Наросты расширений локально бикомпактных пространств и отображений. Теоремы о гомеоморфизме пространств и отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Белянова, Эльвира Николаевна

• Белянова, Эльвира Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белянова, Эльвира Николаевна

Введение

Часть 1. ОПИСАНИЕ НАРОСТОВ БЖОМПАКТИФИКАЦИЙ ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫХ ХАУСДОРФОВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВ

§ 1. Первое описание наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова отображения (приложение отображений)

§ 2. Описание наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства

§ 3. Второе описание наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова отображения (обобщение теоремы Ml)

Часть 2. ТЕОРЕМЫ О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ПРОСТРАНСТВ И

ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 4. Обобщения теорем Магилла и Рейборна для случая пространств

§ 5. Теоремы о к - гомеоморфизме отображений

§ 6. Теоремы о А:-гомеоморфизме наростов бикомпактификаций отображений-----------------------------------------—

§ 7. Теоремы Магилла и Рейборна для отображений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наросты расширений локально бикомпактных пространств и отображений. Теоремы о гомеоморфизме пространств и отображений»

Ниже, пространство будем понимать как топологическое пространство, непрерывное отображение - как непрерывное отображение пространств, бикомпактификацию - как (если не оговорено иное) хаусдорфову биком-пактификацию пространства или отображения.

Диссертация, главным образом, посвящена наростам бикомпактификаций локально бикомпактных пространств и локально бикомпактных отображений. Она отталкивается от двух известных (полученных в 1966 и 1968 годах) теорем Магилла (К. D. Magill), описывающих, во-первых, наросты всех бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства при помощи его стоун-чеховского нароста и, во-вторых, стоун-чеховский нарост локально бикомпактного хаусдорфова пространства при помощи всех бикомпактификаций этого пространства. Различные обобщения этих теорем можно видеть в работах [2], [5], [6], [9], [13].

Локально бикомпактные хаусдорфовы пространства характеризуются тем, что они открыты в любой своей бикомпактификации. Значит, наростом бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова пространства является бикомпакт. Решая вопрос, когда данный бикомпакт является наростом бикомпактификации данного локально бикомпактного хаусдорфова пространства. К. Д. Магилл в 1966 году [1] доказал следующую теорему, дающую описание всех наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства.

Теорема Ml. Бикомпакт R является наростом некоторой бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова пространства X тогда и только тогда, когда R есть непрерывный образ стоун-чеховского нароста {ЗХ \ X.

В части 1 диссертации получено иное описание всех наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства (см. ниже теорему 2.1), использующее, вводимое ниже, понятие приложения локально бикомпактного пространства к бикомпакту, лежащему в некотором хаусдорфовом пространстве.

Определение 2.1. Подмножество U пространства X называется ограниченным в нём, если [U]x есть бикомпакт.

Пусть X есть локально бикомпактное хаусдорфово пространство, Z-хаусдорфово пространство, и бикомпакт R содержится в пространстве Z.

Определение 2.2. Непрерывное отображение Л: X называется приложением пространства Xк бикомпакту R в пространстве Z, если: 1 )Rc[A(X\U)]z для любого открытого и ограниченного вXмножества U;

2) для любой окрестности W бикомпакта R в пространстве Z существует ограниченное вХ множество U такое, что X{X\U)c:W.

Если, дополнительно:

3) Л(Х)пД = 0, то отображение Я называется точным приложением пространства X к бикомпакту R в пространстве Z.

Теорема 2.1. Для бикомпакта R и локально бикомпакного хаусдорфова пространства X следующие условия эквивалентны:

1) бикомпакт R является наростом некоторой бикомпактификаций пространства X;

2) существует приложение пространства X к бикомпакту R в некотором пространстве Z;

3) существует точное приложение пространства X к бикомпакту R в некотором пространстве Z.

Чтобы лучше понять суть понятия приложения пространства к бикомпакту, рассмотрим некоторые частные ситуации.

Определение 2.5. Непрерывное отображение A-.X-^Z называется плотным в бесконечности, если для любого открытого ограниченного в X множества U множество A{X\U) плотно в пространстве Z.

Очевидно, если отображение А:Х R локально бикомпактного хаусдорфова пространствах в бикомпакт R является плотным в бесконечности, то оно является приложением пространства X к бикомпакту R в пространстве R.

Определение 2.4. Непрерывное отображение A:X->Z кобикомпактно накрывает множество RqZ, если:

1) Rq[A{X\U)]z для любого открытого ограниченного в X множества U;

2) множество Л(Х) бикомпактно;

3) отображение Zr=A(X\A~1R)->Y\R совершенно.

