Топологические свойства пространств Стоуна некоторых булевых алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Головастов, Роман Александрович

• Головастов, Роман Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Головастов, Роман Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение

1 Краткое содержание работы

2 Предварительные сведения

ГЛАВА 1

1.1 Пространство Стоуна булевой алгебры. Основные понятия и факты

1.2 Определение пространств Стоуна некоторых булевых алгебр

ГЛАВА 2

2.1 Пространство ¿>231,1

2.2 Пространство 5031,2

2.3 Пространство 5031,3

2.4 Пространства 5032,1, 5932,2 и 5032,з

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические свойства пространств Стоуна некоторых булевых алгебр»

ВВЕДЕНИЕ

Понятие пространства Стоуна булевой алгебры имеет важное значение в теории бикомпактных расширений.

Максимальное бикомпактное расширение топологического пространства, называемое расширением Стоуна-Чеха, основано на конструкции пространства Стоуна. Особое место в теории бикомпактных расширений занимают максимальные бикомпактные расширения Стоуна-Чеха дискретных пространств, являющиеся пространствами Стоуна булевых алгебр подмножеств дискретных пространств.

Этим расширениям посвящены работы У. Рудин [25], 3. Фролика [14, 15], М.Е. Рудин [22-24], К. Кунена [16-18], Я. ван Милла [19-21], В.И. Малыхи-на [7], A.A. Грызлова [5, 11, 12].

Развитие теории бикомпактных расширений вызвало потребность в рассмотрении и изучении бикомпактных расширений дискретных пространств, являющихся пространствами Стоуна других булевых алгебр.

М. Белл [10] построил пространство Стоуна булевой алгебры, для которого подпространство свободных ультрафильтров не сепарабельно, но удовлетворяет условию Суслина. Это пространство является бикомпактным расширением счетного дискретного пространства.

Используя расширение М. Белла, Я. ван Милл [19] и A.A. Грызлов [11] доказали существование новых типов точек в пространстве ßuo, тем самым решив несколько важных проблем теории бикомпактных расширений.

В силу актуальности расширения М. Белла, для теории бикомпактных расширений, возникла задача подробного его изучения.

Исследованию расширения М. Белла посвящены работы A.A. Грызлова, Е.С. Бастрыкова и P.A. Головастова [4, 6, 13, 26, 27]. В этих работах изучена внутренняя структура этого пространства, получены различные типы его точек и их свойства.

Доказано, что в расширении Белла существуют как сходящиеся последовательности, так и копии пространства ßuj.

Пространство, построенное М. Беллом, является пространством Стоуна булевой алгебры подмножеств множества

т^Щтпеш, f еРг},

где Р\ = {/ G uf3 : 0 ^ f(k) ^ к -f 1 для всех к G и}.

Здесь и далее под п в зависимости от контекста будем понимать и натуральное число, и множество {0, 1,..., п — 1}.

Булева алгебра этого пространства порождена семейством

= {<?»: тгеТх},

где TÎ = {-7Г G : dorn 7г(п) = n + 1 для всех п 6 о;}. В работе рассмотрены множества

9?2 = {/|гг:пСи;, / е Р2},

где P2 = {f есиш: 0 < /(&) < 1 для всех А; € ш} = {О, 1}W;

9Î3 = {f\n: пси, f е Р3}, где Р3 =

Отметим, что Ç С 9Тз. Определим множества

Ti = {я- € : dorn п(п) < n + 1 для всех n 6 w} (г = 1, 2, 3).

В качестве семейств, порождающих булевы алгебры, мы рассматриваем следующие семейства

= 7Г € Т{},

В2,1 = {С3:зеЩ (¿ = 1,2, 3).

Пространства Стоуна этих булевых алгебр обозначим (г = 1, 2, 3; $ = 1, 2). Отметим, что это пространство, построенное

М. Беллом.

Рассматриваемые булевы алгебры представляют собой основные характерные варианты булевых алгебр подобного типа.

В работе рассмотрены следующие вопросы, выясняющие строение и свойства указанных пространств Стоуна.

Какова внутренняя структура указанных пространств Стоуна.

Каковы взаимосвязи этих пространств между собой.

Как связаны эти пространства с такими широко известными пространствами, как /Зш и канторовым совершенным множеством.

Каким свойством обладают сходящиеся последовательности и копии пространства рш в этих пространствах.

Какая взаимосвязь между открыто-замкнутыми подмножествами пространств и подмножествами гомеоморфными ¡5из.

Какими необходимыми характеристиками можно описать множества, го-меоморфные

Каковы кардинально-значные характеристики указанных пространств, каковы число Суслина и плотность подпространств свободных ультрафильтров.

Решению этих вопросов посвящена настоящая диссертация.

