Стохастические модели управления инвестициями страховой компании без использования заимствований тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Куркина, Анна Олеговна

• Куркина, Анна Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куркина, Анна Олеговна

Введение

Глава 1. Инвестиции капитала страховой компании в рисковые активы и вероятность разорения: обзор тематики

§ 1. Модель Крамера-Лундберга и «опасность» инвестиций в рисковые активы.

§ 2. Модели с диффузионным процессом риска и оптимальное управление инвестициями.

§ 3. Модификация модели Крамера-Лундберга в случае стохастических премий: вероятность разорения при некоторых инвестиционных стратегиях.

Глава 2. Оптимальное управление инвестициями без использования заимствований в модели Крамера-Лундберга

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Оптимальное управление.

Глава 3. Модель Крамера-Лундберга с экспоненциальным распределением размеров требований: различные инвестиционные стратегии и вероятность разорения

§ 1. Стратегия постоянной доли вложения в рисковый актив

§ 2. Стратегия оптимального управления инвестициями при невозможности заимствований.

§ 3. Результаты численных расчетов.

Глава 4. Управление инвестициями в модели Крамера—

Лундберга со стохастическими премиями

§ 1. Постановка задачи оптимального управления инвестициями без использования заимствований

§ 2. Оптимальное управление.

§ 3. Случай экспоненциального распределения размеров требований и премий при постоянной доле вложения в рисковый актив

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические модели управления инвестициями страховой компании без использования заимствований»

Описание области исследования и актуальность.

Диссертационная работа посвящена проблеме использования финансовых инструментов в целях уменьшения риска страхования.

Взаимосвязь актуарной и финансовой математики, общность ряда задач, стоящих перед современными финансами и страхованием, а также единство используемых методов неоднократно обсуждались в литературе (см. работы [1]-[3] и содержащуюся в них библиографию). Практику и теорию страхования сейчас невозможно рассматривать изолированно от практики и теории инвестирования и финансов, имеющих дело с рынком ценных бумаг [1]. Эволюция страховой индустрии идет по пути ориентирования на моделирование, основанное на соотношениях между ценными бумагами и обязательствами, между риском и капиталом [3].

Одно из центральных мест в работах, посвященных описанию участия страховых компаний на финансовом рынке, занимает исследование вероятности разорения [4]-[15]. Являясь традиционной характеристикой платежеспособности, вероятность разорения учитывается в качестве параметра при расчете резервов и премий за предоставляемые услуги по покрытию риска. При заданных параметрах процесса, описывающего эволюцию капитала, в некоторых ситуациях можно получать оценки вероятности разорения как функции начального капитала как на конечном, так и на бесконечном интервалах времени. Например, для классической модели Крамера-Лундберга в случае, если распределения размера исков не имеют "тяжелых хвостов", справедливы экспоненциальные оценки [13], [16].

Погружение рассматриваемой модели в финансовый рынок позволяет улучшать эти оценки, управляя параметром вероятности разорения с использованием различных инвестиционных стратегий. В то же время в некоторых работах обсуждался вопрос о том, что финансовый риск может оказаться существенным для страховых компаний и неосторожное использование рисковых активов может ослаблять платежеспособность компании не в меньшей мере, чем большие выплаты по требованиям [5]-[7]. В частности, в [7] было показано, что в модели Крамера-Лундберга возможные потери от инвестиционной деятельности могут быть таковы, что с ростом начального капитала вероятность разорения убывает не быстрее степенной функции, т.е. гораздо медленнее, чем при отсутствии каких-либо вложений, когда скорость убывания экспоненциальна.

В связи с этим становится актуальной проблема оптимального управления инвестициями с целью минимизации вероятности разорения. Наряду с решением этой проблемы важной становится также задача вычисления вероятности разорения как функции начального капитала при различных достаточно простых и естественных стратегиях, соответствующих, например, постоянной доле вложения в рисковый актив или постоянному количеству средств, вложенных в рисковый актив.

Существующие в литературе исследования вероятности неразорения при указанных стратегиях простого вида были связаны в основном с изучением асимптотического поведения вероятности разорения при больших значениях начального капитала. В частности, степенной характер убывания вероятности разорения при постоянной доле вложения в акции был показан в модели Крамера-Лундберга с экспоненциальным распределением размера требований в [7], для модели с диффузионным процессом риска - в [15]; при стратегии, состоящей во вложении определенного постоянного количества денежных средств в акции показана асимптотическая оптимальность в [17]. Задача вычисления вероятности разорения при любом начальном капитале связана с проблемой корректной постановки краевых задач или задач Коши для вероятности разорения на всей неотрицательной полуоси. Это в свою очередь делает актуальным аналитико-численное исследование интегро-дифференциальных уравнений, которым удовлетворяет вероятность разорения как функция начального капитала и которые порождаются инфенитезимальными операторами марковских процессов, описывающих изменение капитала.