Если отображение А локально бикомпактного хаусдорфова пространства X в хаусдорфово пространство Z кобикомпактно накрывает бикомпакт RqZ, то (см. теорему 2.3) оно является приложением пространства X к бикомпакту R в пространстве Z.

Пример 1. Рассмотрим отображение А: N -> [0;1], которое натуральный ряд взаимно однозначно переводит в счетное всюду плотное в [0;1] множество.

Отображение Я является плотным в бесконечности, но не является кобикомпактно накрывающим бикомпакт [0;1].

Пример 2. Рассмотрим отображение Я:(0;1]-># такое, что /l(x) = sin- при Отображение Я кобикомпактно накрывает бикомпакт [-1;1], но не является плотным в бесконечности.

Пример 3. Тождественное вложение локально бикомпактного (но не бикомпактного) хаусдорфова пространства X в любую свою биком-пактификацию является точным приложением пространства X к наросту этой бикомпактификации, но не является кобикомпактно накрывающим этот нарост и не является плотным в бесконечности отображением в нарост.

Рассмотренные примеры показывают, что класс отображений локально бикомпактного хаусдорфова пространства, кобикомпактно накрывающих бикомпакт, не совпадает с классом плотных в бесконечности отображений локально бикомпактного хаусдорфова пространства в бикомпакт, тогда как оба содержатся в классе отображений, которые являются приложениями локально бикомпактного хаусдорфова пространства к бикомпакту.

И теорема 2.1. и теорема Магилла Ml могут быть распространены на случай непрерывных отображений. Напомним, как некоторые определения, касающиеся пространств, распространяются на непрерывные отображения.

Непрерывное отображение/ :Х Yназывается: а^бикомпактным, если оно совершенно; б) хаусдорфовым, если для любых двух таких точек х и х' из X, что хфх\ /(х) =/(*'), в X существуют дизъюнктные окрестности; в) локально бикомпактным (К.И. Ишмахаметов) [12], если для любой точки х из X существуют окрестность U точки х в X и окрестность V точки /(х) в F

Wo;

V я

И Я(х) = ух при хе я

-;1 такие, что C/c/V и отображение -»F бикомпактно; г) бикомпактифицируемым (= отделимо бикомпактифщируемым), если существует бикомпактификация (бикомпактное хаусдорфово отображение cf:cfX->Y такое, что X всюду плотно в cj-X и cf\x=/) отображения /.

Наростом бикомпактификации с/ бикомпактифицируемого отображения / является отображение cf\f = cf:cfX\X->Y. Для бикомпактифицируемых отображений определение локально бикомпактного отображения, данное Ишмахаметовым, эквивалентно определению Б. А. Пасынкова [3]: отображение f-.X-^Y локально бикомпактно, если X открыто в CfX для любой бикомпактификации cf отображения /.

Напомним также, что непрерывное отображение f:X->Y называется: а) Tq-отображением, если для любых двух таких точек * и х' из X, что хфх\ f(x) = /(*'), хотя бы у одной из точек х и х' в X найдется окрестность, не содержащая другую точку; б) функционально хаусдорфовым, если для любых двух таких точек х и х' из X, что хфх', f(x) = f(x'), найдется окрестность О точки /(*), в прообразе которой множества {х} и (х'} функционально отделимы; в) вполне регулярным, если для любой точки хеХ и любого замкнутого в X множества F, не содержащего точку х, найдется окрестность О точки /(*), в прообразе которой f~]0 множества {*} и F функционально отделимы. Вполне регулярное Г0- отображение называется тихоновским.

Как показал А. Н. Тихонов, существование бикомпактификации пространства равносильно его тихоновости. В случае отображений это не так. Все тихоновские отображения бикомпактифицируемы, но существуют не тихоновские отделимо бикомпактифицируемые отображения.

Естественной является попытка получить описания наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова отображения как 7 обобщение имеющихся описаний наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства.

В части 1 диссертации, в теоремах 3.1 и 1.2, такие описания получены. В случае одноточечного пространства Y следствием теоремы 3.1 является теорема Ml, следствием теоремы 1.2 является теорема 2.1.

Напомним, что морфизмом X: / -> g непрерывного отображения /: X -» Y в непрерывное отображение g: Z Y называется непрерывное отображение Л: X -» Z такое, что f = g°X.

Пусть даны локально бикомпактное хаусдорфово отображение f:X->Y, хаусдорфово отображение g:Z->Y и бикомпактное подотображение g = g-.R-^Y, где RсZ, отображения g.

Теорема 3.1. Бикомпактное хаусдорфово отображение g: Z ->Y является наростом некоторой бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова отображения f:X->Y тогда и только тогда, когда существует морфизм нароста / максимальной бикомпактификации Xf отображения f на отображение g.

