскими числами Прандтля, однако вследствие универсальности природы плюмов всегда можно подобрать эквивалентные (в определенном смысле) жидкости для экспериментального исследования в лабораторных условиях каких-то определенных явлений, которые наблюдаются в естественных условиях в средах с экстремальными значениями параметров.

В работе [25] для вязкой жидкости с большим числом Прандтля порядка 103 представлены результаты экспериментального исследования развитого конвективного плюма в кубической полости от точечного источника тепла, эволюционирующего на фоне ячеистого конвективного течения. Показано, что при собственной скорости роста плюма, близкой к характерной скорости конвективного движения, он может приобретать форму плоской спирали с закруткой в вертикальной плоскости. Формирование спиральной структуры происходит в результате взаимодействия плюма, вытягивающегося в момент зарождения от

локализованного источника тепла вертикально вверх, с циркуляционным одновихревым конвективным течением.

Из теневых фотографий, представленных в [25], видно, что температура в ближайшей окрестности струи плюма ведет себя как пассивная примесь, подчиняясь уравнению неразрывности. Несмотря на это при обсуждении результатов приводится довольно спорная аналогия, согласно которой между горячей и холодной областями жидкости внутри и вне ножки якобы формируется поверхность раздела с определенной площадью, величина которой практически не меняется по мере удлинения плюма. Далее утверждается, что хотя видимых причин для возникновения на ней поверхностного натяжения нет, наблюдения показывают, что имеет место минимизация площади границы раздела. В результате граница раздела головки плюма обладает в момент возникновения полусферической формой, а ножка стремится быть цилиндрической. Различные участки развитого спирального плюма при приближении друг к другу не сливаются, а как бы отталкиваются, демонстрируя поведение, которое было бы объяснимо, если бы на границе раздела было поверхностное натяжение. С точки зрения авторов работы [25] поверхностным натяжением можно было бы объяснить и плоскую спиральную форму растущего плюма, поскольку при переходе от плоской спирали к пространственной увеличивается ее площадь. Судя по приведенным в [25] значениям рабочих чисел Рэлея, плюм, изучавшийся экспериментально теневым методом, по-видимому, должен относиться к классу вязко-нетеплопроводных режимов всплытия. Принадлежность к данной категории определяется из диаграммы, которая была впервые получена в ключевой классификационной работе [26] для двумерных плюмов в ходе прямого численного моделирования конвекции от идеализированного линейного источника тепла. Первоначально эта карта режимов была получена в плоскости параметров Пекле и Рейнольдса, однако позднее она была пересчитана в терминах более удобных чисел

Рэлея и Прандтля и разносторонне проанализирована в упомянутой ранее монографии М. Лаппы [24]. В дальнейшем будет показано, что полные трехмерные расчеты позволяют объяснить подобное поведение плюмов без привлечения понятия поверхностного натяжения на диссипативных (тепловых или концентрационных) фронтах.

Устойчивость однородной жидкости и бинарной смеси в плоском слое под действием высокочастотных вибраций в условиях невесомости исследовалась в диссертационной работе JI.M. Браверманна [27]. В частности, в ней выведены условия существования состояния механического квазиравновесия однородной жидкости при наличии произвольно ориентированных градиента температуры и вибраций. Показано, что существуют такие варианты взаимного расположения векторов градиента температуры и направления оси вибраций, при которых специфическое квазиравновесное поле W, пропорциональное амплитуде пульсационной компоненты скорости, определяется неоднозначно. А именно, равновесное состояние оказывается неоднозначным ввиду отсутствия определенных граничных условий на торцах бесконечного слоя. В продолжение рассмотрена задача устойчивости этого состояния согласно стандартной линейной теории [1, 2, 28]. Система уравнений для декрементов решалась численно. В ходе расчетов использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности с модификацией Фельдберга [29], а для определения мнимой части декремента и числа Рэлея использовался двумерный метод секущих. Алгоритм был реализован на языке программирования FORTRAN. При всех рассмотренных параметрах наиболее опасными оказались монотонные возмущения. Кроме этого получено точное решение линейной задачи устойчивости в случае, когда градиент температуры и вектор оси вибраций лежат в плоскости, перпендикулярной границам слоя.

