Стационарные волны в нелинейных периодически модулированных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Рыжов, Юрий Николаевич

• Рыжов, Юрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рыжов, Юрий Николаевич

ВВЕДЕНИЕ п.1 Нелинейные взаимодействия в системах оптической обработки информации, пути повышения их эффективности п.2 Физическая картина распространения электромагнитных волн в нелинейных периодически модулированных средах. Возможности практической реализации рассматриваемых структур б п.З Формулировка задачи п.4 Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту. п.5 Научная и практическая ценность

ГЛАВА I. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР.

ГЛАВА П. СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В АКТИВНОЙ СРЭДЕ С

МАЛОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ

§ П.1 Дисперсионные свойства линейных периодических структур. Исходные уравнения для среды с активной нелинейностью

§ П.2 Уравнения стационарного режима

§ П.З Точные стационарные решения

§ П.4 Приближенные стационарные решения . 46 Основные результаты и выводы к главе П

ГЛАВА Ш. СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПЕРИОДИЧЕСКИ МОДУЛИРОВАННОЙ СРЕДЕ С РЕАКТИВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

§ Ш.1 Уравнения стационарного режима

§ Ш.2 Графический анализ стационарных решений

§ Ш.З Аналитический вид стационарных решений

§ Ш.4 Уравнения для электромагнитного поля вдали от полосы брэгговского отражения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стационарные волны в нелинейных периодически модулированных средах»

п. I. Нелинейные взаимодействия в системах оптической обработки информации, пути повышения их эффективности.

Одним из важных приложений современной оптики является обработка и передача информации [1-з]. В последние годы в этом направлении произошли качественные изменения, связанные с развитием волоконной и интегральной оптики [4-ю] - области физики, занимающейся вопросами распространения электромагнитных колебаний оптического диапазона по волноеодньш структурам с линейными размерами порядка длины волны света. Применение идей и методов волноводной техники, заимствованных из сверхвысоких частот, позволяет полностью использовать потенциальные возможности оптической обработки информации - высокое быстродействие, параллельную передачу и обработку большого числа информационных каналов, значительную помехозащищенность, а в перспективе - надежность и экономичность систем обработки [9-15, 82*}.

В области практической реализации, наибольшее распространение в настоящее время получили комбинированные опто-электронные и электрооптические схемы, представляющие собой дискретные оптические элементы (объемные, либо волноводные) в сочетании со стандартными электронными узлами и микросхемами [12, 15-1?, 19^. Такое сочетание, как правило, не является принципиальным и обусловлено, в основном, отсутствием на современном этапе ряда оптических устройств (оптические усилители и ретрансляторы, опто-оп-тические модуляторы, линии задержки, оптические логические элементы и т.п.)» которые могли бы составить конкуренцию электронным аналогам [10, 12, 19, 83-85],

Трудности практической реализации названных устройств заключаются в том, что в основе их функционирования должны лежать операции управления света светом. Такое управление возможно только на основе нелинейных взаимодействий волн в нелинейных средах. Поскольку в оптике коэффициенты нелинейной поляризуемости известных веществ крайне малы [20-22], то для получения заметных нелинейных эффектов необходимо обеспечивать очень большие плотности мощности.

Частично эта проблема решается переходом от объемных устройств к планарным и полосковыми волноводными структурами [23-26, 18], в которых происходит значительная концентрация энергии в сечении, перпендикулярном направлению распространения электромагнитных волн и, как указывалось, имеющим характерные размеры порядка длины волны распространяющегося излучения.

Дальнейшее увеличение плотности электромагнитных волн и, следовательно, эффективности их взаимодействия с нелинейной средой может быть достигнуто за счет увеличения времени взаимодействия. Возможным вариантом увеличения времени взаимодействия электромагнитного излучения с нелинейной средой является использование периодических структур, в которых свет многократно проходит один и тот же участок нелинейной среды из-за переотражений на периодических неоднородностях. Последнее приводит к уменьшению групповой скорости распространения электромагнитных волн, причем групповая скорость уменьшается во столько раз, во сколько раз увеличивается эффективность взаимодействия. Правда, увеличение это достигается на сигналах не произвольной формы, а вполне определенных, близких к собственным волнам соответствующих нелинейных структур. Наиболее интересными из этих собственных волн являются уединенные образования (типа солитонов [27-31, 86, 87] ), которые могут быть использованы в устройствах с кодого-импульсной обработкой и передачей информации [15, 32, 33, 88-90].

В связи с вышесказанным, исследование распространения электромагнитных волн в нелинейных периодически модулированных полосковых (или волоконных) волноводах с большим групповым замедлением представляет, на наш взгляд, значительный интерес для систем оптической обработки информации.

В известной нам литературе по нелинейным волнам (см. главу I) рассматриваются, как правило, нелинейные "гладкие" структуры, групповая скорость распространения электромагнитных волн в которых близка к скорости света. Нелинейные волны с большим групповым замедлением, существующие в нелинейных периодических структурах, насколько нам известно, до настоящего времени не рассматривались. п. 2. Физическая картина распространения электромагнитных волн в нелинейных, периодически модулированных средах. Возможности практического использования рассматриваемых структур.

Остановимся на качественной картине волновых процессов в нелинейных модулированных волноводах. Периодические модулированные структуры можно условно разделить на два класса: I) структуры с малой глубиной модуляции и периодом, сравнимым с длиной волны распространяющегося излучения; 2) дискретные периодические структуры типа цепочки резонаторов Фабри-Перо, состоящей, например, из чередующихся диэлектрических пластин с различными показателями преломления и толщиной, много большей длины волны света. Такое разделение отражает не столько разницу в физике явлений, которая весьма сходна для обоих классов, сколько различие в математическом аппарате, применяемом для анализа.

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением структур 1-го класса35). По типу нелинейности их также можно разбить на два вида: I) волноводные системы с активной нелинейностью, когда от интенсивности поля зависит поглощение (усиление) среды; 2) волноводы с реактивной нелинейностью, когда от интенсивности поля зависит показатель преломления.

В качестве примера структуры с активной нелинейностью, рассмотрим волновод с малой гармонической модуляцией эффективного показателя цреломления, активированный двухуровневыми поглощающими и четырехуровневыми усиливающими частицами, накачиваемыми внешним источником (рис. В.1). Выберем частоты переходов активирующих частиц равными частоте Брэгга. Сечения поглощения и концентрации подберем таким образом, чтобы для малых шумовых ин-тенсивностей света среда была бы поглощающей,'а при интенсив-ностях, больших некоторой пороговой - усиливающей (рис. В.2). Объяснить возможность существования в такой структуре медленных волн можно следующим образом. Допустим, что в начале полубесконечной среды в некоторый момент времени превышена пороговая интенсивность света. Тогда за счет переотражений на решетке эта интенсивность будет возрастать и область с усилением расширяться. Через некоторый промежуток времени инверсная населенность в начале среды будет снята и интенсивность здесь начнет уменьшаться. При этом область с усилением и, соответственно, с бользг ^ у Наряду со структурами 1-го класса параллельно исследовались и нелинейные дискретные структуры. Их анализу посвящены работы [34-37].

ЭНЕРГИЯ

3 > 2 ? ( \ > 1 2 а) б)

Рис. В.1. Системы энергетических уровней четырехуровневых усиливающих (а) и двухуровневых поглощающих (б) частиц:

I - безызлучательные переходы; 2 - активные переходы; 3 - накачка. нентной среде от интенсивности света:

--- усиление в четырехуровневой среде;

----- поглощение в двухуровневой среде; суммарный коэффициент усиления/поглощения. шей интенсивностью света переместится вглубь среды. Если проследить за светом дальше, то можно увидеть, что он будет все дальше удаляться от начала среды. Однонаправленность распространения импульса света определяется тем, что впереди импульса имеются инвертированные частицы, а позади инверсная населенность "сожжена". На некотором расстоянии от начала среды можно ожидать, что интенсивность в области с усилением установится на таком уровне, который будет соответствовать равенству притока энергии в области с усилением в центре импульса потерям в области с поглощением на переднем и заднем фронтах. При этом скорость распространения области с усилением должна быть мала из-за брэгговского отражения (волны, формирующие импульс, многократно проходят один и тот же участок среды, переотражаясь на неодно-родностях). Описанная картина внешне похожа на распространение области горения в бикфордовом шнуре. Существенное отличие заключается в том, что бикфордов шнур после скигания безвозвратно теряется, а "сожженная" инверсная населенность через небольшой промежуток времени восстанавливается под действием внешнего источника накачки. В течение этого времени линия обладает значительными потерями и сигнал в ней распространяться не может.

Отметим, что приведенное рассмотрение справедливо только для полосковых или волоконных волноводов достаточно малого поперечного сечения, для которых спектр нелинейных волн уже частотного расстояния между соседними модами. При этом условии поперечное распределение поля в нелинейном волноводе будет устойчивым и близким к поперечному распределению поля в линейном волноводе.