Проблема оптимального управления для различных моделей рассматривалась в [8]-[12], для модели Крамера-Лундберга - в [8], где в предположении возможности заимствований получена оптимальная стратегия инвестирования капитала в акции, цепа которых моделируется геометрическим броуновским движением. Как будет показано ниже в данной работе, необходимость заимствований в указанной ситуации может возникать по крайней мере при малых значениях резерва; точнее, заем должен осуществляться в размере, отношение которого к резерву неограниченно возрастает при уменьшении резерва.

Специфика рассматриваемых в диссертационной работе моделей управления инвестицями по сравнению с имеющимися в литературе состоит в следующем. В диссертационной работе при рассмотрении оптимальных стратегий не предусматривается возможность заимствования денежных средств страховой компанией. Это выражается ограничением на количество средств, вкладываемых в рисковый актив: в«каждый момент времени это количество не должно превышать текущее значение резерва. В математической постановке задачи это ограничение отражается предположением 0 < с^ < 1, где щ - доля резерва, вкладываемого в рисковые активы в момент Ь. При этом предполагается, что оставшаяся часть резерва инвестируется в безрисковый актив. Таким образом, в каждый момент времени принимается решение о перераспределении капитала между двумя видами активов. Данная постановка задачи представляется более естественной по сравнению с известными из литературы постановками, предполагающими отсутствие ограничений на заимствования при любых значениях капитала. Кроме того, в диссертационной работе впервые исследуется проблема оптимального управления в модификации модели Крамера-Лундберга, в которой предполагается, что процесс, описывающий поступление страховых премий является случайным, точнее, сложным пуассоновским процессом. При рассмотрении в данной работе стратегий, состоящих во вложении постоянной доли средств в акции, ставятся задачи не только асимптотического исследования вероятности разорения при больших значениях начального капитала, но и ее изучения как функции начального капитала на всей положительной полуоси. Также исследуется вопрос корректной постановки задач для определения и-численных расчетов вероятности разорения при всех рассматриваемых в работе стратегиях.

Описание моделей. Цели диссертации.

Проблемы оптимального управления инвестициями и вычисления вероятности разорения для различных стратегий рассматриваются в данной диссертационной работе в рамках двух моделей: классической модели Крамера-Лундбрега и её модификации — модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями.

Классическая модель Крамера-Лундберга описывается следующим процессом риска: где В^ - величина капитала страховой компании в момент времени и -величина начального капитала; с - скорость поступления страховых взносов (премий), - суммарные страховые выплаты, произведенные к моменту времени £ > 0, - пуассоновский процесс с параметром А, определяющий для каждого t число предъявленных исков клиентами страховой компании за временной промежуток ((),£]; ^1,^2,. - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.), определяющих размеры страховых выплат, с функцией распределения (ф.р.) (.Р(О) = 0, EZl — т < оо). Предполагается также, что с.в. ^2,. не зависят от процесса Л^, £ > 0.

Наряду с классической моделью в диссертационной работе рассмат

0.1) ривается модификация модели Крамера-Лундберга, в которой детерминированный процесс поступления премий заменяется случайным процессом. Точнее, процесс, описывающий поступление страховых премий, является сложным пуассоновским процессом с параметрами, отличными от параметров процесса страховых выплат. Данная модель была предложена в [18], см. также [16]. Таким образом, рассматривается следующий процесс риска:

ВД) N(1)

1 з=\

Здесь В^ - величина капитала страховой компании в момент времени и - величина начального резервного фонда; первая сумма в правой части - суммарные страховые премии, поступившие к моменту времени £;

I > 0, - пуассоновский процесс с параметром Ах; С^Сг,. - последовательность н.о.р.с.в., определяющих размеры страховых премий, с ф.р.

2(0) = О, ЕС1 = п < оо); {С(} и {N1^)} предполагаются независимыми; вторая сумма в правой части - суммарные страховые выплаты, произведенные к моменту времени ¿; £ > 0, - пуассоновский процесс с параметром Л; ^х,^,. - последовательность н.о.р.с.в., определяющих размеры страховых выплат, с ф.р. -Р(г) (-Р(О) = О, Е— т < оо); и {N(1)} предполагаются независимыми; процессы суммарных премий и суммарных выплат также предполагаются независимыми.