Сформулированная теорема является обобщением теоремы Магилла Ml на хаусдорфовы локально бикомпактные отображения. Вопрос о втором обобщении теоремы Ml (на локально бикомпактные тихоновские отображения и их тихоновские бикомпактификации) остается пока открытым. В то же время, распространение на случай отображений понятия приложения пространства к бикомпакту позволяет получить (обобщающее теорему 2.1) описание наростов и всех бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова (теорема 1.2) и всех тихоновских бикомпактификаций локально бикомпактного тихоновского отображения (теорема 1.3).

Следующее определение обобщает определение 2.2.

Определение 1.1. Морфизм Л называется приложением отображения f к подотображению g отображения g, если: открытого U в X такого, что f/с/ XV и отображение iy->V бикомпактно; существует окрестность V точки у и множество U с / V такое, что

Если, дополнительно: 4) A(X)nR = 0, то морфизм Л называется точным приложением отображения f к подотображению g отображения g.

Теорема 1.2. Для бикомпактного отображения g\R->Y и локально бикомпактного хаусдорфова отображения f :Х ->Y следующие условия эквивалентны:

1) отображение g является наростом некоторой бикомпактификаций отображения f;

2) существуют хаусдорфово отображение g:Z->Y, имеющее g в качестве подотображения, и приложение отображения f к подотображению g отображения g;

3) существуют хаусдорфово отображение g:Z->Y, имеющее g в качестве подотображения, и точное приложение отображения f к подотображению g отображения g. любого открытого V в Y, любого

2) для любой точки yegR и любой окрестности W в Z слоя g 1у отображение /:[U]j-\v -> У бикомпактно и ;

3)отображение fR=f:{^X\f~x(gR)^Y\gR бикомпактно.

Теорема 1.4. Для бикомпактного отображения g-.R-^Y и локально бикомпактного тихоновского отображения f:X^Y следующие условия эквивалентны:

1) отображение g является наростом некоторой тихоновской биком-пактификации отображения /;

2) существуют тихоновское отображение g:Z->Y, имеющее g в качестве подотображения, и приложение отображения f к подотображению g отображения g;

3) существуют тихоновское отображение g:Z^>Y, имеющее g в качестве подотображения, и точное приложение отображения f к подотображению g отображения g.

Отметим, что впервые существование совершенного продолжения (т. е. бикомпактификаций) для локально совершенного отображения ^-пространств доказано Кролевец [11] в 1966 году. Заметим, что в классе регулярных 7] - пространств это означает существование совершенного продолжения для локально бикомпактного хаусдорфова отображения. Понятия отделимости отображений тогда ещё не были определены.

В связи с работами Норина и Пасынкова возник (более 20 лет назад) вопрос о внутренней характеризации отделимо бикомпактифицируемых отображений. С помощью теоремы 1.2 получен следующий частичный ответ на этот вопрос.

Теорема 1.5. Любое локально бикомпактное хаусдорфово отображение отделимо бикомпактифицируемо.

В части 2 диссертации под пространством понимается топологическое Т2 - пространство.

Эта часть диссертации содержит обобщения следующей теоремы К. Д. Магилла[4].

Теорема М2. Наросты стоун-чеховских бикомпактификаций двух локально бикомпактных пространств гомеоморфны, если и только если изоморфны частично упорядоченные множества всех бикомпактификаций этих пространств.

Отметим, что в 1973 году теорема М2 была частично перекрыта, приводимой ниже, теоремой R, полученной Рейборном (М. С. Rayborn) в статье [9].

Для её формулировки потребуется понятие к - абсолютного пространства, то есть тихоновского пространства нарост стоун-чеховской бикомпакти-фикации которого является пространством. Очевидно, любое локально бикомпактное пространство является к -абсолютным. В [9] показано, что к-абсолютными являются все вещественно-компактные (sR-компактные) пространства (то есть все замкнутые подмножества всевозможных степеней прямой).

Теорема R. Наросты стоун-чеховских бикомпактификаций двух к-абсолютных пространств гомеоморфны, если изоморфны частично упорядоченные множества всех бикомпактификаций этих пространств.

В 2001 г. Блудовой, Нордо и Пасынковым [5] теоремы М2 и R следующим образом были распространены со стоун-чеховских на произвольные бикомпактификации локально бикомпактных и к -абсолютных пространств.

Напомним, что пространства X и Y называются к - гомеоморфными, если существует А:-гомеоморфизм X на Y (то есть взаимно однозначное и взаимно непрерывное на бикомпактных подмножествах пространств X и Y отображение X на У). Кроме того, для бикомпактификации еХ тихоновского пространства X символ К(еХ) обозначает частично упорядоченное множество всех бикомпактификаций пространства X, предшествующих еХ.

