Топологии раздельной непрерывности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Гриншпон, Яков Самуилович

• Гриншпон, Яков Самуилович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гриншпон, Яков Самуилович

Введение

Терминология и обозначения

1 Свойства типа компактности топологий раздельной непрерывности

§1. Локально крестовые и сильно локально крестовые множества.

§2. Свойства типа компактности.

§3. Финальная компактность и линделефовость.

§4. Полнота по Чеху.

2 Свойства типа нормальности для топологий раздельной непрерывности щ

§1. Необходимое условие нормальности.

§2. Достаточное условие свойств типа нормальности.

§3. Критерий нормальности

3 Топологии раздельной непрерывности на произведении ординалов

§1. Основные необходимые сведения об ординалах.

§2. Диагональ на квадрате отрезка ординалов.

§3. Свойства типа нормальности.

§4. Счетная слабая паракомпактность

Ф Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологии раздельной непрерывности»

При рассмотрении функций многих переменных в математическом анализе естественным образом возникает два понятия непрерывности: непрерывность по каждой из переменных в отдельности (раздельная непрерывность) и непрерывность по совокупности всех переменных (совместная непрерывность). Отметим, что оба этих понятия не требует наличия дополнительной структуры на области определения отображений, т.е. на декартовом произведении пространств. Действительно, пусть (Х,рх), (У, py) и (Z, pz) — метрические пространства. Тогда отображение / : X х У Z называют совместно непрерывным (раздельно непрерывным) тогда и только тогда, когда для любых элементов aG-ХиЬеУи любого положительного числа е существует положительное число 8 такое, что для всех элементов х € X и у € У, удовлетворяющих условиям рх(а,х) < 5 и ру(Ь,у) < 5, выполняется pz(f{^,y),f(a,b)) < е (,Pz(f(a,y),f(a,b)) <£npz(f(x,b),f(a,b)) <е).

При этом совместная непрерывность путем задания дополнительной структуры на произведении пространств сводится к обычному понятию непрерывности. В случае метрических пространств такой структурой является любая из эквивалентных Метрик РХхУ«®1,У1).(®2.&» = РХ(Х1,Х2)+ ру(УиУ2), Pxxy((si,l/i),(®2,lfe)) = mzx{px(xi,x2)] py(2/1,2/2)} или pxxY((^l) 2/i)i 2/2)) = \/Рх(хьх2)+Ру(УиУ2)- Эти метрики удовлетворяют условию: отображение / : (X, Рх)х (У, Py) (Z> Pz) совместно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / : (X х У, Pxxy) (Z, pz) непрерывно.

Однако в рамках теории метрических пространств оказывается невозможным таким же образом свести понятие раздельной непрерывности к обычному понятию непрерывности. Топологии же раздельной непрерывности позволяют изучать раздельно непрерывные отображения, заданные на произведении топологических пространств, как непрерывные отображения относительно этих новых топологий.

Для полноты изложения приведем определения топологий раздельной непрерывности X®Y и X®Y в той форме, которая будет использоваться в данной диссертации. Пусть X и У — топологические пространства. На их декартовом произведении X xY определяется топологическое пространство X ® Y следующим образом: множество G С X х Y открыто в X ® Y тогда и только тогда, когда для любых а £ X и Ь е У сечения Cfl* = {у G У; (а, у) G G} и G«b = {х е X; (х,Ъ) G G} открыты в пространствах Y и X соответственно.

Рассмотрим теперь семейство всех вполне регулярных топологий на множестве X х У, которые слабее топологии пространства X <8> У, и через X ® У обозначим множество X х У, наделенное слабейшей топологией, которая сильнее всех топологий из рассматриваемого семейства.

Основные характеристические свойства введенных топологий, оправдывающие используемые в диссертации названия "топология раздельной непрерывности"и "вполне регулярная топология раздельной непрерывности", формулируются следующим образом:

- для любых топологических пространств X, У и Z отображение / : X х У Z раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / : X ® У Z непрерывно;

-для любых вполне регулярных пространств X, У и Z пространство X®Y вполне регулярно и отображение / : X х У —» Z раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / : X ® У Z непрерывно.

Топологии раздельной непрерывности исследовались крайне мало. Топология пространства X&Y приводится в качестве примера топологии, которую можно определить на произведении любых топологических пространств (или даже более общих пространств замыканий) в таких книгах, как [13] (под названием тензорное произведение) и [8] (под названием индуктивное произведение). Многие основные факты о пространстве X ® Y были доказаны в [16] и [12], в частности, было показано, что в ряде случаев пространство X <S> У не является регулярным.

