Исследование математических моделей страхования при нестационарных потоках страховых премий с интенсивностью, зависящей от капитала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кац, Вадим Маркович

• Кац, Вадим Маркович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кац, Вадим Маркович

Введение

1. Условное время до разорения страховой компании, описываемой классической моделью

1.1. Вероятности разорения и выживания страховой компании

1.2. Производящая функция условного времени до разорения

1.2.1. Производящая функция условного времени

1.2.2. Плотность распределения при нулевом капитале

1.2.3. Асимптотическое поведение условного распределения времени до разорения

1.2.4. Условное распределение времени до разорения при произвольном капитале

1.3. Условные моменты времени до разорения

1.3.1. Уравнения, определяющие условные моменты времени 41 до разорения

1.3.2. Неравенства на моменты

1.3.3. Асимптотическое поведение моментов

1.4. Характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии

1.4.1. Вероятность разорения страховой компании

1.4.2. Условные моменты времени до разорения

1.4.3. Вероятность достижения заданного значения капитала

1.4.4. Условное среднее время достижения заданного значения 57 капитала

Резюме

2. Влияние рекламы на деятельность страховой компании, описываемой классической моделью

2.1. Модель изменения капитала

2.2. Оптимальное управление расходами на рекламу

2.3. Оптимальное управление расходами на рекламу. Второй критерий оптимальности

2.4. Вероятности разорения и выживания

2.5. Условное среднее время до разорения 87 Резюме

3. Исследование модели страховой компании с нестационарным пуассоновским потоком страховых премий

3.1. Модель страховой компании. Распределение числа клиентов страховой компании

3.2. Оптимальное управление расходами на рекламу 101 3.3 Конкурентное взаимодействие двух страховых компаний, действующих на ограниченном страховом рынке

Резюме 116 Приложение. Оптимальное управление системой, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений

Вольтерра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей страхования при нестационарных потоках страховых премий с интенсивностью, зависящей от капитала»

Актуальность работы

Одним из важных разделов прикладной математики является математическая теория имущественного страхования (актуарная математика), дающая теоретические основы методам, позволяющим оценить эффективность функционирования страховой компании. Идеи математической теории страхования получили широкое распространение, и круг практических задач, решаемых методами этой теории, непрерывно расширяется.

Основы современной актуарной математики были заложены работами Ф. Лундберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования [41,62]. Классическая модель страховой компании, благодаря ее относительной простоте, позволяет вычислить в явном виде вероятности разорения и выживания страховой компании, выработать рекомендации по определению необходимого начального капитала и назначению страховых премий. В то же время классическая модель не отражает многие черты деятельности страховых компаний в реальной жизни. Развитию и уточнению классической модели посвящено большое количество работ по математической теории страхования, однако, остается еще много проблем, требующих дополнительного исследования. К числу малоизученных можно отнести, например, проблемы:

1) введения и исследования, наряду с вероятностями разорения и выживания, некоторых дополнительных характеристик деятельности страховой компании;

2) исследования модели страховой компании с нестационарными потоками страховых премий и страховых платежей;

3) управления потоком страховых премий, поступающих в страховую компанию, в том числе за счет рекламы.

В представленной работе исследуются модели, учитывающие эти факторы, что, по мнению автора, и определяет ее актуальность.

Работа выполнялась по плану научно-исследовательских работ факультета информатики и факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Цель работы

Целью данной работы является:

1) нахождение статистических характеристик условного времени до разорения страховой компании, описываемой классической моделью: распределения вероятностей условного времени, моментов условного времени. Нахождение асимптотических статистических характеристик условного времени до разорения при малой нагрузке страховой премии или неограниченно возрастающем начальном капитале;

2) оценка влияния расходов на рекламу на характеристики страховой компании в рамках классической модели: средний капитал, вероятности разорения и выживания, условное время до разорения. Определение условий эффективности рекламы и решение задачи оптимального управления долей капитала страховой компании, выделяемой на рекламу, в рамках классической модели;

3) нахождение характеристик страховой компании с нестационарным пуассоновским потоком страховых премий и произвольной функцией распределения времени пребывания клиента в страховой компании. Решение задачи оптимального управления расходами на рекламу для данной модели;

4) решение задачи о конкурентном взаимодействии двух страховых компаний с пуассоновскими потоками страховых премий, интенсивности которых зависят от нагрузок страховых премий, действующих на ограниченном страховом рынке.

Состояние проблемы

Публикации, посвященные различным проблемам актуарной математики, можно достаточно условно разбить на две группы. Первая группа работ посвящена исследованию так называемой классической модели страховой компании, описание которой можно найти, например, в монографиях Э. Штрауба [48], Д. Кокса и В. Смита [30], Y. Н. Panjer и G.E. Willmont [69], J. Grandell [57], H.U. Gerber [54], H. У. Прабху [39], обзорах В.И. Роторя и В.Е. Бенинга [41], П. Эмбрехтса и К. Клюппенберта [50], В. Калашникова и Д. Константинидиса [27]. В рамках этой модели процесс поступления страховых премий в компанию считается детерминированным, страховые выплаты (требования) - независимые, как правило, одинаково распределенные случайные величины, моменты страховых выплат образуют пуассоновский поток.

