Статистические характеристики последовательности времён возврата Пуанкаре в хаотических системах в условиях шумовых и гармонических внешних воздействий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Боев Ярослав Игоревич

• Боев Ярослав Игоревич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Боев Ярослав Игоревич

Введение

1 Локальный подход в теории времён возврата Пуанкаре

1.1 Времена возврата Пуанкаре и их статистические характеристики

1.2 Статистика последовательности времён возврата в зашумлённых системах при локальном подходе

1.2.1 Теорема Каца в условиях шумового воздействия

1.2.2 Закон распределения последовательности времён возврата

при условии воздействия шумов

1.3 Плотность вероятности времён возврата при внешнем гармоническом воздействии

1.4 Выводы по первой главе

2 Мультифрактальный анализ последовательности времён возврата Пуанкаре

2.1 Размерность Афраймовича-Песина и её связь с показателями Ляпунова

2.2 Статистика последовательности времён возврата в неавтономных системах

2.3 Времена возврата Пуанкаре вблизи критической точки рождения аттрактора Фейгенбаума

2.4 Выводы по второй главе

3 Приложение времён возврата Пуанкаре к решению задач нелиней-

ной динамики

3.1 Диагностика стохастического резонанса

3.2 Диагностика вынужденной синхронизации

3.3 Фрактальная размерность аттрактора времена возврата Пуанкаре

3.4 Выводы по третьей главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистические характеристики последовательности времён возврата Пуанкаре в хаотических системах в условиях шумовых и гармонических внешних воздействий»

Введение

Одним из направлений исследований в нелинейной динамике является анализ систем, устойчивых по Пуассону. Возвращаемость по Пуанкаре означает, что в системах с заданной мерой практически любая фазовая траектория, исходящая из заданной начальной точки, бесконечное число раз во времени пройдет в сколь угодно малой окрестности исходного состояния. Системы, обладающие свойством возвращаемости, были названы Пуанкаре устойчивыми по Пуассону [1,2].

Несмотря на более чем столетнюю историю, проблема изучения статистических характеристик последовательностей времен возврата Пуанкаре в динамических системах остается актуальной и сегодня. Это относится не только к чисто математическим аспектам этой проблемы. Идея возвращаемости сложных систем в окрестность некоторого состояния становится одной из фундаментальных концепций современной науки. Эта концепция позволяет с единых позиций рассматривать такие эволюционные процессы как изменение климата, солнечной активности, динамики популяций, изменений на финансовых рынках, распространение эпидемий и многие другие. Многолетними наблюдениями установлено, что многие эволюционные процессы в природе и обществе характеризуются свойством возвращаемости. Теория возвратов активно применяется к исследованию экономических процессов [3], плазменной физики [4], а также при анализе ДНК [5], электрокардиограмм [6], электроэнцефалограмм [7], для исследования "чёрных дыр" [8,9] и в ряде других областей знаний. Исследование статистики подобных возвратов направлено на решение задачи прогнозирования.

Для анализа времён возврата Пуанкаре применяются два подхода: локальный и глобальный [10]. При локальном подходе исследуются времена возврата в ^-окрестность некоторой точки х0 на аттракторе динамической системы. Глобальный подход основывается на покрытии всего аттрактора ячейками размера е; внутри каждой ячейки берётся ансамбль начальных условий; для каждого начального условия считается время первого возврата Пуанкаре и выбирается его минимальное значение из всего ансамбля; затем рассматривается статистика минимальных времен возврата на ансамбле элементов покрытия.

К настоящему времени создана математическая теория времён возврата Пуанкаре, описывающая статистику последовательностей времен возврата как в окрестность заданного состояния (локальная теория [1,2,11-18]), так и в рассматриваемое множество элементов покрытия (глобальная теория [10,19-25]). Доказана взаимосвязь среднего времени возврата в окрестность заданного состояния с вероятностью посещения фазовой траекторией этой окрестности (лемма Каца [11]). Установлено, что для систем с перемешиванием (хаотических систем) плотность распределения случайной последовательности времен возврата в малую окрестность исходного состояния на больших временах подчиняется экспоненциальному закону [12, 13]. Классический результат Пуанкаре [1] обобщен на случай, когда правые части дифференциальных уравнений динамической системы являются периодическими функциями времени с одинаковым периодом [17,18]. Ряд важных результатов по статистике времен возврата в стохастическом слое вблизи нелинейного резонанса в гамильтоновых системах представлен в работе [26].

Сравнительно недавно появились математические работы, в которых исследуются время возврата Пуанкаре с точки зрения так называемого глобального подхода. При глобальном подходе определяется среднее время возврата по всем элементам покрытия аттрактора исследуемой системы [10,20]. Среднее время возврата в этом случае будет зависеть от совокупности начальных точек, заданных в каждом элементе покрытия, и будет являться функцией всего множества.

Одной из основных характеристик времён возврата Пуанкаре при глобальном подходе является фрактальная размерность множества времен возвратов, названная в работах [19,27] размерностью Афраймовича-Песина (АП-размерность). В общем случае оценкой АП-размерности сверху является величина топологической энтропии [10]. Для одномерных хаотических отображений доказано, что АП-размерность совпадает с величиной показателя Ляпунова [28].

Обобщением и развитием идеи Пуанкаре о возвращении является концепция "recurrency plot", введенная в работе [29]. Метод RP базируется на анализе длительности времен, в течение которых фазовые траектории динамической системы остаются в ^-окрестности друг друга. Исследования показали, что RP являются эффективным методом диагностики режимов функционирования динамических систем по временным рядам. Детальное описание теоретических основ метода RP и его интересных приложений представлено в обзоре [30].