1 Краткое содержание работы

Первая глава работы содержит основные понятия и определения, в ней приведена конструкция рассматриваемых пространств Стоуна и ряд их свойств.

В первом параграфе приведены основные сведения о пространствах Стоуна булевых алгебр, которые можно найти в [8]. Прежде всего, приведем определение пространства Стоуна булевой алгебры.

Определение 1.7 Пространством Стоуна 505 булевой алгебры 05 называется множество ультрафильтров в 05 с топологией, задаваемой базой состоящей их открыто-замкнутых подмножеств [А] следующего вида:

[А] = {£ е 505: А е £}, для А в 05.

Приведены некоторые свойства пространств Стоуна, необходимые в дальнейшем и теорема о бикомпактности пространства Стоуна.

Во втором параграфе рассматриваются два типа булевых алгебр подмножеств счетных частично упорядоченных множеств 0^1, 9^2 и 9Тз. Изучению пространств Стоуна этих булевых алгебр и посвящена данная диссертация. Опишем эти булевы алгебры.

Для произвольного 5 € % (г = 1, 2, 3) определим

С3 = {Ь £ £ является продолжением й}.

Также определим множества

Т( = { 7г € : <1от 7г(п) = п + 1 для всех п € и }.

Для каждого ж Е Т* (г = 1, 2, 3) обозначим

Стг = и{ Сф) :пв ш}.

Обозначим через (г — 1, 2, 3) булеву алгебру, порождённую семейством

Дм = {С^ : 7Т Е Тг}.

Обозначим через (г = 1, 2, 3) булеву алгебру, порождённую семейством

В2,г = {С8'.3€Уи}.

Определим пространство Б^З^ как пространство Стоуна булевой алгебры (г - 1, 2, 3; з = 1, 2).

Далее доказывается ряд свойств данных пространств, позволяющий описать их базы.

Определим семейства

Г1,г = {а,м\ и С, : тг € 7*, Г С Г, \Т'\ < а;, М С о; | (* = 1, 2, 3);

тгеТ'

©1,3 = {^3 \ ( и а) : Т' С Тз, |Т'| < а;}.

7Г6Т'

Теорема 1.2 Семейства

®1Д = { [СЛ : г/ е Г1Д} ®1?2 = { : и € Г1)2}

Ш1;3 = {[£/]: г/ 6 Г1,3 и в!,з}

являются базами пространств 5951,1, 5951,2 и 5951,з соответственно. Определим семейства

Г2>< = { Св\ У Сг : з € ОТ,-, ЛГ' С |ЛГ'| < а;,} (г = 1, 2, 3),

геЛГ'

©2,з = { \ У Сг : ЛГ С \М'\ < и,}. геИ'

Теорема 1.3 Семейства

®2,1 - { [Щ : С/ € Г2Д}

= {И : и в Г2,2} = { [Щ : С/ € Г2,3 и В2,з} являются базами пространств 5952,1, ¿>952,2 и 595г,3 соответственно.

Вторая глава содержит основные результаты работы. Первый параграф посвящен пространству 5951д. Результаты данного параграфа опубликованы в [26, 27]. Данное пространство было первым среди пространств такого типа, которые были рассмотрены нами. Оно было построено М. Беллом [10], как пример пространства Стоуна, подпространство свободных ультрафильтров которого удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабельно.

Пространство построенное М. Беллом можно рассматривать как бикомпактное расширение дискретного пространства фиксированных ультрафиль-

тров. Кроме указанных свойств подпространство свободных ультрафильтров обладает другими интересными свойствами.

В хорошо известном пространстве /За; замыкание любого счетного подмножества ш гомеоморфно всему /Зал В данном пространстве ситуация кардинально иная.

Основным результатом этого параграфа являются теоремы 2.3 и 2.4 в которых выделяются подмножества, замыкание которых гомеоморфны /За; и подмножества 9Тх, являющиеся сходящимися последовательностями в Сходящиеся последовательности и копии /За; представляют особый интерес, поскольку являются крайними вариантами бикомпактных расширений счетных множеств. Акцент на данные свойства делается и при изучении последующих пространств.

Теорема 2.3 Пусть семейство {С^: г € о;} такое, что {в,: г £ а>} бесконечная строгая антицепь в 9Тх и X = {х{ : I £ и} такое, что Х{ £ [<С3.]. Тогда [X] гомеоморфно (Зш.

Теорема 2.4 Пусть А — {я, : г £ о;} бесконечная цепь на ОТх- Тогда А является сходящейся последовательностью в 593хд-

Показано, что копий /Зш и сходящихся последовательностей в ¿"ОЗхд достаточно много.

Теорема 2.5 Пусть

= {х £ : х предел сходящейся последовательности точек 9Тх},

(1 = {А*: А С 9Тх, [А] гомеоморфно /За;}. Тогда ф всюду плотно, а семейство ¡1 является ж-сетью в г.

