Точно решаемые решеточные модели в теории неравновесных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Погосян, Вааги Суренович

• Погосян, Вааги Суренович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Погосян, Вааги Суренович

Введение

1 Асимметричный процесс с простым исключением

1.1 Кинетическое уравнение

1.2 Решение с помощью тригонометрического анзаца Бете.

1.3 Описание комбинаторного анзаца па простом примере.

1.4 ТАБЕР с ВЭи и с одинаковыми вероятностями скачков частиц.

1.5 ТАБЕР с ВЭи и с разными вероятностями скачков частиц на кольце

1.6 Производящая функция переходов и нестационарная скорость.

1.7 Модель Поттса и вычисление стационарной скорости.

2 Абелева модель самоорганизованной критичности

2.1 Определение модели песка.

2.2 Теорема Кирхгофа.

2.3 Древесное представление рекуррентных конфигураций.

2.4 Вычисление вероятностей высот.

2.5 Корреляционные функции.

3 Решеточная модель димеров

3.1 Определение модели и представление через покрывающие деревья

3.2 Вычисление миноров матриц Тёплица.

3.3 Конечные дефектные линии на решетке.

3.4 Вероятность свободного шага в данном направлении.

3.5 Вероятности локализации вакансии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точно решаемые решеточные модели в теории неравновесных процессов»

j

Точно решаемые решеточные модели играют большую роль в равновесной и неравновесной статистической механике. Они описываются относительно простыми динамическими законами и в то же время объясняют нетривиальные критические явления. Исследование таких моделей помогает на простых примерах понять механизм критического поведения реальных систем.

Важнейшей точно решаемой решеточной моделью является двумерная модель Изинга [3-6]. Она демонстрирует, как в системе с короткодействующим взаимодействием между частицами может возникнуть фазовый переход второго рода, причем основные свойства этого явления принципиально отличаются от тех, которые получаются в приближении среднего поля. После появления и полного изучения модели Изинга возникли другие решеточные модели (вершинные модели) и их различные обобщения. Таким обобщением является модель Поттса с Q состояниями спина [32,33]. Она также играет важную роль в статистической механике. Её особенностью является то, что в зависимости от параметра Q меняется род фазового перехода. На двумерной решетке модель Поттса удалось решить точно только при некоторых значениях параметров. Как было показано Форту ином и Кастелей-ном [31], эта модель объединяет большой класс задач теории графов, возникающих в разных областях теоретической физики, теории вероятностей и комбинаторики. В первой главе данной диссертации модель Поттса будет применена для вычисления среднего потока частиц в стационарном режиме процесса с полностью асимметричным исключением (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process, TASEP) [44]. Модель Поттса имеет также тесную связь с теорией самоорганизованной критичности, которая будет обсуждаться во второй главе.

В последнее время возник интерес к изучению точно решаемых неравновесных моделей. Исследования одномерных решеточных моделей взаимодействующих частиц вдали от термодинамического равновесия показывают, что диффузионные системы с короткодействующим взаимодействием между частицами проявляют необычайно богатое разнообразие критических явлений.

С формальной точки зрения кинетическое уравнение неравновесных процессов можно отождествить с уравнением Шредингера соответствующей квантовой системы. Следовательно, естественно ожидать, что анзац Бете можно применить для нахождения точного решения одномерных неравновесных моделей. Главное отличие от обычных квантовых систем состоит в том, что полученный гамильтониан неэрмитов, т.к. мнимые собственные значения гамильтониана должны описывать процессы затухания в неравновесной системе.

Важнейшим примером неравновесного решеточного газа [7] является асимметричный процесс с исключением (Asymmetric Simple Exclusion Process, ASEP) [1]. Это стохастическая система частиц на одномерной решетке, совершающих скачки в соседние узлы по таким правилам, чтобы две частицы не могли находиться в одном узле и не могли обогнать друг друга. Если существует полная симметрия по отношению к направлению движения, то в пределе больших времен получается равновесный газ. Под действием внешнего поля, которое нарушает эту симметрию, возникает макроскопический поток частиц, который и является предметом изучения. Для нахождения точного решения этой модели, определенной довольно простыми правилами динамики, требуется сложный математический аппарат, такой как анзац Бете. Широкий интерес к этой модели объясняется ее родством с процессами роста поверхностей, проблемой направленных полимеров в хаотически неоднородной среде и уравнением Бюргерса. Она также является простейшей нетривиальной моделью транспортных систем и может служить отправной точкой для их практического исследования. Различные разновидности ASEP были предложены и изучены в [13,14]. В первой главе данной диссертации изложено точное решение этой модели на бесконечной решетке в непрерывном времени [16,17] и на кольце в непрерывном и дискретном временах [18,19]. Далее это решение обобщено для случая с разными вероятностями скачков частиц на кольце [45]. Здесь обнаруживаются новые явления, например образование пробок из-за накопления быстрых частиц за медленными. Это явление по своим свойствам сходно с Бозе конденсацией. Для нахождения решения была использована модифицированная версия комбинаторного анзаца Бете, разработанного в [19].

