О некоторых связанных с псевдокомпактностью свойствах непрерывных отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Миронова, Юлия Николаевна

• Миронова, Юлия Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Миронова, Юлия Николаевна

Введение 5

Глава I. О псевдокомпактных отображениях. 27п.1. Об о-псевдокомпактных отображениях. 27 п.2. Соотношения между свойствами, входящими в одну о-группу. 29 п.З. Связь между о-группами свойств. 30 п.4. Вторая серия определений. 34 п.5. Третья серия определений. 37 п.6. Эквивалентность второй и третьей серий определений для отображения f-.x->Y. 41 п.7. Совпадение первой и третьей серий определений для отображений вполне регулярных пространств. 44 п.8.Эквивалентность сформулированных определений псевдокомпактности в случае, когда пространство y вполне регулярно. 45 п.9. Эквивалентность определений псевдокомпактности отображений в случае их z-замкнутости. 47 п. 10. Свойства о-псевдокомпактных и псевдокомпактных отображений. 51 п.11. о-псевдокомпактность произведения замкнутого о-псевдокомпактного и бикомпактного открытого отображения 56 п. 12. Примеры псевдокомпактных отображений. п. 12.1. Проекции произведений параллельно псевдокомпактным пространствам. п. 12.2. Канонические отображения пространств с действием псевдокомпактных групп на пространства орбит.

Глава II. О счетно компактных отображениях. 65п. 13. Счетно компактные отображения. п. 14. Соотношения между определениями счетной компактности отображения. п. 15. Критерии счетной компактности отображения. 71 п. 16. Свойства счетно компактного отображения 78 п. 17. Некоторые случаи счетной компактности отображений. 79 п. 18. Связь счетной компактности и псевдокомпактности отображений.

Глава III. О т-псевдокомпактных отображениях 85-104 п.1. т-псевдокомпактные и т-компактные отображения 85 п.2. Относительно т-псевдокомпактные отображения. 86 п.З. с-т-ограниченные отображения 88 п.4. Мультипликативность с-т-ограниченности отображений 91 п.5. Решетки непрерывных морфизмов на отображениях п.6 Теоремы о мультипликативности относи тельно х-псевдокомпактных отображений п.7. Следствия теоремы о мультипликативно сти т-псевдокомпактности для пространств п.7.1. с-т-ограниченные пространства п.7.2. с-со-ограниченные пространства Литература.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых связанных с псевдокомпактностью свойствах непрерывных отображений»

Непрерывные отображения топологических пространств можно естественным образом рассматривать как обобщение понятия топологического пространства, отождествляя топологическое пространство х с постоянным отображением с->{•}.

Многие понятия и результаты, определенные и верные в классе топологических пространств, имеют аналоги в классе непрерывных отображений. На класс непрерывных отображений был распространены аксиомы отделимости [6], определено понятие базы отображения [6], веса отображения [6]; различным образом определялась также размерность отображения [1,6] и т.д. [3,5,6]

Возникают задачи распространения теории топологических пространств на отображения.

Существует класс отображений, выполняющих во многих слу-ф чаях роль бикомпактов в классе непрерывных отображений - это совершенные отображения.

В данной работе рассмотрено обобщение на случай отображений класса псевдокомпактных пространств и связанных с ними свойств пространств.

Данная работа состоит из 3 глав и посвящена распространению на непрерывные отображения связанных с псевдокомпактностью свойств топологических пространств.

В первой главе рассмотрены варианты определения псевдокомпактности отображения Y.

1.Q. Первая о-группа определений. о.1.1.) Для любого открытого в У множества о и любой точки уеО существует окрестность Оу точки у такая, что Oy<zO и для любой локально конечной и открытой в \f~xOy\ системы я имеем Я |< со . о.1.2.) Для любого открытого в Y множества о и любой точки уеО существует окрестность Оу этой точки такая, что ОусО и для любой локально конечной и открытой в f~Ao системы я имеем

St(f-lOy,X)\<a>.

0.1.3.) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной и открытой в /1о системы я существует окрестность Оу точки у такая, что Oy<zO и | st(j~lOy,X) |< со. 2.о. Вторая о-группа определений.

Эта группа определений аналогична первой группе с заменой о на Y. о.2.1.) Для любой точки уеГ существует ее окрестность Оу такая, что для любой локально конечной и открытой в [f~xOy] „ сисЛ темы я имеем \я\<а>.

0.2.2.) Для любой точки уеГ существует ее окрестность Оу такая, что для любой локально конечной и открытой в х системы я имеем \st(f~xOy,Z)\<co.

0.2.3.) Для любой точки уеГ и любой локально конечной и открытой в х системы X существует окрестность Оу точки у такая, что

8КГ'Оу,Л)\<со.