Теорема BNP1 (теорема 4.6). Для локально бикомпактных пространств Х\ и Х2 и их бикомпактификаций еХ\ и еХ2 наросты еХ{ \Х\ и еХ2\Х2 гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны множества К(еХj) и К(еХ2).

Эта теорема обобщает теорему М2.

Теорема BNP2 (теорема 4.5). Если для тихоновских пространств Х\ и Х2 и их бикомпактификаций еХ\ и еХ2 существует изоморфизм i \ К(еХ\) К{еХ2), то наросты eXt \ Хх и еХ2 \ Х2 к - гомеоморфны, и эти наросты гомеоморфны, если, дополнительно, Х\, Х2 являются к-пространствами.

Эта теорема обобщает теорему R.

Пасынковым был задан вопрос о замене в теоремах BNP1 и BNP2 частично упорядоченных множеств К(еХ1) и К (еХ2) их конфинальными частями. Так как еХ является максимальным элементом во множестве К{еХ) для любого тихоновского пространства X, то, разумеется, надо рассматривать конфинальные части cofк[еХу) множеств к[еХ^ = к[еХ^\ eXj},j = 1,2.

Следующее утверждение диссертации обобщает теорему BNP1 (и теорему Ml).

Теорема 4.9. Для локально бикомпактных пространств Хх и Х2 наросты еХ\ \ Х[ и еХ2 \Х2 гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует изоморфизм i:K(eX])-+ со/К(еХ2) для некоторой конфиналъной части со/К(еХ2).

Теорема 4.9 вытекает из теоремы 4.8.

Теорема 4.8. Если для локально бикомпактного пространства Х\ и тихоновского пространства Х2 существует изоморфизм i:K{eX\)-> ->cof К[еХ2) для некоторой конфиналъной части со/К{еХ2), то наросты еХ\ \ Х{ и еХ2 \Х2 гомеоморфны (и пространство Х2 является локально бикомпактным).

Можно ли в теоремах 4.9 и 4.8 использовать со/К{еХ{) вместо К(еХ\)Ч

Пока этот вопрос открыт, так как, так как в приводимом в диссертации доказательстве теоремы 4.8 используется существование точной нижней грани произвольного подмножества из cof К(еХх).

Далее, для К(еХ) через S(eX) будем обозначать множество всех таких бикомпактификаций сХеК(еХ), для которых каноническое отображение еХ на сХ имеет ровно один неодноточечный слой (и, очевидно, этот слой лежит в наросте еХ\Х).

Следующая теорема обобщает теорему BNP2 (и теорему R).

Теорема 4.7. Если для тихоновских пространств Х\ и Х2 и некоторой конфиналъной части со/К(еХ2) существует изоморфизм i: К [еХ\) -> -^cof К(еХ2) и S{eX2)Qcof К(еХ2), то наросты еХ\\Х\ и еХ2\Х2 к-гомеоморфны. Если, дополнительно, Х\ и Х2 являются к-абсолютными пространствами, то еХ\ \Х[ и еХ2 \Х2 гомеоморфны.

Доказательство теорем 4.7 и 4.8 основывается на методе, использованном в [4]. Этот метод сводит теоремы о (£-) гомеоморфизме наростов бикомпактификаций двух пространств к некоторым теоремам о (А:-)гомеоморфизме двух пространств.

Аналогичный метод будет использован и при распространении теорем М2, Rh BNP2, BNP1 на непрерывные отображения.

Для объяснения этого метода (и, поскольку, теоремы о (^гомеоморфизме пространств и непрерывных отображений, как нам кажется, имеют и самостоятельный интерес) приведем сначала соответствующие определения и результаты из статей [8] и [5].

Рассмотрим пространство X. Частично упорядоченное множество всех совершенных отображений пространства X на другие пространства! обозначим Р{Х).

Пусть ЛеР(Х). Отображение Л называется простым, если существует единственная точка /д еЛ(Х) такая, что Л

1.

Отображение Л называется конечно простым, если существует непустое конечное множество точек Т<^Л(Х) такое, что Л '(/)

1 для любой точки teT и

Л *(/) =1 для любой точки teA(X)\T. 2.

Отображение Л называется дуальным, если оно простое и Л 1 (t{)

Пусть 5'(Х)сР(Х) есть множество всех простых отображений пространства X, FS(x)cP(X) есть множество всех конечно простых отображений пространства X, D(X) есть множество всех дуальных отображений пространства X. В статье [5] доказано, что множество FS(X)u{idx} является решеткой.

Далее, 1(Х) будет обозначать такое подмножество множества Р(Х), что FS(X)u{idx}cl(X).

Определение 4.1. Пара (а,р) такая, что a,fieD(X) и а ф(5, называется 3-вергиинником, если существует у eD(X)\{a,p) такое, что y>\nf{a,p).