В публикациях, посвященных изучению классической модели, в основном исследуются вероятности разорения и выживания страховой компании и принципы выбора нагрузки страховой премии (нагрузки безопасности). Из работ последнего времени отметим, например, работы V.M. Malinovskii [59, 60], в которых рассматривается вероятность разорения на конечном интервале, В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [8], в которой рассматривается вероятность разорения при малой нагрузке страховой премии, J. Grandell [55, 56], в которой исследуются простые аппроксимации вероятности разорения. S. Asmussen [53] исследовал адаптивные процедуры оценки вероятности разорения. В работах О.П. Виноградова [11], Ю.Д. Григорьева и А.В. Куклина [18, 19] рассматриваются возможности построения верхних и нижних границ для вероятности разорения. В работе В.В. Калашникова и Г.Ш. Цициашвили [28] строятся оценки для вероятности разорения при наличии больших выплат. Возможности перестрахования больших рисков рассматриваются в работах Г. А. Медведева [35], Е.В. Глуховой и Е.В. Капустина [13], Е.В. Булинской [10]. В большинстве работ последнего времени рассматриваются более сложные модели, обобщающие классическую модель. Процесс поступления страховых премий в компанию также считается случайным процессом. Так, например, в работе К.И. Лившица [33] находятся вероятность разорения и условное время до разорения для случая, когда страховые премии, поступающие в компанию, образуют пуассоновский процесс, в работах В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [6, 7] исследуется случай, когда моменты страховых выплат образуют процесс Кокса (дважды стохастический пуассоновский процесс). Неоднородный поток страховых выплат рассматривается в работе О.П. Виноградова [12].

В перечисленных выше работах исследуется, как правило, стационарный режим функционирования страховой компании, когда ее характеристики можно считать независящими от текущего времени. Исследованию нестационарных режимов посвящены работы О.А. Змеева, где рассматриваются отдельно случаи как ограниченного [22, 24], так и неограниченного [23, 25] страхового рынка.

Большое внимание уделяется также проблемам, связанным с возможностью страховой компании использовать имеющиеся в ее распоряжении свободные средства для получения дополнительной прибыли и уменьшения тем самым вероятности разорения. Е.В. Глуховой и Е.В. Капустиным [13, 14] рассчитывались вероятности выживания страховой компании при размещении части средств на депозитных вкладах. Минимизации вероятности разорения путем выбора инвестиционной стратегии посвящены работы Т.А. Белкиной, А.Г. Фроловой, С.В. Чекалиной [4, 5], А.В. Бойкова и А.В. Мельникова [9], в которых предполагается возможность как безрисковых, так и рисковых инвестиций.

В ряде работ рассматриваются более сложные по сравнению с предыдущими модели. Например, Н. Schmidli [63] рассматривает возможность одновременного инвестирования и перестрахования. Ф. Еникеева и В. Калашников [21] и Tsitsiashvilii G.Sh. [58, 64], исследовали модели риска с инфляцией.

Другим аспектам математической теории страхования посвящены работы [58, 64]. В работе П. Эмбрехтса [51] прослеживается связь между актуарным и финансовым подходами к расчету страховых премий. Применение методов теории чувствительности к задачам страхования и теории финансов рассматривается в работе R. Norberg [61]. Применению франшизы, которая может получить большое распространение в связи введением обязательного автомобильного страхования, посвящена работа Ю.Д. Григорьева и И.Ю. Хекало [20].

Наиболее близкими по тематике к вопросам, рассматриваемым в диссертации, являются работы Д.Д. Ахмедовой, О.А. Змеева и А.Ф. Терпугова [1, 2, 3], в которых рассматривается влияние расходов на рекламу на деятельность страховой компании, и работы О.А. Змеева [26] и С.А. Масяйкина [34], в которых исследуется конкурентное взаимодействие страховых компаний.

Несмотря на обилие работ по математической теории имущественного страхования, многие вопросы требуют дальнейшего изучения.

1. Как указывалось выше, основной изучаемой характеристикой обычно является вероятность разорения компании в стационарном режиме. Однако, эта характеристика не дает представления о том, на каком временном интервале нужно ожидать разорение. Дополнительную информацию можно извлечь, изучая распределение условного времени до разорения при условии, что оно происходит.

2. Страховая компания может использовать свободные средства для привлечения новых клиентов (рекламу). Это, с одной стороны, интенсифицирует поступление средств в компанию, а, с другой стороны, отвлечение средств должно увеличивать вероятность разорения. Поэтому возникает необходимость исследования влияния расходов на рекламу на деятельность страховой компании и оптимизации управления отчислениями на рекламу.

3. При построении математических моделей процесса страхования обычно за основу берутся потоки страховых премий и страховых выплат, которые считаются независимыми друг от друга. Более естественным представляется взять за основу наряду с потоком страховых премий распределение времени пребывания клиента в компании. Характеристики потока страховых выплат будут при этом определяться основными характеристиками и вероятностью наступления страхового случая.