Также приведены результаты A.A. Грызлова, которые описывают подмножества OTi, замыкания которых гомеоморфны ßu и сходящиеся последовательности в

Теорема 2.6 [13] Если множество А С 9ti такое, что |[А] \ А\ = 1, тогда существует конечное множество К С А такое, что А\К — цепь.

Теорема 2.7 [13] Если замыкание [Л] множества А СУХ1 — копия ßuj, тогда А — объединение конечного числа антицепей.

Также важным результатом является описание предельных точек цепей и антицепей в терминах центрированных систем множеств.

Теорема 2.8 Если £ = {Сп\м} — максимальная центрированная система элементов семейства

{ САМ : тг G Ть М С ш },

Теорема 2.9 Если £ = {(?} — максимальная центрированная система элементов семейства

{G = VX1\ (J СЖ:Т'СТЪ \т'\<и],

пет'

то |n{G*:G€f}| = l.

На основании данных теорем выделены два класса точек 593^, так называемые и- и /-точки, и-точки — суть точки 593^, которые имеют базу окрестностей в 593^, состоящую из множеств вида С*|М, а ^-точки — суть точки 593^, которые имеют базу окрестностей в 593^, состоящую из множеств

вида (ОТ! \ и ^)\

тт&т'

В [4] доказана теорема 2.10, которая показывает, что точки являются предельными точками цепей элементов из ОТь

В [6] доказана теорема 2.11, определяющая предельные точки антицепей из ОТх в терминах центрированных систем множеств.

Второй параграф посвящен изучению свойств пространства 5931,2- Результаты данного параграфа опубликованы в [28, 29]. Отличительной чертой данного пространства от 5931д является то, что произвольный элемент з 6 ОТг имеет ровно 2 продолжения на следующий шаг.

Прежде всего показано как связаны пространства 5931Д и 5931,2-

Теорема 2.12 Существует гомеоморфизм ф: [ОТг]^®!,! —> 5931,2 такой, что ф\ох2 — тождественное отображение.

Под [Л]51в1Д понимаем замыкание множества А в пространстве 5931д.

Отметим, что [ОТ2]5<вм нигде не плотно в 593^.

Отсюда следует, что в пространстве 5931,2 бесконечные цепи из ОТ2 являются сходящимися последовательностями, а замыкания бесконечных строгих антицепей гомеоморфны ¡Зи.

Однако, в отличии от пространства 5931д, здесь пределы цепей являются изолированными точками в 593^) а замыкания строгих антицепей являются открытыми множествами, что доказывается в следующей теореме.

Теорема 2.13 Для пространства 5931,2 следующее верно:

1) А = {з, е : г € си} — полная цепь. Тогда А € 931,2, [А] является открыто-замкнутым множеством в 5931,2 и [А] \ А состоит из одной точки.

2) Если А -- {бп = /|п: п £ М}—цепь, где / € Р2 и М С со такое, что \М\ = \и! \ М| = и. Тогда [А] не является открыто-замкнутым множеством в 5931,23) А = {7г(п): п £ М С и} — бесконечная строгая антицепь. Тогда

А £ 931,2 и [Л] является открыто-замкнутым множеством в 5931,2 и го-меоморфно ¡Зш.

Основное внимание в данном параграфе уделено изучению свойств открыто-замкнутых подмножеств пространства 5931,2-

Основным результатом данного параграфа является теорема 2.15, дающая критерий подмножества ОТг замыкание которого является открыто-замкнутой копией (Зш.

Теорема 2.15 Пусть А С У12, \А\ = и. Замыкание [А] является открыто-замкнутой копией /Зш тогда и только тогда, когда А есть объединение конечного числа строгих антицепей из .

С другой стороны, приведен Пример 2.1, в котором строится подмножество У12 замыкание которого является не открыто-замкнутой копией /Зш. Также приведен Пример 2.2, в котором строится подмножество 012 замыкание которого открыто-замкнуто, не содержит изолированных точек и не гомеоморфно /Зш.

Для неизолированных точек из 593доказана следующая теорема.

Теорема 2.14 В любой окрестности Ох произвольной неизолированной точки из нароста х £ 593^2 содержится открыто-замкнутая копия /Зи.

Также как и в пространстве 5051,1 здесь через центрированные системы множеств определяются и- и /-точки. Рассмотрено соотношение понятий и- и /-точек в пространствах 505i,2 и 505i,i.

Теорема 2.18 Если х 6 505i,2, тогда х не является и-точкой в пространстве 50Зхд.

Следствие 2.9 а: является и-точкой из 5051)2, тогда х не является и-точкой в пространстве 505i,i.

Теорема 2.19

1) Если х является l-точкой в 5051,2, тогда х является l-точкой и в объемлющем пространстве 50Зхд.

