Теоремы о минимуме модуля и множество Фату целой функции с лакунами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Рахматуллина, Жанна Геннадьевна

• Рахматуллина, Жанна Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рахматуллина, Жанна Геннадьевна

Содержание

Введение

§1 Краткая история вопроса и исследуемые проблемы

§2 Обзор результатов и постановка задач

§3 Обозначения и основные результаты

Глава I. Вещественные последовательности, лакунар-ные в смысле Фейера

§1 Предварительные сведения-

§2 Характеристики распределения вещественных последовательностей

§3 Примеры

Глава II. Оценка суммы ряда Дирихле через минимум модуля на вертикальном отрезке

§1 Вспомогательные результаты

§2 Оценка Мр{а) через минимум модуля на отрезке

§3 Поведение минимума модуля ряда Дирихле на системе

отрезков

§4 Правильный рост ряда Дирихле на компактах, близких

к отрезкам

Глава III. Множество нормальности семейства итераций целой функции

§1 Определения ц вспомогательные леммы

§2 Ограниченность компонент множества Фату

§3 Существенность условия Фейера

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы о минимуме модуля и множество Фату целой функции с лакунами»

Введение

§1. Краткая история вопроса и исследуемые проблемы

Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнений, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Существенный вклад в развитие данного направления внесли такие математики, как Э. Борель, А. Виман, Полна, а также У. Хейман, В. Фукс, Т. Ковари, А.Ф.Леонтьев, М.Н. Шеремета, A.M. Гайсин и другие.

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию

ОС 1

— <00. (0.1)

В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция

00

f(z)=^cnzn (0.2)

п=1

имеет лакуны Фейера, если последовательность S(f) = {п: сп ф 0, п ^ 1} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (0.2) есть лакунарный степенной ряд вида

оо

f(z) = YlanZPn (Рп G N' 0 < ^ t оо, ап — сРп Ф 0). (0.3)

п=1

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [1].

Е

Этот интересный факт и другие соображения всегда наводили на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (0.3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см. обзор, например, в [2]). Отметим, что условие (0.1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (0.3) в самой общей ситуации, то есть без никакого ограничения на рост.

Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.

Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от их роста на тех или иных неограниченных континуумах, отличных от плоскости. Одна из таких задач, где в качестве континуума берется кривая, для рядов (0.3) впервые была рассмотрена Полна в [3]. При этом предполагалось, что сумма ряда имеет конечный порядок.

Им же в [3] была сформулирована гипотеза: если сумма / ряда (0.3) имеет конечный порядок и п = о(рп) при п —> оо, то

1пш(г, /)

lim -———— = 1, г->.оо тМ(г, j)

где М(г, /) = max \f(z)\ и т(г, /) = min \f(z)\.

\z\=r \z\=r

Гипотеза Полиа была доказана Фуксом [4]. Однако оставался открытым вопрос о существенности условия п = о(рп) при п —> оо. Для целых функций, конечного и конечного нижнего порядка задача полностью решена Скаскивым О.Б. в [5]. В работе ГайсинаА.М. [6] эти результаты полностью перенесены на целые ряды Дирихле с положительными показателями, где предложен новый подход к данной задаче.

Задача Полиа, когда функция f(z) имеет бесконечный нижний

порядок, представляет собой сложную проблему. При различных достаточных условиях на последовательность {рп} эта задача была решена Т. Ковари [7], У. Хейманом [8], СкаскивымО.Б. [9]. Наконец, в [10] было найдено существенно слабое, но достаточное условие на последовательность {рп}, при выполнении которого вне некоторого исключительного множества нулевой логарифмической плотности при г —у ос верно асимптотическое равенство

1п М(г,/) = (1 + о(1)) 1п га (г, /). (0.4)

В настоящей диссертации ставится задача: найти неулучша-емые условия на последовательность {рп}, при выполнении которых для любой функции / вида (0.3) выполнялось бы равенство типа (0.4).

Другая задача связана: с ,исследованием множества Фату целой трансцендентной функции бесконечного порядка, представленной рядом (0.3). Здесь проблема состоит в том, чтобы найти оптимальные условия на {^п}, при которых любая компонента множества Фату целой функции вида (0.3) ограничена.