4. Функционирование страховой компании во многом зависит от конкуренции со стороны других страховых компаний. Поэтому возникает необходимость в разработке и исследовании модели, учитывающей конкурентное взаимодействие страховых компаний.

Освещению поставленных проблем посвящена представленная диссертация.

Краткое содержание работы

В первой главе диссертации исследуется классическая модель изменения капитала страховой компании [62]. Считается, что процесс поступления страховых премий в компанию является детерминированным, за время t приращение капитала компании равно Ct, где С - количество средств, поступивших в компанию за единицу времени; страховые выплаты -независимые случайные величины с плотностью распределения ^(х) и средним значением а; моменты страховых выплат образуют пуассоновский поток интенсивности Я. Параметры Я, а, С связаны соотношением С = (l + в)Ла, где 0 > О - нагрузка страховой премии.

В параграфе 1.1, который носит обзорный характер, приводятся основные соотношения, определяющие вероятности разорения и выживания страховой компании для классической модели.

В параграфе 1.2 вводится понятие условного времени до разорения страховой компании и исследуется условная плотность распределения времени до разорения.

Пусть в момент времени t капитал компании равен S{t) и пусть в начальный момент времени 5(о) = S. Пусть (Q, F, Р) - вероятностное пространство, на котором определены траектории процесса Все траектории процесса S(t), выходящие из точки S, можно разбить на два непересекающихся класса: ^(f), а> е Qp| - траектории, приводящие к разорению, и {^(z), со е QB} - траектории, приводящие к выживанию. Пусть t(S,co) - время до разорения на траектории Sa(t), coeflp. Обозначим

0(S,u)= |ехр(-ut(S,o)))p(da)) . (1) np(s)

Так как вероятность разорения p(s) = \p{dco), (2) то есть производящая функция условного времени до разорения.

Теорема 1.1. Если существует производная ^ ^ функция

8S

Ф^и) удовлетворяет уравнению

С = (Л + u)o(S, и)- Я J 0(S - x,u)¥(x)dx - Л j (4) с граничными условиями ф(5,0) = /?(5), lim ф(5',м)= 0.

00

Обозначим p(S,t) условную плотность распределения времени до разорения при условии, что оно происходит и начальный капитал равен S. Пусть далее

00

Y(co)= Гехр^йА?)^)^, Х(ю)=-(1-7(ю)). (5)

1 со

Теорема 1.2. Если производящая функция У{со) дифференцируема, то при 5 = 0 условная плотность распределения времени до разорения X

С А 4 ' и' п=и

Y{co)n -Y(co)n+l ^ + яф))ехр(С(у^ (6) J х

С,

Теорема 1.3. Если уравнение

С-ЯХ(о))= 0 (7) имеет корень со = -к, к > 0, функция Х(со) в окрестности точки со = -к, по крайней мере, дважды дифференцируема, то случайная величина t + aS где

1 2 X(-k)-kX(-k) a~AkX{-k),P~ Я2к3Х(-к) 9 имеет при S —» оо нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией.

Теорема 1.4. Условная плотность распределения времени до разорения p(S,t) имеет вид

0 0 где

5) = тт f ехр(&&]da>, с,

2щ1

В параграфе 1.3 рассматриваются условные моменты времени до разорения. Если функция 0(5",и) необходимое число раз дифференцируема по и, то п -й момент t„{S) определяется соотношениями ди'

10) и=О

Теорема 1.5. Если существует , то

Гп(0) (-1)ГЛГМ(0) ^ (0)(-1 T'Cj dn~J(с-ЯХ(й))У

С(С-Яа)" dco

Имеют место следующие соотношения.

Теорема 1.6. Для любого S имеют место неравенства лавк n-J

11) ш=0

T3(s)z

3(1 + kS) + (3 + ksf ]ехр(- kS)

12)

13)

14)

Яав)3к3 где к > 0 - корень уравнения С - АХ{- к) = 0.

Теорема 1.7. В условиях теоремы 1.5 при S -» °о ч , OaSn Qxp(-kS) Л ) \ ) Гкп+1цку+1 ■

В параграфе 1.4 исследуются характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии в.

00

Теоремы 1.8-1.10. Если существуют конечные моменты а,

15) = 1,3, то при в -> О p(s) = —!— ехр< V ' 1 + 0 '

2ах в

МЛ

1),

16)

7^) = а,

2Aaf0(\ + e)

1 +

2axS a2(1 + 0) exp

2 ax0S

2(1+ o(1),

17)

T2(S) =

X1a2x01{\ + 0) x

Ъа\+2ахаъ0 a2S S: f exp

2 ax0S a2(\ + e\ 0(1). (IB)

60a} ^0(1 + 0) (1 + 0f

В этом же параграфе исследуется вероятность gu (S) того, что капитал компании станет не меньше чем и при условии, что в начальный момент времени он равен S, и условное время tu(s) достижения заданного капитала и при условии, что в начальный момент времени он равен S. Получены выражения, определяющие данные величины при малой нагрузке страховой премии в.

Во второй главе диссертации исследуется влияние отчислений на рекламу на деятельность страховой компании, описываемой классической моделью.