Особенности формирования и распространения импульсов в периодически модулированных активных волноводах позволяют говорить о возможности их практического использования, например, в качестве чисто оптических ретрансляторов для волоконно-оптических линий связи с кодово-импулъсной модуляцией. Такой ретранслятор должен представлять собой отрезок активного полоскового или волоконного волновода с периодической модуляцией параметров. При поступлении на его вход сигнала с мощностью, превышающей пороговую, на выходе его формируется стационарный импульс, форма которого не зависит от формы возбуждающего сигнала и определяется только лараметрами среды. Преимущество такого ретранслятора заключается в том, что он, в отличие от используемых в настоящее время, не требует перевода оптического сигнала в электрический и обратно. Кроме того, благодаря высокой добротности резонатора с распределенной обратной связью, энергетика этого ретранслятора будет сравнимой с энергетикой лазера с высокодобротным резонатором.

Если длина рассматриваемого ретранслятора достаточно велика (много больше расстояния, на котором формируется стационарный импульс), то его можно использовать и в качестве оптической линии задержки, скорость распространения сигнала в которой определяется внешней накачкой.

Другим возможным црименением активных периодически модулированных волноводов является использование их в логических элементах систем оптической обработки информации. Действительно, пороговые свойства линии, однонаправленность распространения стационарных волн и наличие позади стационарных импульсов зоны с сильным поглощением (зоны "рефрактерноети") - все это отвечает требованиям, необходимым для построения полного набора ней-ристорных логических элементов £38-40, 91].

Одним из простейших логических элементов может служить пересечение двух активных волноводов, на котором осуществляется операция "не" - импульс, распространяющийся в одном из волноводов, гасится, если в месте пересечения он попадает в зону "реф-рактерности" импульса, распространяющегося в другом волноводе.

По-видимому, аналогичные логические элементы можно построить и на реактивных линиях, не требующих накачки и действие которых может быть основано на рассеянии одного импульса другим при их столкновении на пересечении двух волноводов. Потери энергии импульсов, неизбежные при таких столкновениях, могут быть компенсированы на отрезке активного нейристора. Использование комбинации активных и реактивных нейристоров должно существенно уменьшить затраты энергии на обработку информации в среднем по всему устройству.

В качестве примера реактивного нейристора рассмотрим волновод, эффективный показатель преломления которого является периодической функцией цродольной координаты и квадратичной функцией напряженности электрического поля.

Для слабых полей, при которых можно не учитывать вклад нелинейности, продольное распределение поля в модулированном волноводе в окрестности брэгговской частоты описывается экспоненциально убывающей стоячей волной [41]. То есть, периодическая структура в брэгговской полосе является непрозрачной для электромагнитных волн. Пучности стоячей волны расположены в точках, где показатель преломления минимален (рис.Б.З). При увеличении амплитуды поля, влияние нелинейности приводит к появлению наведенной им модуляции показателя преломления. Для самофокусирующей среды наведенная модуляция оказывается точно в противофазе с модуляцией показателя преломления, которая определяет наличие брэгговского отражения для слабых полей. Очевидно, что при ампб)

Рис. В.З. а) распределение поля б периодически модулированной среде в окрестности брэгговской частоты; б) расцределение диэлектрической проницаемости в среде с одномерной модуляцией £ = (4+АсозкР2); 4 глубина модуляции, КР - пространственный период ( Кр = 2*1 /А ). литудах, больших той, при которой наведенная полем модуляция компенсирует первоначальную, среда должна быть прозрачной. Последнее означает возможность распространения электромагнитных волн на брэгговской частоте. Это распространение при определенных условиях может принять стационарный характер - вдоль волновода с постоянной скоростью будут распространяться электромагнитные волны либо в виде одиночных импульсов (солитонов), либо в виде последовательности импульсов. Скорость и вид стационарных волн при заданных параметрах среды определяются условиями возбуждения волновода.

Изменять условия возбуждения и, следовательно, осуществлять управление стационарными волнами можно с помощью двух связанных на некотором участке волноводов. В зоне связи должны осуществляться не только упомянутые выше операции рассеяния одного импульса другим, но и управление амплитудой и скоростью стационарных волн (за счет частичной перекачки энергии из одного волновода в другой).

Другим возможным применением модулированных волноводов с реактивной нелинейностью является использование их в качестве пассивных оптических линий задержки. п. 3. Формулировка задачи.

Приведенные качественные соображения о физике нелинейных процессов в периодически модулированных волноводах и следующие из них возможности практического использования рассматриваемых структур должны быть, конечно, подтверждены результатами строгого теоретического анализа.

Полный анализ распространения электромагнитных волн в периодически модулированных волноводах с активной и реактивной нелинейностью включает б себя рассмотрение целого ряда задач. Большинство из них формулируется в виде эволюционных уравнений в частных производных, описывающих процессы установления стационарных колебаний, эволюцию возмущений, взаимодействие стационарных волн друг с другом и сами стационарные волны. Как правило, такие исследования сопряжены с известными математическими трудностями, не позволяющими зачастую прийти к сколько-нибудь наглядным аналитическим результатам. Более простыми с точки зрения математики являются задачи о стационарном распространении электромагнитных волн. Их изучение, оставляя многие вопросы открытыми, дает тем не менее возможность качественно проследить некоторые основные черты рассматриваемых явлений.

В настоящей диссертационной работе проводится теоретический анализ только стационарного распространения электромагнитной энергии в волноводах с активной и реактивной нелинейностью и периодической модуляцией диэлектрической проницаемости.

При строгой постановке этой задачи для волноводов необходимо учитывать неоднородность диэлектрической проницаемости по трем пространственным координатам и, следовательно, уравнения описывающие распространения стационарных волн должны быть трехмерными. Однако, можно указать условия, при которых основные закономерности распространения электромагнитных волн достаточно точно описываются одномерными моделями.

Действительно, если принять во внимание, что реально используемые в оптике глубина модуляции показателя преломления волноводных структур и коэффициенты нелинейной поляризуемости сред малы [20-22, 41-43], а также предположить, что спектр стационарных решений уже частотного расстояния между соседними модами линейного регулярного полоскового (волоконного) волновода, то, во-первых, функции поперечного распределения нелинейного модулированного и линейного регулярного волноводов будут практически совпадать; а, во-вторых, стационарное решение, центр спектра которого совпадает с частотой какой-либо собственной моды, не будет возбуждать соседние. Поэтому продольное распределение поля в нелинейном модулированном волноводе при этих условиях будет совпадать с одномерным решением для нелинейной безграничной среды с малой одномерной гармонической модуляцией показателя преломления.

Отметим, что выбор одномерной модели для описания процессов в волноводах обусловлен простотой математической формулировки задачи. Практически же, одномерные волны в среде с одномерной модуляцией реализовать невозможно, так как плоские волны при наличие нелинейности являются неустойчивыми в поперечном направлении, в котором среда однородна.

Сформулируем теперь основные цели и задачи диссертационной работы:

1. Исследование особенностей стационарного распространения огибающих электромагнитных волн в нелинейных волноводах с периодической модуляцией эффективного показателя преломления на модели среды с одномерной малой гармонической модуляцией показателя преломления и нелинейностью двух типов

- активной нелинейностью (для среды, активированной двухуровневыми поглощающими и четырехуровневыми усиливающими частицами);

- реактивной кубичной нелинейностью (для самофокусирующейся среды).

2. Исследование распространения электромагнитных волн по двум связанным периодически модулированным волноводам с реактивной кубичной нелинейностью. п. 4. Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту.

Развитие чисто оптических методов обработки информации, основанных на нелинейных взаимодействиях, определяет актуальность работ, связанных с поисками путей повышения эффективности таких взаимодействий.

Как уже указывалось, до настоящего времени исследования эффектов сильного группового замедления в нелинейных периодически модулированных структурах, приводящих к значительному повышению эффективности нелинейных взаимодействий, в литературе не освещались. Проведенная нами работа в этом направлении позволила получить следующие новые результаты, выносимые на защиту:

1. Исследовано стационарное распространение огибающих электромагнитных волн в периодически модулированной среде, активированной двухуровневыми поглощающими и четырехуровневыми усиливающими частицами, накачиваемыми внешним источником. Задача сведена к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка с комплексной потенциальной ямой, зависящей от решения (§ П.2).

2. Найдено аналитическое решение этого уравнения в виде рядов Тейлора и предложена процедура вычисления коэффициентов этих рядов (§ П.З).

3. Установлено, что стационарное решение для огибающих электромагнитного поля в модулированной среде с активной нелинейностью представляет собой уединенный импульс, распространяющийся с очень малой групповой скоростью, равной приблизительно произведению скорости света на глубину модуляции диэлектрической проницаемости (§ П.4).

В рамках метода медленно меняющихся амплитуд найдено точное аналитическое решение нелинейного волнового уравнения для стационарного распространения огибающей электромагнитного поля в самофокусирующей среде с периодической модуляцией диэлектрической проницаемости в зависимости от отстройки от брэг-говского условия (§§ Ш.1 - Ш.З).

5. Показано, что для частот электромагнитного поля, близких к брэгговской, стационарное решение в этом случае представляет собой уединенный (солитоноподобный) импульс или последовательность импульсов, групповая скорость которых может быть много меньше скорости света в среде. На достаточном удалении от полосы брэгговского отражения задача сведена к модифицированному уравнению Кортевега-де Вриза, не обладающего солитонными решениями для рассматриваемой структуры (§§ Ш.2 - 1.4).