Исследование множеств Фату 7Г(/) для функций вида (0.3) теснейшим образом связано с первой задачей и с рядом известных классических проблем. В течение всего XX века появилось огромное количество статей, касающихся значений Пикара, борелевских и асимптотических значений, направлений Жюлиа, проблем о связи максимума и минимума модуля, а также распределения значений целых функций с различными лакунарными условиями (см., например, работы [1]-[17], где содержится достаточно полная информация по данным вопросам).

Задачей об ограниченности компонент множества Фату целой трансцендентной функций (конечного и бесконечного) порядка с ла-

кунами определенного вида занимался Ванг [18]. В его работе указаны достаточные условия на последовательность {рп}, при выполнении которых множество Фату функции вида (0.3) не имеет неограниченных компонент. Тот факт, что эти условия непосредственно связаны с асимптотическим поведением суммы ряда (0.3), позволяет применить результаты исследований по предыдущей задаче, и снова возникает вопрос о возможности максимально усилить соответствующие теоремы.

В настоящей диссертации первая из поставленных задач для целых трансцендентных функций произвольного роста, заданных рядами (0.3), решена полностью. Оказывается, первая задача допускает более общую постановку (как для рядов (0.3), так и для рядов Дирихле). Она заключается,д.том,, что (для рядов (0.3)) величина ш(г, /) определяется по некоторым «незначительно деформированным окружностям». В этом случае найдены необходимые и достаточные условия на последовательность {рп} для того, чтобы для любой функции / вида (0.3) было справедливо равенство типа (0.4).

А этот результат оказался существенным для получения ответа и на вторую задачу. Отметим, что в обоих случаях на рост исследуемой функции никаких ограничений не накладывается.

Для интерпретации условий теорем дано наглядное геометрическое описание основных характеристик распределения точек последовательности показателей ряда (0.3), а также ряда Дирихле, применяемых в подобных исследованиях.

Показано, что условие лакунарности по Фейеру является и необходимым для того, чтобы для любой целой функции / вида (0.3) каждая компонента множества Фату была ограничена.

Доказанные в диссертации основные теоремы обобщают и усиливают все ранее известные результаты, в том числе Гайси-

на A.M. [10], а также Ванга [18].

Основные результаты диссертации опубликованы в [19]—[22].

Все результаты данной работы получены под непосредственным руководством A.M. Гайсина, которому выражаю глубокую признательность.

§2. Обзор результатов и постановка задач

В диссертации речь идет о поведении целых трансцендентных функций / в терминах величин

га(г, /) = min |/(г)|, М(г, /) = max \f(z)\.

\z\=r \z\=r

В общей ситуации нельзя ожидать, что функция га (г, /) будет вести себя так же, как и М(г, /), хотя для целых функций порядка р < 1 еще в начале XX века были получены некоторые неулучшае-мые результаты.

Так, в 1906 году для целых функций / порядка р = 0 Дж. Литлвудом было доказано следующее утверждение: для любого г > 0 существует последовательность {гп} (0 < rn t 00), такая, что

m(rJ)>lM(rJ)}1-£, т — тп.

Одновременно возникла гипотеза,; что для 0 ^ р < \ верна оценка типа га(г, /) > [M(r, f)\q (0 < q < 1) на соответствующей последовательности точек. Но ему удалось это доказать только для 0 ^ Р < Полностью утверждение было доказано А. Уайменом. Позже A.C. Безикович установил более общие результаты (по этому поводу см. в [23], [24]).

Полиа в 1926 году доказал следующее утверждение [25]: если 0 < р < 1, то для всякого £ > 0 существует последовательность гп

(О < rn t oo), такая, что

m(r, f) > [M(r, /)]«**'"* , r = rn.

Особый интерес представляет изучение целых трансцендентных функций, заданных лакунарными степенными рядами, поскольку наличие пропусков в таких рядах обеспечивает в определенном смысле правильное поведение их роста и убывания.

