Свойства расположения и функциональные пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Дельгадильо Херардо Пиньон

• Дельгадильо Херардо Пиньон
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дельгадильо Херардо Пиньон

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Свойства расположения

§1. Свойства свойств расположения

§2. Построение свойств расположения.

Глава 2. Р-полные пространства

§0. Начальные сведения

§1. Классы пространств.

§2. Свойства Р-полных пространств

§3. Наследственно Р-полные компакты.

Глава 3. Обобщения теоремы Гротендика

§1. Замкнутые вложения функциональных пространств в произведения пространств.

§2. Обобщения теоремы Гротендика

§3. Функции на произведениях пространств

Список обозначений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства расположения и функциональные пространства»

В 1952 году Гротендик (см. [36]) доказал следующую важную теорему: если X — счетно компактное пространство и М есть относительно счетное компактное подмножество пространства СР{Х) непрерывных вещественных функций в топологии поточечной сходимости, то замыкание подмножества М в СР(Х) — компакт. Впоследствие многие авторы (см. [46, 39, 14, 2, 1, 26]) обобщали теорему Гротендика и получили ряд теорем, имеющих следующую структуру: если пространство X принадлежит некоторому классу пространств V и М С СР(Х) в каком либо смысле ограничено в СР(Х), то М — компакт.

Для унификации доказательств разнообразных обобщений теоремы Гротендика в монографии [1], посвященной Ср(Х)-теории, A.B. Архангельский ввел общее понятие расположения множества М С X в пространстве X. "Под свойством расположения понимаем такое свойство, которым может обладать подпространство М по отношению ко всему пространству X". Если такое свойство Р имеет место для пары М, X, мы говорим, что М Р-расположено в X.

В диссертации предлагается общий подход к изучению свойств расположения топологических пространств. Всякое свойство расположения Р естественным образом порождает топологическое свойство Р-полноты.

Рассматриваемые в диссертации пространства считаем тихоновскими, если точно не указаны предположения об отделимости.

Пространство X называется Р-полным, если для любого М С X Ррасположено в X подпространство М — компакт. Класс Р-полных пространств будем обозначать через /С(Р), а класс наследственно Р-полных пространств — через /¿/С(Р). Мы исследуем, в частности, поведение топологических свойств типа Р-полноты при компактных отображениях.

Полученные результаты представляют интерес для Су-теории во-первых, в связи с тем, что они открывают общий подход к получению утверждений типа теоремы Гротендика, и во-вторых, в силу двойственности, которой в Ср-теории связаны вложения и непрерывные отображения топологических пространств.

Свойство расположения "М относительно счетно компактно в X" обозначается через Роск. В этой терминологии теорему Гротендика можно сформулировать следующим образом: если X — счетно компактное пространство, то СР{Х) — Роск-полное пространство. Обобщения теоремы Гротендика имеют следующий вид: если V — некоторый класс пространств и Р — некоторое свойство расположения, то СР(Х) — (наследственно) Р-полное пространство для X 6 V.

Напомним определения еще нескольких свойств расположения подпространства М в пространстве X:

Р0 — каждая непрерывная вещественная функция на X ограничена на М (ограниченность);

Рп — замыкание множества М в X — псевдокомпактное пространство (псевдокомпактное расположение);

Роск — Для каждого бесконечного множества А С М в X есть предельная точка (относительная счетная компактность);

РСк — существует счетно компактное подмножество 5 в X, содержащее

М.

Введенная терминология позволяет сформулировать наиболее важные результаты из раздела Ср-теории, посвященного обобщениям теоремы Гротендика.

Если X — счетно компактное пространство, то СР(Х) — Р0-полное пространство [14].

Если X — ^-пространство, то СР(Х) — Р0-полное пространство [14].

Если X — пространство счетной тесноты, то СР{Х) — Р0-полное пространство [1] .

Если X — счетно компактное пространство, то СР(Х) — наследственно Рп-полное пространство [26].

Если X — псевдокомпактное пространство, то СР(Х) — наследственно Роск-полное пространство [26].

Если X — линделефово Е-пространство, то СР{Х) — наследственно Роск-полное пространство [26].

Используя общее понятие расположения, А. В. Архангельский ([1], см. также теорему 3.2.1.) доказал утверждение типа теоремы Гротендика. Автор в работах [15, 18] развил подход, предложенный А. В. Архангельским.

В диссертации изучаются свойства расположения и класс (наследственно) Р-полных пространств. С помощью полученных результатов о Р-полных пространствах доказан ряд теорем типа теоремы Гротендика.