Для исследования термовибрационной конвекции бинарной смеси в невесомости без учета эффекта Соре выведены осредненные уравнения в

приближении Буссинеска. Получено аналитическое решение в случае одномерной "перевальной" моды. Здесь в отличие от однородной жидкости появляются области, где наиболее опасными являются колебательные возмущения. Проанализирована устойчивость квазиравновесия в полости, имеющей форму бесконечного кругового цилиндра. Вектор вибраций, градиенты температуры и концентрации при этом лежали в плоскости сечения цилиндра. Результаты качественно совпали с теми, которые были получены для плоского слоя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Попов, Евгений Андреевич, 2014 год

Список литературы

1. Гершуни Г.З., Жуховщкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

2. Гершуни Г.З., Жуховщкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

3. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947. - 928 с.

4. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. О конвективных течениях в ячейке Хеле - Шоу // Докл. АН СССР. Т. 235. № 3. 1977. С. 554-556.

5. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. Конвекция в ячейке Хеле - Шоу при подогреве снизу // Сб. Гидродинамика. Пермь, Изд-во Пермск. ун-та. Вып. 10. 1977. С. 3-14.

6. Вертгейм H.H., Любимов Д.В. Конвекция в ячейке Хеле - Шоу при нагреве сбоку // Исследование тепловой конвекции и теплопередачи. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1981. С. 32-35.

7. Путин Г.Ф., Ткачева Е.А. Экспериментальное исследование надкритических конвективных движений в ячейке Хеле - Шоу // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. № 1, 1979. С. 3-8.

8. Бабушкин H.A., Демин В.А., Пепеляев Д.В. Численное моделирование работы конвективного датчика при действии центробежной силы // Изв. ТПУ. Сер. Энергетика. 2011. Т. 318. № 4. С. 23-28.

9. Бабушкин И.А., Демин В.А., Кондратов А.Н., Пепеляев Д.В. Тепловая конвекция в ячейке Хеле - Шоу при действии центробежных сил // Изв. РАН, МЖГ. 2012. № 1. С. 14-25.

10. Bratsun D.A., De Wit А. Control of Chemoconvective Structures in a Slab Reactor // Technical Physics. Vol. 53. N 2. 2008. pp. 146-153.

11. Любимов Д.В. О тепловой конвекции в акустическом поле // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. № 2. 2000. С. 28-36.

12. Гершуни Г.З., Жуховщкий Е.М. О свободной тепловой конвекции в вибрационном поле в условиях невесомости // Докл. АН СССР, Т. 249, № 3, 1979. С. 580-584.

13. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О конвективной неустойчивости жидкости в вибрационном поле в невесомости // Изв. АН СССР, МЖГ, №4, 1981. С. 12-19.

14. Браверман JI.M. О вибрационной тепловой конвекции в ячейке Хеле -Шоу // Сб. Конвективные течения. Пермь, Изд-во Пед. ин-та. 1989, С. 73-78.

15. Бабушкин И.А., Демин В.А. К вопросу о вибрационно-конвективных течениях в ячейке Хеле - Шоу // Инженерно-физический журнал, Т. 81. №4. 2008. С. 712-720.

16. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вибрационной конвекции // Докл. АН СССР, Т. 281, № 4, 1985. С. 815-816.

17. Тарунин E.JI. Двухполевой метод решения задач гидродинамики: учебное пособие по спецкурсу. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 1985. -87 с.

18. Демин В.А., Файзрахманова КС. Устойчивость вибрационно-конвективных движений в ячейке Хеле - Шоу // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Физика. Вып. 1. 2003. С. 108-113.

19. Демин В.А., Макаров Д.В. Устойчивость конвективных течений в ячейке Хеле - Шоу при воздействии вертикальных вибраций // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Физика. Вып. 1. 2005. С. 101-110.

20. Бабушкин И.А., Демин В.А. Вибрационная конвекция в ячейке Хеле -Шоу. Теория и эксперимент // Изд-во СО РАН, ПМТФ. № 2. 2006. С. 40-48.

21. Гаерилое К.А., Демин В.А., Путин Г.Ф. Конвективные когерентные структуры в ячейке Хеле - Шоу // Письма в ЖТФ, Т. 36, Вып. 4, 2010. С. 68-74.

