Асимптотическое поведение целых функций, представленных рядами Дирихле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Латыпов, Ильяс Дамирович

• Латыпов, Ильяс Дамирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Латыпов, Ильяс Дамирович

Введение

0.1 Исторические сведения

0.2 Предварительные результаты и постановка задач .б

0.3 Содержание главы

0.4 Содержание главы

0.5 Содержание главы

0.6 Вспомогательные факты

Глава 1. Асимптотика логарифма максимального члена измененного ряда Дирихле

1.1 Доказательство теоремы

1.2 Доказательство теоремы

Глава 2. Асимптотическое поведение суммы ряда Дирихле заданного роста на кривых.

2Л Доказательство теоремы

2.2 Доказательство теоремы

2.3 Доказательство теоремы

2.4 Доказательство теоремы б

Глава 3. Оценка ряда Дирихле с лакунами Фейера на вещественной оси

3.1 Доказательство теоремы

3.2 Доказательство теоремы

3.3 Доказательство теоремы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое поведение целых функций, представленных рядами Дирихле»

0.1 Исторические сведения

Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в произвольных областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э.Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.

В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М. Фудзивара [2], Н. В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).

Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими показателями.

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями Я-порядка и R-типа, которые были введены Ж. Риттом. Он же выразил эти величины через коэффициенты ряда Дирихле [5].

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Б. Дагене [6], В. Бойчук [7], К. Нандан [8], [9], Ю. Шиа-Юн [10].

В конце 60-х годов М.Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [11|. Позже в терминах /^-порядка и Я-типа рост рядов

Дирихле в полуполосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [12]-[16], а также в. работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского |17], [18].

В начале 20 века А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана-Валиропа, для изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения и ее производных в окрестности точки максимума модуля. Метод Вимана-Валирона позволял решать следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных пакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д.

В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [19], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, были продолжены многими математиками. Метод Вимана-Валирона и разработанные рядом авторов его модификации (см. [20]) не позволили решить все актуальные задачи, поставленные в [19]. Поэтому в теории лакунарных степенных рядов, тем более рядов Дирихле, долгое время оставались нерешенными многие проблемы. После исследований А.Ф. Леонтьева [21]-[24] сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали активно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, в [23]-[25]). И в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех пли иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана-Валирона не всегда себя оправдывает. За последние годы A.M. Гайсиным была разработана другая методика, которая нашла полезное применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используются интерполирующей функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля-Неванлинны из [26]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие и в данной диссертации, где рассматриваются целые функции как заданного, так и произвольного роста, представимые рядами Дирихле, абсолютно сходящимися во всей плоскости. В тех или иных терминах, учитывающих глобальное поведение ряда Дирихле конечного Я-порядка (конечного нижнего R-порядка), установлены оценки для суммы ряда на кривых, уходящих в бесконечность. Данные результаты обобщают и усиливают известные результаты Г.Пойа [19], М.Н. Шереметы |34] и A.M. Гайсина [29], [37]. Аналогичные оценки для целых рядов Дирихле, имеющих произвольный рост, и потому при более сильных условиях ранее были доказаны A.M. Гайсиным [30]. Для рядов Дирихле, абсолютно сходящихся в полуплоскости, соответствующие оценки были получены Т. И. Белоус. Для рядов Дирихле произвольного роста, показатели которых удовлетворяют условию типа Левинсона, в диссертации получены неулучшаемые оценки их роста на вещественной оси. Такого рода оценки до сих пор не были известны и ранее в литературе не встречались.

0.2 Предварительные результаты и постановка задач

Пусть Л = {Л,,} (0 < Л„ t оо) — последовательность, удовлстворяющая условию: v— Inn lim -—= а < оо. (0.1)

0° In А„ v ;

Через D(A, R) и 22(Л, R) обозначим классы всех функций F, представимых во всей плоскости рядами Дирихле оо .

F{s) = £ аие nh {s = а + it) (0.2) и имеющих конечные порядки pn{F) и конечные нижние порядки pn{F) по Ритту (Я-порядки). По определению

1п In М (а) \п\пМ{а)

Pit(F) = lim -, PR(F) = Иш JiK > гт—>+oo a J а->+оо G где M(a) = sup \F(a + it)\. oo

Из условия (0.1) следует, что

Inn lim — = 0. 0.3 оо \ V /

Лп

Так что ряд (0.2) сходится во всей плоскости абсолютно, а его сумма F - целая функция [21]. Хорошо известно, что при условии (0.3) величина ри может быть вычислена по формуле [21| :

1 = Ш (0.4) п—ьпа \ \ V /

PR К In А,

Наряду с рядом (0.2) введем в рассмотрение и ряд оо п= 1 оо .

Рь(в) = Е anbnex"s, (0.5) где последовательность b — {bn} комплексных чисел bTI (bv ^ О при п > N) удовлетворяет условию

In \brl\ lim —^ < оо. (0.6)

V—>оо \ ^ 1

Лп

Тогда ряд (0.5) также абсолютно сходится во всей плоскости, а Ft*~ целая функция. Более того, если F € D(Л, R), то из условия (0.6) и формулы (0.4) для вычисления й-порядка следует, что F,* Е D(A,R). В дальнейшем будем предполагать, что пП^^1п(|Ь„| + |Ь,1|-1)<ТО. (0.7)

Лп

Это позволит нам рассматривать также абсолютно сходящиеся во всей плоскости ряды Дирихле оо . . avb~ e uh п V v=N

Пусть Е С [0, сю) — измеримое по Лебегу множество. Верхней DE и нижней dE плотностями множества Е называются величины mes(E П [0, a]) mes(E П [0, а})

DE = lim ---dE = Hm оо q- a—too q

Верхней D\nE и нижней d\nE логарифмическими плотностями множества Е называются величины

1— 1 г dt , 1 г dt

D\nE — Inn -- / d\nE — hm -- / —.

В дальнейшем считаем, что все исключительные множества Е С [0, оо), вне которых будут получены асимптотические оценки, представляют собой объединения отрезков вида [ап, a'J, где

0 < а,\ < а[ < ао < а'2 < . < а71 < а'п < . .

Через L обозначим класс всех непрерывных и неограниченно возрастающих на = [0, оо) положительных функций w = w(x). Пусть т„ ( г °?w(x) W = <w £ L : J — 1 [ j х

-dx < оо

IV a w G L : \fx < ги(. ч i. w(x) n i. 1 r w(t) , 1 ж), lim = 0, hm -— / - = 0 ,

4 1. If r weL:y/x< w(x), lu^-J-^-dt = 0

V =

ЗАМЕЧАНИЕ. Если w(x) w e L, lim —— = 0, —>00 J. ' то легко показать, что

1 / w(t) , lim :— / -¥-dt = 0.

11ii1 :- / -„—Hi = u. (0.8)

Обратное утверждение не верно. Приведем соответствующий пример (см. рис. 1).