6. Рассмотрено распространение электромагнитных волн по двум связанным периодически модулированным волноводам с реактивной кубичной нелинейностью (§ 1У.1). Показано, что для синфазного и противофазного распределения полей в волноводах стационарные решения полностью совпадают со стационарными решениями для самофокусирующей среды с одномерной модуляцией диэлектрической проницаемости (§ 1У.З);

7. Рассмотрен частный случай взаимодействия стационарных решений. Показано, что в первом порядке теории возмущений одним из эффектов взаимодействия слабого периодического решения с интенсивным солитоноподобным является периодическая модуляция скорости последнего.

Основные результаты, полученные при работе над диссертацией, опубликованы в работах [74-81]. п. 5. Научная и практическая ценность.

Б работе рассматриваются реальные физические системы, моделирующие конкретные устройства, доступные современной технологии. Бее результаты, как точные, так и приближенные доведены до аналитического вида, допускающего простое физическое толкование и, при необходимости, сравнение с экспериментом.

Исследованный в работе метод позволяет реализовать заметные нелинейные взаимодействия при достаточно малых передаваемых мощностях. Как указывалось, это может найти свое применение при разработке высокоэффективных оптических ретрансляторов для волоконно-оптических линий связи и оптических нейристоров для систем обработки информации. При этом энергетика таких устройств будет сравнима с энергетикой лазеров с высокодобротными резонаторами.

Технология, разработанная в настоящее время для полупроводниковых лазеров на гетероструктурах, позволяет говорить о возможности практической реализации указанных устройств.

Г Л А В A I.

ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР.

Исследование волновых процессов в нелинейных средах с периодической модуляцией параметров можно отнести к широкому классу задач о волнах в нелинейных дисперсионных средах, изучение которых привлекает внимание большого числа исследователей из самых различных областей физики - оптики [20, 44-4б], акустики [47, 48], электроники [49-53, 92, 94], гидро- и газодинамики [54-56], физики твердого тела [57], биофизики [58, 59] и т.д.

Несмотря на специфические особенности этих задач и подходов к их решению, большинству нелинейных процессов присущ ряд общих качественных закономерностей. Эти закономерности являются следствием общей теории нелинейных волн в диспергирующих средах [бо]. Так, в нелинейной диспергирующей среде при синхронизме возможно явление многочастотного взаимодействия [24, 25, 44, 47, 68].

Другой эффект, также наблюдаемый в самых различных средах, - нелинейная самофокусировка или дефокусировка [20, 51, 64, 66, 68, ПО] и модуляционная неустойчивость [65, 66, 68, 100, III] волновых пакетов.

Особый интерес в изучении нелинейных диспергирующих сред представляют задачи, которые приводят к уединенным волнам, которые не искажаются в процессе распространения [27, 29-31, 49, 53, 57]. Как показали проведенные к настоящему времени исследования, уединенные солитоноподобные волны существуют в средах самой разнообразной физической природы [29, 30, 49, 53, 56, 68,

71, 87, 102, 104, 105, III].

По типу нелинейности все среды можно разделить на два класса [49]: I) консервативные системы, в которых выполняется закон сохранения энергии Wt + Рх = о ( W - плотность энергии,

Р - поток мощности), а стационарность уединенных волн обязана нелинейному сжатию пакета, компенсирующему его дисперсионное уширение; 2) системы, в которых свойства уединенных волн определяются балансом между скоростями выделения энергии и ее поглощения (см. Введение).

Как правило, задачи первого класса сводятся к таким модельным уравнениям, как уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) [29, 30, 60, 61,63, 86, 95-98], Буссинеска [29, 60, 63], синус-уравнение Гордона [26, 63, 86, 96-98], нелинейное уравнение решетки [29, 50, 57, 8б], уравнение Хироты [29, 8б], нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)[29,62, 63, 99, 100] и т.д. Остановимся кратко на некоторых из этих уравнений.

Уравнение КдВ

J» £хх = 0 , J3- сом*, довольно хорошо описывает волны в ангармонической решетке [iOl], ионно-звуковые волны в плазме [102, ЮЗ], магнито-гидродинами-ческие волны в плазме [104] и т.д. Одним из наиболее интересных свойств решений уравнения КдВ является "линейное" поведение уединенных волн [63]. Как показали Забуски и Крускал [105], две уединенных волны с различными амплитудами взаимодействуют нелинейно, но выходят из взаимодействия неизменными. Нелинейность таких решений заключается в том, что координаты и фазы солитонов после взаимодействия несколько отличны от тех, которые они имели бы в отсутствие взаимодействия.

Б работе [юо] Бути и Шарма провели подробный анализ свойств решений модифицированного уравнения КдВ (МКдВ) о, и показали, что при °</3 > о его решения обладают модуляционной неустойчивостью, а при <*р> < 0 решения устойчивы.

Хорошо известны уравнения "тодовской решетки", моделирующие процесс распространения звуковых волн в кристаллической решетке, d-fc

К = Йк- Зи-4 , с помощью которых Тода [107] описал движение в одномерной цепочке материальных точек. Хирота [108] нашел для уравнения нелинейного фильтра многосолитонное решение. Это уравнение совпадает с уравнением "тодовской решетки", а его Д/-солитонные решения имеют тот же вид, что и для уравнения КдВ.

Подробное описание уравнений и их решений для нелинейных фильтров дано в работе [50]. Экспериментальные результаты обнаружения солитонов в нелинейных фильтрах приведены в работах [50, 53, 109]. В частности, Марченко В.Ф. и Стрельцов А.М. [53] теоретически и экспериментально показали возможность эффективного формирования ударных волн и солитонов в нелинейной линии передачи типа фильтра нижних частот с ЩЩ-варикапами в качестве нелинейных емкостей.

Такие процессы, как стационарная самофокусировка плоской волны [бО, 64, 65, ПО], Ленгмюровские еолны в плазме [III], одномерная автомодуляция монохроматической волны [65, 99] и т.п. хорошо описываются НУШ

Х + + = о.

Решения НУШ обладают тремя важными свойствами [62]: I) существование солитонов огибающей, 2) неустойчивость периодической волны по отношению к модулирующим возмущениям (неустойчивость Бенджамина-Фейра), 3) периодически повторяющийся во времени возврат неустойчивой волны к начальному состоянию (возврат Ферми -Паста-Улама). Солитоны НУШ устойчивы в том смысле, что после взаимодействия друг с другом они сохраняют свои параметры, если не считать возможного сдвига по координате и фазе. Замечательным свойством солитонов НУШ является то, что их фазовая скорость примерно в два раза больше групповой скорости, и, следовательно, процесс нестационарен, хотя огибающая и стационарна [62].

Кроме рассмотренных примеров, известны и другие уравнения, обладающие уединенными решениями. И поскольку эти уравнения в некотором приближении описывают реально существующие волны, то различные виды солитоноподобных образований наблюдались и в экспериментах. Среди них - солитоны на мелкой воде [54], ионно--акустические солитоны в плазме [102], солитоны самофокусировки лазерного луча и оптические солитоны в волокнах [27, 31].

Приведенные модельные уравнения (кроме уравнений решетки) являются уравнениями в частных производных. Они описывают как стационарные, так и нестационарные процессы, т.е. процессы установления колебаний и взаимодействия решений. Математический аппарат исследования этих уравнений достаточно хорошо развит. Особой популярностью пользуется метод обратной задачи рассеяния [28, бб, 112], позволяющий получить точные решения некоторых из этих уравнений. Что касается уравнений решетки, то в работе [67] развит дискретный аналог обратной задачи теории рассеяния. К настоящему времени ведутся работы и по развитию спектрального подхода к решению задач для дискретных систем [ИЗ"].

Перечисленные примеры касались систем с реактивной нелинейностью. В активных средах (второй класс систем) так же возможно стационарное распространение уединенных волн. В этом случае имеет место баланс между выделением запасенной в системе энергии на нелинейностях и поглощением энергии возмущения в среде [29]. В отличие от импульсных солитонов и солитонов огибающей в реактивных системах, уединенные волны в активных средах неустойчивы в том смысле, что они не сохраняют своей формы после взаимодействия [29].

Как правило, анализ свойств решений для активной среды проводится либо на основе скоростных уравнений для активных частиц, либо волнового уравнения для среды, мнимая часть диэлектрической проницаемости которой является функцией электромагнитного поля.

Примером исследования свойств уединенных волн в активной среде может служить работа Ривлина Л.А. [713, Б которой рассматривается распространение импульса света в двухкомпонентной пороговой усиливающей среде.