Попытка же изучения топологии пространства X ® Y была предпринята только в одной работе [17], однако сами авторы работы отмечают, что полученные ими результаты носят фрагментарный характер, что, в первую очередь, связано с тем, что для пространства X ® Y, в отличие от пространства X ® Y, не удалось найти адекватного описания окрестности точки. Достаточно полное описание свойств пространства X ® Y получено ими лишь в том случае, когда X ® Y = X <g> Y. Таким образом, даже пространства R ® aN и R ® R оказались практически не изученными.

Топологии раздельной непрерывности позволяют индуцировать на подмножество Е С X х Y три различные топологии ЕХху, Ex®y и Ex^y- Изучение пространств Ех®у и Ех^у вызывает еще большие затруднения, чем изучение содержащих их пространств X®Y и X®Y. Связано это с тем, что топологии подпространств зависят от того, в какие произведения они вложены, т.е. если Е С {Xi х Yi) П х У^), то могут выполняться неравенства Exl®yi Ф EX2®y2 и Ф ^x2®y2- Более того, существуют даже сепарабельные метрические пространства Х^ С Х\ и Уг С Yi, для которых топологии Х2 ® Yi и Х2 ® Y2 не совпадают с топологиями, наследуемыми из пространств Xi ® Yi и Х\ ® Yi соответственно ([16], 2.1; [17], 6.5).

Очевидно, что пространства X ® Y и X ® Y существенно различны по своим свойствам (конструктивный пример, различающий топологии раздельной непрерывности (т.е. множество, открытое в одной топологии и не открытое в другой), был построен в [26]) и что более интересной с точки зрения дальнейших приложений является вполне регулярная топология раздельной непрерывности. Действительно, пространства непрерывных вещественнозначных функций практически всегда строятся только для вполне регулярных пространств ([3]). Следовательно, для адаптации Cp-теории для изучения пространств раздельно непрерывных функций (см., например, [11]) необходимо, чтобы пространство, относительно которого раздельная непрерывность превращается в непрерывность, было вполне регулярным. Поэтому основные результаты диссертации посвящены пространствам вида X <g> У. Пространство же X ® У изучено лишь в тех случаях, когда его свойства в некоторой степени совпадают со свойствами пространства X ® У.

В первой главе диссертации исследуются свойства типа компактности топологий раздельной непрерывности. Для описания этих свойств в первом параграфе вводятся понятия локально крестовых и сильно локально крестовых множеств, т.е. подмножеств декартового произведения X х У, которые в некотором смысле сосредоточены на подпространствах вида {а} х У и X х {6}.

Для любых точек а е X и b 6 Y обозначим cross(a,b) = {(а,у); у £ Y} U {(х, 6); х € X}. Множество Е С XxY назовем локально крестовым (сильно локально крестовым) в XxY, если у каждой точки (a,b) € Е ( (а,Ь) € X х Y ) существует окрестность U в пространстве Ex%y {х х у) такая, что U С cross (а, Ь) (и П Е С cross(а,Ь)).

Основным результатом первого параграфа является теорема

Теорема 1.1.6. Пусть X uY — вполне регулярные пространства, Е С X х У и Exxy — пространство Фреше-Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ех®у = ~ Exxy;

EX®Y = Exxy!

3) E — локально крестовое множество.

Теорема 1.1.6 фактически утверждает, что индуцированные из произведений XxY,X®YnX<g)Y топологии совпадают достаточно редко, а именно, только на локально крестовых подмножествах. Отметим, что для сильно локально крестовых множеств аналогичный результат верен и для замыкания множества Е (теорема 1.1.10).

Во втором параграфе сформулирован критерий, полностью описывающий компактные, счетно компактные, секвенциально компактные и псевдокомпактные подпространства в топологиях раздельной непрерывности в том случае, когда данное подпространство является наследственно нормальным в стандартной топологии произведения. Отметим, что ранее был известен только критерий счетной компактности для пространства X ® Y ([16], 4.3).

Теорема 1.2.3. Пусть X uY — вполне регулярные пространства, Е С X х Y и Exxy ~ наследственно нормальное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ex®y — компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

2) EXqY ~~ компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство ;

3) Exxy — компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и Е — сильно локально крестовое множество в X х Y;

4) Exxy — компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и Е — локально крестовое множество;

5) Exxy ~ компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и существует конечный набор точек п ci, di), (с2, d2),(cn, dn)} С Е такой, что Е = |J cross (с^, dk); k=l

6) EXxy представимо в виде конечного объединения пространств, гомеоморф-пых компактным (счетно компактным, секвенциально компактным, псевдокомпактным) подпространствам пространств X и Y.

