О некоторых кардинальнозначных инвариантах непрерывных отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Ушаков, Андрей Владимирович

• Ушаков, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ушаков, Андрей Владимирович

Введение 3 стр.

§0. Предварительные сведения 27 стр.

§1. Аддиционная проблема для отображений 36 стр.

1. Основные определения и результаты. 36 стр.

2. Доказательства. 38 стр.

§2. Сепарабельные отображения метризуемых пространств 50 стр.

1. Определение сепарабельного отображения. 50 стр.

2. Сепарабельные и финально компактные отображения. Свойство Суслина для отображений. 63 стр.

3. Послойно сепарабельные отображения. 70 стр.

4. Примеры сепарабельных отображений. 74 стр.

§3. Слабо сепарабельные отображения 78 стр.

1. Недостатки старого определения. 78 стр.

2. Новое определение. 81 стр.

§4. Кардинальнозначные инварианты бикомпактных отображений 95 стр.

1. Характер и псевдохарактер для отображений. 95 стр.

2. Бикомпактные над точкой отображения. 108 стр.

3. Теснота и секвенциальность отображений. 121 стр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых кардинальнозначных инвариантах непрерывных отображений»

Одной из основных задач общей топологии является выделение и исследование топологических инвариантов - свойств пространств, сохраняющихся при гомеоморфизмах. Они позволяют дать классификацию и изучить внутреннее строение топологических пространств. При этом особенно большую роль играют кардинальнозначные инварианты, поскольку они наиболее созвучны теоретико-множественной природе общей топологии. С помощью кардинальнозначных инвариантов выделяются важнейшие классы пространств: бикомпакты, финально компактные пространства, пространства со счетной базой и так далее. Кардинальнозначные инварианты широко используются основными методами исследования топологических пространств: методом покрытий, методом спектров, методом отображений. Наконец, кардинальнозначные инварианты часто являются объектами глубоких теорем, выражающих строение и свойства тех или иных пространств.

В последнее время многие общетопологические понятия и факты были обобщены со случая пространств на случай непрерывных отображений. При этом пространство понимается как простейшее непрерывное отображение этого пространства в одноточечное пространство. В частности, для отображений определены аналоги некоторых кардинальнозначных характеристик пространств. Так, к числу фундаментальных понятий теории непрерывных отображений относятся понятия характера, веса, сетевого веса отображения. Они занимают центральное место во многих утверждениях - достаточно сослаться на доказанную Б.А.Пасынковым теорему о вложении тихоновского отображения в проектирование частичного произведения со слоями-отрезками. По мере развития послойной общей топологии растет число таких утверждений, и пополняется список кардинальнозначных инвариантов отображений, обобщающих соответствующие характеристики пространств.

Настоящая диссертация посвящена изучению взаимосвязи между уже известными и новыми, определяемыми в этой работе, кардинальнознач-ными инвариантами отображений. Большая часть из полученных результатов распространяет на отображения известные утверждения, касающиеся пространств, что свидетельствует о возможности постепенного превращения группы разрозненных кардинальнозначных инвариантов непрерывных отображений в единую систему.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Все необходимые определения и факты, относящиеся к теории непрерывных отображений, взяты в основном из работ [17], [19] и собраны в §0. Этот вспомогательный параграф содержит также используемые в работе стандартные обозначения. Основная часть диссертации состоит из четырех параграфов.«

В §1 даны достаточные условия совпадения веса (/—функционального веса) и сетевого веса непрерывного отображения. Доказанные здесь результаты позволяют решить проблему, аналогичную аддиционной' проблеме для пространств.

Формулировка аддиционной проблемы восходит к мемуару П.С. Александрова и П.С. Урысона "Бикомпактные топологические пространства". Изначально она звучала следующим образом: "Возможно ли представить неметризуемый бикомпакт в виде суммы двух пространств, каждое из которых есть пространство со счетной базой?" Отрицательный ответ на этот вопрос дал Ю.М.Смирнов [21]. Он доказал, что всякий бикомпакт, являющийся суммой счетного множества пространств со счетной базой, сам обладает счетной базой. В связи с этим возникает следующая задача: "Пусть топологическое пространство X есть сумма мощности < т своих подпространств, каждое из которых имеет вес т. Можно ли тогда утверждать, что и само пространство X имеет вес г?" A.B. Архангельский доказал справедливость такого утверждения для бикомпактных пространств [1], а затем для локально бикомпактных и полных по Чеху пространств [2]. Позднее он определил более широкий класс перистых пространств, для которых остается справедливым сформулированное выше утверждение [3]. Большую роль в достижении этих результатов сыграло введенное им понятие сети и сетевого веса пространства, после чего решение аддиционной проблемы получается как следствие из теоремы:

Теорема 1 ([1], [2], [3]). Для бикомпактных, локально бикомпактных, полных по Чеху, а в общем случае для перистых пространств сетевой вес и вес совпадают.