Предположим, что страховая компания с исходным процессом риска, описываемым (0.1) или (0.2), имеет возможность инвестировать свой капитал в рисковые и безрисковые активы (для краткости будем в дальнейшем их называть соответственно акциями и банковским счетом). Пусть эволюция цен акций описывается геометрическим броуновским движением:

81 = ¿?г {¡л йЬ + а (киг), где - цена акции в момент t, /I - ожидаемая доходность акции, а > 0 -волатильность акции, {ииь} - стандартный винеровский процесс.

Эволюция цены банковского счета описывается уравнением: dBt = rBt dt, где Bt - величина банковского счета в момент t, г - процентная ставка, О <r < ¡i.

Пусть весь капитал компании непрерывно перераспределяется между акциями и банковским счетом. Обозначим at долю стоимости акций в стоимости портфеля компании, 1 — at долю банковского счета в портфеле. Тогда уравнение динамики капитала имеет вид dXt = [(at{¡i — г) + r)dt + atcr dwt }Xt + dR(t), X(0) = u. (0.3)

Функцию времени А = {o;f}í>o будем рассматривать как неупрежда-ющее управление, т.е. случайный процесс, предсказуемый относительно фильтрации, порожденной парой процессов {Rt, Wt}. Другими словами, решение, принимаемое в каждый момент времени по выбору доли резерва, инвестируемого в акции, должно зависеть только от информации об процессах Rt и wt, располагаемой до этого момента. Управление А = {q;¿}¿>o будем называть допустимым, если 0 < at < 1 для любого t и определен процесс Xt — Xf, t > 0, являющийся решением уравнения (0.3). Таким образом, к допустимым управлениям мы относим только те управления, которые не используют заимствования. '

В качестве меры платежеспособности компании выбирается вероятность неразорения на бесконечном интервале времени:

V?A(u) = P{XfA > 0, t > 0}, Х0А = и, и> 0.

При и < 0 полагаем (рА(и) = 0. Моментом разорения будем называть момент остановки г = r{u) = inf{í : Xt < 0}. Тогда вероятность разорения на бесконечном интервале времени можно записать в терминах момента разорения: фА{и) = Р {тА(и) < оо}, и = и> 0, ip(u) = 1 - ф(и).

Целью диссертации является исследование вероятности разорения в модели Крамера-Лундберга и ее модификации со стохастическими премиями при различных управлениях инвестициями страховой компании, не использующих заимствования: оптимальном, минимизирующем вероятность разорения на бесконечном интервале времени, и управлении, состоящем во вложении постоянной доли средств в акции. Оптимизационная задача в приведенных обозначениях будет иметь вид рА(и) —► вир, (0.4) а где решение будем искать в классе всех возможных допустимых управлений, т.е. в классе всех возможных неупреждающих управлений, не использующих заимствований. При этом особое внимание будет уделено случаю, когда отдельные страховые требования (и премии) имеют экспоненциальное распределение.

Задачи диссертации. Краткое описание методов. Научная новизна.

Определим функцию Беллмана задачи (0.4):

У(и) = вир^"4^). а

В соответствии со сформулированной целью задачи диссертации определим следующим образом.

Для модели Крамера-Лундберга:

1. вывести уравнение, которому удовлетворяет функция Беллмана задачи (0.4) (уравнение Беллмана) в предположении существования первых двух ее производных;

2. получить вид оптимальной стратегии инвестиций в предположении невозможности заимствований в зависимости от решения уравнения Беллмана;

3. исследовать структуру оптимальной стратегии при малых значениях начального капитала;

4. доказать теорему, утверждающую, что решение уравнения Беллмана с нужными свойствами (в случае существования такого решения) и соответствующая стратегия дают решение оптимизационной задачи (0.4) (проверочную теорему);

5. более подробно исследовать структуру оптимальной стратегии и вероятность неразорения в случае экспоненциального распределения размера требований, для этого: a) исследовать проблему существования решения уравнения для вероятности неразорения, соответствующей стратегии постоянной доли вложения в рисковый актив, и оптимальной стратегии; b) получить асимптотические представления вероятности неразорения при малых и больших значениях начального капитала и постоянной доле вложения в рисковый актив; c) провести исследования асимптотических представлений вероятности неразорения в случае оптимального управления при невозможности заимствований; с!) получить асимптотические представления оптимальной стратегии при невозможности заимствований для больших значений текущего капитала; е) осуществить корректную постановку краевых задач для вычисления вероятности неразорения, соответствующей двум рассмотренным стратегиям (оптимальной и постоянной); провести численные расчеты.