З.о. Третья о-группа определений.

Она получается из первой группы заменой о на г, Оу на

Г1 у). о.3.1.) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО существует окрестность Оу точки у такая, что Oj/cO и для любой локально конечной и открытой в [f~lOy\ Xqсистемы л имеем

0.3.2.) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной и открытой в /-1о системы я имеем \St(J~xy,X)\«o. о.3.3) =(о.3.2).

4.о. Четвертая о-группа определений.

Она получается из первой группы заменой о на Y, Оу на

Г у). о.4.1.) Для любой точки yeY существует ее окрестность Оу такая, что для любой локально конечной и открытой в \f~xOy\x системы л имеем \St{f~xy,X)\<a).

0.4.2.) Для любой точки у еГ и любой локально конечной и открытой в х системы л имеем \st{j~xytx)\<a>.

0.4.3) = (о.4.2).

Определение 1. Непрерывное отображение f-.x-* Y назовем о-псевдокомпактным, если оно удовлетворяет условию (О.1.З.).

Рассмотрена также взаимосвязь между различными определениями о-псевдокомпактности отображения. Связи между различными определениями отражены в следующей диаграмме: f:X~+Y

0.1.1)

Б.А. Пасынковым было предложено заменить в определениях пункта 1 открытые локально конечные системы на функционально открытые локально конечные системы. В результате была получена вторая серия определений и в пункте 4 главы 1 рассмотрены связи между fo-псевдокомпактными (=псевдокомпактными) отображениями (аналогичные отображенным на рис. 1).

В пункте 5 главы 1 рассмотрены варианты определений, связанные с непрерывными функциями на трубках, - , f-псевдокомпактные отображения.

Далее рассмотрена взаимосвязь между о-псевдокомпактными, псевдокомпактными и f-псевдокомпактными отображениями: в частности,

•псевдокомпактность и fo-псевдокомпактность отображения f:X->Y совпадают,

• если пространство х вполне регулярно, то псевдокомпактность и о-псевдокомпактность отображения f-.x-^Y совпадают.

В пункте 9 главы 1 сформулирована следующая теорема:

Теорема 1. Пусть f-.x^Y - отображение вполне регулярных пространств I и Y. Тогда следующие условия эквивалентны. а) отображение f-.x-^Y псевдокомпактно (f.1.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой непрерывной функции <р:>л существует окрестность Oy<zO точки у такая, что функция д>\. ограничена. f Оу в) отображение f-.x-±Y о-псевдокомпактно (о. 1.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной и открытой в /~1о системы л существует окрестность Оу ТОЧКИ у такая, ЧТО Oy<zO И \St(f~]Oy,A)\<co. c) отображение f-.x^-Y удовлетворяет условию (f.2.3): для любой точки yeY и любой непрерывной функции <p-.x-+R существует окрестность Оу точки у такая, что функция <р\. ограничена. Оу d) отображение f-.x-^Y удовлетворяет условию (0.2.3): для любой точки yeY и любой локально конечной и открытой в х системы л существует окрестность Оу точки у такая, что \st(f'lOy3A)\<o>.

Более того, если отображение f-.x-^Y z-замкнуто, то эквивалентны следующие условия: а) отображение f:X->Y псевдокомпактно; e) отображение f-.x-*Y удовлетворяет условию (f.3.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО любая непрерывная на /-'о функция ограничена на f~xy. f) отображение f:X^>Y удовлетворяет условию (о.3.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой ой и открытой в /~'о системы л имеем ние f:X—>Y удовлетворяет условию (f.4.3): для любой точки y&Y любая непрерывная на х функция ограничена на h) отображение f-.x-^Y удовлетворяет условию (о.4.3): для любой точки yeY и любой локально конечной и открытой в х системы л имеем | st(f~xy,X) |< со.

В пункте 10 главы 1 рассматриваются некоторые свойства псевдокомпактных и о-псевдокомпактных отображений, аналогичные соответствующим свойствам псевдокомпактных пространств.

Предложение 1. Бикомпактное отображение о-псевдокомпактно.

Следствием В случае вполне регулярного х бикомпактное отображение /:Х-»г является псевдокомпактным.

Определение 1. ( Б.А. Пасынков). Отображение f:X^> Y (функционально) паракомпактно, если для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любого (функционально) открытого покрытия л трубки /-'о существует окрестность Оу точки у такая, что в покрытие л можно вписать (функционально) открытое локально конечное покрытие трубки f~]Oy.

Г1 у.

Теорема 1. о-псевдокомпактное замкнутое паракомпактное отображение бикомпактно.

Предложение 1. Псевдокомпактное замкнутое функционально паракомпактное отображение бикомпактно.