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, а

оо

f(z) = J2anZPn (z = x + iy) (0.5)

11=1

— целая трансцендентная функция. В работе [3] Полиа высказал гипотезу о том, что если функция f(z) имеет конечный порядок и имеет лакуны Фабри, то есть

п = о(рп), п -» оо, (0.6)

то

In ш(г, /)

lim 1 = 1. (0.7)

r-^ooln M(rJ) v 7

Справедливость этой гипотезы установлена Фуксом в [4]. Он показал, что если выполняется условие (0.6), а функция f(z) имеет конечный порядок, то для любого £ > 0 при всех г вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой логарифмической плотности имеет место неравенство

In M(r,/) < (1 + г) In m(rj). (0.8)

Хейман показал, что если функция f(z) имеет конечный нижний порядок и выполняется условие (0.6), то оценка (0.8) имеет место вне некоторого множества нулевой нижней логарифмической плотности [8].

Наконец, в [5] найдены неулучшаемые условия на последовательность {рп}, при которых в классе целых функций (0.5) конечного порядка (или конечного нижнего порядка) верна оценка (0.8). В работе [6] эти результаты полностью перенесены на целые ряды Дирихле с положительными показателями, где предложен новый подход к данной задаче.

Случай, когда функция /(г) имеет бесконечный нижний порядок, представляет собой сложную проблему, связанную с тем же равенством (0.7).

При изучении асимптотических значений целых функций (0.5) естественно возникает и другая задача, тесно связанная с предыдущей'. Она заключается в следующем: при каких условиях на последовательность {рп} для всякой кривой 7, уходящей в бесконечность, существует последовательность {£п}, £п € 7, такая, что при £п —>> сю

1пмаил = (1+о(1))1п1Д{п)1?

Впервые данная задача была сформулирована в работе [3] и решена для одного класса целых функций / вида (0.5), имеющих конечный порядок. Случай, когда функция / имеет какое-либо более общее ограничение на рост, представляет собой относительно простую задачу и достаточно полно исследован. Когда же функция / имеет произвольный рост, возникают .существенные трудности, связанные с нерегулярным распределением точек последовательности {рп}, поэтому данная задача, как и предыдущая, в литературе иногда называется проблемой Полиа.

Обзор исследований, посвященных второй задаче, и ее решение представлены в статье [2].

В диссертации сначала рассматривается первая задача об оценке типа (0.8) для функций произвольного роста.

Приведем краткий обзор основных результатов по данной проблеме.

Т. Ковари показал, что если f(z) — целая функция вида (0.5) и Рп> n(lnn)2+i? (77 > 0), то оценка (0.8) имеет место вне некоторого множества конечной логарифмической меры [7].

В работе [8] Хейманом установлено, что если

7%

— lnn(lnlnn)2+?? = 0(1), tl —У оо (ту > 0),

Рп

то

In М(г, /) = [1 + о(1)] In га (г, /) (0.9)

при г —У оо вне некоторого множества нулевой логарифмической плотности.

В [9] сформулирована теорема, где утверждается, что асимптотическое равенство (0.9) имеет место (при г —> оо вне некоторого исключительного множества нулевой логарифмической плотности), если

У1п+1пр"<00. (0.10)

Наконец, в [10] показана справедливость данного утверждения при выполнении условия

00

с«- («-И)

П—1

Поскольку условие (0.11) слабее условия (0.10) (это показано в [10]), то результат из [10] является наиболее общим для рядов (0.5) и содержит все приведенные выше утверждения из [7], [8], [9].

Естественно возникает вопрос о точности условия (0.11). По этому поводу можно сказать следующее. Для выполнения условия (0.11) необходимо (но не достаточно) выполнения следующей

пары условий (см. главу I, а также в [10]):

1

сИ < оо

(0.12)

где с{р) — наименьшая неубывающая мажоранта последовательности {дп},

Для любой последовательности {р^}, для которой ^ рп1 = оо,

п=1

существует ряд (0.5), для которого /(:х) = о(1) при х —оо [14]. Для любой последовательности {рп}, для которой интеграл б) из (0.12) расходится, существует ряд (0.5), для которого с£(/;М+) = 0, где

7 — любая фиксированная кривая, уходящая произвольным образом в бесконечность [2].

