Индикаторные характеризации некоторых свойств многообразий ассоциативных колен тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Пайсон, Ольга Борисовна

• Пайсон, Ольга Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пайсон, Ольга Борисовна

Содержание

Введение

1. Некоторые обобщения коммутативности

1. Почти энгелевы многообразия алгебр

2. Почти перестановочные многообразия,

не порождаемые конечной алгеброй

3. Кроссовы почти перестановочные многообразия. Псевдомногообразие ф/гп

4. Индикаторные характеризации и алгоритмы

распознавания свойств энгелевости и перестановочности

2. Финитная отделимость

в многообразиях колец

5. Глобальная отделимость

6. Локальная отделимость

7. Следствия

8. Доказательство теоремы 8.1

3. Многообразия, все критические кольца

которых являются арифметическими

9. Доказательство теоремы 9.1

10. Эффективность теоремы 9.1

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Индикаторные характеризации некоторых свойств многообразий ассоциативных колен»

Введение

0.1. Индикаторные характеризации. Почти в-многообразия

С развитием теории многообразий все чаще наряду с вопросом что изучать, стал подниматься и вопрос о том, как это делать. Осознание особой роли различного рода минимальных контрпримеров и сложности, стремительно нарастающие по мере углубления в "конкретные" многообразия, привели к новой концепции, образно и ёмко сформулированной в известном обзоре Ю. А. Бахтурина и А. Ю. Ольшанского "Тождества":

"Картина безбрежного моря многообразий алгебр с отдельными островами важных примеров заставляет думать, что правильно поставленные задачи о свойствах многообразий и тождествах алгебр чаще должны вести к поиску многообразий и тождеств, экстремальных относительно естественных алгебраических свойств, нежели к описанию решеток всех подмногообразий."

Поиск таких экстремальных многообразий и контрпримеров в свою очередь весьма часто приводит к появлению индикаторных характеризаций. Под индикаторной характеризацией многообразий, удовлетворяющих некоторому свойству 0, мы, следуя Л. Н. Шеврину (см. §0 обзора [42]), понимаем утверждения типа:

Многообразие обладает свойством 9 тогда и только тогда, когда не содержит ни одной из алгебр1 Аг,....

Конечно же, нас интересуют только нетривиальные описания подобного сорта. Естественно, например, стремиться к отысканию индикаторных характеризаций, в которых ни одна из "запрещенных" алгебр А\. А2,... не может быть отброшена или заменена алгеброй меньшей мощности. Подобные характеризации будем называть минимальными.

Плюсы индикаторных описаний ярко проявляются, например, при алгоритмическом подходе, влияние которого на теоретическую алгебру, и в частности, теорию многообразий, заметно возросло в последнее десятилетие (подробно об этом рассказывается в фундаментальном обзоре М. В. Сапира и О. Г. Харлампо-вич "Алгоритмические проблемы в многообразиях", см. [45]). Алгоритмический подтекст заставляет интересоваться не только описаниями изучаемого свойства, но и возможностью эффективно проверять, удовлетворяет ли произвольное многообразие этому свойству.

Предположим, что для свойства в найдена минимальная индикаторная ха-рактеризация. Мы хотим построить алгоритм, который по произвольному многообразию Ш проверяет, удовлетворяет ли оно свойству 0. (Для удобства много-

1 Здесь и далее в тексте, чтобы избежать разночтений, слово "алгебра" употребляется в одном смысле — "ассоциативная алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей" , а слово "кольцо" всегда означает "ассоциативное кольцо". Тем не менее, большинство понятий и подходов, обсуждаемых во введении, естественным образом переносится на случай алгебр в самом широком смысле.

образия, обладающие свойством, будем называть 9-многообразиями, а не обладающие— не 9 -многообразиями.) Конечно, должно быть задано эффективно. Возможны два основных способа такого эффективного задания:

1) Ш порождено конечной алгеброй А;

2) задается конечным набором тождеств £.

Легко видеть, что если = мат А (т.е. использован первый способ задания), достаточно проверить, лежат ли в конечные запрещенные алгебры. При этом, поскольку каждые две различные запрещенные алгебры порождают различные многообразия (характеризадия минимальна), а в Ш конечное число подмногообразий (см. [23]), то и проверять нужно лишь конечное число запрещенных алгебр. Какие именно, обычно нетрудно установить, используя характеристики А (порядок, экспоненту и т.д.). Ясно, что проверка, лежит ли в 5) конечное число конечных алгебр, может быть осуществлена эффективно.

Рассмотрим теперь задачу, когда проверяемые многообразия задаются вторым способом. В этом случае доказательство того, что Ш является ^-многообразием, превращается в почти рутинное. Достаточно убедиться, что ни одна из алгебр А\, Аг,... не удовлетворяет системе тождеств Е. Весьма часто (а точнее, нам не известен пример индикаторной характеризации, когда бы это было не так) подобная проверка осуществляется эффективно.

Отметим, что картина несколько меняется, если для 9 найдена не индикаторная, а скажем, эквационалъноя характеризадия, т.е. описание этого свойства на "языке тождеств". В этом случае получение на основе характеризации требуемого алгоритма — задача, как правило, нетривиальная. Например, если проверяемое многообразие Ш задается конечным набором тождеств Е, то при построении алгоритма мы по сути сталкиваемся с проблемой разрешимости эквациональной теории многообразия ЯЗ. В случае ассоциативных колец эта проблема до сих пор открыта, т.е. неизвестно, существует или нет алгоритм, который по заданному многочлену / и конечной системе тождеств Е определяет, является ли тождество / = 0 следствием тождеств из Е.

Рассмотрим одну из наиболее естественных стратегий, приводящую к появлению индикаторных характеризаций. Она связана с поиском почти-9-многообразий. Многообразие 93 будем называть почти- 0-многообразием, если оно само не удовлетворяет свойству 9, в то время как любое его собственное подмногообразие этим свойством обладает. Другими словами, такие многообразие — в точности минимальные (относительно включения) элементы в множестве не- 9 -многообразий.