Теорема 2. Непрерывный образ о-псевдокомпактного отображения о-псевдокомпактен.

Предложение 2. Непрерывный образ псевдокомпактного отображения псевдокомпактен.

Теорема 3. Пусть отображение f-.x-^y о-псевдокомпактно, и для некоторого открытого в г множества о множество в канонически замкнуто в трубке flo. Тогда отображение fB= j\b:B-*y о-псевдокомпактно.

Следствие. В случае, когда пространство х вполне регулярно, теорема 3 верна для псевдокомпактного отображения f-.x-+ Y. + Теорема 4. Пусть множество s конечно. Комбинация v fs-.x=©xs -»Y, где ft-.xt —> Y,s eS, о-псевдокомпактна тогда и тольses ко тогда, когда все отображения fs-.xs г о-псевдокомпактны.

Предложение 4. Пусть множество s конечно. Комбинация v fs-.x=@xs -> y, где fs-.xs y,sпсевдокомпактна тогда и только ses тогда, когда все отображения fs-.xs г псевдокомпактны.

В пункте 11 рассматривается еще одно интересное свойство о-псевдокомпактного отображения:

Теорема 1. Послойное произведение замкнутого о-псевдокомпактного отображения f-.x-^Y и открытого бикомпактного отображения g:Z->Y о-псевдокомпактно.

Пункт 12 посвящен рассмотрению случаев, когда произведение псевдокомпактных отображений псевдокомпактно. т.

Получены следующие результаты для тихоновских пространств:

Теорема 1. Если пространство х псевдокомпактно, а проекция p:X*Y-+Y является z-замкнутой, то она псевдокомпактна.

Следствие 1. Если пространство х псевдокомпактно, а г есть k-пространство, то проекция p-.XxY^Y псевдокомпактна.

Следствие 2. Если произведение ХхГ псевдокомпактно, то проекции р:хxY —>х и q:XxY^>Y псевдокомпактны.

Следствие 3. Для любой системы псевдокомпактных топологических групп xs,seS, и любого представления множества s в виде объединения двух непустых дизъюнктных подмножеств s{ и s2 проекции ргх: Ц{Х,: se S} -+Y\{XS:j е S,} И pr2: Y[{XS : j е 5} -+]J{XS : * е ^ псевдокомпактны.

Следствие 4. Пусть х - псевдокомпактное пространство, Y -псевдокомпактное k-пространство. Тогда проекции prx-.XxY-*x и pr2:XxY-+Y псевдокомпактны.

Следствие 5. Пусть пространство х псевдокомпактно, a Y есть сильно псевдокомпактное пространство. Тогда проекции prx:XxY-*x и pr2:XxY —>Y псевдокомпактны.

Напомним, что отображение f-.x-^Y называется d-открытым, если для любого открытого множества ОаХ существует открытое в Y множество v такое, что /0cFc[/0].

Следствие 6. Если псевдокомпактное пространство X обладает счетно направленной решеткой d-открытых отображений на полные по Дьедонне пространства, а пространство Y псевдокомпактно, то проекции prY :XxY-+x и pr2:XxY —>y псевдокомпактны.

Следствие 7. Пусть х есть псевдокомпактная группа, Y есть псевдокомпактное пространство. Тогда проекции prx\X*Y-*x и pr2 -.XxY—>Y псевдокомпактны.

Замечание. В главе 2 рассматривается класс пространств с решетками d-открытых отображений на более общие, чем полные по Дьедонне (а именно, с-со-ограниченные), пространства. Все определения можно прочитать в гл. 3.

Имеет место

Следствие 8. Если псевдокомпактное пространство х обладает счетно направленной решеткой d-открытых отображений на с-со-ограниченные пространства, а пространство Y псевдокомпактно, то проекции pr}:XxY->x и pr2 :X*Y —>Y псевдокомпактны.

Далее рассматриваются канонические отображения пространств с действием псевдокомпактных групп на пространства орбит.

Лемма! Пусть Е - топологическое пространство, G- топологическая группа, действующая непрерывно в Е, к - подмножество группы G. Если проекция рг2-.КхЕ-*Е является z-замкнутой (замкнутой, совершенной), то отображение p:(s,x)-+sx произведения КхЕ в Е z-замкнуто (замкнуто, совершенно).

Предложение 1. Пусть Е - топологическое пространство, G -топологическая группа, действующая непрерывно в е, к - псевдокомпактное множество в G. Если проекция рг2:КхЕ-+Е является z-замкнутой, то отображение p:(s,x)-+sx произведения КхЕ в е псевдокомпактно.

Из предложения 1 вытекают следующие случаи псевдокомпактности отображения:

Следствие 1. Пусть Е есть к-пространство, g - топологическая группа, действующая непрерывно в е, к - псевдокомпактное множество в G. Тогда отображение p:(s,x)->sx произведения к*Е в е псевдокомпактно.