Из этого результата вытекает, что топологии раздельной непрерывности только в тривиальном случае, когда одно из сомножителей конечен, обладают свойствами типа компактности (следствие 1.2.4).

Также в качестве интересного следствия, выделим результат 1.2.7, показывающий, что компактность в пространстве Rn ® Rm можно описать в терминах, не зависящих от рассматриваемой на произведении топологии.

Результаты второго параграфа позволили построить примеры нерегулярных и регулярных не нормальных пространств (например, R®RhR®R),b которых совпадают все понятия типа компактности (следствие 1.2.6).

Также отметим, что некоторые аналогичные результаты верны и для пространства X <g> Y (теорема 1.2.8 и следствие 1.2.9).

Так как топологии раздельной непрерывности практически никогда не обладают свойствами типа компактности, то естественно попытаться ослабить данные свойства, например, до линделефовости или полноты по Чеху. В третьем параграфе показано, что если один из сомножителей X уплотняется в другой сомножитель У, то пространство X&Y линделефово в том и только в том случае, когда пространство X счетно, a Y линделефово (теорема 1.3.7). Аналогичный результат получен в четвертом параграфе и для полных по Чеху произведений: пространство X ® Y полно по Чеху тогда и только тогда, когда одно из пространств X или Y дискретно, а второе — полно по Чеху (теорема 1.4.4).

Следующим шагом в исследовании топологий раздельной непрерывности является дальнейшее ослабление свойств типа компактности и рассмотрение свойств типа нормальности. Действительно, так как топология пространства X ® Y всегда удовлетворяет аксиоме Тц, и, учитывая, что именно аксиомы отделимости сыграли определяющую роль в ограничении применения пространства X <g> Y, логично провести исследование, в каких случаях пространство X ® Y удовлетворяет следующей аксиоме Т4. Таким образом, для пространства X ® Y совершенно естественно ставится вопрос о нормальности и ее усилениях вида коллективной или наследственной нормальности. Ответ на этот вопрос для достаточно широкого класса пространств получен во второй главе.

Первый параграф второй главы посвящен нахождению необходимого условия нормальности пространства X ® У. Для формулировки этого условия мы вводим понятие F-уплотнения, как непрерывного отображения с конечными прообразами точек, и говорим, что пространство X F-уплотняется в пространство Y, если существует F-уплотнение / : X У.

Теорема 2.1.3. Пусть пространство X содержит полное по Чеху неразреженное подпространство, которое F-уплотняется в пространство У, и пусть пространство XxY является совершенно нормальным. Тогда пространство X<&Y не является нормальным.

Данная теорема кроме известных примеров ненормальных пространств вида R ® R, [0; 1] <g> R или [0; 1] ® [0; 1] ([17]) позволяет приводить и новые примеры. В частности, пространство A®R, где А — это пространство "двух стрелок", не обладает свойством нормальности (пример 2.1.7). Таким образом, свойство нормальности является заметно более редким для топологий раздельной непрерывности по сравнению со стандартной топологией произведения.

Также отметим, что, очевидным образом, для вполне регулярной топологии раздельной непрерывности не имеет места аналог знаменитой теоремы Даукера: произведение X х [0; 1] является нормальным тогда и только тогда, когда X — нормальное счетно паракомпактное пространство. Однако, если заменить в формулировке теоремы Даукера отрезок на сходящуюся последовательность с пределом, то необходимое условие этой теоремы оказывается верным и в случае топологии раздельной непрерывности (теорема 2.1.9).

Во втором параграфе вводится понятие согласованной топологии (определение 2.2.1), которое включает в себя все рассматриваемые топологии на декартовом произведении топологических пространств и, тем самым, дает возможность доказывать результаты, общие для пространств X ®Y, X ®Y и X xY.

Главным результатом второго параграфа являются достаточное условие коллективной нормальности вполне регулярной топологии раздельной непрерывности.

Теорема 2.2.10. Пусть X — разреженный наследственный паракомпакт, У — паракомпакт. Тогда пространство X ®Y коллективно нормально.