22. Гаврилов К.А., Демин В.А., Петухов М.И. К вопросу о подобии пуль-сационных режимов в ячейке Хеле - Шоу // Вести. Перм. ун-та. Сер. Физика. № 1. 2014. С. 57-63.

23. Бабушкин И.А., Глухое А. Ф., Демин В.А., Дягилев Р.А., Маловичко Д.А. Сейсмоприемник на основе ячейки Хеле - Шоу // Прикладная физика. №3,2008. С. 134-140.

24. Lappa М. Thermal Convection: Patterns, Evolution and Stability. Wiley. 2010.-670 p.

25. Полудницин A.H., Шарифулин A.H. Динамика спирального конвективного плюма в жидкости с большим числом Прандтля // Изв. РАН, Механика жидкости и газа, № 6, 2013. С. 29-32.

26. Hier Majumder С. A., Yuen D. A. and Vincent A. Four Dynamical Regimes for a Starting Plume Model // J. Phys. Fluids, Vol. 16, No. 5, 2004. pp. 1516-1531.

27. Браверман JI.M. Некоторые задачи вибрационно-конвективной устойчивости однородной жидкости и смеси // Канд. диссерт., Пермск. ун-т, 1987.-215 с.

28. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.-350 с.

29. Форсайт Дж., Малькольм М, Моулер М. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

30. Mialdun A., Ryzhkov /./., Melnikov D.E., and Shevtsova V. Experimental evidence of thermal vibrational convection in a nonuniformly heated fluid in a reduced gravity environment // Physical Review Letters, Vol. 101, 084501 (2008) pp. 1-4.

31. Рыжков И.И. Термодиффузия в смесях: уравнения, симметрии, решения и их устойчивость. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2013. - 200 с.

32. Глухое А.Ф. Экспериментальное исследование тепловой конвекции в условиях гравитационного расслоения // Канд. диссерт., Пермь, Перм. гос. ун-т, 1995. - 140 с.

33. Глухое А.Ф., Демин В. А., Путин Г.Ф. Конвекция бинарной смеси в связанных каналах при подогреве снизу // Изв. РАН, Механика жидкости и газа, № 2,2007. С. 13-23.

34. Глухое А.Ф., Демин В.А., Путин Г.Ф. Разделение смесей и тепломас-соперенос в связанных каналах // Письма в ЖТФ. Т. 34. Вып. 17, 2008. С. 45-51.

3 5. Глухое А. Ф., Демин В. А., Путин Г. Ф. О разделении смесей в связанных каналах // Прикладная механика и техническая физика, Т. 50, №1, 2009, С. 68-77.

36. Такетоми С., Тикадзуми С. Магнитные жидкости. М.: Мир, 1993. -272 с.

37. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. М.: Мир, 1989. - 356 с.

38. Глухое А.Ф., Демин В.А., Малъгачева И.А., Попов Е.А. Тепловая конвекция феррожидкости в узких каналах // Известия ТПУ, Сер. Энергетика, Т. 320, № 4, 2012. С. 41-45.

39. Глухое А.Ф., Демин В.А., Попов Е.А. Тепловая конвекция магнитной наносуспензии в узких каналах // Изв. РАН, Механика жидкости и газа, № 1,2013. С. 41-51.

40. Шлиомис М.И. Динамика жидких парамагнетиков. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 1983. - 68 с.

41. Глухое А. Ф., Путин Г. Ф. Установление равновесного барометрического распределения частиц в магнитной жидкости // Сб. Гидродинамика. Вып. 12, Пермь, Перм. ун-т. 1999. С. 92-103.

42. Donzelli G., Cerbino R., Vailati A. Bistable Heat Transfer in a Nanofluid // Phys. Rev. Letters. Vol. 102, 2009. pp. 104503.

43. Shliomis M.I., Smorodin B.L. Onset of Convection in Colloids Stratified by Gravity // Phys. Rev. E, Vol. 71, 2005. pp. 036312 (6).

44. Smorodin B.L., Cherepanov I.N., Myznikova B.I., Shliomis M.I. Traveling-wave Convection in Colloids Stratified by Gravity // Phys. Rev. E, Vol. 84, 2011. pp. 026305.