Следствие 2. Пусть е есть псевдокомпактное пространство, g -топологическая группа, действующая непрерывно в Е, к - псевдокомпактное множество в G. Тогда отображение p-\s,x)-+ sx произведения кхе в е псевдокомпактно.

Предложение 2. Пусть Е - топологическое пространство, к -топологическая группа, действующая непрерывно в Е, и проекция pr2:KxE —>Е является z-замкнутой. Тогда каноническое отображение р:Е—>Е/к является z-замкнутым.

Из предложения 2 следует несколько утверждений:

Следствие 3. Пусть Е есть k-пространство, а к есть псевдокомпактная группа, действующая непрерывно в е. Тогда каноническое отображение р:Е->Е/к псевдокомпактно.

Следствие 4. Пусть Е есть псевдокомпактное пространство, к - псевдокомпактная группа, действующая непрерывно в Е. Тогда каноническое отображение р-.Е^Е/к псевдокомпактно.

Следствие 5. Пусть Е - топологическая группа, к - псевдокомпактная подгруппа группы е, и проекция рг2:К*Е-+Е является z-замкнутой. Тогда каноническое отображение р-.Е^Е/к псевдокомпактно.

Следствие 7. Пусть к - псевдокомпактная подгруппа псевдокомпактной группы е. Тогда каноническое отображение р-.е-^е/к псевдокомпактно.

Следствие 8. Пусть к - псевдокомпактная подгруппа группы Е, пространство которой есть k-пространство. Тогда каноническое отображение р\Е-> Е/к псевдокомпактно.

Таким образом, в главе 1 подробно рассматриваются свойства различных модификаций псевдокомпактности непрерывных отображений.

Глава 2 посвящена счетно компактным отображениям и их свойствам.

В пунктах 13 и 14 рассматриваются различные определения счетной компактности отображения и их взаимосвязь. В пункте 15 рассмотрены критерии счетной компактности отображения:

Предложение 1. Для произвольного отображения f-.x-^Y следующие условия эквивалентны:

1. Отображение f-.x-+Y счетно компактно.

2. Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любого счетного семейства <d = {F } . такого, что

1 a'a е А

Fain.nFa)nf-{Oy*0 для любой окрестности Оу ТОЧКИ у, если S конечно, состоящего из замкнутых в f~xo множеств, существует окрестность Оу точки у такая, что ОусО и flOyn(n ф)*0.

3. ДЛЯ ЛЮбОГО ОТКРЫТОГО В Y МНОЖеСТВа О, ЛЮбОЙ ТОЧКИ уеО и любой убывающей последовательности пересекающихся с любой трубкой f~xOy над любой окрестностью Оу точки у замкнутых в f-lo множеств существует окрестность Оу точки у такая, что ао

И OyczO.

-I

Предложение 2. Для отображения f-.x^Y следующие условия эквивалентны:

1) Отображение f-.x-^Y счетно компактно.

2) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной в /-'о системы я существует окрестность Оу точки у такая, что ОуаО и | st(f~xOy,X)|<со.

3) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной в /~'о системы я, состоящей из одноточечных множеств, существует окрестность Оу точки у такая, что

ОусО И \St(f'xOy,X)\<co.

4) Для любого открытого в Y множества о, любой ТОЧКИ у еО и любого бесконечного подмножества ^ пространства f~lo такого, что \f'xOyn/u\>0) для любой окрестности Оу точки у, множество ц имеет в трубке f~xo строгую предельную точку.

5) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любого счетного бесконечного подмножества // пространства /~1о такого, что \fxOynju\>co для любой окрестности Оу точки у, множество ^ имеет в трубке flo строгую предельную точку.

Далее рассматриваются свойства счетно компактных отображений, аналогичные свойствам псевдокомпактных отображений:

Теорема 1. Счетно компактное отображение о-псевдокомпактно.

Следствие 1. Счетно компактное отображение псевдокомпактно.

Теорема 2. Счетно компактное замкнутое паракомпактное отображение бикомпактно.

Следствие2. Если отображение f-.x-^Y паракомпактно и замкнуто, то о-псевдокомпактность, бикомпактность и счетная компактность отображения f:X-+ Y совпадают.

Теорема 3. Непрерывный образ счетно компактного отображения счетно компактен.

Теорема 4. Пусть множество s конечно. Комбинация v f-.x-@х -+Y, где / :Х -» Y,s eS, счетно компактна тогда и тольр s s $ s s е 6 ко тогда, когда все отображения / -.х y счетно компактны .