Подавляющее большинство работ по нелинейным взаимодействиям в реактивных и активных средах посвящено анализу гладких структур. Исследованию же нелинейных процессов в электродинамических средах с пространственной периодичностью уделяется добольно мало внимания. При этом, в основном, рассматривается поведение нелинейных волн в полосах прозрачности структуры, как, например, в работах Богатырева Ю.К. и Ямпурина Н.П. [51, 52], посвященных преобразованию спектра и самогоздействию нелинейных волн в зонах пропускания периодической структуры, или в работе Белякова В.А. и Шипова Н.В. [72], рассматривавших условия синхронизма и повышение эффективности генерации второй гармоники в средах с периодической модуляцией диэлектрической цро-ницаемости. Особенности взаимодействия нелинейных волн в полосах непрозрачности (в полосах брэгговского отражения), анализируются, как правило, на примере структур конечной длины (типа брэгговского зеркала). Так, Дедушенко К.Б. и Маймистов А.И. [69] показали, что если на нелинейное брэгговское зеркало падает интенсивная световая волна, то оно самопросветляется. Последнее может привести к гашению генерации в лазере с брэгговскими зеркалами.

Эффект просветления ограниченной брэгговской структуры рассмотрен и в работе [Пб], в которой изложена теория оптического бистабильного устройства, представляющего собой отрезок нелинейной среды с распределенной обратной связью, и проведено сравнение бистабильных и транзисторных свойств такой структуры с бистабильными устройствами на основе нелинейных резонаторов Фабри-Перо.

Что же касается собственных колебаний неограниченной нелинейной периодической структуры в полосе брэгговского отражения, то, насколько нам известно, такие исследования до настоящего времени не проводились.

В заключение представленного краткого обзора отметим, что интенсивные исследования нелинейных волновых процессов приводят не только к более глубокому пониманию физики реальных явлений, но и открывают возможности создания практически важных устройств в самых различных областях науки и техники. Если говорить о системах оптической обработки и передачи информации (см. Введение), то это в первую очередь касается реализации логических (например, бистабильных [Ш, 115] ) элементов, устройств управления света светом [12, 83, 841, чисто оптических усилителей и ретрансляторов, устройств формирования сверхкоротких оптических импульсов с заданной формой огибающей [31] и т.п.

Именно возможность практического применения теоретически и экспериментально изучаемых нелинейных явлений делает исследование последних одним из актуальных направлений современной физики.

ГЛАВА П.

СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В АКТИВНОЙ СРЕДЕ С МАЛОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ.

В данной главе рассматриваются особенности стационарного распространения огибающих электромагнитного поля в полосковом (либо волоконном) волноводе с периодической модуляцией эффективного показателя преломления и активной нелинейностью.

Исходя из сделанных во Введении предположений о слабом влиянии нелинейности на поперечное распределение поля в волноводе и узости спектра стационарных волн, рассмотрение проводится на модели одномерных решений для среды с одномерной малой гармонической модуляцией диэлектрической проницаемости (см. рис. В.З.б), активированной двухуровневыми поглощающими и четырехуровневыми усиливающими частицами, накачиваемыми внешним источником (рис. В.1).

В § П.1 приводятся основные свойства линейных периодических структур и выписываются исходные уравнения относительно поляризаций и населенностей активных частиц, необходимые для решения поставленной задачи.

Полная система уравнений, связывающая распределение полей, поляризаций и населенностей оказывается слишком громоздкой. Поэтому далее делается ряд допущений, существенно не искажающих физику процессов, но позволяющих значительно упростить исходные уравнения. В результате задача сводится к отысканию решений однородного нелинейного волнового уравнения относительно напряженности электрического поля электромагнитной волны.

Решение этого уравнения для стационарного режима разыскивается в виде суммы прямой и обратной волн, распространяющихся на брэгговской частоте и содержащих компоненты, учитывающие доп плероЕский сдвиг. Малость нелинейных коэффициентов поглощения и усиления в среде и глубины модуляции диэлектрической проницаемости позволяет считать малыми и связанные с ними изменения комплексных амплитуд этих волн на пространственном периоде решетки и за временной период высокочастотных колебаний. Если ограничиться членами первого порядка малости (пропорциональными первым производным от амплитуд и нелинейным коэффициентам усиления /поглощения), а также предположить, что скорость стационарных решений много меньше скорости света в среде, то уравнение относительно напряженности электрического поля можно свести к однородному нелинейному уравнению относительно огибающей одной из волн, составляющих стационарный импульс (§ П.2).

Далее излагается методика отыскания точного решения этого уравнения в виде.рядов Тейлора и процедура вычисления коэффициентов этих рядов (§ П.З).

В конце главы проводится подробный анализ свойств стационарных волн на примере приближенного решения и обсуждаются полученные результаты (§ П.4).

§ ПЛ. Дисперсионные свойства линейных периодических структур. Исходные уравнения для среды с активной нелинейностью.

Поведение нелинейных волн в периодически модулированной среде со слабой нелинейностью во многом определяется ее линейными свойствами. Линейные периодические структуры в настоящее время хорошо изучены [41-43, 80]. Известно [41], что распространение электромагнитных волн в среде с одномерной гармонической модуляцией диэлектрической проницаемости описывается уравнением Матье Кгб(А + А<5Соз1<р2)Е = 0, - ь с^мс^,.^. (плл) где Е - напряженность электрического поля электромагнитной волны, К = (¿/с - постоянная распространения плоской волны на частоте со , с - скорость света в среде с диэлектрической проницаемостью £ , 4 « I - глубина модуляции диэлектрической проницаемости, Кр = 2А./А, А - период модуляции (см. рис. В.З.б).

Частное решение (П.1.1) может быть записано в виде произведения экспоненты на периодическую функцию с периодом А [41], представляемую рядом Фурье

-1&? г2 -1ПКР2

Ее(*)=е . Спл-2>

- оо

Методика нахождения коэффициентов ряда (П.1.2) и дисперсионного уравнения, определяющего постоянные распространения, достаточно полно изложена в [41]• Поэтому приведем здесь лишь основные результаты этого анализа:

I. Для малой глубины модуляции ( 4£<< I) дисперсионная характеристика периодической структуры имеет вид, представленный на рис. П.1. Как видно» наибольшей дисперсией периодическая структура обладает в окрестности полосы брэгговского отражения (БО), внутри которой Эт 4 о. Границы брэгговской полосы соответствуют частотам соаС\-8) и црИ отходе от границ полосы БО дисперсия периодической структуры уменьшается и на достаточном удалении от них периодическая структу

Рис. ПЛ. Зависимость действительных и мнимых частей постоянных распространения нулевой ( 10 ) и минус первой ( ) гармоник нулевого решения для электромагнитного поля в среде с одномерной малой гармонической модуляцией диэлектрической проницаемости, ^о - брэгговская частота. Точками обозначены возможные пространственные и в временные частоты нулевой (I, 2) и минус первой (3, 4) гармоник.

Рис. П.2

Зависимость отношения амплитуд нулевой (А) и минус первой (В) гармоник нулевого решения от расстройки от брэгговского условия. ра ведет себя как среда с материальной дисперсией вдали от полос поглощения.

2. Внутри полосы БО мнимая часть постоянной распространения Те не равна нулю и, следовательно, периодическая структура в этой области частот является непрозрачной для электромагнитных волн.

3. Коэффициенты ряда (ПЛ.2), определяющие амплитуды пространственных гармоник некоторого В -го решения, цропор-циональны , где И. - номер гармоники. При « I решение для электромагнитного поля в модулированной среде вдали от полосы БО является почти гармоническим. Внутри и в непосред

РАН и и, полосы, ственной близости от БО амплитуды I -ой и ( I - 1 )-ой гармоник I -ого решения сравнимы, а относительные амплитуды остальных много меньше единицы и решение практически является Ангармоническим. При этом, скажем, нулевое решение можно приближенно представить как сумму нулевой и минус первой гармоник

Е0 = е ( А - 6 е ; , (п.1.3) где А и В - постоянные комплексные амплитуды, связь между которыми зависит от глубины модуляции и частоты. На рис. П.2 представлена зависимость отношения В/А в окрестности брэгговской частоты.

4. Вдали от полосы БО групповая скорость решений близка к скорости света в среде, а внутри полосы решение представляет собой стоячую волну (рис. В.З.а) и групповая скорость равна нулю (переноса энергии нет).

Приведенные свойства периодических структур справедливы в линейном приближении. Наличие нелинейности (в данном случае активной) должно привести к изменению характера собственных волн периодически модулированной среды, заполненной двухуровневыми и четырехуровневыми частицами. Качественная картина распространения электромагнитного излучения в такой среде была описана во Введении. Для математической формулировки задачи необходимо привести некоторые дополнительные соображения, касающиеся исходных уравнений и рамок их применения.

Для описания явлений, связанных с взаимодействием электромагнитного поля с активными частицами, будем использовать полуклассический подход, при котором поля описываются классически, а среда - квантовомеханически [33]. Такой подход оправдан, если не рассматривать шумовые явления (например, спонтанную эмиссию) и ограничиться анализом резонансного взаимодействия, когда частота электромагнитного поля близка к частотам рабочих переходов поглощающих и усиливающих частиц.

Резонансное поглощение (и связанный с ним эффект просветления поглощающего перехода двухуровневых частиц) и когерентное излучение в четырехуровневых средах как макроскопические явления обычно обусловлены электрическими дипольныыи переходами между различными энергетическими уровнями в атомах и молекулах [33].