2) üJc/ш х является l-точкой в 505i,2, тогда для любого X С такого, что pfjssjд \ X = {ж} выполнено \Х \ 9Т2| < о;.

Также приводятся результаты описывающие связь полных цепей и полных антицепей из 9t2-

Теорема 2.16 Для пространства 505i,2 справедливо:

1) Если {-¡г(п): п £ и>) — полная строгая антицепь, то множество \ Стг — {¿п: G о;} — полная строгая цепь и tn = тт(п + l)|n+i для всех

п € LU.

2) Пусть Ot^ = {£ £ domi = n + 1} для всех п € ш. Если {-к{п): п € М} таково, что \ = 1 для всех п £ то {тт{п) : п £ М} — полная строгая антицепь.

В третьем параграфе рассмотрено пространство 5931,3. Результаты данного параграфа поданы в печать [31]. Отличительной чертой данного пространства от предыдущих пространств является то, что произвольный элемент в € 9Тз имеет счетное число продолжений на следующий шаг. Как следствие этого, в данном пространстве фиксированный ультрафильтр не является изолированной точкой, а множество свободных ультрафильтров является всюду плотным.

Приведена классификация точек данного пространства. Доказано следующее:

©1,з = {91з\( и Сп) : Т' С Тз, \Т'\ < а;} является базисом ультрафильтра

тгеТ'

£о (Лемма 2.4).

Для всякого й Е 9Тз семейство множеств

<т» = {Сз \ иС^Т'СТз, \Г\<и,8$ У С,}

жеТ' пеТ'

является базисом фиксированного по в ультрафильтра § (Лемма 2.5). Мно-

л

жество всех фиксированных ультрафильтров обозначим 9?3.

Для произвольной бесконечной цепи а = {зп: п £ си} С 0Т3 семейство непустых множеств

^ = {Са\ У! ^: Т' С Гз, |Т'| < си, а П ( У С^) = 0} 7геГ' я-еТ'

является базисом свободного ультрафильтра £а (Лемма 2.6).

Множество свободных ультрафильтров £а построенных по бесконечным цепям аС^з обозначим Р\.

Для всякого свободного ультрафильтра £ ^ Р\ и {£о} найдется множество Стг\м такое, что тг £ Г3, М С и>, \М\ = ш и {к(п): п £ М} есть строгая антицепь и £ Э Сж\м и С^п) ^ £ для всякого п £ М (Лемма 2.7).

Множество всех таких свободных ультрафильтров обозначим

A^tfBkUAu«,}).

Тем самым описаны базисы всех ультрафильтров из ¿>2$ 1,3.

Теорема 2.20 5931,3 = {£0} um3UF1UF2.

Главным вопросом для данного пространства является выяснение плотности и числа Суслина подпространства свободных ультрафильтров. Отметим, что метод использованный М. Беллом, для доказательства того факта, что 593î;1 удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабельно, не применим для данного пространства.

Основными результатами данного параграфа являются теорема 2.21, дающая оценку числа Суслина б'^В^з, и теорема 2.22 о плотности 593

Теорема 2.21 с(593у = ш.

Теорема 2.22 Подпространство свободных ультрафильтров 593î3 не сепарабельно.

Четвертый параграф посвящен пространствам Стоуна булевых алгебр порожденных множествами вида {Cs : s 6 (j = 1, 2, 3). Результаты данного параграфа опубликованы в [30].

В силу конструкции, данные пространства Стоуна 5932,1, 5932,2 и 5932,з существенно отличаются от рассмотренных ранее.

Основные результаты параграфа связаны с пространством 5932,з. Прежде всего, описаны точки 5932,з, как ультрафильтры обладающие базисами определенного вида. Доказано следующее:

Для произвольного s G ОТз семейство

<r, = {C.\ U Cf. ai U Си N'cm3, jiV'l < и}

teN' t€N'

является базисом фиксированного по s ультрафильтра s (Лемма 2.10).

А

Множество всех фиксированных ультрафильтров обозначим 9Î3. Пусть / G Рз и {sn = /|„: п G и} полная цепь в OÎ3. Тогда семейство <т/ = {С3п : п Е со} является базисом некоторого ультрафильтра £/ G 5932,3. (Лемма 2.11)

Обозначим F = {£/: / G Р3}, где —ультрафильтр, мажорирующий семейство сг/ = {Сдп ■ п G си} для / G Р3.

Семейство е2)3 = « 9Î3 \ \J Ct : N' С 0î3, \N'\ < со, f является базисом

<> teN' >

некоторого ультрафильтра £0 G 5932,3-(Лемма 2.12)

Данные ультрафильтры описывают все точки пространства 59З2,3.

Теорема 2.24 5932,з = {Со} U F U

Теорема 2.25 Подпространство F пространства 5932,3 гомеоморфно множеству иррациональных чисел.