В основе теории времён возврата Пуанкаре лежит предположение, что рассматриваемые динамические системы относятся к классу гиперболических. В некоторых классических работах предполагается также свойство обратимости. Однако многие исследуемые системы, как правило, не являются гиперболическими. В отсутствии теории анализ времени возврата применительно к таким системам требует проведения численных экспериментов с использованием быстродействующих компьютеров.

На протяжении 70 лет после основополагающих работ Пуанкаре исследования времён возврата носили исключительно теоретический характер. Экспериментальных работ до начала семидесятых годов практически не было в силу отсутствия компьютеров. Этот недостаток был восполнен в последние 40 лет. Численные эксперименты подтвердили применимость теоретических результатов к негиперболическим дискретным и потоковым системам, включая необратимые диссипативные системы [10,31-36]. Многократно была подтверждена лемма Каца и экспоненциальный закон распределения времен возврата для хаотических систем. Детально исследован вопрос о влиянии размера £ окрестности

возврата на характер распределения времен возвращения [37, 38]. Подтверждено, что экспоненциальный закон достигается в пределе £ ^ 0 и справедлив на больших временах. При конечных размерах окрестности £ распределение может отличаться от экспоненциального, но при этом отражает характерные динамические свойства системы (например, бистабильность [38]).

Имеются работы, связанные с применением метода возвратов Пуанкаре для анализа экспериментальных данных при решении ряда прикладных задач [35, 39]. При исследовании времён возврата Пуанкаре важно учитывать асимптотику статистических характеристик при уменьшении размера £ рассматриваемой окрестности. Некоторые теоретические результаты получены в пределе £ ^ 0. Однако, при проведении численных экспериментов размер рассматриваемой окрестности всегда конечен, причем его существенное уменьшение по сравнению с размерами аттрактора связано с большими вычислительными трудностями. Особенно остро эта проблема ощущается в многомерных потоковых системах. Поэтому в диссертации рассмотрены времена возврата Пуанкаре в е-окрестность конечного фиксированного размера. Как будет показано, они могут нести ценную информацию о динамике системы, что подробно обуславливается в работах [35,38].

Тот факт, что статистика времен возврата определяется динамическими свойствами системы, дает возможность применения теории времён возврата для решения прикладных задач. В работах [33, 35] представлены результаты оценки фрактальной размерности хаотических аттракторов на основе расчетов статистических характеристик последовательности времен возвратов. В работе [39] предложен метод диагностики эффекта хаотической синхронизации на основе глобальной [39] теории. Анализ изменений энтропии плотности распределения времен возврата положен в основу диагностики временных рядов [40].

Также стоит привести ссылки на другие результаты с целью наиболее полно отразить современное состояние проблемы времён возврата Пуанкаре, включив в рассмотрение результаты как локального, так и глобального подходов, и

примеры ряда прикладных задач. Вместе с результатами по временам возврата Пуанкаре приведём основополагающие теоретические результаты и данные численных экспериментов, тесно связанные с исследованиями представленными в диссертационной работе [41-44,44-76].

Подводя итог краткому описанию основных численных результатов по вре-менас возврата Пуанкаре и их приложениям, отметим следующее. Анализ экспериментальных результатов свидетельствует о том, что большинство работ посвящено локальной теории. Работ по анализу статистики времён возврата в рамках глобального подхода очень мало. При численных исследованиях анализа эволюция вероятностной меры рассматриваемых множеств как правило не проводится. А такой анализ необходим, поскольку именно изменения вероятностной меры влияют на результат. В литературе отсутствуют эксперименты по анализу статистики времён возврата Пуанкаре в неавтономных системах с шумовым и периодическим воздействиями. Неавтономные системы составляют широкий класс систем, рассматриваемых как в теории, так и в приложениях. В литературе не отражены результаты анализа времён возврата Пуанкаре в системах, находящихся под воздействием шумов. Эта проблема с нашей точки зрения является безусловно важной.

Целью диссертационной работы является исследование применимости известной теории времён возврата Пуанкаре к неавтономным системам и расширение на основе этого возможностей использования статистики последовательности времён возврата для исследования динамических систем и диагностики таких эффектов как стохастический резонанс, частотно-фазовая синхронизация автоколебаний, а также для оценки фрактальной размерности аттрактора. Кроме того ставится цель с использованием глобального подхода исследовать мульти-фрактальные характеристики последовательности времён возврата в неавтономных системах, путём расчёта размерности Афраймовича-Песина.

Для достижения поставленной цели, в рамках диссертационной работы, необходимо было решить следующие основные задачи:

1. Исследовать статистику последовательности времён возврата Пуанкаре в неавтономных системах в условиях шумового и гармонического воздействий. Выяснить, будут ли выполняться основные теоретические закономерности статистики времён возврата в локальном и глобальном подходах в системах при наличии внешнего воздействия. Провести анализ эволюции плотности вероятности времён возврата в неавтономном случае и проверить справедливость леммы Каца.

2. На основе полученных результатов о поведении времён возврата в неавтономных системах разработать методы, позволяющие применить теорию времён возврата Пуанкаре для диагностики эффекта стохастического резонанса и частотно-фазовой синхронизации хаотических автоколебаний.

3. Проанализировать мультифрактальные свойства последовательности времён возврата Пуанкаре в неавтономных системах. Установить возможность определения размерности Афраймовича-Песина в системах при наличии внешнего воздействия. Проверить соответствие размерности Афраймовича-Песина топологической энтропии в двумерных динамических системах.

4. Исследовать влияние гиперболичности на оценку фрактальной размерности хаотических аттракторов с использованием статистики времён возврата Пуанкаре.