Пусть 9 — наследственное свойство, т.е. такое, что все подмногообразия любого в-многообразия — также ^-многообразия. Тогда решетку всех многообразий можно изобразить следующим образом:

почти 9 -многообразия

не 9 -многообразия

О -многообразия

Почти-9 -многообразия играют здесь роль минимальных контрпримеров, и любая информация о них оказывается чрезвычайно полезной. Но наибольшую ценность эта информация приобретает в случае, когда каждое не- 0-многообразие содержит почти 9-многообразие. Так происходит, например, если каждое 9-многообразие лежит в каком-нибудь конечнобазируемом ¿/-многообразии. Действительно, из коалгебраичности решетки многообразий немедленно вытекает, что полурешетка N0 удовлетворяет лемме Цорна "вниз", а значит, каждое не-9-многообразие содержит почти ^-многообразие. В этой ситуации наше свойство обладает индикаторной характеризацией — достаточно в качестве "запрещенных алгебр" взять порождающие алгебры почти в -многообразий. Легко видеть, что такая характеризация будет минимальной. Нетрудно убедиться и в обратном — если Ах, А2,... — запрещенные алгебры из минимального индикаторного описания, то многообразия уаг А1, уаг А2,... и только они, являются почти 9-многообразиями. Отметим, в частности, что такая тесная связь между индикаторными характеризациями и почти 9-многообразиями существует для всех свойств, изучаемых в данной работе.

В следующем разделе мы продемонстрируем, что такой подход неоднократно и весьма успешно реализовывался в теории многообразий.

0.2. Обсуждение проблематики. Постановка задач

По-видимому, одним из первых результатов, содержащих индикаторную ха-рактеризацию, стала работа И. В. Львова [24]. В ней найдено описание почти кроссовых многообразий колец. Напомним, что многообразие называется кроссовым., если оно локально конечно, конечнобазируемо и содержит лишь конечное число подмногообразий. Согласно теореме Львова-Крузе (см.[23] и [47]) многообразие колец является кроссовым тогда и только тогда, когда оно порождено конечным кольцом. Такие многообразия задаются двумя тождествами специального вида. Как уже отмечалось выше, в этом случае описание почти кроссовых многообразий по сути является индикаторной характеризацией для свойства 9 — быть кроссовым многообразием. Из найденного описания, в частности,

вытекает, что кроссовы многообразия и только они имеют конечную решетку подмногообразий.

Аналогичный подход применялся и для исследования других свойств, выражаемых на языке решетки подмногообразий. Речь идет прежде всего об изучении цепных и дистрибутивных многообразий. В. А. Артамоновым в [2] получено описание цепных (т.е обладающих цепной решеткой подмногообразий) многообразий алгебр над нетеровым коммутативным кольцом с единицей. Индикаторная характеризация, а точнее, список почти цепных многообразий колец найден М. В. Волковым и Б. М. Берниковым в [3]. Здесь же было продемонстрировано, что произвольное многообразие с нецепной решеткой подмногообразий содержит некоторое почти цепное подмногообразие. Аналогичное утверждение для дистрибутивных многообразий колец доказано в [58]. В данный момент известны 5 счетных серий почти дистрибутивных многообразий колец и высказана гипотеза, что они составляют полный список почти дистрибутивных многообразий колец (см.[6]). В случае же алгебр над полем нулевой характеристики существует ровно одно такое многообразие (см. [32]).

Язык "запрещенных алгебр" активно используется и при описании классов с различными разрешимыми алгоритмическими проблемами. Именно на этом языке А. П. Замятин охарактеризовал многообразия колец с разрешимой элементарной теорией и многообразия, класс конечных колец которых обладает разрешимой элементарной теорией (см. [11]). Поиск индикаторных характеризаций ведется и для других классов, например, для многообразий колец с разрешимой проблемой равенства слов (см. [40], [41], вопрос 3.73 из [10]).

Большое число индикаторных характеризаций появилось в связи с изучением наиболее известных и естественных тождеств, таких как тождество нильпотентности, коммутативности, энгелевости и некоторых других. Пионерской работой и в этом направлении послужила уже упоминавшаяся статья [24]. В ней описаны почти нильпотентные многообразия алгебр над произвольным коммутативным кольцом с единицей.

Почти коммутативные многообразия колец подробно изучались Ю. Н. Мальцевым. В частности, оказалось, что каждое такое многообразие порождено конечным кольцом. В [30] получено полное описание ненильпотентных почти коммутативных многообразий колец. Позже оно было перенесено на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом Джекобсона. с единицей, (см. [48]). Нильпотентные же почти коммутативные многообразия, как выяснилось, достаточно сложно устроены. Их специфика была выявлена и исследовалась в [30], [48], [31], [13], [39], [54]. Найдено множество примеров, накоплена содержательная информация о строении алгебр, их порождающих. Несмотря на это, задача полного описания таких многообразий открыта до сих пор и представляется весьма трудной. Тем не менее, и мы постараемся это продемонстрировать, данная характеризация часто оказывается очень эффективной.

С этих же позиций исследовалось другое свойство, близкое к коммутативности, — энгелевость. Напомним, что кольцо или многообразие называется энгелевым, если оно удовлетворяет некоторому тождеству Энгеля, т.е. тождеству вида [ж, у,..., у) = 0. По-видимому, впервые в теории ассоциативных колец

такие тождества были рассмотрены Дженнингсом в [43] и [44]. Одно из направлений, где весьма часто фигурируют тождества Энгеля, — задачи бернсайдовского типа (см. [15], [14], [19], [57]). Кроме того, в случае алгебр над полем характеристики 0, наличие энгелева тождества эквивалентно локальной левой и правой нетеровости многообразия ([29], [38]).