В параграфе 2.1 дается описание предлагаемой модели. Предположим, что в отсутствие расходов на рекламу изменение капитала компании описывается классической моделью с параметрами Л0, а0, С0. Пусть в момент времени t капитал компании равен S(t) и в промежутке времени [t, t + А?] на привлечение новых клиентов расходуется часть капитала n(t)s(t)At. Введем функцию R(t), связанную с S(t) соотношением t

R(t) =\h(t- х)8(х)и(хУЬс, (19) о где /г(*)>0, h{t)—> 0 при / —> со, и будем считать, что расходы на рекламу приводят к тому, что скорость поступления страховых премий увеличивается с величины С0 до величины С0 + - т), а интенсивность потока страховых выплат увеличивается с величины Л0 до величины Л0 + A^Rit - т) соответственно. Если затраты на рекламу не изменяют нагрузку страховой г

С с премии в, то — = —. В простейшем случае функции R(t) и могут быть

Л) \ связаны соотношением k^l = ^R{t)+u{t)s{t). (20) dt

Функция R(t) определяет эффект последействия затрат на рекламу, а параметр т - задержку в отдаче средств, затрачиваемых на рекламу. Изменение среднего капитала определяется соотношениями = -»№(')+ (Со -V) (21) при t < т, и

Р = -u(t)s(t)+ (Со - Я0а)+ (Q - Я.аЩ - т) (22) dt при t > т.

Показано, что при u(t)=u = const условие эффективности затрат на рекламу имеет вид

QO

Cl-Ala)^h(t)dt>l. (23) о

В параграфах 2.2, 2.3 рассматривается задача оптимального управления расходами на рекламу. Цель страховой компании состоит в том, чтобы, выбирая рекламную стратегию u(t), оптимизировать какие-то характеристики страховой компании. Если критерий оптимальности имеет вид

S(T) = max для некоторого момента времени Т и изменение капитала описывается соотношениями (20)-(22), то имеет место следующая теорема.

Теорема 2.1. Если параметр у = Q - Л^а > 1, то оптимальное управление отчислениями на рекламу для системы, описываемой соотношениями (20)-(22), имеет вид м0, если 0 < t < t

О, если t <t<T, где точка переключения t = Т -т-к\п у-1

25)

Если критерий оптимальности имеет вид

J p(t)s(t)dt = max, о где p(t) - положительная, монотонно возрастающая функция, то имеет место теорема.

Теорема 2.2. Если выполняется условие т ту f \\ p{z]dz<yy\ 1-ехр J p(z)dz, то оптимальное управление отчислениями на рекламу для системы, описываемой соотношениями (20)-(22), имеет вид

Mr если 0<t<t ,

О, если t <t<T, f ** , ^^ t + т—у p{y)dy.

26) где t есть решение уравнения т т г p(z)dz = yj 1 - exp I t +т t \

В параграфе 2.4 рассматривается задача определения вероятностей разорения и выживания страховой компании для частного случая рассмотренной выше модели. Считается, что при отчислениях на рекламу, равных uS(t)kt, скорость поступления денежных средств в компанию равна Cq+^+I^S^), а интенсивность потока страховых случаев равна Л0 +XluS{t). Обозначим через g(S,u) и p(S,u) вероятности выживания и разорения страховой компании при условии, что в начальный момент 3 времени капитал компании равен S, а через Fg{aj) и Fp{co) их преобразования Лапласа.

Теорема 2.3. Преобразование Лапласа вероятности выживания имеет вид

F ы= cogM rexpUzVrл sK ' 6y(Q - ^X(co))l ^ \ Л J0 Q " \X(<*> + ut) где dz, (27)

При и «1

С.

C1-VJ0 of Л) Л f

-— exp —-z —-

7.n J 2. 1 Jrdt g(0,n) = 9

1 + 6»

Ai ^ JQ-A^m/)

1 Л0Х(со) * v

-l

28)

29)

Второй член в выражении (29) определяет уменьшение вероятности выживания за счет расходов на рекламу.

При S »1 и и «1 вероятность разорения p{S,u) =

Л>

Л)

30) dy fexp {-ку\\ + ^-иу о L ло

В параграфе 2.5 рассматривается условное среднее время до разорения при условии, что оно происходит. Пусть t(S,co) - время до разорения на траектории Sa(t). Обозначим

T(S,u)= \t{S,(o)P{do}).

31)

0 ч TAS,U)

Среднее значение условного времени до разорения t\S,u)=-Aj—где p{S,u) p(S,u) - вероятность разорения. ч

Теорема 2.6. Преобразование Лапласа FT(a>) величины T(S,u) определяется выражением

1 °° ( z ^ ivH=-7-р,-—т-ггJ[соГ(0, w) -F {uz + ю)]ехр - \ р(а> + ut)dt t dz, (32) где

UU Z jVp(ttz)exp - J <p(ia)dx r(o,«)-

V. о dz uu z

C0|exp

V о

33) dz

При и «1 г(оЬ (з - ^ )И°)2++0(и).