Структура и объём работы.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, проводится краткий обзор имеющихся в научной литературе результатов по теме исследования, определяются цели и задачи исследования, формулируются положения и результаты, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации проводится исследование времён возврата Пуанкаре в неавтономных системах. Глава начинается с краткого теоретического описания локальной теории времён возврата. Далее во второй части демон-

стрируется влияние шумового воздействия на их статистику. Подтверждается справедливость леммы Каца, что обусловлено стационарностью и эргодичностью вероятностной меры для зашумлённых систем. После этого проводится исследование статистики времён возврата в условиях внешнего гармонического воздействия. Установлено наличие периодической модуляции в распределении времён возврата с периодом, равным периоду внешнего воздействия.

Во второй главе излагаются результаты применения глобального подхода к изучению динамики дискретных систем. Вычисляется характеристика последовательности времён возврата под названием "размерность Афраймовича-Песина". Устанавливается связь меджу АП-размерностью, ляпуновскими показателями и энтропией Колмогорова-Синая динамической системы. Анализируется возможность применения теории глобального подхода к неавтономным системам. Исследуется поведение размерности Афраймовича-Песина вблизи критической точки рождения аттрактора Фейгенбаума.

В третьей главе рассматриваются вопросы применения времён возврата к решению ряда задач нелинейной динамики. Показывается, как с их помощью можно диагностировать эффект стохастического резонанса. Вторая часть посвящена анализу вынужденной синхронизации хаоса в осцилляторе Рёсслера. В третьей части рассмотрены вопросы связи фрактальной размерности аттрактора и статистических характеристик времён возврата.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Материал диссертационной работы изложен на 121 страницах, содержит 44

V-* V-/ __А Г V-*

иллюстраций и список цитируемой литературы из 95 наименований.

Научная новизна диссертационной работы определяется следующим:

1. Впервые обоснована оценка размерности Афраймовича-Песина с помощью энтропии Колмогорова-Синая, вычисленной как сумма положительных ля-

пуновских показателей для двумерной динамической системы, в режиме гиперхаоса.

2. Впервые показано, что эффект стохастического резонанса можно диагностировать с помощью статистики последовательности времён возврата Пуанкаре, рассчитанных в окрестности заданного состояния динамической системы.

3. Установлено, что статистические характеристики времён возврата Пуанкаре в рамках локального подхода обеспечивают возможность диагностики частотно-фазовой синхронизации хаотических автоколебаний.

4. Впервые показано, что лемма Каца и экспоненциальный закон распределения времён возврата Пуанкаре выполняется для зашумлённых систем в силу стационарности и эргодичности вероятностной меры. А при наличии внешнего гармонического воздействия плотность вероятности времён возврата является периодически промодулированой функцией с периодом равным периоду внешнего воздействия.

Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием полученных результатов данным строгой теории в тех случаях, когда таковые существуют, воспроизводимостью численных экспериментов, их независимостью от конкретных схем численного анализа и совпадением части промежуточных результатов с ранее опубликованными данными.Разработанное программное обеспечение тестировалось на ранее полученных и опубликованных результатах.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:

1. Для динамических систем в отсутствие внешних воздействий основные теоретические результаты по статистике времён возврата Пуанкаре подтверждаются числено как при локальном, так и при глобальном подходах. Для систем, находящихся под воздействием аддитивного белого шума, лемма

Каца и экспоненциальный закон распределения времён возврата также оказываются справедливы. Причиной этого является экспериментально обоснованная стационарность и эргодичность вероятностной меры для зашум-лённых систем.

2. В условиях внешнего периодического воздействия на систему плотность вероятности времён возврата р(т) оказывается периодически промодулиро-вано функцией с периодом внешней силы. При этом теоретическое выражение для АП-размерности подтверждается экспериментально. Экспоненциальный закон распределения в этом случае строго выполняется лишь для стробоскопического сечения.

3. Для одномерных и двумерных автономных систем в численном эксперименте подтверждено, что АП-размерность совпадает с величиной топологической энтропии, оценкой которой служит сумма положительных ляпу-новских показателей Ляпунова.

4. Статистические характеристики последовательности времён возврата в периодически возмущаемых системах могут быть использованы для диагностики эффектов стохастического резонанса и внешней синхронизации хаотических колебаний.

5. Статистика возвратов Пуанкаре даёт возможность определения фрактальной размерности аттракторов с высокой точностью применительно к гиперболическим (квазигиперболическим) хаотическим аттракторам. В случае негиперболических аттракторов в силу их неоднородности статистика возвратов Пуанкаре даёт возможность лишь оценки фрактальной размерности с конечной точностью.

Научно-практическая значимость работы. Научные результаты, представленные в работе вносят определённый вклад в современную теорию колебаний

и теорию динамических систем, расширяют возможности применения статистики времён возврата Пуанкаре при исследовании характеристик динамических систем. В ходе исследования впервые было показано, что теория времён возврата может быть успешно использована как автономных, так и в неавтономных системах. Применение теории времён возврата Пуанкаре позволяет анализировать и диагностировать такие эффекты как: стохастический резонанс и частотно-фазовая синхронизация хаотических автоколебаний. Полученные результаты могут быть применены при расчётах и оценке фрактальной размерности аттракторов динамических систем.

Апробация работы. Основные результаты научных исследований были представлены на следующих научных семинарах и конференциях:

• Конференция International Conference "Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Complexity", 19-23 May 2014, "Volzhskie Dali", Saratov, Russia, Y. Boev, V. Anischenko, "Afraimovich-Pesin dimension for the transition to chaos in one-dimensional maps".