45. Гаврилов К. А. Численное моделирование атмосферного течения в атмосферном пограничном слое над лесным пологом // Канд. диссерт., Пермь, Изд-во Пермск. ун-та, 2010.-180 с.

46. Седельников Г.А. Влияние инерционных полей на гидродинамическую устойчивость неоднородных систем // Канд. диссерт., Пермь, Изд-во Пермск. ун-та, 2006, - 128 с.

47. Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Надкритические движения в кубической полости // Сб. Гидродинамика. Пермь: Изд-во 11Г11И. Вып. 10. 1977. С. 15-26.

48. Puigjaner D., Herrero J., Giralt F., Simo C. Stability analysis of the flow in a cubical cavity heated from below 11 J. Phys. Fluids. Vol. 16. № 10. 2004. pp. 3639-3655.

49. Pallares J., Grau F.X., Giralt F. Flow transitions in laminar Rayleigh-Benard convection in a cubical cavity at moderate Rayleigh numbers // Intern. J. Heat and Mass Transfer. Vol. 42. № 4. 1999. pp. 753-769.

50. Sukhanovsky A., Batalov V., Teymurazov A., Frick P. Horizontal rolls in convective flow above a partially heated surface // European Physical Journal В. Vol. 85. 2012. pp. 1-12.

51. Кузнецов Г.В., Шеремет M.A. Моделирование пространственного те-плопереноса в замкнутом объеме с локально сосредоточенными источниками тепловыделения // Известия ТПУ. Т. 306, № 6, 2003. С. 6972.

52. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Моделирование нестационарного теп-лопереноса в замкнутой области с локальным источником тепловыделения // Теплофизика и аэромеханика. Т. 12, № 2, 2005. С. 305-314.

53. Любимов Д.В. Нелинейные проблемы теории быстроосциллирующих конвективных течений // Докт. диссерт., Пермь, Пермск. ун-т, 1994. — 415 с.

54. Зеньковская С.М., Симоненко КБ. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции // Известия АН СССР, МЖГ, № 5, 1966. С. 51-55.

55. Зеньковская С.М. Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил // Известия АН СССР, МЖГ, № 1, 1968. С. 5558.

56. Симоненко КБ. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстроосциллирующих сил и для других параболических уравнений //Мат. сборник, Т. 87, Вып. 2, 1972. С. 236-253.

57. Gershuni G.Z., Kolesnikov А.К., Legros J.-C., Myznikova B.I. On the Vibrational Convective Instability of a Horizontal, Binary-mixture Layer with Soret Effect // J. Fluid Mech., Vol. 330, 1997. pp. 251-269.

58. Шапошников К.Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. Т. 17. Вып. 5. 1953. С. 604-606.

59. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики, т. 6. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. - 736 с.

60. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. Wiley&Sons, 1998. - 358 p.

61. Демин В.А., Попов Е.А. Механизмы колебательной конвекции в бинарных смесях при малых надкритичностях // XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тез. докл., Пермь, Россия, 2013. С. 112.

62. Глухое А.Ф., Демин В.А., Попов Е.А. Термовибрационная конвекция бинарной смеси в ячейке Хеле - Шоу // Вестник Пермского университета, Сер. Физика, Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, Вып. 2(20), 2012. С. 12-18.

63. Demin V.A., Glukhov A.F. Thermal Convection of Binary Mixes in Thin Channels // VIII International Meeting on Thermodiffusion (Lecture Notes). Julich, Germany, 2008. pp. 187-195.

64. Глухое А. Ф., Демин В.А. Тепловая конвекция бинарных смесей в вертикальных слоях и каналах при подогреве снизу // Вестн. Перм. ун-та. Сер: Физика. Вып. 1(27). 2009. С. 16-25.

65. Демин В.А. Влияние переменных силовых полей на нелинейные конвективные режимы // Докт. диссерт., Пермь, 2009. - 291 с.

66. Бабушкин И.А., Гаврилов К.А., Демин В.А., Карпунин И.Э., Попов Е.А. Конвекция в ячейке Хеле - Шоу // "Пермские гидродинамические научные чтения". Тез. докл., Пермь, Россия. 2013. с. 6.

67. Гаврилов К.А., Демин В.А., Попов Е.А. Моделирование трехмерных конвективных течений с помощью пакета OpenFOAM // Вестник Пермского университета, Сер. Математика, механика, информатика. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, Вып. 3(11), 2012, с. 23-28.