C06b а Я0С0

34)

В третьей главе диссертации рассматривается модель страховой компании, в которой процесс поступления страховых премий интерпретируется как пуассоновский процесс с переменной интенсивностью Л(t). Страховые премии - независимые случайные величины с плотностью распределения у/{х) и средним значением а. Время пребывания клиента в страховой компании (время действия договора страхования) является случайной величиной с функцией распределения Будем предполагать далее, что страховые случаи происходят с клиентами компании независимо друг от друга с некоторой вероятностью pAt за время At. Страховые выплаты - независимые случайные величины с плотностью распределения ^j(x) и средним значением Ь.

В параграфе 3.1 рассматриваются некоторые характеристики страховой компании, описываемой вышеприведенной моделью.

Теорема 3.1. Распределение P(n,i) числа п клиентов компании в момент времени t, имеет вид п\ где

DO p(t) = J Я(t - jell - B(x)}ix. (36) о

Как следствие теоремы 3.1 можно получить теперь соотношения, определяющие некоторые другие характеристики страховой компании, а именно: интенсивность потока клиентов, покидающих компанию, y{t) задается соотношением оо y{t)=\x{t-x)dB(x)-, (37) о средний капитал страховой компании описывается уравнением

1 = дЛ(/) - pb\x{t - *Il - ; (38) dt 0 дисперсия капитала D{t) - соотношением = а2Л(0+ b2p]x{t - xjl - B{x)}b9 (39) at 0 где а2 и Ь2 - вторые моменты, соответствующие y/ix), у/х (х) соответственно.

Таким образом, основные характеристики страховой компании являются функционалами от интенсивности X(t) потока страховых премий, поступающих в компанию, и распределения В(х) времени пребывания клиента в компании.

В параграфе 3.2 исследуется оптимальное управление расходами на рекламу. Модель изменения капитал компании учитывающая в явном виде отчисления на рекламу, строится аналогично рассмотренной в гл. 2. Предположим, что в отсутствие расходов на рекламу интенсивность потока страховых премий, поступающих в компанию, X(t) = Л0 и пусть в промежутке времени [t, I + А/] на привлечение новых клиентов расходуется часть капитала u(t)s(t)kt. Введем величину R(t), связанную с S(t) соотношением (20), и будем считать, что расходы на рекламу приводят к тому, что интенсивность потока страховых премий увеличивается с величины Л0 до величины A(t) = Л0 + . Средний капитал компании описывается уравнением -u(t)s(t)+ [Л0 + ЛД (')}* - Ръ\ [Л + (г)]в(* - т)с1т, (40) где

B(t)=\-B(t).

Считается, что цель страховой компании состоит в том, чтобы максимизировать средний капитал компании в некоторый момент времени Т

S(T) = m ах.

Теорема 3.2. Оптимальное управление расходами на рекламу для системы, описываемой соотношениями (20) и (40), имеет вид г * и0, если t < t , 0, если />/*, u(t)-где t - решение уравнения

Л^а

1-ехр

Г т-ЛЛ

T-t к

J J

-Л^рЪ \b(z} 1-ехр о \ rT-t л\ к dz = l. (41)

J J

В параграфе 3.3 третьей главы рассматривается проблема конкурентного взаимодействия двух страховых компаний, действующих на ограниченном страховом рынке. Так как число возможных клиентов N ограничено, то потоки клиентов, поступающих в каждую из компаний, делаются зависящими друг от друга. Пусть Kj(t) и £,(/) - число клиентов и капитал i -й компании в момент времени t. Считается, что изменения состояния i -й компании описываются следующими соотношениями: за малое время At в компанию приходит новый клиент с вероятностью Л{(Ы-K{(t)-K2(t))kt + o(Af), уплачивающий страховой взнос со средним значением а{; с вероятностью //jXi(/)A/ + o(A^) возможен уход клиента из компании; с вероятностью v^t + o(At) с каждым из клиентов компании V происходит страховой случай и ему выплачивается страховое возмещение со средним значением bi. Параметры ai3 v-, bi связаны соотношением juiai = (l + 9t )vjbi, где Gt > 0 - нагрузка страховой премии. Так как компании действуют на одном и том же страховом рынке, то естественно считать, что они действуют в одинаковых условиях, т.е. //,.=//, v. = у, b{=b. Тогда приращение среднего капитала компаний в единицу времени при t»1 определяется соотношениями

AS, = Nvjub—^-, AS2 = Nv/A—^-. (42)

Я1+Я2+/л Я1+Я2+/х

Величины Я1, Я2 рассматриваются как функции Я^ - Я1(в1,в2), Я2 = Я2,в2) от нагрузок страховых премий. В работе обоснован выбор функций Я] = Ях(в1,в2) и Я2 = Я2{в1,в2) в виде

О Л v^i J з /vm

Л--—' я2--z—v, (4JJ

1 + /

02

1 +/ в2 ви где f{z) - монотонно возрастающая функция, /(о) = 0, /(l) = 1, lim f{z)~ со; z->°о я(вх,в2) - симметричная по в1, в2 функция, lim Я{в1,в2) = Я{вх), где Я(^) -монотонно убывающая функция, lim Я{вх, в2 ) = Я0, функция Я(в)в имеет максимум по в.