У п+1 !Jn рис. 1. w(x). а(х) xn-i = 22 1 х„ = 2

2" хп+\ 22" 1

Определим две последовательности ж„ — 22" и yv = 2 Пусть а (ж) = i/„, если х„ < х < xv+\. Тогда а(хп) о2" lim и—>00

1. Ж i

Имеем

У<*{х) 1

1 —dx = y»( 1

Ж'

Жг/ Ж/г-j-l 1

Пусть х„ < ж < х71+\. Тогда fv-i 7J+1

111 X t if ;=1 ,'j t2 dt+j rv a{t) dt 1

111 Ж / ,, i<i y7, 1 /1п1пж\ , ч r 1 %T> In %

Найдется функция w(x) G L такая, что

1) ™(ж) < w(x)\

2) a(xn) = w( x„);

3)

Y^dt-T^dt

I i.> ' -V n*

Видно, что для функции w(t) условие (0.8) выполнено, но —»оо ^

1.

Будем говорить, что последовательность {6,,} (&„ ф 0 при п > A7") W— нормальна, если найдется функция в Е L, такая, что 1 lim . . „ ' -+00 In ж { t2

J -%-dt =0, - In |6И| < 0(\„) {п > N).

Если, например,

11—>00 X то последовательность {bn} W— нормальна.

Через D(Л) обозначим класс всех целых функций F, представимых абсолютно сходящимися во всей комплексной плоскости рядами Дирихле (0.2). Пусть р,(сг) и pl(a)~ максимальиые члены рядов (0.2) и (0.5) соответственно, т.е. р{а) = max{|a„|eAnfT}, рЦа) = тах^а^^е*""}.

В работах [30], [35] доказана следующая

ТЕОРЕМА А. Для того, чтобы для любой функции F G D(А) при а —> оо вне некоторого множества Е С [0, оо) конечной лебеговой меры имело место асимптотическое равенство

1ПМ(<7) = (1 + 0(1))1П/4(<7), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция, w G W, такая, что

1п|6„|| <ЦА„) (п > N). (0.9)

Пусть А = {А„} (0 < ХТ, t оо) последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность п

Тогда оо ( у} ^

Q(z)= П 1-tj (0.11) у AVJ

- целая функция экспоненциального типа не выше 7Г£)*, где D* — усредненная верхняя плотность последовательности А :

N{t)=j^dX, „(*)=£ 1.

0 Aj<t

Всегда D* < D < eD* (см. [22]). Напомним также, что величина 1 lim — In

77 м—УЬо Д 1 называется индексом конденсации последовательности Л. Если inf(A„+i — А„) = г > 0, то S < 3[3-ln(rJ9)]D < оо [22, гл. 2, §5]. Отметим, что если индекс конденсации 5 последовательности А равен нулю, то последовательность (Q'(A,7)} будет W -нормальной.

Введем в рассмотрение следующий измененный ряд оо

F*{a) = Е anQ'(А„>Л»\ (0.12)

Г1 = 1

Так как Q — целая функция экспоненциального типа, то ряд (0.12) абсолютно сходится во всей плоскости, а его сумма F* — целая функция. При помощи формулы (0.4) проверяется, что если F е D(A, Я), то F* е D(A,R), причем р*п < /?/?, где p*R и ри - R - порядки функций (0.12) и (0.2) соответственно. Если индекс конденсации S < оо то р*п = р/?.

Пусть Г = {7} семейство кривых, где 7 — любая кривая, уходящая в бесконечность так, что если s 6 7 и s 4 оо, то Res —v +00.

Для любой функции F € D(Л), 7 € Г положим уде, М(а) = sup \F((T + it)\. оо

Пусть, далее, р(а) — максимальный член ряда (0.2), а max{|a,t||<5'(A„)|eA"-}.

В работе [30] доказана следующая ТЕОРЕМА В. Пусть выполняется условие

ОО I;

Ет-<оо. , (0.14)

71— 1 Лп

Тогда для, любой функции F £ D(А) справедлива оценка q{F) < d(F).

Здесь

In р*((г) d(F) = inf d(F; 7), q{F) = inf lim d(F; 7) величина, определенная формулой (0.13), a точная, нижняя гра,н,ь и верхний предел, в определен,и/и, q(F) вычисляются по всем множествам е С као/сдое из которых пол,у чается, удалением из некоторой систем,ы, отрезков конечной сумм,арной длины.

Пусть выполняется условие (0.14). Тогда справедливы утверждения:

СЛЕДСТВИЕ 1 .Если при а —> оо вне некоторого множества Е С к+ конечной меры

1 пц*(а) = (1 +o(l))ln/i(cr), mo q(F) = d(F) = 1.

СЛЕДСТВИЕ 2. Для любой целой функции F е D(А) с пра в с дли в ы он, еп ки

0 <d(F)<l. (0.15)

Оценки (0.15) неулучшаемы [30]. Они указывают на связь между ростом и убыванием целой функции F на каждой кривой 7 € Г. Действительно, из оценки 0 < d(F; 7) следует, что существуют функция £ = е(г) 4- 0 при г —оо, и последовательность {£„}, ^ 7? такие, что при —у оо ln|F(e,)l > -e(|f„|)lnM(/teen). (0.16)

Отметим, что ангшогичная оценка для произвольных целых функции па фиксированном луче была установлена Бёрлингом в работе [31]: для любых £ > 0, в Е [0,27г) (в фиксировано) множество г Е м+ : In \f(rew)\ > -(1 + е) In M(r; /)} неограниченное, где М(г; /*) = тах|/(^)|. z\-t

Видим, что оценка (0.16) лучше соответствующей оценки Бёрлипга. Это объясняется тем, что в теореме В функция F имеет специальный вид, а именно является суммой ряда Дирихле, для последовательности показателей которой выполняется условия (0.14). Смысл оценки (0.16) в том, что при выполнении условия (0.14) сумма целого ряда Дирихле (0.2) не может сколь угодно быстро убывать на любой последовательности точек {£г,}, стремящейся к бесконечности вдоль кривой 7.

Цель диссертации - доказать аналоги теорем А и В (глава 1 и 2) для функций F из класса D(A,R) или Д(А, R). Будет показано, что если функция F из класса D{A, R) в теореме В условие (0.14) можно заменить на требование (теорема 3): lim г— Е т" = 0. (0.17)

In X Хп<х К J

Для W — нормальной последовательности {<2'(А„)} условие (0.17) необходимо и достаточно для того, чтобы для любой функции F 6 D(A, R) выполнялось равенство d(F) = 1 (теорема 4).

А в случае когда F из класса Д(А, R) в теореме В условие (0.14) можно заменить на требование (теорема 5):

41

Для IV — нормальной последовательности {Q'(An)} условие (0.18) необходимо и достаточно для того, чтобы для любой функции F £ Д(Л, R) выполнялось равенство d(F) = 1 (теорема 6).

В главе 3 изучаются асимптотические свойства рядов Дирихле с лакунами Фейера на вещественной оси. При этом на рост суммы ряда Дирихле никаких условий не накладываем.

Будем говорить, что ряд Дирихле (0.2) имеет лакуны Фейера, если

ОО 1 т- < ОО. (0.19) и=1 А it

Для того, чтобы любая функция F £ D(A) была не ограничена на луче к+ = [0, оо), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (0.19) [32].