Уравнения движения для электрического дипольного момента, согласно [33], можно записать в виде уравнений для полной макроскопической поляризации Р и разности населенностей в единице объема ( л/, - л/г )

ЭМ-л/р (л/,-л/0-(А/,-л/2)е Э£ лок (П.1.4) э -ь т = ъ± > где % - время поперечных релаксаций, связанное с шириной линии перехода; Т - время продольных релаксаций, связанное со спонтанным излучением; Л - частота рабочего перехода; (/^-4) - разность населеннойстей в отсутствие поля; & - эффективное сечение поглощения; £ = 120 £ (Ом) - волновое сопротивление

X Г-ЛОХ . вакуума; "Ь - постоянная Планка; £ - локальное поле, действующее на каждый атом или молекулу.

Уравнения (П.1.4)справедливы цри следующих предположениях: во-первых, ширина линии перехода мала по сравнению с резонансной частотой (Я.2Ъг » I); во-вторых, поле Елок постоянно по всему объему; в третьих, разность вероятностей заселения нижнего и верхнего энергетических собственных состояний приблизительно одинакова для всех молекул. В [33] показано, что эти приближения для большинства реальных случаев приводят к весьма незначительным ошибкам.

Уравнения для поляризации и разности населенностей (П.К4) описывают поведение среды при наличии электромагнитного поля. Чтобы эта система уравнений была замкнутой, ее необходимо дополнить уравнением для поля, учитывающим обратное воздействие динамических свойств среды на это поле. Такое уравнение выводится стандартным образом из: уравнений Максвелла для изотропной поляризуемой среды и имеет вид [33]

Л Р - ?!1 - м /тт т ^

Со* УГ7- нг ' (П.1.5) где £ - относительная диэлектрическая проницаемость среды, уМа - магнитная проницаемость вакуума, С0 - скорость света в вакууме. Поляризационный источник Р* и макроскопическое поле Е связаны, соответственно, с действительной поляризацией Р и локальным полем ЕЛ°' соотношениями [33] р' = ^ р, / £ + 2 \ г где I- = V ~з~~ ) - поправочный коэффициент Лоренца.

Уравнения (П.1.4), (П.1.5) и (П.1.6) образуют замкнутую систему, на основе которой в дальнейшем проведено исследование стационарного режима распространения электромагнитных волн в двухкомпонентной среде, диэлектрическая проницаемость которой является периодической функцией одной из пространственных координат.

§ П.2. Уравнение стационарного режима.

Ограничимся рассмотрением одномерных решений в среде с малой гармонической модуляцией диэлектрической проницаемости. Система уравнений, связывающая распределение электрического поля плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль направления модуляции, поляризации и населенности активирующих двухуровневых и четырехуровневых частиц, может быть записана, исходя из (П.1.1, П.1.4-П.1.6), следующим образом: эг2ч* о 61 \Г1

Т>2 Р1 г ЪРл

-ае т ъь '

Э^Рг. 2 ЭР4

Ч* Гг Ъ±

И,-и,'

Тл

ЭИг + Иг. + И. дЬ Тг (<+ 43Со,2кг) 1-1 в/|. (+

Со1- 4 ' / Ъ-11- } »

У\л Е . г ъРл г

Ь со э* Ь » (П.2.1)

Здесь и "Ь - пространственная и временная координаты; Е -напряженность электрического поля; 2. к - пространственная частота модуляции (к=(0)/со)/£ ); со - брэгговская частота; Р1 , , Т1 - поляризация, время поперечных и продольных релаксаций усиливающих четырехуровневых частиц; Р2 , « тг -то же для двухуровневых поглощающих частиц; и^ и иг - разности населенностей на верхнем и нижнем уровнях рабочих переходов усиливающих и поглощающих частиц, соответственно; ъ* и и/ - населенности на верхнем уровне для усиливающих частиц и на нижнем для поглощающих при Е = О (считается, что при Е = О нижний уровень усиливающего перехода четырехуровневых и верхний и-£ е уровень поглощающих двухуровневых частиц пусты и создается накачкой). При записи (П.2.1) предполагалось также, что Р^Р' Г С л О К

И ь — Ь

Система уравнений (П.2.1) является достаточно полной и точной, но слишком сложной для поиска стационарных решений. Однако, если учесть некоторые очевидные особенности разыскиваемых решений, то можно использовать ряд вполне оцравданных приближений и допущений.

Будем разыскивать решение в виде квазигармонического колебания на брэгговской частоте г- — I — ^ - ¡.иэ-ь

Е = Ее + Е'е и

Ъ = Р. е * Ъ е где Е и - амплитуды поля и поляризаций, соответственно. Если амплитуды Р^ изменяются во времени медленно, так что ъь н * то из уравнений для поляризации в (П.2.1) имеем: Р; « I -±—1 И: Е

ЪЪ ЗЛ К Ё (П.2.2) э "Ь ^ гр '

Учитывая (П.2.2) уравнения для электрического поля и населен-ностей в (П.2.1) можно записать следующим образом:

Ъ± ~т7 =" ^ " ' (П.2.3)

ОК. + + п Е^

Приближенные уравнения (П.2.2) соответствуют временному спектру Фурье разыскиваемого решения более узкому, чем полосы усиления и поглощения.

Допустим далее, что длительность решения Т0 такова, что

Тл » 'Со Т2 .

Эти условия обычно выполняются.

Неравенство ^о >>Т2 позволяет из уравнения для получить следующее приближенное соотношение и е п ^ -I*- . СП.2.4а)

1 + ЪЛЪее^

Неравенство »Ъ позволяет пренебречь изменением инверсной населенности из-за спонтанного сброса и накачки за вре> мя действия импульса

СП.2.«)

Если бы Т,-* 00 , то для ил решение имело бы вид — 00 ' что соответствовало бы сбросу инверсной населенности проходящим импульсом со значения ^1 до значения

При конечном Т1 , но значительно превышающем длительность импульса (когда можно пренебречь изменением У\л за счет накачки и спонтанного распада), восстановление инверсной населенности происходит после действия импульса по экспоненте с постоянной времени Тл . Поскольку гц до импульса не изменяется, во время импульса практически зависит только от Е Ё* , а изменение после действия импульса на него уже не влияет, то в качестве решения для можно принять приведенное выше приближенное решение.

Дальнейшее упрощение возможно, если ограничиться рассмотрением случая слабого взаимодействия поля с активными частицами, когда в разложении и, и Иг в ряд по степеням ЕЁ* можно ограничиться учетом только первого порядка ЁЕ* .

Учитывая все указанные выше допущения и приближения можно окончательно записать следующее нелинейное уравнение для электрического поля волны

-г * т 01.2.5) оо

В тех приближениях, о которых говорилось выше, полученное уравнение описывает как различные переходные (нестационарные) процессы, так и распространение стационарных колебаний. Поскольку нашей основной задачей является исследование последних, то допустим, что уравнение (П.2.5) имеет стационарное решение, движущееся в сторону отрицательных * с групповой скоростью IX , много меньшей скорости света. Будем разыскивать решение в движущейся системе координат ( * ± , г' = г * гг! ) в виде суммы нулевой и минус первой гармоник нулевого решения (П.1.3), которые в дальнейшем будем называть прямой и обратной волнами.

При V = 0, учитывая малость нелинейных коэффициентов усиления (поглощения) и глубины модуляции диэлектрической проницаемости, решение для амплитуд прямой и обратной волн стационарного решения можно было бы разыскивать как медленные функции пространственной координаты г' независящие от времени. При у 4 0 необходимо учесть, что в движущейся системе координат поле, рассеянное прямой волной в обратную на неподвижной решетке, получает двойной допплеровский сдвиг по частоте. Для поля рассеянного обратной волной в прямую, допплеровский сдвиг по частоте, очевидно, будет противоположным по знаку. Из сказанного следует, что прямая и обратная волны стационарного решения в движущейся системе координат должны содержать, по крайней мере, по две временные гармоники, отличающиеся друг от друга по частоте на двойной допплеровский сдвиг r 2i SH' 1 LK*'

ECz^nAoM + A^'Je Je + r N -2iSJLt'n -IK*' [вь(0+Мг')е Je (n.2.6) где SI = ojvsil /Со «и) - допплеровский сдвиг, а амплитуды А о, A., , в« и удовлетворяют неравенствам « к А > 7г> (П.2.7)

Переходя в (П.2.6) из движущейся системы координат в неподвижную имеем: г / n n / ,4 -i-Si-t-n iKf (П.2.8)

Подставив (П.2.8) в (П.2.5) и цриравняв члены с одинаково быстрыми пространственными и временными гармониками - К и ± Я с учетом (П.2.7) получим следующую систему укороченных уравнений относительно медленно меняющихся амплитуд прямой и обратной волн на частотах выше и ниже брэгговской

O-ZV^-i* ^-tKSA.-jLkfViA),

СП-2-9) с,. 4| t tag в0 - US А, - i(f„6„ ♦ Сво.

Здесь = ^ЛЪ а 2 -Ьсл^ ь о - 1 (АиАм*+ бнб*),

Л-о к/, = л« А/ + ь0в-Г.

Система уравнений (П.2.9) инвариантна относительно преобразований

Аа - ± А/ , В0 + В/.