Цель каждой из страховых компаний состоит в том, чтобы, выбирая премии , максимизировать приращение капитала компании. С математической точки зрения получившаяся задача представляет собой кооперативную игру двух лиц. В основе решения получившейся игры лежит построение переговорного множества, на котором происходит согласование стратегий игроков. В работе предложен алгоритм построения переговорного множества, рассмотрено несколько конкретных примеров его построения.

Основные научные результаты

Основные научные результаты, полученные автором и выносимые на защиту, состоят в следующем:

1) для классической модели страховой компании получено выражение для условной плотности распределения времени до разорения страховой компании и его моментов, исследовано асимптотическое поведение моментов при неограниченно возрастающем начальном капитале и в случае малой нагрузки страховой премии;

2) на основе классической модели страховой компании построено ее обобщение, учитывающие в явном виде отчисления на рекламу, получены условия эффективности рекламы, решена задача оптимального управления расходами на рекламу, исследовано влияние отчислений на рекламу на вероятности разорения и выживания, найдено условное среднее время до разорения;

3) исследована модель страховой компании с пуассоновским потоком страховых премий переменной интенсивности, в которой в качестве второй основной характеристики используется функция распределения времени пребывания клиента в компании.

Методика исследований

Исследование носит теоретический характер и проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории интегральных преобразований, теории управления, методов оптимизации.

Теоретическая ценность работы, по мнению автора, состоит в том, что в ней получены основные характеристики страховой компании для различных моделей: условное распределение времени до разорения и его моменты для классической модели; вероятности разорения и выживания для классической модели, учитывающей расходы на рекламу; распределение числа клиентов компании для модели с нестационарным пуассоновским потоком страховых премий.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные в ней формулы могут быть использованы для расчета нагрузок страховых премий, организации и оценки эффективности рекламных кампаний.

Публикации по работе

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях.

1. Кац В.М., Лившиц К.И. Влияние расходов на рекламу на характеристики страховой компании // Известия вузов. Физика. - 2001. - Т. 44, № 1. - С. 28-33.

2. Кац В.М., Лившиц К.И. Условное время разорения страховой компании при показательном распределении страховых выплат // Новые технологии и комплексные решения: Материалы всерос. науч.-практ. конф. Ч. 2. - Анжеро-Судженск, 2001. - С. 32-33.

3. Кац В.М., Лившиц К.И. Условное время до разорения страховой компании // Известия вузов. Физика. - 2002. - №2. - С. 64-70.

4. Кац В.М., Лившиц К.И., Назаров А.А. Исследование нестационарных бесконечнолинейных систем массового обслуживания и их применение к анализу экономико-математических моделей // Вестник Томск, гос. унта. - 2002. - № 275. - С. 189-192.

5. Katz V.M., Livshits K.I. Optimization of Advertising Expenses in the Functioning of an Insurance Company // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. - P. 82-84.

Электронная версия: «Information Process», http://www.iip.ru/2002/2-2-2002.htm. - P. 206-208.

6. Кац B.M., Лившиц К.И. Конкурентное взаимодействие двух страховых компаний на ограниченном страховом рынке // Вестник Томск, гос. унта. Приложение. - 2002. - № 1 (I). - С. 163-166.

7. Кац В.М., Лившиц К.И. Характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии // Вестник Томск, гос. ун-та. Приложение. -2002.-№1(1).-С. 159-163.

8. Кац В.М., Лившиц К.И. О конкурентном взаимодействии двух страховых компаний на ограниченном страховом рынке // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т. 9. - Вып. 2. - С. 389.

9. Кац В.М., Лившиц К.И. Оптимальное управление расходами на рекламу при деятельности страховой компании // Труды международной научно-практической конференции «Гуманитарные исследования и их роль в развитии педагогического образования». -Томск: Изд-во ТГПУ, 2002.

10. Кац В.М. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний // Рыночная экономика России в XXI веке: Сборник трудов. - Томск: Изд-во «SPRINT», 2001. - С. 238-240.

11. Кац В.М. Основные принципы моделирования деятельности страховых компаний в условиях рынка // Вторая областная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых: Сб. статей. -Томск: Изд-во «Графика», 2001. - С. 86-87

Апробация работы

Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на:

1. Второй областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, г. Томск , 2001 г.

2. Научно-практической конференции «Рыночная экономика России в XXI веке», г. Томск, 2001 г.

3. Всероссийской научно-практической конференции «Новые технологии и комплексные решения: наука образование, производство», г. Анжеро-Судженск, 2001 г.

4. Мемориальном семинаре, посвященном 60-ю со дня рождения В.В. Калашникова, «Прикладные стохастические модели и информационные процессы», г. Петрозаводск, 2002 г.

5. IV Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», г. Томск, 2002 г.

6. Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия), г. Сочи, 2002 г.

7. Международной научно-практической конференции «Гуманитарные исследования и их роль в развитии педагогического образования», секция «Актуальные проблемы экономики», г. Томск, 2002 г.