Изучению связи между ростом М(а) = sup {|F(a + г£)|} и

00 поведением F па ш+ посвящены многочисленные работы. Так, в работе [33] доказана

ТЕОРЕМА С. Пусть выполняется условна (0.19), 1

5 = lim — In

1)—iOO \

Лп 1 оо ( А2', оо, 0(A) = П (1-Д2 |. (0.20)

71= 1

Если F € D(А), и

F(a)\<L(a) (а £ к+), где L положительная, неубывающая функция, то для любого с > 0 имеется, 'постоянная А, не зависящая от F и L, такая,

14 ч/то во веса плоскости

F(s)| < AL{a + S + б). (0.21)

Из (0.21) вытекает, что если F на луче к+ имеет конечный R-порядок, то F и во всей плоскости имеет конечный Д-порядок. Для класса целых функций F € D{Л), имеющих конечный /?-порядок, это утверждение имеет место при более слабых условиях [34]. Окончательный для этого класса функций результат установлен в [29].

Как и в теореме С, здесь будут рассматриваться ряды Дирихле с лакунами Фейера, имеющие произвольный рост. Пусть F е D(i\), d(F; м+) = via) = max{|a„|e^}

Через В (Л) будем обозначать класс целых функций F из D( Л), последовательность Л показателей которых имеет конечный индекс конденсации S (величина S определена формулой (0.20)). Имеет место

ТЕОРЕМА D [30], [35]. Пусть выполняется условие (0.10). Для того, чтобы для; любой функции F 6 В(Л) было справедливо равенство d(F]R+) = 1, необходимо и достаточно, ч/т обы,

-j^-dt < оо, (0.22)

1 г где a(t) = maxg(An), q(Xn) = - In |Q'(A„)|.

ЗАМЕЧАНИЕ. При условиях (0.19) и (0.22) справедливо та,к/лее равенство D(F] к+) = 1, где ln|F(g)|

D(F r+) = lim . ' ',.

Это усматривается из доказательства теоремы D.

Следует отметить, что теорема D является окончательной и дает ответ на одну проблему, возникшую в связи с исследованиями Пойа [19]. Достаточная -часть теоремы D установлена в [36].

В настоящей работе изучается поведение суммы ряда Дирихле (0.2) при выполнении единственного условия (0.19) или более сильного требования — условия типа Левинсона (глава 3). При этом интеграл (0.22), вообще говоря, может и расходиться.

В работе [35] установлено, что для любой последовательности А, удовлетворяющей условию (0.19), но для которой интеграл (0/22) расходится, существует функция F £ B{i\) такая, что d(F\ r+) = 0. До сих пор в этой ситуации не известна асимптотика суммы ряда (0.2) на луче е+. Однако, если положить L(a) — (ma?t |F(£)|, то оказывается, что при условии

0.19) рост функции L можно достаточно точно оценить снизу через некоторую правильную функцию, зависящую только от коэффициентов и показателей ряда (0.2).

В диссертации показано, что при выполнении условия типа Левиисопа (а это условие сильнее, чем (0.19)) функция In |F(cr)| имеет неулучшаемую оценку снизу.

Все результаты диссертации получены под непосредственным руководством A.M. Гайсина, которому выражаю глубокую признательность.

0.3 Содержание главы 1

Сформулируем основные результаты диссертации.

ТЕОРЕМА 1. Пусть {Ьп} — последовательность комплексных чисел (Ьп ф 0 при п > N), удовлетворяющая условию (0.7).

Для, того, чтобы, для, любой фупщии F Е D(A, R) при, а —> оо вне некоторого .множества Е С [0, оо) пулевой нижней плотности имело место асимптотическое равенство

1п/х(а) = (1 + о(1)) In//,>), достаточно, а для, XV - нормальных последовательностей {&„} и, необходимо, чтобы существовала (функция w £ Ж, такая, что

1п|Ь„|| < w(A„) (п > N). (0.23)

СЛЕДСТВИЕ. Если {Ь,,} = {А™}^ (т =1,2,.) то ив теоремы 1 вытекает, что для, любой функции F Е D{Л, R) при о —У оо вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой н, и жней плотности

In ц(сг) = (l + o(l))ln/i где fjin (а) -максимальный член, ряда

F('"\s) = £ а„\'У'«\

77 = 1

Пусть Р = {ри}-возрастающая последовательность натуральных чисел. Через S(P) обозначим класс всех целых трансцендентных функций оо = £ anz"«, (0.24)

7> = 1 имеющих конечный порядок, т.е.

-— In In Mr (г) ,, / ч , ,/ м

Р = ,!Ц& lnr < Mf(r) = max|/(*)|.

Тогда, полагая z — имеем оо

F(.s) = Де'") = Е апе>»"' (s = и + it). п—1

Ясно, что если / £ S(P), то F е D(P,R). Кроме того, при отображении \z\ = г = е° множество нулевой нижней плотности переходит в множество нулевой нижней логарифмической плотности. Следовательно, из теоремы 1 вытекает

ТЕОРЕМА 1'. Пусть {Ьп}-последовательность комплексных чисел, (ЬГ1 ф 0 при п > N), удовлетворяющая при А„ = р„ условию (0.7).

Для, того, чтобы для, любой функции f £ S(P) при г —> оо вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой нижней лога,риф)м,ической, плотности, им,ело место асимптотическое равенство ln/x/(r) = (l + 0(l))ln/x}(r), достаточно, а для, W - нормальных последовательностей {6„} а необходимо, чтобы существовала функция, w £ Ж, для; которой выполнялись оценки (0.23).

Здесь р./(г)-максимальный член, ряда (0.24), а 11}{г)~

ОО максимальный член, измененного степенного ряда £ avbnzPv.

77 = 1

ТЕОРЕМА 2. Пусть {Ь„}-последовательность комплексных чисел (Ьп ф 0 при п > N), удовлетворяющая условию (0.7).

Для, того, чтобы, для, любой функции F £ D(A, R) при сг —> оо вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой нижней плотности, 'имело место асимптотическое равенство

1П,Х(<7) = (1+0(1))1П^(<7), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция w Е VV, it)акая, ч/то ln|6„|| < w(X„) (п > N). (0.25)

СЛЕДСТВИЕ. Если {Ь„} = (m = 1,2,.), то для; любой функции F € Д(Л, R) при сг —> оо гше некоторого множества Е С [0, оо) пулевой нижтей плотности

In /х(о-) = (l + o(l))ln/xm(cr), ш(a)-максимальный член ряда £ а„Л™еА,п\ (0.26)

Пусть Р = {р7,}-возрастающая последовательность натуральных чисел. Через S(P) обозначим класс всех целых трансцендентных функций оо

СО = Е «„г* (0.27)

77 — 1 имеющих конечный нижний порядок, т.е.

In In Mf(r) , r / ч . ./ ч.

Р = km --—— < оо, Mf(r) = max /(г) .

- ? —юо in г |z|=r

Тогда, полагая 2 = еЛ, имеем оо

П') = /(еч) = £ а„ер"А (в = а + Й).