Описание почти энгелевых многообразий алгебр над полем характеристики О получено Ю. Н. Мальцевым в [29]. В других случаях дела с таким описанием обстояли не столь благополучно. Почти энгелевы многообразия алгебр над полем положительной характеристики, по-видимому, не исследовались вообще. Случай колец рассматривался в [33]. Там доказано, что локально конечные почти энгелевы многообразия колец суть в точности ненильпотентные почти коммутативные многообразия. Вопрос о существовании других почти энгелевых многообразий, а тем более о полном их описании, оставался открытым. Сформулируем перечисленные проблемы в явном виде

Задача 1. Описать почти энгелевы многообразия алгебр над полем положительной характеристики.

Задача 2. ([10], вопрос 3.53) Описать почти энгелевы многообразия колец.

Еще один класс многообразий, для которых была реализована подобная схема, — многообразия, в каждом из которых выполняется какое-нибудь полугрупповое тождество, т.е. тождество вида и = V [и, V — произвольные слова). Этот класс подробно изучался в [9]. В частности, было найдено индикаторное описание таких многообразий алгебр над полем характеристики 0. Для алгебр над бесконечным полем положительной характеристики подобные многообразия охарактеризованы в [56], но их индикаторное описание пока не найдено. В случае же алгебр над конечным полем такие многообразия не изучались вообще.

Легко видеть, что и тождество нильпотентности, и тождество коммутативности являются специфическими полугрупповыми тождествами. Помимо них на языке "запрещенных" алгебр были охарактеризованы периодические многообразия колец, т.е. многообразия, удовлетворяющие тождествам вида хк = х! (к < I) (см. [4]).

"За кадром" оставалось давно известное и одно из наиболее естественных полугрупповых тождеств. Мы имеем в виду тождество перестановочности. Многообразие или кольцо будем называть перестановочным, если оно удовлетворяет некоторому тождеству вида

Х\Х2 ' " " Хп — Ж1<т®2<т " " ' ®п<т?

где п — произвольное натуральное число, а а — нетривиальная перестановка множества {1,2, ...,п}. Тождества такого вида (их обычно называют перестановочными) начали изучаться в теории полугрупп в конце пятидесятых годов [59]; в теорий колец их впервые рассмотрел, по-видимому, В. Н. Латышев в [21]. Им доказана шпехтовость любого перестановочного многообразия

алгебр над полем характеристики 0. Позже этот результат был обобщен на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом с единицей (см. [17]). Помимо комбинаторных рассмотрений, перестановочные тождества играют заметную роль и при изучении структурных аспектов теории колец (см., например, [53]). Мы интересуемся полным описанием перестановочных многообразий на языке запрещенных алгебр.

Задача 3. Описать почти перестановочные многообразия алгебр над различными полями.

Следующий большой массив активно изучавшихся свойств, для которых, в частности, были найдены индикаторные характеризации, связан с условиями конечности и прежде всего со свойством финитной отделимости.

Подмножество М алгебры А называется финитно отделимым в А, если для любого элемента х € А \ М существует гомоморфизм ср алгебры А в конечную алгебру, при котором <р(х) ^ <р(М). Это естественное понятие впервые возникло в известной работе А. И. Мальцева [28], который указал на его тесную связь с классическими алгоритмическими проблемами. Так, например, если в алгебре А финитно отделимы все одноэлементные подмножества (напомним, что алгебры с таким свойством называются финитно аппроксимируемыми) и она конечно определена, то в А разрешима проблема равенства слов; если в конеч-ноопределенной алгебре А финитно отделимы все подалгебры, то в А разрешима проблема вхождения элемента в подалгебру (см. [28, §7]).

Нас интересуют многообразия колец с финитно отделимыми подмножествами тех или иных типов. Чтобы компактно сформулировать результаты, достигнутые в этой области, и остававшиеся открытыми задачи, зафиксируем следующие три свойства подмножеств кольца К:

• свойство 5 быть подкольцом;

• свойство И быть правым идеалом;

• свойство X быть двусторонним идеалом.

Пусть 8 — одно из свойств 5Ди1. Кольцо Д будем называть 5 -отделимым кольцом, если все его подмножества со свойством 6 финитно отделимы в К. Многообразие колец Ю назовем (локально) отделимым, если все (соответственно, все конечнопорожденные) кольца из являются ¿-отделимыми.

Легко понять, что некоторое кольцо будет 1-отделимым тогда и только тогда, когда каждый его гомоморфный образ финитно аппроксимируем. Поэтому (локально) Х-отделимые многообразия колец — это в точности (локально) финитно аппроксимируемые многообразия, т.е. многообразия, в которых все (соответственно, все конечнопорожденные) кольца финитно аппроксимируемы. Такие многообразия давно привлекали внимание специалистов. Описание финитно аппроксимируемых многообразий колец было найдено И. В. Львовым еще в 1973 г. (см. его доклад [26] на семинаре "Алгебра и логика"), но, к сожалению, это описание не было опубликовано. Независимо, но значительно позже аналогичный

результат получил и опубликовал Р. Маккензи [51]. Локально финитно аппроксимируемые многообразия алгебр над бесконечным полем описал А. 3. Ананьин [1]. Индикаторная же характеризация, точнее, описание почти локально финитно аппроксимируемых многообразий, получена Ю. Н. Мальцевым в [29]. Случай алгебр над нетеровым кольцом Джекобсона изучался И. В. Львовым (неопубли-ковано, см. его анонс [25]) и С. И. Кублановским. Законченное описание таких многообразий было получено С. И. Кублановским в [19] (см. также [18]).

Условия (локальной) <5-отделимости для многообразий колец изучены в [8]. Там, в частности, найдены эквациональные и индикаторные характеризации этих свойств.

Неизученными, таким образом, оставались свойства (локальной) -отделимости.