Такая инвариантность позволяет свести задачу к анализу уравнений относительно только амплитуд прямой и обратной волн на одной из частот ± . Учитывая это и вводя относительные безразмерные величины ^ = кЗ?' , г эе ггСсЗ.)"1^ = , = А имеем следующую систему уравнений, описывающих стационарный процесс (А0= А , = = В ): + ц)ёА + 1зеА - -16 * + Ь А*,

П.2.10) ч £11 - 1э2\Ь = IА

2(АА% ве>*) , АЬ*-вБ*

Если глубина модуляции диэлектрической проницаемости достаточно велика, так что постоянная затухания поля из-за отражения на брэгговской частоте превышает коэффициент поглощения (усиления) в любой точке ^ , то и \М« I.

Ожидаемое значение скорости стационарного решения гг также много меньше скорости света в среде с =е0/\Гё. , т.е. и« I.

Учитывая эти неравенства, из уравнений (П.2.10) после подстановки одного в другое и пренебрежения малыми величинами второго порядка получим следующее однородное нелинейное уравнение

-= О, (П.2.П) коэффициент, соответствующий относительному поглощению в среде в отсутствие поля; коэффициент, учитывающий сброс инверсной населенности 4-уровневых частиц; коэффициент, учитывающий эффект просветления поглощающего перехода 2-уров-невых частиц.

Отметим*, что уравнение (П.2.II) удовлетворяет условию Липшица и непрерывности \11Э\ и, следовательно, имеет единственное решение при заданных начальных и граничных условиях.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Рыжов, Юрий Николаевич

Основные результаты и выводы к главе 1У.

В главе рассмотрены особенности распространения электромагнитных волн по двум связанным волноводам с периодической модуляцией эффективного показателя преломления и кубичной реактивной нелинейностью. На основе анализа этой структуры получены следующие основные результаты:

1. В приближении слабой связи волноводов и малости глубины модуляции эффективного показателя преломления с помощью метода медленно меняющихся амплитуд исходное 2-х мерное скалярное уравнение для электрического поля электромагнитной волны сведено к системе четырех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно комплексных амплитуд прямых и обратных волн в одном и другом голноводах.

2. Получены и проанализированы дисперсионные характеристики и решения для электромагнитного поля линейных связанных периодически модулированных волноводов. Показано, что наличие сильной (относительно эффектов рассеяния на периодической структуре) связи приводит к просветлению структуры на брэгговской частоте и образованию двух полос БО, соответственно, для четной и нечетной мод. Указана возможность создания узкополосных полосовых и заградительных фильтров на основе линейных связанных модулированных волноводов.

3. Показано, что при синфазном и противофазном распределении полей б волноводах, соответствующих распространению четной или нечетной мод структуры, в ней существуют медленные стационарные волны, полностью эквивалентные стационарным волнам для нелинейной среды с одномерной модуляцией диэлектрической проницаемости.

4. Рассмотрен один из частных случаев взаимодействия стационарных решений. Показано, что в первом порядке теории возмущений одним из эффектов взаимодействия слабого периодического решения с интенсивным солитоноподобным является периодическое изменение скорости последнего.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию особенностей распространения огибающих электромагнитных волн в нелинейных волноводах с периодической модуляцией эффективного показателя преломления. Интерес к подобного рода исследованиям обусловлен тем, что в окрестности брэгговской частоты стационарное распространение энергии в таких волноводах модет носить "сверхмедленный11 характер. Последнее обеспечивает высокую эффективность взаимодействия электромавнитного излучения с нелинейной средой и, следовательно, более выгодную энергетику по сравнению с традиционными устройствами, где сигналы распространяются со световой скоростью.

Круг задач диссертационной работы был ограничен анализом стационарных процессов в периодически модулированных структурах с активной и реактивной нелинейностью. На этом этапе исследования подобных структур в работе получен ряд оригинальных результатов, среди которых можно отметить следующие:

I. Впервые рассмотрено стационарное распространение электромагнитной энергии в полосковом (волоконном) волноводе с гармонической модуляцией эффективного показателя преломления и активной нелинейностью. На модели одномерных решений для среды с периодической модуляцией диэлектрической цроницаемости, активированной двухуровневыми поглощающими и четырехуровневыми усиливающими частицами, показано, что:

I) в приближении слабого взаимодействия электромагнитного поля с активными частицами задача может быть сформулирована в виде нелинейного уравнения второго порядка с ком

- но плексной потенциальной ямой, зависящей от решения, относительно медленно меняющейся комплексной амплитуды одной из волн, формирующих стационарный импульс;

2) точное решение этого уравнения представляется сходящимися рядами Тейлора, процедура вычисления коэффициентов которых сводится к решению алгебраических уравнений;

3) при определенных условиях основные свойства стационарной волны достаточно точно описываются "параболическим" приближением, учитывающим только два первых члена в этих рядах;

4) в "парабойическом" приближении решение для электрического поля электромагнитной волны представляет собой биения с импульсной огибающей, скорость перемещения которой приблизительно равна произведению скорости света на глубину модуляции диэлектрической проницаемости;

5) позади импульса электромагнитного поля распространяется область с сильным поглощением (зона "рефрактерности"), длительность которой определяется временем восстановления инверсной населенности четырехуровневых частиц внешней накачкой;

6) плотность мощности, необходимая для формирования стационарного импульса в рассмотренных структурах на основе полупроводниковых материалов составляет величину поряд-р ка I МВт/см , которая характерна для полупроводниковых лазеров с высокодобротными резонаторами,

П. Впервые исследовано стационарное распространение огибающих электромагнитных волн в волноводах с периодической модуляцией эффективного показателя преломления и кубичной реактивной нелинейностью, На модели самофокусирующей среды с одномерной периодической модуляцией диэлектрической проницаемости показано, что:

1) в рамках метода медленно меняющихся амплитуд стационарный режим распространения электромагнитных волн в окрестности брэгговской частоты описывается системой двух нелинейных уравнений первого порядка относительно энергии, запасенной в единице объема, и разности фаз прямой и обратной волн периодической структуры;

2) точные решения уравнений стационарного режима являются функциями Якоби, описывающими распространение периодических либо солитоноподобных волн, причем последние существуют только внутри полосы брэгговского отражения;

3) в отличие от среды с активной нелинейностью, собственные стационарные решения образуют непрерывный спектр по скорости распространения, начальным условиям и отстройки от брэгговской частоты; в полосе брэгговского отражения решения для запасенной в среде энергии описываются двумя классами периодических функций, границей между которыми служит солитоноподобное решение;

4) при отходе от брэгговского условия наблюдается несимметрия в поведении стационарных волн, объясняемая уменьшением ширины полосы брэгговского отражения и увеличением среднего значения показателя преломления нелинейной среды под действием электромагнитного поля;

5) групповая скорость V стационарных волн может быть много меньше скорости света в среде, в том числе и ^ = 0. При ЯГ« С передаваемая мощность пропорциональна V и, следовательно, формирование, например, уединенных волн в рассматриваемой структуре происходит при значительно меньших передаваемых мощностях, чем в средах с естественной дисперсией, где скорость уединенных волн близка к скорости света.

III. Впервые рассмотрены особенности распространения электромагнитных волн в связанных волноводах с периодической модуляцией эффективного показателя преломления и кубичной реактивной нелинейностью. Показано, что в случае синфазного или противофазного распределения полей в волноводах реализуется стационарный режим распространения огибающих электромагнитных волн с поперечным распределением, соответствующим четной и нечетной модам структуры. Продольное распределение огибающих при этом идентично распределению стационарных решений для среды с одномерной модуляцией диэлектрической проницаемости и кубичной реактивной нелинейностью. Для этой же структуры рассмотрено взаимодействие периодического и солитоноподобного решений. Установлено, что в первом порядке теории возмущений одним из эффектов взаимодействия является периодическая модуляция скорости солитоноподобного решения.

Полученные е работе теоретические результаты указывают на возможность построения таких устройств оптической обработки и передачи информации, как высокоэффективные ретрансляторы для волоконно-оптических линий связи, элементы нейристорной логики, оптические линии задержек, устройства управления скоростью и формой электромагнитных волн и т.п., практическая реализация которых доступна современной технологии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рыжов, Юрий Николаевич, 1984 год

1. Оптическая обработка информации. Сб.статей под ред. С.П.Ер-ковича. - М.; Мир, 379 е., 1966.

2. Кейсенсент Д. Оптическая обработка информации. М.: Мир, 349 е., 1980.

3. Ван дер-Люгт. Когерентная обработка информации. ТййЭР, т.62, № 10, с.5-28, 1974.

4. Иогансен Л.В. Теория резонансных электромагнитных систем с полным внутренним отражением. -ЖТФ, т.32, № 4, с.406, 1962.

5. Малов В.В., Павловский Д.А., Иогансен Л.В. Нестационарная теория резонансной туннельной связи оптических волноводов.-ЖТФ, т.52, № 10, с.1922-1926, 1982.

6. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Волноводные системы инфракрасного и светового диапазонов волн. Тезисы докладов У межвузовской конференции по электронике СВЧ.- Саратов, с.106, 1966.

7. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Свойства плоских несимметричных волноводов на подложке из диэлектрика. Изв. вузов СССР радиоэлектроника, т. 10, Ш 9, с.134-142, 1967.

8. Когельник Г. Введение в интегральную оптику. УФН, т.121, вып. 4, с.695-726, 1977.

9. Мидвинтер Д.Э. Волоконные световоды для передачи информации. М.: Радио и связь, 336 е., 1983.

10. Дерюгин Л.Н. Возможности, ограничения и проблемы развития планарной волноводной оптики. Изв. вузов СССР - радиоэлектроника, т.25, Ш 2, с.4-20, 1982.

11. Волощенко Ю.Й., Дерюгин Л.Н., Курдюмов O.A., Сотин В.Е., Фролкин В.Т., Черемискин И.В. Оптимизация характеристик ипредельные возможности тонкопленочного лазерного логического элемента. Изв. вузов СССР - радиоэлектроника, т.21, Ш II, с.104-108, 1978.

12. Широков Г.И. Световодные системы передачи проблемы и перспективы. - Техника средств сеязи, сер. Техника проводной связи, вып. 36, с.3-17, 1982.

13. Демченков В.П., Дерюгин Л.Н., Чекан А.В. Передача по одиночному волокну строки оптического изображения с помощью спектральных приборов. Оптика и спектроскопия, т.48, вып. 2,с.336-339, 1980.

14. Фризем А., Леви У., Силберберг. Параллельная передача изображений по одиночному волокну. ТИЙЭР, т.71, № 2, с,21-36, 1983.

15. Реган Й.П. Цифровая техника и передача по световодам в технике связи. Зарубежная радиоэлектроника, № 5, с.84-89, 1983.

16. Катыс Г.П. Оптико-электронная обработка информации. М.: Машиностроение, 448 е., 1973.

17. Андрушко Л.М., Вознесенский В.А., Панфилов И.П. Современное состояние и перспективы развития оптических интегральных схем. Зарубежная радиоэлектроника, № II, с.60-72, 1983.

18. Уоллер Л. Важные компоненты оптических логических схем. -Электроника, № 26, с.3-4, 1982.

19. Ботез Д., Херсковиц Д. Компоненты оптических систем связи: Обзор. ТЙИЭР, т.68, № 6, с.57-107, 1980.

20. Беспалов В.И., Литвак А.Г., Таланов В.И. Самовоздействие электромагнитных волн в кубичных изотропных средах. В сб.: Нелинейная оптика. Труды 2-го Всесоюзного симпозиума по нелинейной оптике. - Новосибирск: Наука, с.428-463, 1968.

21. Ахманов С.А. Оптические нелинейности высших порядков. В кн.: Нелинейная спектроскопия/ Под ред. Н.Бломбергена. М.: Мир, с.323-346, 1979.

22. Малов В.В., Туровцев A.B., Иогансен Л.В. К теории призмеиной связи с нелинейным оптическим волноводом: генерация второй гармоники. 1ТФ, т.53, te 2, с.282-291, 1983.

23. Сотин В.Е. Генерация комбинационных частот в пленочных диэлектрических волноводах оптического диапазона. Кандидатская диссертация. М.: УДН, 1969.

24. Реутов А.Т. Исследование нелинейных взаимодействий световых волн в тонкопленочных оптических волноводах. Кандидатская диссертация. М.: УДН, 1975.

25. Бикеев О.Н., Дерюгин Л.Н., Реутов А.Т. Генерация второй гармоники в нолосновом ЬЛ1(?волноводе. 1ТФ, Т.49, № II,с.2499-2501, 1979.

26. Солитонн в действии./Под ред. К.Лонгрена, Э.Скотта. М.: Мир, 312 е., 1981.

27. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи./ Под ред. С.П.Новикова. М.: Наука, 320 е., 1980.

28. Скотт А., Чу Ф., Маклафлин Д. Солитон новое понятие в прикладных науках. В кн.: Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. - М.: Сов.радио, с.215-284, 1977.

29. Асано Н. Солитоны и нелинейная теория волн. Будущее науки. Международный ежегодник, вып. 12, с.38-48, 1979.

30. Выслоух В.А. Эксперименты с оптическими солитонами. УФН, - т.136, №3, с.519-531, 1982.

31. Баак К., Эльзе Г. и др. Цифровая и аналоговая передача широкополосных сигналов по оптическим линиям. ТИИЭР, т.71, № 2, с.8-20, 1983.

32. Пантел Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники. М.: Мир, 384 е., 1972.

33. Датта Гупта Субхасиш, Сотин В.Е. Медленные стационарные волны в бесконечной цепной линии. В кн.: Материалы 1У конф. молодых ученых УДН: мат., физ.,химия. - М.: с.114-118, 1981,деп. в ВИНИТИ АН СССР, № 4447-81.

34. Датта Гупта Субхасиш, Сотин В.Е. Медленные уединенные волныв бесконечной цепной линии с активной кубичной нелинейностью. Изв.вузов СССР - радиоэлектроника, т.26, № 3, с.25-30,1983.

35. Датта Гупта Субхасиш, Сотин В.Е. Медленные сильно локализованные волны в бесконечной цепочке резонаторов Фабри-Перо с активной нелинейностью. Тезисы докладов XI Всесоюзной конф. по когерентной и нелинейной оптике.

36. Датта Гупта Субхасиш, Сотин В.Е. Медленные стационарные волны в длинной линии передачи с кубичной нелинейностью. Изв. вузов СССР - радиофизика, т.25, №11, с. 1285-1290, 1982.

37. Косоноки В. Возможности построения вычислительных машин на квантовых нейристорах. В кн.: Оптическая обработка информации. Сб.статей под ред. С.П.Ерковича. М.:Мир, с.133-165,1966.

38. Розенгрин А. Экспериментальная модель нейристора.- Электроника, т.36, № 9, с.13-16, 1963.

39. Стафеев В.И., Комаровских К.Ф., Фурсин Г.И. Нейристорные идругие функциональные схемы с объемной связью. Сб. Массовая библиотека инженера.Электроника, № 27. М.: Радио и связь, III е., 1981.

40. Сотин Б.Е. Брэгговское отражение в периодических структурах. Учебн.пособие для курсового и дипломного проектирования. -М.: УДН, 44 е., 1981.

41. Сотин Б.Е. Оптические волноводы с пространственной периодической модуляцией параметров. НТОРЭиС им.А.С.Попова, XXXI Всесоюзная научная сессия, посвященная дню радио. Аннотация и тезисы докладов. - М., с.93-95, 1976.

42. Быковский В.И., Смирнов В.А., Шмалько А.В. Поверхностные волны в элементах интегральной оптики с распределенной обратной связью.Обзор. -Квантовая электроника, т.5, № II, с.2309-2331,1978,

43. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. М.: ВИНИТИ, 295 е., 1964.

44. Шуберт М., Вильгельм Б. Введение в нелинейную оптику. 4.1 -М.: Мир, 244 е., 1973; Ч.П М.: Мир, 512 е., 1979.

45. Шен Р. Нелинейная оптика одномерной периодической среды. -В кн.: Нелинейная спектроскопия. /под.ред.Н.Бломбергена. -М.: Мир, с.250-258, 1976.

46. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 287 е., 1975.

47. Наугольных К.А., Островский Л.А., Сутин A.M. Нелинейная акустика. В кн.: Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие. -М.: Наука, с.166-187, 1981.

48. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. -М.: Сов.радио, 368 е., 1977.

49. Хирота Р., Судзуки К. Теоретическое и экспериментальное исследование солитонов решетки в нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами. ТИИЭР, № 10, с.124-132, 1973.

50. Богатырев Ю.К., Ямпурин Н.Л. Самовоздействие волн в периодических структурах. Изв.вузов СССР - радиофизика, т.21,9, с.1268-1274, 1978.

51. Богатырев Ю.К., Ямпурин Н.Л. Преобразование спектра волн в активных периодических структурах. Радиотехника и электроника, т.23, Ш II, с.2344-2353, 1978.

52. Марченко В.Ф., Стрельцов A.M. Ударные волны и солитоны в линии с МДП-варикапаыи. Изв.вузов СССР-радиофизика, т.23,№7,с.809-820, 1980.

53. Лайтхилл Дн. Волны в жидкостях. М.: Мир, с.541-564, 1981.

54. Лойцянский Л.Г.Механика жидкости и газа.- М.:Наука, с.123-136, 1978.

55. Островский Л.А. Нелинейные внутренние волны в океане. В кн.: Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие.- М.: Наука, с.292-323, 1979.

56. Беттех Дж., Пауэлл Дж. Распротсранение солитонов в одномерной цепочке при ударном сжатии. В кн.: Солитоны в действии./ под.ред. К.Лонгрена, Э.Скотта. - М.: Мир, с.269-288, 1981.

57. Волькенштейн М.В. Биофизика. М.: Наука, 575 е., 1981.

58. Давыдов А.С. Нелинейные колебательные явления в биологии.-В кн.: Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие.-М.: Наука, с.42-60, 1981.

59. Карпыан В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 175 е., 1973.