68. Демин В.А., Попов Е.А. Ламинарные режимы перемешивания в простых конвективных системах // Междунар. конф. "XII Забабахинские научные чтения". Тез. докл., РФЯЦ - ВНИИТФ, Снежинск, Россия. 2014. С. 20-21.

69. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics // New York: Springer, 2002. - 423 p.

70. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. M.: Мир, 1980. - 616 с.

71. Бабушкин И.А., Демин В.А. Экспериментальное и теоретическое исследование переходных конвективных режимов в ячейке Хеле - Шоу // Изв. РАН, МЖГ. № 3. 2006. С. 3-9.

72. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей // М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры. 1963. - 708 с.

73. J.-Y. Jung, et al. Thermal conductivity measurement and characterization of binary nanofluids // Int. J. of Heat and Mass Transfer, 54 (2011) pp. 1728-1733.

74. Бабушкин И.A., Глазкин KB., Демин В.А., Платонова А.Н., Путин Г. Ф. Об изменчивости одного типичного течения в ячейке Хеле - Шоу // Изв. РАН, Механика жидкости и газа, № 5, 2009. С. 3-14.

75. Tritton D.J. Physical fluid dynamics. - USA: Oxford University Press, 1988.-520 p.

76. Ван-Дайк M. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. - 184 с.

77. Персиков Э.С. Вязкость магматических расплавов. М.: Наука, 1984. -160 с.

78. Kaminski Е., Jaupart С. Laminar starting plumes in high-Prandtl-number fluids 11 J. Fluid Mech. Vol. 478. 2003. pp. 287-298.

79. Moses E., Zocchi G., Libchaber A. An experimental study of laminar plumes // J. Fluid Mech. Vol. 251. 1993. pp. 581-601.

80. Moses E., Zocchi G., Procaccia /., Libchaber A. The dynamics and interaction of laminar thermal plumes // Europhys. Lett. Vol. 14, N. 1, 1991. pp. 55-60.

81. Бабушкин И.А., Глухое А.Ф., Демин В.А., Зилъберман Е.А., Путин Г.Ф. Измерение инерционных микроускорений с помощью конвективных датчиков // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, № 2. 2009. С. 72-77.

82. Бабушкин И.А., Демин В.А., Пепеляев Д.В. Принципы регистрации инерционных сигналов с помощью конвективных датчиков // Известия ТПУ. Т. 317, № 4, 2010. С. 38-43.

83. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. - 616 с.

84. Тарунин E.JI. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1990. - 228 с.

85. Гаерилое К.А., Демин В.А., Попов Е.А. Динамика тепловых плюмов в ячейке Хеле - Шоу // Всерос. конф. молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Тез. докл., Пермь, Россия, 2012. С. 62.

86. Гаврилов К А., Демин В. А., Попов Е.А. Конвективные течения в ячейке Хеле - Шоу при точечном подогреве; устойчивость и приложения // XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тез. докл., Пермь, Россия, 2013. С. 82.

87. Гаврилов К.А., Демин В.А., Попов Е.А. Динамика и взаимодействие трехмерных плюмов в ограниченных полостях // "Всероссийская конференция по математике и механике". Тез. докл., Томск, Россия. 2013. С. 162.

88. Гаврилов К.А., Демин В.А., Попов Е.А. Динамика тепловых плюмов в ячейке Хеле - Шоу // Вестник Пермского университета, Сер. Физика. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, Вып. 4(22), 2012. С. 29-33.

89. Гаврилов К.А., Демин В.А., Попов Е.А. Режимы всплытия тепловых плюмов в вертикальном слое // Вычислительная механика сплошных сред, т. 6, № 3, 2013. С. 261-268.

90. Бабушкин И.А., Кондратов А.Н., Сбоев И.О. Развитие конвективного факела в вертикальном слое // Вестник Пермского университета. Сер. Физика. № 4. 2012. С. 101-105.

91. Кикоин И.К. Таблицы физических величин: Справочник. М.: Атомиздат, 1976. - 1008 с.

92. Гаврилов К.А., Демин В.А., Попов Е.А. Движение и взаимодействие трехмерных плюмов в тонком вертикальном слое // Вестник ТГУ. Сер. Математика и механика, № 3(29), 2014. С. 45-56.