Задача 4. Описать Ц.-отделимые и локально %-отделимые многообразия колец. Найти индикаторные характеризации данных свойств.

Свойства финитной отделимости, как показывают результаты из [19] и [8], тесно связаны с свойствами нетеровости. Напомним, что многообразие называется локально право (слабо) нетеровым, если каждое конечнопорожденное кольцо из этого многообразия удовлетворяет условию максимальности для правых (двусторонних) идеалов. Связь между свойствами финитной отделимости и нетеровости была замечена давно (см., например, [22]). В [19] доказано, что локально Х-отделимые (т.е. локально финитно аппроксимируемые) многообразия, и только они, являются локально слабо нетеровыми. Подобная взаимосвязь между финитной отделимостью и условием максимальности распространяется и на случай, когда эти условия накладываются на подкольца конечнопоро ж денных колец многообразия [8]. Возникает вопрос, сохраняется ли она, если указанные условия касаются правых идеалов. Отметим, что почти локально слабо нетеровы и почти локально право нетеровы многообразия над полем характеристики 0 описаны Ю. Н. Мальцевым (см. [29]). Подобную характеризацию таких многообразий в случае алгебр над нетеровым кольцом Джекобсона можно при желании извлечь из полученных позднее результатов [19].

В теории многообразий особое положение занимают так называемые критические алгебры. Напомним, что алгебра называется критической, если она конечна и не лежит в многообразии, порожденном собственными подалгебрами и гомоморфными образами. В частности, такие алгебры обязаны быть подпрямо-неразложимыми. Их важная роль была продемонстрирована во многих работах, посвященных многообразиям. Так, например, все известные ныне многообразия колец порождаются своими критическими кольцами, и вопрос о существовании иных многообразий остается открытым (см. проблему 3.51 из [10]). Информация о строении критических колец чрезвычайна полезна, а иногда просто необходима при изучении кроссовых многообразий. Но и в других случаях их устройство оказывает значительное влияние на структуру содержащего их многообразия.

В этой связи заметный интерес представляют многообразия, в которых критические кольца удовлетворяют важным кольцевым или решеточным свойствам.

Подобным исследованиям посвящены работы [37], [7], [35]. В [37] найдена индикаторная характеризация многообразий (У/'7 (р)-алгебр (р > 2 — простое), в которых каждая критическая алгебра порождает многообразие, неразложимое в объединение собственных подмногообразий. В [7] этот результат распространяется на случай колец.

Наиболее естественные решеточные ограничения приводят прежде всего к изучению алгебр с цепными и дистрибутивными решетками конгруэнциЙ. Кольцо будем называть цепным (арифметическим), если оно обладает цепной (дистрибутивной) решеткой двусторонних идеалов. Для многообразий, все подпрямоне-разложимые кольца в которых являются цепными, найдена индикаторная характеризация (см. [12]). Подобное условие, налагаемое на критические кольца, не изучалось.

Задача 5. Найти индикаторные характеризации многообразий, все критические кольца которых являются цепными.

Арифметические кольца и их влияние на многообразия, по-видимому, впервые рассматривались в [52]. Там охарактеризованы многообразия, все кольца которых являются арифметическими. Подобное свойство критических алгебр изучалось в [35]. В этой работе найдено несколько эквивалентных описаний многообразий ОР{р)-алгебр, в которых все критические алгебры арифметические. Следующий вопрос направлен на прояснение ситуации в многообразиях колец.

Задача 6. Найти индикаторные характеризации многообразий, все критические кольца которых являются арифметическими.

0.3. Основные результаты диссертации

Основные результаты диссертации решают задачи 1—6.

Первая глава посвящена обобщениям коммутативности — энгелевым и перестановочным тождествам. В §1 решаются задачи 1 и 2. В следующих двух параграфах исследуются почти перестановочные многообразия алгебр. Задача 3 решена, как в случае конечных, так и в случае бесконечных полей произвольной характеристики. В §4 сформулированы индикаторные характеризации энгеле-вых и перестановочных многообразий, и доказана их эффективность.

Во второй главе исследуются свойства ^-отделимости (§5), локальной "П-отделимости (§6). При этом полностью решается задача 4. В §7 доказываются некоторые следствия, в том числе следствие 7.2, показывающее, что свойство локальной -отделимости эквивалентно локальной право нетеровости многообразия. В §8 (теорема 8.1) найдена новая характеризация право и лево нетеровых многообразий.

В третьей главе (§9) решаются задачи 5 и 6.

Нумерация теорем, лемм, предложений и следствий двойная. Первая цифра соответствует номеру параграфа, вторая — номер утверждения.

Договоримся обозначать через Я* многообразие, двойственное к Я ; в случае же алгебр К* — алгебра, антиизоморфная К.

Прежде чем сформулировать результаты §1, введем необходимые обозначения для алгебр. Пусть F — произвольное коммутативное кольцо. Тогда положим

где Ь, с пробегают конечное расширение С поля Р, а <т — такой F-aвтoмopфизм поля О, что поле инвариантов С7 — единственное максимальное подполе в С, содержащее F.

Теорема 1.1. Многообразие алгебр над бесконечным полем F положительной характеристики является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождено одной из алгебр A(F) или А(Г)*.

Таким образом, для произвольного бесконечного поля описание почти энге-левых многообразий по форме оказывается в точности таким, как и найденное в [29] описание для случая поля нулевой характеристики.

Теорема 1.2. Многообразие алгебр над конечным полем F является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождено одной из алгебр А(Р),

Простым следствием теоремы 1.2 и результата из [29] является следующее утверждение, решающее проблему 3.52 из [10].

Теорема 1.3. Многообразие колец является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождено одним из колец A(G^F(p)), А(б^(р))* или В(СТ(р),(?, <т), где р — простое число.

Благодаря полученным результатам можно утверждать, что энгелевость — свойство, зависящее лишь от конечных алгебр.