7> = 1

Ясно, что если / Е £(Р), то F Е D(P,R). Кроме того, при отображении = г = е° множество нулевой нижней плотности переходит в множество нулевой нижней логарифмической плотности. Следовательно, из теоремы 2 вытекает

ТЕОРЕМА 2'. Пусть {Ь„}-последовательность комплексных чисел (Ьп ф 0 при п > N), 'удовлетворяющая при, А„ = рп условию (0.7).

Для, 'того, чтобы, для, любой функции / £ £L{P) при г —> оо вне некоторого м,но'жества Е С [0, оо) нулевой нижней логарифмической плотности им,ело мест,о асимптотическое равенет во

1п/х/(г) = (1 + о(1))1п/^(г), необходим,о и доста,точ,но, чтобы, существовала функция, w G W, для, которой, выполнялись оценки (0.25).

Здесь р, /■ (г) -максимальный 'член, ряда (0.27), a p*j{r)~ оо максимальный член, и,зм,енен,ного степенного ряда Е a/fb„z1h'. v — \

0.4 Содержание главы 2

ТЕОРЕМА 3. Пусть последовательность Л умеет конечную верхнюю плотность. Если выполняется условие lim Е = 0, ' (0.28)

J —»оо х \п <х ХТ1 4 7 то для любой функции F Е D(A,R) и любого 0 (0 < {3 < существует множество ЕdEp = 0, такое, что справедлива оценка

In /i*(a) где Cfj = [0, оо)\Ej. 7 любая кривая из семейства Г7 a d(F; 7) величина, определенная формулой (0.13). СЛЕДСТВИЕ. Пусть последовательность А им,сет конечную верхнюю плотность. Если выполняется, условие (0.28), тогда для, любой целой ф)ункции F Е D(A,R) справедл,ивы, о цепки

0 < d(F) < 1, где d(F) = inf d(F, j).

7бГ

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в теореме 3 вместо условия (0.28) выполняется более сильное требование (азо) то q(F) < d(F), (0.31) где d,(F) = inf d(F, 7), q(F) = inf Em

111 ll(a) а точная нижняя грань и верхний предел в определении q(F) вычисляются по всем множествам eCi^, каждое из которых получается удалением из н+- некоторой системы отрезков, объединение которых имеет нулевую плотность. Дело в том, -что в этом случае все асимптотические оценки, в том числе и (0.29), полученные в ходе доказательства теоремы 3, будут справедливы вне некоторых множеств нулевой плотности. Поэтому (0.31) есть следствие оценки (0.29). Если при а —у оо вне некоторого множества Е нулевой плотности

In//(а) = (l + o(l))ln/i(a), (0.32) то из (0.31) видно, что q(F) = d(F) = 1. Действительно, объединение двух множеств нулевой плотности имеет также нулевую плотность, 0 < q(F) < d(F) < 1. Поскольку (0.32) справедливо вне множества нулевой плотности то, очевидно q(F) = 1. Следовательно, d(F) = 1.

Заметим, что если (0.32) имеет место вне некоторого множества нулевой нижней плотности, равенство d(F) = 1 получается из оценки (0.29) теоремы 3. В условиях теоремы 3 аналогичное определение q(F) некорректно, поскольку объединение двух множеств нулевой нижней плотности не обязано иметь нулевую нижнюю плотность. Поэтому в теореме ограничиваемся лишь оценкой (0.29).

ТЕОРЕМА 4. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {Q'(An)} • W - нормальна.

Для того, чтобы для любой фупклщи F £ D(A, R) выполнялось равенство d(F) = I, необходили) и достаточно чтобы выполнялось условие (0.28).

Отметим следующее. Пусть последовательность Л удовлетворяет условию (0.30). Если даже последовательность

W(\)} не является W - нормальной, всегда имеется функция F € D{A,R), для которой q(F) = d(F) = 1 [30]. В этом главный смысл оценки (0.31).

СЛЕДСТВИЕ. Пусть Р = {р„} возрастают/)я последовательность натуральных чисел, Q(z) = П— ^j, причем, последовательность {Q'(pn)} W - нормальна.

Для; того, чтобы, для, любой целой функции f конечного порядка, имеющей вид оо f{z) = Е anz>* К ф 0), (0.33)

77 = 1 выполнялось равен cm во d(f) = 1, необходим,о и, достаточно, ч,гпобhi, в ы v ол/i 1Я,лос ь условие

Иш Е — = 0. (0.34) г—>оо In д; рп<1 Рп

Здесь d(f) = inf d(f, 7), 7 любая кривая,, уходящая в бесконечность. чт

Следствие легко вытекает из теоремы 4 если сделать замену 2 = е\ Действительно оо

F(s) = Де") = £

71=1

- целая функция конечного Р-иорядка. Следовательно, d(f) = d(F), и все следует из теоремы 4.

ТЕОРЕМА 5. Пусть последовательность А имеет копеч,иую верхнюю плотность. Если выполняется условие

J&ik&h-0' ^ то для, любой функции F Е D(A, R) и любого /3 (0 < (3 < i) су имеете yarn множество Е^ dEp = О, такое, что справедлива оценка о г 4 ' где Cj] — [0, оо)\Ец, 7 любая кривая ив семейства Г, a d(F] 7) величина, определенная, формулой (0.13). СЛЕДСТВИЕ. Пусть последовательность А им,еетп конечную верхнюю плотность. Если выполняется, условие (0.35), тогда, для, любой целой функции F £ Д(Л, Я) справедл, ив ы о цепки

О < d(F) < 1, где d(F) = inf fi(F, 7).

ТЕОРЕМА 6. Пусть последовательность А им,ест конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {Q'(Л7?)} W - нормальна.

Для того, чтобы для, любой функции F Е Д(A, R) выполнялось равенство d(F) = 1, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие (0.35).

Отметим следующее. Пусть последовательность Л удовлетворяет условию (0.35). Если даже последовательность пе является W - нормальной, всегда имеется функция F в 22(Л,Л), для которой q(F) = d(F) = 1 [30]. В этом заключается смысл оценки (0.36). СЛЕДСТВИЕ. Пусть

Р = {Рп} - возрасти,юищя последовательность натуральных чисел, Q(z) = Г? (1 — ^j],

71=1 V PnJ прич,ем последователь!юсгпь {Q'(pn)} W - нормальна.

Для, того, чтобы, для любой целой фунщии / конечного нижнего порядка, имеющей вид (0.33) выполнялось равенство

0.36) d(f) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Здесь d(f) = infd(/, 7), 7 любая кривая, уходящая, в бесклте чпосгпь,

Ь|Д*)1 f\ 7) = Hm

4т \nM(\z\-JY

Следствие легко вытекает из теоремы 6 если сделать замену = е\ Действительно, оо /И = Е ave^

77 = 1 целая функция конечного нижнего Р-порядка. Следовательно, d(f) = d(F), и все следует из теоремы 6.

Пусть целая функция / конечного порядка имеет вид (0.33). Если последовательность Р — имеет нулевую плотность, то d(f) — 1. Этот факт впервые был установлен Г. Пойа в работе [19]. Заметим, что равенство d(f) — 1 легко вытекает также из теоремы 4 (см. следствие) и из теоремы б (см. следствие) для классов функций Р>(Л, R) и Д(Л, R) соответственно. Действительно, так как плотность последовательности Р = {pv} равна нулю, то fer £ — = 0.