На прямой построено следующее подмножество.

Пример 2.4 Множество J — совершенное нигде не плотное ограниченное подмножество прямой.

Теорема 2.26 Пространство S$$2,3 гомеоморфно J.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору, доктору физ.-мат. наук А. А. Грызлову за постановку задач, за внимательное отношение, поддержку, участие и понимание, Бастры-кову Е. С. за плодотворные дискуссии, моральную поддержку и полезные советы во время работы над диссертацией и своим родным. Автор также благодарен коллективу кафедры алгебры и топологии УдГУ за участие.

2 Предварительные сведения

Большинство обозначений и терминов этой работы взяты из книг Р. Эн-гелькинга [9], А.В.Архангельского, В.И.Пономарёва [3] и Сикорского [8].

Множество всех подмножеств X обозначим ехр X. Через и обозначается вполне упорядоченное множество { 0,1,2, ... } неотрицательных целых чисел, а также мощность этого множества. Множество, имеющее мощность а>, называется счётным. Под п в зависимости от контекста будем понимать и натуральное число, и множество {0, 1,..., га — 1}.

Для множества А С X обозначим: | А\ — мощность множества А; [А] — замыкание множества А в пространстве X;

А* = [А]\А.

Приведем определения основных кардинальных инвариантов, используемых нами в работе.

Определение 1 Базой пространства X называется семейство открытых множеств В удовлетворяющее следующему условию: для произвольной точки х € X и произвольной её окрестности Ох найдется и € В такое, что х £ II С Ох. Наименьшее кардинальное число вида \В\, где В— база пространства X, называется весом пространства X и обозначается

Определение 2 Подмножество А пространства X называется всюду плотным если [А] — X. Наименьшее кардинальное число вида \А\, где А—всюду плотное подмножество пространства X, называется плотностью пространства X и обозначается ¿{.X). Пространства со счетной плотностью называют сепарабельными.

Определение 3 Наименьшее кардинальное число т такое, что любое семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств простран-

ства X имеет мощность не превосходящую т, называется числом Суслина пространства X и обозначается с(Х). Если с(Х) = о.;, то говорят, что пространство X удовлетворяет условию Суслина.

Более подробно о кардинальных инвариантах написано в [2].

Определение 4 Пространство У называется бикомпактным расширением или компактификацией пространства X, если У —бикомпакт и X гомео-морфно некоторому всюду плотному подмножеству У.

Определение 5 Бикомпактным расширением (компактификацией) Стоуна - Чеха пространства X (обозначаем ¡ЗХ) будем называть максимальное бикомпактное расширение пространства X, что означает, что для любого бикомпактного расширения ЬХ пространства X существует непрерывное отображение /: РХ —¥ ЬХ, тождественное на X.

Определение 6 Непрерывное отображение ф: X —> У называется гомеоморфизмом, если ф взаимно однозначно отображает X на У и обратное отображение ф~1 из У в X непрерывно. Два топологических пространства X и У называются гомеоморфными, если существует гомеоморфизм пространства X на пространство У.

В работе рассматриваются различные частично упорядоченные множества функций 0^2 и 9Тз. Отношение порядка на них определяется по следующему правилу. Для произвольных б = 1,2,3) в ^ £ тогда и только тогда, когда £ является продолжением в, то есть ¿|аогаз = б. Соответственно можно ввести понятие цепи и антицепи.

Определение 7 Цепью в пространстве 91 называется линейно упорядоченное множество.

Определение 8 Антицепью в пространстве ОТ называется множество, элементы которого попарно несравнимы.

Определение 9 Антицепь Л С ОТ будем называть строгой антицепью, если для любых различных s,t Е А выполнено dorn s ^ dorn t.

Определение 10 Цепь (антицепь) Л С ОТ будем называть полной цепью (антицепью), если для всякого п € ш \ {0} найдется s 6 А такое, что dorn s = п.

ГЛАВА 1

В этой главе мы рассматриваем основные понятия пространств Стоуна булевых алгебр и некоторые их свойства.

В первом параграфе приводятся необходимые сведения о пространствах Стоуна булевых алгебр. Основные понятия взяты из [8]. Нами рассматриваются булевы алгебры на множестве всех подмножеств некоторого счетного множества.

Во втором параграфе мы рассматриваем счетное множество с различными частичными порядками на нем. На основе данных частичных порядков строятся различные булевы алгебры, как алгебры порожденные некоторыми семействами множеств, и определяются пространства Стоуна данных булевых алгебр.

Точками данных пространств, являются ультрафильтры на соответствующих булевых алгебрах. Также в данном параграфе мы доказываем ряд фактов, справедливых для наших булевых алгебр, которые позволяют построить более удобные в работе базы соответствующих пространств Стоуна.