Таким образом, каждое из условий а) и б) из (0.12) является необходимым для того, чтобы для любой функции / вида (0.5) выполнялось асимптотическое равенство (0.9). В [2] доказана

Теорема А. Пусть «¿(/) = шё 7). Для того, чтобы для лю-

бой целой функции f вида (0.5) имело место равенство с£(/) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия а) и б).

С учетом только что приведенной теоремы А из [2] теорему А из [10] (она в [10] носит лишь достаточный характер) можно сформулировать следующим образом:

Теорема В. Для того, чтобы для любой функции / вида (0.5) при х —> оо вне некоторого исключительного множества Е С [0, со)

р1

к=1

оо

7

нулевой логарифмической плотности имело место асимптотическое равенство

ЫМ(х, /) = (1 + о(1)) In \f(x)\, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась пара условий а) и б).

Данная теорема верна для любого луча = {z: aigz = (р, \ip\ ^ 7г}. Следовательно, если ряд (0.11) расходится, но условия а) и б) выполнены, то d(f',l<p) = 1, и потому принципиально нельзя построить пример функции, заданной рядом (0.5), для которой d(f', Itp) < 1- Это наводит на мысль о том, что при условиях а) и б) обязательно должен иметь место некоторый аналог равенства (0.9), означающий более сильную регулярность роста, чем d(f) = 1. То, что это действительно так, показано в диссертации, и тем самым получено существенное усиление соответствующей теоремы из [2]. Точно такая же задача может быть поставлена и для рядов Дирихле

оо

F (s) = ]TaneA"s (s = a + it), (0.13)

n=l

абсолютно сходящихся во всей плоскости. Здесь рассматривается именно этот более общий случай, специфика которого прежде всего в том, что на распределение последовательности Л = {Ап} (0 < Лп t показателей влияет не только рост считающей функции и накапливаемость точек А на отдельных участках, но и их взаимное расположение (сближаемость). Поскольку сумма ряда (0.13) в отличие от ряда (0.5) не является периодической на вертикальных прямых, в данном случае может идти речь только об оценках модуля функции F через ее минимум модуля на вертикальных отрезках (эти оценки аналогичны равенству (0.9)). При условиях (0.11) и б) из (0.12) в [10] такого рода оценки получены для вертикального отрезка фиксированной длины, уходящего в бесконечность в пределах

некоторой горизонтальной полосы. В диссертации будет показано, что это не по существу: вертикальный отрезок может двигаться произвольно, даже сильно осциллируя.

В обсуждаемой задаче чем длиннее отрезок, тем лучше оценка. Поэтому ставится вопрос: какова длина отрезка?

Цель диссертации — показать, что: во-первых, если кроме пары условий (0.12) имеет место некоторое условие /-регулярности (оно зависит от F и потому слабее, чем (0.11)), то при а —> оо вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой плотности

In MF(a) = (1 + о(1)) In m*-(о-),

где Мр{сг) — sup \F(a-\-it)\, т^(сг) — минимум модуля функции F

|f|<oo

на любом вертикальном отрезке вида If, у {сг) — {s — cr + it: \t — to\ CV(cr)cr7}, где 7 (0 < 7 < 1) фиксировано, Cf{&) — некоторая функция, зависящая от F, С'р(сг) оо при а —>• оо; во-вторых, если выполняется только пара условий (0.12), а тр{сг) — минимум модуля F на некотором измененном отрезке, получаемом из заданного вертикального отрезка постоянной длины незначительной деформацией, то данное утверждение верно для любой функции F вида (0.13).

Другая задача — дать геометрическое описание основных характеристик распределения точек последовательности Л, применяемых в аналогичных исследованиях.

Еще одна задача, рассматриваемая в диссертации, связана с изучением множества Фату целой трансцендентной функции — наибольшего открытого множества комплексной плоскости, на котором семейство итераций заданной функции образует нормальное семейство (по Монтелю). А именно j выясняются условия, при которых множество Фату заданной функции не имеет неограниченных компонент.