Отметим, что ранее достаточные условия нормальности (а точнее, паракомпактности) пространства X О У были получены только в случае локальной счетности одного из сомножителей X и Y ([17], 7.5).

Результаты, изложенные в первом и втором параграфах второй главы, приводят к формулировке одного из наиболее важных свойств, описывающих нормальность пространства X <g> У, а именно, критерия нормальности для некоторого класса пространств, включающего в себя, в частности, все полные метрические пространства.

Теорема 2.3.1. Пусть пространство X х Y является совершенно нормальным, и пусть полный по Чеху наследственный паракомпакт X F-уплотняется в пара-компактное пространство Y. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X ®Y — нормальное пространство;

2) X — разреженное пространство;

3) пространство X не содержит подмножеств, совершенно отображающихся на отрезок [0; 1].

Фактически первые две главы показывают, что топологии раздельной непрерывности, к сожалению, крайне редко обладают хорошими свойствами типа компактности или нормальности. Наиболее ярко сильная несовместимость топологий раздельной непрерывности и различных видов компактности и нормальности видна при рассмотрении квадратов топологических пространств:

Эквивалентные свойства для пространств X 0 X и X

Х®Х X Результат

Компактность Конечность Следствие 1.2.5

Счетная компактность Конечность Следствие 1.2.5

Секвенциальная компактность Конечность Следствие 1.2.5

Псевдокомпактность Конечность Следствие 1.2.5

Линделефовость Счетность Следствие 1.3.8

Полнота по Чеху Дискретность Следствие 1.4.5

Нормальность Разреженность Следствие 2.3.3 в предположении наследственной нормальности пространства X х X со стандартной топологией произведения, а нормальность — в предположении полноты по Чеху и паракомпактности пространства X и совершенной нормальности пространства X х

X)

Третья глава посвящено изучению топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов. В первом параграфе приведены без доказательств необходимые сведения из теории ординалов, а во втором параграфе дано полное описание топологии, индуцированной на диагональ {(а, а); а < Л} из пространства [0; А) ® [0; Л) (теорема 3.2.2). Отметим, что проблема описания диагонали в пространствах вида X ® X поставлена в разделе б статьи [17], где она решена только в предположении наследственной нормальности пространства X х X. Также во втором параграфе дано частичное описание окрестностей множеств вида {(а, а); а € 5}, где S — стационарное множество (предложение 3.2.6). Эти описания понадобятся нам при исследовании нормальности и счетной паракомпактности произведений ординалов.

Третий параграф посвящен изучению свойств типа нормальности для пространств вида [0; Л) ® [0; /i) и [0; А) <8> [0; ц). Пространства ординалов являются одним из наиболее простых примеров непаракомпактных пространств, поэтому исследование свойств типа нормальности топологий раздельной непрерывности на их произведении вызывает большой интерес с точки зрения сравнения их с паракомпактных случаем, рассмотренным во второй главе диссертации. Также интересно сравнение стандартной топологии произведения и топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов, так как полученные во второй главе результаты утверждали совпадение этих свойств для паракомпактных разреженных пространств.

Как показывает теорема 3.3.2, несмотря на то, что ординалы являются разреженными пространствами, свойство нормальности для пространств вида [0; А) <8> [0; /х) и [0; А) х [0;р) различны (например, пространство [Ojwj) х [0;o>i) нормально, а пространство [0; Wi) ® [0; Ui) не нормально). Автор не знает, существует ли обратный пример нормального пространства X ® Y и не нормального пространства X х Y. Известные примеры ненормальных произведений ординалов со стандартной топологией (например, [0;wi) х [0;wi]) остаются ненормальными и в случае топологий

раздельной непрерывности (теорема 3.3.1).

Также отличаются свойства типа нормальности для произведений подпространств пространств ординалов. Это видно из следующего критерия нормальности:

Теорема 3.3.3. Пусть А С [0;o;i) и В С [0; wi). Тогда пространство А® В является нормальным тогда и только тогда, хотя бы одно из множеств А или В нестационарно.

Достаточное же условие нормальности (а точнее, даже коллективной нормальности) для произведения ординалов оказывается верным только в случае счетности одного из сомножителей. Отметим, что доказать достаточное условие коллективной нормальности для пространства [0; Л) ® [0; ц), которое сильнее соответствующего достаточного условия для пространства [0; А) ® [0; ц), оказалось возможным благодаря введенному во второй главе диссертации понятию согласованной топологии.

Теорема 3.3.4. Пусть А — ординал и 5 — счетный ординал. Тогда пространство [0; А) ® [0; S) является коллективно нормальным.