Пара (а,р), при a,fieD(X) и а*р, которая не является 3-вершинником, называется 4-еершинником. Если a,p,yeD(X), пара (а,0) является 4вершинником, пары (а,у) и (р,у) являются 3-вершинниками, то отображение у называется связывающим пару (а,р).

Семейство FcD(X) называется 3-вершинным, если для любых различных а,р е F существует у еD(X)\F такое, что у >inf {а,р}.

Максимальное 3-вершинное семейство называется точечным семейством. Если 3-вершинное семейство F содержит более одного элемента, то множество XF =n|/l"1(//l):2GF состоит из одной точки. Эту точку обозначим

Для любого хеХ положим £p^(x) = j<SeD(Z):;ce<r"l(/j)j. Тогда, если |х|>2, то есть точечное семейство, J(x)[K(X){x))~x для любого хеХ и = F для любого точечного семейства

FqD(X).

В статье [5] конечно простые отображения описаны в терминах порядка. Рассмотрим два пространства Xj, X2 и некоторые множества /(^j) и 1(Х2)■ Если существует изоморфизм i:l(X\)-> 1(Х2) и >2, / = 1,2, то есть точечное семейство в 1(Х2) для любой точки xj пространства Х\. В [5] доказана

Теорема BNP0 (теорема 4.1). Если пространства Х\ и Х2 к-гомеоморфны и они являются к-пространствами, то изоморфны множества Р{Х\) и Р(Х2) (следовательно, изоморфны множества FS{X{) и

FS{X2)).

Если изоморфны некоторые множества 1{Х\) и l(X2), тогда k-гомеоморфны пространства X] и Х2, и если, дополнительно, пространства Х\ и Х2 являются к-пространствами, то они гомеоморфны.

Более подробно, если существует изоморфизм i \ 1 [Х{) 1 (Х2) и Xj >2, j = 1,2, то отображение ht :Х\ ->Х2, такое, что для любого xi<aX\, есть к-гомеоморфизм пространства Х\ на пространство Х2.

Отметим, что формула (*) в дальнейшем играет существенную роль.

Перейдем к изложению результатов §4 о гомеоморфизме двух пространств.

Для пространства X положим P(X) = P(X)\{idx}, I(X) = I{X)\{idx}, конфинальную часть множества Р(Х) будем обозначать со/Р(Х).

Теорема 4.2. Если для пространств Х] и Х2 существует изоморфизм i:I(Xl)->co/P(X2) и S(X2)ccofP(X2) для некоторых l(X{)u cofP(X2), то пространства Х\ и Х2 k-гомеоморфны. Если, дополнительно, Х1 и Х2 являются к-простанствами, то они гомеоморфны.

Теорема 4.3. Если в теореме 4.2 Х\ - бикомпакт, то пространства Х\ и Х2 гомеоморфны (и пространство Х2 является бикомпактом).

Из теоремы 4.3 и первой части теоремы BNP0 вытекает

Теорема 4.4. Бикомпакты Х\ и Х2 гомеоморфны тогда, и только тогда когда существует изоморфизм i:P(Xi)->co/P(X2) для некоторого множества cof Р{Х2).

Приведенные выше теоремы 4.7-4.9 выводятся из теорем 4.2-4.4 (потому, что каноническому отображению яес бикомпактификации еХ тихоновского пространства X на его же бикомпактификацию сХ соответствует совершенное отображение тес - 71 ес : еХ \ X —> сХ \ X наростов этих бикомпактификаций).

Перейдем к распространению теорем М2, R и BNP2, BNP1 на непрерывные отображения. Начнем с соответствующего результата статьи [б].

Пусть f:X->Y есть непрерывное отображение, еХ есть расширение пространства X и ef:eX^Y есть непрерывное продолжение отображения /. Будем использовать обозначения: Ху = fxy и еХу > где ye Y.

Напомним, что отображение f-.X-^Y тихоновских пространств называется WZ - отображением, если {Pf)~X{y)~ f}f:f}j-X->Y есть максимальная тихоновская бикомпактификация отображения /. 1у для любого yeY, где

- r г у

В статье [6] введено отображение kresXtxy К к{еХу) так, что kresXXy(cX) = [xy~^cX для любой бикомпактификации сХ<=К(еХ).

Для непрерывных отображений :Xj Y, у = 1,2, (к-)гомеоморфизм h:Xi~>X2 пространства Х\ на пространство Х2 называется [к-)гомеоморфизмом отображения f на отображение f2, если f = f2°h.

Следующие далее, теоремы NP2 и NP1, полученные в статье [б], распространяют теоремы R и М2 на WZ - отображения тихоновского или локально бикомпактного пространства в бикомпакт.