In хРп<хрп

Следовательно, условия (0.34) и (0.37) выполнены. Более того, индекс конденсации 5 = 0 [22]. Это означает, что существует функция в Е L, 9(х) = о(ж), такая, что

-1п|<?'(Рп)1 < в(р„) (П>1).

Ясно, что О G W. Значит, последовательность {Q'(p„)} W -нормальна. Но тогда, как следует из теоремы 4 и теоремы 6, '/(/) = 1.

В случае, когда у — луч е+, Л = {Л„} — последовательность, имеющая нулевую плотность, причем An+i—А/? > h > 0 (п > 1), результат Г. Пойа из [19] перенесен М.Н. Шереметой на ряды Дирихле (0.2) из класса D(A, R) [34].

В работе [37] показано, что если J = 0hZ) = 0(£ — индекс конденсации, D — плотность последовательности Л), то для любой функции F Е D(A,R), для любой кривой 7 из Г выполняется равенство d(F]j) = 1. Если кривая содержится в некоторой горизонтальной полосе конечной ширины, аналогичная оценка установлена в статье [29].

Теорема 4 и теорема б являются обобщениями всех перечисленных выше результатов, и в соответствующих классах целых функций D(A, R) и D(A, R) носят законченный характер.

0.5 Содержание главы 3

§1. Оценка ряда Дирихле в общем случае. Пусть выполняется условие (0.19). Тогда вместо функции Q(А) можно рассматривать произведение Бляшке.

ОО Л — 7 77 = 1 Л71 "f" Z

Функция B(z) аналитичиа и ограничена в полуплоскости Rez > 0, причем \B(z)\ < 1 для Rez > 0. Положим

1 г+/оо п (7\

B„(z) tzj , . А/

Отсюда имеем

1 +00 D

9,,(')е" = 1ТТ^е~*Чу' {х-0)■ (аз8)

Поскольку при Rez > 0 имеет место оценка \Bv(z)\ < 1, то из (0.38) получаем, что

Mi)| < Me"" (х > 0), где М — постоянная, не зависящая от переменных t их. Устремляя х к +оо, видим, что gn(t) = 0 при t > 0. При t < 0, полагая х = 0 (при этом достигается минимум правой части), получаем, что gv(t)\<M (п > 1). (0.39)

Пусть fi{a) — максимальный член ряда (0.2), jj,*(<j) — максимальный член измененного ряда оо

F*(s) = Е a„Q'{А„)ел"\ (0.40) 1

Ясно, что если F 6 В( А), то F* е В (А).

Пусть b — {Ь„}~г — последовательность комплексных чисел, О < \bn\ {п> 1), In |6„| = 0(А„) при п —У оо. Рассмотрим ряд оо

Ft:(s) = £ a„Q'(\n)bnex"\ (0.41)

77 = 1

Видно, что Fj* е В (А). Обозначим через //*(<т;6) максимальный член ряда (0.41). Полагая п = (1,1,., 1,.), видим, что /х*(а; i) совпадает с максимальным членом ряда (0.40). Пусть

In |Р(сг)| db(F; r+)= lim . 1 / (0-42)

ТЕОРЕМА 7. Пусть выполняется условие (0.19), 1 2 оо lv2(A„)J оо / X р( А)= П 1 + 7n=i V А?

71 = 1 " = i Х "Г"

Тогда для, любой функции, F Е D(A) при, а —> +оо имеет место оценка,

In // (a] -Ij < (1 + о(1)) In L(tj), (0.43) L(<j) - max |F(*)|. v y o</<01 4/1

СЛЕДСТВИЕ. При, условии (0.19) справедливы оценки

1< lim = (°-44) а->+оо In fi*(<j; <р г) v \ (pzJ

§2. Уточнение оценки ряда Дирихле на луче.

Здесь рассматривается следующая задача: какой должна быть последовательность b — {bn}, чтобы для любой функции Р, представленной рядом Дирихле (0.2) с лакунами Фейера, была бы верна оценка db{F\ r+) > 1? (0.45) ч

При выполнении единственного условия (0.19) согласно теореме 7 оценка (0.45) имеет место при b—ф, где

Ч> 1 2 1 оо

7> = 1 lv2(A„)J

Пусть с = {с?)} — последовательность, обладающая свойством: \b„\ < \с„\ (п > 1). В этом случае будем говорить, что b не превосходит с и писать 6 -< с. Ясно, что тогда c4(F;r+) > dc(F]R+). Заметим, что чем "больше"последовательность b = {6Г,}, тем точнее оценка (0.45). Будет показано, что если вместо (0.19) выполняется более сильное требование — условие Левинсона (см. далее §2, п.3(), замечание к лемме А), то оценка (0.45) имеет место для любой последовательности 6 = {6П}, |Ь„| = 1 (п > 1). Но тогда оценка (0.45) будет справедлива и для b = {&„}, |6„| < 1 (п > 1). Таким образом, при выполнении условия Левипсона последовательность b = {bn} следует выбирать в пределах:

Л -< b -< i.

1°. Условие Левинсона Пусть А = {Ап} (0 < Хп f оо) — последовательность, имеющая нулевую плотность, оо оо zl\

H(S) = / M(r; Q)e-Srdr, Q(z) = П 1 ~ tj • (0.46) 0 V

Здесь M(r\Q) = max|Q(^)|. Ясно, что M{r\Q) = Q(ir).

Очевидно, H(S) t при 4- 0 при ^ f оо. Пусть d > 0 такое, что H(d) = с. Если i

J In In H(6)dS < oo, (0.47) о будем говорить, что последовательность А (функция Q) удовлетворяет условию типа Левинсона.

Отметим, что условие типа Левинсона часто возникает при изучении нормальных семейств аналитических функций (см., и-р., в [38] — [45|). Так, имеет место следующая теорема Левинсона (версия Домара) [39], [43].

ТЕОРЕМА (Y. Domar). Пусть D = {z = х + гу : а < х < о/, —Ь < у < 6}, а Ь(у) измеримая по Лебегу функция, L(y) > с (-Ь < у < b), и ь In In L(y)dy < оо. (0.48)

-ь

Тогда имеется убывающая функция т(5), зависящая только от L(y) и конечная, для, 5 > 0, такая, что если f(z) an ал urn, и,ч,'и,а в D и f{z)\ < L($sz), (0.49) то f(z)\ < m(dist(z,dD)), z G D.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть J = {/} сем,е(1ст,во аналитических в D функций, удовлетворяющих условию (0.40). При, условии (0.48) семейство (функций J является, нормальным.

2°. Преобразование Лежандра Пусть М(х) — непрерывная возрастающая на [0, оо) функция, М(х) = о(х) при х —» оо. Тогда функция т(у) = sup(М(х) - ху), г> 0 определенная при у > 0, называется преобразованием Лежандра функции М. Если М(х) —у оо при х -» оо, то т(у) -> оо при у 0. Функция т(у), как верхняя огибающая убывающих по у > 0 функций, также убывающая функция. Положим

М*(х) = inf (т(у) + ух).