В первой главе определяются наиболее важные свойства свойств расположения и конкректные свойства расположения. В первом параграфе вводятся свойства свойств расположения и устанавливается связь между ними.

Сформулируем наиболее важные свойства свойств расположения.

Определение. 1.1.1 [1]. Свойство расположения Р называется непрерывно инвариантным, если из того, что У Р-расположено в X и / : X —>2 — непрерывное отображение, следует, что /(У) Р-расположено в /(X).

Определение. 1.1.2 [15]. Свойство расположения Р монотонно, если из того, что У С X С 2 и У Р-расположено в X, вытекает, что У Ррасположено в 2.

Определение. 1.1.3. Пусть Р\, Р^ — два свойства расположения. Будем писать Р\ < Р2, если для любого пространства X и М С X из того, что М ^-расположено в X, вытекает, что М /^-расположено в X.

Определение. 1.1.4 [1]. Свойство расположения Р называется свойством типа ограниченности, если оно непрерывно инвариатно и выполняется условие: в пространстве со счетной базой замыкание каждого Р-расположенного множества является компактом.

Отметим еще одно свойство свойств расположения:

Р\) Пусть ¥ = X и М С ¥, М Р-расположено в У и II — окрестность точки 2:. Тогда существует такое Ь С М, что М С и и Ь и Ь Р-расположено в X.

Во втором параграфе определяются конкретные свойства расположения. Также вводятся несколько операций, с помощью которых из одних свойств расположения можно строить новые свойства расположения. При применении этих операций свойства свойств расположения сохраняются.

Показано, что введенные свойства расположения являются монотонными и непрерывно инвариантными, и что для них выполняется условие {Р\).

Вторая глава посвящена изучению Р-полных пространств. В первом параграфе изучаются свойства классов пространств, для которых выполняется некоторый набор условий из списка, приведенного ниже.

Пусть V есть класс пространств.

Са) I € Р; (Са')ШеР;

Сь) если Ха Е V для а Е А, то ЦаеА Ха Е V;

СУ) если X замкнуто вкладывается в Е Р и жа(Х)=Ха для каждого а Е Л, то X Е V;

Сс) если У замкнуто вкладывается в X G Р, то У Е Р;

Сс) если Y ^-замкнуто в X G Р, то У € если Уе?иХ = Ги {у}, тоХеР;

Се) если У наследственно V и существует непрерывное компактное отображение пространства X на У, то X 6 Р.

Здесь I — отрезок [0,1] вещественной прямой JL Подмножество Y пространства X ^-замкнуто, если для любого компактного подпространства К С X К П У замкнуто в X.

Теорему Тихонова (см. теоремы 3.2.4 и 3.2.5 в [24]) можно сформулировать следующим образом: хаусдорфовы компактные пространства есть минимальный класс пространств Р, для которого выполняются условия (Са), (Съ) и (Сс). Вещественно полные пространства могут быть определены как минимальный класс пространств, для которого выполняются условия (Са'), (С'ь) и (Сс). Гиллман и Джерисон (см. упражнения 3.11.А, 3.11.В в [24] и Theorem 8.17(1) в [35]) доказали, что для вещественно полных пространств выполняются условия (Cd) и (Се). Основным результатом исследований, представленных в первом параграфе, является следующая теорема.

Теорема. 2.1.5. Пусть для класса пространств V выполняются условия (Са), (Съ), (Сс) и (Cd). Тогда для V выполняется условие (Се).

В втором параграфе изучаются (наследственно) Р-полные пространства. Сформулируем основные результаты.

Теорема. 2.2.3. Если для непрерывно инвариатного монотонного свойства расположения Р выполняется (Pi), то для К(Р) выполняются (Са), (Съ), (Сс), (Cd) и (Се).

Следствие. 2.2.4. Пусть для непрерывно инвариатного монотонного свойства расположения Р выполняется (Pi). Если пространство X уплотняется на пространство Y £ hK(P), то X £ hJC(P).

Другими методами следствие 2.2.4 для Рп и Роск было доказано А. В. Архангельским (см. Theorem 1.7 в [26]).

Получено описание классов пространств, которые реализуются как Р-полные пространства для "хороших" свойств расположения Р.

Теорема. 2.2.9. (а) Если Р есть непрерывно инвариатное и монотонное свойство расположения, то для JC(P) выполняются условия (Са), (Сь) и

СЛ б) Если V — класс пространств, для которого выполняются условия {Са), (Сь) и {Сс), то существует такое непрерывно инвариатное и монотонное свойство расположения Р, что V = /С(Р).