1.1 Пространство Стоуна булевой алгебры. Основные понятия и факты.

Определение 1.1 Булевой алгеброй называется непустое множество 93 на элементах которого определены три операции А и В, А П В, А удовлетворяющие для всех следующим условиям:

1. АиВ = ВиА,АПВ = ВПА;

2. А и (В и С) — (А и В) и С, А П (В Г) С) = (А Г) В) П С;

3. (АПВ)иВ = В, (АиВ)ПВ = В;

4. А П (В и С) = (А П В) и (А ПС), А и (В ПС) = (А и В) П (А и С);

5. (АПА)1)В = В, (АиА)ПВ = В.

Мы будем рассматривать булевы алгебры 93 = {£7 С X} в множестве ехрХ с теоретико-множественными операциями объединение, пересечение и дополнение.

На множестве булевых алгебр из ехрХ можно ввести отношение порядка по включению, и соответственно говорить о наименьшем элементе. Заметим, что пересечение любого числа алгебр вновь будет алгеброй. Тогда для произвольного множества С С ехрХ существует наименьшая алгебра 93, содержащая множество <2. Очевидно 93 может быть определено как пересечение всех алгебр, содержащих множество С.

Определение 1.2 Будем говорить, что алгебра 93 порождается множеством (2. Если 93— наименьшая алгебра, содержащая множество (7.

Для алгебры порожденной множеством справедливо следующее утверждение.

Предложение 1.1 Если С С ехрХ не пусто, тогда А С X принадлежит алгебре 05, порожденной С, в том и только в том случае, когда его можно представить в виде

(1) А = (Л1д П ... П Лх,Г1) и (Л2,1 П ... П Л2)Г2) и... и П ... П Д,.г.),

где или Ат,п Е или Ат>п € С для любых т,п.

Доказательство. Заметим, что класс элементов вида (1) замкнут относительно операции объединения. По формулам Моргана, дополнение к элементу А также может быть представлено в виде (1). Тогда класс элементов вида (1) замкнут и относительно операции дополнения, а этого достаточно, чтобы соответствующий класс образовывал алгебру 05, содержащую <2.

С другой стороны, каждый элемент А вида (1) принадлежит любой алгебре, содержащей С. Поэтому 05 является наименьшей алгеброй, содержащей в. □

Для определения пространства Стоуна нам необходимо ввести понятие фильтра и ультрафильтра.

Определение 1.3 Семейство £ непустых элементов булевой алгебры 05 называется фильтром, если выполнены условия:

1. если А, В € то А Г) В е £;

2. если А € £ и А С В, то В Е

Определение 1.4 Ультрафильтром в булевой алгебре 05 будем называть такой фильтр ^ С 05, что он не содержится ни в одном отличном от £ фильтре в булевой алгебре 05.

Выделяются два основных типа ультрафильтров: фиксированные и свободные.

Определение 1.5 Ультрафильтр £ будем называть фиксированным если П{Л: А 6 £} 0, в противном случае ультрафильтр называется свободным.

Определение 1.6 Булеву алгебру 95 С ехрХ будем называть приведенной, если для двух различных точек х, у £ X найдется А £ 95 такое, что х £ А и уф А.

Для фиксированных ультрафильтров справедливо следующее утверждение.

Предложение 1.2 Если булева алгебра 95 С ехрХ является приведенной. Тогда каждый фиксированный ультрафильтр £ на 95 определяется одной точкой х £ X и П{Л: = {я}.

Доказательство. Предположим, что найдутся две различные точки х, у £ П{т4: А £ £}. В силу приведенности 95, найдется Ах € 95 такое, что х £ Ах и у £ Ах. Каждый элемент £ содержит точку у, то есть Ах ^ Тогда система {А: А £ £}и{Лх} является фильтром (все её элементы пересекаются по точке х), а это противоречит максимальности □

В дальнейшем мы будем рассматривать приведенные булевы алгебры. Фиксированный ультрафильтр в точке х £ X будем обозначать, как я?, а множество всех фиксированных ультрафильтров обозначим X.

Определение 1.7 Пространством Стоуна 595 булевой алгебры 95 называется множество ультрафильтров в 95 с топологией, задаваемой базой состоящей их открыто-замкнутых подмножеств [Л] следующего вида:

[А] = {£ е 595: А е £}, для А £ 95.

Множество свободных ультрафильтров из [А] будем обозначать

л

А* = [А] \ А. Множество всех свободных ультрафильтров будем обозначать 505*.

Определение 1.8 Базисом ультрафильтра £ будем называть подсемейство Я: £ удовлетворяющее следующему условию: для произвольного £ £ найдется Р' £ а такое, что Р' С Р.