Следствие 1.1. Если все конечные кольца (конечномерные алгебры) многообразия энгелевы, то и само многообразие энгелево.

В этом смысле ситуация с энгелевостью практически повторяет аналогичную с коммутативными многообразиями — и для них выполняется подобное утверждение (см. [30] и [48]). Более того, как показывает следующий результат, отличие энгелевости от коммутативности кроется в конечных нильпотентных алгебрах.

Следствие 1.2. Пусть все конечные нильпотентные кольца (конечномерные нильпотентные алгебры) многообразия ЯЗ коммутативны. Тогда, если 03 энгелево, то оно коммутативно.

Если теперь F — конечное поле, то

или В(Р, С, а).

Для того, чтобы сформулировать основные результаты §'2, нам понадобятся новые тождества и обозначения для многообразий.

Введем однопараметрическую серию <£р. Многообразие (Г0 задается тождествами

[ж,у]ф,*] = О, (С1)

[[х,у][М],«] = О, (С2)

ж[у, г}г = [ж, у][г, ¿] - [ж, г][у, *], (СЗ)

х[у,г]г+г[у,х]г + г[у,г]х = О, (С4)

а €р (р > 0), помимо тождеств С1-С4, еще и следующими:

хри[у, г] = 0, . (С5)

[у, г]ихр = 0, (С6)

Иу, *],«] = о, (С7)

[[у,фр,и] = 0, (С8)

[жург, и] = 0, (С9)

[хру?,г] = д, (СЮ)

хур + УРХ = ужур~х, (СП)

жург - гурж = [г, ж]ур + ур[г, ж]. (С12)

Обозначим через Т)р (р > 2) — многообразие, удовлетворяющее следующим трем тождествам:

[х,у][М] = 0, (01)

[[*,у],4 (02)

жр = 0. (ЭЗ)

Через £)0 будем обозначать многообразие, задаваемое тождествами 1)1. В2. Последнее многообразие в этой серии Э2 задается двумя тождествами

х2у2 = О, (Б4)

[ж2,у] = 0. (Б5)

Теорема 2.1. Многообразие алгебр над бесконечным полем характеристики р > 0 является почти перестановочным тогда и только тогда, когда оно совпадает либо с <£р, либо с 1)р.

Следующая теорема посвящена почти перестановочным многообразиям алгебр над конечным полем. Для ее формулировки нам понадобятся еще две серии многообразий.

Базис многообразия состоит из двух следующих тождеств:

(ж — ж9)[у, г] = О, (Ш)

(х - х*)ур = 0, (112)

Наконец, последняя серия состоит из многообразий &Р,я,т, задаваемых тремя тождествами:

[х,у]г = г*т[х,у], (81)

хятурят = урчтх, (Б2)

хрчГ+1 = о. (ЭЗ)

Теорема 2.2. Многообразие алгебр над конечным полем характеристики р и порядка д является почти перестановочным тогда и только тогда, когда либо порождается конечной алгеброй, либо совпадает с одним из многообразий Э Ж* & или

Почти перестановочные многообразия, порождаемые конечной алгеброй, изучаются в §3. Зафиксируем обозначения для следующих алгебр. Пусть Р — конечное поле. Тогда

[ а Ъ с\

0 0 а

V 0 0 а ,

С{Я

где а, 6, с, А пробегают Р.

т(- ( р0

Через М обозначается алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Основным результатом §3, заканчивающим характеризацию почти перестановочных многообразий, начатую в теореме 2.2, является

Теорема 3.1. Кроссово многообразие Р-алгебр является почти перестановочным тогда и только тогда, когда оно порождено алгеброй С, сг), С(Р), Т(Р) или где 3 — алгебра, порождающая нильпотентное почти коммутативное многообразие.

Алгебры С(Р) и Т{Р) устроены весьма просто. Алгебры типа В(Р\ С, сг) также имеют ясное строение и хорошо изучены (см., например, [30], [48], [36]). Несколько иначе обстоит дело с алгебрами типа 3. Как уже отмечалось, законченного описания таких алгебр пока не найдено. Их свойства и порождаемые ими многообразия изучались в [30], [48], [13], [39], [54]. Таким образом, характеризация из теоремы 3.1 — это описание по модулю нильпотентных почти коммутативных многообразий. Тем не менее она оказывается достаточно эффективной.

В качестве одного из приложений теоремы 3.1 мы указываем простой базис псевдотождеств для псевдомногообразия Я^/т всех конечных перестановочных алгебр (предложение 3.2 ).

Отметим также неожиданное

Следствие 3.1. Конечная алгебра перестановочна тогда и только тогда, когда все ее двупорожденные подалгебры перестановочны.

В §4 (следствия 4.1-4.5) приведены явные индикаторные характеризации эн-гелевых и перестановочных многообразий. Здесь же доказывается (предложение 4.1) существование алгоритма, который по конечной системе тождеств £ определяет, является ли многообразие чгт £ энгелевым. Аналогичное утверждение для перестановочных многообразий сформулировано и доказано в предложении 4.2.

Во второй главе характеризуются 7£-отделимые и локально 7?.-отделимые многообразия колец. Здесь нам понадобятся следующие кольца. (Первое из них будет использовано еще раз при формулировке теоремы 9.1.)

Устройство колец Мр, Мр, Тр и 20 вполне прозрачно. Кольца Мр и Мр конечны, кольцо Тр — это кольцо многочленов от переменной I, без свободного члена над р-элементным полем ОР(р), а кольцо — это бесконечная циклическая группа с нулевым умножением.

Теорема 5.1. Для многообразия колец 53 следующие условия эквивалентны: (1) в каждом кольце из 53 все правые идеалы финитно отделимы; (и) 57 не содержит кольца и ни одного из колец A(GF(p)), Мр и Ар/ (111) для некоторых натуральных п и т в Ю выполняются тождества

Такую же исчерпывающую характеризацию мы даем и для локально отделимых многообразий.