Теорема NP2. Наросты efj \ fj = efj :eXj \Xj ->Y бикомпактификаций WZ-отображений fj тихоновских пространств Xj, у =1,2, в бикомпакт Y к - гомеоморфны, если существуют изоморфизмы i: К (еХ^) -> К [еХ2) и iy: К^еХ2у), у eY, такие, что iy°kresX]х1у = ^resX1 Х2у °' для любого yeY.

Теорема R следует из теоремы NP2, если взять отображение /у :Xj->Y к—абсолютного пространства Xj в одноточечное пространство Y, и вместо бикомпактификации eXj рассматривать pXj, у = 1,2.

Теорема NP1. Наросты efj \ fj = efj :eXj \Xj -» У бикомпактификаций WZ-отображений fj локально бикомпактного пространства Xj, у = 1,2, в бикомпакт Y гомеоморфны, если и только если существуют изоморфизмы i:K(eXi)->K(eX2) и iy к{еХ2уУ yeY, такие, что iy о kresXxXx = kresXlXl ° / для любого yeY.

Теорема М2 следует из теоремы NP1, если взять отображение fj'-Xj -> У пространства Xj в одноточечное пространство 7 и в качестве eXj рассматривать (iXj, 7 =1,2.

Оказалось, что эти теоремы доказаны только в случае, когда все слои наростов efj\fj, j = 1,2, неодноточечны. Из существования изоморфизма i:K(eX[)->K(eX2) следует (к -) гомеоморфизм пространства Хх на пространство Х2. Из существования изоморфизмов iy:к[еХ1у)К.(еХ2у), уеУ, таких, что iy0kresx{xxy=kresxixly°i ДЛЯ любого уеУ следует что

А:-)гомеоморфизм пространства Х\ на пространство Х2 переводит неодноточечный слой одного нароста в слой другого нароста над той же точкой уеУ. Приводимый в диссертации пример 5.1 иллюстрирует причину частичной недоказанности теорем NP2 и NP1. Б. А. Пасынков предложил некоторые идеи для преодоления указанного недостатка теорем NP2 и NP1. В § 5 получены результаты (теоремы 5.3 и 5.4), которые позволяют в § 7 полностью распространить теоремы R и М2 на отображения (теоремы 7.3 и 7.7) тихоновского и, соответственно, локально бикомпактного пространства в бикомпакт. Эти результаты касаются теорем о (к- )гомеоморфизме отображений, и имеют, как нам кажется, самостоятельный интерес. Нам потребуется, введенное в статье [б], отображение resx>A ■Р(Х)^Р(А) где А есть замкнутое подмножество пространства X) такое, что res х А (Я) = [Я: А -» Я(А)) для любого Я е Р(Х). Положим Y"r{yey.\xJy\>2], /Г-./} :-ГГ /7-/,:

Теорема 5.3 (общий критерий (к-)гомеоморфизма непрерывных отображений. Для непрерывных отображений fj :Xj -> У, / = 1,2, следующие условия эквивалентны: a) отображения f\ и f2 к- гомеоморфны; b) 1) существует изоморфизм i:I{X\)-> 1{Х2) для некоторых множеств 1{Хi) и 1(Х2) такой, что 1{к{хх){х\у]) = к{х2){х2у] (где {xjy\=Xjy,j = 1,2) для любого у eY\Y*f*Jr 2) для любого yeY существуют некоторые множества l(x2y^j и изоморфизм liyX2y}, удовлетворяющий условию iy°resХххХу = resx2x2y °' для любого у е Yj*j2 .

Более точно: если Xj >2, у =1,2, то отображение \ht =J(x2) °'а^(хх)]'-:Х1->Х2 является искомым k-гомеоморфизмом отображения f\ на отображение f2; если Xj <2, у = 1,2, то отображение /[ гомеоморфно отображению f2.

Если, дополнительно, пространства Xj, у = 1,2, являются к-пространствами, то к-гомеоморфизм ht является гомеоморфизмом.

Заметим, что в теореме 5.3: (а) существование изоморфизма / определяет по формуле (*) гомеоморфизм пространств hj \Х\~>Х2, условие 2) гарантирует, что 1ц(^\у) = Х2у для всех у е У*/ъ/2; (/) условие (#) гарантирует, что ht(Х\у) = Х2у для всех у е Y\Y*/hf2, и, следовательно, fy является не только А:-гомеоморфизмом пространств Х1 и Х2, ной гомеоморфизмом отображений /, и /2.

Условие (#) является основой для преодоления частичной недоказанности теорем NP2hNP1.

В случае совершенности отображений f\ и /2 условия теоремы 5.3 могут быть несколько ослаблены.