Теорема 5. Пусть отображение f-.x-^y счетно компактно, и для некоторого открытого в y множества о множество в замкнуто в трубке Тогда отображение fB = j]b:B-*y счетно компактно.

И, наконец, в пункте 17 главы 2 рассматриваются случаи счетной компактности непрерывного отображения:

Пусть х, y - тихоновские пространства.

Теорема 1. Если пространство х счетно компактно, а проекция р:ХxY->Y замкнута, то она счетно компактна.

Следствие 1. Пусть х - счетно компактное пространство, у -секвенциальное пространство (в частности, пространство с первой аксиомой счетности). Тогда проекция p-.XxY^Y счетно компактна.

Предложение 1. Пусть е- топологическое пространство, g -топологическая группа, действующая непрерывно в е, к - замкнутое счетно компактное множество в G. Если проекция р-.КхЕ-^Е является замкнутой, то отображение p:(s,x)-+sx произведения КхЕ в Е счетно компактно.

Следствие 2. Пусть Е есть секвенциальное пространство, g -топологическая группа, действующая непрерывно в е, к - замкнутое счетно компактное множество в G. Тогда отображение p:(s,x)^>sx произведения КхЕ в Е счетно компактно.

Предложение 2. Пусть Е - топологическое пространство, к -счетно компактная группа, действующая непрерывно в Е, и проекция р:КхЕ —>Е замкнута. Тогда каноническое отображение Е на е/к счетно компактно.

Следствие 3. Пусть Е есть секвенциальное пространство, к -счетно компактная группа, действующая непрерывно в Е. Тогда каноническое отображение е на е/к счетно компактно.

Следствие 4. Пусть Е есть секвенциальная топологическая группа, к - счетно компактная подгруппа группы е. Тогда каноническое отображение f:E-+E/K счетно компактно.

В пункте 18 главы 2 рассматривается связь счетной компактности и псевдокомпактности непрерывного отображения.

Определение 1. [6] Для отображения f:X-+ г множества айв из х называются f-отделимыми окрестностями (f-функционально отделимыми), если любая точка yeY обладает окрестностью Оу, в прообразе flOy которой множества айв отделимы окрестностями (функционально отделимы).

Определение 2. [6] Отображение f-.x-^Y называется (функционально) преднормальным, если любые два дизъюнктные замкнутые в х множества f-отделимы окрестностями (f-функционально отделимы).

Определение 3. (Б.А. Пасынков) Отображение f-.x-^Y называется (функционально) нормальным, если для любого открытого в Y множества о отображение является (функционально) преднормальным.

Теорема 1. Если отображение f-.x-*Y нормально, то о-псевдокомпактность и счетная компактность отображения f-.X-*Y совпадают.

Следствие 1. Если f-.x-^Y - нормальное отображение вполне регулярных пространств, то псевдокомпактность и счетная компактность отображения Y совпадают.

Теорема 2. Если отображение f-.x->Y функционально нормально, то псевдокомпактность и счетная компактность отображения f:X-> Y совпадают.

Таким образом, главы 1 и 2 данной работы посвящены введению понятий псевдокомпактности и счетной компактности отображений. Рассмотрены их взаимосвязь и основные свойства, аналогичные свойствам псевдокомпактных и счетно компактных пространств.

Третья глава данной работы посвящена мультипликативности псевдокомпактности.

Известно [16], что произведение псевдокомпактных пространств не обязано быть псевдокомпактным. Однако при некоторых условиях псевдокомпактность произведения сохраняется. Так, Комфорт и Росс доказали [16], что произведение псевдокомпактных топологических групп является псевдокомпактной топологической группой, а М.Г. Ткаченко и В.В. Успенский обобщили этот результат на cf-nространства и относительно псевдокомпактные пространст-ва.([8], [9], [10], [23], [24], [25])

Б.А. Пасынковым была поставлена задача дальнейшего обобщения этих утверждений. Получены следующие результаты.

Назовем систему л т-локальной в х, если для любой точки хеХ существует ее окрестность Ох такая, что \st^,Ox)\< г.

Определение 3.1. Непрерывное отображение f-.xY назовем т-псевдокомпактным, если для любого открытого в у множества о, любой точки у еО и любой т-локальной открытой в системы л существует окрестность Оу точки у такая, что Oy<zO и \st(x,f~xOy\<T.

При т = со т-псевдокомпактность отображения совпадает с его псевдокомпактностью.

Свойство 3.1. Пусть отображения f1\Xl Y,f2:X2 Y,g:Xx ->Х2 непрерывны, отображение g сюръективно и fx=f2°g. Тогда из т-псевдокомпактности отображения fx следует т-псевдокомпактность отображения /2.