Теорема 6.1. Для многообразия колец следующие условия эквивалентны:

(1) в каждом конечнопорожденном кольце из 53 все правые идеалы финитно отделимы;

(и) 53 не содержит ни одного из колец А(ТР) ;

(ш) для некоторого натурального п и для некоторых многочленов /¿(ж, у) в 53 выполняется тождество

Мр = (пг1,7П2 | ргп\ — рт2 = 0, т,\ = т\ = т1??г2 + т2Ш1 = 0),

Ар = (гс0 | рп0 = 0, «о = 0),

тр = <г | Рг = о),

г0 = = 0).

пх = 0, ху{ 1 - ут){ 1 - хт) = 0.

(5.1)

хпу = X] Х'УМХ>У)-

(6.1)

0<г<п

Нетрудно убедиться, что каждое из "запрещенных" колец А(ТР) конечно определено и обладает не финитно отделимым правым идеалом. Отсюда легко вывести

Следствие 7.1. Пусть Ш —многообразие колец. Каждое конечноопределенное в классе всех колец кольцо из Ш будет И -отделимым тогда и только тогда, когда Щ — локально %-отделимое многообразие.

Тождество в третьем условии теоремы 6.1 — именно то, что характеризует свойство локально правой нетеровости (см.[22], [18]). Таким образом, локальная К.-отделимость многообразия колец эквивалентна локальной правой нетеровости.

Следствие 7.2. Пусть ЭД — многообразие колец. Каждое конечнопорожденное кольцо из Ш удовлетворяет условию максимальности для правых идеалов тогда и только тогда, когда Щ — локально Ж-отделимое многообразие.

Завершает §7 утверждение об алгоритмической проверяемости свойств отделимости и локальной ^-отделимости (предложение 7.1).

Класс многообразий, в которых все конечнопорожденные кольца не только право, но и лево нетеровы, характеризуется еще одним эквивалентным условием.

Теорема 8.1. Многообразие Ш удовлетворяет условию максимальности для односторонних идеалов тогда и только тогда, когда каждое конечнопорожденное кольцо из Ш содержит лишь конечное число идемпотентов.

Эта теорема — основной результат §8.

В третьей главе изучаются многообразия с ограничениями на критические кольца. Для того чтобы сформулировать основной результат этого раздела введем некоторые обозначения.

Ьр - (¿1,... ,1р \ р1{ — 0, I2 = 0, = г,] = 1,... ), ир = {/, и 1 рг! = о, /и = и/ = м, /2 = /, и2 = 0),

Ур = (V I Р2ь = 0, V3 = 0, ),

\¥р = (и; | р3ио — 0, т4 = 0, риз2 = 0, р2ю — ю3 ). Многообразия:

Э = уэг{ху = 0} = уаг

У1(рп,к) = узг{рпх = 0, XI ■ ■ ■ хк = 0, рху = 0, [ж, у] = 0, х\ - • ■ хр = 0}.

Пусть Ш1 и 91 — многообразия колец. Обозначим через ЗЛ^ 91 мальцевское

произведение многообразий 9Л и 91 в классе коммутативных колец. (Напомним, что класс 971^91 состоит из всех коммутативных колец й, обладающих таким

идеалом /, что / £ 9ЭТ и Д// £Е 91.)

Следующая теорема решает одновременно задачи 5 и 6. Оказывается, что свойства, упомянутые в этих задачах, эквивалентны.

Теорема 9.1. Для многообразия колец следующие условия эквивалентны:

(¡) решетка двусторонних идеалов каждого критического кольца из 53 является цепью;

(¡1) все критические кольца из 53 арифметические;

(¡11) 53 не содержит колец Ьр, Мр, Ур, \¥р при любом простом р и колец 11р при любом простом р > 2;

(¡у) многообразие 53 лежит в многообразии одного из двух типов:

3 V у ^агМз^ф)) У91(р*',3) У9%,3) о уа^(дг)] (9.1)

или

\J\var М2{ОР{^))УЩ1 (9.2)

¿=1

где

т{ = 91(рГ,3)У91(^,3) о чаг ОР{щ) или 9*,- = с.уаг

К А

(Р1,Р2, • • • -¡Рв — попарно различные простые числа, — степень числа р,-, г = 1,...,«;.

Эта теорема так же, как и предыдущие, эффективна в том смысле, что она обеспечивает существование алгоритма, который по данной конечной системе тождеств £ определяет, будет ли заданное этой системой тождеств многообразие уаг £ удовлетворять условиям рассматриваемой теоремы. Соответствующее утверждение составляет содержание предложения 10.1.

0.4. Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на III Международной Алгебраической конференции (Красноярск, 1993), Международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), Третьей Суслинской конференции (Саратов, 1994), Международной конференции по теории колец (Мишкольц, Венгрия, 1996), IV Международной Алебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), заседаниях семинара "Теория колец" СО РАН (1996,

1997), заседании семинара "Алгебра и логика" СО РАН (1997), заседании семинара по теории колец кафедры высшей алгебры МГУ (1997), заседаниях семинара "Многообразия колец" кафедры алгебры и теории чисел Алтайского госуниверситета (1995, 1996, 1997), заседаниях семинара "Алгебраические системы" (УрГУ).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [60]-[66].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору М. В. Волкову за постановки задач и постоянное внимание к работе.

0.5. Список обозначений

GF(q) — поле из q элементов.

Мп ( F ) — полная матричная алгебра порядка п над кольцом F.

Sn — группа всех подстановок множества {1,2,..., п}.

4(у) ~ многочлен £ у па •

А" — алгебра с формально присоединенной единицей. Другими словами, если А — алгебра над коммутативным кольцом с единицей F, то через А* мы обозначаем F-алгебру, определенную на множестве пар {(ж, а)\х £ A, a £ F}, с покоординатными сложением и умножением на, элементы F и умножением

(ж, а) - (у, (3) = (ху + ау+ /?ж, а(3).