Для модели со стохастическими премиями: по возможности провести аналогичные исследования.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории управляемых случайных процессов, стохастической оптимизации (в частности, метод динамического программирования Беллмана), методы теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений. Кроме того, применяются асимптотические методы для систем обык-' новенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в частности, метод асимптотической диагонализации.

Новизна полученных результатов состоит в следующем.

1. Для вероятности неразорения, соответствующей стратегии постоянной доли вложения в рисковый актив, в модели Крамера-Лундберга с экспоненциальным распределением размера требований впервые проведено ее полное исследование как функции начального капитала на всей положительной полуоси: 1) осуществлена корректная постановка сингулярной задачи для линейного интегро-дифференциального уравнения (ИДУ), которому удовлетворяет вероятность неразорения; 2) доказаны существование и единственность ее решения; 3) получены асимптотические представления не только при больших, но и при малых значениях начального капитала.

2. Впервые исследована задача оптимального управления инвестициями при невозможности заимствований денежных средств. Изучена структура оптимального управления. Для случая экспоненциальных распределений требований получены асимптотические представления оптимальной стратегии и функции Беллмана при больших и малых значениях начального капитала. Показано, что при малых значениях капитала оптимальным является полное вложение средств в рисковый актив. Это позволяет использовать результаты указанных выше исследований при анализе функции Беллмана рассматриваемой оптимизационной задачи, в частности, для получения ее асимптотических представлений при малых значениях начального капитала и для проведения численных расчетов.

3. Результаты, связанные с исследованием оптимального управления в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями и стратегий вложения постоянной доли капитала в рисковый актив, проводились впервые и все результаты являются новыми.

Описание содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Куркина, Анна Олеговна

Заключение

Проведенное в настоящей работе исследование относится к проблеме определения платежеспособности страховых компаний, функционирующих на финансовом рынке, и выработки оптимальных стратегий принятия инвестиционных решений с целью максимизации такого параметра, характеризующего платежеспособность компании, как вероятность неразорения. С математической точки, зрения рассматриваемый круг вопросов связан с задачами о разорении в моделях, основанных на использовании сложных пуассоновских процессов и имеющих приложения в теории страхования - в различных обобщениях и модификациях модели Крамера-Лундберга, I ставшей классической. У.Феллер в своей книге "Введение в теорию вероятностей и ее приложения "посвящает этой модели параграф в главе "Некоторые важные распределения и процессы", а*также несколько примеров в связи с применением теории восстановления, теории случайных блужданий при получении оценок Крамера для вероятности разорения (Крамер получал эти оценки более сложно, используя методы Винера-Хопфа). Позже для получения таких оценок стали использоваться мартингальные методы. Развитие основанной Лундбергом теории в связи с проблемой разорения'в различных модификациях классической модели, в том числе учитывающих инвестирование, стало одним из традиционных* направлений теории вероятностей.

Классическая модель исследует разорение для процесса, описывающего изменение капитала (так называемого процесса риска), который складывается из двух процессов - детерминированного процесса поступления премий несложного пуассоновского процесса страховых выплат. В рассмотренных в работе моделях на изменение капитала, помимо указанных двух факторов, влияет еще один, или даже два фактора (в предположении, что страховая компания участвует на финансовом рынке) - изменение цен рыночных активов и возможность принятия тех или иных инвестиционных решений. При этом одна из моделей отличается модификацией процесса риска, в которой процесс поступления премий также является случайным и. описывается сложным пуассоновским процессом (независимым от первого, описывающего процесс страховых выплат).

В итоге наших исследований для классической модели Крамера-Лундберга и ее модификации со стохастическими премиями при условии их погружения в финансовый рынок изучена проблема оптимального управления при наличии бюджетного ограничения, когда не допускаются заимствования, с целью минимизации вероятности разорения на бесконечном интервале времени. В общем случае для обеих моделей получен вид стратегий, зависящих от решений интегро-дифференциальных уравнений .с условием равенства единицы на бесконечности - уравнений Беллмана, которым должна удовлетворять вероятность неразорения, соответствующая оптимальной стратегии, при наличии у нее некоторых естественных свойств (в частности, дважды непрерывной дифференцируемости). В предположении существования решений указанных уравнений, обладающих нужными свойствами, доказаны проверочные теоремы, утверждающие, что управления, полученные применением полученных стратегий, действительно являются решениями исходных оптимизационных задач.