• Конференция "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics", 17-23 July, 2014, Y. Boev, T. Vadivasova, and V. Anishchenko, "Poincare recurrences in the phase-frequency synchronization regime in the Rossler oscillator"

Личный вклад. В данной работе основная часть представленных результатов была получены автором в ходе численных экспериментов. В численном эксперименте использовалось запатентованное программное обеспечение, разработанное лично автором. Автор принимал активное участие в постановке задач и интерпретации полученных экспериментальных данных.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных изданиях (10 статей в журналах, рекомендованных ВАК [77-86], 1 статья в сборнике трудов конференции [87] и 2 работы в сборниках тезисов конференций [88,89]).

Глава 1

Локальный подход в теории времён возврата Пуанкаре

Первая глава диссертации посвящена исследованию времён возврата Пуанкаре в неавтономных системах. Глава начинается с краткого теоретического описания локальной теории времён возврата. Далее во второй части демонстрируется влияние шумового воздействия на статистику времён возврата и подтверждается справедливость леммы Каца. Третья часть посвящена исследованию статистики времён возврата в условиях внешнего периодического воздействия. Установлено наличие периодической модуляции в распределении времён возврата с периодом, равным периоду внешнего воздействия.

1.1 Времена возврата Пуанкаре и их статистические характеристики

Сначала дадим определение времени возврата Пуанкаре. В работе [1] Анри Пуанкаре было доказано, что для множеств с заданной вероятностной мерой почти любая фазовая траектория вернётся в сколько угодно малую окрестность своего начального состояния. В работе [10] доказано наличие возвращаемость

Пуанкаре для орбит в гамильтоновых системах и предельных орбитах в дисси-пативных системах. Приведём формулировку и доказательство теоремы [90]:

Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть д — сохраняющее объём непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область И евклидова пространства в себя: дВ = Б. Тогда в любой окрестности и любой точки области И найдётся точка х Е и, которая возвращается в область и, то есть дпх Е и при некотором п > 0.

Доказательство. Рассмотрим образы окрестности и рис. 1.1:

и,ди,д%...,дпи,...

Все они имеют одинаковый положительный объём. Если бы они не пересекались, то объём И был бы бесконечен. Поэтому при некоторых к > 0,1 > 0,к > I

дки П д1 и = 0.

Следовательно, дк-1 и П и = 0. Пусть дк-1 х = у,х Е и, у Е и. Тогда х Е и, дпх Е и (п = к — I), что и требовалось доказать. □

Время, за которое траектория вернётся в окрестность своего начального состояния, называется временем возврата Пуанкаре. Точное математическое определение времени возврата Пуанкаре для дискретной динамической системы записывается в виде:

тг(хо) = шт{п Е N : Тп(хо) Е Вг(£о)}, (1.1)

где тг(х0) — это время возврата в окрестность начального состояния х0, Вг(х0) — ^мерный шар радиуса г = е/2, Тп(х0) — отображение метрического пространства Т : X ^ X применённое п раз к точке х0. Далее в тексте мы опустим индекс г.

При численном расчёте необходимо несколько дополнить определение времени возврата. Это связанно с тем, что при проведении вычислений времена

возврата будут считаться в малую, но конечную область возврата Вг(х0). Так в работе [33] вводится понятие времён возврата первого и второго рода. Времена возврата первого рода представляют из себя время между двумя последовательными состояниями динамической системы, принадлежащими Вг (х0). При достаточно большом размере окрестности возврата £ может сложиться такая ситуация, что несколько последовательных итераций динамической системы окажутся принадлежащими этой окрестности, а само время возврата, как следствие, будет равно 1 для дискретной динамической системы или ДЪ для потоковой системы, где ДЪ — это шаг интегрирования. В работе [30] подобный тип возвратов называется "тангенциальным движением". Для того чтобы избежать подобной ситуации вводится понятие времени возврата второго рода, которое можно описать как время между моментом входа фазовой траектории в окрестность выбранной точки х0 и моментом предыдущего выхода траектории из этой окрестности. Таким образом, исключается случай, когда за время возврата можно принять время между двумя последовательными состояниями динамической системы, находящихся внутри заданной окрестности. На рис. 1.2 схематично представлены времена возврата описанных типов.

Помимо того, что уже было перечислено, следует учесть ещё ряд особенно-

»^у ♦♦ ♦♦ р» и

стей, связанных с численным расчётом времён возврата. В математической теории, описывающей статистику времён возврата Пунакнаре, предполагается, что размер окрестности возврата должен быть сколь угодно малым £ ^ 0. При проведении численного эксперимента размер окрестности возврата £ хоть и выбирается достаточно малым, но тем не менее имеет конечные размеры. В работе [37] описывается статистика времён возврата в окрестность конечного размера. Стоит также уточнить форму окрестности, в которую мы считаем возвраты фазовой траектории. В точной математической формулировке (1.1) форма окрестности выбранной точки х0 имеет вид М-мерного шара Вг(х0) радиуса г = г/2. При проведении вычислений в целях ускорения расчётов и удобства окрестность выбирается в форме М-мерного куба с ребром равным г, что не оказывает су-

Рисунок 1.2: Схематичная иллюстрация времён возврата первого типа — а) и

второго типа — б).

щественного влияния на статистику времён возврата. А при достаточно малых г ^ 1 статистика становится практически одинаковой для формы окрестности в виде шара и куба.

Предметом исследования настоящей работы являются динамические системы, устойчивые по Пуассону. Они характеризуются хаотической динамикой. Вследствие этого времена возврата Пуанкаре вне зависимости от размера области возвращения представляют собой случайную последовательность чисел. В связи с этим анализ характеристик последовательности времён возврата проводится с использованием статистических методов.