Автор выражает глубокую признательность доктору технических наук, профессору К.И. Лившицу, доктору физ.-мат. наук, профессору А.Ф. Терпугову, доктору технических наук, профессору А.А. Назарову за помощь при работе над диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кац, Вадим Маркович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследованы математические модели функционирования страховой компании. Основные результаты, полученные автором, состоят в следующем.

1. Для классической модели страховой компании найдено распределение условного времени до разорения страховой компании, а также моменты условного времени. Исследовано асимптотическое поведение распределения условного времени и его моментов при неограниченно возрастающем капитале, а также в случаи малой нагрузки страховой премии.

2. На основе классической модели страховой компании построено ее обобщение, учитывающие в явном виде влияние расходов на рекламу на деятельность страховой компании. Получены условия эффективности отчислений на рекламу. Для различных критериев оптимальности решена задача оптимального управления отчислениями на рекламу. Исследовано влияние отчислений на рекламу на вероятности разорения и выживания страховой компании и условное среднее время до разорения страховой компании.

3. Предложена и исследована модель страховой компании с пуассоновским потоком страховых премий переменной интенсивности. В качестве второй основной характеристики модели предложено использовать функцию распределения времени пребывания клиента в компании. Для предложенной модели найдены следующие характеристики: распределение числа клиентов компании, средний капитал компании, дисперсия капитала компании. Решена задача оптимального управления затратами на рекламу для принятой модели.

4. Рассмотрена задача конкурентного взаимодействия двух страховых компаний, действующих на ограниченном страховом рынке. Предложена модель, которая описывает конкурентное взаимодействие. Показано, что получившаяся задача сводится к кооперативной игре двух лиц. Предложен алгоритм построения переговорного множества, лежащего в основе решения получившейся игры.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кац, Вадим Маркович, 2003 год

1. Ахмедова Д. Д., Терпугов А.Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Известия вузов. Физика. 2001. - № 1. - С. 25-28.

2. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании // Известия вузов. Физика. 2001.- № 6. С. 3-7.

3. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Оптимизация деятельности страховой компании с учетом расходов на рекламу // Вестник Томского государственного университета. 2002. - № 275. - С. 181-185.

4. Белкина Т.А., Фролова А.Г., Чекалина С.В. Исследование динамической модели страхования: различные инвестиционные стратегии и вероятность разорения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8. - Вып. 2. - С. 534-535.

5. Белкина Т.А., Фролова А.Г., Чекалина С.В. О минимизации вероятности разорения при выборе инвестиционных стратегий, не использующих заимствований денежных средств // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т. 9. - Вып. 2. - С. 333.

6. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 1998. Т. 5. - Вып. 1. - С. 117-133.

7. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Асимптотические разложения для квантилей обобщенных процессов Кокса и некоторые их приложения к задачам финансовой и актуарной математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. - Т. 5. - Вып. 1. - С. 22-43.

8. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Асимптотическое разложение для вероятности разорения в классическом процессе риска при малойнагрузке безопасности // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. - Т. 7. - Вып. 1. - С. 177-179

9. Бойков А.В., Мельников А.В. О вероятности неразорения при воздействии экономической среды и инвестирования на рынке Башелье // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т. 9. -Вып. 2.-С. 340-341.

10. Булинская Е.В. Теория риска и перестрахование ч.1. Упорядочивание рисков. М.: ЦПИ, 2001.

11. Виноградов О.П. Об одном элементарном методе получения оценок вероятности разорения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. - Т. 5. - Вып. 1. - С. 134-139.

12. Виноградов О.П. Вероятность разорения страховой компании, когда интервалы между выплатами имеют неодинаковые показательные распределения // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43.- Вып. 2.

13. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки // Известия вузов. Физика. 2000.- № 4. С. 3-9.

14. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности выживания страховой компании с учетом банковского процента при пуассоновском потоке взносов // Известия вузов. Физика. 2001. - № 6. - С. 7-12.

15. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом банковского процента // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 3: Сборник статей -Томск: Изд-во Томск, гос. ун-та. 2001. - С. 14-25.

16. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М: Наука, 1969. - 400 с.

17. Градпггейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Наука, 1971. 1108 с.

18. Григорьев Ю.Д., Куклин А.В. К вопросу о вычислении вероятности разорения страховой компании в классической модели риска //Трудыпервой всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Ч. 2. Красноярск, 2002. - С. 99-105.

19. Григорьев Ю.Д., Куклин А.В. Вычисление нижних оценок вероятностей разорения в случае логнормального распределения размеров выплат //Математические модели природы и общества: Труды конференции ММПО. -Красноярск, 2002. С. 40-45.

20. Григорьев Ю.Д., Хекало И.Ю. Что такое оптимальная франшиза? //Математические модели природы и общества: Труды конференции ММПО. Красноярск, 2002. - С. 51-55.

21. Еникеева Ф., Калашников В. Модель риска с инфляцией //Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. - Т. 5. - Вып. 1. -С. 140-147.

22. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов //Известия вузов. Физика. -1999. -№ 4. С. 34-39.

23. Змеев О.А. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с конечным числом возможных клиентов //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. -Томск: изд-во Томе, госуд. ун-тета, 1999. С. 57-66.