Ясно, что М* — наименьшая вогнутая возрастающая мажоранта функции М : М(х) < М*{х). Отметим, что если функция М вогнута, то ^^ 4- при х > а. С другой стороны, если 0 < М(х) t, ^ | при ж > 0, то М*(х) < 2М(х), где М* - наименьшая вогнутая мажоранта М [43, VII D, 2, с.326].

ТЕОРЕМА Е [43, VII D, 2, с.ЗЗЗ]. Пусть М(х) возрастающая вогнутая на [0, сю) функция, сходятся или расходятся одновременно.

3°. Эквивалентное условие Пусть Л = {Аг,} (0 < А„ f оо)

- последовательность, имеющая нулевую плотность, а Н и Q функции, определенные формулами (0.46).

Пусть 7(t) — функция, ассоциированная по Борелю с Q(z). Она аналогична вне начала координат. Поскольку при Re{te> S > 0 гп(у) = sup(М{х) - ху) (;у > 0), а > 0 такое, 'что т(а) = 1. Тогда интегралы,

00( 'V0

7 (*) = J Q{X)e~xtd,X о то для любого = S, со ш\ < [ M(r\ Q)e~Svdr = Н(6).

Но

Qiz) — [l(t)efzdt, C={t: |*|=<*}. a

Отсюда следует, что

Q(z)\<SH(S)^<l^e^+1) если л - w ~ Н(5)е \ если 1 < S < оо.

Следовательно,

M(r\ Q) < H(S)e^7+l^ (0 < 5 < оо). (0.50)

Положим h(S) = InН(6). Функция h(S) непрерывна, h(S) t оо при 5 I 0, h(5) | 0 при 5 t оо. Пусть

М(х) = inf(h(S) + Sx),x > 0.

Как нижняя огибающая линейных функций, М(х) вогнута, М(х) f оо при х t оо. Пусть т — преобразование Лежандра функции М: rn(5) = sup(М(х) - хб), S > 0. i>0

Функция т - наибольшая выпуклая миноранта h, т.е. 7n(S) < h(S).

ЛЕММА А. Пусть (р(х) наименьшая вогнутая мажорамта функции \nM(x;Q). Тогда условие (0-4V ■же и валентно условию оо. (0.51) х

Доказательство. Имеем оо оо

Н(6) = I M(x]Q)e~(hdx < I е*М-6Чх (0 < S < оо). о " о

Следовательно, из (0.51) следует (0.47) [45].

Пусть выполняется условие (0.47). Поскольку т(5) < h(S) = 1п 11(5), то а fIn m(S)dS < оо (т(а) = 1). о

Следовательно, из теоремы Б следует, что -A^dx < оо. (0.52)

1 х

Но из (0.50) имеем: In M{x\Q) < М(х + 1). Поскольку М(.х+1) - вогнутая мажоранта для In М(х\ Q), то In М(х\ Q) < ср(х) < М(х + 1). Следовательно, из (0.52) получаем условие (0.51).

СЛЕДСТВИЕ. Если выполняется условие типа Левинсона (0-47), то оо X

Е Т- < оо. (0.53)

71 = 1 А

71

Действительно, если п(х) -- число точек Xv < х, то из неравенства Иенсена имеем п(х) < In М(ех\ Q) < <р(ех). (0.54)

Так как

I 'г dn(x) n(r) \ п(х) , L 7= -=-+ J —^ах,

А„<т К 0 X Г ^ X2 то применяя лемму А, получаем условие (0.53).

ЗАМЕЧАНИЕ. Условие типа Левинсона (0.47) сильнее уело в ил (0.53).

Действительно, мы только что убедились, что условие (0.53) есть следствие (0.47). Обратное утверждение не верно. Приведем пример. оо 2

Пусть Д„ = КА], д = U Д„, где ап = Т , Ь„ =

77 = 1 ап + [2V п~2} ([а] — целая часть а). Через Л = {Л„} обозначим последовательность целых чисел из Л, пронумерованных в порядке возрастания. Тогда

ОО 1 оо 1 оо \ т-=£ Z т-<Е~^<оо. л=1 Л/i „=1 А*еЛ„ Лк 71=1 nz

Легко показать, что для любой неубывающей вогнутой функции у?, удовлетворяющей условию (0.51), lim -= 0. (0.55)

7 —>00 j. 4 '

Если бы для данной последовательности А выполнялось условие (0.47), то в силу леммы А и оценок (0.54) функция п(х) также удовлетворяла бы условию (0.55). Но это не так. Действительно, n(bv) > b7l - ап = п2

-lit {п-щ)■

Следовательно, условие (0.47) не выполняется.

ТЕОРЕМА 8. Если выполняется условие (0.47), то для любой, функции F Е В(А) справедлива оценка cT(F; r+) > 1, (0.56) где d*(F; к+) — di(F;m+), т.е. d*(F;u+)= ШЕ ^И*7)! (0.57) оо т) = та?с{|а„||<3'(А„)|ел",г}, Q(А) = П

-1 7/=1

Л?.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из условия Левинсона (0-47) не следует сходимость интеграла (0.22).

Действительно, условие (0.47) связано с поведением функции In M(r;Q), а не с поведением последовательности (лемма А).

Приведем соответствующий пример. Пусть А у = 21--([а] — целая часть а) А = и Д/. Через {Лп}

1 " j J j обозначим возрастающую последовательность целых чисел из Д. Для этой последовательности

ОО 1

Ет-<оо, ^ т)=1 Лп причем [46] n(t) < А--т:—-—гтс (t > еП.

In 4(In In t)2 v - ;

Легко проверяется, что в этом случае (см., н-р, в [45]) наименьшая вогнутая мажоранта <р = <р(ж) функции In М(х\ Q) удовлетворяет условию (0.51). Но тогда условие (0.47) вытекает из леммы А. В то же время в [46] показано, что

J -j^dt = оо, a(t) = max{- In |Q'(A„)|}.

Пример приведен.

§3. О неулучшаемости полученных оценок. Пусть выполняется условие (0.19) (или более сильное условие условие (0.47)). Естественно возникает вопрос: какова должна быть последовательность 6 = {bn} (Ьп ф 0, п > 1), чтобы для любой функции F е В(А) была бы справедлива оценка db(F\ r+) > 1? (0.58)

Последовательности b = {6n} (bn ф 0) и с = {су,} (cv ф 0) называются эквивалентными (записываем 6 ~ с), если для некоторой функции w €\V выполняются оценки In |6W| - In |c„|| < w{XTI) (п > 1). (0.59)

Лемма В. Если последовательности b = {6,,} и с = {с,,} :> we и валентны, то при а —> оо вне некоторого множества Е С [0, оо) конечной мары

In fj*{a]b) = (1 + о(1)) In //(<т; с). (0.60)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем a; b) = = m|x||anQ'(Ari)|

Условие (0.59) означает, что сг,|е

Л па ьТ)

Ь;

W + iff < ett,(A»> (п>1), (0.61) где dn = w G VK Асимптотическое равенство (0.60) вытекает из оценок (0.61) [35, теорема 1].