Чаще всего нам придётся иметь дело со средним значением времени возврата (г), определяющимся следующим образом:

к

К

(т) = ^Е^ - Ь)>К » 1' (1.2)

г=0

где и и — входа и выхода фазовой траектории в ^-окрестность точки х0, К — количество попаданий траектории в окрестность. Для эргодических динамических систем усреднение можно проводить как по времени (что и было описано выше), так и по ансамблю. При усреднении по ансамблю внутри ^-окрестности выбирается конечное множество начальных условий. Фазовая траектория стартует с каждого из начальных условий и итерируется (интегрируется) до тех пор пока она не вернётся в окрестность заданной точки. После этого проводится усреднение по временам возврата для каждого из начальных условий.

Проанализируем статистику времён возврата, для чего рассмотрим распределение р(т). В работе [14] показано, что распределение времён возврата на больших временах подчиняется экспоненциальному закону:

1 г

р{т) = -- ехр(-—)' г > г*' (1.3)

(т) (т)

где (г) — среднее время возврата, а г * — некоторое значение г. Выражение (1.3) справедливо как для дискретных, так и для потоковых динамических систем и не

зависит от размерности исследуемой системы. Закон (1.3) описывает распределение времён возврата Пуанкаре в -окрестность некоторой точки и выполняется в пределе £ ^ 0 для всех т > г*.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Боев Ярослав Игоревич, 2016 год

Литература

1. Poincaré, H. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique / H. Poincare // Acta Mathematica. — 1890. — Vol. 13. — Pp. 1-270.

2. Nemytskii, V. V. Qualitative Theory of Differential Equations / V. V. Nemytskii, V. V. Stepanov. Dover Books on Mathematics. — Dover Publications, 1989.

3. Baptista, M.S. Stock market dynamics / M.S Baptista, I.L Caldas // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2002. — Vol. 312, no. 3-4. — Pp. 539 - 564.

4. Recurrence in plasma edge turbulence / M. S. Baptista, I. L. Caldas, M. V. A. P. Heller et al. // Physics of Plasmas (1994-present). — 2001. — no. 8. — Pp. 4455-4462.

5. Frahm, K. M. Poincare recurrences of DNA sequences / K. M. Frahm, D. L. She-pelyansky // Phys. Rev. E. — 2012. — Vol. 85. — P. 016214.

6. Nonlinear dynamics of heart rate variability in response to orthostatism and hemodialysis in chronic renal failure patients: recurrence analysis approach. / Hortensia Gonzalez, Oscar Infante, Hector Perez-Grovas et al. // Médical engineering & physics. — 2013. — Vol. 35, no. 2. — Pp. 178-87.

7. Application of Recurrence Quantification Analysis for the Automated Identification of Epileptic EEG Signals / U. Rajendra Acharya, S. Vinitha Sree, Subhaga-

ta Chattopadhyay et al. // International Journal of Neural Systems. — 2011. — Vol. 21, no. 03.— Pp. 199-211.

8. Siopsis, George. Poincaré recurrences of Schwarzschild black holes / George Siopsis // Classical and Quantum Gravity. — 2007. — Vol. 24, no. 16. — P. 4133.

9. Barbon, Jose L. F. Very long time scales and black hole thermal equilibrium / Jose L. F. Barbon, Eliezer Rabinovici // Journal of High Energy Physics. — 2003.

— Vol. 2003, no. 11. — P. 047.

10. Afraimovich, Valentin. Fractal Dimensions for Poincaré Recurrences / Valentin Afraimovich, Edgardo Ugalde, Jesus Urias. Monograph Series on Nonlinear Science and Complexity. — Elsevier Science, 2006.

11. Kac, Mark. Probability and Related Topics in Physical Sciences / Mark Kac. — Amer Mathematical Society, 1957. — Vol. 1a of Lectures in Applied Mathematics Series.

12. Hirata, Masaki. Poisson law for Axiom A diffeomorphisms / Masaki Hirata // Ergodic Theory and Dynamical Systems. — 1993. — Vol. 13. — Pp. 533-556.

13. Hirata, Masaki. Poisson law for the dynamical systems with the "self-mixing" conditions / Masaki Hirata // Mathematics, engineering and economics. — Vol. 1.

— Singapore: World Scientific, 1995. — Pp. 87-96.

14. Hirata, Masaki. Statistics of Return Times: A General Framework and New Applications / Masaki Hirata, Benoit Saussol, Sandro Vaienti // Communications in mathematical physics. — 1999. — Vol. 206, no. 1. — Pp. 33-55.

15. Young, Lai-Sang. Recurrence times and rates of mixing / Lai-Sang Young // Israel Journal of Mathematics. — 1999. — Vol. 110, no. 153-188.

16. Balakrishnan, V. Recurrence time statistics in deterministic and stochastic dynamical systems in continuous time: A comparison / V. Balakrishnan, G. Nicolis, C. Nicolis // Phys. Rev. E. - 2000. - Mar. - Vol. 61. - Pp. 2490-2499.

17. Cetaev, N. Sur la stabilite a la Poisson / N. Cetaev // Mécanique rationnelle. — 1928. - Pp. 637-638.

18. Четаев, Н. Об устойчивости в смысле Пуассона / Н. Четаев // Учёные Записки Казанского Государственноо Университета. - 1929. - Т. 89, № 199-201.

19. Penne, Vincent. Dimensions for recurrence times: topological and dynamical properties / Vincent Penne, Benoit Saussol, Sandro Vaienti // Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 1999. - Vol. 5. - Pp. 783-798.