Теорема 5.4. Если отображения fj, j = 1,2, в теореме 5.3 бикомпактны (= совершенны), то выполнения условия (#) можно требовать только для точек из

В следующем результате получено существование «почти» гомеоморфизма совершенных отображений f и f2 при помощи гомеоморзма пространства Y на себя, оставляющего точки у е Y/^j2 неподвижными.

Следствие 5.3. Если для совершенных отображений fj :Xj k-пространств Xj, / = 1,2, на пространство Y

1) существует изоморфизм i: I (Xj) I (X2) для некоторых множеств l(X\) и 1(Х2) и

2) для любого yeY существует изоморфизм iy:l[X\y}-* l[x2y} такой, что 'у °resx{x{y = resx2xly 01 для любого у е y}*j2 , то отображение h = /г,-: х\* ->■ Х2 является гомеоморфизмом

L -iX\ L -iXj отображения f на отображение f *2 и существует гомеоморфизм hy:Y->Y пространства Y на себя такой, что f\=hY°f2°hi и by=hr {Yhi \ЛгЫу=ш* {Ylh\->[Ylb\

§6 диссертации носит вспомогательный характер. В нем сформулированы теоремы, которые являются частными случаями теорем 5.3 и 5.4.

В §7, опираясь на теоремы о (£-) гомеоморфизме непрерывных отображений из §5, получены теоремы о (&-) гомеоморфизме наростов послойно плотных бикомпактификаций (см. далее) отделимо бикомпактифицируемых отображений.

Для формулирования некоторых из этих теорем приведем необходимые определения.

Пусть пространство еХ является хаусдорфовым расширением некоторого пространства X.

Определение 7.1. Непрерывное отображение <р расширения еХ на расширение сХ пространства X называется каноническим, если <р(х) = х для всех хеХ.

Определение 7.2. Бикомпактификация ef :ej-X -» Y отделимо биком-пактифицируемого отображения / называется послойно плотной, если

Г/Л1 Ч1 =(efjl У Д^ любого ye У. 1 \ef) У

Определение 7.3. Отделимо бикомпактифицируемое отображение / называется абсолютно послойно плотным, если [%f) 1(j) =

Г'у для XfX любого yeY, где xf'-Xfxесть максимальная бикомпактификация отображения /.

Абсолютно послойно плотными являются, например, все замкнутые отделимо бикомпактифицируемые отображения в регулярное пространство.

Очевидно, все тихоновские бикомпактификации WZ - отображения и все бикомпактификации абсолютно послойно плотного отображения являются послойно плотными.

Пусть efj-.ej.Xj -> Y есть некоторая послойно плотная бикомпактификация отделимо бикомпактифицируемого отображения /у :Xj -> Y, j = 1,2.

Для тихоновского пространства X, его бикомпактификации еХ и точки х из еХ\Х через ^(etfjM будем обозначать множество всех таких бикомпактификаций сХеК(еХ), для которых каноническое отображение еХ на сХ имеет только один двухточечный слой, содержащий точку х, а все остальные слои одноточечны.

Следующая теорема уточняет теорему NP2, устраняя её частичную недоказанность.

Теорема 7.3. Если для послойно плотных бикомпактификаций ejj: eXj -» Y непрерывных отображений fj тихоновских пространств Xj, / = 1,2, в бикомпакт Y

1) существует изоморфизм i:K(eX\)-*К(еХ2) такой, что

Хе1 у )) = КК(еХ2) (Хе2у ) (где {xejy} = Rejy> J = V длЯ Любого

2) для любого у eYсуществует изоморфизм ху : к{еХ\у j -> к{еХ2у) такой, что iy о kresX{X{y = h-esXlXly ° / для любого у е Уе})\у,,е/2\/2, то наросты efx\fx и ef2\f2 k-гомеоморфны.

Если, дополнительно, Xj, / = 1,2, являются k-абсолютными пространствами, то к-гомеоморфизм нароста e/j\/j на нарост ef2\f2 является гомеоморфизмом.

Теорема BNP2, обобщающая теорему R, следует из теоремы 7.3, если взять отображения fj тихоновских пространств Xj, У = 1,2, в одноточечное пространство Y.

Пусть теперь fj, у = 1,2, - локально бикомпактные отображения.

Следующая теорема уточняет теорему NP1, устраняя её частичную недоказанность.

Теорема 7.7. Для послойно плотных бикомпактификаций efj локально бикомпактных отображений fj пространств Xj, у =1,2, в бикомпакт Y следующие условия а) и Ъ) эквивалентны: a) наросты ef\\f и ef2\f2 гомеоморфны; b) 1) существует изоморфизм i: К{еХ{) К{еХ2) такой, что 1{кк(еХх){хе1у)) = кк(еХ2)Ыу) (где [xejy)= Rejy, j = \,2) длялюбого yeY*efx\f\,efl\h'

2) для любого yeYсуществует изоморфизм iy :K^eXlyj->к[еХ2у) такой, что iy о kresX{X[y = kresXlXly о / для любого у g y]}^f{^ \ fl.