Представим обзор результатов по данному вопросу. Пусть / — нелинейная целая функция комплексной переменной Ее естественные итерации определяются следующим образом:

-- 1к+\г) = }ик(г))> к = 1,2,... (0.14)

Известно, что если / — многочлен степени не менее 2, то мно-

которая не ограничена и вполне инвариантна [26] (то есть совпадает как со своим образом, так и с полным прообразом). Если же / — трансцендентная целая функция, то множество Жюлиа = С \ ^(/) всегда не ограничено, а множество 7Г(/) может иметь либо бесконечно много неограниченных компонент, либо ровно одну, либо не иметь их вовсе [26].

И. Бейкером была доказана следующая

Теорема С ([27]). Если множество Фату ^(/) целой трансцендентной функции / содержит неограниченную инвариантную компоненту, то она растет быстрее целой функции порядка 1/2 минимального типа.

В [27] показано, что при достаточно больших положительных значениях параметра а множество Фату функции

(она имеет, очевидно, порядок р = 1/2 и нормальный тип) имеет неограниченную компоненту Д содержащую луч [жо,оо) (жо > 0). Более того, для любого а > 0 функция д(г) = <7-1/(<7^) имеет порядок \ и тип сг, а множество Фату функции д содержит неограниченную инвариантную компоненту [27]. Другим примером может

жество Фату 77(/) содержит компоненту К — {г: /к—> оо},

служить функция F(z) = cos у a2z + |7г2, (0 < а < \/37г), порядка \ и типа сг, множество Фату F{F) которой также содержит неограниченную инвариантную компоненту [27], [28].

В 1981 году Бейкером был поставлен вопрос [27]: будет ли каждая компонента множества T(f) ограничена, если целая трансцендентная функция / имеет достаточно малый порядок роста? В силу теоремы С задачу Бейкера естественно рассматривать в классе целых трансцендентных функций порядка р < 1/2.

Сам Бейкер [27], а позже Сталлард [29], Андерсон и Хинка-нен [30] получили различные достаточные условия, при выполнении которых в указанном классе функций / множество .F(/) не содержит неограниченных компонент. Эти условия следующие:

1) Бейкер, 1981 г., [27]: при г ->оо

lnM(r,f) = 0{(lnr)p} (1 <р<3);

2) Сталлард, 1993 г., [29]: существует £ € (0,1), что при г ^ г0

(In г)1/2 lnlnM(r,f) < J . ;

3) Сталлард, 1993 г., [29]: для целой функции / порядка р <1/2

Шп 1аМ(2г'Я = ,

г-юо In М(г,/) '

где с — с(/) — конечная постоянная, зависящая только от / (эта теорема точна: функция f(z) из приведенного выше примера из [27] имеет порядок р = 1/2, и для нее условие Сталлард выполняется с постоянной с = у/2. Однако ^(f) содержит неограниченную компоненту);

4) Андерсон и Хинканен, 1998 г., [30]: для целой функции / порядка р < 1/2 существует с > 0, что при х ^ хо

И снова особый интерес представляет изучение класса целых трансцендентных функций вида (0.3)

оо п=1

Как отмечалось выше, наличие лакун (пропусков) в таких рядах обеспечивает в определенном смысле правильное поведение их роста и убывания, что позволяет судить о компонентах множеств в случае любого конечного и даже бесконечного порядка роста.

Говорят, что целая функция вида (0.3) имеет лакуны Фабри, если п = о(рп) при п —» оо, и лакуны Фейера, если выполняется (0.1), то есть

оо ^

Е

< оо.

П=1 ^

В диссертации изучаются множества Фату функций /

вида (0.3) в общем случае, а именно для целых функций произвольного роста (в том числе и бесконечного порядка).

Мы будем пользоваться следующими стандартными обозначениями для порядка р и нижнего порядка р* функции /:

1п1пМ(г, /) 1п1п М(г,/)

р - lim---, ö* = lim

г->оо In Г оо In Г

Отправными для наших исследований являются следующие результаты Ванга.