Определение. Пусть дано непрерывное отображение

Д-^УДс! Подотображение g = f v :Xx^Y отображения / на1 зывается относительно т-псевдокомпактным в /, если для любого открытого в Y множества о, любой точки у&о и любой открытой т-локальной в fxo системы л существует окрестность Оу точки у такая, ЧТО ОуаО И

Свойство 3.1. Непрерывный образ относительно т-псевдокомпактного отображения относительно х-псевдокомпактен. Свойство 3.2. Пусть отображение f:Xx Y,xx ci относительно т-псевдокомпактно в f:X-+Y,fx =f\x .и х2сх1. Тогда отображение f2=fv :X2^y относительно т-псевдокомпактно в /. 1

Свойство 3.3. Пусть x2axx<zx, отображение /2=/ х.

X2^Y, где /:Х->У относительно т-псевдокомпактно в / =/ /2 относительно т-псевдокомпактно в /.

-»г. Тогда

Далее рассматриваются с-т-ограниченные отображения и конкретные примеры этих отображений.

Определение 3.1. Непрерывное отображение f-.X-^Y называется с-т-ограниченным, если любое его замкнутое относительно тпсевдокомпактное подотображение g = f , где х, замкнуто в х, л\ является совершенным отображением. Примерами с-ю-ограниченного отображения являются трубчато-полное по Дьедонне отображение [3], R-полное отображение [5], а также их обобщение -обобщенно-полное по Дьедонне отображение.

Определение 3.2. Тихоновское отображение f-.X^Y называется обобщенно полным по Дьедонне, если для любой точки * € pfx существует окрестность и точки (/f)* в г и такое открытое локально конечное в f~lu покрытие я трубки f~lu, что

Лемма 3.1. Обобщенно полное по Дьедонне отображение f-.x->Y, где Y есть ^-пространство, является с-со-ограниченным отображением. Известно, [14], что пространство х бикомпактно тогда и только тогда, когда оно псевдокомпактно и R-полно.

Обобщая этот факт на отображения, получим.

Теорема 3.2. Отображение f-.x-> Y совершенно тогда и только тогда, когда оно псевдокомпактно, с-со-ограничено и замкнуто.

Далее рассматривается мультипликативность с-т-ограниченных отображений.

Предложение 3.1. Пусть отображения fa:Xa Y замкнуты и с-т-ограничены для любого аеА. Тогда их послойное произведение

Y также с-т-ограничено.

Используя это свойство и другие вспомогательные утверждения, доказывается теорема о мультипликативности, являющаяся основным результатом данной главы:

Теорема. Пусть отображения f-.x' -> г замкнуты и на них имеются т-направленные решетки L° =\va{syvp{s)a[syA(s\s&s > d~ открытых морфизмов на с-т-ограниченные отображения

4(5):4(5) Пусть отобРажения = /' х*. f':X[->Yt где х? замкнуты в Xs, замкнуты и относительно т-псевдокомпактны в fs,seS. Тогда произведение у; = ]~[/;s относиs €5 тельно т-псевдокомпактно в /= •

5 eS

Как следствие этой теоремы при т = а> мы получаем следующее утверждение.

Теорема 3.3. Пусть на замкнутых отображениях fs-.xs -> Y имеются счетнонаправленные решетки d-открытых морфизмов на обобщенно полные по Дьедонне отображения (в частности, на полные по Дьедонне или R-полные отображения), отображения f': х' Y,X[ с x\f* = /' v относительно псевдокомпактные в fs,seS. Тогда их произведение fx= fjy;5 относительно псевдоком eS пактно в /= Hfs. s<=S

Далее рассматриваются следствия теоремы о мультипликативности х-псевдокомпактности для пространств.

Так как любое пространство х можно рассматривать как непрерывное отображение f-.x-^Y в точку, причем наше отображение замкнуто и пространство Y = {y} локально бикомпактно, то теорема о мультипликативности легко переносится на случай пространств.

Определение. Множество ВаХ называется относительно т-псевдокомпактным в х, если для любой т-локальной открытой в х системы х имеем \st(x,B}<r.

При т = о) относительная т-псевдокомпактность множества в в тихоновском пространстве х равносильна его ограниченности, или относительной псевдокомпактности, т.е. ограниченности на в любой непрерывной функции <р:Х -> R.

Свойство 4.1. Если отображение г непрерывно и множество в относительно т-псевдокомпактно в х, то образ /(в) относительно т-псевдокомпактен в г.

Свойство 4.2. Если множество в относительно т-псевдокомпактно в I, то его замыкание [в] относительно т-псевдокомпактно в х.

Свойство 4.3. Если в является относительно т-псевдокомпактным подмножеством подпространства Y пространства х, то в является относительно т-псевдокомпактным в х.

Определение. Пространство х называется с-т-ограниченным, если замыкание любого его относительно т-псевдокомпактного подмножества бикомпактно.