24. Змеев О.А. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом банковского процента //Известия вузов. Физика.2001.-№ 1.-С. 19-24.

25. Змеев О.А. Построение переговорного множества при конкурентном взаимодействии двух страховых компаний //Известия вузов. Физика.2002. Т. 45. - № 2. - С. 52-56.

26. Калашников В., Константинидис Д. Вероятность разорения // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. - Т. 2. - № 4. -С. 1005-1100.

27. Калашников В.В., Цициашвили Г.Ш. Асимптотически точные двухсторонние оценки вероятности разорения при наличии больших выплат //Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. -№ 5. - Вып. 1.-С. 66-82.

28. Кениг Д., Штайян Д. Методы теории массового обслуживания. -М: Радио и связь, 1981.-128 с.

29. Кокс Д., Смит В. Вероятность разорения. -М: Советское радио, 1967. -350 с.

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. -М: Наука, 1977. 832 с.

31. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. -М: Наука, 1973 736 с.

32. Лившиц К.И. Вероятность разорения страховой компании для пуассоновской модели // Известия вузов. Физика. 1999. - Т. 42. - № 4. -С. 28-33.

33. Масяйкин С.А. Построение переговорного множества при конкурентном взаимодействии двух страховых компаний //Математические модели природы и общества: Труды конференции ММПО -2002. -Красноярск, 2002.-С. 133-138.

34. Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. -Минск, БГУ, 2001.-291 с.

35. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971. -230 с.

36. Параев Ю.И. Теория оптимального управления. Томск: изд-во Томск, гос. ун-та, 1986.

37. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1969. -384 с.

38. Прабху Н.У. Стохастические процессы теории запасов. М: Мир, 1984. -184 с.

39. Ройтенберт Я.Н. Автоматическое управление. М: Наука, 1978. - 552 с.

40. Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования //Обозрение прикладной и промышленной математики. -1994. Т. 1. - Вып. 5. - С. 699-779.

41. Саати T.JI. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. -М: Советское радио, 1971.

42. Свешников Д.Г., Тихонов А.Н. Теория функции комплексной переменной. -М: Наука, 1970. -340 с.

43. Смирнов В.И. Курс высшей математики: В 4 т. М: Наука, 1974. Т. 4.; Ч. I.-336 с.

44. Терпугов А.Ф. Экономико-математические модели. Томск: изд-во Томск, гос. ун-та, 1999. - 185 с.

45. Тонконогов Ю.М. Поиск движущегося сигнала в многоканальной системе. Томск: изд-во Томск, гос. ун-та, 1989. - 196 с.

46. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с анг.: В 2 т. М: Мир, 1967. Т. 1 - 498 с.

47. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. -Цюрих, 1988,-147 с.

48. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М: Наука, 1969.

49. Эмбрехтс П., Клюппельберт К. Некоторые аспекты страховой математики //Теория вероятностей и ее применение. 1993. - Т. 38. -Вып. 2. - С. 374-416.

50. Эмбрехтс П. Актуарный и финансовый подходы к расчету стоимости в страховании //Обозрение прикладной и промышленной математики. -1996.-Т. 5.-Вып. 1.-С. 6-22.

51. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978.

52. Asmussen S. On the Ruin Problem for Some Adapted Premium Rules. Probabilistic Analysis of Rare Events: Theory and Problems of Safety, Insurance and Ruin. Riga, 1999, - P. 3-15.

53. Gerber H.U. An Introduction to Mathematical Risk Theory. Wharton School. University of Pennsylvania, 1979. 164 p.

54. Grandell J. Risk and geometric sums // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. P. 52-53.

55. Grandell J. Simple Approximation of Ruin Probabilities. Probabilistic Analysis of Rare Events: Theory and Problems of Safety, Insurance and Ruin. -Riga, 1999,-P. 47-51.

56. Grandell J. Aspect of Risk Theory. New York: Springer-Verlag, 1991.

57. Konstantinides D.G., Tang Q.H., Tshitsiashvili G. Sh. Two-sides Bounds for Ruin Probability under Constant Interest Force // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. P. 98-101.

58. Malinovskii V.K. Approximations and upper bounds an probabilities of large deviations in the problem of ruin within finite time // Scand. Actuarial J., 1996.-P. 124-147.

59. Malinovskii V.K. Probabilities of Ruin when the Safety Loading Tends to Zero. Laboratory of Actuarial Mathematics University of Copenhagen. Working Paper № 153,1998. 36 p.

60. Norberg R. Sensitivity Analysis in Insurance and Finance // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. P. 121-124.

61. Panjer H.Y., Willmont G.E. Insurance Risk Models. Society of Actuaries, 1992.-442 p.

62. Schmidli H. Asymptotics of ruin probabilities for controlled risk processes in the small claim case // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. P. 141-142.

63. Tshitsiashvili G.Sh. Quality Properties of Risk Models Under Stochastic Interest Force // Applied Stochastic Models and Inform. Processes. Petrazavodsk, 2002. P. 149-152.tyv'V i?. " :1. А «•- « ,. ' ' jу v г; ■ I