20. Afraimovich, V. Pesin's dimension for Poincaré recurrences / V. Afraimovich // Chaos (Woodbury, N.Y.). - 1997. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 12-20.

21. Afraimovich, Valentin. Local dimensions for Poincaré recurrences / Valentin Afraimovich, Jean-Rene Chazottes, Benoit Saussol // Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. - 2000. - Vol. 6. - Pp. 64-74.

22. Afraimovich, V. Pointwise dimensions for Poincaré recurrences associated with maps and special flows / V. Afraimovich, Jean-Rene Chazottes, Benoît Saussol // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A. - 2003. - Vol. 9, no. 263 - 280.

23. Afraimovich, V. Fractal and multifractal properties of exit times and Poincaré recurrences / V. Afraimovich, G. M. Zaslavsky // Phys. Rev. E. - 1997. - May. - Vol. 55. - Pp. 5418-5426.

24. Pesin, Yakov B. Dimension Theory in Dynamical Systems: Contemporary Views and Applications / Yakov B. Pesin. - Chicago Lectures in Mathematics, 1997.

25. Spectra of dimensions for Poincare recurrences / V. Afraimovich, J. Schmeling, Edgardo Ugalde, JesUs Uriass Urias // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A. - 2000. - Vol. 6. - Pp. 901 - 914.

26. Chirikov, B. V. Asymptotic Statistics of Poincare Recurrences in Hamiltonian Systems with Divided Phase Space / B. V. Chirikov, D. L. Shepelyansky // Phys. Rev. Lett. - 1999. - Jan. - Vol. 82. - Pp. 528-531.

27. Kurka, Petr. Recurrence Dimension in Toeplitz Subshifts / Petr Kurka, Alejandro Maass // Dynamical Systems. From Crystal to Chaos. - 2000. - Pp. 165-175.

28. Saussol, B. Recurrence, Dimensions and Lyapunov Exponents / B. Saussol, S. Troubetzkoy, S. Vaienti // Journal of Statistical Physics. - 2002. - Vol. 106, no. 3-4. - Pp. 623-634.

29. Eckmann, J.-P. Recurrence Plots of Dynamical Systems / J.-P. Eckmann, S. Oliff-son Kamphorst, D. Ruelle // EPL (Europhysics Letters). - 1987. - Vol. 4, no. 9. - P. 973.

30. Recurrence plots for the analysis of complex systems / Norbert Marwan, M. Carmen Romano, Marco Thiel, Jurgen Kurths // Physics Reports. - 2007. - Vol. 438, no. 5-6. - Pp. 237 - 329.

31. Ott, Edward. Controlling chaos / Edward Ott, Celso Grebogi, James A. Yorke // Phys. Rev. Lett. - 1990. - Mar. - Vol. 64. - Pp. 1196-1199.

32. Baptista, Murilo S. Poincare Recurrence and Measure of Hyperbolic and Non-hyperbolic Chaotic Attractors / Murilo S. Baptista, Suso Kraut, Celso Grebogi // Phys. Rev. Lett. - 2005. - Aug. - Vol. 95. - P. 094101.

33. Gao, J.B. Recurrence Time Statistics for Chaotic Systems and Their Applications / J.B. Gao // Physical Review Letters. - 1999. - Vol. 83, no. 16. - Pp. 3178-3181.

34. Altmann, Eduardo G. Poincare recurrences and transient chaos in systems with leaks / Eduardo G. Altmann, Tamas Tel // Phys. Rev. E. — 2009. — Jan. — Vol. 79.

- P. 016204.

35. Анищенко, В. С. Теория возвратов Пуанкаре и её приложение к задачам нелинейной физики / В. С. Анищенко, С. В. Астахов // УФН. — 2013. — Т. 56, № 10. — С. 955-972.

36. Altmann, Eduardo G. Recurrence time analysis, long-term correlations and extreme events / Eduardo G. Altmann, Holger Kantz // Phys. Rev. E. — 2005. — May. — Vol. 71. — P. 056106.

37. Altmann, Eduardo G. Recurrence time statistics for finite size intervals / Eduardo G. Altmann, Elton C. da Silva, I. L. Caldas // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2004. — Vol. 14, no. 4. — Pp. 975-981.

38. Statistical characteristics of the Poincare return times for an one-dimensional non-hyperbolic map / V. Anishchenko, M. Khairulin, G. Strelkova, J. Kurths // Eur. Phys. J. B. — 2011. — Vol. 82. — Pp. 219-225.

39. Afraimovich, V. Fractal dimension for Poincare recurrences as an indicator of synchronized chaotic regimes / V. Afraimovich, W.W. Lin, N.F. Rulkov // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2000. — Vol. 10, no. 10. — Pp. 2323-2337.

40. Distinguishing dynamics using recurrence-time statistics / E. J. Ngamga, D. V. Senthilkumar, A. Prasad et al. // Phys. Rev. E. — 2012. — Feb. — Vol. 85.

— P. 026217.

41. Adler, R. L. Topological entropy / R. L. Adler, A. G. Konheim, M. H. McAn-drew // Trans. Amer. Math. Soc. — 1965. — Vol. 114, no. 2. — Pp. 309-319.

42. Katok, Anatole. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / Anatole Katok, Boris Hasselblatt. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. - Cambridge University Press, 1995.

43. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems: Tutorial and Modern Developments / V.S. Anishchenko, V. Astakhov, A. Neiman et al. Springer Series in Synergetics. - 2 edition. - Springer, 2007.

44. Benzi, R. The mechanism of stochastic resonance / R Benzi, A Sutera, A Vulpi-ani // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1981. - Vol. 14, no. 11. - P. L453.