Теорема. 2.2.12. (а) Если Р — монотонное свойство типа ограниченности, то для К(Р) выполняются условия (Са'), (Сь) и (Сс'). (б) Если V есть класс пространств, для которого выполняются условия (Са'), (Сь) и (Сс'), то существует монотонное свойство типа ограниченности, для которого V — /С(Р).

В третьем параграфе изучаются наследственно Р-полные компакты и отображения на них. Оказывается, что для многих популярных свойств Т типа счетной тесноты существует "хорошее" (непрерывно инвариантное монотонное со свойством (Pi)) свойство расположения Р, при котором для компакта X условие "для X выполняется Г" эквивалентно тому, что X является наследственно Р-полным пространством. А. В. Архангельский доказал [26], что компакт X является компактом Прейсса-Симона, если и только если X есть наследственно Рп-полное пространство; X является компактом Фреше-Урысона, если и только если X есть наследственно Роск-полное пространство. В параграфе даются аналогичные характеристики для С-замкнутых компактов и компактов счетной тесноты. На основании этих характеристик и результатов, приведенных в предыдущем параграфе, доказано следующее утверждение.

Теорема. 2.3.9. Пусть X иУ — пространства и / — непрерывное отображение из У на X. Предположим, что выполняется одно из следующих условий: а) X — компакт Фреше-Урысона и У — пракомпактное пространство; б) X — компакт Прейсса-Симона и У — псевдокомпакное пространство; в) X — компакт счетной тесноты и в У есть всюду плотное ш-ограниченное подпространство; г) X — С-замкнутый компакт и в У есть всюду плотное счетно компакное подпространство.

Тогда / является Ш-факторным отображением. Если, кроме того, / компактное отображение, то X и У являются компактами. Если f уплотнение, то / — гомеоморфизм.

Третья глава диссертации посвяшена доказательству утверждений, подобных теореме Гротендика. В этой главе используются результаты предыдущих глав и спецефические методы Ср-теории.

В первом параграфе строится вложение пространства СР{Х) в произведение пространств и рассматривается вопрос о том, когда построенные вложения замкнуты и ¿-замкнуты. Более подробно, пусть X — пространство, М = {Ма С X : а 6 А} и 3 = АаеА^Ма ■ СР(Х) -» \[а£АСр{М<*\х), где 7гм есть отображение сужения из СР(Х) в СР(М\Х) для М С X. Нас интересует, когда ]{С{Х)) замкнуто и ¿-замкнуто в произведении. Сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема. 3.1.6. Пусть X = УаедМа. Тогда а) j(Cp(X)) — замкнутое подмножество YiaeACpiMa), если и только если М сильно функционально порождает X, т.е. если для каждой разрывной вещественной функции f на X найдется М 6 Л4 такое, что функция / 1 м разрывна. б) j(Cp(X)) — замкнутое подмножество YlaeACp(Ma\X), если и только если М функционально порождает X, т.е. если выполняется условие: какова бы ни была разрывная функция / : X —> М, найдется такое М Е М., что функция f }м we продолжается ни до какой непрерывной вещественной функции на всем X

Вопрос о замкнутости и fc-замкнутости отображения j полностью решен, когда семейство М состоит из всех счетных подмножеств пространства X.

Следствие. 3.1.11. Пусть X — множество, М = {М С X : \М\ < Тогда а) j(C(X)) замкнуто в \[МеМСр{М\Х), если и только если СР(Х) — вещественно полное пространство. б) j(Cp(X)) k-замкнуто в ПМеМСр(М\Х), если и только если СР(Х)

Р0-полное пространство.

Отметим, что пункт (а) следствия 3.1.11, по модулю других результатов параграфа, по существу эквивалентен теореме Архангельского [1, следствие II.4.1] которая описывает пространства X, для которых СР(Х) вещественно полное пространство, то есть, получено новое доказательство теоремы Архангельского.

Второй параграф непросредственно посвящен утверждениям, подобным теореме Гротендика. Следующие два утверждения общего характера для конкретных свойств расположения былы ранее доказаны А. В. Арган-гельским [26, Theorem 2.6], при этом использовались другие методы; для каждого свойства расположения рассуждения проводились отдельно.

Теорема. 3.2.2. Пусть Л4 сильно функционально порождает пространство X, X = UaeA-^"' Р — непрерывно инвариантное монотонное свойство расположения и Ср(Ма) Е /С(Р) для каждого а Е А. Тогда СР(Х) Е К(Р).

Следствие. 3.2.5. Пусть У — всюду плотное подмножество пространства X и Р — непрерывно инвариатное монотонное свойство располо-удовлетворяющее (Pi). Если CP(Y) Е h)C(P), то СР(Х) Е hlC(P).