Теорема D ([18]). Пусть f — целая функция вида (0.3), нижний порядок р* и порядок р которой удовлетворяют оценкам 0 < р* ^

р < оо. Если функция f имеет лакуны Фабри, то каждая компонента множества ограничена.

Теорема Е ([18]). Пусть целая функция / вида (0.3) удовлетворяет условию: существует То > 1, такое, что

Щ)

Если при некотором т/ > 0

рп > п1пп(1п1пп)2+7? (п^п0), (0.16)

то каждая компонента множества ограничена.

Отметим, что в теореме О условие (0.15) явно не фигурирует, а требуется, что 0 < р* и р < оо. Однако, легко проверяется, что в этом случае левая часть в оценке (0.15) равна +оо. Так что в

теореме Ю при То ^ д — (д > 1) условие (0.15) выполняется автор*

матически. :

Заметим, что для всякой целой функции / и для любого Т > 1 (это следует из теоремы Адамара о трех окружностях, см., например, в [31, гл. V, п.5.3])

г_+оо 1п М(г,/)

В теореме Е речь идет о целых функциях произвольного роста (возможны ситуации р* = 0 и р = оо), поэтому в отличие от теоремы О приходится постулировать выполнение более сильной оценки, чем (0.17).

Что касается условия (0.16), то при этом условии в [8] Хейма-ном показано (см. выше), что для любой целой функции / вида (0.3) при г —> оо вне некоторого множества нулевой логарифмической плотности

1пМ(г, /) = (1 + о(1))1пт(г,/). (0.18)

При доказательстве теоремы Е данная оценка используется по существу. Так что условие Хеймана (0.16) в теореме Е продиктовано именно оценкой (0.18). На самом деле условие (0.16) может быть заменено на более слабое [10]: п = о(рп) при п —> оо, и

Здесь будет доказано, что утверждение теоремы Е остается верным и при условии (0.19).

Цель диссертации — показать, что теорема Е верна в самой общей ситуации, а именно, условие (0.19) может быть существенно ослаблено. Оказывается, последнее условие можно заменить на пару оптимальных условий, при выполнении которых для любой функции вида (0.3) справедлива оценка типа (0.18). Более того, данная пара условий является критерием выполнения этой оценки, и состоит из условия Фейера

и некоторого условия на концентрацию точек рп в терминах

Показано, что условие лакунарности по Фейеру является необходимым для того, чтобы для любой целой функции / вида (0.3) каждая компонента множества была ограничена.

§3. Обозначения и основные результаты

Пусть Л = {Ап} — неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию лаку-

(0.19)

Рп

1

где ¡1{рп\£) — число точек рь ф рп из отрезка {ж: \рп — х\ ^

нарности Фейера

оо ^

5л = V — < оо.

Ясно, что в этом случае последовательность Л имеет нулевую плотность.

Через Т>(А) обозначим множество всех рядов Дирихле (0.13), абсолютно сходящихся во всей плоскости. Через /и(сг) обозначим максимальный член ряда (0.13), то есть /л(сг) = тах.{\ап\еХп<1}. По-

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рахматуллина, Жанна Геннадьевна, 2011 год

Литература

1. Fejer L. Uber die Wurzel vom kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung // Math. Ann. — 1908. — P. 413-423.

2. Гайсин А. M. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Матем. сб. — 2003. — Т. 194, № 8. - С. 55-82.

3. Pölya G. Untersuchungen über Lüchen und Singularitäten von Potenzreihen // Math. Z. - 1929. - Vol. 29. - P. 549-640.

4. Fuchs W. H. J. Proof of a conjecture of G. Polya concerning gap series // Illinois J. Math. - 1963. - Vol. 7. - P. 661-667.

5. Skaskiv О. B. On the Pölya conjecture concerning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series // Anal. Math. — 1990. — Vol. 16, no. 2. - P. 143-157.

6. Гайсин A. M. Об одной гипотезе Полна // Изв. РАН. Сер. мат. - 1994. - Т. 58, № 2. - С. 73-92.

7. Kövari Т. A gap theorem for entire functions of infinite order // Michigan Math. J. - 1965. - Vol. 12, no. 2. - P. 133-140.