Лемма В установлена.

СЛЕДСТВИЕ 1 .Пусть выполняется условие (0.19). Если b ~ ^ та Щ)и а —* 00 вис некоторого множества е\ С [0, оо) конечной меры.

In//(а; 6) > (1 + о(1)) In L(or).

СЛЕДСТВИЕ 2.Пусть выполняется; условие (0.47), b ~ г: ~ в. Тогда dh(F\ пц.) > 1 тогда и только тогда, когда d( (F; пц.) > 1.

Следствие 1 легко вытекает из леммы В и теоремы 7. Если учесть лемму В, следствие 2 легко выводится из доказательства теоремы 8 (см. оценку (3.23)).

В частности, если 6 ~ п, то при условии (0.47) <4(F; r+) > 1 тогда и только тогда, когда d*(F;m+) > 1.

Отметим, что чем ближе величина d*(F\ м+) к 1, тем точнее оценка (0.56). Может оказаться, что d*(F\ к+) > 1. В этом случае оценка (0.56) уточняется следующим образом. Пусть b = {6,,}, \bv\ > 1. Ясно, что db(F; r+) < d*(F; к+). Возникает задача: описать класс всех последовательностей 6 = {Ьп} (|6„| > 1), для которых оценка иц.) > 1 была бы справедлива для любой функции F 6 В (А).

Пусть b = {bv} (bv ф 0) — произвольная последовательность, b(t) — наименьшая неубывающая мажоранта последовательности {1п+ |6П|}, т.е. b(t) = maxfln+ \bn\\.

Имеет место

ТЕОРЕМА 9. Пусть выполняется условие (0.19). Для того, чтобы для любой функции F Е В (Л) была справедлива оценка (0.58), необходимо, чтобы

Показано, что если условие (0.62) не выполнено, то существует функция F G В(Л), такая, что <4(F; ш+) = 0.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть выполняется, условие (0.47), b = {b„} (|6„| > 1). Для того, чтобы для любой функции F Е В (А) была справедлива оценка di(F\ r+) > 1, необходимо и достаточно^ чтобы выполнялось условие (0.62).

Поскольку при условии (0.62) 6 ~ i (|&n| > 1)? данное утверждение вытекает из следствия 2 и теоремы 9.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

А„</

0.62)

47|-[53).

0.6 Вспомогательные факты

В статье будет по существу использован один из вариантов следующей теоремы из работы [26].

ТЕОРЕМА. (Борсль - Нелшнлинна). Пусть на интервале [го,оо) ла,да,на неубывающая непрерывная функция: и(г), и(г) —> оо при т —У оо.

Пусть ip(a) - положительная,, невозрастаю'щая, и, непрерывная па интервале [it0, оо) (uq = w(ro)) фгунки/ая, <р(и) —> 0 при, и —> оо, причем оо

J ip(u)du < оо. "0

Тогда для, всех г > г<), кроме, возможно, множества кои,еч,ной .меры, выполняется оценка, и(г + ср(и(г))) < и(г) + 1.

Имеет место следующая лемма типа Бореля - Неванлинны. ЛЕММА 1. Пусть и(а) - неубывающая непрерывная, па [О, оо) ф)ункция, и,(а) —> оо при, а -4 оо. Пусть w € L. w{x)

-f-1- = о( 1), ж оо. (0.63) ж In ж

Если v = и (а) - решение уравнения, w(v) = ег,(а\ (0.64) а для, некоторой последовательности {т7-} (0 < tj f оо) при

In v(Tj) = 0(Tj)9 (0.65) ту —> оо и

V(tj)

1 Kjiiv(t)

Ййо- I ~ (0.66)

7J->0° Ту { t2 то при а —> оо вис некоторого множества Е С [0, оо), rnes(E П [0, Tj\) = o(tj), r7 —> оо, имеет место асимптотическая оценка w(v(a)). , . . ц(<7+ / Л ) < wW + o(l).

V((T)

0.67) П рис. 2. г

Доказательство. Найдется функция w*(t) = (3(t)w(t) (0 < f3(t) t oo,t —>■ оо) из класса L, также удовлетворяющая условиям (0.66),(0.63) леммы. Действительно из условия (0.66) следует, что существует функция e(t) такая, что

1 v{Tj)w(t) г, i f*

Положим е,- = £*{V(TJ)) = тщ£(у(тк)).

Пусть {т)к} - подпоследовательность последовательности {г/} удовлетворяющая следующим условиям: ти = шах{гу : ф(г7)) = £к}, £>(т;,)) > £>(r;/<.+n)), п > 1

39

Тогда, соединяя соседние точки (тл,е*(г;(т;А))) попарно между собой получим ломанную (см. рис. 2). Пусть (p(t) (t > ri) - ее уравнение. Построенная функция tp(t) является непрерывной, убывающей и (p(t) —> 0 при t —ь оо. Имеем т) ( - { * yJtp(v{Tj))

Пусть Pi(t) = ^y. Тогда функция wi(t) = fii(t)w(t) удовлетворяет условию (0.66). Поскольку функция w = w(t) удовлетворяет условию (0.63), то найдется функция /Зо = Р2 £ L, такая, что функция w2{t) = /?2{t)w(t) также удовлетворяет условию (0.63). Полагая

P(t) = (1 - щ) min (Pi(t), А>(£)) {t > 0), видим, что функция w*(t) — f3(t)w(t) удовлетворяет условиям (0.63), (0.66).

Покажем, что вне некоторого множества Е С [0, оо), отрезков [сг„, аеп] (0 < а\ < <j[ < сг2 < ст'2 < . < ап < а'п < .), mes(E П [0, Tj]) = о(т;), т, —> оо выполняется оценка и а + v ") < и(а) 4- —— . 0.68

Действительно, пусть е - замкнутое множество, на котором и{а + > и(а) + —— . 0.69

Положим е(сг) = е П [сг, оо). Если е(а) — 0 для некоторого а > 0, то все показано. В противном случае через а\ обозначим наименьшее число, такое, что а\ > 0 и £ е. Пусть а[ - наименьшее из тех <т, для которых и{а) =u{ai) + Щ^Ту

40

-российская-1 ш с^ ^тШн

Тогда из (0.69) следует, что —

0 < 67 - cfi < ---Г—.

Пусть сг'2 = inf{cr : a Е е(сг,1)}. Возьмем за наименьшее из всех а, для которых 1 и((т) = и(<т2) +

Ясно, что

0 < сг£ - < V :П, ^(сг2) - w(<7i) >

V lJ- Pivia,))

Рассуждая далее но индукции, найдем последовательности {<}, такие, что

0 < (тп - (Tv <-——,

V[an{ (0.70) и(ап) - ix((7f,i) > причем с С Е, где Е = у^, агп].