Для задачи оптимального управления в рамках классической модели в случае экспоненциального распределения требований полностью исследована структура оптимальной стратегии и соответствующей вероятности неразорения. Доказано существование решения уравнения Беллмана. Показано, что при малых значениях капитала оптимальная стратегия состоит во вложении всех средств в рисковый актив (этот же факт остается верным и в общем случае); получены асимптотические представления оптимальной стратегии при больших значениях капитала. Указанные представления показывают, в частности, что доля вложений в рисковый актив является бесконечно малой величиной порядка 0(1/п), где и - текущий капитал. Получены также асимптотические представления соответствующей вероятности неразорения (функции Беллмана) при малых и больших значениях начального капитала.

Кроме того, получено полное решение задачи исследования вероятности неразорения при постоянной структуре инвестиций: осуществлена корректная постановка сингулярной задачи для интегро-дифференциального уравнения относительно вероятности неразорения, доказаны существование и единственность ее решения. На основании теоретического анализа этой задачи получены асимптотические представления ее решения при малых и больших значениях начального капитала, предложен алгоритм численного решения, произведены расчеты и дана их интерпретация. Результаты, полученные при исследовании модели с постоянной структурой инвестиций, представляют как самостоятельный интерес, так и являются составной частью решения общей оптимизационной задачи, которое также проиллюстрировано численными расчетами.

Для модели со стохастическими премиями, помимо описанных выше результатов, связанных с исследованием оптимального управления, в случае экспоненциального распределения требований и постоянной структуры инвестиций получено существенное уточнение известного результата, касающегося асимптотического представления при больших значениях начального 1 капитала. Получены также некоторые результаты, связанные с асимптотическим представлением при малых значениях начального капитала. Дальнейшие исследования данной модели, предполагающие привлечение значительно более сложного аппарата теории сингулярных краевых задач, в настоящее время проводится в работе [41]. В частности, в этой работе доказываются существование и единственность решения сингулярной краевой задачи для исходного интегро-дифференциального уравнения в указанной модели и дается алгоритм его численного определения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куркина, Анна Олеговна, 2011 год

1. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994, т.1, в.5, с. 780-820.

2. Мельников А.В. Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

3. Эмбрехтс П. Актуарный и финансовый подходы к расчетам стоимости в страховании. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 1998, т.5, вып. 1, с. 6-22.

4. Grandell I. Aspects of risk theory. Springer, Berlin, 1991.

5. Paulsen J. Risk theory in a stochastic environment. — Stoch. Proc. and Appl., 1993, v. 21, p. 327-361.

6. Kalashnikov V., Norberg R. Power tailed ruin probabilities in the presence of risky investments. — Stoch. Proc. and Appl., 2002, v. 98, p. 211-228.

7. Frolova A., Kabanov Yu., Pergamenshchikov S. In the Insurance business risky investments are dangerous. — Finance and Stochastics, 2002, v. 6, № 2, p. 227-235.

8. Hipp C.} Plum M. Optimal investment for insurers. — Insurance: Mathematics and Economics, 2000, v. 27, № 2, p. 215-228.

9. Hipp C., Plum M. Optimal investment for investors with state dependent income, and for insurers. — Finance and Stochastics, 2003, v. 7, № 3, p. 299-321.

10. Schmidli H. On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance. — The Annals of Applied Probability, 2002, v.12, №3, p. 890907.

11. Browne S. Optimal investments policies for a firm with a random risk process: exponential utility and minimizing the probability of ruin. — Math. Operations Res., 1995, v. 20, p. 937-958.

12. Luo Sh., Taksar M., Tsoi A. On Reinsurance and Investment for Large Insurance Portfolios. — Insurance: Mathematics and Economics, 2008, v. 42, p. 434-444.

13. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, 1986.

14. Iglehart D.L. Diffusion Approximations in Collective Risk Theory. — Journal of Applied Probability, 1969, v. 6, p. 285-292.

15. Norberg R. Ruin problems with assets and liabilities of diffusion type. — Stoch. Proc. and Appl., 1999, v. 81, p. 255-269.

16. Королев В.Ю., Бенине B.E., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. М.: Физматлит, 2007, 544с.