8. Hayman W. K. Angular value distribution of power series with gaps 11 Proc. London Math. Soc. 1972. - Vol. 24, no. 3. - P. 590624.

9. Скаств О. Б. Припущения Макштайра про вщсутшсть сюн-ченних асимптотичних значень у щло'1 функци з лакунами Фейера // Вюник Льв1вського университету. Сер1я механжо-математична. — Т. 28. - 1987. - С. 80-81.

10. Гайсин А. М. Об одной теореме Хеймана // Сиб. матем. журн. - 1998. - Т. 39, № 3. - С. 501-516.

11. Biernacki M. Sur les équations algébriques contenant des paramétres arbitraires / / Bull. Int. Acad. Polon. S ci. Lett. Sér. A. — 1927. - Vol. III. - P. 542-685.

12. Anderson J. M., Clunie J. Entire functions of finite order and lines of Julia // Math. Z. - 1969. - Vol. 112. - P. 59-73.

13. Kôvari T. On the Borel exceptional values of lacunary integral functions 11 J. Analyse Math. - 1961. - Vol. 9. - P. 71-109.

14. Macintyre A. J. Asymptotic paths of integral functions with gap power series // Proc. London Math. Soc. — 1952. — Vol. 2, no. 2. — P. 286-296.

15. Sons L. R. An analogue of a theorem of W.H.J. Fuchs on gap series 11 Proc. London Math. Soc. - 1970. - Vol. 3, no. 21. - P. 525539.

16. Anderson J. M., Binmore K. G. Coefficient estimates for lacunary power series and Dirichlet series II // Proc. London Math. Soc. — 1968. - Vol. 3, no. 18. P. 49 68......

17. Murai T. The deficiency of entire functions with Fejér gaps // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). - 1983. - Vol. 33, no. 3. - P. 39-58.

18. Wang Y. On the Fatou set of an entire function with gaps // Tohoku Math. J. - 2001. - Vol. 53, no. 1. - P. 163-170.

19. Гайсин A. M., Рахматуллина Ж. Г. Вещественные последовательности, лакунарные в смысле Фейера // Уф. матем. журн. - 2010. - Т. 2, № 2. - С. 27-40.

20. Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Поведение минимума модуля ряда Дирихле на системе отрезков // Уф. матем. журн. — 2010.-Т. 2, № З.-С. 37-43.

21. Рахматуллина Ж. Г. Множество Фату целой функции с лакунами Фейера // Уф. матем. журн. — 2011.— Т. 3, № 3.— С. 120-126.

22. Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Оценка суммы ряда Дирихле через минимум модуля на вертикальном отрезке // Матем. сб. - 2011. - Т. 202, № 12. - С. 23-56.

23. Littlewood J. Е. A Mathematician's Miscellany.— London: Methuen, 1957.

24. Besicovitch A. S. Über die Beziehung zwischen dem Maximum und Minimum des Modulus einer ganzen. Funktion von der Ordnung < 1 // Bull. Acad. Sc. Russ. — 1924. — P. 17-28.

25. Pölya G. On the minimum modulus of integral functions of order less than unity // J. London Math. Soc. - 1926. — Vol. 1. - P. 7886.

26. Еременко А. Э., Любич M. Ю. Динамика аналитических преобразований // Алгебра и анализ. — 1989. — Т. 1, № 3. — С. 1-70.

27. Baker I. N. The iteration of polynomials and transcendental entire functions // J. Austral. Math. Soc. Ser. A.— 1981.- Vol. 30.-P. 483-495.

28. Bhattacharyya P. Iteration of analytic functions: Ph.D. thesis. — University of London, 1969.

29. Stallard G. M. The iteration of entire functions of small growth // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1993. - Vol. 114. - P. 43-55.

30. Anderson J. M., Hinkkanen A. Unbounded domains of normality // Proc. Amer. Math. Soc. - 1998. - Vol. 126. - P. 3243-3252.

31. Титчмарш E. Теория функций. — M.: Наука, 1980. — 463 с.

32. Юсупова Н. Н. Асимптотика рядов Дирихле заданного роста: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — Уфа: БашГУ, 2009.