В диссертации предложен такой вариант распространения понятия перистости на случай отображений:

Определение 1.1. Пусть отображение / : X —> У есть подотображе-ние отображения /' : X' У. Счетное семейство V покрытий пространства X открытыми в X' множествами назовем оперением отображения f в отображении /', если для любой точки х € X выполнено соотношение

П{7(;г) : 7 G V) С X.

Под у(х) понимается звезда точки х относительно покрытия 7, то есть у(х) = и{Г Е у : х £ Г}.)

Определение 1.2. Отделимо бикомпактифицируемое отображение / назовем р—отображением (или перистым отображением), если оно обладает оперением в своей максимальной хаусдорфовой бикомпактифи-кации х/.

Введенный таким образом класс р—отображений обобщает как класс р—пространств, так и класс полных по Чеху отображений [19].

Основным результатом первого параграфа является

Теорема 1.4. Пусть / : X —► У есть р— отображение и пги(/) < т. Если пространство У удовлетворяет условию г: для любого подмножества Z пространства У в любое покрытие Z открытыми в У множествами можно вписать т—дизъюнктное покрытие Z открытыми в У множествами, то ги(Л < Т{ и значит = пгу(/)). Если еще отображение / - тихоновское, то

W(f) < т( и значит И/(/) = «;(/) = пги(/)).

Отметим, что кроме указанных результатов Архангельского, теорема 1.4 обобщает одно утверждение Л.Ю.Бобкова [12], который в тех же предположениях доказал справедливость равенства и'(/) = пи)($) для полного по Чеху отображения /. Теорема 1.4 позволяет дать решение аддиционной проблеме для отображений:

Определение 1.3. Будем говорить, что отображение / : X —► У является суммой своих подотображений /а : Ха —► У, если = X. а

Теорема 1.5. Пусть р—отображение / : X У есть сумма мощности не больше т своих подотображений /а : Ха —У, каждое из которых имеет вес ги(/а) ке больше т. Если пространство У удовлетворяет условию (*)г, то вес ги(/) ке превосходит т. Если еще отображение / -тихоновское, то и вес не превосходит г.

В конце §1 построен пример 1.14, показывающий, что без условия (*)г утверждение теоремы 1.4 не верно, даже если считать само отображение / бикомпактным. Вообще из результатов диссертации можно сделать вывод, что ограничение (*)г (или его аналоги) необходимо для изучения многих "глобальных" инвариантов непрерывных отображений.

В §2 изучается класс сепарабельных отображений, который был определен Р.Б. Бешимовым в его диссертации [11]. В частности решается вопрос: "Когда сепарабельное отображение метризуемого пространства обладает счетной базой?"

Пространства счетной плотности, называемые сепарабельными, составляют важнейший и очень часто встречающийся класс топологических пространств. Сепарабельность можно иначе определять как свойство пространства иметь счетную 7Г—сеть, состоящую из одноточечных множеств. Это наблюдение позволило Бешимову так сформулировать определение сепарабельного отображения:

Определение 2.1. Подмножество С множества X называется однозначным относительно отображения / : X —► У, если для любого у £ У множество б? П /~1у состоит не более чем из одной точки.

Определение 2.2. Отображение / : X —> У называется сепарабельным, если оно имеет тг—сеть, состоящую из счетного числа однозначных относительно / множеств.

Справедливы тогда следующие утверждения, которые, по моему мнению, должны выполняться при любом варианте определения сепарабельности отображения:

1) Непрерывное отображение сепарабельного пространства сепарабель-но;

2) Отображение со счетной базой сепарабельно;

3) Отображение / : X —► У, ограничение /' : X' —► У которого на всюду плотное в X множество X' сепарабельно, само является сепарабельным.

В работе доказано еще несколько простых свойств сепарабельных отображений, демонстрирующих достоинства выбранного определения сепарабельности.

Утверждение 2.3. Отображение / : X —► У сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетную ж—сеть.

Утверждение 2.5. Прообраз пространства со счетной сетью при сепарабельном отображении является сепарабельным пространством.

Утверждение 2.7. Если отображение f : X —» У сепарабельно, а X : f —► д есть морфизм $ на д : Ъ У, то отображение д также сепарабельно.

Но прообраз сепарабельного пространства при сепарабельном отображении не обязательно является сепарабельным пространством (пример 2.4). Далее, в примере 2.6 построены такие два сепарабельные отображения, послойное произведение которых не сепарабельно. Наконец, к недостаткам определения 2.2 следует отнести и тот факт, что слои сепарабельного отображения могут не быть сепарабельными. Установлено, с другой стороны, что невозможно дать определение сепарабельности отображения так, чтобы устранить указанные недостатки и не нарушить при этом ни одно из свойств 1)-3).