В 1987 г. П. Бак, Ч. Танг и К. Визенфельд [58] предложили теорию самоорганизованной критичности для объяснения поведения многокомпонентных диссипа-тивных динамических систем. Согласно этой теории, многие динамические системы естественным образом эволюционируют к критическому состоянию. В этом состоянии малое возмущение вызывает цепную реакцию, которая может непредсказуемо повлиять на состояние системы. Хотя в таких системах происходит больше незначительных событий, чем катастроф, цепные реакции всех масштабов являются неотъемлемой частью динамики. Более того, многокомпонентные системы никогда не достигают равновесия, а эволюционируют от одного метастабильного состояния к другому.

Во всех этих явлениях система стохастически эволюционирует в определенное критическое состояние, в котором она теряет характерные масштабы, как длины, так и времени, т.е. ее корреляционный радиус становится равным бесконечности, корреляционные функции имеют степенные асимптотики. Причем это критическое состояние не зависит от начального состояния системы, и, в отличие от обычных критических явлений, не требуется никакой точной подгонки параметров, чтобы достичь его.

Начиная с пионерских работ П. Бака с соавторами, было предложено огромное количество различных компьютерных моделей для описания самоорганизованной критичности. Это, прежде всего модели типа песка [58,60], модели землетрясений [61,62], модели лесных пожаров [63,64], модели критического состояния Бина в многоточечных СКВИД-ах и гранулированных сверхпроводниках [66], знаменитая игра "Жизнь", предложенная Конвеем в 1970 г. [65], и многие другие.

Абелева модель песка (ASM, Abelian sandpile model), предложенная в первых работах П. Бака с соавторами [58,59], хотя и является простейшей из возможных, но, по-видимому, схватывает все основные стороны явления самоорганизованной критичности. Другая причина, по которой именно этой модели было уделено значительное внимание в последние годы, заключается в том, что эта модель (и некоторые ее варианты) является точно решаемой, что показано в замечательной работе Д. Дха-ра [68]. Основным результатом этой работы является выделение класса моделей, допускающих точное аналитическое решение. Для их обозначения он ввел термин "Абелевы модели", отмечая тот факт, что в этих моделях можно менять порядок последовательности, по которому происходит релаксация неустойчивых точек. В работе [67] ему совместно с Р. Рамасвами удалось точно решить направленный вариант модели и показать, что подход, предложенный ранее Т. Хва и М. Кардаром [75] и использующий идеи ренормгруппы, приводит к неверным результатам. Далее в работе [73] совместно с С. Мажумдаром он находит все корреляционные функции и критические показатели лавин для абелевой модели на решетке Бете. Все остальные работы в этой области посвящены намного более трудному варианту абелевой модели самоорганизованной критичности - на квадратной плоской решетке.

Конформная теория поля является мощным инструментом для описания классов универсальности критических двумерных моделей теории равновесной статистической механики [50, 51]. Критические экспоненты, корреляционные функции, конечно-размерный анализ, теория возмущений и эффекты разных граничных условий, все они изучены при помощи конформно-полевого подхода и успешно сравнены с численными результатами и с экспериментом. Недавно возник более широкий класс конформных теорий - логарифмические конформные теории, предназначенные, в первую очередь, для описания некоторых неравновесных решеточных моделей. В частности, модель плотных полимеров [52,53], абелева модель песка [54,55] и перко-ляционные модели [53,56] являются решеточными реализациями логарифмических конформных теорий. Большая серия таких моделей представлена в [53].

Логарифмические конформные теории поля (ЛКТП) изучены в меньшей степени и имеют более сложную структуру. Это, так или иначе, отражает сложность соответствующих решеточных моделей, основным свойством которых является нелокальный характер корреляций. В этом контексте может показаться странным, если не удивительным то, что решеточные модели с нелокальными свойствами могут описываться в непрерывном пределе при помощи локальных полей. По всей вероятности это свойство связано с наличием логарифмов в корреляционных функциях.