Наиболее выразительно соответствие между нормальностью топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов и счетностью сомножителя проявляется при рассмотрении в качестве одного из сомножителей ординала В этом случае пространства [0; wi) <g> [0; А) и [0; toi) ® [0; А) нормальны тогда и только тогда, когда ординал А счетен (следствие 3.3.б).

Отметим также, что из результатов второй и третьей глав вытекает, что класс пространств X, для которых произведение X ® aN нормально (такие пространства мы называем раздельно непрерывными пространства Даукера), строго уже класса непаракомпактных пространств и шире класса нормальных не счетно параком-пактных пространств (следствие 3.3.7). Совпадает ли данный класс, как в случае стандартной топологии произведения, с нормальными не счетно паракомпактными пространствами, автору неизвестно.

При рассмотрении же такого свойства типа нормальности, как наследственная нормальность, выяснилось, что пространства [0; А) ® [0; /х) и [0; А) <Э [0; ц) наследственно нормальны фактически только в тривиальном случае счетности обоих сомножителей Ли ц (теорема 3.3.8).

В четвертом параграфе проведено исследование счетной слабой паракомпактности пространства [0; Л) ® [0Основным результатом является

Теорема 3.4.2. Пусть А — ординал и 8 — счетный ординал. Тогда пространство [0; А) ® [0; 8) = [0; А) <Э [0; 8) является наследственно счетно слабо паракомпактным.

Как следствие, получаем, что пространство [0; А)®[0; <5), где 8 — счетный ординал, является нормальным и счетно паракомпактным (следствие 3.4.2).

В качестве же примера не счетно слабо паракомпактного пространства можно привести произведение [0;o>i) <8> [0; cji) (теорема 3.4.5). Однако, интересно заметить, что в этом пространстве существует достаточно большое наследственно счетно слабо паракомпактное подпространство [0;wi) ® [0;wi))\{{a, а); а < и>\} (теорема 3.4.14).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С. П. Гулько за постановку задач и плодотворное обсуждение результатов.

Терминология и обозначения

Все рассматриваемые ниже топологические пространства предполагаются хаусдор-фовыми. Если же топологическое пространство должно удовлетворять более сильным аксиомам отделимости (в частности, вполне регулярность), то это условие указывается в каждом случае отдельно.

Для любых множеств X и У через X х Y будем обозначать их декартовое произведение, т.е. множество упорядоченных вида (х,у), где х G X и у € Y. Если, кроме того, на множествах X и Y задана некоторая топология, то, употребляя обозначение X х Y, будем подразумевать, что это декартово произведение наделено стандартной топологией произведения.

Для топологических пространств X и У на множестве X х У также будем рассматривать определенное в [16] топологическое пространство Х®У, т.е. пространство с топологией раздельной непрерывности. Если же пространства X и У являются вполне регулярными, то на множестве X х У может быть задано еще одно топологическое пространство X <g> У, т.е. пространство с вполне регулярной топологией раздельной непрерывности ([17]).

Для любого подмножества Е С XxY через Exxy> Ex®y и Ex^y будем обозначать подпространства в соответствующих пространствах Хх У, X&Y и X®Y. Кроме того,

- -рхху -=х®y будем использовать индексы у знака замыкания, например, Е ,Е и Е , для указания топологии, относительно которой производится операция замыкания.

Если X и У — произвольные множества, а€Х, Ь eY п Е С X xY, то сечения множества Е по первой координате а или по второй координате Ь будем записывать следующим образом: Е$а = {у е Y; (а,у) Е Е} или Е*ь = {j G I; (х,6) 6 Е}. Символом cross(a, b) будем обозначать крест точки (а, Ь), т.е. множество {(а, у); у 6 Y}U{{x,b); хеХ).

В определении различных классов топологических пространств мы следует книге Р. Энгелькинга [7]. Для произвольного топологического пространства X и ординала а через X^ обозначается производное множество порядка а. Если X разреженное, то для него существует высота разреженности ht(X) = min{a; Х^ = 0}.

Для стандартных топологических пространств используем следующие обозначения: R — пространство действительных чисел; Q — пространство рациональных чисел; А — "две стрелки"; N — пространство натуральных чисел; аГ = Г U {оо} и ДГ = Г U {оо} — одноточечные компактификация и линделефикация соответственно дискретного пространства Г, в частности, aN = {1,2,, оо} — одноточечная компактификация счетного дискретного пространства.