A.B. Архангельский доказал (см. Следствие 2.16 и Пример 2.17 в [26]), что если X — линделефово Е-пространство, то СР(Х) Е hJC(POCK) и существует линделефово Е-пространство (даже линделефово полное по Чеху пространство) У такое, что CP(Y) ^ hJC(Pn).

Следующую теорему можно рассматривать как уточнение упомянутых результатов A.B. Архангельского.

Теорема. 3.2.10. Пусть X — линделефово Yl-пространство и d(X) < р. Тогда СР(Х) Е hJC(Pn), т.е. любое псевдокомпактное подпространство Y С СР(Х) компактно.

Третий параграф посвящен результатам, подобным теореме Гротен-дика для случая, когда пространство является произведением двух пространств; при этом рассматриваются как непрерывные, так и раздельно непрерывные функции на произведении пространств. Для пространств X и У через SC(X х У) обозначаются раздельно непрерывные функции на X хУ.

Теорема. 3.3.2. SCP(X х У) естественным образом замкнуто вкладывается в CP(X)Y х CP(Y)X.

Теорема. 3.3.3. Пусть Р — непрерывно инвариантное свойство расположения, СР(Х) Е К(Р) и CP(Y) Е К{Р). Тогда SCP(X X У) Е К(Р).

Отметим следующее любопытное следствие теоремы 3.3.3. Следствие. 3.3.5. Если Х,У — счетно компактные пространства и

Л-УХУ

М С СР(Х х У) — псевдокомпакт, то К = М — компакт и К С 5СР(Х хУ).

В связи с следствием 3.3.5 возникает вопрос, будет ли компакт К состоять из непрерывных функций. Автору неизвестен ответ на этот вопрос, но если наложить дополнительные ограничения на произведение X хУ, то ответ будет положительным.

Теорема. 3.3.7. Пусть X, У — счетно компактные пространства такие, что У х X — псевдокомпакт. Тогда СР(У х X) £ /¿/С(Р„).

Показано, что из формулировки теоремы 3.3.7 нельзя выбросить условие, что произведение X х У псевдокомпактно, то есть построены такие два счетно компактных пространства X и У, что СР(Х х У) ^ /¿/С(РП).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дельгадильо Херардо Пиньон, 2000 год

1. Архангельский А. В. Топологические пространства функций -М.: Изд-во МГУ, 1989. - 224с.

2. Архангельский А. В. Пространства функций в топологии поточечной сходимости и компакты // УМН. 1984. 39. N5.-0. 11-50.

3. Архангельский А. В. Об инвариантах типа характера и веса // Тр. Моск. Мат. О-ва. 1979. 38. С. 3-27.

4. Архангельский А. В. Спектр частот топологического пространства и операция произведения // Тр. Моск. Мат. О-ва. 1979. 40. С. 171-206.

5. Архангельский А. В. Непрерывные отображения, факторизационные теоремы и пространства фукций // Тр. Моск. Мат. О-ва. 1984. 47.- С. 3-21.

6. Архангельский А. В. Об Е-факторных отображениях пространств со счетной базой // Докл. АН СССР. 1986. 287, N 1. С. 14-17.

7. Архангельский А. В. Некоторые типы факторных отображений и связи между классами топологических пространств // Докл. АН СССР. 1963. 153, N4.-0. 743-746.

8. Архангельский А. В. О некоторых топологических пространствах, встречающихся в функциональном анализе // УМН. 1976. 31. N 5.- С. 17-32.

9. Архангельский А. В. Пространства функций в топологии поточечной сходимости // Общая топология: пространства функций и размерностью. Ч. I М.: Изд-во МГУ, 1985. - С. 3-66.

10. Архангельский А. В. Метод звезд, новые классы пространства и счетная компактность // Докл. АН СССР. 1980. 251, N5.-0. 1033-1037.

11. Архангельский А. В. Компактность // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 50. С. 5-128.

12. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. -М.: Наука, 1974. 424с.

13. Архангельский А. В., Хамди M. М. Генеди. Расположение подпространств в пространствах: относительные варианты компактности, свойства Линделефа и аксиом отделимости // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика, механика. 1989. N б. С. 67-69.

14. Асанов М. О., Величко Н.В. Компактные множества в СР(Х) // Comment. Math. Univ. Carol. 1981. 22. P. 255-266.

15. Дельгадильо X. П. Замкнутые вложения функционалных пространств в произведения пространств и теорема Гротендика // Вестн. Моск. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 2000 N 5. С. 9-12.

16. Дельгадильо X. П. Уплотнение на подпространства функциональных пространств. Рукопись деп. в ВИНИТИ 06.03.2000, N 583-ВОО.