Одним из основных утверждений, касающихся сепарабельных пространств является

Теорема 2 (см.,например, [9]). Для метризуемого пространства X следующие условия эквивалентны:

1) X сепарабельно;

2) X финально компактно;

3) X удовлетворяет условию Суслина\ (.4) X имеет счетную базу. ч

Наша задача заключается в обобщении этого утверждения на отображения. В своих работах Б.А. Пасынков предложил несколько вариантов определения метризуемого отображения. Мы ограничимся исследованием непрерывных отображений метризуемых пространств, которые являются метризуемыми в любом смысле отображениями. Построенные в диссертации примеры показывают, что из сепарабельности непрерывного отображения / : X —► У метризуемого пространства X, вообще говоря, не следует наличие у / счетной базы (даже если пространство У метри-зуемо и сильно паракомпактно или бикомпактно).

Пример (2.8) отображения / : X —» У метризуемого пространства X на бикомпактное пространство У, такого что / не имеет счетной базы, но его ограничение /' : X' —► У на всюду плотное в X множество X' есть отображение со счетной базой.

Пример (2.9) отображения f : X —> У метризуемого пространства X на метризуемое сильно паракомпактное пространство У, такого что / не имеет счетной базы, но его ограничение /' : X' —» У на всюду плотное в X множество X' есть отображение со счетной базой.

Эти примеры позволяют утверждать, что при любом определении сепарабельности, для которого выполнены условия 2) и 3), отображение / из примера 2.8 или 2.9 сепарабельно, но не имеет счетной базы.

Однако, утверждение (1) =Ф- (4) теоремы 2 можно распространить на отображения. Именно справедлива

Теорема 2.12. Пусть / : X —► У есть сепарабельное отображение метризуемого пространства X в метризуемое пространство У. Тогда существует счетное семейство Ы открытых в X множеств, такое что для любой точки Хо £ X и любой ее окрестности Охо найдется открытое в У множество V и элемент \У € Ы со свойствами: х0£\¥ и%ф \¥С\Г1У СОХ0.

Если в этой теореме пространство У одноточечное, то получаем утверждение о том, что из сепарабельности метризуемого пространства следует наличие у него счетнй базы. В связи с теоремой 2.12 доказано еще такое утвержденение

Теорема 2.14. Пусть / : X —> У есть сепарабельное отображение метризуемого пространства X в метризуемое пространство У. Тогда существует счетное семейство V открытых в X множеств, такое что для любой тючки хо £ X и ее окрестности 0Хо найдется окрестность II/Хо точки /хо в У и элемент ТУ £ V со свойством:

Общий результат о равносильности условий наличия счетной базы и сепарабельности для отображений справедлив лишь при сильных дополнительных предположениях.

Определение 2.17. Пространство X называется просеянным, если в каждое его открытое покрытие можно вписать

Определение 2.21. Говорят, что пространство X локально имеет счетную сеть, если для любой точки х Е X найдется такая окрестность Ох, что подпространство Ох пространства X есть пространство со счетной сетью.

Утверждение 2.23. Пусть отображение / : X —» У сепарабельно, пространство X метризуемо, а пространство У локально имеет счетную сеть и просеяно. Тогда / имеет счетную базу.

Формулируемые далее результаты обобщают на отображение утверждение (2) (4) теоремы 2. При этом используются определения финальной компактности отображений, предложенные А.В.Домановой [14].

Определение 2.15. Тихоновское отображение / : X —> У называется финально компактным (линделефовым). если

2.1) для любых открытого покрытия 7 пространства X и точки у 6 У найдется такая окрестность Оу точки у, что из 7 можно выделить счетное покрытие трубки /-1Оу;

2.2) для любых замкнутого в ¡З/Х множества содержащегося в наросте \ X, и точки у € У найдутся такие окрестность Оу точки у и функция ср : /3/ 10у —> I = [0,1], что

1) ¥>(/п АГЧ^) С {0} и

2) > 0 для любой точки х £ /1Оу;

3.1) для любых непустого открытого в У множества О, отрытого покрытия 7 трубки /10 и точки у € О найдется такая окрестность Оу С О точки у, что из 7 можно выделить счетное покрытие трубки /~1Оу.

Утверждение 2.16. Всякое финально компактное в смысле определения (2.2) отображение / : X —» У метризуемого пространства X в паракомпакт У обладает счетной базой.

Утверждение 2.18. Всякое финально компактное в смысле определения (2.1) отображение / : X —> У метризуемого пространства X в просеянное пространство У обладает счетной базой.

Перейдем к рассмотрению непрерывных отображений метризуемых пространств, удовлетворяющих свойству Суслина.

Определение 2.19. Будем говорить, что отображение / : X —> У удовлетворяет условию Суслина, если для любых точки у £ У и семейства 7 попарно не пересекающихся открытых в X множеств существует такая окрестность Оу точки у, что множество элементов семейства 7, имеющих с трубкой /~1Оу непустое пересечение, не более чем счетно.

Утверждение 2.20. Если отображение / : X —> У метризуемого пространства X в просеянное пространство У удовлетворяет условию Суслина, то оно имеет счетную базу.

В итоге получается следующее обобщение теоремы 2:

Теорема 2.24. Пусть отображение / : X —> У непрерывно, пространство X метризуемо, а пространство У локально имеет счетную сеть и просеяно. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) / сепарабелъно;

2) / финально компактно в смысле определения (2.1);

3) / удовлетворяет условию Суслина;

4) / имеет счетную базу.