Ординалы обозначаем греческими буквами и наименьшим ординалом считаем нуль, таким образом, {п; п < а>} = NU {0}. Для начальных ординалов будем применять символ и>а, где а — индекс данного ординала ([5]), в частности, ш = щ — первый бесконечный ординал, uii — первый несчетный ординал.

Для упорядоченных пространств будем употреблять стандартные обозначения для открытых, полуоткрытых и замкнутых интервалов вида (а;/3), [а;/?], [а;/?) и а; Д.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гриншпон, Яков Самуилович, 2006 год

1. Справочная книга по математической логике. Часть И. Теория множеств. / под ред. Дж. Барвайса. — М.: Наука, 1982. — 375 с.

2. Александров П. С., Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. — М.: Наука, 1971. — 144 с.

3. Архангельский А. В. Топологические пространства функций. М.: Издательство Московского университета, 1989. — 223 с.

4. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей то-пологиии. Функциональные пространства. — М. Наука, 1975. — 408 с.

5. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. — 416 с.

6. Чобан М.М., Додон Н.К. Теория ^-разреженных пространств. — Кишинев: "Штиница", 1979.-99 с.

7. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 751 с.

8. Cech Е. Topological spaces. — Prague: Academia, 1966. — 893 p.

9. Corson H. Normality in subsets of product spaces. // American Journal of Mathematics. 1959. - № 81. - P. 785-196.

10. Dowker C.H. On countably paracompact spaces. // Canadian Journal of Mathematics. 1951. - № 3. - P. 219-224.

11. Gul'ko S.P., Sokolov G. A. Compact spaces of separately continuous functions in two variables. // Topology and its Applications. 2000. - Vol. 107. - P. 89-96.

12. Hart J.E., Kunen K. On the regularity of the topology of separate continuity. // Topology and its Applications. 2002. - № 123. - P. 103-123.

13. Isbell J. R. Uniform spaces. Mathematical Surveys, 12. — American Mathematical Society, 1964.

14. Kemoto N., Ohta H., Tamano K. Products of spaces of ordinal numbers, // Topology and its Applications. 1992. - № 45. - P. 119-130.

15. Kemoto N., Smith K.D. The product of of two ordinals is hereditarily countably metacompact. // Topology and its Applications. — 1996. — № 74. — P. 91-96.

16. Knight C.J., Moran W., Pym J.S. The topologies of separate continuity. I. J J Proceedings of Cambridge Philosophy Society. 1970. - № 68. - P. 663-671.

17. Knight C.J., Moran W., Pym J.S. The topologies of separate continuity. II. // Proceedings of Cambridge Philosophy Society. 1972. - № 71. - P. 307-319.

18. Maslyuchenko V.K., Maslyuchenko O.V., Mykhaylyuk V.V., Sobchuk O.V. Paracompactness and separately continuous mappings. // General Topology in Banach Spaces. Nova Sci. Publ., Huntington, N.Y, - 2001. - P. 147-169,

19. Morita K. Products of normal spaces with metric spaces. // Mathematika Annalen. 1964. - № 154. - P. 365-382.

20. Rudin M.E. A normal space X for which X x I is not normal. // Fundamenta Mathematica. 1971. - № 73. - p. 179-186.

21. Гриншпон Я. С. Критерий компактности в топологиях раздельной непрерывности. // Международная конференция по математике и механике. Тезисы докладов. — Томск: Изд-во Томского университета, 2003. — С. 64.

22. Гриншпон Я. С. Компактность в топологиях раздельной непрерывности. // Международная конференция по математике и механике. Избранные доклады. — Томск: Изд-во Томского университета, 2003. — С. 50-54.

23. Гриншпон Я. С. Нормальность вполне регулярной топологии раздельной непрерывности. // Вестник Томского государственного университета. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика". — Томск: Изд-во Томского университета, 2003. № 280. - С. 27-30.

24. Гриншпон Я. С. Локально крестовые множества в топологиях раздельной непрерывности. // Вестник Томского государственного университета. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика". — Томск: Изд-во Томского университета, 2005. № 290. - С. 18-23.

25. Гриншпон Я. С. Счетная паракомпактность топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов. // Труды XVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. — М.: Изд-во Московского университета, 2006. С. 26-30.

26. Grinshpon Ya. S. Criterion of normality of the completely regular topology of separate continuity. // Serdica Mathematical Journal. 2006. - № 32. - P. 57-62.