Отметим, что в пространстве Стоуна если а базис ультрафильтра то семейство а — {[^: Р £ а} является базой в точке как точке пространства Стоуна.

Теорема 1.1 [8] Пространство Стоуна 505 является бикомпактным.

Доказательство. Пусть 555 пространство Стоуна некоторой булевой алгебры 05. Рассмотрим центрированную систему замкнутых множеств {Д.: г £ Я} в пространстве 505.

Тогда по определению топологии 505 для каждого г £ Я найдется набор {Адш. А £ 05, <7 £ С^г} такой, что Рг — (~] [Ад]. Получим центрированную

д€<Эг

систему множеств {[Л9]: £ ф}, где = и С}г.

гея

Но тогда центрированной является и система {Ад: д £ <5} С 05, а значит её можно дополнить до некоторого ультрафильтра £ £ П 1/М = П ^г- П

д€<? гел

Докажем некоторые свойства пространства Стоуна 505 произвольной булевой алгебры 05 С ехрХ, необходимые в дальнейшем.

Предложение 1.3 Если и, V С X, V элемент булевой алгебры иипУ = 0, тогда [£/] П [V] = 0.

Доказательство. Поскольку V С X — элемент булевой алгебры, то 11' = X \ V также является элементом булевой алгебры и при этом II С и'.

Согласно определению топологии [V] и [£/'] состоят из ультрафильтров элементами которых, являются V и V соответственно.

Так как V П V = 0, то нет ультрафильтров содержащих оба множества одновременно. Получаем [II] С [С/'] и [С/'] П [У] = 0, тогда [Щ Г) [V] = 0. □

Предложение 1.4 ^о/ш II, V С. X и V —элемент булевой алгебры, то-гда[иг\У] = [и]П[У].

Доказательство. Действительно, II = (£/ П V) и (II \ V) и мы имеем, учитывая предложение 1.3,

[и] п [V] = [{и П V) и (и \ V)] П [V] = ([IIП V] и [и\ V)) П [V] = - ([и П V] П [V]) и ([и \ V] П [V]) = [и п У] и [(и \ V) П V] = [и П V].

□

Предложение 1.5 Для любого открыто-замкнутого II С 593* найдётся V СХ такое, что [V] П 593* = II.

Доказательство. Так как II открытое множество, то для каждой точки х £ II найдётся окрестность Ох = [Ух] (Ух £ 93) такая, что Ох П593* С и. Таким образом, семейство

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Головастов, Роман Александрович, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П.С.Александров // Москва: «Наука », 1977.

2. Архангельский А. В. Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты / А.В.Архангельский // Успехи мат. наук. - 1978. - Т. 33, № 6. - С. 29-34.

3. Архангельский А. В. Основы общей топологии в задачах и упражнениях / А.В.Архангельский, В.И.Пономарёв // Москва: «Наука», 1974.

4. Бастрыков Е. С. О некоторых точках расширения Белла счётного дискретного пространства / Е. С. Бастрыков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.— 2009.— Т. 4.— С. 3-6.—URL: http://vestnik.udsu.ru/2009/2009-014/vuu_09_014_01.pdf.

5. Грызлов А. А. О бикомпактных расширениях дискретных пространств / А.А.Грызлов // Фундаментальная и прикладная математика.— 1996.— Т. 2, № 3. — С. 803-848.

URL: http://www.math.msu.su/~fpm/rus/96/963/96306t.htm.

6. Грызлов А. А. Некоторые центрированные системы множеств и определяемые ими точки / А. А. Грызлов, Е. С. Бастрыков // Труды ИММ. — 2011.-Т. 4.

7. Малыхин В. И. Ненормальность некоторых подпространств /ЗХ, где X-дискретное пространство / В. И. Малыхин // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 211,-С. 781-783.

8. Сикорский Р. Булевы алгебры / Р. Сикорский // Москва: «Мир», 1969.

9. Энгелькинг Р. Общая топология / Р. Энгелькинг // Москва: «Мир», 1986.-С. 751.

10. Bell М. G. Compact ссс non-separable spaces of small weight / M. G. Bell // Topology Proceedings. — 1980. — Vol. 5. — P. 11-25. URL: http://topo.math.auburn.edu/tp/reprints/v05/tp05002s.pdf.

11. Gryzlov A. A. On the Rudin-Keisler order on ultrafilters / A. A. Gryzlov // Topol. Appl. — 1997.-Vol. 76.-P. 151-155.

12. Gryzlov A. A. Independent matrices and some points of {3t / A. A. Gryzlov // Topol. Appl. - 2002. - Vol. 107. - P. 79-81.

13. Gryzlov A. A. On convergent sequences and copies of f3N in the Stone space of one boolean algebra / A. A. Gryzlov // Topology Proceedings. — 2013. — jul. — Vol. 42.- P. 165-171.