Если пространство Y - паракомпакт, то утверждения (1)-(4) эквивалентны еще одному

2') / финально компактно в смысле определения (2.2).

Послойную сепарабельность также можно рассматривать как свойство отображений, при помощи которого обобщается понятие сепарабель-ного пространства. D.Buhadgiar в статье "On metrizable type (МТ-) maps and spaces" ввел для отображений свойство типа метризуемости, дав определение МТ—отображения. Для таких отображений им доказана

Теорема 3. Если f : X —» У есть МТ— отображение, то следующие условия эквивалентны:

1) / имеет счетную у—базу для любого у 6 Y ;

2) f~ly является линделефовым пространством для любого у £ Y ;

3) f'ly сепарабелъно для любого у Ç У.

Определение у—базы или базы отображения над точкой у будет дано ниже).

В некоторых случаях достаточно требовать послойную сепарабельность отображения для того, чтобы оно имело счетную базу.

Определение 2.25. Отображение f : X Y называется s—отображением, если для любого у Ç. Y подпространство f~ïy С X сепарабель-но.

Известно, что если / : X —> У есть замкнутое «—отображение метризуемого пространства X в метризуемое пространство У, то / имеет счетную базу. В этой работе доказано

Утверждение 2.27. Вели /: X У есть открытое в -отображение метризуемого пространства X в пространство с а—дизъюнктной базой У {в частности, если У метризуемо), то отображение f имеет счетную базу.

Отметим, что для класса псевдооткрытых отображений, занимающего промежуточное положение между классами открытых и замкнутых отображений, аналогичное утверждение не верно (пример 2.29).

Как известно, для замкнутого отображения f : X У метризуемого пространства X в метризуемое пространство У, граница каждого слоя бикомпактна и, следовательно, сепарабельна. Отсюда сразу вытекает

Утверждение 2.30. Пусть / : X —* У есть замкнутое сепарабель-ное отображение метризуемого пространства X в метризуемое пространство У. Тогда / является в— отображением.

Благодаря утверждениям 2.26 и 2.30 доказана

Теорема 2.31. Если / : X —► У есть замкнутое сепарабельное отображение метризуемого пространства X в метризуемое пространство У, то f обладает счетной базой.

Пример 2.32 открытого сепарабельного отображения / : X —> У метризуемого пространства X на метризуемое пространство У, такого что / не имеет счетной базы, завершает круг вопросов, связанных с обобщением на отображения утверждения (1) (4) теоремы 2.

В заключении §2 приводятся примеры получения сепарабельных отображений при помощи некоторых топологических конструкций:

Утверждение 2.33. Пусть (Е,В,Е,р) есть локально тривиальное расслоение с сепарабельным слоем Е, такое что в любое открытое покрытие его базы В можно вписать покрытие вида £ = и{£г- : г € о?}, где каждое семейство £ дискретно в и£г. Тогда проекция р : Е —» В этого расслоения сепарабельна.

Утверждение 2.35. Если в топологической группе С существует замкнутый сепарабельный нормальный делитель Н, причем пространство фактор-группы Е = С/Н имеет сг—дискретную ж—сеть, то естественный гомоморфизм (р : С? —► Е является сепарабельным отображением.

В §3 определяется и изучается класс слабо сепарабельных отображений. Этот параграф не является основным, но его результаты позволяют по аналогии со случаем пространств доказать свойства бикомпактифи-каций отображения, связанные с сепарабельностью. Это, как мне кажется, есть еще одно подтверждение тому, что при помощи определения 2.2 понятие сепарабельности "надлежащим" образом обобщено на отображения.

Бикомпактные расширения топологических пространств изучались многими авторами. Американским топологом Комфортом [31] был построен пример не сепарабельного пространства, Стоун-Чеховское расширение которого сепарабельно. Доказано также, что все бикомпактифи-кации тихоновского пространства имют одинаковую плотность - теорема Леви и Макдоуэла [33]. В связи с этим возник вопрос: "Для каких тихоновских пространств всегда существует сепарабельное бикомпактное расширение?"

Р.Б.Бешимов в своей диссертации [11] положительно решает этот вопрос. Именно для введенного В.И.Пономаревым класса слабо сепара-бельных пространств оказалась справедлива

Теорема 4 (1.2 из [11]). Для тихоновского пространства X следующие условия эквивалентны:

1) X слабо сепарабельно;

2) Стоун- Чеховская бикомпактификация ¡ЗХ сепарабельна;

3) Всякая бикомпактификация ЬХ сепарабельна;

4) X имеет сепарабелъное бикомпактное расширение;

5) X имеет какое-нибудь сепарабелъное расширение.

В работе [11] дано также определение слабо сепарабельного отображения. Однако, как показано в данной диссертации, это определение не очень удачно, так как существуют бикомпактные не сепарабельные, но слабо сепарабельные (пример 3.3) и даже потрубочно слабо сепарабельные (пример 3.4) отображения. Предложенное далее в §3 новое определение слабо сепарабельного отображения не имеет таких недостатков и позволяет обобщить на отображения утверждение теоремы 4.