17. Gaier J., Grandits P., Schachermayer W. Asymptotic ruin probabilities and optimal investment. — Ann. Appl. Probab., 2003, v. 13, № 3, p. 10541076.

18. Бойков А.В. Стохастические модели капитала страховой компании и оценивание вероятности неразорения. — Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-матем. наук. М.: МИ РАН, 2003, 83 с.

19. Bremaud P. Point Processes and Queues. Springer-Verlag, NY, 1981.

20. Karatzas I., Shreve S. Brownian Motion and Stochastic Calculus. SpringerVerlag, NY, 1988.

21. Оксендалъ Б. Стохастические дифференциальные уравнения.М.: Мир, 2003.

22. Asmussen S., Taksar М. Controlled diffusion models for optimal dividend pay-out. — Insurance: Mathematics and Economics., 1997, v. 20, p.1-15.

23. Lerche H.R. Boundary crossing of Brownian motion. Springer-Verlag, 1986.

24. Ширяев A.H. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением. Современные проблемы математики. М.: МИАН, в. 8, 2007.

25. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. М.: Наука, 1974.

26. Флеминг У., Ришел Р. Опримальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.:МИР, 1978.

27. Pestien V.C., Sudderth W.D. Continuous-Time Red and Black: How to control a diffusion to goal. — Math, of Oper. Res., 1985, v. 10, № 4, p. 599-611.

28. Hipp C., Taksar M. Optimal non-proportional reinsurance control. — Insurance: Mathematics and Economics, 2009.

29. Ауманн P.Док. Экономический индекс рискованности. — Российский журнал менеджмента, 2007, т.5, № 3, с. 3-14.

30. Бойков А.В. Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — Теория вероятностей и ее применения, т. 47, вып. 3, 2002, с. 549-553.

31. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

32. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

33. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

34. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

35. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976^

36. Биргер E.G., Ляликова (Конюхова) Н.Б. О нахождении для некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений решений с заданным условием на бесконечности. II. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т. 6, № 3, с. 446-453.

37. Конюхова Н.Б. Сингулярные задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т. 23, № 3, с. 629-645.

38. Конюхова Н.Б. Сингулярные задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений.

39. Сообщ. по прикл. матем. М: ВЦ АН СССР, 1988.

40. Azcue P., Muler N. Optimal investment strategy to minimize the ruin probability of an insurance company under borrowing constraints. — Insurance Math. Econom., 2009, v. 44, № 1, p. 26-34.

41. Grandits P. An analogue of the Cramer-Lundberg approximation in the optimal investment case. — Appl. Math, and Optimiz., 2004, v. 50, № 1.

42. Белкина Т.А., Конюхова Н.Б., Курочкин С.В. Сингулярная краевая задача для линейного интегродифференциального уравнения, возникающего в моделях страховой математики: анализ и численное решение.

43. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2011. (Готовится к печати.)

44. Белкина Т.А., Конюхова H.Б., Куркина А. О. Оптимальное управление инвестициями в динамических моделях страхования: I. Инвестиционные стратегии и вероятность разорения. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2009, т. 16, вып. 6, с. 961-981.

45. Куркина А.О. Оптимальное инвестирование капитала страховой компании на рынке Блэка-Шоулса. — В Сб.: "Новые информационные технологии". Тезисы докладов XIII Международной студенческой школы-семинара. М.: МИЭМ, 2005, с. 184-186.

46. Белкина Т. А., Куркина А. О. Оптимальное инвестирование капитала страховой компании на рынке Блэка-Шоулса со стохастическими премиями. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005, т.12, вып. 4, с.907-909.

47. Белкина Т. А., Куркина А. О. Об оптимальном управлении инвестицими в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — В Сб.: "Анализ и моделирование экономических процессов". М.: ЦЭМИ РАН, 2005, с. 103-114.

48. Куркина А.О. Оптимальное инвестирование в модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями. — Тезисы докладов научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов института МИЭМ. М.: МИЭМ, 2006, с. 35. ' ,

49. Белкина Т.А., Куркина А.О. Асимптотики вероятности неразорения в динамической модели страхования. — В Сб.: "Анализ и моделирование экономических процессов". М.: ЦЭМИ РАН, 2007, с. 67-82.

50. Белкина Т.А., Куркина А. О. Динамические модели страхования: различные инвестиционные стратегии и вероятность разорвния. — Сборник докладов участников Российского экономического конгресса. М.: ИЭ РАН, 2009.