При этом считаем, что если M — подалгебра А, то М" — подалгебра А^.

[А, А] — коммутаторный идеал алгебры А.

[ж, у] — коммутатор ху — ух элементов ж и у.

J (А) — радикал Джекобсона алгебры А.

Щ* — многообразие, двойственное к Ш; в случае же алгебр А* — алгебра, антиизоморфная А.

var А — многообразие, порожденное алгеброй А.

var £ — многообразие, задаваемое системой тождеств S.

Т(Щ) — идеал тождеств многообразия Ш.

Т(А) — идеал тождеств алгебры А.

{f}T — Т-идеал свободной счетнопоро ж денной алгебры, порожденный многочленом /.

Запись и = V (mod I) означает, что и — v € F

к — набор символов к\, к2, ■. • - будь то переменные или индексы. Из контекста при этом всегда будет ясно, каким мы его считаем — упорядоченным или нет. Для упорядоченных наборов одной длины запись к < s будет означать, что (ki, • • •) меньше (51,52,...) относительно естественного лексикографического порядка (т.е. если существует такое г, что ki = s 1,..., /с,„] = .s,_i, a ki < ,чг ).

/W(x-) — полилинейная часть (или компонента) многочлена /(ж), т.е. сумма всех одночленов из /, имеющих степень 1 по каждой переменной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пайсон, Ольга Борисовна, 1998 год

Литература

[1] Ананьин А.З. Локально финитно аппроксимируемые и локально предста-вимые многообразия ассоциативных алгебр// Алгебра и логика. 1977. Т.16, N1, С.3-23.

[2] Артамонов В.А. Цепные многообразия линейных алгебр// Труды Моск. ма-тем. о-ва. 1973. Т.29, С.51-78.

[3] Верников Б.М., Волков М.В. Почти цепные многообразия альтернативных колец// Исслед. по соврем, алгебре. Свердловск, 1979, С.22-39.

[4] Волков М.В. Периодические многообразия ассоциативных колец//Изв. вузов. Математика. 1979, N8, С. 1-13.

[5] Волков М.В. Многообразия ассоциативных колец со свойством вложимости амальгам//Мат. заметки. 1983. Т.33, N1, С.3-13.

[6] Волков М.В. О почти дистрибутивных многообразиях ассоциативных колец/ / V Сибирская школа по многообразиям алгебраич. систем. Тез. сообщ. Барнаул, 1988. С.86-88.

[7] Волков М.В. Многообразия ассоциативных колец, в которых все критические кольца являются базисными//Сиб. матем. ж. 1993. Т.34, N1, С.38-46.

[8] Волков М.В., Пайсон О.Б., Сапир М.В. Финитная отделимость в многообразиях ассоциативных колец/ / в печати

[9] Голубчик И.З., Михалев A.B. О многообразиях алгебр с полугрупповыми тождествами// Вестник МГУ. 1982. Т.1, N6, С.8-11.

[10] Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. 4-е изд. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1993.

[11] Замятин А.П. Предмногообразия ассоциативных колец, элементарная теория которых разрешима// Сиб. матем. ж. 1978. Т.19, N6, С.1266-1282.

[12] Замятин А.П. Псевдомногообразия ассоциативных колец: конгруенц-линейность и разрешимость// Изв. вузов. Математика. 1995, N1, С.53-57.

[13] Захарова E.H. Почти коммутативные нильпотентные многообразия алгебр/ / Изв. АН Молд ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. 1982, N1, С.3-10.

[14] Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли// Сиб. матем. ж. 1988. Т.29, N5, С.112-117.

[15] Кемер А.Р, О нематричных многообразиях// Алгебра и логика. 1980. Т.19, N3, С.255-283.

[16] Кузьмин E.H., Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над конечным полем// Алгебра и логика. 1978. Т.17, N1, С.28-32.

[17] Красильников А.Н. О конечности базиса тождеств некоторых многообразий ассоциативных колец// Алгебраические системы (межвуз. сб. научных трудов). Иваново, 1991, С. 18-26.

[18] Кублановский С.И. Локально финитно аппроксимируемые и локально пред-ставимые многообразия ассоциативных алгебр// Деп. ВИНИТИ, 6143-82ДЕП, 1982.

[19] Кублановский С.И. О многообразиях ассоциативных алгебр с локальными условиями конечности// Алгебра и анализ. 1997. Т.9, N4, С.119—174.

[20] Латышев В.Н. Обобщение теоремы Гильберта о конечности базисов)/Сиб. матем. ж. 1966. Т.7, N6, С.1422-1424.

[21] Латышев В.Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр/ /Алгебра и логика. 1969. Т.8, N6, С.660-673.

[22] Львов И.В. Условия максимальности в алгебрах с тождественными соотношениями/ / Алгебра и логика. 1969. Т.8, N4, С.449-459.

[23] Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец.I// Алгебра и логика. 1973. Т. 12, N3, С.269-297.

[24] Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец.П// Алгебра и логика, 1973. Т. 12, N6, С.667-688.

[25] Львов И.В. Локально слабо нетеровы многообразия алгебр над нетеровыми кольцами// III Всесоюзн. симп. по теории колец, алгебр и модулей. Тез. сообщ., Тарту, 1976, С.67-68.

[26] Львов И.В. Многообразия конечно аппроксимируемых колец// Алгебра и логика. 1978. Т.17, N2, С.488.

[27] Львов И.В. Теорема Брауна о радикале конечнопорожденной Р1-алгебры. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, препринт N63, 1984

[28] Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы// Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т.18, N5, С.49-60.

[29] Мальцев Ю.Н. О многообразиях ассоциативных алгебр//Алгебра и логика. 1976. Т.15, N5, С.579-584.