Определение 3.5. Отображение / : X —» У назовем слабо сепара-бельным, если существует семейство <5 = {<5г- : г Е непустых подмножеств пространства У и система а = {сг^ : г Е и;; у Е <5г}, где сг,у есть семейство подмножеств пространства X, центрированное в каждой трубке с основанием из -А/"(у), такие что для любого открытого в X множества О и любого открытого в У множества II со свойством ОП/-1{7 ф 0 существует открытое в У множество V С V, номер г Е и;, такие что множество <5, П V непусто и для любой точки у Е <5г- П V найдется элемент IV Е сггг/, содержащийся в О.

Основными результатами §3 являются

Теорема 3.12. Пусть f : X —► У есть отделимо бикомпактифици-руемое отображение. Следующие условия эквивалентны:

1) отображение / слабо сепарабельно;

2) максимальная бикомпактификация xf сепарабельна;

3) всякая бикомпактификация bf сепарабельна;

4) отображение / имеет сепарабельное бикомпактное расширение;

5) отображение f имеет какое-нибудь сепарабельное расширение. Теорема 3.14. Пусть отображение / : X —► У слабо сепарабельно.

Тогда оно имеет сепарабельное расширение й/ : SfX —> У.

Доказываются еще некоторые свойства слабо сепарабельных отображений.

Утверждение 3.7. Всякое сепарабельное отображение слабо сепарабельно.

Теорема 3.8. Бикомпактное хаусдорфово отображение сепарабельно тогда и только тогда, когда оно слабо сепарабельно.

Утверждение 3.9. Пусть / : X —> У есть слабо сепарабельное отображение, а /' : X' —> У его ограничение на всюду плотное в X множество X'. Тогда отображение /' слабо сепарабельно.

Утверждение 3.10. Пусть отображение /' : X' —► У слабо сепарабельно и является ограничением отображения / : X —> У на всюду плотное в X множество X'. Тогда отображение / слабо сепарабельно.

Утверждение 3.11. Пусть Н : / —> д есть морфизм слабо сепара-бельного отображения / : X —» Z на отображение д : У —► 2. Тогда отбражение д слабо сепарабельно.

Теорема 3.23. Декартово произведение не более чем континуума слабо сепарабельных отображений есть слабо сепарабельное отображение.

Установлены условия, при которых слабо сепарабельное отображение удовлетворяет условию Суслина

Утверждение 3.19. Пусть отображение / : X —»• У слабо сепа-рабельно и пространство У локально имеет счетную сеть. Тогда / удовлетворяет условию Суслина.

При тех же ограничениях справедливо

Утверждение 3.21. Пусть отображение f : X —> У слабо сепара-бельно и паракомпактно, а пространство У локально имеет счетную сеть. Тогда f финально компактно в смысле определения 3.1.

Таким образом, можно утверждать равносильность слабой сепарабельности отображения каждому из условий 1)-4) теоремы 2.24:

Теорема 3.22. Пусть f : X —» У есть отображение метризуемого пространства X в просеянное, локально со счетной сетью пространство У. Тогда каждое из условий (1)-(4) теоремы 2.24 эквивалентно слабой сепарабельности отображения f.

Последний, четвертый параграф диссертации посвящен изучению кардинальнозначных инвариантов бикомпактных отображений. В нем вводятся такие новые инварианты как псевдовес, диагональное число и число Линделефа отображения; характер и псевдохарактер множества относительно отображения; "пунктифицированные" варианты веса и сетевого веса.

Определение 4.1. Числом Линделефа отображения / : X —► У назовем наименьшее бесконечное кардинальное число т, обладающее еледующим свойством: для любых открытого в У множества О, открытого покрытия 7 трубки /-10 и точки у £ Y существует окрестность Оу точки у, такая что из 7 можно выделить покрытие мощности не больше г трубки f~lOy.

Число Линделефа отображения / будем обозначать /(/).

Определение 4.2. Для отображения / : X —> Y семейство ф открытых в X множеств будем называть псевдобазой множества А С X относительно отображения f, если для любых точек у £ f А п х £ (f~ly)\A существуют U £ N(y) и элемент W £ ф со свойствами х W и АГ) f~lU С W.

Минимум мощностей всевозможных псевдобаз множества А относительно отображения / (если такие базы определены) назовем псевдохарактером множества А относительно отображения / и будем обозначать ф(А, /).

Определение 4.3. Для отображения / : X —> Y диагональным числом А(/) назовем псевдохарактер диагонали D{X) = {(я,.т) : х £ X} относительно отображения / ® /.

Доказано (утверждение 4.4), что для регулярного Ti— отображения диагональное число определено и не превосходит сетевого веса этого отображения. Основной факт, относящийся к А(/) таков:

Теорема 4.5. Пусть т есть бесконечный кардинал и тихоновское отображение / : X —► У в пространство Y, удовлетворяющее условию (*)г, таково что l(f) < т и А(/) < т. Тогда существует инъективный морфизм отображения f в бикомпактное, функционально хаусдорфово отображение р, вес W(p) которого не превосходит т.