60. Березин Ю.А., Карпман В.И. К теории нестационарных волн конечной амплитуды в разреженной плазме. ЖЭТФ, т.46, 5, с.1880--1890, 1964.

61. Юэн Г., Лейк Б. Теория нелинейных волн в приложении к волнам на глубокой воде.- В кн.:Солитоны в действии./под ред. К.Лонгрена, Э.Скотта. М.: Мир, с.103-137, 1981.

62. Миура P.M. Уравнение Кортевега-де Бриза модельное уравнение для нелинейных волн в средах с дисперсией. - В кн.: Нелинейные волны./под ред. С.Лейбовича, А.Сибасса.- М.:Мир, с.221-243,1977,

63. Беспалов В.И., Таланов В.И. О нитевидной структуре пучков света в нелинейных жидкостях. ЖЭТФ, т.З, № 12,с.471-476, 1966.

64. Карпман В.И., Крушкал Е.М. О модулированных ьолнах в нелинейных диспергирующих средах. ЕЭТФ, т.55, № 2, с.530-538, 1968.

65. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. -ЖЭТФ, т.61, вып. 17, с.118-134, 1971.

66. Боголюбов H.H. мл., Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г. Дискретная задача для модифицированного нелинейного уравнения Кор-тевега-де Вриза. ДАН СССР, т.258, № 3, с.575-580, 1981.

67. Кадомцев Б.Б., Карпман В.И. Нелинейные волны. УФН, т.103, вып. 2, с.193-232, 1971.

68. Дедушенко К.Б., Маймистов А.й. Самопросветление брэгговского зеркала. Курн. прикл.спектроскопии, т.37, № 4, с.633-660,1982.

69. Булгаков A.A., Яковенко В.М. Взаимодействие волн в активной слоисто-периодической среде. Изв.вузов СССР - радиофизика, т. 25, № I, с.28-32, 1982.

70. Ривлин Л.А. Распространение светового импульса в нелинейной пороговой усиливающей среде. В сб.: Нелинейная оптика. Труды 2-го Всесоюзного симпозиума по нелинейной оптике. - Новосибирск: Наука, с.96-101, 1968.

71. Беляков В.А., Шипов Н.В. Об эффективном преобразовании частоты и простых условиях синхронизма в периодических нелинейных средах. Письма в ЖТФ, т.9, вып. I, с.22-25, 1983.

72. Розанов H.H. Гистерезисные и стохастические явления в нелинейных оптических системах. Изв. АН СССР, сер. физическая,т.46, с.1886-1897, 1982.

73. Волощенко Ю.И., Рыжов Ю.Н., Сотин В.Е. Стационарные волны в нелинейных периодически модулированных средах с большим групповым замедлением. ЖТФ, т.51, №5, с.902-907, 1981.

74. Волощенко Ю.И., Рыжов Ю.Н., Сотин В.Е. Сверхмедленные стационарные импульсы в периодически модулированной среде с активной нелинейностью. Изв.вузов СССР - радиоэлектроника, т.26, № 3, с.30-35, 1983.

75. Рыжов Ю.Н., Сотин В.Е. Солитоноподобные волны в периодически модулированных средах с активной нелинейностью. Тезисы докладов XI Всесоюзной конф. по когерентной и нелинейной оптике.- Ереван, с.123-124, 1982.

76. Рыжов Ю.Н., Сотин В.Е. Волны в нелинейных периодически модулированных средах. В сб.: Материалы 1У конф. молодых ученых УДН: мат., фаз., химия. - М.: УДН, с.110-113,1981.

77. Сотин В.Е., Рыжов Ю.Н. Собственные частоты резонаторов с РОС и брэгговскими зеркалами. Тезисы.докладов IX Всесоюзной конф. по когерентной и нелинейной оптике. - М., ч.1, с.122, 1978.

78. Sé'et-éros?.} v. л/<Н, /y?. &93- Soo^ <f91&.84.

79. T^A^s. УЗ ■ /»/»- 43-/-440,

80. Зом^егрегИ/.Ъ Т. ^ CÁe^S. ^¿e^raifeo/ C/oTÍÍQcU: . ,S'PI£ ^ v.3/7. Jv^e^s* -fe с/ 0/>¿cc^ <rzz.sr¿/ /77/77 ¿7?¿ г У/1-ée^-r-ei-Zec/s. ^frac. 77*7. 2c7b/-¿sÁ~o/o J ScAéoss Зя^агЫ

81. Serór'si <?. a. /3/7. Z S#sr7~e ¿o ^ /эуа ЮЗ

82. Ж. 777 7r¿ e/r?^ т^/с re^ ^ ^p Yo y- -?■/87. 0S¿rovs¿j /. ^ <rorsA¿ozr АГ.4. P«f>éo V. \/. Soé/¿0*s1(7 ¿P# c/lO/jÁjf ís'ci . — PÁ^S/'&tZ Scre/2^4 ^ v70; />/? 3S? 3¿3J 7579.

83. CAu P.¿. UTA'¿¿rea с/ Т. М/о/э&е1. Otj So ifos ¿o

84. SVC>HéZf' aft's/SerS/'^e /7 s s /£>*} -ér'Sré'. —fi-è. séecfr-o /7. co/rv^ s. 4.f pp> 307-30э , /37 s.93. ^liefer 9b.t Т^г^о/е f Avorté*'/г far ireayoe/"¿oc/¿c s? s л? ¿o/? . — Лруэ/.• 353-33?, 49 78.

85. VosAeSt 77, /( tjkntéa to ¿ /, '/a ry d'JœcÀ

86. Галге^ ¿?o¿*p> s ¿a i* . Уec. v.49j pp 2o 72- 20 7-4 J 49 SO.

87. J/turx //. Утоr zcмг-^ °/e ¿frU$ -гн+тс/г/гг ГЛ . Г /У ^^гггл/^ елгр> ¿tosrс. '¿с* a- уг p/y^a ра у s у э а/&pp. 4202-/204, 496$.96. £cotÍ А. С. AJ ¿tcto&'/war (гогс/ол . чХ у, 37J pp. S2- 64, 4069.97. £sp>0¿/-/¿> /?, S7?aj>ee С. У e-é ^нг/

88. Ps*»*«*« f Лрр>. 447- 4S2 , /97S.101. а/, у.1. V. S', pp. i- JO; -/g ?3.102. fd/y^per'é P. 2). ire*/ ^Ъг'/егг^ defor ¿<9 У? ~ ¿Я C.O¿J S~/¿-'e WéL^rC^,. PA^ç, . ¿¿Ss ^ v. -fSjff 1372.

89. Afferl /<.} У. Söysiasns'cs о/ Срьун^е^ so ó'¿<o vs.- /^s ■ P&n't/es f V. 2<DJ />/>. St104. /(¿i ьГаАага /. ¿to/í-é^'r /Afc/ro/na.g/!elcc.ge&cf(r¿ » ¿>res s e* re. J. PAyS. £¿>c. Уауояп^ К 27}ff. /33/- у 3 if О j /369.

90. M. У. Af. Я). Uniera с /¿o <=>•/ ¿+7 a /э^я s г*? -¿£4с ¿"¿¿zcr sо/ ¿**¿¿¿<z<? ^/eí. P¿rjs. Яегх. v.'S^Zía, 1Э65.

91. Af. '<fra 7?¿&¿7 о/ я ¿00 ér'<3 rггдг?//^. X -Páyz. Jyoa*? y v 22 ? /»/» V3¿, ¿7.108. i^iro'éa A?. /¡4- S£> So<?L<-/¿otrs о/ а ¿гоъ-^'ме^г яет^ът&г £ éZ^ua -/¿с^ — У. PA^z. Л'ос.

92. VOM¿Zr'/zsetz r~ уэгя^¿'/¿ыg /Аел /э/r^S/cs.

93. Proc. ¿F. Z ATT Jx-t'. Sesr?. Уаеа //ueSetx.1. J ' ~ s s- ¿ее/. /¡/o-des. ftys-, /£ > />/>■ 114,0£uc/c> 3¿'s reso/ia-iorwi// tf^/^rc/' re<Z/о r s -gy г^-А-е

94. Kerr . Japa» 7. /}/>/><?. / К, $\115 .¿W// P.W., Кагъ/могт Т. P. ei1л f. ^/¡'¿e^s'A-/ее/ ¿/S-Zagfecyv/sc*^ . Pfas. /е/i.^ v,3j j>p. 2 4-26;-ТЭЦ.116//. Marlisryer У.//., £. 7~/>eory-¿7 ¿tost/f -e a ¿/¿'s г/ecf т^ее/e/r

95. ST^rac/tsre5. P/rjs. let£ I/. a/S} 37S-3Z1, f???.

96. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: ОГИЗ, т.П, 355 е.,1948.

97. Богданкевич О .В., Дарзнек С.А., Елисеев П.Г. Полупроводниковые лазеры. М.: Наука, 416 е., 1976.

98. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 424 е., 1969.

99. Милн-Томпсон Л. Эллиптические функции Якоби и тэта-функции. Эллиптические интегралы. Б кн.: Справочник по специальным функциям./под ред. Абрамовича М. и Стигана И. - М.: Наука, с.380-441, 1979.

100. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 576 е., 1974.