[30] Мальцев Ю.Н. Почти коммутативные многообразия ассоциативных колец// Сиб. матем. ж. 1976. Т.17, N5, С.1086-1096.

[31] Мальцев Ю.Н. Некоторые примеры многообразий ассоциативных колец// Алгебра и логика. 1976. Т.19, N6, С.669-676.

[32] Мальцев Ю.Н. О многообразиях ассоциативных алгебр, решетка подмногообразий которых недистрибутивна// Матем. исслед. Вып.56. 1980, С.110-112.

[33] Мальцев Ю.Н. Почти энгелевы локально конечные многообразия ассоциативных колец// Изв. вузов. Математика. 1982, N11, С.41-42.

[34] Мальцев Ю.Н. О строении критических колец// Сиб. матем. ж. 1982. Т.23, N1, С.65-69.

[35] Мальцев Ю.Н. О многообразиях алгебр, критические алгебры которых являются арифметическими//Сиб. матем. ж. 1983. Т.24, N6, С.91-100.

[36] Мальцев Ю.Н. Строение некоторых специальных критических алгебр //Сиб. матем. ж. 1984. Т.25, N1, С.91-100.

[37] Мальцев Ю.Н. О многообразиях, критические алгебры которых являются базисными//Сиб. матем. ж. 1984. Т.25, N1, С.204-207.

[38] Марков В.Т. О системах порождающих Т-идеалов конечнопорожденных свободных алгебр//Алгебра и логика. 1979. Т.18, N5, С.587-598.

[39] Петров Е.П. О почти коммутативных многообразиях ассоциативных колец// Деп. в ВИНИТИ, 21.05.96, N1506-B96, С.1-30.

[40] Сапир М.В. Минимальное многообразие ассоциативных алгебр с неразрешимой проблемой равенства слов// Матем. сб. 1989. Т.180, N12, С.1691-1708.

[41] Сапир М.В., Харлампович О.Г. Проблема равенства слов в многообразиях ассоциативных алгебр и алгебр Ли// Изв. вузов. Математика. 1992, N6, С.76-84.

[42] Шеврин JI.H., Суханов Е.В. Стуктурные аспекты теории многообразий полугрупп/ /Изв. вузов. Математика. 1989, N6, С.3-39.

[43] Jennings S.A. On rings whose associated Lie rings are nilpotentj/Bull. Amer. Math. Soc. 1947. V.53, P.593-597.

[44] Jennings S.A. Radical rings with nilpotent associated rings//Trans. Roy. Soc. Canada. 1955. Sect.3, N49, P.31-38.

[45] Kharlampovich O.G., Sapir M. V. Algorithmic problems in varieties/] Int. J. Algebra and Computation. 1995. V.5, N4-5, P.379-602.

[46] Kemer A.R. Remarks on the prime varieties// Israel J. Math. 1996. V.96, P.341-356.

[47] Kruse R. Identities satisfied by a finite ring// J. Algebra. 1973. V.26, N2, P.298-318.

[48] Mal'cev Yu.N. Just поп commutative varieties of operator algebras and rings with some conditions on nilpotent elements// Tamkang J. Math. 1996. V.27, N1, P.59-65.

[49] Mal'cev Yu.N., Paison O.B. Coverings of just non-Cross and just noncommutative varieties of rings/ / Trabalhos de Matematica Fundagáo Universidade de Brasilia, Departamento de Matematica. 1994, N281. P. 1-21

[50] McDonald B. Finite rings with identity. New York: Marcel Dekker. 1974, 429 p.

[51] McKenzie R. Residually small varieties of K-rings// Algebra Universalis. 1981. N14, P.181-196.

[52] Michler G., Wille R. Die primitiven klassen arithmetischer Ringe/ /Math. Z. 1970. V.113, N5, P.369-372.

[53] Nordahl T. On permutative semigroup algebras// Algebra Univers. 1988. V.25, N3, P.322-333.

[54] Petrov E. On properties of just-noncommutative varieties of algebras//Int. Conf. on Algebra, Abstracts, St Petersburg, 1997, P.97-98.

[55] Reiterman J. The Birkhoff theorem for finite algebras// Alg. Univer. 1982. V.14, N1, P.l-10.

[56] Riley D.M., Wilson M.C. Associative rings satisfying a semigroup identity// in appear.

[57] Riley D.M., Wilson M.C. Associative rings satisfying the Engel condition// to appear in Proc. Amer. Math. Soc.

[58] Volkov M.V. Identities in lattices of ring varieties// Algebra Universalis. 1986. V.14, N1, P.32-43.

[59] Yamada M., Kimura N. Note on idempotent semigroups.II//Proc. Japan. Acad. 1958. V.34, N2, P.110-112

[60] Пайсон О.Б. Перестановочные псевдомногообразия ассоциативных алгебр над конечным полем//III Международная конф. по алгебре: Тезисы докладов. Красноярск, 1993. С.252.

[61] Пайсон О.Б. Многообразия ассоциативных колец, все критические кольца которых арифметические// Международная конф. "Алгебра и анализ": Тезисы докладов. Казань, 1994. С.72.

[62] Пайсон О.Б. Базис псевдотооюдеств псевдомногообразия перестановочных алгебр// III Суслинская конференция: Тезисы докладов. Саратов, 1994. С.65.

[63] Пайсон О.Б. Перестановочные псевдомногообразия ассоциативных алгебр над конечным полем// Изв. вузов. Математика. 1995, N1. С.71-80.

[64] Пайсон О.Б. Многообразия ассоциативных колец, все критические кольца которых арифметические//Изв. вузов.Математика. 1997, N.1. С.42-55.

[65] Paison O.B. On finite separability in associative ring varieties// Ring Theory Conf., Abstracts, Miskolc. 1996. P.44.

[66] Paison O.B. Minimal non-permutative varieties of associative algebrasjj Int. Conf. on Algebra, Abstracts, St Petersburg. 1997. P.94-95.