Двумерная абелева модель песка - это первый пример точно решаемой модели самоорганизованной критичности, для которой логарифмическая теория поля (с центральным зарядом с = —2) делает определенные предсказания для наблюдаемых величин. Некоторые из этих величин можно проверить при помощи прямых вычислений [54]. В этой модели для единичной высоты вероятность

2(тг - 2)

Ру =

7г3 и асимптотика парной корреляционной функции (г>1) п = Рп(г) - Р* * ~ на бесконечной решетке были вычислены С. Мажумдаром и Д. Дхаром [74]. Для того, чтобы вычислить все остальные вероятности высот Рг, Рз и Р4, В.Б. Приезжев [70] ввел понятие Э-графов и для них разработал технику перечисления. Он обнаружил, что, несмотря на локальный характер переменных (высот) в модели самоорганизации, их представление посредством деревьев существенно нелокально, за исключением простейшего случая единичной высоты. Существенную роль в этих работах играла связь между разрешенными конфигурациями абелевой модели и покрывающими деревьями на решетке впервые полученная в работе [76] и теорема Кирхгофа о покрывающих деревьях на графе. Эта теорема представляет собой эффективный инструмент для вычисления статистических наблюдаемых абелевой модели песка. Более того, эта теорема обнаруживает также родство этой модели с другими точно решаемыми моделями статистической механики, такими как модель Поттса, модель димеров, модель направленных полимеров и т.д. Теорема Кирхгофа сформулирована во второй главе. Она также была использована в третьей главе, для изучения задачи о подвижности вакансии в плотной упаковке димеров.

В работах [54,55] были изучены и вычислены вероятности высот и корреляционные функции на границе и вблизи нее (на полуплоскости). В отличие от результатов вблизи границы, которые проверяются логарифмической теорией косвенно, для парных корреляторов вдали от границы ЛКТП напрямую делает определенные предсказания:

Р[ 1пг 2 г4

71 а = Рха(г) - РхРа ~ -са ^ —, а = 2, 3, 4, р2 1П2Г

ГаЬ = Раь(г) - РаРь ~ -Са сь ~ а, Ь = 2, 3, 4,

1 7* где

TT + 4

20т-2)"

Парные корреляторы связаны с микроскопическими переменными, которые, как было сказано выше, проявляют сильно нелокальный характер. Этим и объясняется наличие логарифмов в асимптотиках.

Во второй главе сделан следующий шаг в изучении двумерной абелевой модели [47]. В частности, при помощи техники перечисления Э-графов [ТО] были вычислены парные корреляторы o~ia, а = 2,3,4. К сожалению, перечисляемые объекты, возникающие при вычислении остальных корреляторов, не представляются через 0-графы и их, по-видимому, из-за серьезной топологической проблемы невозможно обобщить непосредственно.

В третьей главе рассмотрена двумерная решеточная модель димеров. Димер представляет собой прямоугольник размерами 2x1, покрывающий два соседних узла решетки. В общем случае димеры могут двигаться за счет незаполненных пустых мест (вакансий) по определенным законам, так что никаких два димера не пересекаются. Для фиксированной нетривиальной динамики имеем неравновесную систему димеров. Естественно полагать, что эта модель эквивалентна некой трехмерной равновесной системе, т.е. не может быть решена точно.

Статистическая механика жестких димеров на решетке представляет большой интерес для изучения многих физических систем и очень часто встречается в литературе. Изучение димерных моделей может пролить свет на двухатомные газы, термодинамику адсорбированных пленок [78], классический предел моделей резонирующих валентных связей в высокотемпературном сверхпроводнике [79]. Модели плотно упакованных димеров на планарных решетках точно решаемы. Для них разработан довольно мощный математический аппарат [80-85] перечисления конфигураций.

Много интересных задач возникают при рассмотрении упаковок димеров с вакансиями. Наличие таких дефектов дает возможность димерам совершать дискретные передвижения в пустые места (рис. 1). Передвижение димера эффективно можно рассматривать как передвижение вакансии в обратном направлении. Возможные варианты передвижения вакансии зависят от ориентаций.соседних димеров, а именно, данный димер может передвигаться, только если он ориентирован вдоль соседней вакансии. В дальнейшем мы будем рассматривать очень слабо разбавленную вакана) (Ъ)

Рис. 1: Пример передвижения димера на решетке. Димер, передвигаясь в пустое место, из конфигурации (а) образует новую конфигурацию (Ь). сиями модель димеров. Эта система напоминает известную детскую игру "15", где на решетке 4x4 расположены 15 нумерованные квадраты (мономеры). Они могут перемещаться за счет одного пустого места. Целью игры является упорядочение квадратов в возрастающем порядке только за счет перемещений квадратов по решетке. В отличие от этой системы, в димерной системе вакансия имеет только определенное множество достижимых вершин.

В работе Дж. Боутиера и его соавторов [91] был изучен вопрос, о статистических характеристиках размеров этого множества. Они использовали хорошо известный метод Темперли - взаимнооднозначного отображения между конфигурациями плотно упакованных димеров (т.е. без вакансий) и покрывающими деревьями. Там было показано, что конфигурациям димеров с одной фиксированной вакансией соответствует более широкий класс ориентированных графов, чем покрывающие деревья. Этим графам они дали название "покрывающие паутины".