Применение этой теоремы в случае бикомпактных отображений основано на том, что инъективный морфизм бикомпактного отображения на хаусдорфово является изоморфизмом (см. [17] следствие 2.9). Учитывая это, из утверждений 4.4 и 4.5 легко получается

Теорема 4.6. Если f : X —» У есть бикомпактное, функционально хаусдорфово отображение, а пространство У удовлетворяет условию (*)nw{f),moW(f) = A(f) = nw(f).

В статье "Замкнутость проекции произведения в категории непрерывных отображений" А.Ю.Зубов определил многие важные для послойной общей топологии понятия. Среди них понятия бикомпактного, г—компактного и хаусдорфова над точкой из образа отображения; у—центрированного семейства множеств (относительно отображения / : X —» У, у Е У); тесноты и секвенциальности отображения (определения 4.7, 4.18, 4.38 настоящей работы). Используя эти определения, можно сформулировать утверждение, которое играет главную роль при дальнейшем изучении кардинальных инвариантов бикомпактных отображений.

Утверждение 4.9. Пусть f : X —> У есть т—компактное над точкой у € У отбражение иТ - у—центрированное семейство замкнутых в X множеств, имеющее мощность не больше т. Тогда для любой окрестности OFo множества Fo = fl{F : F Е Т} П f~ly существует U Е N(y) и конечный набор Fi,., Fn Е Т, такие что

F0 С f){Fi : г = 1,., п} П f~lU С OF0.

С помощью утверждения 4.9 в §4 доказывается совпадение веса, сетевого веса и псевдовеса бикомпактного хаусдорфова отображения.

Определение 4.10. Псевдобазой отображения f : X —» У назовем такое семейство U открытых в X множеств, что для любой точки х £ X верно равенство: {ar} = (~){U £ U : х £ U} П f~lfx. Псевдовес отображения f: pw(f) = min{|£/| : U - псевдобаза /} определен для всех / £ Т\.

Утверждение 4.12. Для бикомпактного хаусдорфова отображения f : X -+Y всегда nw(f) = pw(f).

Теорема 4.13. Пусть / : X —► У есть бикомпактное хаусдорфово отображение и пространство У удовлетворяет условию (*)пи/уу Тогда w(f) = nw(f)=pw(f).

А.С.Мищенко доказал [16], что для любого бикомпактного ^—пространства мощность каждой базы совпадает с верхней гранью ее точечных мощностей. Для бикомпактных хаусдорфовых пространств этот разуль-тат может быть существенно усилен. Именно справедлива

Теорема 5 ([10]). Пусть X есть бикомпакт, 7 - некоторая его псевдобаза и т - такое кардинальное число, что каждая точка х £ X принадлежит не более чем г элементам из 7. Тогда в X существует база мощности не больше т.

Результат теоремы 5 верен и для Всех г—компактных хаусдорфовых пространств (см. [20] или [8] теорема 2.1.14). Это последнее утверждение удается так обобщить на отображения:

Теорема 4.14. Пусть f : X —» Y есть хаусдорфово г—компактное отображение иЫ - псевдобаза отображения f, такая что каждая точка х G X принадлежит не более чем т элементам изЫ. Если пространство Y имеет т—дизъюнктную базу, то у f существует база мощности не больше т.

В конце первого пункта четвертого параграфа предложен вариант определения характера множества относительно отображения:

Определение 4.15. Семейство В(А) открытых в X множеств назовем базой множества А С X относительно отображения / : X —► У, если для любых открытого в У множества О, пересекающего /А, окрестности V множества А П /-10 и точки у € fA П О, существуют U G N(y) и элемент W € В(А), такие что

Anf~lUC Wílf^UcV.

XapaKviepoM множества А относительно отображения / назовем наименьшее кардинальное число вида \В(А)\, где В(А) - база А относительно /. Это число будем обозначать x(A,f).

Доказана

Теорема 4.16. Пусть / : X' У есть хаусдорфово отображение, а подмножества F С Ф пространства X таковы, что ограничения If = /|f '• F —► У и /ф = /|ф : Ф —> У отображения f бикомпактны. Если x(FJU) < Т> < т и пространство У удовлетворяет условию (*)г, то \{F-> f) < Т

Далее в §4 для отображения f : X —*■ Y определяются ж—характер в точке х £ X, а также ''пунктифицированные" вес и тг-вес:

Определение 4.22. Семейство Вх открытых в X множеств назовем базой (ж—базой) отображения / в точке х £ X, если семейство иог1У -.и евх]у еиЦх)} образует базу (ж—базу) пространства X в точке х. Предполагается, что IIП Г1}х ф 0 для всех и £ В.