45. Afraimovich, V. Strange attractors and quasiattractors / V. Afraimovich // Nonlinear and turbulent processes in physics. - Vol. 1. - 1984. - Pp. 1133-1138.

46. Afraimovich, V. Attractors / V. Afraimovich // Nonlinear Waves 1 / Ed. by A.V. Gaponov, M.I. Rabinovich, J.Engelbrecht. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1989. - Pp. 6-28.

47. Anishchenko, V.S. Effect of noise-induced crisis of attractor on characteristics of Poincare recurrence / V.S. Anishchenko, M.E. Khairulin // Technical Physics Letters. - 2011. - Vol. 37, no. 6. - Pp. 561-564.

48. Haken, H. Advanced Synergetics / H. Haken. - Springer-Verlag, 1983.

49. Influence of noise on statistical properties of nonhyperbolic attractors / Vadim S. Anishchenko, Andrey S. Kopeikin, Tatjana E. Vadivasova et al. // Phys. Rev. E. - 2000. - Dec. - Vol. 62. - Pp. 7886-7893.

50. Farmer, J.Doyne. The Dimension of Chaotic Attractors / J.Doyne Farmer, Edward Ott, JamesA. Yorke // The Theory of Chaotic Attractors / edited byBri-anR. Hunt, Tien-Yien Li, JudyA. Kennedy, HelenaE. Nusse. - Springer New York, 2004. - Pp. 142-169.

51. Lozi, R. Un attracteur etrange (?) du type attracteur de Henon / R. Lozi // J. Phys. Colloques. — 1978. — Vol. 39. — Pp. C5-9-C5-10.

52. Huberman, B. A. Scaling Behavior of Chaotic Flows / B. A. Huberman, J. Rud-nick // Phys. Rev. Lett. — 1980. — Jul. — Vol. 45. — Pp. 154-156.

53. Schuster, Heinz Georg. Deterministic chaos: An introduction / Heinz Georg Schuster. — VCH Publishers, 1984.

54. Penne, V. Fractal and statistical characteristics of recurrence times / V. Penne, B.Saussol, S. Vaienti // J. Phys. IVFrance. — 1998. — Vol. 08. — Pp. Pr6-163-Pr6-171.

55. Anishchenko, Vadim S. Relative Kolmogorov entropy of a chaos system in the presence of noise / Vadim S. Anishchenko, Sergey Astakhov // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2008. — Vol. 18, no. 09. — Pp. 2851-2855.

56. Pikovsky, Arkady. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences / Arkady Pikovsky, Michael Rosenblum, Jiirgen Kurths. Cambridge Nonlinear Science. — Cambridge University Press, 2001.

57. Anishchenko, V. S. Poincare Recurrence in the Circle Map: Fibonacci Stairs / V. S. Anishchenko, Nadezhda Semenova, Tatiana E. Vadivasova // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. — 2015. — Vol. 4. — Pp. 111-119.

58. Statistical properties of Poincare Recurrences and Afraimovich-Pesin dimension for the Circle map / Nadezhda I. Semenova, Tatiana E. Vadivasova, Galina I. Strelkova, Vadim S. Anishchenko // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2015. — Vol. 22, no. 1-3. — Pp. 1050 - 1061.

59. Slater, Noel B. Gaps and steps for the sequence n 0 mod 1 / Noel B. Slater // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1967. — 10. — Vol. 63. — Pp. 1115-1123.

60. Buric, Nikola. Statistics of Poincaré recurrences for a class of smooth circle maps / Nikola Buric, Aldo Rampioni, Giorgio Turchetti // Chaos, Solitons & Fractals. — 2005. — Vol. 23, no. 5. — Pp. 1829 - 1840.

61. Bicknell, Marjorie. A Primer on the Pell Sequence and Related Sequences / Mar-jorie Bicknell // Fibonacci Quarterly. — 1975. — Vol. 13, no. 4. — Pp. 345-349.

62. Roth, K. F. Rational approximations to algebraic numbers / K. F. Roth // Mathe-matika. — 1955. — Vol. 2. — Pp. 1-20.

63. Denjoy, A. Sur les courbes definies par les equations differentielles a la surface du tore / A. Denjoy // Journal de mathematiques pures et appliquées 9e serie. — 1932.— Vol. 11, no. 333-376.

64. Rossler, O.E. An equation for continuous chaos / O.E. Rossler // Physics Letters A. — 1976. — Vol. 57, no. 5. — Pp. 397 - 398.

65. Анищенко, В.С. Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний синхронизация странных аттракторов / В.С. Анищенко, Д.Э. Постнов // Письма в ЖТФ. — 1988. — Т. 14, № 6. — С. 569-573.

66. Synchronization of chaos / V.S. Anishchenko, T.E. Vadivasova, D. E. Postnov, M. A. Safonova // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 1992. — Vol. 02, no. 03. — Pp. 633-644.

67. Anishchenko, Vadim. Dynamical Chaos — Models and Experiments / Vadim Anishchenko. — World Scientific, 1995. — Vol. 8 of World Scientific Series on Nonlinear Science Series A.

68. Carroll, T.L. Cascading synchronized chaotic systems / T.L. Carroll, L.M. Pecora // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1993. — Vol. 67, no. 1-3. — Pp. 126 - 140.

69. Pecora, Louis M. Synchronization in chaotic systems / Louis M. Pecora, Thomas L. Carroll // Phys. Rev. Lett. - 1990. - Feb. - Vol. 64. - Pp. 821-824.

70. Nicolis, C. Stochastic aspects of climatic transitions—response to a periodic forcing / C. Nicolis // Tellus. - 1982. - Vol. 34, no. 1. - Pp. 1-9.