17. Матвеев М. В. О свойствах близких к псевдокомпактности и счетной компактности // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика, механика. 1984. N 2. С. 24-27.

18. Матвеев М. В. О псевдокомпактности // Успехи математических наук. 40, N 2. 1985. С. 189-190.

19. Резниченко Е. А. Псевдокомпактное пространство, в котором только множества неполной мощности не замкнуты и не дискретны // Вестн. Моск. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 1989. N 6. С. 69-70.

20. Ткачук В. В. Пространства, проективные относительно классов отображений // Тр. Моск. Мат. О-ва. 1987. 50. С. 138-155.

21. Шапировский Б. Э. О 7г-характере и 7г-весе в бикомпактах // ДАН СССР 223 (1975). С. 799-802.

22. Энгелькинг Р. Общая топология / Пер. с англ. -М.: Мир, 1986. 752с.

23. Arhangel'skii А. V. On relationship between topological properties of X and Cp(X) // Gen. Topol. and Relat. Mod. Anal, and Algebra. 5. Berlin, 1983. P. 24-36.

24. Arhangel'skii A. V. On a theorem of Grothendieck in Cp-theory // Top. Appl. 1997. 80. P. 21-42.

25. Arhangel'skii A. V. On countably compact and initially o;i-compact topological spaces and groups // Mathematica Japonica. 1994. 40. N 1. P. 39-53.

26. ArhangePskii A. V. Cp-theory // M. Husek and J. van Mill, Ed-rs, Recent Progress in General Topology, Chapter 1. -Amsterdam: North-Holland, 1992. P. 1-56.

27. Bacon P. The compactness of countably compact spaces // Pacif. J. Math. 32. 1970. P. 587-592.

28. Balogh Z. On compact hausdorff spaces of countable tightness // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. 105. N 3. P. 755-764.

29. Buchwalter H. Fonctions continues et mesures sur en espace complètement régulier // Springer-verlang Lecture Notes 331. 1973. P. 183-202.

30. Gerardo Delgadillo P. Closed embedding in products of spaces and Grothendieck's theorem // 13th Summer Conference on General Topology and Its Applications, June 24-27 1998, UNAM, Mexico.

31. Gerlits J. Some properties of C(X), II. // Topol. and Appl. 1983. 15. N 3. P. 255-262.

32. Gerlits J., Nagy Zs. Some properties of C(X), I. // Topol. and Appl. 1982. 14, N 2. P. 151-161.

33. Gillman L. and Jerison M. Rings of continuous functions. -N.-Y.: SpringerVerlag, 1976.

34. Grothendieck A. Critères de compacité dans les espaces fonctionnels généraux // Amer. J. Math. 1952. 74. P. 168-186.

35. Grothendieck A. Sur les applications linéaires faiblement compactes d'espaces du type C(K) // Canad. J. Math. 1953. 5, N 2. P. 129-173.

36. Grothendieck A. Topological vector spaces // Transi, from the French by Orlando Chaljub. -N.- Y.: Gordon and Breach, 1973.

37. Hay don R., Compactness in CS(T) and applications // Publ. Depart. Math. Lyon. 1972. 9. N 1. P. 105-113.

38. Ismail M., Nyikos P. On spaces in which countably compact sets are closed and hereditary properties // Topology and its Applications. 1980. 11. N 3. P. 281-292.

39. Michael E. A., A quintuple quotient quest // Gen. Topol. and Appl. 1972. 2. P. 91-138.

40. Mill J., An introduction to ¡3(u) // Handbook of Set-theoretic Topology. -Amsterdam: North Holland, 1984. P. 503-568.

41. Nagami K. S-spaces // Fund. Math. 1969. 65(2). P. 169-192.

42. Nobel N. Countably compact and pseudocompact products // Czech. Math. J. 1969. 19. P. 390-397.

43. Preiss D. Simon P. A weakly pseudocompact subspace of Banach space is weakly compact // Comment, math. Univ. carol. 1974. 15. N 4.- P. 603-609.

44. Pryce J. D. A device of R.J. Whitley's applied to pointwise compactness in spaces of continuous functions // Proc. London Math. Soc. 1971. 23. N 3. P. 532-546.

45. Reznichenko E. A., Uspenskii V.V. Pseudocompact Mal'tsev spaces // Topol. and Appl. 1998. 86. N 1. P. 83-104.

46. Vaughan J. E. Small uncountable cardinals in topology // Open Problems in Topology. J. van Mill and G. M. Reed Eds. Elsevier Sci. Pub. B. V. 1990. P. 196-216.