Характером (ж—характером) отображения / в точке х назовем наименьший из кардиналов т, таких что существует база (я-—база) отображения / в точке х по мощности не превосходящая т. Для обозначения характера (7Г— характера) отображения / в точке х будем использовать запись х(а:, /) (тгхОс,/)). Полагаем:

Х(/) = эир{х(х, /) : х £ X} и 7гх(/) = эир^хОг,./) • х £ X}

-характер и ж—характер отображения / соответственно.

Определение 4.23. Семейство Ву открытых в X множеств назовем базой (7Г—базой) отображения / над точкой у £У, если семейство ипг1\':СеБ«:УеХ(у)} образует внешнюю базу (я-—базу) множества f~ly в X. Предполагается, что 17 П ф 0 для всех 17 £ В.

Весом {ж—весом) отображения / над точкой у назовем наименьшее кардинальное число вида \ВУ\, где Ву есть база (ж—база) отображения / над точкой у. Вес (ж—вес отображения / над точкой у обозначим через

Для бикомпактных хаусдорфовых отображений эти инварианты совпадают с соответствующими характеристиками слоев отображения:

Утверждение 4.26. Пусть f : X У есть бикомпактное и хаус-дорфово над точкой у Е У отображение и х € }~1у. Тогда

1). !!/„(/) = ЧГ1?/);

2) тг«7у(/) = тгЦ/^у);

3) х(ж,/) = х(ж,/-1у);

4) /) = ^хО»,

Отметим, что если бикомпактное над точкой у Е У отображение / : X —► У является функционально хаусдорфовым над этой точкой (определение 4.19), то равенство = пи)(/~1у) можно вывести (не применяя факт совпадения веса и сетевого веса бикомпактов) из следующего утверждения:

Утверждение 4.31. Пусть / : X —> У есть вполне регулярное над точкой у Е У отображение, а подпространство /1у С X удовлетворяет условиям < т и гш)^~1у) < т. Тогда существует морфизм А отображения / в бикомпактное функционально хаусдорфово отображение р, вес \¥(р) которого не превосходит т, причем ограничение А : /-1у —>• р~гу отображения А инъективно.

Утверждение 4.26 вместе с неравенством жх(Х) < ¿(X), доказанным Б.Э.Шапировским для бикомпакта X в статье [28], дают

Утверждение 4.35. Для бикомпактного хаусдорфова отображения / : X —* У справедливо неравенство: х(Я < 8ПРЩГ'у) : у Е /X}

Для бикомпактного функционально хаусдорфова отображения это неравенство можно доказать без использования указанного результата Ша-пировского, поскольку справедлива общая

Теорема 4.37. Пусть f : X Y есть бикомпактное функционально хаусдорфово над точкой у £ Y отображение, aro € f~lV и кх(хо •> f) < Т■ Тогда существует семейство {Оа :а < г} С N(y) и морфизм g : f р, где р является длинной проекцией частичного произведения Р = P(Y,{IQ},{Oa};a < г} на его основание Y. Причем в g(f~ly) содержится подпространство, гомеоморфное ü(t -f 1).

Известно (см.,например, [8]), что если 2К° < 2*4 то каждый секвенциальный бикомпакт удовлетворяет первой аксиоме счетности на всюду плотном множестве точек. Вновь применяя утверждение 4.26, получаем аналог этого утверждения для отображений:

Утверждение 4.39. Если 2^° < 2Nl. то всякое бикомпактное хаусдорфово послойно секвенциальное отображение f : X Y имеет счетную базу в каждой точке из некоторого подмножества Z пространства X, такого что Z Г1 f~ly всюду плотно в f~ly для любого у £ У.

В связи с утверждениями 4.35 и 4.39 интересно было бы выяснить как связаны теснота и секвенциальность бикомпактного отображения с его послойной теснотой и секвенциальностью. В третьем пункте четвертого параграфа доказаны

Утверждение 4.47. Для всякого бикомпактного хаусдорфова отображения / : X —► У справедливо неравенство: t(f) < sup{t(f-ly) : у £ fX}.

Утверждение 4.40. Если 2^° < то всякое бикомпактное хаус-дорфово послойно секвенциальное отображение секвенциально.

Важной характеристикой кардинальных инвариантов как пространств, так и отображений является их мультипликативность. Теснота даже в случае пространств не устойчива относительно умножения. Однако, при дополнительных ограничениях В.И.Малыхиным [15] доказана Теорема 6. Пусть X есть бикомпакт, У € Тз, ¿(X) < г и ¿(У) < т. Тогда *(.X х У) < г.

А.В.Архангельский [8] усилил это утверждение так: Теорема 7. Если / : X —> У есть замкнутое отображение регулярного пространства X в топологическое пространство У и для точки х £ X выполняются неравенства /(/х,У) < т и ¿(х,/1/:г) < т, то г{х ,Х)

В диссертации теоремы б и 7 распространены на отображения: Утверждение 4.49. Пусть А : / —> д есть морфизм отображения е отображения д \ 2 —> У, х & X и отображение А замкнуто и регулярно над точкой \х. Если t(Xx,g) < т и 1(х,\~1\х) < т, то г.