71. Stochastic resonance / Luca Gammaitoni, Peter Hanggi, Peter Jung, Fabio March-esoni // Rev. Mod. Phys. - 1998. - Jan. - Vol. 70. - Pp. 223-287.

72. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / В. С. Анищенко, А. Б. Нейман, Ф. Мосс, Л. Шиманский-Гайер // Успехи физических наук. - 1999. - Т. 169, № 1. - С. 7-38.

73. Kramers, H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions / H.A. Kramers // Physica. - 1940. - Vol. 7, no. 4. - Pp. 284 - 304.

74. Anishchenko, V.S. Stochastic resonance in chaotic systems / V.S. Anishchenko, A.B. Neiman, M.A. Safonova // Journal of Statistical Physics. - 1993. - Vol. 70, no. 1-2. - Pp. 183-196.

75. Grassberger, P. On the fractal dimension of the Henon attractor / P. Grassberger // Physics Letters A. - 1983. - Vol. 97, no. 6. - Pp. 224 - 226.

76. Carletti, Timoteo. Numerical estimates of local dimension by waiting time and quantitative recurrence / Timoteo Carletti, Stefano Galatolo // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 2006. - Vol. 364. - Pp. 120 - 128.

77. Anishchenko, V.S. Diagnostics of stochastic resonance using Poincare recurrence time distribution / V.S. Anishchenko, Y.I. Boev // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2013. - Vol. 18, no. 4. - Pp. 953-958.

78. Local and global approaches to the problem of Poincare recurrences. Applications in nonlinear dynamics / V.S. Anishchenko, Y.I. Boev, N.I. Semenova, G.I. Strelko-va // Physics Reports. — 2015. - Vol. 587. - Pp. 1 - 39.

79. Statistics of Poincare recurrences in local and global approaches / V.S. Anishchenko, S.V. Astakhov, Y.I. Boev et al. // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2013. — Vol. 18, no. 12. — Pp. 3423 -3435.

80. Poincare Recurrences in a Nonautonomous Chaotic Map / Y.I. Boev, N.I. Semenova, G.I. Strelkova, V.I. Anishchenko // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2014. — Vol. 24, no. 08. — P. 1440016.

81. Boev, Yaroslav I. Poincare recurrence statistics as an indicator of chaos synchronization / Yaroslav I. Boev, Tatiana E. Vadivasova, Vadim S. Anishchenko // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2014. — Vol. 24, no. 2.

82. Статистика возвратов Пуанкаре с учётом воздействия флуктуаций /

B.С. Анищенко, С.В. Астахов, Я.И. Боев и др. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Физика. — 2013. — Т. 13, № 2.

83. Анищенко, В.С. Статистические характеристики времён возврата Пуанкаре при локальном подходе в условиях воздействия шума / В.С. Анищенко, Я.И. Боев, Н.И. Бирюкова // Письма в ЖТФ. — 2013. — Т. 39, № 7. —

C. 58-65.

84. Анищенко, В.С. Эффект захвата среднего времени возврата Пуанкаре как критерий вынужденной синхронизации хаоса / В.С. Анищенко, Я.И. Боев // Письма в ЖТФ. — 2014. — Т. 40, № 7. — С. 62-69.

85. Боев, Я.И. Статистика времён возврата Пуанкаре в неавтономном одномерном хаотическом отображении / Я.И. Боев, Н.И. Бирюкова, В.С. Анищенко // Нелинейная Динамика. - 2014. - Т. 10, № 1. - С. 3-16.

86. Боев, Я.И. Оценка размерности хаотических аттракторов с использованием времён возврата Пуанкаре / Я.И. Боев, Г.И. Стрелкова, В.С. Анищенко // Нелинейная динамика. - 2015. - Т. 11, № 3. - С. 475-485.

87. Boev, Y.I. Poincare Recurrences Near the Critical Point of Feigenbaum Attractor Birth / Y.I. Boev, G.I. Strelkova, V.S. Anishchenko // Nonlinear Dynamics of Electronic Systems / Ed. by ValeriM. Mladenov, PlamenCh. Ivanov. - Springer International Publishing, 2014. - Vol. 438 of Communications in Computer and Information Science.

88. Boev, Y.I. Poincare recurences in the phase-frequency synchronization regime in the Rossler oscillator / Y.I. Boev, T.E. Vadivasova, V.S. Anishchenko // Topical Problems of Nonlinear Wave Physics. - 2014.

89. Boev, Y.I. Afraimovich-Pesin dimension for the transition to chaos in one-dimensional maps / Y.I. Boev, V.S. Anischenko // International Conference "Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Complexity". - 2014.

90. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М., Наука, 1989.

91. Henon, M. A two-dimensional mapping with a strange attractor / M. Henon //

Communications in Mathematical Physics. - Vol. 50, no. 1. - Pp. 69-77.

92. Spectral and correlation analysis of spiral chaos / V.S. Anishchenko, T.E. Vadivasova, A.S. Kopeikin et al. // Fluctuation and Noise Letters. - 2003. - Vol. 3, no. 2. - Pp. L213-L221.

93. Autocorrelation function and spectral linewidth of spiral chaos in a physical experiment / V.S. Anishchenko, T.E. Vadivasova, J. Kurths et al. // Phys. Rev. E. — 2004. — Vol. 69. — P. 036215.

94. Анищенко, В.С. Сложные колебания в простых системах / В.С. Анищенко. — М.: Наука, 1990.

95. Theiler, James. Estimating fractal dimension / James Theiler // J. Opt. Soc. Am. A. — 1990. — Vol. 7, no. 6. — Pp. 1055-1073.