В общем случае, покрывающая паутина - это ориентированный граф, состоящий из следующих компонент. Первая компонента - это центральное дерево, растущее из узла, где расположена вакансия. Остальные компоненты являются непересекающимися циклами, окружающие центральное дерево. На вершинах этих циклов могут расти деревья. На решетке с открытыми граничными точками (определение см. во второй главе), допускаются также внешние деревья, которые растут из этих точек (см. рис. 2). Было показано, что множество достижимых вакансией вершин в точности совпадает с вершинами центрального дерева, которое задает пути всех

Рис. 2: Пример паутины. Здесь стрелки на ребрах не нарисованы. Все поддеревья ориентированы либо в центральную вершину, где расположена вакансия, либо в циклы. Циклы могут быть направлены по часовой стрелке или наоборот. Допускаются еще внешние деревья, растущие на открытых граничных точках. Они здесь не изображены. возможных ее передвижений.

Рассмотрим равновероятное распределение димерных конфигураций с одной фиксированной вакансией. Вероятность найти конфигурацию с тем или иным множеством достижимых вакансией вершин имеет нетривиальное распределение. Поместив вакансию в центральной вершине квадратной нечетно-нечетной решетки, Дж. Боути-ер и его соавторы [91] произвели численные вычисления на конечных решетках, а потом при помощи экстраполяции исследовали предел очень больших (или бесконечных) размеров решетки. Одна из основных характеристик, которая изучалась ими -это вероятность делокализации вакансии рь на решетке L х L, т.е. вероятность того, что все вершины решетки будут достижимы вакансией. Они нашли, что оно падает как pl ~ I/-1/4 для больших L 1. При помощи этого результата была оценена вероятность p(s) того, что число достижимых вершин в бесконечном объеме будет равно s: p(s) ~ s-9/8, s 1. Также были напрямую вычислены точные значения Pl{s) для малых s и конкретных значений размера L. После численной экстраполяции, в пределе бесконечных размеров были получены вероятность полной блокировки вакансии р( 1) = 0.107864 376 26904951198(1) и вероятность того, что вакансия может сделать в точности один шаг: р(2) = 0.055 905 353 801942(1). Более того, при помощи инвертора Плуффа [92], примененного к первым десяти цифрам числа 1/ авторы [91] смогли предсказать значение р(1), именно р(1) = ç - Юл/2. (1)

Целью третьей главы является аналитическое изучение вышеописанных вопросов [48]. Идея состоит в построении дефекта в виде конечного разреза на бесконечно большой решетке. Детерминант лапласиана полученной решетки генерирует все покрывающие паутины. После устремления длины разреза к бесконечности получаются разные характеристики. Этим методом, в частности, было подтверждено предсказание для р(1), а для р(2) найдено р(2) = ~(72 817 у/2 - 102 977), (2) о/ которое совпадает со всеми цифрами, найденными в [91]. Из-за того, что в выражение для р(2) входят большие целые числа, становиться понято, почему применение инвертора Плуффа становится невозможным. Вычисление детерминантов этих дефектов сводится к вычислению асимптотик детерминантов и миноров сингулярных матриц Тёплица.

Данная диссертация написана на основании содержания работ [44-49].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Погосян, Вааги Суренович

Заключение

На защиту выдвигаются следующие результаты:

• Усовершенствован комбинаторный анзац Бете и разработан новый метод точного решения кинетического уравнения для процесса с полностью асимметричным исключением (ТАБЕР), основанный на технике взаимного сокращения множеств недопустимых и вспомогательных пространственно-временных траекторий частиц. На основе предложенного метода, найдено точное решение ТАЭЕР для случая, когда частицы движутся на кольце с разными вероятностями скачков. При помощи этого решения изучено поведение средней скорости частиц в нестационарном режиме и ее сходимость к стационарному значению. Найдены аналитические выражения стационарной скорости в случае с одинаковыми вероятностями прыжков частиц.

• При помощи техники перечисления О-графов вычислены парные корреляционные функции о"1а, о = 2,3,4 абелевой модели песка. Этот результат подтверждает предсказания логарифмической конформной теории поля, которые основаны па предположении применимости конформной теории к непрерывному пределу [54].

• Разработан новый метод перечисления покрывающих паутин на квадратной решетке для перечисления димерных конфигураций с одной вакансией. Этот метод основан на внесении дополнительного дефекта, в виде конечного разреза на решетке. При помощи этой техники аналитически вычислены разные параметры подвижности вакансии, подтверждая ранее полученные численные результаты [91].