Следствие 4.50. Пусть д : Z У есть послойное произведение отображения /1 : Х\ —► У и бикомпактного отображения /2 : Х2 > У. Если t(fl) < т и для любой точки у 6 У верно неравенство 71у) < т, то д) < т.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ушаков, Андрей Владимирович, 1999 год

1. Архангельский A.B. Аддиционная теорема для веса множеств, лежащих в бикомпактах. - ДАН СССР, т. 126, № 2 (1959), с. 239-241.

2. Архангельский A.B. О внешних базах множеств, лежащих в бикомпактах. ДАН СССР, т. 132, № 3 (i960), с. 495-496.

3. Архангельский A.B. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства. Матем. сб., 67(109), (1960), с. 55-88.

4. Архангельский A.B. О мощности бикомпактов с перрой аксиомой счетности. ДАН СССР, т. 187,3V« 5 (1969), с. 967-970.

5. Архангельский A.B. Число Суслина и мощность, характеры точек в секвенциальных бикомпактах. ДАН СССР, т. 192, № 2 (1970), с. 255-258.

6. Архангельский A.B. О бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслина наследственно. Теснота и свободные последовательности. ДАН СССР, т. 199, № 6 (1971), с. 1227-1230.

7. Архангельский A.B. Об инвариантах типа характера и веса. Труды ММО, № 38 (1978).

8. Архангельский A.B. Строение множеств и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты. Успехи мат. наук, т. 33, вып. 6(204) (1978), с. 29-84.

9. Архангельский A.B., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

10. Архангельский A.B., Произволов В.В. О связи между точечной мощностью систем подмножеств бикомпактов и его весом. Вестник моек, ун-та., серия математика, № 3 (1966), с. 75-76.

11. Вешимов Р.Б. Слабо сепарабельные пространства и отображения. -Дисс. . канд. физ.-мат. наук, М.: МГУ, мех.-мат., 1994.

12. Бобков Л.Ю. About the coicidence of weight and network weight for mapping. Zbornic radova Filosofscog faculteta u Nisu, Serija Mathematica, 4 (1990), 105-108.

13. Вайнштейн И.А. О замкнутых отображениях метрических пространств. ДАН СССР, т. 57 (1947), с.319-321.

14. Доманова A.B. О финальной компактности непрерывных отображений. Теоретические и прикладные аспекты математических наук. М.: МГУ, мех.-мат. фак., 1994, с. 105-108.

15. Малыхин В.И. О тесноте и числе Суслина в ехрХ и в произведении пространств. ДАН СССР, т. 203, № 5 (1972), с. 1001-1003.

16. Мищенко A.C. О пространствах с точечно счетной базой. ДАН СССР, т. 144, № 5 (1962), с. 985-988.

17. Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. Ташкент: ФАН, 1994.

18. Пасынков Б.А. Частичные топологические произведения. Труды ММО, (1965), 13, с. 136-245.

19. Пасынков Б.А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств. Отображения и функторы: Сборник. М.: МГУ, 1984, с. 72-102.

20. Произволов В.В. О точечной и интегральной мощности системы подмножеств топологического пространства. ДАН СССР, т. 161, № 2 (1965), с. 37-39.

21. Смирнов Ю.М. О метризуемости бикомпактов, разлагаемых в сумму множеств со счетной базой. Fund. Math., 43 (1965), с. 387-393.

22. Ушаков A.B. Слабо сепарабельные отображения. Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов". М.: МГУ, 1997, с. 121-122.

23. Ушаков A.B. Обобщение некоторых свойств слабо сепарабельных пространств на случай отображений. М.: МПГУ, 1998, Деп. в ВИНИТИ 21.05.98, X* 1565-В98.

24. Ушаков A.B. О совпадении веса и сетевого веса для р—отображений. М.: МПГУ, 1998, Деп в ВИНИТИ 22.05.98, № 1576-В98.

25. Ушаков A.B. Сепарабельные отображения метризуемых пространств. М.: МПГУ, 1999, Деп в ВИНИТИ 25.03.99, № 842"В9$.

26. Шапировский Б.Э. О дикретных подпространствах топологических пространств. Вес, теснота и число Суслина. ДАН СССР, т. 202, № 4 (1972), с. 779-782.

27. Шапировский Б.Э. О плотности топологических пространств. -ДАН СССР, т. 206, № 3 (1972), с. 559-562.

28. Шапировский Б.Э. О 7Г—характере и 7г—весе в бикомпактах. ДАН СССР, т. 223, № 4 (1975), с. 799-802.

29. Швецова И.И. О некоторых свойствах непрерывных отображений типа полноты и компактности. Дисс. . канд. физ.-мат. наук, М.: МПГУ, 1996.

30. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

31. Comfort W.W. An example in density character. Archiv der Math., 1963, v. 14, pp. 422-423.

32. James G.M. Fiberurse topology. Cambrige Univ. Press, Cambrige etc, 1998 (Cambrige Trects Math. № 91).

33. Levy R., Mcdowell R.H. Dense subsets of (3X. Proc. Amer. Math. Soc., (1975), v. 507, pp. 426-429.