93. Рудаков Р.Н. О малых возмущениях конвективного движения между вертикальными плоскостями // ПММ, Т. 30, Вып. 2, 1966. С. 362-368.

94. Рудаков Р.Н. Спектр возмущений и устойчивость конвективного движения между вертикальными плоскостями // ПММ, Т. 31, Вып. 2, 1967. С. 349-355.

95. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховщкий Е.М., Рудаков Р.Н. О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения в вертикальном канале // ПММ, Т. 36, 1972. С. 745-748.

96. Korpela S.A. A study on the effect of Prandtl number on the stability of the conduction regime of natural convection in an inclined slot // Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol. 17, No.2, 1974. pp. 215-222.

97. Ruth D. W. On the transition to transverse rolls in inclined infinite fluid layers - steady solutions // Int. J. Heat and Mass Transfer. Vol. 23, No.5, 1980. pp. 733-737.

98. Бирих P.B., Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Рудаков Р.Н. О колебательной неустойчивости стационарного конвективного движения в плоском наклонном слое // Сб. Гидродинамика, Вып. 5, Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 1974. С. 139-148.

99. Пинягин А.Ю., Пшеничников А.Ф. Свободная конвекция жидкой бинарной смеси в наклонной прямоугольной полости // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, № 4, 1979. С. 176-179.

100. Костарев КГ, Пшеничников А.Ф. Влияние свободной конвекции на термодиффузию в жидкой смеси, заполняющей наклонную прямоугольную полость // Прикладная механика и техническая физика, 1986. С. 73-75.

101 .Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения в горизонтальном слое жидкости // Прикладная механика и техническая физика, № 1, 1974. С. 95-100.

102. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Устойчивость плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое относительно пространственных возмущений // ПМТФ, № 5, 1974. С. 145-147.

103. Брацун Д.А., Мошева Е.А. Экспериментальное исследование неустойчивости зоны смешивания, образованной встречными потоками двух взаиморастворимых жидкостей // Современная наука: идеи, исследования, результаты, технологии: Сб. научных статей / Под общ. ред. A.B. Кузьмина. Киев: «НПВК Триакон», Вып. 2. 2012. С. 113-117.

104. Костарев КГ., Мизев А.И., Мошева Е.А. Формирование вторичных течений при взаимном вытеснении смешивающихся жидкостей //

Конвективные течения: Сб. научных статей. Изд-во 11111У. Пермь / Под общ. ред. В.Г. Козлова. Вып. 6, 2013. С. 203-215.

105. Kostarev К., Mizev A. and Mosheva Е. Instability of mixing zone formed at the boundary between the counter flows of two miscible liquids //Fluid Dynamics Research, 46 (2014) 041415. doi: 10.1088/01695983/46/4/041415.

106. Demin V.A., Kostarev K.G., Mizev A J., Mosheva E.A., Popov E.A. Secondary Convective Structures of Mixture Concentration in a Counter Propagating Fluxes // Int. Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". Abstr. St.-Petersburg (Repino), Russia. 2014. p. 101.

107.Демин В.А., Костарев КГ., Мизев А.И., Мошева Е.А., Попов Е.А. О конвективной неустойчивости встречных потоков двух взаиморастворимых жидкостей // Нелинейная динамика. Т. 10, № 2, 2014. С. 1-14.

108. Демин В.А., Попов Е.А. Конвективная неустойчивость вблизи границы раздела между встречными потоками взаиморастворимых жидкостей // Математическое моделирование. 2014 (принята к печати).

109. Справочник химика / под ред. Б.П. Никольского, Т. 3. М.: Изд-во "Химия", 1965. - 1008 с.

110. Глухое А.Ф., Демин В.А., Попов Е.А. Теоретическое исследование тепловой конвекции феррожидкости в связанных каналах // Рос. конф. по магнитной гидродинамике. Тез. докл., Пермь, Россия, 2012. С. 29.

111. Демин В.А., Попов Е.А. Точные решения некоторых задач математической физики по конвекции многокомпонентных жидкостей // "Всероссийская конференция по математике и механике". Тез. докл., Томск, Россия. 2013. С. 163.