Теорема BNP1, обобщающая теорему М2, следует из теоремы 7.7, если взять отображение fj локально бикомпактного пространства Xj в одноточечное пространство Y .

Используя теорему 4.9, получаем теорему 7.8, которая обобщает теорему 7.7.

Теорема 7.8. Для послойно плотных бикомпактификаций efj локально бикомпактных отображений fj пространств Xj, j = 1,2, в бикомпакт Y следующие условия а) и Ь) эквивалентны: a) наросты е/ \ /j и е/2 \ /2 гомеоморфны; b) 1) для некоторого множества со/К{еХ2) существует изоморфизм i: К {еХ\) -> со/К (еХ2) такой, что / (^(е*,) (хе]у)) = (хе2у) (гЭе 7=1,2; длялюбого УеК/{\/х>е/2\/2' 2) для любого yeYu для некоторого множества со/к{е.Х2у^ существует изоморфизм iy:к{еХ\у j->со/к{еХ2у) такой, что iy °kres] = kres2 °/ длялюбого

Уе¥е/1\/1,е/2\/2

Полученные в диссертации результаты отражены в публикациях [14]-[21].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белянова, Эльвира Николаевна, 2007 год

1. K.D. Magill, A note on compactifications. Math. Zeitschr. 94 (1966), 322-325.

2. T. Thrivikraman, On the lattices of compactifications. J. London Math. Soc., 4(1972), 711-717

3. Б. А. Пасынков. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств. Отображения и функторы, М.: Изд-во МГУ, 1984, с.72-102.

4. I. Bludova, G. Nordo. On the poset of all the Hausdorff and Tychonojfmpactification of mappings. Q&A in General Topology, 17(1999), 47-54.

5. I. Bludova, G. Nordo, B. Pasynkov, On the homeomorphism of spaces andMagill-type theorems. Q&A In General Topology, 19(2001), 95-105.

6. G. Nordo, B. Pasynkov, Magill-type theorems for mappings. International journal of mathematics and mathematical sciences, 26(2004), 1379-1391.

7. Д. К. Мусаев, Б. А. Пасынков, О свойствах компактности и полнотытопологических пространств и непрерывных отображений. Изд-во «ФАН» АН Республики Узбекистан, Ташкент, 1994.

8. К. D. Magill, The lattice of compactifications of a locally compact space.Proc. London Math. Soc. 18(1968), 231-244.

9. M. C. Rayburn, On Hausdorff compactifications. Pasif. J. Math. 44,no.2(1973), 707-714.

10. P. Энгелькинг, Общая топология. Изд-во «Мир», Москва, 1986.

11. Н. Кролевец, О локально совершенных отображениях. Доклады Академии наук СССР, том 175, №5(1967), 1008-1011.

12. К. Ипшахаметов, Бикомпактификации тихоновских отображений.Дис. канд. физ.-мат наук. Фрунзе: Киргизский госуниверситет (1987).

13. G.D. Faulkner, M.C. Vipera, A generalization of Magill's Teorem for non-locally space. Comment. Math. Univ. Carolinae 36, №1 (1995), 127-136.

14. Э.Н. Белянова, О бикомпактных расширениях локально бикомпактных отображений. Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана, 1(20), 2006, с.3-11.

15. Э.Н. Белянова, О наростах бикомпактных расширений локальнобикомпактных отображений. Известия РАН. Серия математическая, том 71, №3(2007), 5-14.

16. Э.Н. Белянова, Описание всех Тг-бикомпактификаций локально бикомпактного Т2-пространства. Научные труды Mill У, М.: Изд-во Прометей, 2004, с. 13-19.

17. Э.Н. Белянова, О бикомпактификации локально бикомпактного Т2пространства. Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания (юбилейный сборник 130 лет МПГУ), М.: Изд-во Прометей, 2003, с. 42-43.

18. Э.Н. Белянова, Характеризация отделимо бикомпактифицируемыхлокально бикомпактных хаусдорфовых отображений. Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона, выпуск 8,2006, с.34-36.

19. Э.Н. Белянова, Об одном обобщении теорем Магилла и Рейборна.Депонир. в ВИНИТИ 28.04.07. №481-В2007.

20. Э.Н. Белянова, Бикомпактифицируемость локально бикомпактногоотображения. Депонир. в ВИНИТИ 28.04.07. №482-В2007.

21. Э.Н. Белянова, Обобщения теорем Магилла и Рейборна на отображения. Депонир. в ВИНИТИ 28.04.07. №483-В2007.