URL: http://topology.auburn.edu/tp/reprints/v42/.

14. Frolik Z. Homogenity problems for extremally disconnected spaces / Z.Frolik // Comment. Math. Univ. Carolinae. — 1967. — Vol. 8. —P. 757763.

15. Frolik Z. Sums of ultrafilters / Z.Frolik // Bull. Amer. Math. Soc.— 1967. - Vol. 73. - P. 87-91.

16. Kuncn K. Ultrafilters and independent sets / K. Kuncn // Trans. Amcr. Math. Soc.- 1972.-Vol. 172.-P. 295-306.

17. Kunen K. Some points in ¡3N / K. Kunen // Math. Proc. Cambrige Phil. Soc. - 1976. - Vol. 80. - P. 385-398.

18. Kunen K. Weak p-points in N* / K. Kunen // Coll. Math. Soc. Janos Bolyai, 23 Topology. — Budapest, 1978. — P. 741-749.

19. van Mill J. Weak p-points in compact P-spaces / J. van Mill // Topology Proceedings. — 1979. — Vol. 4, no. 2. - P. 605-628.

20. van Mill J. An introduction to (3u\uj. / J. van Mill // — Amsterdam: Vrige Univ., 1981.

21. van Mill J. Weak p-points in Chech-Stone compactifications / J.van Mill // Trans. Amer. Math. Soc.— 1982.— Vol. 173, no. 2.— P. 657-678.

22. Rudin M. E. Types of ultrafilters / M.E.Rudin // Topology Seminar.— Wisconsin, 1965. - P. 145.

23. Rudin M. E. Partial orders on the types in fiN / M.E. Rudin // Trans. Amer. Math. Soc.— 1971. —Vol. 155, no. 2.—P. 353-362.

24. Rudin M. E. Lectures on set-theoretic topology / M. E. Rudin // Reg. Conf. Ser. Math.23, Univ. Wyoming. — 1974.

25. Rudin W. Homogenety problems in the theory of Cech compactifications / W. Rudin // Duke Math. J. - 1956. - Vol. 23, no. 3. - P. 409-426.

26. Golovastov R. A. On Bell's compactification of TV / A. A. Gryzlov, E. S. Bastrykov, R. A. Golovastov // Topology Proceedings. — 2010. jul. — Vol. 35.—P. 177-185. — URL: http://topology.auburn.edu/tp/reprints/v35/.

27. Головастов P. А. О точках одного бикомпактного расширения N / А. А. Грызлов, Е. С. Бастрыков, Р. А. Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.— 2010.— Т. 3.-С. 10-17.

28. Головастов Р. А. Об одном бикомпактном расширении счетного дискретного пространства / Р. А. Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.— 2011.— Т. 1.— С. 14-19.

29. Головастов Р. А. О пространстве Стоуна одной булевой алгебры / Р. А. Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2012. — Т. 3. — С. 19-24.

30. Головастов Р. А. О пространствах Стоуна булевых алгебр и канторо-вом совершенном множестве / А.А.Грызлов, Р.А.Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2013. - Т. 1. - С. 11-16.

31. Головастов Р. А. О плотности и числе Суслина подмножеств одного пространства Стоуна / А.А.Грызлов, Р.А.Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2014. - Т. 4. — С. 18-24.

32. Головастов Р. А. О некоторых бикомпактных расширениях^бчётных дискретных пространств / Е. С. Бастрыков, Р. А. Головастбв // Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Т. 36. — 2007. — С. 23-24.

33. Головастов Р. А. О расширении Белла / Р. А. Головастов // XXXVI итоговая студенческая научная конференция, посвященная 450-летию добровольного вхождения Удмуртии в состав Российского государства: материалы конф. — Удмуртский государственный университет, 2008. апр. — С. 7-8.

34. Golovastov R. A. On a compactification of N / A. A. Gryzlov, Е. S. Bastrykov, R. A. Golovastov // 23th Summer Conference on Topology and Its Applications. — Mexico: National Autonomous University of Mexico, 2008. jul.

35. Головастов P. А. О некоторых классах точек расширения Белла счетного дискретного пространства / Р. А. Головастов // Тезисы 41-й всероссийской школы-конференции. — Екатеринбург, 2010. февр.— С. 110-113.

36. Головастов Р. А. Об одной компактификации счетного дискретного пространства / Р. А. Головастов // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011». — М.: МАКС Пресс, Электронный ресурс, 2011. апр.

37. Головастов Р. А. О пространствах Стоуна некоторых булевых алгебр / Р. А. Головастов // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2013».— М.: МАКС Пресс, Электронный ресурс, 2013. апр.

38. Golovastov R. A. On the Stone spaces of some boolean algebras / A. A. Gryzlov, R. A. Golovastov // Problems of modern topology and applications: abstracts of the international conference. — Tashkent, 2013. may.