Пусть = и(а71), Jn = ^^ (га > 1). Для любого i > 1 найдется А; > 2, такое, что o>i < т, < сг/„. Следовательно, имеем mes(e П [0, т,]) raes(£ П [0, т,])

Т Т ^ V ,5- s = ^ А-* ипч ии —

Т, п=1 Vv

Если 2v„ < то

0.71)

0.72)

V„ t vn t

Если же 2v„ > vn+i, то с учетом (0.64) ,(0.70) и монотонности функций хи = w(t) и ft = P(t) имеем :

5„ < ——[u(<Tv+1) - и[ап)\ < —— J dinw (t) < vr и n vn 2 "I'^rfln^W =

Vn 1

----H J .2

0.73) dt . rri 'V1 ) \ Л

Так как / —г12 > 0, то

Vn f/

Поэтому из (0.72),(0.73) заключаем, что всегда t2

Sn < 2 vr 4 T^dt (n > 1). fv. г

Следовательно, из (0.71) получаем, что если o>i < ту < сг^., то m«(25 П [0, г,]) < + 4 "/<

VI t

2—+ 4 / -gr-dt.

0.74)

Vjfe-l vj

Таким образом, учитывая (0.65),(0.66), из (0.74) с учетом того, что w*(x) — о(ж1пж), х оо, окончательно получаем, что если СГ/.-1 < Tj < CTf, и Ту —> оо, то mes(E П [0, г7]) < o(ln v(rj)) -f 4 / 2

0.75)

Поскольку оценка (0.68) справедлива при сг —> оо вне Е, то лемма полностью доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. При более, сильных ограничениях лемма 1 установлена в работах [29], [49]. ЛЕММА 2. Если

In |ЬЙ lim —-— < оо,

Лп, то существует С (0 < С < оо) такое, что fil(a) < fi(a + С).

Здесь /xjj(a) максимальный член ряда (0.5).

Доказательство. Существует С (0 < С < оо) такое, что

Тогда ari\\bv\ex"a < |ап|еСА"еА"а = |ая|еА»(<г+с) (п > 1, а > 0).

Тогда взяв максимум по п сначала в правой части неравенства, а потом в левой, получаем

ЛЕММА 3. Пусть максимальный член /л(а) ряда (0.2) имеет конечный нио/сний R порядок. Тогда существует, последовательность aj f оо; А (0 < А < оо), В (0 < В < оо) та,кие, что при а = о-}

In In 11(a)' < Act,

In In /ij(cr) < В a, где f-il(cr) максимальной член ряда (0.5).

43

Доказательство. Поскольку выполняется условие (0.6), то из леммы 2 следует, что существует С (0 < С < оо) такое, что

КИ<Мсг + С) (<т> 0). (0.76)

Далее, но условию существует последовательность crj j- оо, такая, что

In In/х(сг') л, ,

-< А' < оо {J > 1). (0.77) aj

Следовательно,

In In fi(a'j - С) < In In a^.) < < A(a'j - C) (j > 1),

Тогда с учетом (0.76), (0.77) получаем, что In In /4 (о7 - С) In In fl((Jj) cr} ^ 0 ^

Видно, что требуемые оценки выполнены для последовательности aj = а'3 — С. Лемма 3 доказана.

ЛЕММА 4.Пусть 7 — кривая, соединяющая, тючку z() с окружностью {z : \z — Zq\ = Л}, состоящая, из конечного ч/и,ела кусочно-гладких жордановых кривых, a g(z) — (функция, аналитическая в круге D(zq\R) = {z : \z — zq\ < R} и непрерывная, в ее замыкании D(zq]R). Пусть м = т = щр d(zq;r) >

Тогда, при 0 < ft < | для всех z из круга D(z{y, PR) верна оценка: g(z)\ < т1~2рМ2(\ (0.78) Лемма 4 доказана в работе [30].

В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства максимального члена ряда Дирихле (0.2), связанные с так называемым выпуклым полигоном Ньютона.

Напомним, как строится выпуклый полигон Ньютона для ряда Дирихле (0.2), абсолютно сходящегося во всей плоскости. Для этого отметим на плоскости ХоУ точки Рп — (А„,0„), где On = — In |аи| (Не умаляя общности, считаем, что а\ ф 0. Если а„ = 0, то полагаем дп — оо). Поскольку ряд (0.2) сходится во всей плоскости, то

In I av lim —f-^- = -оо. (0.79)

П-» ОО \ \ / лп

Учитывая это, через Q(F) обозначим выпуклую оболочку точек Р„ (п > !)• Пусть 7(ж) = inf {у : (х,у) е Q(F)}. Линия, описываемая уравнением у = 7(ж) (х > Ai), называется диаграммой или выпуклым полигоном Ньютона для ряда (0.2) [21]. Из (0.79) следует, что диаграмма Ньютона, обозначим ее L(F), есть выпуклая вниз ломаная линия.

Пусть 7(Аи) = Gn (п > 1). Тогда (An, Gn) € L(F). Для бесконечного множества значений Ап, в частности, для абсцисс Ал/? (г > l,ni = 1) всех вершин полигона L(F) имеем : Gn = — ln|a„|. Отметим, что точка Рп = (An, — In |ап|) лежит либо на полигоне L(F) (точка Рщ обязательно лежит на полигоне), либо над ним. Угловой коэффициент отрезка, соединяющего вершины Рщ и РПг+1 полигона L(F), равен г > 1, Ai = 1).

- Лщ

Ясно, что Rt t оо при г —> оо (см. рис. 3).

Следовательно, при R^i < а < R, центральный индекс v(a) = п, - const, a Inц(<т) = ln|a„J 4- А„гсг [21]. Хорошо известно также, что функция ц(а) непрерывна, fi(cr) t оо при с —У 00.

If г

1 Асимптотика логарифма максимального члена измененного ряда Дирихле

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Латыпов, Ильяс Дамирович, 2004 год

1. Говоров H.B. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения// Труды Новочеркасск, политехи, ин-та. 1959. Т. 100. С. 101 115.

2. Галь Ю.М., Шеремета M.H. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле// ДАН УССР. Сер. А, 1978. № 12. С. 1065 1067.

3. Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе// Матем. сб. 1982. Т. 117 (159), № 3. С. 412 -424.

4. Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче// Исследования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20 29.

5. Гайсин A.M. Поведение суммы ряда Дирихле в полуполосах// Матем. заметки. 1987. Т. 42, № 5. С. 660 669.

6. Скаскпв О.Б., Сорокивский В.М. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций,представленных рядами Дирихле// Укр. мат. ж. 1990. Т. 42, 3. С. 363 371.

7. Сорокивский В.М. О "росте аналитических функций, представленных рядами Дирихле// Укр. мат. ж. 1984. Т. 36, 4. С. 524 528.

8. Polya. G. Untersuchungen fiber Lucken und Singularitaten von Potenzreihen// Math. z. 1929. V. 29. P. 549 640.

9. Шеремета M.H. Метод Вимана-Валирона для рядов Дирихле// Укр. мат. ж. 1978. Т. 30, № 4. С. 488 497.

10. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.:Наука, 1976. 536 С.

11. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384 С.

12. Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы// Изв. АН СССР. 1987. Т. 51, № 2. С. 287 305.

13. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 С.

14. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, 1986. 240 С.

15. Говоров Н.В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге// Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып. б. Харьков: Изд-во ХГУ, 1968, С. 130 -150.29