Предложение 4.1. Класс с-т-ограниченных пространств мультипликативен.

Далее рассматриваются некоторые классы с-со-ограниченных пространств.

Определение. (Б.А. Пасынков). Тихоновское пространство х называется обобщенно полным по Дьедонне пространством, если для любой точки xej3x\x существует открытое локально конечное покрытие ю пространства х со свойством: xe(J\<о\рХ =У}\°]рх -Оесо\.

Предложение 4.2. Обобщенно полное по Дьедонне пространство с-со-ограничено. c-co-ограниченными пространствами являются также нормальное изокомпактное пространство, замкнутое подпространство произведения нормальных изокомпактных пространств, пространства, уплотняемые на метризуемые пространства [8].

Если н - допустимая подгруппа топологической группы G, то пространство G/н также с-со-ограничено.

В работе [15] Архангельского дается определение ц-пространства, которое совпадает с определением с-со-ограниченности пространства, и рассматриваются свойства таких пространств.

Таким образом, существует большое количество примеров с-ю-ограниченных пространств. Теорема о мультипликативности для ♦ пространств приобретает следующий вид:

Теорема 4.1. Если на пространствах x,seS имеются тнаправленные решетки cf-открытых отображений на с-т-ограниченные пространства, множества с относительно тпсевдокомпактны в I,se5, то множество с = e^J относительно т-псевдокомпактно в esj ([30]).

Теорема 4.2. Если на топологических пространствах х ,s eS s имеются счетнонаправленные решетки d-открытых отображений на с-со-ограниченные пространства, в частности, на

1. обобщенно полные по Дьедонне пространства;

2. полные по Дьедонне пространства;

3. нормальные изокомпактные пространства;

4. замкнутые подпространства нормальных изокомпактных пространств;

5. замкнутые подпространства нормальных слабо паракомпактных пространств;

6. пространства, уплотняемые на метризуемые пространства;

7. фактор-пространства топологических групп по допустимым подгруппам этих групп;

8. свободные топологические группы над ^-пространствами; множества с относительно псевдокомпактны в x,seS, то множество с = :s<=s\ относительно псевдокомпактно в

Следствие 4.1. ([16] Комфорт, Росс).

Произведение псевдокомпактных топологических групп является псевдокомпактной топологической группой.

Напомним (Успенский) [10], что топологическое пространство X называется d-пространством (соответственно, od-пространством), если существует проективная система ха,р^,а,/з топологических пространств и когерентное семейство непрерывных отображений Jр^.х^-х^ такие, что

1) все ра d-открыты (соответственно, открыты)

2) А полная решетка

3) если J3 qA,JS = sup В,х,у еХ, и Pa(x)=Pa(y) для всех аеВ, то Рр{х) = Рр{у) s s

4) топология пространства х инициальна ([10]) относительно семейства pa:aeAs, где а - множество тех индексов а еА, для которых пространство ха субметризуемо.

Следствие 4.2. ([10] В. В. Успенский) Произведение относительно псевдокомпактных подмножеств d-пространств относительно псевдокомпактно в произведении.

Замечание. Пункт 2 теоремы 2 был доказан М.Г. Ткаченко ([9]).

Таким образом, в работе проведен подробный анализ некоторых свойств непрерывных отображений: распространены на отображения такие важные свойства, как псевдокомпактность и счетная компактность (этому посвящены главы 1 и 2 данной работы); а также такое обобщение псевдокомпактности, как т-псевдокомпактность (этот аспект рассматривается в главе 3), ее мультипликативность и другие интересные свойства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Миронова, Юлия Николаевна, 2002 год

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

2. Архангельский В.В. О соотношениях между инвариантами топологических групп и их подпространств // УМН, т.35, вып. 3(213), 1980, с. 3-22.

3. Бузулина Т.И., Пасынков Б.А. О полных по Дьедонне отображениях // Геометрия погруженных многообразий. Межвузовский сборник научных трудов. М.: МГПИ, 1989, с. 95-99.

4. Вейль А. Интегрирование на топологических группах и его применение. М., 1950.

5. Ильина Н.И., Пасынков Б.А. Об R-полных отображениях // Геометрия погруженных многообразий. Межвузовский сборникнаучных трудов. М.: МГПИ, 1989, с. 125-131.

6. Пасынков Б.А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств // Отображения и функторы. М.: Изд-во МГУ, 1984, с. 72-102.

7. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М., 1973.

8. Ткаченко М.Г. Обобщение теоремы Комфорта-Росса // Укр. мат. жур., 1989, т.41, № 3, с. 377-382.

9. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М., Мир, 1975, т. i.

10. Шахматов Д.В. Замкнутые вложения в псевдокомпактные пространства с сохранением размерности. // Вестник МГУ, 1988, № 1, с. 69-71.

11. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

12. Arhangel'skii V.V. Free topological groups: the theory of present and problems // Бакинская междунар. топол. конференция, тезисы, Баку, 1987, с. 18.

13. W. Comfort and Kenneth A. Ross. Pseudocompactness and uniform continuity in topological groups. // Pacific journal of Mathematics. Vol. 16, No 3, 1966, p. 483-496.

14. Frechet M. Sur quelques points du calcul fonctoinnel. // Rend, del Circ. Mat. di Palermo. 22 (1906), p. 1-74.

15. Frolik Z. The topological product of countally compact spaces // Чехословацкий мат. журнал, т. 10(83), № 3, 1960, Прага, с.329-338.

16. Frolik Z. The topological product of two pseudocompact spaces // Чехословацкий мат. журнал, т. 10(83), № 3, 1960, Прага, с.339-349.

17. Heuitt A. Rings of real-valued continious functions. // Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948), p. 45-99.

18. Noble N. Countably compact and pseudocompact products. // Czechoslovac math. j. Vol. 19 (94), N 3, Praha, 1969.

19. Tamano H. A note of the pseudo-compactness of the product of two spaces. // Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A 33 (1960), p. 225-230.

20. Tkacenko M.G. Compactness type properties in topological groups // Czecchjslovak. Math. Journal 38(113), 1988, Praha, p. 324-341.

21. Tkacenko M.G. On topologies of free groups // Czecchoslovak Math. Journal, no.34(109), 1984, Praha, p. 541-551.

22. Tkacenko M.G. Some results on universe spectra II. // Comment. Math. Universitatis Carolina 22, 4 (1981), p. 812-841.

23. Миронова Ю.Н. Об одном обобщении теоремы Комфорта-Росса. // Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Лобачевского. Тезисы докладов. Часть 1. Минск, 1993, с. 65.

24. Миронова Ю.Н. Об эквивалентности двух определений псевдокомпактного отображения. // Топология. Алгебра. Информатика. Материалы исследований молодых ученых МПГУ. М., МПГУ, 1994, с. 8.

25. Миронова Ю.Н. О мультипликативности относительной псевдокомпактности. И Вестник МГУ, №6, 1994, сер. Математика, механика, с. 80.

26. Миронова Ю.Н. О совпадении псевдокомпактности и счетной компактности отображений. // III Международная конференция женщин-математиков. Тезисы докладов. Воронеж, 1995, с. 90.

27. Mironova J.N. On г-bounded subsets of topological spaces. // Труды Международного конгресса ассоциации "Женщины-математики". Москва-Пущино 30 мая 3 июня 1994 г., Волгоград, 1994, с. 103109.

28. Миронова Ю. Н. Мультипликативность относительной т-псевдокомпактности. // Общая топология. Отображения, произведения и размерность пространств. Изд-во МГУ, 1994, с. 77-82.

29. Миронова Ю. Н. Примеры псевдокомпактных отображений. // V Международная конференция женщин-математиков "Математика,экономика". 26 мая-1 июня 1997 г. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1997, с. 61.

30. Миронова Ю. Н. Свойства о-псевдокомпактных отображений. // Математика. Образование. Экономика. Тезисы докладов VI международной конференции женщин-математиков. Чебоксары, 25-30 мая 1998. Чебоксары, 1998, стр. 54.

31. Миронова Ю. Н. О т-псевдокомпактных отображениях. // Воронежская весенняя математическая школа. Понтрягинские чтения-IX. Тезисы докладов. Воронеж, 1998, стр. 140.

32. Миронова Ю. Н. О псевдокомпактных и счетно компактных отображениях. // Вестник МГУ, № 6, 1998, серия 1. Математика, механика, М., 1998, стр. 60.

33. Миронова Ю. Н. О псевдокомпактных отображениях. // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика, 2000, №3, М., 2000, стр. 71.

34. Миронова Ю. Н. О т-псевдокомпактных отображениях. // Сибирский математический журнал. Май-июнь 2001. Том 42, № 3. Новосибирск, 2001, стр. 634-644.

35. Миронова Ю.Н. Некоторые свойства счетной компактности объектов // Международная математическая конференция памяти Н. В. Ефимова. 5-11 сентября 1998 г. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, с. 109-111.

36. Миронова Ю.Н. О псевдокомпактных отображениях // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В Ефимова. Ростов-на-Дону, 2002, с. 57-59.

37. Миронова Ю.Н. О псевдокомпактных, счетно компактных, локально бикомпактных отображениях и k-отображениях // Сибирский математический журнал. Сентябрь-октябрь 2002. Том 43, №5. Новосибирск, 2002, с. 1115-1129.