33. Евграфов М. А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле // УМЕ. - 1962. - Т. 17, № 3(105). - С. 169-175.

34. Гайсин А. М. Оценка ряда Дирихле, показатели которого нули целой функции с нерегулярным поведением // Машем, сб. — 1994. - Т. 185, № 2. - С. 33-56.

35. Красичков-Терновский И. Ф. Интерпретация теоремы Берлинга-Мальявена о радиусе полноты // Матем. сб. — 1989. — Т. 180, № 3. — С. 397-423.

36. Хейман У. К. Мероморфные функции. — М.: Мир, 1965. — 287 с.

37. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. — М.: Наука, 1976.

38. Коровкин П. П. Неравенства. — М.: Наука, 1983. — 72 с.

39. Cioranescu I., Zsido L. A minimum modulus theorem and applications to ultra differential operators // Arkiv for matematik. — 1979. — Vol. 17, no. 1.- P. 153-166.

40. Кацнелъсон В. Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением // Функц. анализ и его прил. — 1976. — Т. 10, № 4. - С. 35-44.

41. Красичков И. Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка // Сиб. матем. журн. — 1965. — Т. 6, № 4. — С. 840-861.

42. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — М.: Го-стехиздат, 1956. — 632 с.

43. Korevaar J., Dixon М. Interpolation, strongly nonspanning powers and Macintyre exponents // Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. ~ 1978. - Vol. 40, no. 2. - P. 243-258.

44. Berndtsson B. A note on Pavlov — Korevaar — Dixon interpolation 11 Nederl. Akad. Wet. Indag. Math. - 1978. — Vol. 40, no. 4. -P. 409-414.

45. Гайсин A. M. Асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле на кривых // Исследования по теории приближений, Уфа, ВИЦ УрО АН СССР. - 1989. - С. 3-15.

46. Гайсин А. М. Условие Левинсона в теории целых функций. Эквивалентные утверждения // Матем. заметки. — 2008. — Т. 83, № 3. - С. 350-360.

47. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. — М.: Наука, 1970.

48. Стрелиц Ш. И. Асимптотические свойства аналитических решений дифференциальных уравнений. — Вильнюс: Минтис, 1972.

49. Гайсин А. М. Асимптотические свойства функций, заданных рядами экспонент: Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. — Уфа: Ин-т ма-тем. с ВЦ УНЦ РАН, 1994.

50. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985.

51. Бойчук В. С. О некоторых свойствах уточненного порядка // Сиб матем. журн. - 1979. - Т. 20, № 2. - С. 229-236.

52. Шеремета М. Н. Асимптотические свойства функций, заданных степенными рядами и рядами Дирихле: Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. — Львов: Львовский гос. ун-т им. Ив. Франко, 1985.

53. Шеремета М. Н. Аналоги теоремы Вимана для рядов Дирихле // Матем. сб. - 1979. - Т. 110 (152), № 1. - С. 102-116.

54. Seidman Т. I., Gowda М. S. Norm dependence of the coefficient map on the window size // Math. Scand1993.— Vol. 73.— P. 177-189.

55. Binmore K. G. A density theorem with an application to gap power series // Trans. Amer. Math. Soc.— 1970.— Vol. 148, no. 2.— P. 367-384.

56. Redheffer R. M. Completeness of sets of complex exponentials // Advances in Mathematics. — 1977. — Vol. 24. — P. 1-62.

57. Turan P. Eine neue Methode in der Analysis und deren Anwendungen. — Budapest: Akademiai Kiado, 1953.

58. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. — М.: Наука, 1980.

59. Говоров Н. В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге // Теория функций, функц. анал. и их прил., Харьков. — 1968. — № 6. — С. 130-150.

60. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала, — М.: Наука, 1966.

61. Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций. — М.-Л.: ОНТИ, 1936.- 238 с.

62. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1984. — 320 с.

63. Milnor J. Dynamics in one complex variable: Introductory lectures. — Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig, 1999.

64. Baker I. N. The domains of normality of an entire function // An. Acad. Sci. Fen. Ser. A. I. Math. - 1975. - Vol. 1. - P. 277-283.